COLEGIO DE BACHILLERES

FÍSICA MODERNA II

FASCÍCULO 3. EL LÁSER

Autor: Adolfo Hernández Hernández

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Colaboradores

Asesoría PedagógicaMa. Elena Huesca del Río

Revisión de ContenidoSalvador Godoy Salas

Diseño EditorialLeonel Bello CuevasJavier Darío Cruz Ortíz

COLEGIO DEBACHILLERES

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INTRODUCCIÓN

PROPÓSITO

CUESTIONAMIENTO GUÍA

1.

1.1.1.2.1.3.1.4.1.5.

1.6.1.7.

2. CIRCUITOS ELECTRÓNICOS

2.12.2.

Í N D I C E

4

2.3.2.4.

RECAPITULACIÓN

ACTIVIDADES DE CONSOLIDACIÓN

AUTOEVALUACIÓN

BIBLIOGRAFÍA CONSULTADA

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P R O P Ó S I T O

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INTRODUCCIÓN

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CUESTIONAMIENTO GUÍA

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1. EL LÁSER

Entre dos niveles de energía en un átomo, uno inferior i y uno superior j (Figura 9-10)pueden ocurrir tres clases de transiciones que implican radiación electromagnética. Si elátomo se encuentra inicialmente en el estado i se puede elevar al estado j, absorbiendoun fotón de luz cuya energía es hv = Ej – Ei. Este proceso recibe el nombre de absorcióninducida. Si el átomo se encuentra inicialmente en el estado superior j, puede caer alestado i emitiendo un fotón de energía hv. En este caso, se trata de una emisiónespontánea.

Como ocurren en niveles de energía las transiciones que implican la radiaciónelectromagnética.

¿Qué es la absorción inducida?_______________________________________________________________________

¿Qué es la emisión espontánea e inducida? Explícalas._______________________________________________________________________

Ej

Ei

hv hv hv

hv

hv

absorción emisión emisión inducida espontánea inducidas

Figura 9-10. Las transiciones entre dos niveles de energía en un átomo pueden ocurrirPor absorción inducida, emisión espontánea y emisión inducida

Existe también una tercera posibilidad, la emisión inducida, en la que un fotón incidentede energía hv causa una transición, desde el estado superior hasta el inferior. Laemisión inducida no implica conceptos nuevos. Se puede comparar con un osciladorarmónico, por ejemplo un péndulo, al que se le aplica una fuerza sinusoidal cuyo periodoes el mismo que su periodo natural de vibración. Si la fuerza aplicada se encuentraexactamente en fase con las oscilaciones del péndulo, la amplitud de éstas aumenta;esto corresponde a la absorción inducida de energía. Sin embargo, si la fuerza aplicadaestá fuera de fase en 180º con las oscilaciones del péndulo, la amplitud de éstasdisminuyen; esto corresponde a una emisión inducida de energía.

ACTIVIDADES DE REGULACIÓN

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Puesto que hv es generalmente mucho mayor que kT en el caso de las radiacionesatómicas y moleculares, en equilibrio térmico, la población de estados superiores deenergía en un sistema atómico es considerablemente inferior a la población de estadosmás bajos. Supongamos que incide luz de frecuencia v sobre un sistema en el que ladiferencia de energía entre el estado base y el excitado es hv. Si el estado superior estámuy ocupado, habrá poca emisión estimulada y las consecuencias principales que seproducen son la absorción de fotones incidentes por los átomos en el estadofundamental y la subsiguiente radiación espontánea de fotones de igual frecuencia.(Cierta proporción de átomos excitados elevarán sus energías en los choques).

Algunos sistemas atómicos pueden tener poblaciones invertidas de niveles de energíacon un estado ocupado en mayor grado que el estado base. La Figura 9-11 muestra unsistema de tres niveles en el que el estado intermedio 1 es metastable, lo que significaque la transición desde dicho estado hasta el estado base está prohibida por reglas deselección. El sistema puede “elevarse” hasta el estado 2 mediante una radiación defrecuencia v´ = E2 – E0)/h. (Los impactos de los electrones son otra forma de elevar elsistema al estado superior). Los átomos en el estado 2 tienen una existenciaaproximada de 10-8 en su camino hacia una transición permitida realizada por emisiónespontánea, de forma que caen al estado metastable 1 (o al estado base)instantáneamente. Los estados metastables pueden tener vidas superiores a unsegundo en su camino hacia la emisión espontánea y, por consiguiente, se puedecontinuar elevando el nivel energético hasta que haya una población mayor en el estado1 que la que hay en el estado 0. Si hacemos llegar al sistema radiación directa defrecuencia v = (E1 – E0)/h la emisión inducida de fotones de esta frecuencia excederá ala absorción, puesto que hay más átomos en el estado superior, y el resultado neto seráuna producción de radiación de frecuencia v mayor que la que llega. Este es el principiodel maser (amplificación de microondas mediante emisión estimulada de radiación) y delláser (amplificación de luz por emisión estimulada de radiación).

Figura 9-11. Principio del maser y el láser

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Las ondas radiadas procedentes de la emisión espontánea son incoherentes, comocabía esperar, con relaciones de fase al azar en el espacio y en el tiempo, ya que noexiste coordinación entre los átomos implicados. Sin embargo las ondas radialesprocedentes de la emisión inducida están en fase con las ondas de inducción, lo quehace posible que un maser o un láser produzcan rayos completamente coherentes. Unláser común es un tubo lleno de gas o un sólido transparente con espejos en ambosextremos; uno de estos espejos es parcialmente transmisor para que salga algo de la luzque se produce. La luz impulsora de frecuencia v´ dirige hacia el medio activo desde losbordes del tubo, mientras las ondas transversales que van y vienen pertenecientes a laluz atrapada estimulan emisiones de frecuencia v que mantienen el haz emergentecolimado. Se han proyectado gran variedad de maser y láser; en muchos de ellos, ladistribución inversa de energía se obtiene de una manera menos directa que la que seconsigue con el simple mecanismo descrito anteriormente.

Emisión estimulada y fundamento del láser.

El proceso de emisión de luz por un átomo que hemos explicado en la sección anteriorrecibe el nombre de emisión espontánea de radiación, y dado que las transicioneselectrónicas que lo producen ocurren de manera caprichosa y aleatoria, se comprendeque tengan frecuencias diferentes, y, por lo tanto, en conjunto, la radiación que emitenlas fuentes ordinarias de luz visible no es monocromática o sea, de un solo color.

Sin embargo, desde hacía tiempo se conocía otro proceso llamado emisión estimuladade radiación, que consiste en lo siguiente:

Si un determinado nivel de energía εi de un átomo tiene muchos más electrones que otronivel inferior εf (Figura 60.6), -cosa que generalmente no sucede- y dicho átomo recibe elimpacto de un fotón cuya energía sea precisamente la diferencia entre dichas dosenergías:

h • f = εi - εf

entonces dicho fotón, en lugar de ser absorbido por el átomo como en un procesoordinario, provoca un efecto totalmente distinto y es que induce o estimula eldecaimiento de uno de los electrones del átomo desde el nivel superior εi al inferior εf,dando lugar a la emisión de un nuevo fotón cuya energía, y, por lo tanto, cuyafrecuencia;

f = hEE fi -

son precisamente las mismas que las del fotón incidente.

Modernamente se ha conseguido por diversos medios hacer subir electrones del nivelinferior εf al superior εi y mantener así las condiciones favorables para que se produzcael citado fenómeno de la radiación estimulada a una frecuencia determinada.

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Este es el fundamento del aparato llamado láser (siglas de una frase en inglés quesignifica: “amplificación de la luz por radiación electromagnética estimulada”). En él seconsigue, de dicha manera, un rayo de luz perfectamente monocromática, y si, además,se hace que el fotón incidente se refleje en dos espejos colocados en ambos extremosdel tubo que contiene el gas emisor, se irán estimulando en dicho trayecto innumerablesemisiones de fotones, lo que hace que la luz que sale finalmente del tubo, además deser monocromática, sea muy intensa comparada con la emitida por las fuentes de luzordinarias.

Estas dos propiedades hacen que sean muy numerosas las aplicaciones presentes yfuturas del láser. En geodesia y topografía se usa para alineación de puntos distantesespecialmente en túneles donde no se pueden usar teodolitos, en los laboratorios deóptica para la construcción de interferómetros, en la industria como finísimo cuchillo quecalienta y corta pequeñas áreas de diferentes materiales, o como borrador que vaporizala tinta de un papel sin calentar a éste.

También se emplea en la regulación de resistores de precisión y en la construcción demicrocapacitores y se está estudiando su uso en comunicaciones a larga distancia.Finalmente, una de las más espectaculares aplicaciones del láser consiste en laproducción de las interferencias de un frente de onda, debidas a la presencia del objetoque se quiere reproducir.

¿A qué se le llama radiación estimulada?_______________________________________________________________________

¿Qué significan las siglas de la palabra (láser)?_______________________________________________________________________

¿Por qué a la luz emitida por el láser se le llama monocromática?_______________________________________________________________________

Física molecular.

Conociendo ya la constitución de los átomos vamos a describir ahora la de las moléculase indicar el mecanismo de interacción de unos átomos con otros para formarlas.

Este estudio se conoce con el nombre de Física molecular y también en él rigen lasleyes de la mecánica cuántica siendo, como en el átomo, la atracción electrostática deCoulomb la que mantiene unidos a los átomos en el interior de la molécula.

ACTIVIDAD DE REGULACIÓN

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Sin embargo, ya que los átomos son eléctricamente neutros, dicha atracciónelectrostática tiene que ejercerse a través de algún proceso que separe las cargaseléctricas positivas y negativas de los átomos, y son dos los mecanismos que para ellose conocen, los cuales dan lugar a dos diferentes tipos de enlace entre los átomos deuna molécula: el enlace iónico o heteropolar y el enlace covalente o polar.

El enlace iónico entre dos átomos distintos ocurre cuando uno de ellos tiene tendencia aperder electrones y convertirse así en un ion positivo, y el otro tiene la tendenciaopuesta, es decir, la de ganar electrones para convertirse en un ion negativo. Lamolécula de cloruro de sodio o sal común es un ejemplo típico de enlace iónico entre losiones de Na+ y del Cl- que la componen. (Figura 60.7)

Figura 60.7. enlace iónico: a) un átomo de Na(Z = 11) cede un electrón a un átomo de Cl (Z =17).b) los iones resultantes se atraen formando una molécula de ClNa

En esta molécula, un electrón de átomo de sodio se transfiere al de cloro (Figura 60.7ª) yentre los dos iones resultantes que están cargados con carga de signo diferente, se creauna fuerza de atracción electrostática que es la causa de la formación de una moléculaestable (Figura 60.7b), ya que cuando la atracción es tal que los átomos estándemasiado próximos, interviene la repulsión entre los dos núcleos hasta conseguirse eldeseado equilibrio.

Por el contrario, el enlace covalente, del cual la molécula de H2 es un ejemplo muyconocido (Figura 60.8), funciona de tal manera que al aproximarse los dos átomos dehidrógeno (Figura 60.8ª), hacen que sus dos electrones sean compartidos por ambosátomos y actúe una atracción electrostática directa entre el núcleo de cada átomo y losdos electrones comunes, formándose así una estructura estable que es la molécula(Figura 60.8b).

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Figura 60.8. Enlace covalente: a) Dos átomos de hidrógeno con un electrón cada uno.b) Los dos átomos comparten sus electrones para formar una molécula de H2

El conocimiento de estos enlaces es de gran utilidad interatómica, estudio que traspasaya los límites de la Física para constituir el campo de actividades de la Química.

Fuerzas intermoleculares.

Veamos ahora cómo se combinan unas moléculas con otras para formar los cuerpos ensus diferentes estados de agregación.

De éstos, el estado sólido es el más interesante, ya que en él se manifiestan todos losdiferentes tipos conocidos de fuerzas intermoleculares.

Los sólidos, según dijimos en otra ocasión, están caracterizados desde el punto de vistamicroscópico, no solamente porque sus átomos están muy cercanos unos de otros, sinoporque están distribuidos de una manera simétrica formando una estructura cristalina, dediversos tipos geométricos, esto es, cúbica, tetragonal, hexagonal, etcétera.

Los enlaces entre los átomos que componen un cristal pueden ser, como en lasmoléculas iónicos y covalentes, pero además existen dos nuevos tipos de enlacesllamados metálico y de Van der Waals respectivamente.

El enlace iónico en cristales es semejante al correspondiente entre las moléculas. Porejemplo un cristal de cloruro de sodio (Figura 60.9) está formado por un reticulado cúbicocuyos vértices lo ocupan alternadamente átomos de cloro y de sodio. Estos últimostienen tendencia a ceder un electrón que es absorbido por los átomos de cloro,formándose así iones de distinto signo que originan una fuerza electrostática atractiva, lacual mantiene la estabilidad del cristal ya que las leyes de la mecánica cuántica impídenque los átomos se acerquen más de lo que las distancias interreticulares permiten.

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Figura 60.9. Enlace iónico en un cristal de cloruro de sodio, entre iones positivos de sodio (en rojo) ynegativos de cloro (en blanco)

El enlace en los cristales covalentes, de los cuales el diamante es un ejemplo (Figura60.10), -se debe a que cada átomo que en él participa contribuye con un electrón a launión a la unión mutua con los de sus átomos vecinos, y estos electrones se distribuyenentre dichos átomos, siendo, por decirlo así, compartidos por todos ellos y originándosede este modo, las fuerzas cohesivas características de este tipo de cristales.

Figura 60.10. Enlace covalente en un cristal de diamante. Cada átomo de carbono en el centro de un cubo(en negro) comparte sus electrones con los de los átomos vecinos (en gris) situados en los vértices del cubo.

El enlace llamado metálico, más débil que los anteriores, es característico, como sunombre lo indica, de los metales. Los átomos de estos elementos juntan sus niveles deenergía individuales en bandas de energía comunes a todo el cristal, y según ladistribución electrónica en dichas bandas los electrones libres del metal, es decir, los queestán menos ligados a los núcleos que el resto de los demás pueden moverse más omenos fácilmente entre los átomos fijos de tal manera que un campo eléctrico influyesobre ellos produciendo la corriente eléctrica que estudiamos desde el punto de vistamicroscópico.

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Según las características del metal, la movilidad de los electrones libres es mayor omenor, dando origen a los llamados respectivamente metales conductores y aislantes.

Existen también otros metales semiconductores que, como el silicio y el germanio,presenta, cuando están en estado puro, características intermedias de conductividad,pero que al ser mezclados con determinadas impurezas, o bien se mueven como cargaseléctricas negativas, o como huecos o burbujas de dichas cargas eléctricas lo cualequivaldría a conducir cargas positivas.

Esta interesante propiedad hace que al unir dos semiconductores de tipos diferentes, lazona de transición se comporte como una válvula que sólo deja pasar la corrienteeléctrica en una dirección. Estos rectificadores cristalinos llamados transistores estánreemplazando actualmente a los bulbos de vacío, con las ventajas sobre ellos que ya enotra ocasión mencionamos.

El máximo de estas ventajas se alcanza con los llamados circuitos integrados en loscuales un simple cristal semiconductor reemplaza a todo un circuito electrónico.

Debemos decir también que ciertos metales enfriados a temperaturas cercanas ya alcero absoluto pierden toda su resistencia eléctrica y adquieren la condición desuperconductores que los hace, además, impermeables a los campos magnéticos quese les apliquen.

El último tipo de enlace, que es además propiamente intermolecular, es debido a lasllamadas fuerzas de Van der Waals encontradas primero por el físico holandés JuanDiderico Van del Waals (1837-1923). Estas fuerzas son más débiles que las anterioresdescritas, pero están presentes, no sólo en los sólidos, sino también en los líquidos y enlos gases reales no se comporten exactamente como los gases ideales regidos por la yaconocida relación entre el volumen, la presión y la temperatura.

Las fuerzas de Van der Waals tienen un comportamiento –ya citado en otras ocasiones-tal que a grandes distancias son débilmente atractivas, y en cambio, a pequeñasdistancias son fuertemente repulsivas, existiendo una distancia de equilibrio que es laque da las dimensiones de la retícula del cristal.

Las fuerzas atractivas de este tipo, pueden deberse a tres mecanismos diferentesllamados respectivamente de orientación, de inducción y de dispersión.

La orientación se debe a que, en ciertos casos como en la molécula de agua, porejemplo, los constituyentes de las moléculas hacen que éstas presenten un dipoloelectrónico, es decir, una separación entre sus cargas positivas y negativas. Alaproximarse dos moléculas de este tipo (Figura 60.11a); aparece una fuerza eléctricaque hace que se orienten con la tendencia a unir las cargas de distintos signos.

Las fuerzas de inducción se deben a que una de las moléculas tiene un dipolo eléctricopermanente y la otra no lo tiene, pero en presencia de la primera (Figura 60.11b), suscargas se separan dirigiéndose las negativas hacia el polo positivo de la primeramolécula y apareciendo así en la segunda un dipolo induciendo así en la segunda undipolo inducido que es atraído electrostáticamente por el dipólo permanente de laprimera molécula.

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Finalmente, las fuerzas de dispersión –que son las más intensas de las fuerzasatractivas de Van der Waals-, se deben a que dos átomos cercanos se perturbanmutuamente, de tal modo que, aunque los electrones de un átomo repelen a los del otroy lo mismo ocurre con los núcleos respectivos, la atracción entre los núcleos de cadaátomo y los electrones del otro es tan intensa que vence a la repulsión anterior y elresultado total es una fuerza neta atractiva entre los dos átomos.

La cuarta fuerza de Van der Waals que es la repulsiva, se origina cuando dos átomos sepenetran mutuamente y entra en acción la repulsión entre sus núcleos de maneraparecida a lo que ocurría en el enlace iónico.

Figura 60.11. Fuerzas atractivas de Van der Waals: a) Orientación. b) Inducción. C) dispersión

¿Cómo se clasifica a los enlaces existentes entre los átomos que componen un cristal?_______________________________________________________________________

¿Cómo activa las fuerzas de Van der Waals y en dónde están pressentes a nivelmolecular?_______________________________________________________________________

¿A qué se le llama fuerzas de inducción?_______________________________________________________________________

¿Cómo se clasifican las fuerzas de Van der Waals?_______________________________________________________________________

ACTIVIDAD DE REGULACIÓN

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Bien, ahora ya sabes que a niveles de energía entre un átomo, uno inferior y unosuperior, pueden ocurrir tres clases de transiciones que implican radiaciónelectromagnética. Es así como las transiciones entre dos niveles de energía en unátomo puede ocurrir por absorción inducida, emisión espontanea y emisión inducida, esasí como actualmente se ha conseguido por diversos medios hacer subir electrones delnivel inferior al superior y mantener así las condiciones favorables para que se produzcael citado fenómeno de la radiación estimulada a una frecuencia determinada.

Este es el fundamento del aparato llamado láser. Conociendo ya la constitución de losátomos vamos a describir ahora la de las moléculas e indicar el mecanismo deintervención de unos átomos con otros para formarlos, dando tipos de enlaces, loscuales a través de su conocimiento de estos enlaces es de gran utilidad para el estudiode las combinaciones interatómicas, estudio que traspasa ya los límites de la Física, esasí como los enlaces entre los átomos que componen un cristal pueden ser, como en lasmoléculas iónicos y covalentes, pero además existen dos nuevos tipos de enlacesllamados metálicos y de Van der Waals. En éste último, las fuerzas atractivas de estetipo pueden deberse a tres mecanismos diferentes llamados respectivamente, deorientación, inducción y de dispersión.

EXPLICACIÓN INTEGRADORA

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El estudiante aplicará de sus conocimientos anteriores de Química, el tema de enlaces ysu clasificación, para relacionarlos con: conductores, semiconductores ysuperconductores, con la finalidad de comprender las “Bandas de Energía”.

RECOMENDACIONES:

- Para confirmar el aprendizaje, elaborar ejemplos de los conceptos aprendidos.

- Relacionar los enlaces con las bandas de energía.

- Con los conocimientos aprendidos, determinar aplicaciones.

- Establecer la relación de los conductores con la temperatura.

P R O P Ó S I T O

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2. EL ESTADO SÓLIDO

Un sólido consta de átomos, iones o moléculas íntimamente unidos, y esta proximidades responsable de las propiedades características de este estado de la materia. Losenlaces covalentes que participan en la formación de un molécula también se presentanen algunos sólidos. Además, enlaces iónicos, de Van der Waals y metálicosproporcionan las fuerzas de cohesión en sólidos cuyos elementos estructurales son,respectivamente, iones, moléculas y átomos metálicos. Todos estos enlaces implicanfuerzas eléctricas, de manera que sus diferencias esenciales residen en la distribuciónde electrones en torno a las diferentes partículas, cuya disposición regular forman unsólido.

2.1 SÓLIDOS CRISTALINOS Y AMORFOS

La mayoría de los sólidos son cristalinos. En ellos, los átomos, iones o moléculas quelos componen repiten patrones regulares tridimensionales. La presencia deordenamiento de largo alcance es, por tanto, definidora de las propiedades de un cristal.Otros sólidos carecen de ordenamientos de largo alcance en la disposición de suspartículas constituyentes, por lo que se pueden considerar propiamente como líquidoscongelados, cuya dureza se debe a una viscosidad excepcionalmente elevada. El vidrio,la resina y muchos plásticos son ejemplos de estos sólidos amorfos (“sin forma”).

Sin embargo, los sólidos amorfos presentan ordenamientos de corto alcance en susestructuras. La diferencia entre los dos tipos de ordenamiento se ve claramente en eltrióxido de boro(B2O3), que se puede presentar tanto en forma cristalina como en amorfa.En ambos casos, cada átomo de boro está rodeado por tres átomos de oxígeno, lo querepresenta un ordenamiento de corto alcance. En un cristal de B2O3, los átomos deoxígeno se presentan en formaciones hexagonales, como en la Figura 101, lo cual es unordenamiento de largo alcance, mientras que el B2O3 amorfo, sustancia vítrea, carece deesta regularidad adicional. Tenemos un ejemplo claro de un ordenamiento de cortoalcance en el agua, justo por encima del punto de fusión, momento en que presenta unadensidad más baja que a mayores temperaturas, debido a que las moléculas de H2Oestán agrupadas menos estrechamente cuando forman cristales que cuando tienenmayor libertad de movimiento.

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Fifura 10.1. Dos representaciones bidimensionales del B2O3 a) El B2O3 amorfo presenta sólo un ordenamientoDe corto alcance. B) El B2O3 cristalino presenta un ordenamiento de largo alcance.

Es importante proseguir con la analogía entre un sólido amorfo y un líquido paracomprender ambos estados de la materia. Generalmente se considera que los líquidosse parecen más a los gases que a los sólidos; después de todo, tanto líquidos comogases son fluidos y a temperaturas arriba del punto crítico ambos son indistinguibles.Sin embargo, desde el punto de vista microscópico, los líquidos y los sólidos tambiéntienen mucho en común. La densidad de un líquido dado se aproxima generalmente a ladel sólido correspondiente, por ejemplo, lo que sugiere que el grado de agrupación essemejante. Esta deducción se apoya en la comprensibilidad de estos estados. Además,la difracción de rayos X indica que muchos líquidos tienen estructuras definidas de cortoalcance en cualquier instante. Estas estructuras son semejantes a las de los sólidosamorfos, excepto en que las agrupaciones de las moléculas líquidas se desvíancontinuamente.

Como los sólidos amorfos son esencialmente líquidos, no tienen puntos de fusiónagudos. Podemos interpretar este comportamiento sobre una base microscópicaobservando que, como un sólido amorfo carece de patrón de orden mayor, los enlacesentre sus moléculas varían en fuerza. Cuando se calienta el sólido, los enlaces másdébiles se rompen a temperaturas más bajas que los otros, de manera que se vaablandando gradualmente. En un sólido cristalino, la transición entre ordenamientos delargo alcance y ordenamientos de corto alcance (o carencia total de ordenamiento)implica la ruptura de enlaces cuyas fuerzas son más o menos idénticas, y la fusión sepresenta a una temperatura definida con precisión.

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2.2 CRISTALES IÓNICOS

Los enlaces covalentes se producen cuando los átomos comparten pares de electronesde manera que se producen fuerzas de atracción. Los enlaces iónicos se producencuando átomos que tienen baja energía de ionización, y que pierden electrones confacilidad, entran en contacto con otros. Los primeros ceden electrones a los segundos,de modo que aquéllos se convierten en iones positivos y éstos en iones negativos. Enun cristal iónico, los iones forman una configuración en equilibrio, donde la fuerza deatracción entre iones de distinto signo predomina sobre la repulsión entre los de mismosigno. Al igual que en las moléculas, los cristales evitan su desmoronamiento debido ala influencia de las fuerzas de cohesión presentes por la acción del principio deexclusión, que exige la ocupación de los estados de energía más elevada cuando lascapas electrónicas de átomos diferentes se superponen y se enlazan entre sí.

La Tabla 10.1 contiene las energías de ionización de los elementos, y la Figura 10.2muestra cómo estas energías varían con el número atómico. No es difícil ver por qué lasenergías de ionización de los elementos varían de esta manera.

ENERGÍA DE IONIZACIÓN DE LOS ELEMENTOS: En electrón volts.I 2II Iie13.6 24.6

3 4 5 6 7 8 9 10Li Be B C N O F Ne5.4 9.3 8.3 11.3 14.5 13.8 17.4 21.6

11 12 13 14 15 16 17 18Na Mg Al Si P S Cl Ar5.1 7.6 6.0 8.11 11.0 10.4 13.0 15.8

19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36K Ca Sc Ti V Cr Mn Fe Co Ni Cu Zn Ga Ge As Se Br Kr4.3 6.1 6.6 6.8 6.7 6.8 7.4 7.9 7.9 7.6 7.7 9.4 6.0 7.9 9.8 9.8 11.8 14.0

37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54Rb Sr Y Zr Nb Mo Te Ru Rh Pd Ag Cd In Sn Sb Te I Xe4.2 5.7 6.5 7.0 6.8 7.1 7.3 7.4 7.5 8.3 7.6 9.0 5.8 7.3 8.6 9.0 10.5 12.1

55 56 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86Cs Ba Hf Ta W Re Os Ir Pt Au Hg Tl Pb Bi Po At Rn3.9 5.2 5.5 7.9 8.0 7.9 8.7 9.2 9.0 9.2 10.4 6.1 7.4 7.3 8.4 -- 10.7

87 88 IFr Ra-- 5.3

57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71La Ce Pr Nd Pm Sm Eu Cd TB Dy Ho Er Tm Yb Lu5.6 6.9 5.8 6.3 -- 5.6 5.7 6.2 6.7 6.8 -- 6.1 5.8 6.2 5.0

89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103Ac Th Pa U Np Pu Am Cm Bk Cf Es Fm Md No Lw-- 7.0 -- 6.1 -- 5.1 6.0 -- -- -- -- -- -- --

NÚMERO ATÓMICO

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Figura 10.2. Variación de la energía de ionización con el número atómico.

Por ejemplo, un átomo de cualquiera de los metales alcalinos del grupo I tiene un únicoelectrón s fuera de una subcarga cerrada. Los electrones de las cargas internasprotegen parcialmente al electrón externo de la carga nuclear + Ze, de manera que lacarga efectiva que sujeta al electrón externo al átomo es + e en vez de + Ze. Se tieneque realizar un trabajo relativamente pequeño para desprender un electrón de esteátomo, y los metales alcalinos forman fácilmente iones positivos. Cuanto mayor es elátomo, más alejado del núcleo se encuentra el electrón exterior (Figura 10.3) y más débiles la fuerza electrostática que actúa sobre él; ésta es la razón por la que la energía deionización disminuye generalmente a medida que descendemos en cualquier grupo. Elaumento en la energía de ionización, de la izquierda a derecha, a través de cualquierperíodo, se explica por el aumento en carga nuclear, mientras que el número deelectrones de blindaje internos permanece constante. Hay dos electrones en la capainterna de los elementos del período 2, y la carga nuclear efectiva que actúa sobre loselectrones externos de estos átomos es, por tanto, +(z –2)e. El electrón externo de unátomo de litio está unido al átomo por una carga efectiva de + c, mientras que cadaelectrón externo en el berilio, el boro, el carbono, etcétera, está unido a su átomo matrizpor cargas efectivas de + 2e, + 3c + 4e, etcétera.

En el extremo opuesto de los átomos de metales alcalinos, que tienden a perder suselectrones externos, se encuentran los átomos halógenos, que tienden a completar sussubcapas externas p capturando, cada una de ellas, un electrón. La afinidad electrónicade un elemento se define como la energía liberada cuando un electrón se incorpora a unátomo de cada elemento. Cuanto mayor es la afinidad electrónica, con mayor firmeza deenlaza el electrón incorporado. La Tabla 10.2 muestra las afinidades electrónicas de loshalógenos. En general, las afinidades electrónicas disminuyen cuando se desciende degrupo en grupo en la tabla periódica, y aumenta de izquierda a derecha dentro de cadaperíodo. La determinación experimental de las afinidades electrónicas es bastante difícily sólo se conocen con precisión las de algunos elementos.

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AFINIDADES DELECTRÓNICAS DE LOS HALÓGENOS en electrón volts.

Se puede presentar un enlace iónico entre dos átomos cuando uno de ellos tieneenergía de ionización baja y, por tanto, tiende a convertirse en ion positivo, mientras queel otro tiene una afinidad electrónica elevada y por tanto tiende a convertirse en ionnegativo. El sodio, que tiene una energía de ionización de 5.14 eV, es un ejemplo delprimero, y el cloro, que tiene una afinidad electrónica de 3.61 eV, es un ejemplo delsegundo. Cuando el ion Na+ y el ion Cl- se encuentran próximos y con libertad demovimiento, los une la fuerza electrostática de atracción que se establece entre ellos. Lacondición para que resulte una molécula estable de NaCl es sencillamente que laenergías total del sistema de los dos iones sea menor que la energía total de un sistemade dos átomos de los mismos elementos; si no es así, el electrón excedente en el ion Cl-se transferiría al ion Na y no se podrían enlazar por mucho tiempo los átomos neutros deNa y Cl. Veamos si este criterio se cumple en el caso del NaCl.

En general, en un cristal iónico cada ion se encuentra rodeado por tantos iones del signoopuesto como quepan, lo que conduce al máximo de estabilidad. Los tamaños relativosde los iones implicados gobiernan, por tanto, el tipo de estructura que se presenta. Enlas Figuras 10-4 y 10-5 se muestran dos tipos comunes de estructura que se encuentranen cristales iónicos.

Figura 10-4. a) Estructura cúbica centrada en las caras de un cristal de NaCl. El número de coordinación (número de losvecinos más próximos de cada ion) es 6.

b) Modelo a escala de un cristal de NaCl.

Flúor 3.45Cloro 3.61Bromo 3.36Yodo 3.06

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Fig 10-5. a) Estructura cúbica centrada en el cuerpo de un cristal de CsCl. El número de coordinación es 8. b) Modelo a escala de un cristal de CsCl.

En un cristal de cloruro sódico se puede considerar que los iones de ambos tipos seencuentran en los vértices y en los centros de las caras de un conjunto de cubos,intercalándose los conjuntos de Na+ y Cl-. De esta manera, cada ion tiene seis próximosvecinos de otra clase, consecuencia de la diferencia considerable de tamaño entre losiones Na+ y Cl-. Este tipo de estructura recibe el nombre de cúbica centrada en lascaras. Se observa una disposición diferente en los cristales de cloruro de cesio, dondecada ion se encuentra en el centro de un cubo cuyos vértices están ocupados por ionesdel otro tipo. Cada ion tiene ocho próximos vecinos del otro tipo en esta estructuracúbica centrada en el cuerpo, que resulta cuando los iones participantes soncomparables en tamaño.

La energía de cohesión en un cristal iónico es la energía que se liberaría en la formacióndel cristal a partir de átomos neutros individuales. La energía de cohesión se expresageneralmente en eV/átomo, en eV/molécula o en kcal/mol, donde “molécula” y “mol” serefieren aquí a conjuntos de átomos especificados por la fórmula del compuesto de quese trate (por ejemplo, NaCl en el caso de un cristal de cloruro sódico) aun cuando noexistan estas moléculas en el cristal.

La principal contribución a la energía de cohesión de un cristal iónico es la energíapotencial electrostática Vcoulomb de los iones. Consideremos un ion Na+ en NaCl. Susvecinos más próximos son seis iones Cl-, cada uno separado por una distancia r. Laenergía potencial del ion Na debida a estos seis iones Cl- es por tanto,

V1 = - rπf4

e60

2

28

Los siguientes vecinos más próximos son 12 iones Na+, separado cada uno por unadistancia √2r , ya que la diagonal de un cuadrado de lado r es √2r. La energía potencialdel ion Na+ debida a los 12 iones Na+ es

V2 = + r2fπ4

e12

0

2

Si se continúan sumando todos los iones + y – de un cristal de tamaño infinito, tenemoscomo resultado

Vcoulomb = - reπ4

e0

2

( )...+2

126

= - 1.748reπ4

e0

2

= -α reπ4

e0

2

Energía Coulomb de un cristal iónico

(Evidentemente, este resultado se mantiene también para la energía potencial de un ionCl-.) la cantidad a recibe el nombre de constante de Madelung del cristal y tiene idénticovalor para todos los cristales de la misma estructura. Cálculos similares para otrasvariedades de cristal conducen a diferentes constantes de Madelung: en cristales quetienen estructuras como las del cloruro de cesio (Figura 10.5), por ejemplo, α = 1.763, losde estructura parecida a la de la blenda de cinc (una forma de ZnS) tienen un α = 1.638.Las estructuras cristalinas simples tienen constantes de Madelung que van desde 1.6hasta 1.8.

La contribución de energía potencial de las fuerzas de repulsión debidas a la acción delprincipio de exclusión se puede expresar con una buena aproximación en la forma:

Vde repulsión = nrB

El signo de Vde repulsión es positivo, lo que corresponde a una interacción de repulsión, y ladependencia de r-n (donde n es un número grande) corresponde a una fuerza de cortoalcance que aumenta rápidamente cuando disminuye la distancia internuclear r. laenergía potencial total V de cada ion debida a sus interacciones con todos los demás es,por tanto,

V = Vcoulomb = + Vde repulsión

=reπ4

ae0

2

+ nrB

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En la separación de equilibrio r0 entre los iones V, es un mínimo por definición y, enconsecuencia, (dV/dr) = 0 cuando r = r0. Por tanto,

( )0r=1dr

dV =

200

2

reπ4ae

- 1+n0r

nB = 0

200

2

reπ4ae

= 1+n0r

nB

B = 110

2

eπ4ae

r0n-1

y la energía potencial total es

V = - 00

2

reπ4ae

( )n1

1

Es posible calcular el exponente n a partir de las comprensibilidades observadas de loscristales iónicos. El resultado promedio es n ≈ 9, lo que significa que la fuerza derepulsión varía bastante bruscamente con r: los iones son “duros” en vez de “blandos” yresisten bien el ser empacados estrechamente. A la distancia iónica de equilibrio, larepulsión mutua debida al principio de exclusión (distinta de la repulsión electrostáticaentre iones iguales) disminuye la energía potencial en un 11% aproximadamente.Evidentemente, el conocimiento preciso de n no es esencial; si n = 10 en vez de n = 9,Va variaría únicamente en un 1%.

En un cristal de NaCl, la distancia de equilibrio r0 entre iones es 2.81 A. como a = 1.748y n = 9, la energía potencial de un ion de cualquier signo es

V = - 00

2

reπ4ae

( )n1

1

= - )(

m10x81.2C10x60.1x748.1xC/mN10x9

10

219229

= - 1.27 x 10-18

= - 7.97 eV

Debido a que no podemos contar cada ion más de una vez, únicamente la mitad de estaenergía potencial, o sea, -3.99 eV, representa la contribución por ion a la energía decohesión del cristal.

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También tenemos que tomar en cuenta la energía necesaria para transferir un electróndel átomo de Na al átomo de Cl y formar un par de iones Na+ - Cl-. Esta energía detransferencia de electrones es la diferencia entre la energía de ionización + 5.14 eV delNa y la afinidad electrónica -3.61 eV del Cl, o sea, + 1.55 eV. Por tanto, cada átomoconstribuye con + 0.77 eV a la energía de cohesión a partir de esta fuente. Así, laenergía de cohesión total por átomo es

Ede cohesión = (-3.99 + 0.77)eV/átomo = 3.22 eV/átomo

Una cifra empírica de la energía de cohesión de un cristal iónico se puede obtenermidiendo su temperatura de evaporación, su energía de disociación y su energía deintercambio de electrones. El resultado, en el caso del NaCl, es 3.28 eV, que concuerdacompletamente con el valor teórico calculado.

La mayoría de los sólidos iónicos son duros, debido a la solidez de los enlaces entre susiones constituyentes, y tienen elevados puntos de fusión. Generalmente también sonquebradizos, ya que el deslizamiento entre sí de los iones, en que explica la ductilidadde los metales, se evita por la ordenación de los iones positivos y negativos impuestapor la naturaleza de los enlaces. Los líquidos polares, como el agua, pueden disolvermuchos cristales iónicos, pero los líquidos covalentes, como la gasolina, generalmenteno pueden hacerlo.

¿De qué está constituido un sólido?_______________________________________________________________________

¿Por qué son considerados algunos sólidos amorfos? Cita 3 ejemplos._____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

¿A qué se debe que los sólidos amorfos son esencialmente líquidos?_______________________________________________________________________

¿Cuándo se originan los enlaces covalentes?_______________________________________________________________________

¿Cómo se define la afinidad electrónica de un elemento?_______________________________________________________________________

¿Qué es la energía de cohesión en la formación de un cristal?_______________________________________________________________________

ACTIVIDAD DE REGULACIÓN

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2.3 CRISTALES COVALENTES

Las fuerzas de cohesión en los cristales covalentes surgen de la presencia de electronesentre átomos adyacentes. Cada átomo que participa en un enlace covalente contribuyecon un electrón al enlace, y estos electrones son compartidos por ambos átomos enlugar de ser propiedad exclusiva de uno de ellos, como en el enlace iónico. El diamantees un ejemplo de cristal cuyos átomos están unidos por enlaces covalentes. La Figura10.6 muestra la estructura de un cristal de diamante; la disposición tetraédrica esconsecuencia de la capacidad de cada carbono para formar enlaces covalentes concuatro átomos más (ver Figura 8.16).

Los cristales puramente covalentes son relativamente raros en número. Además deldiamante, otros ejemplos son el silicio, el germanio y el carburo de silicio; en el SiCmcada átomo está rodeado por cuatro átomos del otro tipo en la misma estructuratetraédrica que la del diamante. Todos los cristales covalentes son duros (el diamantees la sustancia más dura que se conoce, y el SiC es el abrasivo industrial carborundo),tienen puntos de fusión elevados y son insolubles en todos los líquidos ordinarios,comportamiento que refleja la fuerza de los enlaces covalentes. Energías de cohesiónde 3 a 5 eV/átomo son comunes en los cristales covalentes. Este es el mismo orden demagnitud de las energías de cohesión en los cristales iónicos.

Figura 10.6. a) Estructura tetraédrica del diamante. El número de coordinación es 4b) Modelo a escala del cristal de diamante.

Hay varias maneras de averiguar si los enlaces en un cristal dado no metálico y nomolecular son predominantemente iónicos o covalentes. En general, un compuesto deun elemento del grupo I o II de la tabla periódica, con uno del grupo VI o VII presentaenlace iónico en el estado sólido. Otra guía es el número de coordinación del cristal, quees el número de vecinos más próximos en torno a cada partícula constituyente. Unnúmero de coordinación elevado sugiere un cristal iónico, ya que es difícil ver cómo unátomo puede formar puramente enlaces covalentes con otros seis átomos (en

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estructuras cúbicas centradas en las caras, como la del NaCl) o con otros ocho átomos(en estructuras cúbicas centradas en el cuerpo, como la del CsCl). Sin embargo, unnúmero de coordinación de 4, como en la estructura del diamante, es compatibleexclusivamente con el carácter covalente. Por supuesto, como ocurre con lasmoléculas, no siempre es posible clasificar un cristal particular como totalmente iónico ocovalente: el AgCl, cuya estructura es la misma que la del NaCl, y el CuCl, cuyaestructura se parece a la del diamante, tienen ambos enlaces de carácter intermedio,como ocurre con muchos otros sólidos.

2.4 FUERZAS DE VAN DER WAALS

Todos los átomos y las moléculas –aun átomos de gases inertes, como los del helio y elargón- presentan atracciones débiles, de corto margen entre sí debidas a fuerzas de vander Waals. Estas fuerzas son responsables de la condensación de los gases en líquidosy de la congelación de líquidos para formar sólidos, a pesar de la ausencia demecanismos de la materia en general, como la fricción, la tensión superficial, laviscosidad, la adhesión, la cohesión, etcétera, se deben a las fuerzas de van del Waals.La atracción de van del Waals entre dos moléculas colocadas a una distancia r esproporcional a r-7, de manera que es significativa solamente para moléculas que seencuentran muy juntas.

Notamos que muchas moléculas tienen momento bipolar eléctrico permanente(moléculas polares). Un ejemplo es la molécula de agua, H2O, donde la concentraciónelectrónica en el átomo de oxígeno hace que este extremo de la molécula sea másnegativo que el ocupado por los átomos de hidrógeno. Estas moléculas tienden aalinearse unas con otras, de modo que los extremos de signo opuesto quedenadyacentes, como en la Figura 10.7. En esta posición, las moléculas se atraenfuertemente entre sí.

Figura 10.7. Las moléculas polares se atraen

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Una molécula polar es capaz también de atraer a otras moléculas que no tienennormalmente momento bipolar. El fenómeno se representa en la Figura 10.8; el campoeléctrico de la molécula polar produce una separación de cargas en la otra molécula, demodo que se crea un momento inducido en el mismo sentido que el de la molécula polar.El resultado es la aparición de una fuerza de atracción. (El efecto es el mismo que elque se produce en la atracción de una pieza de hierro no magnética por otra que sí loes).

Figura 10.8. Las moléculas polares atraen a moléculas polarizables.

Notablemente, dos moléculas no polares se pueden atraer entre sí por el mecanismoexpuesto anteriormente. Aun cuando la distribución de electrones en una molécula nopolar es simétrica en promedio, los electrones en sí están en movimiento constante, y encualquier instante dado una parte u otra de la molécula tiene un exceso de ellos. Enlugar de la asimetría de carga fija de una molécula polar, una molécula no polar presentauna asimetría constantemente cambiante. Cuando dos moléculas no polares seencuentran lo suficientemente cerca, sus distribuciones de carga fluctuante tienden acambiar simultáneamente. Los extremos adyacentes presentan siempre signosopuestos (Figura 10.9) y por ello siempre causan una fuerza de atracción. Este tipo defuerzas debe su nombre al físico alemán Van der Walls, quien sugirió su existencia, haceaproximadamente un siglo, para explicar algunas divergencias observadas en la ley delgas ideal; la explicación del mecanismo real de la fuerza es, por supuesto, más reciente.

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Las fuerzas de van der Waals son mucho más débiles que las encontradas en losenlaces iónico o covalente. Como resultado, los cristales tienen puntos de fusión yebullición bajos y su resistencia mecánica es pequeña. Las energías de cohesión sonbajas, únicamente 0.08 eV/átomo en el argón sólido (punto de fusión -256ºC) y 0.1eV/molécula en el metano sólido, CH (punto de fusión 183ºC).

Entre algunas moléculas que contienen átomos de hidrógeno se presenta un tipo deenlace de van der Waals especialmente fuerte, denominado enlace hidrógeno. Ladistribución de electrones en este átomo está tan distorsionada por la afinidad del átomo“matriz” hacia los electrones, que cada átomo de hidrógeno, en esencia, ha donado lamayor parte de su carga negativa al átomo matriz dejando atrás un protón pobrementeprotegido. De ello, resulta una molécula con una carga positiva localizada, que es capazde vincularse con la concentración de carga negativa de otra parte en otra molécula delmismo tipo. Aquí el factor clave es el tamaño real pequeño del protón pobrementeblindado, ya que las fuerzas varían con r-2.

Las moléculas de agua son excepcionalmente propensas a formar enlaces hidrógeno,debido a que los cuatro pares de electrones en torno al átomo de O ocupan orbitaleshíbridos sp3 que se proyectan hacia fuera como si fueran los vértices de un tetraedro(Figura 10.10). Los átomos de hidrógeno se encuentran en dos de estos vértices, queen consecuencia presentan cargas positivas localizadas, mientras que los otros dosvértices presentan cargas negativas algo más difusas. Cada molécula de H2O puede,

Figura 10-9. En promedio las moléculas no polares tienen distribuciones decarga simétrica, pero en todo instante las distribuciones son asimétricas. Las

fluctuaciones en las distribuciones de carga de las moléculas próximas secoordinan según se indica lo que produce una fuerza de atracción entre ellas

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por tanto, formar enlaces hidrógeno con otras cuatro moléculas de H2O; en dos de estosenlaces, la molécula central proporciona los protones de unión, y en las otras dos losdan las moléculas enlazadas. En el estado líquido, los enlaces hidrógeno entremoléculas de H2O adyacentes se están rompiendo continuamente y volviéndose aformar debido a la agitación térmica; pero, aun así, en cualquier instante las moléculassiguen combinadas en grupos definidos. En el estado sólido, estos grupos son grandesy estables y constituyen cristales de hielo.

Figura 10.10. En una molécula de H2O los cuatro pares de electrones de valencia en torno al átomo de oxígeno(seis aportados por el átomo O y uno por cada átomo de H) ocupan cuatro orbitales híbridos sp3 que forman unafigura tetraédrica. Cada molécula de H2O puede formar enlaces hidrógeno con otras cuatro moléculas de H2O.

El modelo hexagonal característico de un cristal de hielo (Figura 10.11) tiene su origenen la disposición tetraédrica de los cuatro enlaces hidrógeno en los que puede participarcada molécula de H2O. Con únicamente cuatro próximos vecinos en torno a cadamolécula, los cristales excepcionalmente baja del hielo. Debido a que los racimosmoleculares son menores y menos estables en el estado líquido, las moléculas de aguaestán en promedio más íntimamente unidas que las moléculas de hielo, y el agua tieneuna densidad mayor: por tanto, el hielo flota. La densidad del agua aumenta de 0º a unmáximo a los 4ºC, a medida que los grupos de moléculas grandes de H2O se rompenpara formar otros más pequeños que ocupan menos espacio en el agregado; sólo apartir de los +4ºC se manifiesta la expansión térmica normal de un líquido, disminuyendola densidad a medida que aumenta la temperatura.

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Figura 10.11. Vista superior de un cristal de hielo que muestra la disposición hexagonal abierta de las moléculas deH2O. Cada molécula tiene cuatro vecinos próximos a las cuales está unida por enlaces hidrógeno.

2.5 EL ENLACE METÁLICO

El concepto fundamental en que se basa la teoría de los metales es que los electronesde valencia de los átomos que forman el metal pueden ser comunes al agregadoatómico global, de modo que una especie de “gas” de electrones libres lo llena todo. Lainteracción entre este gas electrónico y los iones positivos del metal da lugar a una granfuerza de cohesión. La presencia de tales electrones explica con claridad las altasconductividades eléctricas y térmicas, la opacidad, el brillo de la superficie y otraspropiedades específicas de los metales. Sin duda, tanto en un metal como en cualquiersólido, los electrones no son capaces de moverse en su interior con completa libertad.Siempre están influidos en alguna forma por las otras partículas presente, y cuando seprofundiza en la teoría de los metales, para incluir estas complicaciones, surge unaimagen intuitiva que concuerda totalmente con los datos experimentales.

Se podría obtener cierto conocimiento sobre la capacidad de los átomos metálicos paraenlazarse y formar cristales de tamaño ilimitado, considerando el enlace metálico comoun enlace covalente no saturado. Comparemos el proceso de unión en dos miembrosdel grupo 1 del sistema periódico: el hidrógeno y el litio. Una molécula de H2 tiene doselectrones ls con spines opuestos; el máximo número de electrones K que puede tener.Esta molécula H2 está, por tanto, saturada, ya que el principio de exclusión exige quecualquier electrón adicional esté en un estado de energía mayor, y la unión estable decada átomo H adicional no se puede presentar, a menos que sus electrones estén en elestado ls. En principio, puede parecer que el litio está obligado a comportarse de unamanera similar teniendo la configuración electrónica ls22s. Hay , sin embargo, seisestados 2p sin llenar en cada átomo de Li, cuyas energías son ligeramente mayores quela de los estados 2s. Cuando un átomo de Li se acerca a una molécula de Li2 se une aella fácilmente, con un enlace covalente, sin violar el principio de exclusión, y la moléculaLi3, resultante es estable, ya que todos sus electrones de valencia permanecen en capasL. No hay límite para el número de átomos de Li que pueden unirse de esta manera, yaque el litio forma un cristal enlace, cada uno de éstos supone un cuarto de electrón portérmino medio, en lugar de los dos que son necesarios en un enlace covalente ordinario.

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Existe así un enlace no saturado. Esto se aplica igualmente para los enlaces de otrosmetales.

Una consecuencia del carácter no saturado del enlace metálico es el hecho de que laspropiedades de una mezcla de átomos metálicos diferentes no dependen críticamentede la proporción de cada tipo de átomos, con tal que sus tamaños sean semejantes.Así, las características de una aleación generalmente varían con facilidad cuandocambia su composición, en contraposición con las proporciones atómicas específicasencontradas en sólidos iónicos y en sólidos covalentes, como el SiC.

La consecuencia más notoria de los enlaces no saturados en un metal es la capacidadque tienen los electrones de valencia de errar libremente de átomo en átomo. Paracomprender intuitivamente este fenómeno, podemos pensar que cada electrón devalencia se mueve constantemente de enlace en enlace. En el sólido Li, cada electrónparticipa en ocho enlaces, de manera que gasta poco tiempo entre dos pares de ionesLi+. El electrón no puede recordar (por decirlo así) a cuál de los dos iones pertenece enrealidad, y es más fácil que se mueva hacia un enlace que de ninguna manera impliquea su ion matriz. Por tanto, los electrones de valencia de un metal se comportan de unamanera muy similar a las moléculas de un gas.Como en el caso de cualquier otro sólido, los átomos de metal se adhieren debido a quesu energía colectiva es más baja cuando están enlazados que cuando existen comoátomos separados. Para comprender por qué se presenta esta reducción de energía enun cristal metálico, notamos que, debido a la proximidad de los iones, cad electrón devalencia, en promedio, está más próximo a uno u otro núcleo de lo que estaría siperteneciese a un átomo aislado. En consecuencia, la energía potencial del electrón esmenor en el cristal que en el átomo, y la disminución de la energía potencial es laresponsable del enlace metálico.

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Sin embargo, hay que considerar otro factor. Mientras que la energía potencial delelectrón se reduce en un cristal metálico, la energía cinética del electrón aumenta. Loselectrones libres en un metal constituyen un sistema único de electrones y el principio deexclusión prohíbe que más de dos de ellos (uno por spin) ocupen cada nivel de energía.A primera vista parecería que, utilizando de nuevo al litio como ejemplo, sólo ochoelectrones de valencia en todo un cristal de Li ocuparían/estados cuánticos n = 2; losdemás se verían forzados a estados cada vez mayores de energía, de manera que todala estructura quedaría destruida. Lo que ocurre, en realidad, es menos dramático. Losniveles de energía de valencia de los diferentes átomos metálicos se alteran todos porsus interacciones y se produce una banda de energía que consta de tantos niveles deenergía estrechamente espaciados como número total de niveles de energía de valenciaen todos los átomos de cristal. En consecuencia, los electrones libres tienen unaenergía cinética que oscila entre 0 y un máximo uf llamada energía Fermi; la energíaFermi en el litio, por ejemplo, es 4.72 eV, y la energía cinética promedio de loselectrones libres en el litio metálico es 2.8 eV. Como la energía cinética del electrón esuna cantidad positiva, su aumento en el metal por encima de su valor en los átomosseparados conduce a una repulsión.

El enlace metálico se presenta cuando la atracción entre los iones metálicos positivos yel gas de electrones excede la mutua repulsión de los electrones en este gas, esto es,cuando la reducción de la energía potencial del electrón excede en magnitud al aumentoconcomitante en la energía cinética del electrón. Cuanto mayor es el número deelectrones de valencia por átomo, más elevada es en promedio la energía cinética en uncristal metálico, pero sin que haya una caída proporcional en la energía potencial. Por

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esta razón, los elementos metálicos se encuentran casi todos en los primeros tresgrupos de la tabla periódica. Algunos elementos se encuentran en la línea dedemarcación y pueden formar cristales, tanto metálicos como covalentes. El estaño esun ejemplo notable. Por encima de 13.2ºC tenemos el metal “estaño blanco”, cuyosátomos tienen seis vecinos próximos. Por debajo de 13.2ºC tenemos el sólido covalente“estaño gris” son sustancias bien diferentes; por ejemplo, tienen densidades respectivasde 5.8 y 7.3 g/cm3, y el estaño gris es un semiconductor, mientras que el estaño blancotiene la elevada conductividad eléctrica común de un metal.

2.6 LA TEORÍA DE BANDAS DE LOS SÓLIDOS

En casi todos los sólidos cristalinos, sean metálicos o no, los átomos están tan próximosentre sí, que los electrones de valencia constituyen un sistema único de electronescomunes a todo el cristal. Este sistema de electrones cumple el principio de exclusión,puesto que los estados de energía de las capas externas de los átomos están todosalterados de alguna manera por sus interacciones mutuas. En lugar de cada nivel deenergía de características bien definidas de un átomo individual, todo el cristal poseeuna banda de energía compuesta de una miriada de niveles muy próximos unos a otros.El existir en el cristal tantos niveles como átomos, la banda no se puede distinguir de undesarrollo continuo de energías permitidas. La presencia de bandas de energía, lossaltos que pueden existir entre ellas, y el grado en que pueden estar llenos porelectrones, no sólo determinan el comportamiento de un sólido, sino también tienen unainfluencia importante en otras de sus propiedades.Hay dos maneras de considerar el origen de las bandas de energía. La más sencilla esinvestigar qué ocurre a los niveles de energía de átomos aislados cuando se hace quese vayan aproximando para formar un sólido. Abordaremos el tema de esta manera yexaminaremos así alguna de las consecuencias de la noción de bandas de energía.Más adelante analizaremos las bandas de energía en función de las restriccionesimpuestas por la periodicidad de una red cristalina en el movimiento de los electrones,este enfoque, más importante, proporciona la base de gran parte de la teoría modernade los sólidos.

La Figura 10.12 muestra los niveles de energía en el sólido en función de la distanciaintermolecular. El nivel 3s es el primer nivel ocupado en el átomo de sodio que seensancha y forma una banda; el nivel 2p no empieza a ensancharse hasta que laseparación entre núcleos es bastante pequeña. Este comportamiento refleja la maneracomo las subcargas electrónicas del átomo de sodio se comportan al irse uniendo losátomos. Las energías medias en las bandas 3p y 3s caen al principio, implicandofuerzas de atracción. La distancia internuclear real en el sodio sólido queda indicada, ycorresponde a una situación de energía media mínima.

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Figura 10.12 Los niveles de energía del sodio se convierten en bandas a medida que disminuye su distanciainternuclear. La distancia internuclear observada en el sodio sólido es 3.67 λ

Las bandas de energía en un sólido corresponden a los niveles de energía de un átomo,de modo que un electrón en un sólido puede poseer aquellas energías que caen dentrode estas bandas. En un sólido, las bandas se pueden traslapar (Figura 10.13), en cuyocaso sus electrones tienen una distribución continua de energías permitidas. En otrossólidos, las bandas no se pueden traslapar (Figura 10.14) y los intervalos entre ellasrepresentan energías que no pueden poseer los electrones. Estos intervalos reciben elnombre de bandas prohibidas. El comportamiento eléctrico de un sólido cristalinodepende de la estructura de sus bandas de energía y de cómo estén ocupadasnormalmente por electrones.

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Figura 10.13. Las bandas de energía en un sólido pueden traslaparse.

Figura 10.14. Una banda prohibida separa bandas de energía que no se traslapan.

Figura 10.15. Niveles de energía en el átomo deSodio y bandas correspondientes en el sodiosólido (no a escala). Ver Figura 10.12

La Figura 10.15 es un diagrama simplificado de los niveles de energía de un átomo desodio y de las bandas de energía del sodio sólido. El átomo de sodio tiene solamente unelectrón 3s en su capa externa. Esto significa que la banda 3s en un cristal de sodioestá ocupada sólo a la mitad, ya que cada nivel en la banda, como en el átomo, es sólo

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capaz de contener dos electrones. Cuando se aplica un campo eléctrico a un trozo desodio, los electrones, mientras permanecen en sus bandas de energía originales,adquieren fácilmente energía adicional. Esta energía se encuentra en forma de energíacinética, de modo que el movimiento de electrones contribuye a crear una corrienteeléctrica. De esta manera, el sodio resulta ser un buen conductor de la electricidad, lomismo que otros sólidos cristalinos que tienen bandas de energía sólo parcialmentellenas.

La Figura 10.16 es un diagrama simplificado de energía del diamante. Hay una bandade energía totalmente ocupada por electrones, separada por un salto de 6 eV de labanda vacía que está por encima de ella. Esto quiere decir que hay que suministrar 6eV de energía adicional a un electrón en un cristal de diamante para que pueda tenerenergía cinética, ya que no puede tener una energía comprendida en una bandaprohibida. Un aumento de energía de esta magnitud no puede suministrarse fácilmentea un electrón en un cristal por medio de un campo eléctrico. Un electrón que se mueveen un cristal choca con una imperfección de la red cristalina después de un recorridomedio de alrededor de ∼10-8m, de modo que en el choque pierde mucha de la energíaobtenida del campo eléctrico. Es necesaria una intensidad de campo eléctrico de 6 x108V/m para que un electrón gane 6 eV en un recorrido de 10-8m. Esta cantidad es másde 1010 veces mayor que la requerida para producir corriente en el sodio. El diamantees, por tanto, un mal conductor de la electricidad y, en consecuencia, está clasificadocomo un aislante.

Figura 10.16. Bandas de energía en elDiamante (no a escala)

El silicio tiene una estructura cristalina parecida a la del diamante y, como en eldiamante, un espacio separa la parte superior de una banda de energía llena de labanda vacía siguiente. Sin embargo, la banda prohibida en el silicio tiene una amplitudde sólo 1.1 eV. A temperaturas bajas, el silicio es un conductor un poco mejor que eldiamante, pero a temperatura ambiente, una pequeña proporción de sus electronesposeen la energía cinética de origen térmico necesaria para saltar sobre la bandaprohibida, y entrar en la banda de energía superior. Estos electrones son suficientespara permitir que circule algo de corriente cuando se aplica un campo eléctrico. El siliciotiene una resistividad eléctrica intermedia entre un conductor y un aislante; o sea, es unsemiconductor.

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La resistividad de los semiconductores puede ser afectada considerablemente porpequeñas cantidades de impurezas. Supongamos que introducimos unos cuantosátomos de arsénico en un cristal de silicio. Los átomos de arsénico tienen cincoelectrones en su capa externa, mientras que los de silicio sólo tienen cuatro. (Laconfiguración de estas capas son 4s24p3 y 3s23pr respectivamente). Cuando un átomode arsénico sustituye a uno de silicio en un cristal de silicio, cuatro de sus electronesforman enlaces covalentes con los átomos más próximos. El quinto electrón necesitapoca energía para separarse y moverse en el cristal. Como se observa en la Figura10.17, la presencia de arsénico como impureza da lugar a niveles de energía por debajode la banda que los electrones deben ocupar para que tenga lugar la conducción. Estosniveles reciben el nombre de niveles aceptores, y la sustancia correspondiente se llamasemiconductor tipo n, ya que la corriente eléctrica en él es transportada por las cargasnegativas.

Figura 10.17. Indicios de arsénico en un cristal de silicio dan lugar a niveles aceptores en la banda normalmente prohibida, produciendo un semiconductor tipo-n.

Si, por el contrario, incorporamos átomos de galio a un cristal de silicio, se presenta unefecto diferente. Los átomos de galio tienen solamente tres electrones en sus capasexternas, cuya configuración es 4s24p, y su presencia deja vacantes, denominadashuecos, en la estructura electrónica del cristal. Un electrón requiere poca energía paraentrar en un hueco, pero al hacerlo deja un nuevo hueco en su emplazamiento anterior.Cuando se aplica un campo eléctrico a través de un cristal de silicio que contengaindicios de galio, los electrones se desplazan hacia el ánodo de hueco en hueco. El flujode corriente se describe aquí convenientemente haciendo referencia a los huecos, cuyocomportamiento es como el de las cargas positivas, ya que se mueven hacia el electrodonegativo. Una sustancia de este tipo recibe el nombre de semiconductor tipo p.(Algunos metales, como el cinc, conducen principalmente corriente por movimiento dehuecos). En el diagrama de bandas de energía de la Figura 10.18 vemos que lapresencia de galio proporciona niveles de energía, llamados niveles aceptores, justo porencima de la banda llena más alta. Todos los electrones que ocupan estos niveles dejantras de sí, en la banda que llenaron con anterioridad, vacantes que permiten el flujo decorriente eléctrica.

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Figura 10.18. Indicios de galio en un cristalDe silicio dan lugar a niveles aceptores en labanda normalmente prohibida, produciendo unsemiconductor tipo p-.

Respecto a la información referente a los tipos de cristales, completa las siguientescolumnas:

ENLACE EJEMPLOS PROPIEDADES

Iónico

Covalente

Metálico

Molecular

¿Cómo actúan los electrones de valencia en el principio de exclusión en la teoría debanda de los sólidos?

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ACTIVIDAD DE REGULACIÓN

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2.7 ESPECTROS DE LÍNEA

La radiación proveniente de los átomos puede ser clasificada en espectros continuos yespectros discretos o de líneas. En un espectro continuo se emiten todas las longitudesde onda, desde un mínimo, quizás el cero, a algún máximo, quizás aproximándose alinfinito. La radiación de un objeto caliente que brilla es un ejemplo de esta categoría. Sesabe que la luz blanca es una mezcla de todos los distintos colores de la luz visible; unobjeto que se observa blanco por el calor, está emitiendo luz en todas las frecuencias delespectro visible. Si, por otro lado, se hace una descarga eléctrica en un tubo quecontiene una pequeña cantidad del gas o el vapor de un elemento, como el mercurio, elsodio, o el neón, se emite luz en ciertas longitudes de onda discretas y no en algunaotra. En la Figura 6.17 se muestran ejemplos de tales espectros de “líneas”, las líneasintensas de 436 nm (azul) y de 546 nm (verde) en el espectro del mercurio producen untinte azul verdoso en las luces mercuriales de las calles; la línea intensa amarilla de 590nm en el espectro del sodio (la cual es realmente un doblete –dos líneas muy cercanasentre sí) produce un suave color amarillento en las luces de vapor de sodio delalumbrado público. La línea roja del neón es la responsable del color rojo de los“anuncios de neón”.

Figura 6.17 Aparato para observar espectros de líneas. Se emite luzcuando se produce una descarga eléctrica en un tubo que contiene elvapor de un elemento. La luz pasa a través de un medio dispersivo, talcomo un prisma o una rejilla de difracción, el cual dispone las longitudesde onda componentes en posiciones diferentes. Como ejemplos, semuestran los espectros de líneas del mercurio y del sodio en el visible y elultravioleta cercano.

Otro experimento posible consiste en pasar un haz de luz blanca, que contiene todas laslongitudes de onda, a través de una muestra del gas. Cuando se hace esto, seencuentra que ciertas longitudes de onda han sido absorbidas por la luz y resulta denuevo un espectro de líneas. Estas longitudes de onda corresponden a muchas (perono a todas) de las longitudes de onda que se observan en el espectro de emisión. En lafigura 6.18 se muestran ejemplos.

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Figura 6.18 Aparato para observar espectros de absorción. Una fuente deluz produce un continuo de longitudes de onda, algunas de las cuales sonabsorbidas por un elemento en fase gaseosa. La luz se dispersa, como semuestra en la figura 6.17 El resultado es un espectro continuo tipo “arcoiris”, con líneas oscuras a las longitudes de onda donde la luz fueabsorbida por el gas.

Figura 6.19 Series espectrales de emisión y de absorción del hidrógeno.Nótense las regularidades en el espaciamiento de las líneas espectrales.Las líneas se van acercando entre sí a medida que se alcanza el límite decada serie (líneas punteadas). Sólo la serie de Lyman aparece en elespectro de absorción, mientras que todas las series están presentes en elespectro de emisión.

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En general, la interpretación de los espectros de líneas es muy difícil para los átomoscomplejos; por lo tanto, se tratará exclusivamente el estudio del espectro de líneas delátomo más simple, el hidrógeno. Este espectro, debido a la simplicidad del átomo conun solo electrón, exhibe regularidades en el espectro de emisión y en el espectro deabsorción, las cuales se muestran en la figura 6.19. Nótese que, como con los otrosespectros, no todas las líneas presentes en el espectro de emisión se encuentranpresentes en el espectro de absorción.

En la discusión de la radiación de cuerpo negro, se encontró un ejemplo del “métodocientífico al revés”, en el cual, en ausencia de una teoría que explicara los datos, se tratade encontrar una función que se ajuste a los datos, para tratar luego, de encontrar unateoría que explique la función derivada. Un maestro de escuela suizo, llamado JohannesBalmer, notó que las longitudes de onda del grupo de líneas de emisión del hidrógeno,en la región visible, podrían ajustarse con bastante precisión por medio de la fórmula

λ = 364.5 4n

n

2

2

Fórmula de Balmer (6.26)

donde λ está en unidades de nm y n puede tomar valores enteros empezando con el 3.por ejemplo, para n = 3, λ = 656.1 nm. Esta fórmula se le conoce ahora como la fórmulade Balmer y la serie de líneas a las cuales se ajusta se le llama la serie de Balmer. Lalongitud de onda 364.5 nm, que corresponde a n - ∞, es llamada el límite de la serie.Pronto se descubrió que todos los grupos de líneas en el espectro del hidrógeno podíanajustarse por medio de una fórmula similar del tipo

λ = λlímite 22

2

rn

n(6.27)

donde λlímite es la longitud de onda del límite de la serie apropiada y donde n tomavalores enteros empezando con n0 + 1. (Obviamente, n0 = 2 para la serie de Balmer). Alas otras series se les conoce ahora como series Lyman (n0 = 1), Parchen (n0 = 3),Brackett (n0 = 4) y Pfund (n0 = 5).

Otra propiedad interesante de las longitudes de onda del hidrógeno se resume en elprincipio de combinación de Ritz. Si se convierten las longitudes de onda de emisión delhidrógeno a frecuencias, se encuentra la curiosa propiedad de que ciertos pares defrecuencias, al sumarse, dan otras frecuencias que aparecen en el espectro.

Cualquier modelo satisfactorio del átomo de hidrógeno debe ser susceptible de explicarla razón de estas interesantes regularidades aritméticas en los espectros de emisión.

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¿Cómo se clasifican la radiación proveniente de los átomos?______________________________________________________________________________________________________________________________________________

¿Qué es un espectro continuo y de líneas?______________________________________________________________________________________________________________________________________________

¿Cuál es la unidad que se utiliza en lambda (7) longitud de onda en los espectros deemisión?______________________________________________________________________________________________________________________________________________

¿Qué propone el principio de combinación de Ritz?______________________________________________________________________________________________________________________________________________

Ejemplo

El límite de serie de Pachen (n0 = 3) es 820.1 nm. ¿Cuáles son las longitudes de ondamás largas de la serie de Parchen?

Solución:

De la ecuación (6.27),

λ 820.1 22

2

3n

nn = 4, 5, 6, …

Las tres longitudes de onda más largas son:

n = 4: λ = 820.1 22

2

34

4 = 1875 nm

ACTIVIDAD DE REGULACIÓN

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n = 5: λ = 820.1 22

2

35

5 = 1281 nm

n = 6: λ = 820.1 22

2

36

6 = 1094 nm

Estas transiciones están en la región infrarroja del espectro electromagnético.

Demostrar que la longitud de onda más larga de la serie de Balmer y las dos longitudesde onda más largas de la serie de Lyman satisfacen el principio de combinación de Ritz.Para la serie de Lymanm λlímite = 91.13 nm.

Sólidos moleculares

Ninguno de los sólidos que se han examinado hasta ahora se pueden considerar comocompuesto de moléculas individuales, sin embargo, es posible que las moléculas ejerzanfuerzas una sobre otra y que se unan para formar sólidos. Puesto que las moléculastienen electrones compartidos en enlaces moleculares, no hay electrones disponiblesque participen en enlaces iónicos, covalentes o metálicos con otras moléculas. Lossólidos moleculares se mantienen unidos por fuerzas mucho más débiles, las cualesdependen generalmente de los momentos dipolares simétricos de las moléculas. Estasfuerzas entre una molécula y otra son mucho más débiles que las fuerzas internas quemantienen unida a la molécula entre sí; por lo tanto una molécula sí puede retener suidentidad en un sólido molecular.

Los sólidos metálicos, iónicos y covalentes se mantienen unidos por fuerzas ordinariascoulombianas tipo 1/r2; en los sólidos iónicos, la fuerza está entre los iones positivos ynegativos, al paso que en los sólidos covalentes y metálicos actúa entre los ionespositivos y los electrones compartidos. Las moléculas son eléctricamente neutras en unsólido molecular y, por consiguiente las fuerzas de Coulomb no son posibles. Sinembargo, es factible que el momento bipolar de una molécula ejerza una fuerza deatracción sobre el momento bipolar de la otra. Esta fuerza de cohesión es proporcional a1/r3, por lo que es más débil que la fuerza de Coulomb. Por lo tanto, los sólidosmoleculares se encuentran ligados más débilmente y tienen puntos de fusión más bajosque los sólidos iónicos, metálicos o covalente, ya que se requiere menor energía térmicapara romper las ligaduras de un sólido molecular.

Las fuerzas bipolares eléctricas serán importantes en los enlaces moleculares paratodas las moléculas que tengan momentos bipolares eléctricos permanentes (moléculaspolares). Es posible imaginar que tales fuerzas ocurren cuando el extremo positivo deun dipolo ejerce una fuerza de atracción sobre el extremo negativo del siguiente, comose muestra en la Figura 14.10.

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La molécula de agua es un ejemplo en donde ocurren estas fuerzas. El átomo deoxígeno en el agua atrae todos los electrones de la molécula, funcionando como elextremo negativo del dipolo; los dos protones “desnudos” son los extremos positivos deldipolo y cada uno puede atraer al oxígeno negativo de las moléculas adyacentes deagua (Figura 14.11). Aunque esta explicación simplificada en gran manera no es deltodo obvia, este tipo de ligadura es la que produce la estructura hexagonal cristalina tancaracterística del hielo y es la responsable de los hermosos patrones hexagonales de loscopos de nieve. Cuando una ligadura de este tipo implica a los átomos de hidrógeno,como sucede en el caso del agua, se le conoce como enlace de hidrógeno.

Figura 14.11. Fuerzas bipolares entre moléculas de agua.

También es posible que moléculas que no tienen momentos dipolares permanentesejerzan fuerzas dipolares entre sí. Considérese un átomo de helio. Los dos electronesdel helio se encuentran en los estados s; de ese modo el helio posee simetría eférica –en promedio, semeja como un núcleo con carga + 2e rodeado de una esfera de carga -2e con un radio de 0.1 nm. (Figura 14.12)-. De hecho, una “fotografía instantánea” deun átomo de helio aparecería en la figura 14.12. Supóngase que ahora se usa unacámara que viola el principio de incertidumbre mostrando las posiciones exactas de loselectrones; entonces, una fotografía del átomo de helio se vería como la figura 14.13.Este átomo puede tener un momento bipolar eléctrico instantáneo, aunque su momentobipolar eléctrico promedio sea igual a cero. Cualquier medida que se hiciese en ellaboratorio revelaría este valor promedio (cero) y no el valor instantáneo. Sin embargo,un átomo vecino, no se encuentra sujeto a tales restricciones y siente el campo eléctricoproducido por el momento bipolar eléctrico instantáneo. El efecto en el átomo vecinoserá atraer su carga negativa y rechazar su carga positiva, como se muestra en la figura14.14. Por lo tanto, el átomo vecino adquiere un momento bipolar inducido, y ahora dosátomos pueden atraerse uno al otro por medio de fuerzas dipolo-dipolo. (Un imán atraeun pedazo de hierro sin magnetizar por medio del mismo proceso). Una fotografíatomada un instante después podría mostrar distintas posiciones de los electrones y unmomento dipolar inducido del átomo vecino distinto, pero la fuerza entre los vecinos

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sigue siendo de atracción. Tales fuerzas atractiva entre moléculas que no tienenmomentos bipolares permanentes, se conocen como fuerzas de van der Waals y son lascausantes de la cohesión de los sólidos que contienen moléculas no polares. (Tambiénson las causantes de fenómenos físicos tales como la fricción y la tensión superficial).Ejemplos de sólidos que se encuentran ligados por tales fuerzas son aquellos cuyosátomos son los gases nobles, los halógenos, otros gases como el H2, N2, O2 y tambiénmoléculas simétricas el CH4 o el GeCl.

Figura 14.12. La distribución de carga electrónica, esféricamente simétrica, del helio.

Figura 14.13. Una “fotografía

Fuerzas de van der Waals

Figura 14.14. Fuerzas bipolares

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Figura 14.15. Los puntos de fusión de los sólidosmoleculares dependen aproximadamente del número deelectrones por molécula.

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Se pueden considerar como si formaran una banda casi continua de niveles de energía.Puesto que a esos niveles los identificamos con los niveles atómicos 3s del sodio, nosreferiremos a esta banda como la banda 3s.

Cada banda de energía tiene un total de N niveles individuales. Cada nivel puede tener2 x (2l + 1) electrones (correspondientes a las dos orientaciones del espín del electrón ya las 2l + 1 orientaciones del impulso angular orbital del electrón); así que la capacidadde cada banda es de 2(2l + 1)N electrones.

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La figura 14.19 muestra una representación más completa de las bandas de energía enel sodio metálico. Las bandas 1s, 2s y 2p están llenas; las bandas 1s y 2s contienencada una 2N electrones, y la banda 2p contiene 6N electrones. La banda 3s podríaacomodar también a 2N electrones; sin embargo, los N átomos sólo contribuyen unelectrón 3s al sólido, y entonces sólo hay N electrones 3s disponibles. Por lo tanto, labanda 3s sólo está medio llena. Arriba de la banda 3s se encuentra una banda 3p, lacual puede tener 6N electrones, pero está completamente vacía.

3p

N 3s

6N 2p

2n 2s

2N 1s

Figura 14.19. Bandas de energía en el sodio metálico.

La situación descrita corresponde por supuesto, al estado base del metal sodio. Cuandose agrega energía al sistema (por ejemplo, energía térmica o eléctrica), los electrones sepueden mover de los estados llenos a cualquiera de los estados vacíos. En este caso,los electrones de la banda 3s parcialmente llena pueden absorber una pequeña cantidadde energía y pasar a estados 3s más altos, aún dentro de la banda 3s, o absorber unacantidad de energía mayor y pasar a la banda 3p.

Este estado, se puede describir de una forma más precisa si se recuerdan los estudiosacerca de la estadística cuántica. La distribución de Fermi-Darae describe loselectrones. A una temperatura de T = OK, todos los niveles electrónicos por debajo de laenergía de Fermi Ef están llenos y todos los niveles de energía por encima de la energíade Fermi se encuentran vacíos, como se muestra en la Figura 14.20. En el caso delsodio, la energía de Fermi se encontraría exactamente en medio de la banda 3s, puestoque debajo de esa energía todos los niveles electrónicos están ocupados. Atemperaturas más altas, la energía de Fermi proporciona el nivel en el cual laprobabilidad de ocupación es del 50 por ciento; la energía de Fermi no cambiasignificativamente a medida que se incrementa la temperatura; pero la probabilidad deocupación de los niveles por encima de Ef deja de ser cero. En la figura 14.21 laexcitación térmica produce una pequeña población de la banda 3p.

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Niveles vacíos Ef

Niveles ocupados (AE)

0 1

Figura 14.20. Detalle de una banda medio llena a T = 0; a la derecha se muestraLa distribución de Fermi-Dirae.

Figura 14.21. La población de las bandas de energía de sodio a T > 0. La banda 2p ya no estácompletamente llena y la banda 3p ya no se encuentra completamente vacía.

Brecha de energía, bandas de conducción y valencia.

El sodio es un ejemplo de una sustancia que es un buen conductor eléctrico. Cuando seaplica una ligera diferencia de potencial, del orden de 1 V, los electrones puedenabsorber esta energía fácilmente, porque hay N estados desocupados dentro de labanda 3s, todos dentro del intervalo de energía de 1 eV. Los electrones absorben estaenergía al tiempo que el voltaje aplicado los acelera y, por lo tanto, adquieren la libertadpara moverse siempre y cuando haya muchos estados desocupados dentro del intervalode energías accesibles. En el sodio existen N electrones relativamente libres quefácilmente pueden moverse a los N estados de energía desocupados; por lo tanto, elsodio es un buen conductor.

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Por otro lado, un material en el cual una banda está completamente llena y la siguientecompletamente vacía sería un mal conductor. En este caso se define la brecha entre lasbandas de energía y la energía de Fermi yace en alguna parte de la brecha, como semuestra en la Figura 14.22. Una vez más, en T = 0, todos los estados por debajo de Efse encuentran llenos. A medida que se eleva la temperatura, la forma de la función dedistribución de Fermi-Dirae cambia; si la brecha de energía entre las bandas es grandecomparada con kT, habrá pocos electrones térmicamente excitados de la banda másbaja, llamada banda de ralencia, a la banda superior, llamada banda de conducción.Este estado se muestra en la Figura 14.23. hay muchos electrones disponibles en labanda de valencia para la conducción eléctrica, pero hay muy pocos estados vacíos paraellos, de manera que no contribuyen a la conductividad eléctrica. Hau muchos estadosvacíos en la banda de conducción, pero a temperaturas normales, hay tan pocoselectrones en esa banda que su contribución a la conductividad eléctrica es, también,muy pequeña. Estas sustancias se clasifican como aislantes y, por lo general, tienendos propiedades: una brecha de energía muy grande (unos cuantos electrón-voltio) entrelas bandas de valencia y de conducción, y un nivel de Fermi en la brecha entre lasbandas (esto es, una banda de valencia llena y una brecha de conducción vacía).

Figura 14.22. Estructura de bandas en lacual Ef yace en la brecha entre las bandas.

Figura 14.23. Cuando Eg > kT, la banda deconducción aún se encuentra sin poblarse.Esta situación es característica de un aislante.

Cuando un material tiene la estructura básica de un aislante, pero una energía menor (1eV o menos), el comportamiento es muy distinto. Estos materiales se conocen comosemiconductores. La Figura 14.24 muestra una de estas sustancias a temperaturasnormales. En este caso hay un número razonable de electrones en la banda deconducción y, por supuesto, muchos estados vacíos accesibles a éstos, de modo que setransfieren con relativa facilidad. También hay un número razonable de estados vacíosen la banda de valencia; así que algunos de los muchos electrones en la banda devalencia también contribuyen a la conductividad eléctrica moviéndose a través de dichosestados. Consideraremos estos dos mecanismos de conducción eléctrica en detalle enla sección 14.7. Por ahora señalaremos dos propiedades eléctricas de lossemiconductores que se relacionan directamente con la estructura de bandas, según semuestra en la figura 14.24. 1) Ya que la excitación térmica a través de la bandaprohibida (brecha) es relativamente más probable, la conductividad eléctrica de los

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semiconductores depende más fuertemente de la temperatura que de la conductividadeléctrica de los aislantes o los conductores. 2) Es posible alterar la estructura de estosmateriales agregando impurezas en bajas concentraciones de tal forma que la energíade Fermi se altere, moviéndose hacia la banda de conducción o hacia la banda devalencia. Este proceso, conocido como impurificación o dopado, obviamente puedetener un efecto notable sobre la conductividad del semiconductor.

Figura 14.24. La estructura de bandas de unsemiconductor. La brecha es mucho menor que en unaislante, por lo que ahora hay una pequeña población enla banda de conducción.

En los ejemplos que hemos analizado hasta ahora, no es muy evidente la razón por lacual la teoría de bandas es tan útil para comprender las propiedades de un sólido. Porejemplo, se espera que el sodio sea un buen conductor sobre la base de suspropiedades atómicas solamente (un electrón 3s relativamente despligado); el xenónsólido sólo tiene capas atómicas llenas, por lo tanto, sería un mal conductor. Estasconclusiones se deducen de la teoría atómica simple o de la teoría atómica de bandas.Sin embargo, existen muchos casos en los cuales la teoría atómica lleva a prediccioneserróneas, mientras que la teoría de bandas proporciona los resultados correctos.Considérense dos ejemplos: 1) El magnesio tiene una capa llena 3s; sobre la base de lateoría atómica se esperaría que fuera un mal conductor eléctrico, sin embargo es unbuen conductor. 2) La capa 2p del carbono sólo tiene 2 electrones, de un númeromáximo de 6 que puede contener. Por lo tanto, el carbono debería ser un conductorrelativamente bueno; en lugar de eso, es un conductor en extremo malo. Esto se puedecomprender tomando en cuenta la extraña forma en que se comportan las bandas deestos sólidos cuando los átomos se encuentran lo suficientemente cerca como para quela brecha de bandas desaparezca y las bandas se traslapen. En el magnesio (Figura14.25), por ejemplo, las bandas 3s (llena) y 3P (vacía) se traslapan; el resultado es unasola banda con una capacidad de 2N + 6N = 8N niveles. Sólo 2N de estos niveles seencuentran llenos; así, el magnesio se comporta como un material con una sola bandallena hasta la cuarta parte de su capacidad. Por lo tanto, el magnesio es un muy buenconductor. En el carbono, el traslape excesivo de las funciones de onda de loselectrones a distancias muy cortas, ocasiona primero la mezcla de las bandas 2s y 2p,de una forma similar al magnesio; luego se crea una sola banda con una capacidad e 8Nelectrones (Figura 14.26). A medida que los átomos se acercan aún más, la banda sedivide en dos bandas separadas con una capacidad de 4N electrones cada una. Ya queel carbono tiene 4 electrones de valencia (dos 2s y dos 2p), los 4N estados más bajos

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están completamente llenos y los 4N estados superiores de la banda de conducciónestán completamente vacíos. Por lo tanto, el carbono es un aislante. El germanio y elsilicio tienen el mismo tipo de estructura que el carbono, pero su separación de equilibrioes mayor y la brecha entre las bandas de conducción de equilibrio es mayor y la brechaentre las bandas de conducción y de valencia es pequeña, de aproximadamente 1 eV;esta característica es causa de que el germanio y el silicio sean semiconductores.

Figura 14.25. La estructura de bandas del magnesio.Las bandas 3s y 3p se traslapan formando una solabanda.

Separación atómica

Figura 14.26. La estructura de bandas del carbono, elsilicio y el germanio. La banda combinada ns + np sedesdobla en dos bandas. El carbono es un aislantedebido a que la brecha es grande; el germanio y el silicioson semiconductores ya que las brechas de energía sonmás pequeñas.

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En esta sección hemos examinado la teoría de bandas de los sólidos muyesquemáticamente. Ahora resumiremos los puntos principales de esta teoría:

1. Cuando se unen muchos átomos para formar un sólido, las interacciones entre losátomos provocan que los niveles discretos de energía de los átomos aislados se“difundan” formando bandas.

2. las propiedades atómicas de los átomos aislados y las separaciones de equilibrio delos átomos en el sólido determinan las propiedades de las bandas.

3. la ocupación de las bandas, el espaciamiento entre las bandas y la posición relativade la energía de Fermi determinan las propiedades del sólido.

Justificación de la teoría de bandas

La teoría de bandas ha tenido mucho éxito al explicar las propiedades de los metales,los aislantes y los semiconductores. Sin embargo, la explicación del origen de estasbandas de energía fue solamente esquemática, por alguna razón la acción de unir losátomos es responsable de la existencia de las bandas, causada por el traslape de lasfunciones de onda de los electrones. En esta sección consideraremos un enfoque algodistinto que también indica la existencia de las bandas de energía.

Se trata del enfoque riguroso: resolveremos la ecuación de Schrödinger para loselectrones que se mueven en una red de átomos. Cuando seguimos este procedimientoen el caso del pozo cuadrado o del átomo de hidrógeno, encontramos que sólo sepermitían valores discretos de la energía. En este caso, descubriremos que sólo sepermiten ciertas bandas de energía.

Resolver la ecuación de Scrödinger en tres dimensiones para una red compuesta de unnúmero grande de átomos o iones, los cuales ejercen fuerzas coulombianas sobre elelectrón, es un proceso bastante complicado según puede imaginar el lector. (La Figura14.27 muestra cómo se vería en una dimensión el potencial que experimenta elelectrón). Dado que el interés principal radica en estudiar cómo surgen las bandas deenergía en una situación así, se realizarán varias simplificaciones. Primero se considerael problema sólo en una dimensión; esto es justamente lo que hicimos en el capítulo 5,cuando estudiamos las energías discretas que resultaban de resolver la ecuación deSchrödinger en una dimensión para varios potenciales. Luego reemplazamos elpotencial de Coulomb con un potencial de pozo cuadrado. Esto ayuda a simplificar elcálculo sin restringir la aplicabilidad física. Podemos hacer una mejor aproximación alpotencial coulombiano en el cual V- -∞ a medida que r-0, seleccionando un pozo depotencial de anchura b y profundidad V0 y dejando que b-0 y V0 - ∞, de tal forma que elproducto bV0 permanezca constante. Esto es, el pozo se vuelve, simultáneamente, másprofundo y más angosto pero su “área” vB0 permanece constante.

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Figura 14.27. La energía potencial debido a los iones en una red unidimensional.

La Figura 14.28 muestra el potencial con el que deseamos resolver la ecuación deSchrödinger: una fila infinita de pozos de potencia, cada uno con anchura b yprofundidad V0, con un espaciamiento a de centro a centro. Cada pozo representa unode los iones de la red.

Figura 14.28. Una versión simplificada del potencial de la figura 14.27.

Las soluciones a un problema de este tipo con un potencial que se repite periódicamentese pueden encontrar con ayuda del teorema de Bloch, de acuerdo el cual el potencialperiódico modifica la función de onda del electrón libre (por ejemplo, Ψ(x) ∼ cos kx) de lasiguiente forma

Ψ(x) ∼ u(x) cos kx

donde la función modulante u(x) tiene la misma periodicidad que el potencial:

u(x + a) = u(x)

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A la mitad del camino entre los iones, u(x) ≅ 1 y el electrón se comporta como siestuviera prácticamente libre. Es sólo cuando nos acercamos a un ion que u(x) difieresignificativamente de 1.

No profundizaremos en las matemáticas de la solución a este problema, pero antes deanalizar las soluciones, debemos recordar dos resultados del capítulo 5. 1) Para lapartícula libre, E = h2-k2/2m; se permiten todos los valores de k y por consiguiente los deE y la energía es continua. 2) Cuando resolvimos el problema del pozo cuadrado en elcapítulo 5, los valores discretos de la energía resultaron de la aplicación de la restricciónde que Ψ(x) debe ser continua en las fronteras del pozo. Esto permitía sólo ciertosvalores de k y, por lo tanto, de E.

La solución al problema de la “red unidimensional” es parecida. Cuando se aplican lascondiciones de frontera, se obtiene la siguiente ecuación:

Cos ka = 20

hbmaV

∝

α∝sen + cos ∝a

donde

a = 2nmE2

Ésta es la ecuación que genera las bandas de energía.

El miembro izquierdo de la ecuación (14.12) sólo puede tomar valores entre + 1 y – 1;por lo tanto, el miembro derecho debe hacer lo mismo. Sin embargo, pueden existirvalores de α (y por lo tanto de E) para los cuales el miembro derecho podrá volversemayor que + 1 o menor que -1. Ya que la ecuación (14.12) no tendrá sentido en talescasos (supuesto que todas las cantidades en la ecuación sean reales), estos valores nodeben de ocurrir. Esos valores de la energía están prohibidos y dan lugar a las bandasprohibidas o brechas de energía ya analizadas anteriormente.

La Figura 14.29 es una gráfica del miembro derecho de la ecuación (14.12). La funciónoscila una y otra vez y, para ciertos valores de αa, su amplitud es mayor que + 1 omenor que – 1, y éstas son las regiones prohibidas. En las regiones permitidas, para lascuales el valor se encuentra entre + 1 y – 1, no existen restricciones en los valores de k oE. Dado que las regiones permitidas se extienden de + 1 a -1, cos ka toma todos loavalores posibles entre + 1 y – 1; de esa manera no sólo no hay restricciones en k sinoque puede tomar un intervalo completo de valores.

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Figura 14.29. Las bandas de energía permitida delmodelo unidimensional de la red. la curva gruesarepresenta la parte derecha de la ecuación (14.12). Lasbandas permitidas corresponden a aquellas regionesdonde la curva se encuentra entre +1 y -1.

Hay otra manera de interpretar estas soluciones, la cual implica más directamente lanaturaleza ondulatoria de los electrones. En esta interpretación consideramos larelación entre la energía E y el número de onda k. Para una partícula libre, E = h2-k2/2m,y la relación es una parábola como se muestra en la Figura 14.30. También son visiblesen esta ilustración las bandas de energía permitidas y las regiones prohibidas. Nóteseque muchas veces el electrón se comporta como una partícula libre; esto es, lossegmentos en forma de S frecuentemente coinciden con la parábola. Sólo cuando elnúmero de onda k se aproxima a los valores π/a, 3π/a.. son más notorias lasdesviaciones respecto al caso de la partícula libre.

Figura 14.30. La relación entre la energía y el número deonda para una red unidimensional. La curva punteada esla parábola correspondiente a la partícula libre. Lascurvas gruesas son las soluciones al problema en unadimensión.

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Figura 14.31. Dispersión de Bragg unidimensional. Laúnica dispersión posible es una reflexión sobre ladirección original.

Para entender por qué razón ocurre esto, es necesario regresar a la naturalezaondulatoria del electrón. El movimiento de los electrones dentro del sólido puedeinterpretarse también como el movimiento de ondas electrónicas de deBroglie a travésdel sólido. La Figura 14.31 muestra dicha onda al propagarse a través de la red; en elsencillo cálculo anterior sólo se consideró una dimensión, por lo que solamenteinteresará lo que sucede a lo largo de la dirección de propagación de la onda. La figura14.31 recuerda la reflexión de Bragg de las ondas de rayos X que se analizó en elcapítulo 3; la condición de Bragg para la reflexión de las ondas era

2d sen θ = n λ (14.13)

donde d es el espaciamiento atómico y θ es el ángulo de incidencia medido del plano deátomos (no desde la normal). En una red en dos dimensiones, l onda incidente se puededispersar en muchas direcciones, dependiendo del plano de átomos donde se imagineuno que ocurre la reflexión (recuérdese la Figura 3.6); sin embargo, en una dimensión,sólo puede ocurrir una sola reflexión –la onda incidente se refleja en la direccióncontraria. Para este caso, se puede usar la condición de Bragg, con d = a (elespaciamiento entre los átomos de la red) y θ = 90 grados (el ángulo entre el “plano dereflexión” y la onda incidente); así

2ª sen 90º = nλ (14.14)

y, usando k = 2π/λ, se encuentra que

k = n aπ

(14.15)

Éstos son precisamente los número de onda para los cuales ocurren los “rompimientos”en la gráfica de E contra k de la Figura 14.30. Para los números de onda que nosatisfacen esta condición, la onda no se refleja –ni siquiera ve la red- y se propaga

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libremente, como la onda viajera que representa una partícula libre. Cuando la ondasatisface la condición de Bragg, se refleja sobre sí misma dando como resultado unaonda estacionaria. (Recuérdese que se obtiene una onda estacionaria cuando sesuperponen dos ondas con la misma longitud de onda λ que viajan en direccionesopuestas). Como se ha visto repetidamente, las funciones de onda que representanéstas dos ondas electrónicas se pueden combinar en dos formas –sus amplitudes sepueden sumar o restar- produciendo dos posibles ondas estacionarias distintas. Si setoma como origen del sistema de coordenadas (x = 0) uno de los iones, entonces una delas ondas estacionarias tiene la forma Ψ1 – sen(nπx/a) y la otra tiene la forma Ψ2 –cos(nπx/a).

Figura 14.32. Las densidades de probabilidad de dos ondas estacionarias distintas.

Las densidades de probabilidad para estas dos ondas son justamente los cuadrados delas funciones de onda y se muestran en la Figura 14.32. Nótese que la solución Ψ1 dauna probabilidad baja de encontrar el electrón cerca de los iones y una probabilidad altade encontrar el electrón a la mitad del camino entre los iones. Por otro lado, la soluciónΨ2 da una probabilidad alta de encontrar el electrón cerca de los iones. Ya que unelectrón representado por la función de onda Ψ2, permanece más tiempo cerca de losiones positivos, está ligado más fuertemente (tiene más energía potencial negativa) y,por lo tanto, su energía se encuentra ligeramente debajo de la energía del electrón libre;esto corresponde a las ramas de las curvas de E contra k de la Figura 14.30, las cualesse doblan debajo de la parábola en las brechas de energía. La solución Ψ1 está menosligada que el electrón libre (para el cual Ψ2 es una constante); de ese modo suenergía se encuentra ligeramente arriba de la parábola correspondiente al electrón libre.Esta diferencia en energía entre Ψ1 y Ψ2 constituye la brecha de energía.

Por supuesto, este cálculo simple en una dimensión no representa exactamente elcomportamiento de los electrones verdaderos moviéndose en los sólidostridimensionales reales, pero sí da una idea acerca del origen de las bandas de energíapermitidas y las brechas o bandas prohibidas, y muestra, una vez más, que elcomportamiento ondulatorio de los electrones tiene consecuencias importantes, en estecaso para la conducción eléctrica en sólidos.

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¿Cuál es la importancia de los momentos bipolares en los enlaces moleculares?______________________________________________________________________________________________________________________________________________

De acuerdo a la estadística cuántica, ¿cómo se lleva a cabo la distribución deelectrones, propuesta por (Fermi-Dirac)?______________________________________________________________________________________________________________________________________________

¿Qué es un semiconductor?______________________________________________________________________________________________________________________________________________

Con respecto a semiconductores, ¿cómo se lleva a cabo el proceso de dopado?______________________________________________________________________________________________________________________________________________

¿Cómo se llaman las fuerzas causantes de fenómenos físicos tales como la fricción y latensión superficial?______________________________________________________________________________________________________________________________________________

Propiedades de los metales

En el capítulo 12 hemos analizado la capacidad calorífica de los metales en términos dela teoría de los electrones libres. En esta sección examinaremos con más detallealgunas otras propiedades de las sustancias metálicas.

Conductividad térmica

Los electrones en un metal también contribuyen a su conductividad térmica. Enconformidad con la teoría cinética clásica, la conductividad térmica K de un gas se definecomo

K = 1/3Cvl (14.22)

ACTIVIDAD DE REGULACIÓN

65

Donde C es la capacidad calorífica por unidad de volumen, v es la velocidad molecular yl es el camino libre medio. Si, como es ya común, se considera el metal como un gas deelectrones, se puede usar el cálculo de la sección 12.7 para la capacidad calorífica molardel gas de electrones, C ≅ RKTIEf. Un cálculo más exacto daría el factor π2/2 enlugar de 27/32; por lo tanto:

K = 6π2

fΛ

k

ENlnTvR

(14.23)

Donde el factor n/N∧ convierte la capacidad calorífica molar en la capacidad calorífica por

unidad de volumen. Con R = N∧k y Ef = 21

mv2, se tiene que

K = 3π2

mvnlTk2

(14.24)

Si se intenta calcular K usando las mismas estimaciones que se usaron para laconductividad eléctrica, se encontrarán los mismos problemas al calcular el camino libremedio l. Este problema se puede eliminar determinando la razón entre lasconductividades térmica y eléctrica:

Tabla 14.4 Número de Lorenz de algunosmetales (unidades de 10-8

W•Ω/K2).Metal 0ºC 100ºC

Ag 2.31 2.37Au 2.35 2.40Cd 2.42 2.43Cu 2.23 2.33Pb 2.47 2.56Sn 2.52 2.49Zn 2.31 2.33

σK

= 2

22

e3kπ

T (14.25)

Falta párrafo………de la pág. 477

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Figura 14.34. Dos metales distintos con energías deFermi y funciones de trabajo diferentes.

Potenciales de contacto

Considérese lo que sucede cuando dos metales distinto, con energías de Fermi distintas,se ponen en contacto, como se muestra en la Figura 14.34. Los electrones que seencuentren cerca de la frontera del metal que tenga el nivel de Fermi más alto se podránmover más fácilmente para ocupar los estados vacíos justamente por arriba del nivel deFermi del otro metal. Esto ocurrirá, del mismo modo en que el agua busca su propionivel, hasta que los dos niveles de Fermi en los dos metales se vuelven idénticos, comose muestra en la figura 14.35. (Esto puede suceder puesto que los dos materiales sonmetales en los que los electrones se mueven casi libremente; como se verá en lasiguiente sección, los electrones en los semiconductores no se pueden mover muy lejosy se encuentran restringidos a moverse en una región muy pequeña cerca de la fronteraentre los materiales). Un metal adquiere electrones y se carga negativamente, mientrasque el otro se carga positivamente desarrollándose así una diferencia de potencial alponer simplemente los metales en contacto. Esta diferencia de potencial es el potencialde contacto.

Sea W la energía necesaria para sacar un electrón del nivel de Fermi fuera del metal;ésta es precisamente la función de trabajo del metal. De la Figura 14.35 se podrá verque el potencial de contacto V queda determinado por la diferencia entre las funcionesde trabajo de los dos metales:

V = e

WW 21

(14.26)

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Figura 14.35. Cuando dos metales se ponen encontacto, fluyen los electrones, igualando sus niveles deFermi; en la unión se establece una diferencia depotencial.

Superconductividad

A bajas temperaturas, la resistividad de un metal (el inverso de su conductividad) es casiconstante. A medida que se disminuye la temperatura de un material, la contribución dela red a la resisitivdad disminuye, mientras que la contribución por impurezas permaneceaproximadamente constante; y a medida que nos aproximamos a T = 0 K la resistividaddebería aproximarse a un valor constante. De hecho, muchos metales, conocidos comometales normales, se comportan de esa manera, según se ilustra en la Figura 14.36.

Figura 14.36. Resistividad de un conductor ordinario.

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El comportamiento de otro tipo de metales es muy distinto a lo que se muestra en lafigura 14.36. estos metales se comportan normalmente al paso que decrece latemperatura, pero a una temperatura crítica Tc (la cual depende de las propiedades delmetal), la resistividad cae repentinamente a cero, como se muestra en la Figura 14.37.Estos materiales se conocen como superconductores. La resistividad de unsuperconductor no solamente es muy pequeña a temperaturas por debajo de T0 sino quedesaparece completamente. Dichos materiales pueden conducir corrientes eléctricashasta en la ausencia de un voltaje aplicado, y la conducción ocurre sin pérdidas tipo l2R(calentamiento de Joule).

Figura 14.37. Resistividad de un superconductor.

La teoría cuántica de la superconductividad es muy compleja y rebasa el nivel de estetexto; en su lugar se indicará esquemáticamente cómo se origina este extrañofenómeno. Un electrón en movimiento interactúa con la red; posiblemente ésta leprovoca vibraciones (fotones). Esta energía de interacción puede ser transferida a unsegundo electrón. Se puede suponer que en esta situación los dos electrones seencuentran acoplados a través de la mediación de la red; la red no retiene energía enesta transferencia, como si los electrones se movieran interactuando solamente entre síy no con la malla.

En nuestros anteriores estudios acerca de la conductividad, hicimos notar que unelectrón en la parte central de la banda de conducción no debería interactuar en absolutocon una red perfecta y que tales electrones generarían una conductividad eléctricainfinita. En un superconductor, la conductividad es, ciertamente, infinita, porque loselectrones no interactúan con la red, pero no porque la red sea perfecta; lasuperconductividad ocurre a causa de que los electrones se mueven por paresfuertemente correlacionados que no pierden energía al interactuar con la red.

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Los metales ordinarios pueden ser buenos conductores cuando los electrones tienen unainteracción muy débil con la red. Los superconductores, por otro lado, presentan unacoplamiento electrón-red-electrón relativamente fuerte. Por lo tanto, los materiales quenormalmente son buenos conductores no deberían ser buenos superconductores.Entonces, la superconductividad resulta de una curiosa paradoja –los electronesinteractúan tan fuertemente con la red que finalmente no interactúan en absoluto conella.

La temperatura crítica para la superconductividad T0 se determina por la “energía deenlace” del par de electrones. (Aunque los dos electrones tienen funciones de ondacorrelacionadas, no necesariamente se encuentran ligados físicamente; de hechopodrían estar separados por distancias grandes viajando en direcciones opuestas, demodo que no es correcto imaginarse un par de electrones lado a lado, viajando juntos).Los valores típicos de T0 son del orden de 10 K, que corresponde a una energía deenlace pequeña de 10-3eV. En la tabla 14.5 se presenta una lista de algunos elementosy compuestos superconductores y sus temperaturas de transición. Los conductoresnormalmente bueno como Cu, Ag y Au se encuentran notablemente ausentes de estalista; aun a temperaturas de fracciones de 1K, no se ha descubierto superconductividadpara estos materiales. El elemento natural que tiene la T0 más alta es el niobio (elelemento tecnecio tiene una T0 de 11.2 K, pero este elemento es radiactivo de modonatural y no se encuentra en la naturaleza), y muchos compuestos tienen un valor aúnmás alto de T0.

Tabla 14.5. Algunos metalessuperconductores.

Metal T0(K)Al 1.2Zn 0.9Nb 9.1In 3.4Sn 3.7Hg 4.2Pb 7.2

NbaAl 17.5NbaSn2 16.6NbaSn 18.1

Los materiales superconductores tienen muchas aplicaciones en las cuales seaprovecha su capacidad para conducir corrientes eléctricas sin pérdidas resistivas. Porejemplo, se pueden construir electroimanes capaces de conducir corrientes muy altas yproducir así grandes campos magnéticos (del orden de 5 a 10T). si se usan alambressuperconductores, corrientes tan altas como 100 A pueden ser conducidas por alambresmuy delgados, del orden de 0.1 mm de diámetro, y de ese modo los electroimanesmencionados se pueden construir en un espacio más pequeño, usando menos materialdel que sería necesario si se usaran conductores ordinarios. La Figura 14.38 ilustra uno

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de tales aparatos. Empezando desde cero, la corriente aumenta hasta que el campomagnético B alcanza el valor deseado. En ese punto el interruptor S se cierra y lacorriente de regreso, siguiendo el camino de mínima resistencia, fluye a través delinterruptor en lugar de hacerlo a través de la fuente de poder. Entonces la fuente depoder se puede apagar, y, en principio la corriente seguirá circulando para siempre através de la espira y del interruptor; en la práctica se ha visto que en el transcurso de unaño no ha habido disminución en la corriente.

Figura 14.38. Una bobina superconductora sumergida enhelio líquido puede conducir una corrienteindefinidamente sin pérdidas resistivas.

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Define la conductividad térmica._____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

¿Qué es el potencial de contacto y superconductividad?_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

¿Cuál es el postulado de la Ley de Wedermann-Franz?_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Respecto al potencial de contacto, cuando se unen dos metales, ¿cómo se igualan losniveles de fermi?_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Una segunda aplicación: los materiales superconductores harían posible la transmisiónde potencia eléctrica a largas distancias sin pérdidas resistivas. Tal arreglo seríaeconómicamente razonable si el costo para mantener al alambre superconductor pordebajo de su T0 fuese menor que el valor de la potencia que se perdería si se usaranconductores ordinarios. El mantener los costos bajos requeriría usar un material con elT0 más alto posible; la búsqueda de tales materiales es un campo de intensainvestigación en la física del estado sólido y la ciencia de los materiales.

ACTIVIDAD DE REGULACIÓN

72

El propósito de este capítulo fue presentarte un panorama general de las característicasprincipales de la transmisión de energía en sistemas cuánticos, interpretando como seproduce la luz láser y el comportamiento de las redes cristalinas, para reconocer elcarácter cuántico y algunas de sus aplicaciones tecnológicas, a partir de la absorcióninducida, emisión espontánea, de igual forma enfrentaremos cómo algunos sistemasatómicos pueden tener poblaciones invertidas de niveles de energía con un estadosuperior ocupado en mayor grado que el estado Base, si hacemos llegar al sistema

radiación directa de frecuencia V = h

)EE( 01

la emisión inducida de fotones de esta

frecuencia excederá a la absorción puesto que hay más átomos en el estado superior yel resultado neto será una producción de radiación de frecuencia (V) mayor que la quellega. Este es el principio del maser (amplificación de microondas mediante emisiónestimulada de radiación) y del láser (amplificación de luz por emisión estimulada deradiación), establecemos así la física molecular conociendo ya la constitución de losátomos vamos de describir ahora la de las moléculas e indicar el mecanismo deinteracción de unos átomos con otros para formarlos y también en él se rigen las leyesde la mecánica cuántica, siendo como en el átomo, la atracción electrostática deCoulomb la que mantiene unidos a los átomos en el interior de la molécula.

Sin embargo, ya que los átomos son eléctricamente neutros, dicha atracciónelectrostática tiene que ejercerse a través de algún proceso que separe las cargaseléctricas positivas y negativas de los átomos y son dos mecanismos que para ello seconoce, los cuales dan lugar a dos diferentes tipos de enlace entre los átomos de unamolécula: el enlace iónico o heteropolar y el enlace covalente o polar, dando a esto lainteracción entre la energía de cohesión en un cristal iónico es la energía que se liberaráen la formación del cristal a partir de átomos neutros individuales. La energía de

cohesión se expresa generalmente en átomo

eV, en

moléculaeV

ó en Kcal/mol., a la vez

estos presentan atracciones débiles de corto margen entre sí a niveles de moléculas yátomos denominados fuerzas de van der Waals, entre algunas moléculas que contienenátomos de hidrógeno se presenta un tipo de enlace de van der Waals especialmentefuerte, denominado enlace hidrógeno.

Cuando los niveles de energía de valencia de los diferentes átomos metálicos se alterantodos por sus interacciones y se produce una banda de energía que consta de tantosniveles de energía estrechamente espaciados como número total de niveles de energíade valencia en todos los átomos de cristal.

En consecuencia, los electrones libres tienen una energía cinética que oscila entre 0 yun máximo µf, llamada energía fermi.

RECAPITULACIÓN

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¿Cuál es el principio de maser?______________________________________________________________________________________________________________________________________________

¿Cuál es el principio del láser?______________________________________________________________________________________________________________________________________________

¿Qué establece la física molecular?______________________________________________________________________________________________________________________________________________

¿Qué mantiene unidos a los átomos en el interior de la molécula?______________________________________________________________________________________________________________________________________________

¿A qué se le llama “Energía Cohesión”?______________________________________________________________________________________________________________________________________________

¿En qué unidades se expresa la energía de cohesión?______________________________________________________________________________________________________________________________________________

A nivel molecular, algunas moléculas que contienen átomos de hidrógeno, existe unenlace de van der Waals, especialmente fuerte denominado______________________________________________________________________________________________________________________________________________

¿Cuándo se producen las Bandas de Energía?______________________________________________________________________________________________________________________________________________

Explica cómo se lleva a cabo la energía fermi.______________________________________________________________________________________________________________________________________________

ACTIVIDADES DE CONSOLIDACIÓN

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Es la amplificación de microondas mediante emisión estimulada de radiación.

Es la amplificación de luz por emisión estimulada de radiación.

Describe y establece la interacción y sus mecanismos entre átomos y moléculas conaplicación de las Leyes de la mecánica cuántica.

La atracción electrostática de Coulomb.

Es la energía que se liberaría en la formación del cristal a partir de átomos neutrosindividuales.

átomoeV

, molécula

eV, Kcal/mol.

Enlace Hidrógeno.

Cuando los niveles de energía de valencia de los diferentes átomos metálicos se alteran.

Los electrones (e

) libres tienen una energía cinética que oscila entre cero (0) y un

máximo (ef).

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