Flujo en Capa Limite

Flujo en Capa Límite. Mecánica de Fluidos

Universidad Católica de la Santísima Concepción. Facultad de Ingeniería. 1

FLUJO EN CAPA LÍMITE.

1.1 INTRODUCCIÓN

Se sabe que en un fluido ideal las velocidades permanecen invariables en una sección

determinada, sin embargo, en un fluido real existe un frenado en la proximidad de la pared

debido a la viscosidad. Es debido a la viscosidad que en los fluidos reales no existe

deslizamiento en las fronteras rígidas, es decir, la velocidad del fluido con respecto a la frontera

es cero (Principio de no deslizamiento). Como resultado de este fenómeno resulta que los

gradientes de velocidad y esfuerzo tangencial son máximos en esta zona. La zona donde la

velocidad es influenciada por los esfuerzos tangenciales se denomina capa límite, en esta zona

la velocidad se aproxima asintóticamente a la velocidad del flujo principal.

La capa límite, aguas arriba de un cuerpo de forma aerodinámica, es muy delgada, pero al

moverse esta capa por el cuerpo hay una mayor cantidad de partículas que son retardadas por

efecto del esfuerzo de corte. Así, la capa límite aumenta su espesor hacia aguas abajo.

En el caso de superficies lisas, la capa límite es laminar, ya que las partículas de fluido se

mueven en capas lisas. Pero al aumentar el espesor, ésta se vuelve inestable y se transforma en

una capa límite turbulenta, donde las partículas de fluido se mueven con diversas trayectorias.

Sin embargo, en esta región aún persiste el flujo laminar por medio de la llamada sub-capa

laminar.



Algunas definiciones importantes son:

Capa Límite: capa de fluido muy delgada que está en contacto con una superficie sólida,

dentro de la cual no se pueden despreciar los efectos viscosos. Capa de fluido cuya velocidad

es afectada por la fuerza cortante en la frontera.

Espesor de la capa límite, : lugar geométrico de los puntos donde la velocidad u paralela a la

placa alcanza el 99% del valor de la velocidad exterior U.

Espesor de deslizamiento: distancia que deben desplazarse las líneas de corriente para que se

satisfaga la conservación de la masa entre la entrada y la salida para un fluido escurriendo por

un placa plana.

Para que se satisfaga la ecuación de continuidad se debe tener que:

Ubdy ubdy

U h U u U dy U h u U dy

h h

h h

0 0

0 0

*

Luego:

1

0

u

Udy

h

(1.1)



Espesor de Momentum, : espesor de la capa de fluido de velocidad U cuya cantidad de

movimiento es igual al déficit de cantidad de movimiento o, en otras palabras, a la cantidad de

movimiento transferida a la pared.

- Cantidad de movimiento que entra: U h2

- Cantidad de movimiento que sale: Y

0

2dyu

La diferencia entre la cantidad de movimiento que entra y la cantidad de movimiento que sale

estará dada por:

2

Y

0

22UdyuhU

Donde: : fracción de cantidad de movimiento transferida a la placa.

Por continuidad: Y

0

dyuhU

0

2

Y

0

2

Y

0

2

Y

0

2

dyuuU

dyudyuUU

dyuUhU

0

2

2

dyU

u

U

u

0

dyU

u1

U

u

(1.2)



1.2 ESTUDIO DE LA CAPA LÍMITE PARA UN FLUJO QUE ATRAVIESA UNA

PLACA PLANA.

1.2.1 Aplicación de la Ecuación de Cantidad de Movimiento en su forma integral al

estudio de la capa límite.

Sea una placa plana, como la que se muestra en la figura y un fluido escurriendo por ella.

Se tiene que la cantidad de fluido que entra al volumen de control por la sección OB está dada

por:

Q U hmOB

Por otro lado, la cantidad de fluido que sale del volumen de control por la sección AC es:

Q udy U hmAC

0

Luego, la cantidad de fluido que atraviesa la sección BC es:

Q U h udy U h U udy U u dymBC

0 0 0

Por otro lado, la ecuación general de cantidad de movimiento está dada por:

Ft

udV uq dAx

V S

Considerando flujo permanente incompresible se tiene que la única fuerza que actúa es la fuerza

de arrastre en la placa, ya que se considera que la presión es constante alrededor de todo el

volumen de control. Luego:



0

0

2

0

2

dyuUuF

dyuUuUdyuArrastre

El arrastre sobre la placa ocurre en la dirección opuesta, luego:

0

dyuUuF

(1.3)

Pero, esta fuerza se puede expresar también en función del esfuerzo de corte a lo largo de la

placa, es decir:

F dx

x

0

0

Así, igualando ambas expresiones y despejando la tensión de corte, se tiene:

0

0

xu U u dy

(1.4)

Puede apreciarse que el valor de 0 depende de:

- La distribución de velocidades en la capa límite.

- La manera de como varía el espesor de la capa límite.

Sea: u

Uu : velocidad relativa a la velocidad inicial.

y

y : altura relativa al espesor de la capa límite.

Entonces:

0

2

0

1

1

Ux

u u dy

(1.5)

Para: y* = 0 ; u* = 0

y* = 1 ; u* = 1



1.2.2 Espesor de la capa límite

De lo anteriormente expuesto se desprende que la distancia del contorno a la cual la velocidad

sería la misma que habría de no existir el cuerpo o placa, sólo puede alcanzarse asintóticamente.

Por lo tanto las definiciones para el espesor de la capa límite son más o menos arbitrarias.

Utilizaremos el concepto de espesor nominal de la capa límite.

La definición más generalizada considera como espesor la distancia a la cual la velocidad es el

99 % de la que existiría en ausencia del contorno.

Otra manera de definir el espesor nominal de la capa límite se presenta en la anterior, (letra a).

Se traza la asíntota y una recta que partiendo del origen intercepta a la asíntota de modo que las

áreas achuradas sean iguales.

En la anterior, letra b se presenta otra definición similar. Se intercepta la asíntota con una

tangente a la curva de origen.

Definición del espesor de capa límite



1.2.3 Capa Límite Laminar.

Prandtl propone que la distribución de la velocidad en la capa límite laminar está dada por:

u yy

3

2 2

3

0 y

u 1 y

Reemplazando en la expresión de la tensión de corte:

02

3 3

0

1

02

3

2 21

3

2 2

0 139

Ux

yy

yy

dy

Ux

.

Por otro lado:

0

0

u

y

U u

yy

Y:

u

yy

0

3

2

Entonces, se tiene que:

0

3

2

U

Igualando ambas expresiones de la tensión de corte, se tiene finalmente:

3

20 139

10 78

1

210 78

2

2

UU

x

ddx

U

Ux C

.

.

.

Para: x = 0 ; = 0 ; C = 0

Despejando el espesor de la capa límite, se llega a relacionar esta variable con el número de

Reynolds:



2

2

21 56

21 56

.

.

Ux

x U x

Con: Rex

U x

; Luego:

x

x

x

x

4 65

4 65

.

Re

.

Re

(1.6)

Esta ecuación entrega el espesor de la capa límite para flujo laminar y se puede observar que el

valor de aumenta con la raíz cuadrada de la distancia a la orilla frontal de la placa.

Reemplazando en la ecuación de 0, se tiene:

0

3

2 4 65

U

xx

.Re

Con: xU U

x x Re Re

Así, para una longitud x = L; se tiene:

L

0 x

2L

0

0L dxRe

U322.0dxF

LRe

U644.0F

L

2

L

(1.7)

Donde la resistencia crece con la raíz cuadrada de la longitud de la placa. Esta resistencia o

arrastre se puede expresar también en términos de un coeficiente adimensional de arrastre CD

multiplicado por la presión de estancamiento y el área de la placa (por unidad de ancho).

Así:

F CU

LL D 2

2

(1.8)

Con:



CD

L

1 328.

Re

(1.9)

Cuando el número de Reynolds oscila entre 0.5 106 y 10

6 la capa límite se hace turbulenta.

Este valor crítico de Reynolds depende de varios factores, como:

- La turbulencia inicial del flujo.

- El borde de ataque.

- La rugosidad de la placa.

Además, se ha visto que para números de Reynolds menores que 2500, la teoría de la capa

límite falla, pues el espesor es tan grande que tiene un efecto sobre la corriente exterior.

1.2.4 Capa Límite Turbulenta.

Aplicando el mismo análisis integral y aplicado la ecuación de cantidad de movimiento se puede

llegar a determinar el crecimiento de la capa límite turbulenta y las tensiones de corte sobre una

placa lisa.

Prandtl sugirió que los perfiles turbulentos pueden aproximarse a la ley de la potencia a un

séptimo. De esta manera se puede suponer que la distribución de velocidades de la capa límite

turbulenta es:

u y 1 7/

y

0

2

1 4

0 0228

.

/

UU

Desarrollando la expresión integral para encontrar el esfuerzo de corte, se tiene:

02 1 7 1 7

0

1

02

1

7

72

Ux

y y dy

Ux

/ /

Igualando ambas expresiones de 0:



0 0228 0 09722

0 0228

0 09722

4

50 231

2

1 4

2

1 4

1 4

5 4

1 4

. .

.

.

.

/

/

/

/

/

UU

Ux

dU

dx

Ux C

Para: = 0 ; x = 0 C = 0

0 370

0 3700 370

1 5

4 5

1 5

1 5

.

..

Re

/

/

/

/

Ux

x U xx

(1.10)

Se puede apreciar de esta expresión que la capa límite turbulenta aumenta de espesor más

rápidamente, ya que es proporcional a x4/5

, en cambio el espesor de la capa límite laminar es

proporcional a x1/2

. Reemplazando el valor del espesor de la capa límite en la expresión

experimental de 0, se obtiene:

5/1

x

2

0Re

U029.0

L

Re

U036.0F

5/1

L

2

L

(1.11)

Con:

5/1Re

1027.0

L

DC

(1.12)

Cuando el número de Reynolds tiene valores entre 0.5 106 y 10

7 se cumple que las ecuaciones

anteriores son válidas, pero para flujos con números de Reynolds mayores el exponente en la

distribución de velocidad se reduce.

Experimentalmente se ha encontrado que el arrastre es un poco mayor que el que da la

ecuación encontrada. Esto se debe a que la capa límite en contacto con la pared es laminar.



1.2.5 La separación. Expansión de un conducto

Si la capa límite se desarrolla en una tubería que arranca de un estanque, se presentarán las

fases descritas en la siguiente figura. Para un determinado valor de x la capa límite turbulenta se

habrá desarrollado íntegramente en la sección transversal y es igual al radio. Si las paredes de

la tubería son suficientemente lisas se desarrollará una subcapa laminar de espesor .

Hasta ahora hemos considerado que el flujo exterior a la capa límite se caracteriza por tener

energía constante, sin embargo normalmente la presión disminuye en la dirección del

escurrimiento, lo que implica

Puede ocurrir también que por las características del contorno la presión aumente en la

dirección del escurrimiento,

Ecuación (1.6)

Ecuación (1.10)

Capa límite laminar y turbulenta



Se trata entonces de una expansión y la capa límite aumenta de espesor rápidamente. En el

primer caso la capa límite aumenta de espesor lentamente.

El efecto del gradiente de presiones del escurrimiento sobre el espesor de la capa límite se

ilustra en el siguiente dibujo esquemático.

La condición corresponde a líneas de corriente divergentes. Si esta condición se

presenta en el escurrimiento, su efecto será muy fuerte en la capa límite puesto que allí se tiene

el efecto de fricción del contorno. Las partículas fluidas de la capa límite se mueven muy

lentamente, y al haber presión adversa van perdiendo velocidad hasta que se detienen. Luego

por efecto del gradiente de presiones positivas se produce dentro de la capa límite una

contracorriente. Aparece una separación que se inicia en el punto S.

Variación del gradiente de presiones



La separación es el fenómeno de alejamiento del flujo de la pared. Queda una porción en la que

hay fluido, pero no flujo, en la dirección principal de la corriente. Puede haber movimiento en

dirección contraria a la del escurrimiento principal (contracorriente).

Lo anteriormente expuesto se puede resumir señalando que siempre que por una razón u otra

haya un incremento de presión, las partículas de la capa límite perderán velocidad hasta

detenerse y si la diferencia de presión es muy fuerte las partículas avanzan en dirección

contraria a la del escurrimiento.

Fenómeno de la separación



Este problema se presenta en una expansión, en un flujo de líneas de corriente divergentes.

Podría ser el caso de un difusor o un canal de sección creciente (una transición).

Si el gradiente de presiones es muy grande se produce la separación.

Aparición de contracorrientes

Desarrollo de la Capa límite en una expansión

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