FISIKA KUANTIKA

3. Gaia

1. m masako partikula bi planoren artean dago, x = 0 eta x = a puntue-tan kokatuta. Gune horretan potentziala nulua da, eta hortik kanpo infinituadela joko dugu (potentzial-osin infinitua).

• Kalkulatu Hamiltondarraren autofuntzioak eta autobalioak.

• Partikula, n=4 balioari dagokion egoeran dago. Bat-batean, planoenarteko distantzia bikoiztu egin da (planoen posizio berriak x = 0 etax = 2a dira), beraz, sistema berriaren autofuntzioak desberdinak dira.Kalkulatu Hamiltondar berriaren autofuntzioak eta autobalioak.

• t=0 aldiunean, partikularen uhin-funtzioa 0 < x < a tartean, planoakaldendu baino lehen zeukana da. a < x < 2a tartean, berriz, nuluada. Funtzio hori autofuntzio berrien konbinazio lineala da. Kalkulatuseriearen koefizienteak.

• Energia neurtuz gero, zein da planoak aldendu baino lehen partikulakzuen energia berbera neurtzeko probabilitatea?

• Energia neurtuz gero, zein da planoak aldendu baino lehen partikulakzuen energia baino txikiagoa izateko probabilitatea?

• Kalkulatu partikularen energiaren batezbesteko balioa, planoak alden-du eta gero.

2. m masako partikula a zabalera duen potentzial-osin infinituan dago.t=0 aldiunean partikularen uhin-funtzioa nulua da −a/2 < x < −a/4 eta

1

a/4 < x < a/2 tarteetan. −a/4 < x < a/4 tartean, berriz, Ψ(x, 0) =α(β − x2) da.

• Kalkulatu α eta β parametroen balioak.

• Energia neurtzean, kalkulatu oinarrizko lehenengo 5 balioak neurtzekoprobabilitatea.

3. t = 0 aldiunean, a zabalerako potentzial-osin infinituan, partikulabaten uhin-ekuazioa honako hau da,

Ψ(x, 0) = c1Ψ1(x, 0) + c2Ψ2(x, 0) + c3Ψ3(x, 0)

non Ψi(x, t) hamiltondarraren autofuntzioak diren. Koefizienteen artekoerlazioak c1 = 2c2 = 3c3 dira. Partikularen momentu lineala neurtzean, zeindira lor daitezkeen balioak? Zein da balio bakoitza lortzeko probabilitatea?

4. m masako partikula a zabalera duen potentzial-osin infinituan dago.

• Aurki ezazu Ψ(x, t) uhin-funtzioa honako informazio hau erabiliz,

– t=0 aldiunean n = 1 eta n = 4 egoeretan aurkitzeko probabilita-tea 1/2 eta 1/2 dira, hurrenez hurren, non n energiari dagokionzenbaki kuantikoa den.

– Ψ(x, 0) erreala da.

– Ezkerrean aurkitzeko probabilitatea, eskuinean aurkitzeko proba-bilitatea baino handiagoa da.

• Egiaztatu x(t) funtzioa oszilakorra dela.

5. Unitate arbitrarioak erabiliz, m=1 masako partikula a = π zabalerakopotentzial osin infinituan dago. t=0 aldiunean uhin-funtzioa honako hau da,

Ψ(x, 0) =√

2 sin(nx) + sin ((n+ 1)x) x ∈ (0, π)

• Normalizatu uhin-ekuazioa.

• Energia neurtuz gero, zein balio lor daitezke? Zein probabilitate daukabalio bakoitzak?

2

• Idatz ezazu uhin-funtzio normalizatua, t edozein aldiunetarako.

• Irudikatu p(t) funtzioa t-ren funtzioan. Kalkulatu funtzioaren perio-doa.

6. Nukleoaren barruan, protoiak jasandako potentziala osin infinitua delajo daiteke, osinaren neurria a = 10−4 A-ekoa izanda. Demagun protoiarenegoera, Ψ(x, t) = Ψ1(x, t)+Ψ2(x, t) dela, non Ψ1(x, t) eta Ψ2(x, t) potentzialhonen lehenengo bi autofuntzioak diren.

• Kalkulatu partikula aurkitzeko probabilitatea x eta x + dx tartean,denboraren funtzioan (hau da, partikularen probabilitate-dentsitatea).

• Karga-dentsitatea probabilitate-dentsitatearen proportzionala denez,kalkulatu karga oszilakor honek igorritako fotoiaren maiztasuna, me-kanika klasikoaren ikuspuntutik.

• Aurreko fotoia, espektro elektromagnetikoaren zein tartetan dago?

7. Dimentsio bakar batean, partikula bat honako potentzial honetandago,

V (x) =

∞ x < 00 0 < x < aV0 a < x

• E < V0 denean, lor ezazu energia onargarriak ematen dituen ekuazioa.

• m, a eta V0-ren balioak direla eta, tarte horretan, posiblea al da ener-giak balio bat ere ez eukitzea? Kalkula ezazu (gutxi gora-behera, baliozehatza ez da beharrezkoa) zein izan behar den aurreko magnitudeenarteko erlazioa, gutxienez energiaren balio bat onargarria izateko.

• Justifikatu aurreko emaitza Ziurtasun Ezaren Printzipioaren ikuspun-tutik.

• Demagun α ≡√

2mV0a/h = 5.236 dela. Emandako taulari begira,energiak zenbat balio izango ditu 0 < E < V0 tartean? Zeintzuk dirabalio hauek? (Gutxi gora-beherako balioak eman, inolako interpolazio-rik egin gabe)

3

• Irudikatu (gutxi gora-behera) autobalio horiekin lotuta dauden auto-funtzioak.

β√

β√

1 − β tan α√

β tan α√

1 − β tanh α√

β tanh α√

1 − β

0 0 1 0 -1.73125 0 0.999943

0.05 0.223607 0.974679 2.36556 -2.42438 0.824544 0.999926

0.1 0.316228 0.948683 -11.732 -3.83472 0.929653 0.999903

0.15 0.387298 0.921954 -2.03281 -8.64689 0.965951 0.999872

0.2 0.447214 0.894427 -1.02943 34.4721 0.981674 0.999829

0.25 0.5 0.866025 -0.577217 5.56753 0.989415 0.99977

0.3 0.547723 0.83666 -0.280654 2.90546 0.993565 0.999687

0.35 0.591608 0.806226 -0.0438506 1.87102 0.995931 0.999569

0.4 0.632456 0.774597 0.171722 1.29796 0.997345 0.9994

0.45 0.67082 0.74162 0.388955 0.916152 0.998223 0.999153

0.5 0.707107 0.707107 0.628275 0.628275 0.998784 0.998784

0.55 0.74162 0.67082 0.916152 0.388955 0.999153 0.998223

0.6 0.774597 0.632456 1.29796 0.171722 0.9994 0.997345

0.65 0.806226 0.591608 1.87102 -0.0438506 0.999569 0.995931

0.7 0.83666 0.547723 2.90546 -0.280654 0.999687 0.993565

0.75 0.866025 0.5 5.56753 -0.577217 0.99977 0.989415

0.8 0.894427 0.447214 34.4721 -1.02943 0.999829 0.981674

0.85 0.921954 0.387298 -8.64689 -2.03281 0.999872 0.965951

0.9 0.948683 0.316228 -3.83472 -11.732 0.999903 0.929653

0.95 0.974679 0.223607 -2.42438 2.36556 0.999926 0.824544

1. 1. 0. -1.73125 0. 0.999943 0.

8. t = 0 aldiunean, a zabalerako potentzial-osinaren autofuntzioak etaautobalioak honako hauek dira:

Ψn(x, 0) =

√

2

asin

[

nπ

a

(

a

2− x

)]

x ∈(

−a2,a

2

)

En =h2π2

2ma2n2

t = 0 aldiunean, partikularen energia neurtzean E1 lortzeko probabilitateaP1 = 0.6 da. E2 neurtzeko probabilitatea, P2 = 0.4 da. Beste alde batetik,potentzial-osinaren ezkerreko aldean aurkitzeko probabilitatea, Pez = 0.7da. Kalkula ezazu partikularen uhin-funtzioa t = 0 aldiunean eta t edozeinaldiunetan.

9. Elektroi bat, x = 0 eta x = a = 2π A-eko posizioen artean dago,potentzial osin infinituan. t = 0 aldiunean, bere uhin-funtzio normalizatua

ψ(x) =√

1

πsin x da. Funtzio horrek egoera iraunkorra (Hamiltondarraren

autofuntzioa) adierazten du.

4

• Zein da egoera horren energia (eV-etan)?

• Adierazitako egoeran dagoenean, kalkulatu ∆p, elektroiaren momentulinealaren ziurtasun-eza. Denboran, aldatu egiten al da?

• Kalkulatu sistemaren (potentzialaren) autofuntzioak eta autobalioak.

• Orain, demagun, zabalera bereko beste osin batean, t = 0 aldiunean,beste elektroi bat Ψ(x, 0) = B sin3 x egoeran dagoela. Energia neur-tuz gero, zein balio atera daitezke eta zein da balio bakoitza lortzekoprobabilitatea?

• Aurreko atalaren egoeran dagoenean, kalkulatu E, energiaren batez-besteko balioa, eta ∆E, bere ziurtasun-eza.

Oharra: sin3 x = 1

4(3 sin x− sin 3x) eta cos3 x = 1

4(3 cosx+ cos 3x).

10. t = 0 aldiunean, partikula baten uhin-funtzioa honako hau da:

Ψ(x, 0) = e−ax2

non a erreala eta positiboa den.

• Kalkulatu eta grafikoki adierazi P (k, 0) funtzioa, non P (k, 0)dk adie-razpenak k = p/h uhin-zenbakia k eta k + dk tartean egoteko proba-bilitatea ematen duen.

• Egin ezazu ∆x eta ∆p-ren estimazioa t = 0 aldiunean (gutxi gora-beherako balioak lortu).

• Ψ(x, 0) uhin-funtzioa, egoera iraunkorren baten uhin-funtzioa izan aldaiteke? Erantzuna baiezkoa bada, kalkulatu al daiteke Ψ(x, t) uhin-funtzioa?

• Emandako funtzioa, partikula askeren baten uhin-funtzioa izan aldaiteke? Erantzuna baiezkoa bada, kalkulatu al daiteke Ψ(x, t)uhin-funtzioa?

11. m masadun partikulak E > 0 energiarekin mugitzen dira Dirac-endelta-potentzial baten eraginpean, V (x) = −γδ(x) (γ > 0). Kalkula itzazuislapen-, R, eta transmisio-, T , koefizienteen adierazpenak. Egin ezazu

5

T (E)-ren grafikoa.

12. m masadun partikula bat ondorengo potentzialaren eraginpeanhigitzen ari da: V (x) = γ[δ(x − a) + δ(x + a)], γ > 0. Kalkula itzazuislapen-, R, eta transmisio-, T , koefizienteen adierazpenak.

13. m masadun partikula bat ondorengo potentzialaren eraginpean higi-tzen ari da:

V (x) =

∞ , x < 00 , 0 < x < aV0 , x > a

.

• Aurki itzazu autofuntzioen adierazpenak E > V0 denean.

• E < V0 denean, aurki ezazu energiaren autobalioek betetzen dutenekuazioa. Grafikoki froga ezazu autobalioek espektro diskretoa osatzendutela.

• Zein da 2mV0a2/h2 kantitatearen balio minimoa n egoera lotuak ego-

teko? Zenbat energia-maila daude ondorengo berdinketa dugunean,a2V0 = 75h2/m?

• Zenbat balio du 2mV0a2/h2, E = V0/2 baliodun egoera lotu bat baka-

rra egon dadin? Kasu honetan, zein da probableena den partikularenposizioa? Zein da klasikoki debekaturik dagoen zonaldean egotekoprobabilitatea?

14. Kontsidera dezagun beheko energia potentzialaren adierazpena (di-mentsio bakarreko molekula diatomikoaren eredua izan daitekena):

V (x) =

∞ , |x| > l + a0 , a < |x| < l + aV0 , |x| < a

.

• Hamiltondarren autofuntzioek paritate definitua (hau da, simetrikoakedo antisimetrikoak diren) al dute?

6

• E < V0 denean, froga ezazu autobalioek ondorengo bi ekuazioetatikbat betetzen dutela.

1

ktan kl = − 1

βtanh βa,

1

ktan kl = − 1

βcoth βa,

non k =√

2mE/h2 eta β =√

2m(V0 − E)/h2. Zein da kasu bakoitzaridagokion autofuntzioaren paritatea?

15. m masadun partikula bat a zabalera duen potentzial-osin infinituandago (energia potentziala nulua da [0,a] tartean). Partikulak hasieran duenuhin-funtzioa ondorengoa da:

ψ(x, t = 0) =

{

√

4/a 0 ≤ x ≤ a/4

0 Besteetan

• Energia neurtzerakoan, ze balioak lortuko genituzkeen eta ze probabi-litateekin?

• Ba al dago energiaren autobalioren bat inoiz ezin izango duguna neurtu(edozein t aldiunetan)?

• Kalkula ezazu energiaren alderantzizkoaren batezbestekoa, < E−1 >.

16. Oszilatzaile harmonikoaren autofuntzioak eta autobalioak ezagunakdirela suposatuz, zeintzuk dira beheko potentzialaren eraginpean higitzenden m masadun partikularen autofuntzioak?

V (x) =

{

∞ , x < 01

2mω2x2 , x > 0

.

17. Behean dagoen grafikoak elektroi bati dagokion Hamiltondarrarenautofuntzio bat, ψ(x), adierazten du. Elektroiak jasatzen duen energiapotentziala gorriak diren lerro bertikalen bidez separaturiko hiru aldetanbanandurik dago, tarte bakoitzean energia potentziala konstantea izanik.Zuzenean grafika honen gainean neurketak eginez, lor itzazu energia poten-tzialaren (V ) eta uhin-funtzioaren adierazpen analitikoak, eta autofuntziohoni dagokion energia (E). Azal ezazu emandako erantzunak eta erabilitako

7

−1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 −1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x (A)

ψ(x

)

prozedura.

18. Oszilatzaile harmonikoaren autofuntzioak eta autobalioak ezagunakdirela suposatuz, zeintzuk dira beheko potentzialaren eraginpean higitzenden m masadun partikularen autofuntzioak?

V (x) =

{

∞ , x < 01

2mω2x2 , x > 0

.

19. m masadun partikula bat ondorengo potentzialaren eraginpean higi-tzen ari da:

V (x) =

{

0 , 0 < x < a eta 0 < y < b∞, besteetan

.

• Aurki itzazu energiaren autobalioak eta autofuntzioak.

• Oinarrizko egoeran egonik, zein da 0 < x < a/3 , 0 < y < b/3 aldeanpartikula aurkitzeko probabilitatea?

• a = b denean aurki ezazu lehenengo lau mailen balioak.

8