Flujo compresible

Flujo Adiabático 9- 35

A FLUJO COMPRESIBLE UNIDIMENSIONAL

Es el más elemental de los flujos compresibles; su simplicidad, de análisis lo convierte en un instrumento sumamente útil.

Un flujo se puede considerar unidimensional cuando la rapidez de

cambio de las propiedades del fluido en una dirección perpendicular a la línea de corriente es despreciable, comparada con la rapidez de cambio de tales propiedades en la dirección de la corriente.

Cuando la transferencia de calor puede ser considerado despreciable, el

flujo se denomina adiabático. Si los efectos de fricción y arrastre son relativamente pequeños, el flujo puede ser considerado también como reversible, y se denomina flujo isentrópico.

El flujo isentrópico define las condiciones ideales a utilizar en la

computación de las eficiencias en los diferentes dispositivos de flujo, como son las toberas y los difusores.

9.3 FLUJO CON AREA VARIABLE

1 2

A mínima A As

Po pB

To TB

o m B

Vo = 0

p, T, m

V, M,

Fig. 9.13 Conducto de área variable A (x).

Conociendo las propiedades del reservorio y las del medio ambiente a donde

descarga, se desea determinar las condiciones del flujo en una sección

cualquiera del conducto: presión, temperatura, densidad, velocidad, flujo

másico, número de mach, así como la eficiencia del dispositivo utilizado.

x

RESERVORIO AMBIENTE CONDUCTO

FLUJO COMPRESIBLE

DATOS DATOS

Flujo compresible 9- 36

9.3.1 FLUJO ADIABÁTICO IRREVERSIBLE

Considere una expansión adiabática o una compresión adiabática desde

la sección 1 a la sección 2.

El estado de estancamiento y el estado crítico correspondiente a la

sección 1 se obtiene trazando una vertical, que representa un proceso

isentrópico, de manera que po1 sería su presión de estancamiento y el área

crítica A*1, es el área en la cual se alcanzaría el estado crítico a partir del

punto 1. Igual significado para po2 y A*2.

Fig. 9.1.4 Proceso adiabático: (a) Expansión adiabática.

En una sección A, cualquiera, del proceso de (1) a (2):

k

k

oop

pM

k

T

T

1

22

11

El flujo másico en dicha sección cualquiera: m = V A

o o

o o

p Tpm M KRT A

R T p T

o

o

TK pm po M A

R To p T [ ]

To

T*

p2* p1*

A1* A2*

p0 po2

0

p1

p2

p

1

2

T

S S1

S2 S

p*

A*

p01

A


i) Si se conoce el área A y la presión p:

1 1

21

1

k k

k k

o

p To po K p poM

po T p k p p

1 1

221

1

k k

k kp To K po pM

po T k p po

2 1

2

1

k

k kp To K po pM

po T k p po

2 1

21

1

k

k kp To K p poM

po T k po p

Luego:

2 1

21

1

k

k kK K p pom po A

R To k po p

2 1

21

1

k

k km R To K p po

A po k po p

Para : A A críticas; M = 1. 12

1

k

kp K

po k

1

2( 1)2

* 1

k

km To K

A po R k


ii) Si se conoce el área A y el número de Mach:

0

( 1)

1 2( 1)

k k

k kp To T To To

po T T T T

Se obtiene: )1(2

)1(

2

2

11

k

k

Mk

MApoToR

Km [ 9.32 ]

Esta ecuación muestra que para un número de mach dado, el flujo es proporcional a su presión de estancamiento e inversamente proporcional a la raíz cuadrada de su temperatura de estancamiento, por esta razón los datos de prueba de flujo sobre compresores, turbinas y realmente sobre cualquier paso de flujo el cual opera sobre un amplio rango de niveles de presión y

temperatura, son usualmente ploteadas con po/Tom como variable de

flujo. De esta manera el resultado de una prueba dada, llega a ser aplicable para operación en niveles de temperatura y presión diferentes a las condiciones originales de prueba.

( 1)

2 ( 1)211

2

k

km To K kM M

A po R

0,10 0,001 M 0,10 1,0 10

Fig. 9.15 Flujo másico

Considerando el peso molecular del gas w = R / R, de ( ) se obtiene:

22

11

1M

kM

R

k

wp

T

A

m o

=

Aplicando la ecuación anterior ( 9.32 ) a las condiciones críticas:

)1(2

)1(

2

11*

k

k

kApo

ToR

Km [ 9.33 ]


Igualando (9.32) y (9.33), se obtiene:

( 1)

2 ( 1)

2

11 2

1*1

2

k

kkA

kA MM

)1(2

1

2

2

12

11

1

*

k

k

k

Mk

MA

A [ 9.34 ]

Esta ecuación está representada en la Figura 9.12, donde se observa que la selección de A, determina un valor único de M siempre que Mach en la garganta sea uno.

Aplicando la ecuación (9.33) al estado 1 y 2 del proceso adiabático, e

igualando, resulta:

po1 A*1 = po2 A*2 [ 9.35 ]

Mediante esta ecuación, se puede determinar las propiedades en

cualquier punto del flujo adiabático. Así:

2

* *

1 2 12

*11 2 2*

1

A

A A Apox

Apo A A

A

[ 9.36 ]

Si se conocen po2 / po1; A1 / A2 y M1, se pueden determinar el resto de

propiedades del flujo en el estado 2.

Con M1, en la ecuación ( 9.34 ) se obtiene A1 / A*1.

Con A1 / A*1 , en la ecuación ( 9.36 ) se obtiene A2 / A*2 .

Nuevamente ( 9.34 ) para obtener M2 .

Con M2 se puede determinar el resto de propiedades en el

estado o sección 2.

Para un punto cualquiera del flujo adiabático, se puede formar una

relación que sea función del número de Mach local. Así:


1

2( 1)2

2 1

11

1 1 21* 1

1 22

k

k

k

k

kM

p A

kpo A MkM

1

2( 1)

1

2 1 2( 1)

1 1 1

1* 11 22

k

k

k k

k k

p A

kpo A MkM

1

2( 1)

1

2 2

1 1 1

1* 11 22

k

k

p A

kpo A MkM

Finalmente: 1

12

1 1

*1 1

12 2

k

k

p A

po A Mk k

M

[ 9.37 ]

que normalmente se encuentra tabulada en las tablas de flujo isentrópico.

Volviendo la atención a la ecuación [9.33]:

)1(2

)1(

2

11*

k

k

kApo

ToR

Km

El flujo másico es el flujo másico máximo que el conducto de área variable

descarga al medio ambiente. ( 1)

2( 1)1

1* 2

k

kmaxm To K k

A po R

To

T*

p2* p1*

A1* A2*

p0 po2

p1

p2

p

1

2

T

S S1

S2 S

p*

A*

p01


Fig. 9.1.4 Proceso adiabático: ( b) Compresión adiabática

EJEMPLO 9.11: Determinar una expresión para el cálculo del cambio de

entropía en función de las presiones de estancamiento.

SOLUCION

De la 1ra. Y 2da. Ley de la termodinámica: T ds = dh - dp /

de la Figura 9.14 : So2 –So1 = S2 – S1 = ∆S

dSo = ds

dho = 0; ho = constante

To dso = - dpo / o

Ecuación del gas ideal : o . To = po / R

y dso = - R ( dpo / po )

So2 –So1 = - R Ln ( po2 / po1 ) = ∆S

También: po. e - S / R

= constante

EJEMPLO 9.12: Aire fluye isentrópicamente a través de un ducto circular de

área variable. En el punto donde D1 = 34,4 cm, se tiene V1 = 184 m / s, p1 =

574,263 kPa y T1 = 200º C.

a. Calcular po, To, o, M, A*, correspondiente al estado 1. b. Calcular el número de Mach, la presión estática en un punto aguas

abajo donde D2 = 29,8 cm, si V2 es subsónica y si V2 es

supersónica.

SOLUCION

a) En la sección 1 :

3

1

5742634,2303 /

287,13 / 473

Pakg m

J kg K x K

1 20,045 473 436 /C m s

11

1

1840,422

436

VM

C

Usando la relación isentrópica:


11

211

2

kk

kTo k po oM

T p

se tiene: 1

1

2 1 1

3

11 0,422

473 2 574,263 4,2303 /

kk

kTo k po o

KPa kg m

To = 489,85 K

Po1 = 649,094 KPa

1 = 4,6171 kg / m 3

Usando la ecuación:

)1(2

1

2

2

12

11

1

*

k

k

k

Mk

MA

A ( )

Con M1 = 0,422, se obtiene: 1

*

1

A= 1,52314

A

Como 2 2

1A (0,344) 0,092944

m

→ * 2

1 0,0610A m

b)

1 2 1 2

A1 = 0,09294 m2 A1 = 0,09294 m2

A2 = 0,06975 m2 A2 = 0,06975 m2

V2 subsónica V2 supersónica

Se observa que el valor del área A2 = 0,06975 m2, se encuentra en la parte

convergente del conducto así como en parte divergente:

Caso de flujo subsónico:

m x

m x


2

*

0,069751,1434

0,0610

A

A

En ( ): M 2 = 0,0642

luego: 2

2

0,4

1,4649,0941 0,2 0,642

p

p2 = 491,931 KPa

Caso de flujo supersónico:

2

*

0,069751,1434

0,0610

A

A

En ( ): M 2 = 1,449

luego: 2

2

0,4

1,4649,0941 0,2 1,449

p

p2 = 190,276 KPa

9.3.2 FLUJO ADIABATICO REVERSIBLE

( FLUJO ISENTROPICO UNIDIMENSIONAL )

Ecuaciones básicas

Ecuación de estado para un gas ideal: p / = R T = constante.

Ecuación de continuidad: 1 1 1 2 2 2m V A V A V A constante

Ecuación de energía: 2 2 2

1 21 2

2 2 2

V V Vho h h h constante

Ecuación de impulso: 1 1 1 2 2 2p A mV p A mV p A mV constante

Proceso isentrópico: 1 2

1 2

k k k

p p p

constante

Segunda ley de la termodinámica: S1 = S2 = constante

tank

pcons te


Ahora, para un gas ideal: 1

K ph Cp T

k

La ecuación de energía queda:

2 2

1 1 2 2

1 21 2 1 2

p V p VK K

k k

2 2

2 1 1 2

1 2

( )2 1

V V p pK

k

de la ecuación de continuidad : 2 2

1 2

1 1

AV V

A

y 1 2 1

22 2

1 1 22 1 2 1

1 21

11 ( / ) ( / )

p pKV

k pA A

proceso isentrópico: 1/

1 2 1 2/ ( / ) kp p

1

12 2 1

1

21 ( / )

1

k

kpK

V fc p pk

donde

2 2

2 1 2 1

1

1 ( / ) ( / )fc

A A

es un factor de corrección por aproximación de velocidad.

Considerando p/ =R T y condiciones de estancamiento para el punto 1:

V = 0; A1 ∞ y V 2 = Vs, velocidad en cualquier sección del conducto, se

tiene que fc = 1 y

12

1 ( / )1

k

ko

K R ToV p p

k

[9.38]


12

1 ( / )1

k

o ko

o

pKV p p

k

El flujo másico por unidad de área:

1

( / ) ko o

mG V p p V

A

2 12

( / ) ( / )1

k

k ko o o

K RToG p p p p

k

[9.39]

Es decir G = G (K, R, To, po, , p) G = G ( p )

9.3.2.1 Flujo másico máximo

Para condiciones de reservorio fijadas, G depende de la relación de presiones

y tiene un valor máximo para:

122 1

0 ( / ) ( / )( / )

k

kkdG k

p po p pod p po k k

1

0

2( )

1

k

kp

p k

[9.40]

Para: K p/po

Aire 1,4 0,5283

Gases en turbina a gas 1,402 0,5279

Vapor sobrecalentado 1,30 0,5457

Vapor saturado 1,135 0,5774

* Vapor húmedo 1,035 + 0,1 x

* Ecuación de Zeuner, válido para pequeñas diferencias de presión entre la

entrada y la salida de la tobera.

Reemplazando en [9.39]:

2 1

1 1

max

2 2 2( ) ( )

1 1 1

k

k k

o

K RG To

k k k


2

1

max

2 2 2( ) 1 ( )

1 1 1

k

o

K RG To

k k k

2

1

max

2 2 1( )

1 1 1

k

o

K R kG To

k k k

1

1

max

2 2( )

1 1

k

oG Cok k

Como. 2

*1

C Cok

1

10 2( )

* 1

k

k

G max = * c* = G* [9.41]

O sea que en una expansión isentrópica, el estado en que se alcanza Gmàx es

el estado crítico.

Aplicando la ecuación de conservación de masa:

max *m G A G A

es evidente que dentro del conducto de área variable, G tendrá su

máximo valor en aquella sección donde el área tenga su mínimo, o sea en la

garganta, donde reinan las condiciones críticas. Luego:

A min = A* = A G [9.42]

En conclusión, para que se esté produciendo la máxima descarga, se

requiere que se alcance las condiciones críticas en la garganta

Graficando la ecuación ( 9.39 ), la gráfica teórica sería una parábola, pero como para p / po < p* / po el flujo es sónico en la garganta, la onda (señal enviada) creada por una disminución de presión de descarga que viaja con velocidad sónica no puede alcanzar al reservorio y transmitir el mensaje de variar el flujo másico; y este último, permanece constante ( recta horizontal en


el gráfico ), por lo que se dice que el flujo está chocado y alcanzó su máxima descarga.

Fig. 9.16 : Variación de flujo másico por unidad de área en un flujo isentrópico

Volviendo la atención a la ecuación (9.39):

2 12

( / ) ( / )1

k

k ko o o

K RToG p p p p

k

Con 0 = po / R To y 1

0

2( )

1

k

kp

p k

1

1max 0

0

2max ( )

* 1

k

km pkG

A R k T

se obtiene:

1

0 0 1maxmax

0 0

2( )

* 1

k

kT Tm k

Gp A p R k

[9.43]

Para un gas dado, el máximo flujo másico depende solamente de la relación

Topo / . Si po se duplica, el flujo máximo se duplica, en cambio, si To se

duplica Gmàx se reduce en aproximadamente 29%.

Real

p/po p*/po 1 0

G

G máx

Ecuación [9.39]


Para aire : k = 1,4, R = 287 J / kg – K

0 0

max

0 0

0,0404*

T TmG

p A p [9.44]

Esta ecuación permite establecer el valor del área de garganta ( A* ) para descargar flujo másico máximo cuando las condiciones de estancamiento po, To están dadas. Caso de tanques y reservorios. P. 9.013: Se desea expansionar isentropicamente aire desde un reservorio que

se encuentra a po = 200 kPa y To = 500 K, a través de un conducto

convergente divergente circular hasta un número de Mach de salida Ms = 2,5. Si el gasto es de 3 kg / s, calcular:

a. El diámetro del conducto en la garganta. b. Las propiedades del flujo en la sección de salida: p, T, V y A.

a. Cálculo del diámetro en la garganta: DG

Como se trata de un conducto de sección transversal circular, en la garganta se tiene:

2

4

GG

DA

[ f ]

Como en la salida se tiene Ms = 2,5; en la garganta se han alcanzado las condiciones críticas, es decir M = 1,0 y AG = A*.

EL flujo másico. VAm , está dado por: ( 1)

2( 1)2

( 1)

2 ( 1)max

11 ( )

2

1* .......... ( )

2

o

o

o

o

k

k

k

k

pK km M A M

R T

pK km A

R T

Para aire:

(9.44)

Reemplazando valores:

5003 /

0,040418* 200 000

Kkg s

A Pa

po=200 KPa

p*

ps

500 k=To

As

AG

T

S

Ms = 2,5

1

1max2

0,040418* 1

k

ko

o

Tm k

A p R k


A* = 0,0082985 m 2

DG = 10,28 cm

b. Como se conoce el numero de Mach en la salida, utilizando la ecuación () , se determina As = 0,021880676 m2

(1,4 1)2 2(1,4 1)1,4 200 000 1,4 1

3 / 2,5 1 2,5 ( )2500287,13

/

S

Pakg s A

J K

kg K

As = 0,021880676 m2

y usando: k

k

ps

pMs

k

Ts

T oo

1

2

2

11

k

k

spTs

1

2 200)5,2(2,01

500

pS = 11,706 kPa.

Ts = 222,22 K

Cs = 298,812 m / s

2,5 Vs 747,03 /298,8

V VsM m s

C

P. 9.014: Aire a condiciones de p = 8 bar y T = 1100 K ingresa a una tobera y se

expande adiabáticamente y politrópicamente con n = 1,3 hasta la presión de 3,5 bar. Calcular la temperatura, la velocidad y el número de Mach en la salida de la tobera.

Solución

Proceso politrópico de (1) a (2); y la ecuación de estado:

nn

n

T

T

p

p

p

p

constantep

1

2

2

1

22

1 1

)(

1

1

2

1

1

2

1

2 bp

p

T

Tn

n

n

Reemplazando valores en (b):

1 2 n = 1,3

p1 = 8 bar T1 = 1100 K

p2 = 3,5 bar

3 kg / s

1

2

2s

p2S = p2

T To

S


T2 = 908,95 K

La ecuación de energía: constanteV

hV

hho 22

22

11

Gas ideal: h = Cp T

)(22

22

11 aconstante

Cp

VT

Cp

VTTo

Cp

VK

Cp

VKTo

295,908

21100 21

No considerando la velocidad de ingreso a la turbina (V1): V2 = 619,53 m / s:

También C2 = 20,045 2T = 604,33 m / s

y 2

619,53M = = 1,025

604,33

se trata de una tobera supersónica

9.3.2.2 EFECTO DE LA VARIACIÓN DE AREA EN LOS FLUJOS SUBSÒNICOS Y SUPERSONICOS

9.3.2.1 LA FUNCION IMPULSO

9.3.4 FLUJO EN TOBERAS Y DIFUSORES Ya està màs adelante.

nT 3,1

13,1

2

8

5,3

1100


9.3.3 LA FUNCIÓN IMPULSO



9.3.4 FLUJO REAL EN TOBERAS Y DIFUSORES

Se han determinado ecuaciones que permitan calcular la sección de garganta de un conducto de área variable que permita el paso de un flujo de masa especificado, desde unas condiciones de estancamiento a la presión ambiente de un modo isentrópico. Sin embargo en el caso real existe rozamiento que impedirá trabajar a la tobera en la forma descrita. Esta del comportamiento isentrópico requiere una corrección (que es pequeña), proveniente de la evidencia experimental desarrollada en varios tipos de toberas o difusores.

9.3.4.1. TOBERAS

Se define como un conducto de área variable que, permite a un fluido expansionarse desde alta presión a baja presión; es decir, hay un incremento de velocidad en la dirección del flujo a costa de disminuir la presión. Desde el punto de vista de energía, aquí se convierte energía térmica en energía cinética.

h

po1 po2

ho

h1

h2

h2s

p2

S

Fig. 9.19 Eficiencia de una tobera

Como medida de los efectos de rozamiento en una tobera se usa la eficiencia de la tobera, definida como la relación de la energía cinética real, que sale de la tobera por unidad de masa de flujo, a la energía cinética teórica por unidad de masa de flujo que podía ser alcanzada en una expansión isentrópica para iguales condiciones de entrada y presión de salida.

1 ec1

2

ec2

ec2S

2s


De la figura 9.19, se tiene:

99,090,02/

2/

1

1

2

2

1

2

21

21

2

2

2

2

áechh

echh

hho

hho

V

V

ec

ec

ssstob

Usualmente la energía cinética inicial es relativamente pequeña, de manera que puede no considerarse sin incurrir en error apreciable; es decir ec1 = 0 y:

s

real

stob h

h

hh

hh

21

21 [9.53]

Se define como coeficiente de velocidades a la relación:

s

veloc V

V

2

2 [9.54]

stob TTCp

V

2

2

1

22/2

[9.55]

Como la diferencia entre el proceso real y el proceso ideal son los efectos disipativos (irreversibilidades por fricción, choque, etc.), una medida de estos

efectos es la diferencia h2 - h2s, que se puede interpretar como la reconversión

irreversible de energía mecánica en energía térmica; estos efectos se toman en cuenta definiendo el grado de recalentamiento “y” , dado por :

tobS

S

hh

hhy

1

21

22

[9.56]

Así mismo se define el coeficiente de descarga de la tobera:

s

r

ti

real

m

m

m

mCd

sen [9.57]

Los efectos de rozamiento están limitados, principalmente a la zona divergente de la tobera, y así se usará las formulas anteriores para corregir el área de salida. La geometría restante es fruto de la experiencia generalmente. La parte convergente es corrientemente arbitraria, mientras que la zona divergente tiene una forma que es un acuerdo entre los dos efectos. Una longitud corta implica que el flujo tendrá una componente de la velocidad apreciable en dirección normal a la línea central; esto tiene como consecuencia una pérdida de empuje y por consiguiente no es deseable. En el caso de una sección divergente larga existe menos divergencia, pero hay una desventaja, que tendrá una mayor cantidad de rozamiento en la pared.


9.3.4.2. DIFUSOR

Se denomina así al conducto de área variable que comprime a un flujo, convirtiendo su energía cinética en energía de presión.

Esto es preciso en los motores a chorro, en los que el aire que ingresa debe ser frenado para lograr una parte de la alta presión necesaria en el motor y permitir a un compresor trabajar adecuadamente para desarrollar un posterior incremento de presión.

El difusor es menos efectivo en su comportamiento que una tobera, debido a que existen capas límites más gruesas como resultado del gradiente desfavorable de presión, que producen mayores efectos de rozamiento.

h

po1 po2

ho, To

p1

S

Fig. 9.19 Eficiencia de un difusor

75,02/ 12

12

12

hh

hh

V

h SS

Dif [9.58]

Usado en túneles aerodinámicos y compresores.

La relación de presiones de estancamiento:

1

2

2

2

O

O

SO

O

p

p

p

pDif [9.59]

El porcentaje de recuperación estática:

[9.60] Usado en difusores de entrada supersónica para motores a chorro o estatorreactores.

2s

ec2S 2

ec1

1

ec2

p2s

h2s

h2

h1

2

2 1

C

S

S

p

p p


9.015 : Gas (k= 1,4; R= 287 J/Kg-K) a condiciones de pabs= 2,5 bar y T= 720 °C ingresa a la tobera de una turbina a gas. La tobera a la salida tiene un área de 0,014 m² y una presión pabs = 1 bar. Si el 96% del salto isentrópico se convierte en energía cinética:

a. Calcular: El flujo másico (kg/h). El número de Mach en la salida de la tobera.

b. Calcular el salto de entropía que se produce en la tobera

Solución

T

po1 po2

To

T1 993 K

T2

T2s

p2

S

p1 = 2,5 bar p2 = 1,0 bar

T1 = 993 K A2 = 0,014 m2

tob = 0,96

a. El flujo másico: 222111 AVAVm ..................[a]

Cálculo de las propiedades del flujo en la sección 2:

despreciando la energía cinética inicial s

real

stob h

h

hh

hh

21

21 ;

gas ideal: h = Cp T , con Cp constante, se tiene:

stob TT

TT

21

21

[b]

1 ec1

2

ec2

ec2S

2s

p1 = 2,5 bar

1,0 bar

p1 = 2,5 bar

O1 O2


Proceso isentrópico: k

k

ss p

p

T

T

1

2

1

2

1

[c]

4,1

14,1

1

5,2993

2

sT T2 S = 764,28 K

En [b]: 29930,96

993 764,28

T

T2 = 773.43 k C2 = 20,045 √ 773,43 = 557,46 m/ s

= 100 000 Pa/ 287 x 773,43 = 0,04505 kg/m3

Energía: 2

2

VTo T

Cp

2

993 773,432 1004,5

V

V2 = 664,17 m /s Reemplazando [a]:

3 20,04505 / 664,17 / 0,014 4,188 /m kg m m s m kg s

15 080 /m kg h

b . el salto de entropía: S = - R Ln ( po 2 / po 1 )

Proceso isentrópico:

1

2 2

2 2

k

kTo po

T p

[c]

1, 4 1

1, 42993

773,43 1

po

po2 = 2,398 bar

S = - 287 x Ln (2,398 / 2,50 ) = 11,95 J / kg - K

P. 9.016: Para un difusor de eficiencia constante determinar una expresión para determinar:

a. La presión de salida del difusor en función de la eficiencia, presión y número de Mach en la entrada.

b. La eficiencia del difusor en función de la presión de estancamiento en la entrada y salida del difusor.




SEMINARIO: TOBERAS Y DIFUSORES

James A. Fay

P1. [12.3] En una planta generadora de energía de ciclo cerrado con turbina de gas, el helio ingresa en la turbina adiabática con una presión p1 = 8 bar y temperatura T1 = 1100 K y sale con una presión p2 = 1 bar y temperatura T2 = 620 K. calcule:

a. La eficiencia (t ) de la turbina adiabática y

b. El trabajo entregado por la turbina por kilogramo de helio que fluye a

través de ella.

P2. [12.4] en un túnel aerodinámico supersónico, el aire almacenado a una presión p0 = 10 bar y temperatura T0 = 290 K se hace pasar adiabáticamente a través de una boquilla convergente-divergente, de donde sale corriente de aire

como vapor supersónico a una presión de p1 = 1 bar. Si se supone una

constante k = 1,4, calcule:

a. El número de Mach del flujo en la salida de la boquilla.

b. La temperatura del flujo en la salida

c. La razón del área de salida al área de garganta, A S / A G. y

d. El gasto másico de aire si el área de la garganta es de 10 cm 2.

P3. [12.5] Se propone diseñar un túnel aerodinámico hipersónico utilizando helio ( k = 5/3), como fluido de trabajo en el que la sección de prueba funcionará con un número de Mach = 20. Calcule:

a. La temperatura To de estancamiento si la temperatura de la sección de

prueba es de Tp = 10 K,es

b. La presión de estancamiento que se necesita si la presión en la sección

de prueba pp = 0,0001 bar = 10 Pa y

c. La razón del área de la sección de pruebas al área de la garganta, A p /

A G.

P4. [12.8] A través de una tubería fluye gas natural (metano), comprimido a una presión de p1 = 60 bar y temperatura T1 = 300 K. la longitud de la tubería es L = 7 km y su diámetro D. el gas sale en el otro extremo de la tubería con una presión p2 = 10 bar. La velocidad del flujo de entrada es V1 = 45 m / s. si se supone que el flujo es adiabático, calcule:

a. La temperatura T2 del flujo de salida,

b. Los números de Mach M 1 y M 2 del flujo que entra y del que sale y

c. El valor de fricción de de Darcy f para este flujo.


P5. [12.10] Se conecta un tanque grande que contiene gas perfecto con una velocidad de propagación del sonido c y constante k a una tubería muy larga (x ≥ 0 ) mediante una válvula de apertura rápida localizada en la entrada de la tubería. Inicialmente, la tubería ha sido completamente evacuada ( p = 0 cuando t = 0; x ≥ 0). De pronto, al tiempo t = 0, se abre la válvula y el gas fluye hacia la tubería. El flujo del tanque hacia la entrada de la tubería es un flujo estrangulado estacionario; el flujo en la tubería es un flujo no estacionario.

a. Obtenga una expresión para la velocidad máxima u máx del gas en la

tubería y calcule la razón u máx / V max para k = 1,4, donde V max es

la velocidad máxima del flujo estacionario para un flujo isentrópico,

desde el tanque a una región de presión cero.

b. Exprese la velocidad u { x, t } en la tubería en función de x y t.

FRANK M. WHITE

P6. [9.76] Un gran depósito a 20 ºC y 800 kPa se usa para llenar un pequeño tanque aislado a través de una tobera convergente-divergente de 1 cm 2 de área de garganta y de 1,66 cm 2 de área de salida. El pequeño tanque tiene un volumen de 1 m 3 y está inicialmente a 20 ºC y 100 kPa. Calcule el tiempo transcurrido cuando:

a. la onda de choque empieza a aparecer dentro de la tobera, y

b. el gasto másico empieza a caer por debajo de su valor máximo.

P7. [9.77] Un gas perfecto (no aire) se expande isentropicamente a través de una tobera supersónica con un área de salida que es cinco veces el área de garganta. El número de Mach a la salida es 3,8.

a. ¿Cuál es la relación de calores específicos del gas?.

b. ¿De qué gas puede tratarse.

c. Si po = 300 kPa, ¿Cuál será la presión de salida del gas?.

P8. [9.78] La orientación de un agujero puede ser determinante. Considere los agujeros A y B de la figura, que son idénticos, pero están contrapuestos. Para unas propiedades del gas dadas, calcule el gasto másico a través de de cada uno de los agujeros y explique porque son diferentes.

0,2 cm 2 p1 = 150 kPa T1 = 20 ºC

0,3 cm 2

Am p2 = 100 kPa Bm


P9. [9.79] Un gran depósito a 600 K suministra aire a través de una tobera convergente-divergente con un área de garganta de 2 cm 2. En la sección de área 6,2 cm 2 se forma una onda de choque normal. La presión justo aguas abajo de la onda de choque es de 150 kPa. Calcule:

a. La presión en la garganta, p G

b. El gasto másico en kg/h, y

c. La presión en el depósito, po.

6,2 cm 2

2 cm 2

P10. [9.80] El neumático de un coche a nivel del mar se encuentra inicialmente a 32 lbf/pulg 2 de presión manométrica y 75 ºF. Cuando es perforado con un agujero de forma de tobera, su presión manométrica desciende a 15 lbf / pulg 2

en 12 minutos. El volumen del neumático es de 2,5 ft 3. Calcule el tamaño del agujero en milésimas de pulgadas. P11. [9.81] El helio contenido en un depósito grande a 100 ºC y 400 kPa descarga en un depósito receptor a través de una tobera convergente-divergente diseñada para descargar a M = 2,5 con un área de salida de 1,0 cm 2. Calcule:

a. La presión en el depósito receptor y

b. El gasto másico en las condiciones de diseño.

c. Calcule el rango de presiones del recipiente para el cual el gasto másico

es máximo.

P12. [9.82] Una corriente de aire a 500 K alimenta a una tobera convergente-

divergente, con un área de garganta de 1,0 cm 2 y un área de salida de 2,7

cm 2 . Un tubo de Pito colocado en el plano de salida mide po = 250,6 kPa y

p = 240,1 kPa cuando el gasto másico es de 182,2 kg/h. a. Calcule la velocidad de salida.

b. ¿Existe una onda de choque en el conducto?. Si es así calcule el

número de Mach justo aguas debajo de dicha onda.

AG

pB

i S

po

To = 600

K

y x

A

150 kPa

Aire


P13. [9.83] Un motor cohete proporciona un empuje de 1 millón de lbf cuando opera bajo condiciones de diseño (descarga sin onda de choque ni onda de expansión a la presión de 101,325 kPa). La presión y temperatura en la cámara son 600 lbf / pulg 2 y 4000 ºR, respectivamente. Los gases de salida se asemejan a un gas con k = 1,38 y un peso molecular de 26. Calcule:

a. El número de mach a la salida y

b. El diámetro de la garganta

P14. [9.84] Un flujo de aire atraviesa el conducto de la figura, donde A1 = 24 cm 2, A2 = 18 cm

2 y A3 = 32 cm 2. En la sección 2 existe una onda de choque

normal. Calcule: a. El gasto másico,

b. El Número de Mach y

c. La presión de remanso en la sección 3.

Onda de choque M 1 = 2,5 p 1 = 40 kPa

T 1 = 30 ºC P15. [9.85] Un gran tanque a 300 kPa suministra aire a través de una tobera

con un área de garganta de 1,0 cm 2 y un área de salida igual a 2,2 cm

2. En

el plano de salida se forma una onda de choque normal. La temperatura justo aguas abajo de esta onda de choque es de 473 K. calcule:

a. La temperatura en el gran tanque,

b. La presión en el receptáculo receptor y

c. El gasto másico.

3 1

y x

2

m Aire



9.4 LA ONDA DE CHOQUE NORMAL

Una pequeña perturbación se propaga en un fluido a la velocidad del sonido, cuando se encuentran ondas más fuertes, que ocasionan cambios rápidos y severos de las propiedades del flujo de una pequeña región del flujo, se dice que se ha formado una onda de choque.

En la práctica se puede crear grandes perturbaciones de presión,

utilizando un diafragma de acero dentro de un tubo. Cuando la presión es lo suficientemente alta, el diafragma estalla y el choque se propaga a través del tubo. La velocidad de propagación de esta onda de presión es superior a la velocidad del sonido.

Figura Onda de choque generada en un tubo de choque mediante el movimiento de un pistón que se

desplaza con una velocidad Vp, en el interior de un gas inicialmente estacionario. En la región sombreada

se representa el fluido que está entre la onda de choque y el pistón y que se desplaza con la misma

velocidad del pistón La onda de choque es de un espesor muy pequeño, lo cual hace difícil

su estudio, requiriendo entre otras cosas la utilización de la termodinámica de los no equilibrios.

En este capitulo se hará un estudio para relacionar las propiedades del

flujo antes y después de la onda de choque. Onda de Choque px py Tx Vx Vy Ty

x y

Fig. 9.21 Onda de choque normal estacionaria Considere un flujo permanente y uniforme, las variables del flujo antes

de la onda de choque se designan por el subíndice “ x ” y con el subíndice “ y ” las variables del flujo después del choque. El proceso de flujo que se produce a través de la onda de choque es no isentrópico debido a los efectos de fricción y conducción de calor dentro del choque mismo.


Ecuaciones aplicables:

Continuidad : YYXX VVGA

m

= constante

Impulso : 22YYYXXX VpVp

Energía : 22

22Y

YX

Xo

Vh

Vhh = constante

Gas ideal : p

RT

h Cp T

Entropía : Sy – Sx 0

1

2

1

2[ ]

1

kp

Sy Sx Cv Lnp

Considerando que son conocidas las condiciones del flujo antes del

choque, las condiciones del flujo después del choque: Ty, py, y, Vy, Sy

pueden ser determinadas de estas cinco ecuaciones.

9.4.1. LÍNEA DE FANNO Y LÍNEA DE RAYLEIGH

Si se considera un valor de Vy, de la ecuación de continuidad se obtiene

y; de la ecuación de energía se obtiene hy; de la ecuación del gas ideal se obtiene Ty, py; finalmente de la ecuación de entropía se obtiene Sy. Repitiendo los cálculos para otros valores de Vy se obtiene, en un diagrama h-s, una curva denominada línea de Fanno.

Tomando un valor particular de Vy, de la ecuación de continuidad se

obtiene y; de la ecuación de impulso se obtiene py; de la ecuación del gas ideal se obtiene Sy. Repitiendo estos cálculos para otros valores de Vy, se obtiene, en un diagrama h – S, una curva denominada línea de Rayleigh.

Fig. Línea de Fanno y línea de Rayleigh.

ONDA DE

CHOQUE

RAYLEIGH

FANNO

X

Y

S

h

h0


La parte inferior de las dos curvas corresponde a una condición en la que M > 1 y la porción superior señala las condiciones en que M < 1. Se demuestra que los puntos de máxima entropía de estas líneas son A y B donde M = 1.

Los puntos de intersección de la línea Fanno y la línea Rayleigh

constituyen una solución para el conjunto de las ecuaciones dadas. Se observa que el estado inicial “X” es un estado supersónico y el estado final “y” es un estado de flujo subsónico.

9.4.2. RELACIÓN DE PROPIEDADES Como el flujo es adiabático: Toy = Tox, de manera que

)2

11()

2

11( 22

YX Mk

yTyToMk

TxxTo

2

2

2

11

2

11

Y

X

Mk

Mk

xT

yT

[9.61]

Es conveniente establecer relaciones para las características de flujo a través de la onda de choque sólo en función del número de Mach inicial. De la ecuación de estado y de continuidad:

x

y

x

y

y

x

x

y

V

V

p

p

p

p

xT

yT

x

y

x

y

x

y

xx

yy

x

y

T

T

M

M

p

p

CM

CM

p

p

xT

yT

De donde:

2

2

2

11

2

11

Y

X

Mk

Mk

M

M

p

p

y

x

x

y

[9.62]

Examinando la ecuación de cantidad de movimiento:

22YYYXXX VpVp

Gas ideal: 222 MpkTRKMTR

pV


)1()1( 22yyxx MkpMkp

2

2

1

1

y x

x y

p k M

p k M

[9.63]

Igualando las ecuaciones (9.62) y (9.63) :

2 2

2 2

1 11 1

2 21 1

1 12 2

X Y Y

X Y

x

k kM M M M

k kM M

11

21

2

2

2

2

x

x

y

Mk

kk

M

M [9.64]

Sustituyendo el valor de My en (9.63), y en (9.61), se obtienen:

2

1

2 1

1 1

y

x

p k kM

p k k

[9.65]

2 2

1 1

22

1

1 21 [ ] [ ] 1

2 1

( 1)[ ]2 ( 1)

k kM M

kTy

kTxM

k

[9.66]

La relación de densidades, en términos del número de Mach inicial, se puede encontrar a partir de la ecuación de estado:

/

/

y y y x

x x x y

p R T p Ty x

x p R T p T y

2

2 11 1

1 x

Vy x

Vx y k M

[9.67]

La relación de presiones de estancamiento es una medida de la

irreversibilidad del proceso de choque.

/

/

poy poy py py

pox pox px px


12

2

11

21

12

k

k

y

x

kM

poy py

kpox pxM

Introduciendo la ecuación (9.65) y (9.64), se obtiene;

1 12

12

2

12 12

1 1 11

2

k

k

kx

x

x

kM

poy oy k kM

kpox ox k kM

[9.68]

El cambio de entropía:

0 00 0

( / )

S So Sy Sx S y S x

S R Ln poy pox

2

2

2

11

1 2 1211 1 1 1

2

x

x

x

kM

Sy Sx k k kLn Ln M

kR k k k kM

[9.69]

La gráfica de esta ecuación se encuentra en la figura 9.23, donde: Para M > 1 Sy – Sx > 0

M < 1 Sy – Sx < 0, contra la segunda ley de la Termodinámica. Conclusión : El estado inicial de un choque normal será siempre supersónico. Por otro lado, de la ecuación (9.64):

2

2

2

2

12

11

x

y

x

MkM

kM

k

Como Mx > 1 siempre, resulta que 2

yM < 1

Conclusión: El estado final de un choque normal será siempre subsónico.


Fig. 9.23 Ecuación (9.69)

En esta gráfica puede verse que el número de Mach inicial Mx es mayor, mayores son

los cambios de las propiedades y características del flujo a través de la onda de choque.

En estas curvas puede verse que después de la onda de choque existe una temperatura

mayor, una presión no perturbada mayor y una presión de estancamiento menor.

RELACION RANKINE -HUGONIOT

Una interesante relación de la presión y la densidad se obtiene sustituyendo el valor de My de la ecuación (9.64) en la ecuación obtenida de (9.62) y (9.61), se obtiene: Usando la ecuación Resolviendo para

Zona posible de choque

1 2 Mx

oo

(+)

(-)

(0)

(S

y -

Sx)

/ k


Conocida como ecuación de Rankine-Hugoniet, la cual sólo será posible cuando esté encierra de la isentrópica y o sea para el choque. llllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllll

EJEMPLO 9.18: Un tubo de pitot en una corriente supersónica produce una onda

de choque, como se muestra en el esquema. Considerando que la prueba es a 0° el ángulo de ataque, y que la onda de choque producida es normal al flujo, y que la prueba está diseñada para medir la presión estática después del choque py.

a. Encuentre una expresión para evaluar el número de Mach de la corriente supersónica Mx, en términos de poy, py.

b. Conocida Toy, determine la velocidad del flujo antes y después del choque.

My < 1 py Mx > 1 poy Considerando flujo isentropico antes y después del choque:


21 1

12/

k kMy

kpoy py

[1]

[ 2]

2

2

2

2

1

21

1

Mxk

Myk

Mxk


EJEMPLO 9.19 : Una explosión en aire, k = 1.4 produce una onda de choque esférica que se propaga radialmente en aire en calma y en condiciones normales. En el instante mostrado en la figura, la presión detrás de la onda es 1380 KPa.

a. Calcule la velocidad C de la onda de choque. b. Calcule la velocidad V del aire justo detrás de la onda de choque.

C

1380 Kpa

PUM

v


9.4.3. INTENSIDAD DE UNA ONDA DE CHOQUE Se define así a la relación del incremento de presión a la presión inicial. Usando la ecuación (9.65), se obtiene: Un choque débil implicaría : De (9.72): Considerando el cambio de entropía, en la forma: Usando (9.74) y (9.75), :

Usando la serie de expansión: Esto indica que la producción de entropía es una función del cubo de la intensidad del choque. Para el caso de choques débiles, el proceso isentrópico constituye una buena aproximación.

AAAAAAAAAAAAAAAAAAAA



PROBLEMAS


9.05.-FUNCIONAMIENTO DE LAS TOBERAS Una nota sobre chorros libres

Se considera chorro libre a un fluido que fluye desde un conducto hacia una zona relativamente grande que contiene fluido, el cual tiene una velocidad respecto al chorro que es paralela a la dirección del flujo en el chorro.

En el caso de un fluido que sale de una tobera a la atmósfera con flujo

subsónico; se demuestra que la presión de salida ps, para tales flujos, debe de ser la atmósfera que lo rodea. pa ps

Figura Nº 9.26 : Descarga de chorro subsónico Si ps > pa : Tendría lugar a una expansión lateral del chorro. Este hecho

disminuiría la velocidad del chorro, de acuerdo con la teoría del flujo isentrópico, y, por consiguiente caería necesariamente la presión en el chorro, agravando más la situación. Una continuación de éste efecto seria catastrófico.

Si ps < pa : Tendría lugar una contracción del chorro de acuerdo con la

teoría del flujo isentrópico, y un incremento de velocidad. Esto produciría una disminución posterior en la presión del chorro, agravando de nuevo la situación.

Está claro de que cualquiera de las dos suposiciones nos lleva a esperar

una INESTABILIDAD en el flujo del chorro. Puesto que se observa que el chorro subsónico es estable, se puede concluir que la presión del chorro debe ser igual a la presión que lo rodea: ps = pa.

Sin embargo, si el chorro emerge supersónicamente, la presión de salida no necesita ser igual a la presión de los alrededores. La presión de salida se ajusta a la presión exterior, mediante una sucesión de ondas de choque y ondas de expansión oblicuas , para el caso bidimensional o de ondas cónicas similares en el caso simétrico tridimensional. 9.5.1.-TOBERA CONVERGENTE

Considere que el conducto convergente tiene una área de ingreso bastante grande, sección “o”, y descarga a través de la Sección “s” a un ambiente que se encuentra a la presión pB (denominada contrapresión).

Vch


0 S B p/po 1,0 p*/po 2 O x

Figura Nº 9.27 : Tobera subsónica

REGIMEN I REGIMEN II p*/po 1 3 2 3 2 1

0 p*/po pB / po 1 0 pB / po 1

Figura Nº 9.28 : Funcionamiento de la tobera subsónica

m

m

pS

pB

Vo = 0

p0 =Const.

To = Const

Constante.

O

2

3

I

II

1 p

S /

po

m T

o

AS

po


Los valores de presión y temperatura en la sección “o”, serán constantes, mientras que la presión de contrapresión PB será variable mediante una válvula.

Analizaremos el efecto de la variación de pB sobre la distribución de presión a lo largo de la tobera.

O: La presión pB es igual a po. La presión a lo largo del conducto es igual a po

.

M = o pB = po = 0 ps=pB 1: Al disminuir ligeramente PB con respecto a Po., se tiene un flujo a lo largo del

conducto, con características subsónicas.

MS < 1 p*/ po< PB / Po <1 0< < máx Ps/po=PB/po 2: Cuando la presión posterior PB disminuye hasta alcanzar en la garganta de

la tobera el estado sónico, y representa el funcionamiento de una tobera en las condiciones de diseño.

MS = 1 pB / po = p*/ po = máx ps / po = pB / po = p* / po 3: Un descenso posterior de PB, no tiene efecto alguno sobre el flujo dentro de

la tobera, y se dice que la tobera está funcionando en condiciones de estrangulamiento. (a veces se denomina flujo “chocado”).

MS = 1 pB / po < p*/ po = máx ps / po = p* / > pB/po

Una explicación:

Cuando se establecen condiciones sónicas en la garganta, el fluido en ésta región se está moviendo corriente abajo, tan veloz como la propagación de la presión puede moverse corriente arriba. De aquí que, las variaciones de presión resultantes de adicionales descensos de la presión posterior (pB) no puedan “comunicarse” hacia arriba a través de la garganta, la cual está actuando como una barrera. Por ello en éstas condiciones no pueden producirse cambios delante de la garganta .

Cuando pB se reduce de nuevo, la presión del chorro continua permaneciendo en la presión critica en la salida de la tobera; existe ahora una diferencia de presión entre el chorro y los alrededores, condición solamente posible en un chorro libre cuando el flujo tiene un Mach igual o mayor que la unidad. Tiene lugar en el chorro un ajuste a la presión ambiente por medio de una serie de ondas de expansión. Los descensos posteriores de presión, producen solamente un aumento de la intensidad de las ondas de expansión

Se observa de este modo, que una tobera convergente puede actuar

como una válvula de corte, permitiendo solamente un cierto flujo másico máximo, para un conjunto dado de condiciones de estancamiento (po, To); como se vió al analizar la ecuación (9.44)

m

m m

m m

m m


RESUMEN : Régimen I Régimen II pB / po > p* /po pB / po < p*/ po

ps / po = pB / po ps / po = p*/ po

= f (po, To) < máx = máx

EJEMPLO 9.020: El aire de un tanque a 120 kPa y 300 K se descarga a la

atmosfera (p atm) a través de una tobera convergente que tiene un área de

salida igual a 5 cm 2.

a. Determine la descarga del aire en kg/h, cuando la presión atmosférica:

p atm es igual a 101,325 kPa.

b. Determine el flujo másico de aire que se descarga si la presión

atmosférica es de 100 kPa, 90 kPa, 80 kPa y 70 kPa.

c. Determine el flujo másico máximo que puede descargar la tobera, y cuál

es la presión atmosférica que hace posible esta descarga máxima.

d. Determine la presión patm, si se quiere una descarga de aire igual a

0,125 kg / s.

e. Demuestre que el empuje de un motor cohete en el vacio viene dado

por:

2

2 1

(1 )

1(1 )

2

k

k

po As k MsE

kMs

Donde, As es el área de salida; Ms es el número de Mach en la salida; po es la

presión de remanso (estancamiento) en la cámara de combustión

NOTE: que la temperatura de estancamiento no afecta al empuje.

m m m m




9.5.2 TOBERA CONVERGENTE DIVERGENTE


Se mantienen fijas las condiciones de estancamiento, la presión posterior se varía mediante la válvula

La válvula se encuentra cerrada, y a lo largo de la tobera la presión es po, no existe flujo. Curva 0

La presión pB es elevada, permitiendo un flujo subsónico a lo largo de la tobera , y el flujo emerge como un chorro libre con una presión igual a la presión de los alrededores. Curva 1.

Una disminución ulterior de la presión posterior pB se logra un estado con flujo sónico en al garganta y un retorno al flujo subsónico en la sección divergente de la tobera; curva 2, que es la curva límite para un flujo completamente subsónico a lo largo de la tobera, se señala como región II.

Una disminución mayor de pB no afecta al flujo en la parte convergente de la tobera. El caudal, en consecuencia, no puede incrementarse después que se ha pasado la región I, y la tobera se considera que está operando en una condición de estrangulamiento; sin embargo, mas allá de la garganta existe de nuevo una expansión isentrópica supersónica. Curva 3, que está súbitamente interrumpida por una onda de choque plana. Después de la onda de choque se produce una expansión subsónica a la presión posterior. pB. Esta parte subsónica del flujo puede considerarse isentrópica si no ha tenido lugar un excesivo crecimiento de la capa límite, como resultado del desfavorable gradiente de presión de la onda de choque.

Cuando se disminuye más la presión posterior (pB), la onda de choque se moverá corriente abajo, resultando más enérgica, puesto que la onda de choque tiene lugar a un número de Mach más elevado .Finalmente, aparecerá exactamente a la salida de la tobera , curva 4.

Las curva 2 y la curva 4 forman las zonas límites donde las ondas de choque se encontraran en el interior de la tobera. Región II.

Mayores descensos en pB, a partir de la presión más baja de región II, sacan la onda de choque fuera de la tobera, con el resultado que tenemos un flujo supersónico exactamente fuera de la tobera. La presión del chorro es ahora menor que la presión ambiente y la onda de choque antes mencionada se transforma en parte de un tipo oblicuo complejo durante el cual se produce un ajuste de la presión del chorro a las condiciones del medio ambiente. Curva 5.

Cuando la presión posterior (pB) decrece de nuevo, las ondas de choque disminuyen en intensidad, hasta que se alcanza una presión en la que no aparecen ondas de choque apreciables; curva 6, que corresponde a las condiciones para las que fue diseñada la tobera. La ventaja de una tobera en condiciones de diseño es que se logra el mejor aprovechamiento energético. Así se forma otra región , señalada como región III, donde los tipos de onda se hallan fuera de la tobera , con un ajuste de presión en el chorro que tiene lugar desde un valor más bajo a uno más elevado, que es el de la presión ambiente. Se dice que en ésta región la tobera está trabajando sobre-expansionada.

Del descenso de pB por debajo de las condiciones de diseño, resulta la necesidad de un ajuste desde la más alta presión del chorro a la más baja


presión ambiente, a través de una serie de ondas de expansión y ondas de choque oblicua que crecen en intensidad al disminuir la presión posterior. Así se forma la sección IV, donde la tobera se dice que trabaja sub-expansionada.

RESUMEN : 0 : Válvula cerrada. No hay flujo

I : p2 / po < pB / po < 1

Flujo subsónico : En toda la tobera. pS / po = pB / po

< máx ; es sensible a las variaciones de pB

2 : La curva 2 es límite del comportamiento subsónico de la tobera

II : p4 / po < pB / po < p2 / po

Parte convergente : Flujo subsónico Parte divergente : Flujo supersónico con onda de choque normal pS/po = pB/po pG/po = p*/po

= máx ; insensible a las variaciones de pB.

4 : pB / po = p4 / po

Localiza la onda de choque justamente en la sección de salida de la tobera.

III : p6 / po < pB / po < p4 / po

Parte convergente : Flujo subsónico Parte divergente : Flujo supersónico con onda de choque 0blicuo fuera de la tobera pS/po < pB/po pG/po = p*/po = Constante

= máx ;= Constante.

6 : pB / po = p6 / po

Condición de diseño de la tobera. El flujo es isentrópico dentro y fuera de la tobera. Se logra el mejor aprovechamiento energético.

IV : p7 / po < pB / po < p6 / po

Parte convergente : Flujo subsónico Parte divergente : Flujo supersónico con onda de expansión 0blicuo fuera de la tobera Ejemplo : Analice el funcionamiento de una tobera de motor a chorro; cuando trabaje sobre-expansionada y sub-expansionada. En un avión de motor a chorro, el objeto de la tobera es doble :

1. Funcionando en su condición de estrangulamiento, limita el caudal a un valor que es el propiamente adecuado para las exigencias de los otros

m m m

m m

m m


componentes del sistema del motor a chorro. El tamaño de la sección de garganta es la variable de control.

2. Buscar un flujo que produzca el empuje más grande compatible con la resistencia al avance exterior y con las condiciones estructurales.

p p p amb p amb B B A A Vuelo Vuelo a.1 Sobre-expansionada a.2 Sub -expansionada

Considerando solamente el flujo interno :

Tobera sobre-expansionada : Nótese que entre las secciones A y B la presión interior de la tobera es

menor que la ambiente, aportando un empuje negativo en la dirección del vuelo. Suprimiendo ésta sección de la tobera, se incrementaría el empuje a su máximo valor.

Tobera sub-expansionada : La presión de salida supera a la presión ambiente; ahora, si la tobera fuese alargada, de modo que la expansión llegase a la presión ambiente, se produciría un empuje adicional. Posición de la onda de choque Cuando se produce un choque en el interior de la tobera supersónica, su posición se puede determinar de la siguiente manera :

Partiendo de las condiciones conocidas en la garganta y en salida, considérese unas condiciones de flujo isentrópicas hacia el interior desde ambos extremos de la sección divergente de la tobera.

En alguna sección a lo largo de la parte divergente de la tobera, existirá una posición donde el flujo subsónico, calculado a partir de las condiciones en la salida, y el flujo supersónico calculado a partir de las condiciones en la garganta: tendrán relaciones correspondientes a aquéllas que existen a ambos lados de una onda de choque normal.


P. 9.021 : Una boquilla convergente-divergente con un área de garganta de

0,0013 m 2 y un área de salida de 0,0019 m 2, se conecta a un tanque ( D = 3 m. H = 15 m) que contiene aire a un apresión absoluta de 552 kPa y una temperatura de 15 ºC.

a. Determine las presiones p2 y p6.

b. Determine la presión p4.

c. Si la boquilla opera en condiciones de diseño, determine la presión en la garganta.

d. Demuestre que para el cálculo del flujo másico en la zona I, puede utilizarse la siguiente ecuación:

1

2/2/ 1 /

1

kk

km R To K

p po p poA po k

[a]

Válida para flujo no bloqueado en la boquilla

pB po = 552 kPa To = 15 ºC

481,88 kPa

p* / po = 0,5283

344,649 kPa

93,156 kPa

p* = 291,6216 kPa


e. Demuestre que para el cálculo del flujo másico en la zona II, puede utilizarse la siguiente ecuación

1

2( 1)2

* 1

k

km To K

A po R k

[b]

Válida para flujo bloqueado en la boquilla

f. Para el cálculo del flujo másico máximo, ¿recomendaría la ecuación [a]?, ¿Porqué?

g. Para el cálculo del flujo másico máximo, ¿recomendaría la ecuación [b]?, ¿Porqué?

h. Si se considera la ecuación [a], se observa que el flujo másico descargado es sensible a la relación p / po.es decir el valor del flujo másico depende del valor de p/po. Mientras que el miembro derecho de la ecuación [b], es constante

Para el valor de la contrapresión pB = 100 kPa, haga uso de las ecuaciones [a]

y [b] para hallar el flujo másico en kg/s. Opine respecto a los valores hallados.


P. 9.022 : Un pequeño cohete está equipado con una tobera convergente que, para

ciertas condiciones de funcionamiento despide una mezcla de combustible y oxidante a razón de 5 kg / s. Las propiedades del gas, producto de la combustión se estiman en k = 1,3 y R = 83,14 J/kg-K. La temperatura de combustión es de 2500°C y la presión

absoluta interior es de 35 bar; y descarga hacia la atmósfera donde pamb = 1 bar.

Considerando que los acoplamientos flexibles y los rodamientos de soporte presentan una fuerza horizontal insignificante calcule el empuje neto de propulsión de la tobera GASES

Po = 35 bar · pa = 1 bar

To = 2 500ºC ps Solución

De la ecuación de cantidad de movimiento: VsmApE SS [a]

02857,035

1

o

a

o

S

p

p

p

p descarga subsónica como:

00

*

p

p

p

pS ;

5457,013,1

2

1

2 13,1

3,1

1

0

*

k

k

kp

p el flujo está chocado

Las propiedades del flujo en la salida son las condiciones críticas.

De:

11

2 000

2

11

kk

k

pp

pM

k

T

T

15,12

13,11

*

2773

2

11

*

0

T

k

T

T

TS = T* = 2 411 K

ps = p*= 0,5457 x 35 bar = 19,099 5 bar

* = 19 099 50 Pa / (83,14 J/kg-K x 2 411K) = 9,5283 kg / m3

smxxCVVs /476,510241114,833,1**

La descarga es el flujo másico máximo: AVm

SA

s

m

m

kg

s

kg 48,5103528,95

3 As = 0,001028 m

2

Reemplazando valores en [a]:

E = (19,1 - 1) x 105 Pa x 0,01028 m

2 + 5 kg/s x 510,48 m/s

E = 1861 N + 2552 N = 4413 N.


P. 9.023 : El cohete del ejemplo anterior es equipado con una sección divergente

adicional de tal manera que la presión de salida resulta reducida exactamente a la presión ambiente (expansión completa).

a. Determine el empuje neto bajo estas condiciones y el área de salida.

b. Si el área de salida de la tobera es disminuida en un 15% con respecto al área necesaria para la expansión completa, ¿Aumentará o disminuirá el empuje neto?. ¿En cuánto varia?.

AG GASES

po = 35 bar pa To = 2 500ºC ps SOLUCIÓN

De la ecuación de cantidad de movimiento: VsmApE ss [a]

(a) Como la expansión es completa, la tobera funciona en la curva seis

Luego:

11

2 000

2

11

kk

k

SS

S

S pp

pM

k

T

T

0 = 3 500 000 Pa / (83,14 J/kg-K x 2773 K) = 15,1813 kg / m3

3,03,1

13,1

2 1813,15

1

35

2

11

2773

S

S

S

Mk

T

Así: Ms = 2,91 Ts = 1221 K

S = 0,985 3 kg / m3

smxxCs /27,363122114,833,1

Vs = Ms Cs = 2,91 x 363,27 m/s = 1057 m/s

De: AVm

SAs

m

m

kg

s

kg 10579853,05

3 As = 0,0048 m

2

Reemplazando valores en [a]: E = 0+ 5 kg/s x 1057 m/s = 5 285 N

% de incremento de E = 100 (5285 – 4413) / 4413 = 19,76 %


(b) Disminución del área de salida en 15%, nueva área de salida de la tobera A’s

A’s / A* = 0,85 (As / A*) [b]

A partir de las ecuaciones del ejemplo anterior:

)1(2

)1(

)1(2

)1(

2

2

1*

)(2

11

k

k

max

k

k

k

T

pA

R

Km

Mk

T

pAM

R

Km

o

o

o

o

Se obtiene:

)1(2

1

2

2

12

11

1

*

k

k

k

Mk

MA

A [c]

Para Ms = 2,91:

65967,4

2

13,1

)91,2(2

13,11

91,2

1

*

)13,1(2

13,1

2

A

AS

En [b]: A’s / A* = 0,85 (4,65967) = 3,9607

En ( c):

)13,1(2

13,1

2

2

13,12

13,11

19607,3

S

S

M

M

Ms = 2,766

Luego :

13,13,1

13,1

2 1813,1535)766,2(

2

13,11

2773

SSS pT

Así: Ts = 1291,20 K. ps = 1,2752 bar.

S = 1,18792 kg / m3

smxxCs /57,37320,129114,833,1

Vs = Ms Cs = 2,766 x 373,57 m/s = 1033 m/s

El flujo másico: s

kgm

s

m

m

kgm 006655,50048,085,0103318792,1 2

3

Reemplazando valores en [a]:

E = (1,2752 - 1) x 105

Pa x 0,00408 m2 + 5 kg/s x 1033 m/s

E = 112 N + 5165 N = 5277 N.


P. 9.024 : De un depósito que se encuentra a una presión absoluta de poy = 4,5 bar

y To = 444 K, fluye aire a través de una tobera supersónica cuya área de garganta es

6,45 cm2

y área de salida 19,5 cm2.

a. Calcular p, T y V del flujo en la salida de la tobera; cuando se produce una

onda de choque en una sección de área igual a 12,9 cm2

b. ¿Qué valor de contrapresión (pB) localizara la onda de choque normal

justamente en la sección de salida de la tobera?.

c. ¿Qué valor de contrapresión (pB), producirá un flujo totalmente isentrópico

tanto interior como exterior a la tobera?

AG = 6,45 cm2 A = 12,9 cm

2 AS = 19,5 cm2

x y

po = 4,5 bar

m pB

To = 444 k

pS

T, h

Ox pox OY poY To, ho

S pS

A*x

Y pY

p*X X p*Y

px A*Y

S

SX SY

i) Con la relación :

.0,245,6

9,12

*

4,1

0

K

STABLAS

x

G

x

A

A

A

A

Mx = 2,20

px / poX = 0,09352

Tx / To = 0,50813


ii) Onda de choque, con 4,120,2 K

CHOQUETABLAS

xM

7163,6/

62812,0/

8569,1/

48,5/

547,0

pxpoy

poxpoy

xTyT

pxpy

yM

Con :

4,155,0 KS

TABLAS

yM

94295,0

81416,0

2550,1/

/

/

*

o

o

y

TyT

ypyp

AyA

iii) Sección de salida de la tobera :

4,1

**8971,1

9,12

5,192550,1· K

STABLAS

yyAy

As

A

yA

A

As

097868/

92736,0/

33,0

ToTs

poyps

sM

Ahora :

smsmxVs

smxxCs

kkxToTo

TsTs

barbarxxps

poxpox

poy

poy

psps

/94,137/41833,0

/98,4175,4342874,1

5,43444497868,0

61,25,462812,092736,0

··

b. El flujo presenta onda de choque justamente en la salida : curva 4

AG = 6,45 cm2 AS = 19,5 cm

2

x y

po = 4,5 bar

m pB

To = 444 k

pS

pB = p4 = p y


4,1023,345,6

5,19

*

KTABLAS

S

A

sA

A

xA

G

41772,0/

04711,0/

,64,2

ToTx

poxpx

xM

Con 4,164,2 KTABLAS

choque

xM

44529,0/

9645,7/

50048,0

poxpoy

pxpy

My

Luego :

barbarxxp

poxpox

px

px

pypyppp

B

B S

688,15,404711,09645,7

··4

c. De la figura 9.29 :

- El flujo totalmente subsónico en la tobera y fuera de la tobera, está dado por

la condición de p2 pB < po . - Flujo subsónico en la parte convergente y flujo supersónico en la parte

divergente de la tobera. Sin onda de expansión ni onda de compresión fuera

de la tobera : pB = p6.

4,1023,3

45,6

5,19 k

STABLAS

GA

sA

SUBSÓNICO SUPERSÓNICO

Ms = 0,20 Ms = 2,64

ps / po = 0,92750 ps / po = 0,04711

p2 = 0,97250 x 4,5 bar pB = p6 = 0,04711x 4,5

= 4,376 bar = 0,211995 bar.


P. 9.025 : De un depósito que se encuentra a condiciones absolutas de poy = 4,5

bar y To = 444 K, fluye aire a través de una tobera supersónica cuya área de

garganta es 6,45 cm2 y área de salida 19,5 cm

2.

AG = 6,45 cm2 AS = 19,5 cm

2

po = 4,5 bar

m pB

To = 444 k

pS

a. Determinar el rango de contrapresión pB , en que la tobera trabaja sobre-

expansionada y sub-expansionada.

b. Si pB abs. = 2,1 bar. ¿Se produce onda de choque dentro de la tobera?.

Determinar el valor del área donde estaría ocurriendo.

solución Considerando los resultados del ejemplo anterior :

p2 = 4,376 bar

p4 = 1,688 bar

p6 = 0,212 bar

A. Según la figura 9.29 :

a.1. Sobre-expansión : p6 < pB < p4

0,212 bar < pB < 1,688 bar.

Ondas de choque fuera de la tobera

a.2. Sub-expansion : pB < p6

pB < 0,212 bar

Ondas de expansión fuera de la tobera


p p

p amb p amb

B B A A Vuelo Vuelo a.1 Sobre-expansionada a.2 Sub -expansionada

a. Funcionamiento de una tobera

B. Onda de choque dentro de la tobera : P4 < pB < p2

1,688 bar < pB = 2,1 < 4,376 bar

Se está produciendo onda de choque dentro de la tobera

AG = 6,45 cm2 A AS = 19,5 cm

2

x y

po = 4,5 bar

m pB = 2,1 bar

To = 444 k ps T, h

Ox pox OY poY To, ho

S pS

A*x

Y pY

p*X X p*Y

px A*Y

S

SX SY


i) En la sección de salida de la tobera :

**

** ····

yx

yx

A

sA

poy

sp

A

sA

pox

spApoyApox

La onda de choque normal se produce en la sección A, para que en la salida se tenga

ps = pB = 2,1 bar

Como : ps = p B A*x = A G pox = po

*·

45,6

5,19·

5,4

1,2

y

s

A

As

poy

p

4,1

*·4109,1

K

STABLAS

yA

As

poy

ps

96899,0

5901,1

89562,0

40,0

*

To

Ts

A

A

poy

p

sM

y

S

S

ii) En la seccion después del choque normal : Seccion A

4,1

52105,05,4

1,2

89562,0

1·

K

CHOQUETABLAS

S

S pox

p

p

poy

pox

poy

Mx = 2,45 My = 0,52

iii) En kla seccion antes del choque normal : Seccion A

Con

4,145,2 KS

TABLAS

xM

Ax / A*x = 2,5168 = A / AG

Luego : A = (A x / A*x ) A*x = 2,5168 x 6,45 cm2

= 16,233 cm2


P. 9.026: Una tobera supersónica se diseña para una relación de presiones igual

a pB / po = 0,12. Si el fluido es aire (k = 1,4; R= 287 J / kg-K).

a. Calcular el valor de la contrapresión pB, que localizará la onda de choque en

la sección de salida de la tobera.

b. Para pB / po = 0,60:

b1. ¿Se producirá onda de choque dentro de la tobera?.

b2. Si la divergencia de la tobera es uniforme y L la longitud de la parte divergente, determinar la posición de la onda de choque respecto a

la garganta.

SOLUCION

Condiciones de diseño, son tales que en la parte convergente de la tobera se tiene flujo isentrópico subsónico, y en la parte divergente flujo isentrópico supersónico; y no se presenta ondas de choque ni ondas de expansión fuera de la tobera. El flujo

supersónico es descargado con ps = pB . La curva correspondiente es la curva 6

En la sección de salida de la tobera :

7452,1

04.212,0

*

4,1

0

A

A

Mp

p

p

p

S

B

o

Sx

K

STABLA

o

a. Onda de choque normal, justo en la salida de la tobera : curva 4. T

AG AS pox poY

To x y

po pS pY

m pB To p*X Y S

L p*Y X

px A*S

SX SY S

Para que una onda de choque se localice en La salida de la tobera, se requiere que :

6

4 pppp yB

Luego,


8473,5

70218,0

7452,1

6886,4

57068,004,2

*

4,1

.

X

y

y

y

y

y

yK

choquedeOTABLA

po

po

po

po

A

A

p

p

MMCon

x

x

x

ahora : opoo

x

x

yxxp

p

p

p

ppy 12,06886,4

4o5625,0 pppp By

B. Para pB / po = 0,60

b1. La onda de choque se produce dentro de la tobera, para la siguiente condición :

oooo p

p

p

Sp

p

Bp

p

p 24 ( )

i) De la parte (a) 5625,04 op

p

ii) De la condición de diseño : ps / po = 0,12

33914,0

36,07452,1

2

4,1

*

op

p

M

A

ACon S

K

STABLA

S

S

luego, en ( ) : 0,5625 < 0,60 < 0,91433

toberaladedentrochoquedeondaproduceSe


T po poS

AG A AS To

x y

pS

S po

pB A* pY To ps p*X Y

L

X p*y

px A*s

SX SY S

b.2 La posición de la Onda de choque:

Divergencia de la tobera:

A AG A AS

– rs r r* m

X L

Caso a caso b Si es el caso ´(b): Por semejanza de triángulos

r - r*

rs - r X

L


*

***

rsr

rrrsrrr

L

x

Lx

Lx

r

srr

r

1*

1*

( )

i) De las condiciones de diseño : ps / po = 0,12 As /A* = 1,7452

rS / r* = (1,7452) ½ = 1,321

II) determinación del área en la sección de choque :

**

*** ·····

Sx

Syx

A

sA

po

sp

A

sA

pox

spApoApoyApo

S

Sx

8218,0

2703,1

537,0

047,17452,160,0

*

4,1

0

so

s

s

S

K

STABLAS

p

p

A

A

M

o

s

s

oy

ox

s

s

oy

ox

oy

p

p

p

p

p

p

p

p

p

pAhora

58,0

98,173,060,08218,0

1 4,1

,

y

K

ChoqueOTABLA

M

Mp

p

xox

oy

6597,198,1*

4,1

0

A

AMCon SK

STABLA

x

rx / rx* = (A /A*) 1/ 2 = (1,6597) 1/2

= 1,288

Reemplazando en ( ) :

Lx1321,1

1288,1

x = 0,8972 L


9.4 FLUJO FANNO

Considere el caso de un ducto de sección constante y sin conducción de calor,

pero donde hay fricción interna y en las paredes.

9.4.1 CONDICIONES Y LIMITACIONES

- Flujo estable y uniforme, estado estable - Adiabático - Con fricción - Compresible y unidimensional - Área constante A - No hay trabajo mecánico - Adicionalmente: gas ideal

Fig. 9.22 . Flujo Fanno

9.4.2 ECUACIONES DE PARTIDA Tomando el volumen de control de la figura 9.22, donde aparecen la fuerza de

fricción Ff y la fuerza de arrastre FA:

- Continuidad: 1 1 2 2

mV V G const

A , siendo G el

gasto másico.

- Momentum: 1 1 2 2f Ap A G AV F F p A G AV

1 2 2 1( ) ( )f AF F

p p G V VA A

[ 9.61 ]

X2

Ff

FA

Ff

V1

P1

T1

V1

P1

T1

V2

P2

T2

X1 L


en forma diferencial: f A

dF dFdp G dV

A A [ 9.62 ]

En este caso en particular no existen objetos dentro del flujo y FA = 0 - Ecuación de D’Arcy – Weisbach, para perdidas por fricción:

2

2

f

f

h

dF dx Vdp f

A D

[ 9.63 ]

donde:

dpf = caída de presión por fricción

f = coeficiente de fricción, f = f(Re, e/D, M). Dh = Diámetro hidráulico = 4 A / θ

- Ecuación de estado: F( p, ρ, T) = 0; p

R constT

, para gases ideales.

- 2da ley de la termodinámica: S2 > S1

- Ecuación de energía (1era ley):

2 2

1 21 2 0

2 2

V Vh h h cte

Para gas ideal:

2

2p

VC T cte

9.4.3 RELACION ENTRE PROPIEDADES

9.4.3.1 Variación del número de Mach con la longitud Combinando las ecuaciones (9.62) y (9.63), con las condiciones G = ρ V y FA = 0 :

2

( )2 2

p

dx V f V dxd V dV f G dV

Dh Dhdpac

dpf

[ 9.64 ]

interpretada como que la caída total de presión se debe a los efectos de

aceleración (dpac) y fricción (dpf)

Dividiendo (9.64) entre p, y usando la definición de número de Mach:


22 Vkp

CM

, resulta:

2

2

2

dp KM dVf dx K M

p Dh V [ 9.65 ]

relación que incluye el efecto de fricción. Gas perfecto: p = ρ R T

Continuidad: ρ V = G = cte --> pV

GRT

; diferenciando

logaritmicamente:

dp dT dV

p T V [ 9.66 ]

relación valida para cualquier gas ideal que fluya por un ducto de sección recta constante. Combinando las ecuaciones (9.13), de validez general y (9.16), valida para flujos adiabáticos se llega a:

2

2 /

( 1) 2

dV dM M

V K M

[ 9.67 ]

que incluye la condición de flujo adiabático. Combinando ahora las ecuaciones (9.65),(9.66) y (9.67) que incluyen en si todas las condiciones del flujo adiabático con fricción y área constante se llega a:

2

3 2

4(1 )

( 1) 2

dx M dMf

Dh KM K M

[ 9.68 ]

donde se establece el cambio dM que sufre el número de mach cuando el flujo recorre un trecho de tubería de longitud dx. La ecuación anterior será integrable únicamente conociendo la dependencia funcional de f; suponiendo que f sea constante al igual que Dh , y considerando las 2 secciones de la figura 9.22, se llega a:

2 2

2 1 1 2

2 2 2 2

1 2 1 1

2 ( 1)1 1 1 ( 1)( )

2 2 ( 1)

x x M K Mf L kf Ln

Dh Dh k M M K M K M

[ 9.69 ]

De la ecuación anterior se puede establecer que :

2

2 2

1 1

2 2 ( 1)

Mfx KLn cte

Dh KM K M

[ 9.70 ]


9.4.3.2 Otras relaciones y estado referencial Integrando la relación (9.67) entre los 2 estados de la fig.9.22 y procediendo de manera similar ala deducción de (9.70), se llega a:

1/ 2

2

.

( 1)1

2

cte MV

KM

[ 9.71 ]

Reemplazando (9.67) y (9.68) en la ec. (9.65), e integrando en forma similar:

1/ 2

2

1.

( 1)1

2

p cteK

M M

[ 9.72 ]

De la relación (9.18), condición de estancamiento, y para un flujo adiabático:

2

1.

( 1)1

2

T cteK

M

[ 9.73 ]

Para hallar la relación entre 2 estados, basta usar las 3 ecuaciones anteriores despejando la constante; como estado referencial conviene escoger aquel en el que M=1 , y al que se llega mediante un proceso Fanno; este estado se llama ESTADO CRITICO FANNO, y aunque se denota también con un asterisco, en esencia es diferente al estado crítico isentrópico. Usando este concepto se puede establecer las siguientes relaciones:

a) Relación de Presiones:

1/ 2

1/ 2

22

11 1 12

( 1)* 2 ( 1)1

2

Kp K

Kp M M K MM

[ 9.74 ]

b) Relación de Temperaturas:


22

112

( 1)* 2 ( 1)1

2

KT K

KT K MM

[ 9.75 ]

c) Relación de Velocidades:

1/ 2

2

1

* 2 ( 1)

V KM

V K M

[ 9.76 ]

d) Relación de Densidades:

1/ 22

1 2 ( 1)1( )

* * ( 1)

K MV

V M K

[ 9.77 ]

e) Presiones de Estancamiento:

12 2( 1)2 ( 1)1

* ( 1)

K

KK Mpo

o M K

[ 9.79 ]

Graficando estos valores se obtienen la fig. 9.23

f) Cambio de Entropía: Usando h = p/ρ + u en la ecuación [9.02] despejando dp de la ecuación [9.64] resolviendo para ds, se llega a:

1/ 22

2

2 (1 )1

( 1) 2

R Mds

dM M K M

[ 9.80 ]

e integrando la relación anterior, se puede llegar a :

11/ 2

22

2

2 ( 1) )* 1

2 ( 1) ( 1)

K

K MS S KM

R K M K

[ 9.81 ]


Según la segunda ley de la termodinámica, es un proceso adiabático ds>=0; el estado de equilibrio final se hallara cuando la entropía sea máxima y ya no pueda crecer, o sea ds=0; según la ecuación (9.80) ese estado se alcanza al llegar a M = 1, o sea que el estado final de un flujo Fanno tendera siempre a ser el estado sónico, aunque el estado inicial sea subsónico o supersónico. Como el flujo progresa en la dirección positiva de x (fig. 9.22), S aumenta con x, y habrá un x máximo, que corresponde a Smaximo , donde se alcance M = 1 ; si Lmax = xmax – x1 , M1= M M2 = 1 en la ecuación [9.69], se tiene :

2

2 2

( 1)1 ( 1)max ( 1)

2 2 ( 1)

K MR Kf L Ln

Dh M K M

[ 9.82 ]

relación que se ilustra en la fig. 9.23 Si aún tubo existente con flujo Fanno y Lmax se agregara otro tramo según lo muestra la ecuación (9.64) cada dx adicional tenderia a aumentar la caída total de presión, y como esta está ya fijada por las presiones de entrada y descarga, la misma ecuación (9.64) indica que será necesario un reajuste del parámetro G para el nuevo valor de Lmax .

Fig 9.23


9.4.4 Graficos h-s y h-v

Fig 9.24

Fig 9.25


Como

2

02

Vh h cte

GV

, resulta

0 22

Gh h

[ 9.83 ]

ecuación que sirve para graficar el proceso en el plano

h vs 1/ fig 9.25

Observando la misma curva en el plano h-s, figura 9.24, se nota que el punto de

máxima entropía, en el cual M = 1, confluyen 2 ramas una supersónica y otra

subsónica

Yendo al grafico 9.23, se nota que la tendencia de las curvas en la zona subsónica es

de izquierda a derecha ya que deben dirigirse hacia M = 1. Este hecho permite

confeccionar la tabla 9-1

Tabla 9.1

FLUJO FANNO

Propiedad subsónico supersónico

M crece Decrece

V crece Decrece

P decrece crece

T decrece crece

ρ decrece crece

To constante Constante

9.4.5 Calculo de un flujo Fanno Datos: G, To, L o M1

- se halla Lmax, usando la ec.(9.82) y luego se asume


Fig9.26

Esa longitud hipotética igual a Lmax - se asume finicial

- Para un x dado, x [0, L], se halla M

- con M se halla p y T

- con p se halla v para la capa limite

- se calcula Reynolds, Re = GDh/u

- en el diagrama de Moody se calcula f

- si f finicial se realiza una iteración

- si f = finicial , se calcula además para el y dado los valores de , V , o , etc

Nota: en general, por análisis dimensional resulta f = función (Є/Dh , Re , M ); sin embargo se simplifica suponiendo f = f (Є/Dh , M); si además se considera f = cte = dato , se procede al cálculo sin necesidad de la iteración .

9.4.6 Solución mediante Tablas En forma análoga al flujo isentrópica, se pueden formar tablas del flujo Fanno basadas en el estado crítico Fanno, que se apoya en la relaciones (9.74) a (9.78) y (9.82) correspondientes a la gráfica 9.23

9.5 FLUJO RAYLEIGH

Es un flujo diabético sin friccion, por un ducto de area constante.

9.5.1 CONDICIONES Y LIMITACIONES

- Flujo estable y uniforme de estado estable - Diabético, q = Q/m = dQ/dm - Compresible - Sin fricción - Unidimensional - Área constante A - Eventual: gases perfectos

Fig 9.27

9.5.2 ECUACIONES DE PARTIDA Según el volumen de control de la fig. 9.27


- Ec. de energia (1era ley) : 2 2

1 21 2

2 2

V Vh q h

01 02h q h : la entalpia de estancamiento es variable

gas perfecto : 01 02 01 02p pC T q C T T T

- Continuidad: 1 1 2 2V V G cte

- Momentum: 2p V p GV cte

- Ec. de estado: h = h (p,s) ρ = ρ (p,s) gas ideal : p = ρRT - 2da ley: ds = dq/T

Fig 9.28

9.5.3 VARIACION DE PROPIEDADES Los parámetros fundamentales del flujo Rayleigh son G y q. Es quien va ha determinar la relacion entre T01/ T02 ; desarrollando T02/ T01 como funcion del Nº de mach, esta ecuación nos dira en forma implicita como varia M con q; hallando después la relacion de propiedades como funcion de M, se puede hallar su variación con q.

9.5.3.1 Razon de presiones Usando la ecuación de continuidad y la definición de M:

2

2 1

2

1 2

1

1

p KM

p KM

2

1

* 1

p K

p KM

…………..(9.84)

por condiciones de estancamiento:

/ 1

20 11

2

k kp K

Mp

/ 1

2

0

2*0 1

1(1 ) 1

2

1(1 )( )

2

k k

K

K

Kk M

p

p KkM

……….(9.85)


es de notar que en ningum¡na de las relaciones interviene directamente q , si no que su influencia se hace atraves de la variación de M a lo largo del tubo. El estado referencial es el ESTADO CRITICO REYLEIGH, denotado por un asterisco, y que se alcanza cuando se va del estado dado hacia la condicion M = 1 en un proceso hipotetico Rayleigh

9.5.3.2 Razon de Temperaturas Usando la definición de To, la ley de los gases perfectos, la ecuación de continuidad, la definición de M y la razon de presiones:

22 2

22 2 1 2 1

2 2

1 1 2 1 2

1 1( )

1 1

T V kM M kM

T V kM M kM

2

2

(1 )

* (1 )

T k M

T kM

………………(9.86)

2

2

02 2

201 11

11

2

11 ( )

2

KM

T T

KT TM

2

2 2

0

2 2

0

11

(1 ) 2

1* (1 )( )

2

KM

T K M

KT KM

220

2 2

0

(1 )2 ( 1)

* (1 )

T K MK M

T KM

…………..(9.87)

/ * 10

T TM

M R

: la temperatura estatica alcanza un maximo para

M = K-1/2

ent: la temperatura de estancamiento es maxima para M = 1

9.5.3.3 Razon de densidades y velocidades

Como: * *

,* *

V T presulta

V T p


2

2

(1 )

* 1

V K M

V KM

…………..(9.88)

2

2

1

* (1 )

KM

K M

…………..(9.89)

9.5.3.4 Relacion de entropías En general:

1

2 12 1

1 2

ln ( )1

k

KT pKR

S SK T P

luego:

1

2

2

1* ln

1 1

k

KKR KS S M

K KM

……………(9.90)

9.5.3.5 Variaciones con M Graficando las relaciones anteriores en un plano semilogaritmico se obtienen las curvas de la fig. 9.29 Se nota que T/T* tiene un maximo para K-1/2 ; To/To* tiene su maximo para M= 1 y Po/po* tiene su minimo para M = 1

Fig 9.29

9.5.4 Curva Rayleigh en el plano h-s (o T-s) La figura 9.30 muestra los casos de calentamiento y enfriamiento en el plano h-s, con el calentamiento crecen la entalpia de estancamiento ho y la entropía, y el proceso se realiza de derecha a izquierda; con el enfriamiento sucede lo inverso.

Hallando 1dT dh

dM Cp dM de 9.86 y

ds

dM de (9.90) se tiene:

2

32

1

1

dh KMcte

dM KM


2

2

2(1 )

1

ds MCp

dM M KM

Fig 9.30

de las 2 ultimas ecuaciones se deduce que:

2

22 2

(1 )

(1 ) 1

dh M KMcte

ds M KM

……………….(9.91)

la ecuación anterior permite deducir: - h es maxima para M = K-1/2 - S es maxima para M = 1 - Un ingreso de calor para K-1/2<M<1, ocasiona una disminución de temperatura - Un calentamiento, que en un proceso reversible implica ds>0, que hace,

cualquiera que sea la condicion inicial (subsonica o supersonica), el flujo tienda a M= 1, que corresponde a la maxima cantidad de calor que podria agregarse

- Un enfriamiento, que en un proceso reversible implica ds<0, hace que el proceso tienda a alejarse de M=1.

- Si luego de que se alcanza qmax y M=1, se continua agregando calor, el flujo se reacomodara a qmax, variando G.

9.5.5 Calculo de qmax q = Cp (To2 – To1)

2 2 2 2

2 1 2201 02

12 2 2 21 1 01

1 2 1

1(1 ) 1

1 2( 1) (1 )

12(1 ) 1

2p

kM kM M

T Tq KM

kC T T TM kM M

………….(9.93)

que se grafica en la fig. 9.31:

Fig. 9.31 Lo expuesto en las 2 secciones anterirores permite ver que en la fig 9.29 los procesos se deben interpretar como: tendiendo a M = 1 , para calentamiento partiendo de M = 1 para enfriamiento, con lo que se puede preparar la tabla 9.2

1 2 2 1( ) ( ).....(9.61)f A

F Fp p G V V

A A


tabla 9.2 Flujo Rayleigh

calentamiento enfriamiento

M>1 M<1 M>1 M<1

To aumenta aumenta disminuye disminuye

P aumenta disminuye disminuye aumenta

Po disminuye disminuye aumenta aumenta

V disminuye aumenta aumenta disminuye

T aumenta Si M < K-1/2 aumenta Si M> K-1/2 disminuye

disminuye Si M < K-1/2 disminuye Si M> K-1/2 aumenta

Se ha restringido el análisis al flujo permanente unidimensional en condiciones de

cambio de área simple, fricción y calentamiento simple; cada uno de los cuales se

consideró por separado.

En muchos problemas prácticos uno de estos efectos dominará sobre todos los demás y,

por consiguiente, las ecuaciones dadas tienen un gran valor. Algunas veces pueden

modificarse los resultados, para tener en cuenta un efecto secundario que no debe

ignorarse.



EJEMPLO 9.09 Un flujo adiabático y permanente de aire circula a través de una tubería rectilínea de gran longitud de sección transversal igual a 0,05 m² A la entrada (sección 1) el aire se encuentra a una presión absoluta de 200 kPa y 60 °C teniendo una velocidad de 146 m/s. En una sección 2 aguas abajo, el aire se encuentra a una presión absoluta de 95,6 kPa y tiene una velocidad de 280 m/s. Determinar:

a. El flujo másico de aire y la velocidad máxima de expansión adiabática.

b. Las condiciones de estancamiento en las secciones 1 y 2 : po, To y o c. Las condiciones críticas correspondientes a las secciones 1 y 2 : p*,

*, T* d. El cambio de entalpía y de entropía.

SOLUCION P. 9.010 : Determinar una expresión para el cálculo del cambio de entropía en función de las presiones de estancamiento. P. 9.011 : Aire fluye isentropicamente a través de un ducto de área variable. En el punto donde D1 = 34,4 cm; se tiene: V1 = 184 m/s, p1 = 574,263 kPa y T1 = 200°C.

a. Calcular : po, To , o, M y A* correspondientes a éste punto. b. Calcular el número de Mach, la presión estática en un punto aguas

abajo donde D2 = 29,8 cm, si V2 es subsónica y si V2 es supersónica.


To

T

T o

T

K

P o

P

K

o K

To

T

To

T

K Po

P

K

K

K

K

K K

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

* *

*

[ ]

[ ]

( ) ( )

1

2

1

2

1

2

1

2

1

1

1

1

1

Para el aire: K=.1.4

T* = To

P12.

; * = 0.5283 p* ; * = 0.6339o*


P. 9.012 : Se expansiona isentropicamente aire desde po = 200 kPa y To = 500 K, a través de un conducto convergente divergente hasta un número de Mach en la salida igual a 2,5. Si el gasto es de 3 kg /s, calcular :

a. El diámetro del conducto en la garganta. b. Las propiedades del flujo en la sección de salida: p, T, V y A.

b. La tobera se diseña para descargar su máximo flujo másico. VAm

T

T

p

p

T

pAM

R

Km

T

T

p

pAKRTM

TR

pm

o

oo

o

o

o

o

o

Poniendo en función del número de Mach:

)1(2

)1(

)1(2

)1(

2

2

1*

)(2

11

k

k

max

k

k

k

T

pA

R

Km

Mk

T

pAM

R

Km

o

o

o

o

Para aire:

)44.9(040418,01

2

*1

1

k

kmax

kR

k

p

T

A

m

o

o


040418,0000200

500

*

/3

Pa

K

A

sKg

A* = 0,0082985 m2 DG

= 10,28 cm

b. Como se conoce el numero de Mach en la salida, utilizando la ecuación

() , se determina As = 0,021880676 m2

y usando : k

k

ps

pMs

k

Ts

T oo

1

2

2

11

k

k

spTs

1

2 200)5,2(2,01

500

pS = 11,706 kPa.

Ts = 222,22 K Cs = 298,812 m / s


P. 9.013 : Aire a condiciones de p = 8 bar y T = 1100 K ingresa a una tobera y se expande adiabáticamente y politrópicamente con n = 1,3 hasta la presión de 3,5 bar. Calcular la temperatura y la velocidad del aire en la salida de la tobera. Solución

La ecuación de energía: constanteV

hV

hho 22

22

11

Gas ideal: h = Cp T

)(22

22

11 aconstante

Cp

VT

Cp

VTTo

Proceso poli tropico de (1) a (2) ; y la ecuación de estado:

nn

n

T

T

p

p

p

p

constantep

1

2

2

1

22

1 1

)(

1

1

2

1

1

2

1

2 bp

p

T

Tn

n

n


T2 = 908,95 K

En(): )(22

22

11 aconstante

Cp

VT

Cp

VTTo

Cp

VK

Cp

VKTo

295,908

21100 21

Considerando una velocidad de ingreso a la turbina muy pequeña, se tiene V1

nT 3,1

13,1

2

8

5,3

1100


EXAMEN DE MECANICA DE FLUIDOS

Marcar verdadero (V) o falso (F), según corresponda.

1. ( V ) En un flujo de aire atmosférico moviéndose a 3,5 km. /h la velocidad de propagación.

del sonido se calcula por : TRKc

2. ( F ) En el área mínima de un conducto convergente-divergente, siempre se alcanza las con

diciones críticas

3. ( V ) En un flujo isentrópico en conductos, el máximo flujo másico posible es proporcional

al área de la garganta y a la presión de estancamiento.

4. ( F ) A través de una Onda de choque normal no se cumple la ecuación de continuidad.

5. ( V ) A través de la onda de choque normal, las propiedades del fluido son discontí

nuas.

6. ( V ) La onda de choque sólo aparece en flujo supersónico.

7. ( F ) Para flujo isentrópico de un gas ideal, el número de Mach máximo es uno.

8. ( F ) En un flujo adiabático la velocidad máxima de expansión posible puede calcularse me

diante la expresión: : )1(/22 kCoV

9. ( F ) En el caso de un flujo supersónico de un gas ideal en un conducto convergente la

temperatura decrece en la dirección del flujo.

10. ( F ) Para un gas ideal que fluye a través de un conducto convergente, en la salida el

número de Mach es siempre uno.

11. ( V ) En un choque normal en un flujo unidimensional, la presión se incrementa.

12. ( V ) El número de Mach para un avión en vuelo, puede variar permaneciendo la velocidad

del avión constante.

13. ( F ) Una tobera funcionando sobre-expansionada da su fuerza de empuje máxima.

14. ( F ) En una tobera convergente, en la salida siempre ps = pamb

15. ( V ) La velocidad de una onda sonora puede evaluarse mediante: TCpkc .)1(2

16. ( V ) Un flujo isentrópico subsónico a través de un conducto convergente sufre una disminu

ción de su densidad.

P1. Demostrar que la ecuación de energía para un flujo adiabático, unidimensional, esta

ble, asumiendo gas perfecto puede ser escrita como:

2*22

1

1

2

1

21C

k

kV

k

C

C: Velocidad del sonido. C*: Velocidad crítica. V: Velocidad del fluido.

P2. Demostrar que para el flujo isentrópico de un gas perfecto la velocidad del gas se puede calcular mediante:

k

k

oppToCpV1

2 /12



UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA

DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE CIENCIAS DE INGENIERÍA

MECÁNICA DE FLUIDOS CICLO: 2010-3

3RA

PRÁCTICA CALIFICADA MN 217 A FECHA: 17-02-2011

¡Con elementos de consulta! DURACIÓN: 110 minutos

Anote clara y brevemente sus consideraciones y asunesiones. P1. El aire es abastecido a una tobera divergente a baja velocidad, a 8,6185 bar abs y 285 ºC. Esta tobera descarga a la presión atmosférica y el flujo es ideal y adiabático.

a. Para una razón de 0,4536 kg / s, calcule el número de mach a la salida, la presión en la garganta, el área de salida, el área de la garganta y las velocidades en la garganta y en la salida.

b. Determine una expresión para evaluar el flujo másico real, en términos del coeficiente de descarga Cd obtenido experimentalmente.

P2. Estime que cantidad de gas debe fluir para producir 4450 N de empuje en un cohete que produce gases con una constante de gas de R = 40 pies libra fuerza/libra masa y una temperatura de estancamiento de 1111 grados kelvin. Si los gases abandonan al cohete a través de la tobera de salida con un número de mach de 2. ¿Cuál debe ser el área a la salida de la tobera para que pase esta cantidad de gas, si la presión a la salida es de 0,86 bar?. P3. Los productos de la combustión ( k = 1,67 y R = 380 J / kg K), salen de la tobera de un cohete con un número de mach igual a 4. La presión en este punto es de 0,867 bar abs. La relación de calores específicos es 1,3.

a. ¿Cuál es la presión de estancamiento a la entrada de la tobera considerando que se desarrolla un flujo isentrópico?.

b. ¿Cuál es la relación de temperatura estática a temperatura de estancamiento? P4. En un tanque cilíndrico (D = 1,6 m; H = 2,5 m) se almacena aire seco a una presión absoluta de 689 KPa y a una temperatura de 15 ºC. Mediante una tobera

convergente (A salida = 0,0438 cm 2) se descarga isentrópicamente el aire hacia un

ambiente que se encuentra a una presión absoluta igual a 101,325 KPa. a. Determine el número de Mach a la salida de la tobera. b. Determine el flujo másico máximo, que se puede descargar.

A la tobera convergente anterior se le agrega una parte divergente de tal manera que se tenga un flujo isentrópico dentro y fuera de la tobera. Determine las condiciones de presión y velocidad en la salida de la tobera.

Ing. Jorge Sifuentes Sancho


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Flujo compresible