4

Integrales

f y g integrables en [a,b] !! b

a c f = c! b

a f , c"R ;! b

a [ f +g] =! b

a f +! b

a g .

m# f#M en [a,b] ! m(b$a)#! b

a f#M(b$a) . f # g en [a,b] !! b

a f #! b

a g .""! b

a f""#

! ba | f | . Si f es impar

! aa f = 0 . Si f es par

! a$a f = 2

! a0 f .

! ba f =

! ca f +

! bc f

#para a,b,c cualesquiera si

! aa f =0 e

! ba f =$

! ab f

$.

f continua a trozos en [a,b] ! f integrable en [a,b] ! F(x)=! x

a f continua en [a,b] .Si ademas f es continua en x"(a,b) entonces F es derivable en x y F %(x)= f (x) .

Si f es continua en [a,b] y f =g% ( g primitiva de f ) es! b

a f = g(b)$g(a)& g%b

a .

Si f continua y a,b derivables, H(x)=! b(x)

a(x) f ! H %(x)= f [b(x)]b%(x)$ f [a(x)]a%(x) .

!f (x)g%(x)dx= f (x)g(x)$

!f %(x)g(x)dx ;

! ba f (x)g%(x)dx= f (x)g(x)

%ba$

! ba f %(x)g(x)dx .

!f (g(x))g%(x)dx =

!f (u)du

""u=g(x) ;

! ba f (g(x))g%(x)dx =

! g(b)g(a) f (u)du

& P(x)Q(x) dx , P , Q polinomios. Si gr P' gr Q , P

Q = C + RQ . Si Q=(x$a)m · · ·

#x2+cx+d

$n

se descompone en fracciones simples RQ = · · ·+ A j

(x$a) j +· · ·+ Bkx+Ck

(x2+cx+d)k +· · · , 1# j#m1#k #n .

!R(ex)dx , funcion racional de ex , se convierte en racional con el cambio u = ex .

!R(senx,cosx)dx , se hace racional con:

u=cosx , si R($senx,cosx)=$R(senx,cosx) ;u=senx , si R(senx,$cosx)=$R(senx,cosx) ;u= tanx , si R($senx,$cosx)=R(senx,cosx) ;

u= tan x2

'senx= 2u

1+u2 , cosx= 1$u2

1+u2 , dx= 2du1+u2

%(siempre).

!R#x, n(

ax+b$dx se convierte en racional haciendo u = n

(ax+b ;!

R#x,(

x2+a$dx se convierte en racional haciendo u = x+

(x2+a ;!

R#x,(

a2$ x2$dx se convierte en trigonometrica haciendo x = asenu .

! !a f = lım

b)!

! ba f ,

! b$! f = lım

a)$!

! ba f ,

! ba+ f = lım

t)a+

! bt f ,

! b$a f = lım

t)b$

! ta f , si los lımites existen.

Si 0# f (x)#g(x) para x'a ,! !

a g converge !! !

a f converge, e! !

a f #! !

a g .

f ,g'0 y f (x)g(x) )x)!

c<! , entonces: Si c>0 ,! !

a g converge *! !

a f converge.Si c=0 ,

! !a g converge !

! !a f converge.

! !a | f | convergente !

! !a f convergente.

'Analogos para

! ba+ , . . .

%.

! !1

dxxs

converge si s>1diverge si s#1

! !1 eaxdx converge si a<0

diverge si a'0! b

a+dx

(x$a)sconverge si s<1diverge si s'1

Si { fn} converge uniformemente hacia f en [a,b] entonces! b

a f = lımn)!

! ba fn .

f (x)=!

"n=0

anxn !! x

a f (t)dt =!

"n=1

anxn+1

n+1 = a0x+a1x2 + · · · , para |x|<R .

Area comprendida entre las graficas de f y g en el intervalo [a,b] :! b

a | f $g| .

Area de la region acotada por ! =" , ! =# y la curva r= f (!) , f (!)'0 : 12! #

"'

f (!)%2d! .

Longitud de la grafica de f en el intervalo [a,b] : L=! b

a(

1+[ f %(x)]2 dx .

1

Preliminares

Progresion aritmetica: a1 , a2 =a1+d , . . . , an =a1+(n$1)d . Su suma: S = na1+n(n$1)

2 d = a1+an2 n .

Progresion geometrica: a1 , a2 = a1r , . . . , an = a1rn$1 . Su suma: S = a11$rn

1$r = a1$anr1$r .

Binomio deNewton: (a+b)n =an+

#n1$

an$1b+#n

2$

an$2b2+· · ·+# n

n$1$

abn$1+bn,#n

k$= n!

k!(n$k)!=n(n$1)···(n$k+1)

k!

a<b ! a+c < b+c , a$c < b$c a < b , c < d ! a+ c < b+d , a$d < b$ ca<b , c>0 ! ac < bc , a/c < b/c a < b , c < d ! ac < bd , si a,b,c,d >0a<b , c<0 ! ac > bc , a/c > b/c a/c < b/d * ad < bc , si a,b,c,d >01<a! a<a2 ; 0<a<1! a>a2 a<b * 1/a>1/b , a2 <b2,

(a <

(b , si a,b>0

|x|=(

x2 =) x , x'0$x , x#0

|x|#a * $a#x#a .|x|<a * $a<x<a .

|x+ y |# |x|+ |y| (desigualdad triangular);|x|$|y|# |x$y|# |x|+|y| ;

"" |x|$|y|""# |x$y| .

A+R esta acotado superiormente si existe k"R tal que a# k para todo a"A . s"R es elsupremo de A si es la menor de sus cotas superiores. M"A es el maximo de A si a#M , ,a"A .Todo conjunto no vacıo de numeros reales acotado superiormente posee extremo superior.

Entorno es B(a,r)={x : |x$a|<r} . a"A+R es interior a A si existe r>0 tal que B(a,r)+A .A es abierto si todos sus puntos son interiores. p es punto de acumulacion de A si en todo entornode p existen infinitos puntos de A . A es cerrado si contiene a todos sus puntos de acumulacion.

f es inyectiva en A+R si f (x)= f (x-) ! x=x-, ,x,x-"A , o sea si, x .=x- ! f (x) .= f (x-) .Si f es inyectiva en A existe la funcion inversa f$1 : f (A)) A ; y= f (x) * x= f$1(y) .f estrictamente monotona en A! f inyectiva en A . f es par

impar si f ($x)=± f (x) .

logx& lnx&! x

1dtt , x>0 . log(a ·b)=loga+logb , log a

b =loga$logb , log(ac)=c loga , a,b>0 .ex es la inversa de lnx . bx & ex logb , b>0 , ,x . b0 =1 , bx+y = bxby , b$x = 1

bx , (bx)y = bxy .xb & eb logx , x>0

'si m,n"Z , xm/n = n

(xm

%. shx = ex$e$x

2 , chx = ex+e$x

2 , thx = shxchx , ,x .

$/ 3.14,(

2/ 1.41,(

3/ 1.73,(

5/ 2.24, e/ 2.72, e2/ 7.39, e$1/ 0.37, ln2/ 0.69, ln3/ 1.10, ln5/ 1.61,6!=720, 7!=5040, 8!=40320, 9!=362880, 27 =128, 28 =256, 29 =512, 36 =729, 37 =2187, 38 =6561.

sen(k$)=cos#$

2 +k$$=tan(k$)=0 , sen

#$2 +2k$

$=cos(2k$)=1 , sen

#$ $

2 +2k$$=cos[(2k$1)$]=$1 ,

sen $6 =cos $

3 = 12 , sen $

4 =cos $4 =

(2

2 , sen $3 =cos $

6 =(

32 , tan $

6 =(

33 , tan $

4 =1 , tan $3 =

(3 .

sen2x+cos2x=1 , 1+tan2x= 1cos2x , sen(a±b)=senacosb±cosasenb , cos(a±b)=cosacosb0senasenb ,

tan(a±b)= tana± tanb10 tana tanb , sen2a= 1

2 [1$cos2a] , cos2a= 12 [1+cos2a] , senA$senB=2sen A$B

2 cos A+B2 ,

senasenb = cos(a$b)$cos(a+b)2 , cosacosb = cos(a+b)+cos(a$b)

2 , senacosb = sen(a+b)+sen(a$b)2 .

2

!/2

arctan

1–1

-!/2

!/4

!arccos

arcsen

sh

ch

th

logx

ex

1

1

Derivadas.

f , g derivables " (f±g)' = f '±g' ; (f.g)' = f ' g+fg' ; (1/g)' = –g' /g2 [g#0] .

g derivable en a y f derivable en g(a) " fog derivable en a y (fog)' = f'[g(a)].g '(a) .

f derivable en f–1(b) y f '[f–1(b)]#0 " f–1 es derivable en b y (f–1)'(b) = 1

f'[f–1(b)] .

[log|x|]'= 1

x , x#0 | [ex]'= ex , $x | [xb]'= bxb–1

, x>0 | [ bx]'= bx logb , b>0, $x

[sh x]'= ch x , [ch x]'= sh x , [th x]'= 1

ch2x = 1–th2x $x

[sen x]'= cos x = sen(x+!2

) , [cos x]'= –sen x , $x | [tanx]'= 1

cos2x = 1+tan2x , x#

!2

+k!

[arcsen x]'= 1

%& & &1–x2 , [arccos x]'= –

1

%& & &1–x2 , x'(–1,1) | [arctanx]'=

1

1+x2 , $x

Si f posee un extremo local en un x interior y f es derivable en x " f '(x)=0 .

Si f es continua en [a,b] , derivable en (a,b) y f(a)=f(b) " (c'(a,b) con f'(c)=0 .

Si f es continua en [a,b] , derivable en (a,b) " (c'(a,b) tal que f'(c) = f(b)–f(a)

b–a .

Si f es continua en [a,b] y f")0 (f"*0) en (a,b) " f es + (,) en [a,b] .

Si f es continua en a y f ' tiene límite cuando x-a " f '(a) = límx-a

f '(x) .

f es Cn(I) , I intervalo abierto, si existe f(n)(x) $x'I y f(n) es continua en I .

La gráfica de g(x)=f(x)+c es la de f(x) trasladada hacia arriba (si c>0) o abajo (c<0).La de g(x)=f(x+c) es la de f(x) trasladada hacia la izquierda (si c>0) o derecha (c<0).La de g(x)=–f(x) es la reflexión de la gráfica de f(x) respecto a y=0 .La de g(x)=f(–x) es la reflexión de la de f(x) respecto a x=0 .La de g(x)=cf(x) con c>1 (0<c<1) es la de f(x) estirada (comprimida) verticalmente.La de g(x)=f(cx) con c>1 (0<c<1) es la de f(x) comprimida (estirada) horizontalmente.La de g(x)=|f(x)| se obtiene reflejando hacia y>0 las partes de la de f(x) que están en y<0.La de g(x)=f(|x|) es la parte de la gráfica de f(x) para x)0 y más su reflejo respecto a x=0.

Todo polinomio Pn(x) de grado n posee n raíces (reales o complejas).

Una raíz de Pn es múltiple si y sólo si es raíz también de su derivada.

Una raíz entera de Pn , si existe, se encuentra entre los divisores del término independiente.

Si r es el número de raíces positivas de Pn y s el número de cambios de signoen la sucesión de sus coeficientes, s–r es un número par.

3

Series, Taylor y límites indeterminados.

.n=0

/

r n =

1

1–r si |r |<1 .

n=1

/

[bn–bn+1] = b1– límn-/

bn

.an es convergente " an-0 . |an | convergente " .an convergente

cr i t er ioin tegra l :

Sea f(x)>0 y decreciente si x)1. Entonces .n=1

/

f(n) converge 0 1/1 f(x)dx converge.

El error está acotado por 1/ k+1 f(x)dx * S–Sk * 1

/k f(x)dx .

.

criterio decomparación p o rdesigualdades:

Si 0*an*bn , entonces .bn converge " .an converge y .n=1

/

an * .n=1

/

b n

criterio decomparaciónpor límites:

an,bn)0 , límn-/

an

bn = c</ . Entonces:

Si c>0, .an converge 0 .bn convergeSi c=0, .bn converge " .an converge .

criterio deL e i b n i z :

{an})0 decreciente y límn-/

an = 0 " .(–1)n+1an = a1–a2+… converge

y el error absoluto |S–SN| < aN+1 (primer término que se omite)..

criterio delc o c i e n t e : Sea lím

n-/ | an+1|

|an | = r . Entonces: si r<1, .an converge y si r>1, .an diverge

criterio dela raíz: Sea lím

n-/ %& & &

n

|an| = r . Entonces: si r<1, .an converge y si r>1, .an diverge.

{fn} converge uniformemente hacia f en I si $2>0 (N tal que si n)N " |f(x)–fn(x)| < 2 $x'ISi las fn son continuas en un intervalo I y {fn}- f uniformemente en I " f es continua en I .

|fn(x)|*Mn $x' I y .Mn convergente " .fn converge uniformemente en I .

A cada serie de potencias está asociado un radio de convergencia R tal que:si R=0, la serie converge si x=0 ; si R'(0,/), converge para |x|<R y diverge para |x|>R ;

si R=/ converge $x . Si 0<x0<R , la serie converge uniformemente en [–x0,x0].

f(x)=.n=0

/

anxn , |x|<R " f '(x)=.n=1

/

nanxn–1 , |x|<R.

f(x)=.n=0

/

anxn si |x|<Rf , g(x)=.n=0

/

bnxn si |x|<Rg " f(x)+g(x) =.n=0

/

[an+bn]xn ,

f(x)g(x) = a0b0 + (a0b1+a1b0)x + (a0b2+a1b1+a2b0)x2 + … si |x|<min(Rf,Rg).

Si f'Cn+1([a,x]) ( ó [x,a] ) , f(x) = f(a) + f '(a)[x–a] + f"(a)

2![x–a]2 + … +

f(n)(a)n!

[x–a]n + Rn,a(x)

con Rn,a(x) = f(n+1)

(c)(n+1)!

[x–a]n+1 para algún c'(a,x) si x>a [ ó c'(x,a) si x<a ]

f(x) =.n=0

/

f(n)

(0)

n! xn 0 RN(x) -

3-/0 : ex =.

n=0

/

x n

n! , senx =.

n=0

/

(–1)nx2n+1

(2n+1)! , cosx =.

n=0

/

(–1)nx2 n

(2n)! $x'R

log(1+x) =.n=0

/

(–1)nxn+1

n+1 , arctanx =.

n=0

/

(–1)nx2n+1

2n+1 , [1+x]p =

1+px+ p(p–1)

2! x

2+ p(p–1)(p-2)

3! x

3+… si |x|<1

f'Cn+1 en un entorno de a " f(x)=Pn,a(x)+o([x–a]n) [ f(x)=o(g(x)) cuando x-a si límx-a

f(x)

g(x) = 0 ]

f(x),g(x)-x-•

0 ( ó -x-•

/ ) y existe límx-•

f'(x)

g '(x) " lím

x-• f(x)

g(x) = lím

x-• f'(x)

g '(x) ( • = a, a+, a– , / ó –/ )

límx-/

(logx)b

xa = 0 , límx-/

xb

eax = 0 , a ,b>0 límx-/

f(1/x) = límt-0+ f(t) , lím

x-0+ f(1/x) = límt-/

f(t)

2

!/2

arctan

1–1

-!/2

!/4

!arccos

arcsen

sh

ch

th

logx

ex

1

1

Derivadas.

f , g derivables " (f±g)' = f '±g' ; (f.g)' = f ' g+fg' ; (1/g)' = –g' /g2 [g#0] .

g derivable en a y f derivable en g(a) " fog derivable en a y (fog)' = f'[g(a)].g '(a) .

f derivable en f–1(b) y f '[f–1(b)]#0 " f–1 es derivable en b y (f–1)'(b) = 1

f'[f–1(b)] .

[log|x|]'= 1

x , x#0 | [ex]'= ex , $x | [xb]'= bxb–1

, x>0 | [ bx]'= bx logb , b>0, $x

[sh x]'= ch x , [ch x]'= sh x , [th x]'= 1

ch2x = 1–th2x $x

[sen x]'= cos x = sen(x+!2

) , [cos x]'= –sen x , $x | [tanx]'= 1

cos2x = 1+tan2x , x#

!2

+k!

[arcsen x]'= 1

%& & &1–x2 , [arccos x]'= –

1

%& & &1–x2 , x'(–1,1) | [arctanx]'=

1

1+x2 , $x

Si f posee un extremo local en un x interior y f es derivable en x " f '(x)=0 .

Si f es continua en [a,b] , derivable en (a,b) y f(a)=f(b) " (c'(a,b) con f'(c)=0 .

Si f es continua en [a,b] , derivable en (a,b) " (c'(a,b) tal que f'(c) = f(b)–f(a)

b–a .

Si f es continua en [a,b] y f")0 (f"*0) en (a,b) " f es + (,) en [a,b] .

Si f es continua en a y f ' tiene límite cuando x-a " f '(a) = límx-a

f '(x) .

f es Cn(I) , I intervalo abierto, si existe f(n)(x) $x'I y f(n) es continua en I .

La gráfica de g(x)=f(x)+c es la de f(x) trasladada hacia arriba (si c>0) o abajo (c<0).La de g(x)=f(x+c) es la de f(x) trasladada hacia la izquierda (si c>0) o derecha (c<0).La de g(x)=–f(x) es la reflexión de la gráfica de f(x) respecto a y=0 .La de g(x)=f(–x) es la reflexión de la de f(x) respecto a x=0 .La de g(x)=cf(x) con c>1 (0<c<1) es la de f(x) estirada (comprimida) verticalmente.La de g(x)=f(cx) con c>1 (0<c<1) es la de f(x) comprimida (estirada) horizontalmente.La de g(x)=|f(x)| se obtiene reflejando hacia y>0 las partes de la de f(x) que están en y<0.La de g(x)=f(|x|) es la parte de la gráfica de f(x) para x)0 y más su reflejo respecto a x=0.

Todo polinomio Pn(x) de grado n posee n raíces (reales o complejas).

Una raíz de Pn es múltiple si y sólo si es raíz también de su derivada.

Una raíz entera de Pn , si existe, se encuentra entre los divisores del término independiente.

Si r es el número de raíces positivas de Pn y s el número de cambios de signoen la sucesión de sus coeficientes, s–r es un número par.

3

Series, Taylor y límites indeterminados.

.n=0

/

r n =

1

1–r si |r |<1 .

n=1

/

[bn–bn+1] = b1– límn-/

bn

.an es convergente " an-0 . |an | convergente " .an convergente

cr i t er ioin tegra l :

Sea f(x)>0 y decreciente si x)1. Entonces .n=1

/

f(n) converge 0 1/1 f(x)dx converge.

El error está acotado por 1/ k+1 f(x)dx * S–Sk * 1

/k f(x)dx .

.

criterio decomparación p o rdesigualdades:

Si 0*an*bn , entonces .bn converge " .an converge y .n=1

/

an * .n=1

/

b n

criterio decomparaciónpor límites:

an,bn)0 , límn-/

an

bn = c</ . Entonces:

Si c>0, .an converge 0 .bn convergeSi c=0, .bn converge " .an converge .

criterio deL e i b n i z :

{an})0 decreciente y límn-/

an = 0 " .(–1)n+1an = a1–a2+… converge

y el error absoluto |S–SN| < aN+1 (primer término que se omite)..

criterio delc o c i e n t e : Sea lím

n-/ | an+1|

|an | = r . Entonces: si r<1, .an converge y si r>1, .an diverge

criterio dela raíz: Sea lím

n-/ %& & &

n

|an| = r . Entonces: si r<1, .an converge y si r>1, .an diverge.

{fn} converge uniformemente hacia f en I si $2>0 (N tal que si n)N " |f(x)–fn(x)| < 2 $x'ISi las fn son continuas en un intervalo I y {fn}- f uniformemente en I " f es continua en I .

|fn(x)|*Mn $x' I y .Mn convergente " .fn converge uniformemente en I .

A cada serie de potencias está asociado un radio de convergencia R tal que:si R=0, la serie converge si x=0 ; si R'(0,/), converge para |x|<R y diverge para |x|>R ;

si R=/ converge $x . Si 0<x0<R , la serie converge uniformemente en [–x0,x0].

f(x)=.n=0

/

anxn , |x|<R " f '(x)=.n=1

/

nanxn–1 , |x|<R.

f(x)=.n=0

/

anxn si |x|<Rf , g(x)=.n=0

/

bnxn si |x|<Rg " f(x)+g(x) =.n=0

/

[an+bn]xn ,

f(x)g(x) = a0b0 + (a0b1+a1b0)x + (a0b2+a1b1+a2b0)x2 + … si |x|<min(Rf,Rg).

Si f'Cn+1([a,x]) ( ó [x,a] ) , f(x) = f(a) + f '(a)[x–a] + f"(a)

2![x–a]2 + … +

f(n)(a)n!

[x–a]n + Rn,a(x)

con Rn,a(x) = f(n+1)

(c)(n+1)!

[x–a]n+1 para algún c'(a,x) si x>a [ ó c'(x,a) si x<a ]

f(x) =.n=0

/

f(n)

(0)

n! xn 0 RN(x) -

3-/0 : ex =.

n=0

/

x n

n! , senx =.

n=0

/

(–1)nx2n+1

(2n+1)! , cosx =.

n=0

/

(–1)nx2 n

(2n)! $x'R

log(1+x) =.n=0

/

(–1)nxn+1

n+1 , arctanx =.

n=0

/

(–1)nx2n+1

2n+1 , [1+x]p =

1+px+ p(p–1)

2! x

2+ p(p–1)(p-2)

3! x

3+… si |x|<1

f'Cn+1 en un entorno de a " f(x)=Pn,a(x)+o([x–a]n) [ f(x)=o(g(x)) cuando x-a si límx-a

f(x)

g(x) = 0 ]

f(x),g(x)-x-•

0 ( ó -x-•

/ ) y existe límx-•

f'(x)

g '(x) " lím

x-• f(x)

g(x) = lím

x-• f'(x)

g '(x) ( • = a, a+, a– , / ó –/ )

límx-/

(logx)b

xa = 0 , límx-/

xb

eax = 0 , a ,b>0 límx-/

f(1/x) = límt-0+ f(t) , lím

x-0+ f(1/x) = límt-/

f(t)

z=a+ib=r(cos! + i sen!)=rei! , r= |z|=(

a2+b2 , tan! = ba , |ei! |=1 ; z =a$ib , |z|2 =z · z .

Si w=c+id =sei" , z ·w = (ac$bd)+ i(ad+bc) = rsei(!+") , zw = (a+ib)(c$id)

c2+d2 = rs ei(!$") .

zn = rn ein! . n(

z = n(

r ei% = n(

r (cos% + i sen%) con % = !+2k$n , k=0, . . . ,n$1 .

2

Sucesiones, lımites y continuidad

lımn)!

an = a si para todo & >0 existe N"N tal que para todo n'N es |an$a| < & .

{an} diverge hacia +! ($! ) si ,K 1N tal que ,n'N se cumple an'K#

an#K$.

{an} convergente ! {an} acotada. {an} monotona y acotada ! {an} convergente.

Sean {cn}) 0 , {bn}) b , {pn}) p > 0 , {qn}) q < 0 , {an} acotada , {in}) ! . Entonces:{an ± in})± ! , {cn an}) 0 ,

*anin

+) 0 , {pn in})! , {qn in})$! ,

* inpn

+)! ,

* inqn

+)$! ,

*pbn

n+) pb ,

*i pnn

+) ! ,

*iqnn

+) 0 ,

*pin

n+)

*! si p>10 si 0< p<1 ,

*(1+cn)1/cn

+) e .

lımx)a

f (x)=L si ,& >0 1' >0 tal que si x cumple 0< |x$a|<' entonces | f (x)$L|<&* toda sucesion {an}+dom f${a} con {an} )n)!

a satisface { f (an)} )n)!L .

lımx)a+

f (x)=L [ lımx)a$

f (x)=L ] si ,& >0 1' >0 tal que si 0<x$a<' [ 0<a$x<' ] ! | f (x)$L|<& .

lımx)!

f (x)=L'

lımx)$!

f (x)=L%

si ,& >0 1M tal que si x>M [ x<M ]! | f (x)$L|<& .lımx)a

f (x)=! [$! ] si ,K 1' >0 tal que si 0< |x$a|<' ! f (x)>K [ f (x)<K ].

f continua en a interior al dom f si lımx)a

f (x)= f (a)*,& >0 1' >0,|x$a|<' ! | f (x)$ f (a)|<& .

f continua en [a,b] ! f toma todos los valores comprendidos entre f (a) y f (b) .f continua en [a,b] ! existen los valores maximo y mınimo de f en [a,b] .

Derivadasf , g derivables ! ( f ±g)%= f %±g% ; ( f g)%= f %g+ f g% ; (1/g)%=$g%/g2 [ g .=0 ].

g derivable en a y f derivable en g(a) ! f 2g derivable en a y ( f 2g)%= f %[g(a)]g%(a) .f derivable en f$1(b) y f %[ f$1(b)] .=0 ! f$1 derivable en b y ( f$1)%(b)=1/ f %[ f$1(b)] .

[log |x|]%=1x , x .=0 ; [ex]%=ex, ,x ; [xb]%=bxb$1, x>0 ; [bx]%=bx logb , b>0 , ,x ;

[shx]%=chx , [chx]%=shx , [thx]%= 1ch2 x

=1$th2x ,x ;

[senx]%=cosx=sen#x+$

2$

, [cosx]%=$senx , ,x ; [tanx]%= 1cos2x =1+tan2x , x .= $

2 +k$ ;[arcsenx]%= 1(

1$x2 , [arccosx]%=$ 1(1$x2 , x"($1,1) ; [arctanx]%= 1

1+x2 , ,x.

f es C1(I) , I intervalo abierto, si f es derivable ,x" I y f % es continua en I .Si f posee un extremo local en un x interior y f es derivable en x ! f %(x)=0 .f continua en [a,b], derivable en (a,b) y f (a)= f (b) ! 1c"(a,b) con f %(c)=0 .f continua en [a,b] y derivable en (a,b) ! 1c"(a,b) tal que f %(c)= f (b)$ f (a)

b$a .Si f es continua en a y f % tiene lımite cuando x) a ! f %(a)= lım

x)af %(x) .

f continua en [a,b] y f %% '0 [ f %% #0 ] en (a,b) ! f es ! [ " ] en [a,b] .

La grafica de f (x)+c es la de f trasladada c unidades hacia arriba (c>0) o abajo (c<0).La de f (x+c) es la de f trasladada c unidades a la izquierda (c>0) o derecha (c<0).La de c f (x) con c>1 ( 0<c<1 ) es la de f estirada (comprimida) verticalmente.La de f (cx) con c>1 ( 0<c<1 ) es la de f comprimida (estirada) horizontalmente.La de $ f (x) [ f ($x) ] es la reflexion de la grafica de f respecto a y=0 [ x=0 ].La de | f (x)| se obtiene reflejando hacia arriba las partes de la de f (x) bajo y=0 .La de f (|x|) es la parte de la grafica de f para x'0 mas su reflejo respecto a x=0 .

Todo polinomio Pn(x) de grado n posee n raıces (reales o complejas). Una raız de Pn esmultiple si y solo si es raız tambien de P%n . Una raız entera de Pn , si existe, se encuentraentre los divisores del termino independiente. Si r es el numero de raıces positivas de Pn y sel numero de cambios de signo en la sucesion de sus coeficientes, s$r es un numero par.

3

Series, Taylor y lımites indeterminados!

"n=0

rn = 11$r si |r|<1

!

"n=1

[bn$bn+1]= b1$ lımn)!

bn!

"n=1

1ns converge si s>1 y diverge si s#1

"an convergente ! an ) 0 . " |an| convergente ! "an convergente.

Criteriointegral:

Si f (x)'0 y decreciente si x'1 , entonces!

"n=1

f (n) converge*! !

1 f (x)dx converge.

Error acotado por! !

k+1 f (x)dx# S$Sk #! !

k f (x)dx .

Criterio de comparacionpor desigualdades: Si 0#an#bn , entonces "bn converge ! "an converge y

!

"n=1

an#!

"n=1

bn

Criterio decomparacionpor lımites:

an,bn'0 , lımn)!

anbn

=c<! . Entonces:Si c>0 , "an converge * "bn converge.Si c=0 , "bn converge ! "an converge.

Criterio deLeibniz:

an'0 decreciente y an )n)!0 !

!

"n=1

($1)n+1an = a1$a2 +a3$ · · · converge.

El error absoluto |S$SN |# aN+1 (primer termino que se omite).

Criterio delcociente: Sea lım

n)!

|an+1||an|

= r . Entonces: Si r < 1 , "an converge (absolutamente).Si r > 1 (o r = ! ) , "an diverge.

Criterio dela raız: Sea lım

n)!n(

|an|= r . Entonces: Si r < 1 , "an converge (absolutamente).Si r > 1 (o r = ! ) , "an diverge.

n(

n)1 logn 3 na, a>0 3 bn, b>1 3 n! 3 nn

{ fn}) f uniformemente en A si ,& >01N tal que n'N ! | f (x)$ fn(x)|<& , ,x"A .Si | fn(x)$ f (x)|<an ,x"A y an) 0 entonces fn(x)) f (x) uniformemente en A .fn continuas en un intervalo I y { fn}) f uniformemente en I ! f continua en I.| fn(x)|#Mn ,x"A y "Mn convergente ! " fn(x) converge uniformemente en A .

A cada serie de potencias esta asociado un radio de convergencia R tal que: si R=0 , la seriesolo converge en x = 0 ; si 0 < R < ! , la serie converge si |x|< R y diverge si |x|> R ; siR = ! , la serie converge ,x . Si 0<x0 <R , la serie converge uniformemente en [$x0,x0] .

f (x)=!

"n=0

anxn, |x|<R ! f %(x)=!

"n=1

nanxn$1, |x|<R . g(x)=!

"n=0

bnxn , |x|<R- y |x|<mın(R,R-) :

f (x)+g(x) =!

"n=0

[an+bn]xn , f (x)g(x)=a0b0+(a0b1+a1b0)x+(a0b2+a1b1+a2b0)x2+· · ·

Si f "Cn+1([a,x]) [o [x,a] ], f (x)= f (a)+ f %(a)[x$a]+ f %%(a)2! [x$a]2+· · ·+ f (n)(a)

n! [x$a]n+Rn,a(x)

con Rn,a(x) = f (n+1)(c)(n+1)! [x$a]n+1 para algun c"(a,x) si x>a [o c"(x,a) si x<a ].

ex =!

"n=0

xn

n! , senx =!

"n=0

[$1]nx2n+1

(2n+1)! , cosx =!

"n=0

[$1]nx2n

(2n)! , shx =!

"n=0

x2n+1

(2n+1)! , chx =!

"n=0

x2n

(2n)! , ,x"R

log(1+x) =!

"n=0

[$1]nxn+1

n+1 , arctanx =!

"n=0

[$1]nx2n+1

2n+1 , [1+ x ]r = 1+rx+ r(r$1)2! x2+· · · , |x|<1

f "Cn+1 en un entorno de 0 ! f (x) = Pn(x)+o#xn$ '

f (x)=o#g(x)

$, x) a , si f (x)

g(x) )x)a0

%.

Si f (x),g(x))x)•

0#o )

x)•±!

$y existe el lım

x)•f %(x)g%(x) ! lım

x)•f (x)g(x) = lım

x)•f %(x)g%(x) .

xa logx )x)0+

0 , (logx)b

xa )x)!

0 , xb

eax )x)!

0 , a,b>0 . lımx)!

f (1x )= lım

t)0+f (t) , lım

x)0+f (1

x )= lımt)!

f (t) .