FORMULACION Ing. Mauro Prez Estrella

FORMULACION Mg. Ing. Mauro Prez Estrella

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA

FACULTAD DE INGENIERIA QUIMICA Y TEXTIL

Separata n 1

CURSO: INVESTIGACION DE OPERACIONES I

TEMA

: FORMULACION

PROF.

: Mg. Ing. MAURO PEREZ ESTRELLA

2015PROBLEMA La Nacional Steel corporation (NSC) produce un acero especial, usados en las industrias de aviacin y aeroespaciales. El departamento de ventas de NSC ha recibido pedidos de 2400, 2200, 2700 y 2600 toneladas de acero para cada uno de los siguientes 4 meses. NSC puede satisfacer estas demandas produciendo el acero, extrayndolo de su inventario, o usando cualquier combinacin de las dos alternativas. Se proyecta que los costos de produccin por toneladas de acero durante cada uno de los siguientes 4 meses sean de $ 7400, $ 7500, $ 7600 y $ 7700. Como los costos suben cada mes, debido a las presiones inflacionarias, tal vez sea mejor que NSC produzca ms acero del que necesita en un mes determinado y que almacene el exceso. La capacidad de produccin, sin embargo, no puede exceder las 4000 toneladas en ningn mes. La produccin mensual se termina al final del mes, cuando la demanda se satisface. Cualquier acero remanente se almacena en inventario a un costo de $ 120 por tonelada por cada mes que permanece all. Estos datos se resumen en la siguiente tabla.

MES

1234

Demanda(ton)

Costo de produccin($/ton)

Costo de inventario($/ton)24007400

1202200

7500

1202700

7600

1202600

7700

120

Si el nivel de produccin se incrementa de un mes al siguiente, entonces la compaa incurre en un costo de $ 50 por tonelada de produccin incrementada para cubrir la mano de obra adicional y/o el tiempo extra. Cada tonelada de produccin disminuida incurre en un costo de $ 30 para cubrir los beneficios de empleados no utilizados. El nivel de produccin durante el mes anterior fue de 1800 toneladas y el inventario que comienza es de 1000 toneladas. El inventario al final del cuarto mes debe ser de al menos 1500 toneladas para cubrir la demanda anticipada. Formular el problema como uno de P.L.

Solucin

Variables de decisin:

Sea: Xi = cantidad (Tn) de acero, producidas en el mes i, i = 1, 2, 3 y 4

Yi = cantidad (Tn) de acero, producidas en el mes i para almacenamiento

i = 1, 2, 3 y 4

Funcin Objetivo: minimizar el costo total de produccin

Restricciones: 1) Demanda del primer mes

2) Demanda del segundo mes

3) Demanda del tercer mes

4) Demanda del cuarto mes

5) Inventario al inicio del primer mes

6) Inventario al final del cuarto mes

7) Mxima produccin por mes

EMBED Equation.3 Condicin de no negatividad:

PROBLEMA La empresa CHANNEL produce el perfume Versay. Este perfume requiere de qumicos y trabajo para su produccin. Dos procesos estn disponibles. El proceso A transforma 1 unidad de trabajo y 2 unidades de qumico en 3 onzas de perfume. El proceso B transforma 2 unidades de trabajo y 3 unidades de qumico en 5 onzas de perfume. Cada unidad de trabajo le cuesta a CHANNEL Bs. 1000 y cada unidad de qumico le cuesta Bs. 1500. Se tiene una disponibilidad mxima de 20000 unidades de trabajo y un mximo de 35000 unidades de qumico para este perodo de planificacin. En ausencia de publicidad CHANNEL cree que puede vender 1000 onzas de perfume.. Cada onza de Versay se vende a Bs. 60500. Utilizando el mtodo Grfico, determine el volumen ptimo de la produccin y venta del perfume.

SOLUCION

PROCESOProduccin de perfume (onz)Requerimiento de trabajo (unid)Requerimiento de qumicos (unid)

AB3

51

22

3

Costo ($/unid)

Disponibilidad(unid)1000

200001500

35000

Sea:

Xi = unidades de trabajo en el proceso i, i = 1, 2

F.O.: Maximizar utilidades.

MaxZ = 60500(3X1+5/2X2) 1000X1 1000X2 3000X1 4500X2

MaxZ = 176500X1 + 145750X2

S.a:

3X1 + 5/2 X2 1000 Demanda sin publicidad

X1 + X2 20 000 Disponibilidad de unidades de trabajo

2X1 + 3/2 X2 35 000 Disponibilidad de unidades de qumicos

C. N. Xi 0

PROBLEMA Para producir 2 toneladas de trigo se requieren 4 hectreas, 2 bolsas de semillas de trigo por hectrea y 5 meses/hombre.

Para producir 3 toneladas de centeno se requieren 2 hectreas, 1.5 bolsas de semillas de centeno por hectrea y 9 meses/hombre.

El precio del trigo y del centeno por tonelada asciende a 300 y 230 pesos respectivamente. El costo de la bolsa de semillas de cada uno de estos productos es $20 la de trigo y $30 la de centeno.

El empresario que espera maximizar sus beneficios dispone de 120 hectreas y de 270 meses/hombre. Asimismo cuenta de un contrato que le otorga la opcin de arrendar un campo lindero de 80 hectreas a razn de $30 la hectrea utilizada. La ley laboral, por otra parte, le brinda el beneficio de contratar mano de obra adicional a un costo de $50 por meses/hombre, sin limitacin.

a) Formule el problema en trminos de programacin lineal.

Solucin

Sea: Xi = N de Hectreas para la actividad i; i = 1, 2, 3

Es decir: X1 = Hect. De cultivo para trigo

X2 = Hect. Para cultivo de centeno

X3 = Hect. Para arrendamiento

F.O.:

Maximizar sus beneficios

MaxZ = (300pesos/ton.trigo)(2ton.trigo/hect)X1hect. +

(230pesos/ton.centeno)(3ton.centeno/2hect.)X2 hect. + 30pesos/hect.X3 hect. (20pesos/bols.semi.trigo)(2bols.sem.trigo/hect)X1

(30pesos/bols.semi.centeno)(1.5bol.semi.centeno/hect)X2 hect.

(50pesos/meses-hombre)(2ton/4hect)(5meses-hombre/2ton)X1hect.

(50pesos/meses-hombre)(3ton/2hect.)(9meses-hombre/3ton)X2 hect.

MaxZ = 47.5 X1 + 75 X2

S. a:

X1 + X2 120

Disponibilidad de tierras de cultivo

2.5 X1 +4.5 X2 270 Disponibilidad de meses/hombre

X3 80 Opcin de contrato para arrenda

C.N. Xi 0

Xi 0 Problema

Una inversionista tiene oportunidad de realizar las actividades A y B al principio de cada uno de los cinco aos. Cada dlar invertido al principio de cualquier ao retribuye $ 1.40 dos aos despus (a tiempo para la reinversin inmediata). Cada dlar invertido en B al principio de cualquier ao retribuye $ 1.70, tres aos despus. Adems las actividades C y D estn disponibles para inversin una sola vez en el futuro. Cada dlar invertido en C al principio del ao 2 da $ 1.90 al final del ao 5. Cada dlar invertido en D al principio del ao 5 retribuye $ 1.30 al final de ese ao. El inversionista dispone de $ 60 000 y desea saber cul es el plan ptimo de inversin. Formular el problema como uno de P.L.

Solucin

Sea Xij = cantidad de dlares invertidos en el ao i en la actividad j

i = 1, 2, 3, 4, 5

j = A, B, C, D

Yi = cantidad de dlares no invertidos en el ao i

i = 1, 2, 3 y 4

Funcin Objetivo: maximizar la inversin.

Max Z = 1.9X2C + 1.7X3B `1.4X4A + 1.3X5Ds. a:

Capital disponible

X1A + X1B + Y1 = 60 000

Cantidad no invertido en el ao 1, disponible para la inversin en el ao 2

X2A + X2B + X2C + Y2 = Y1Cantidad no invertido en el ao 2, ms la utilidad de la inversin en el ao 1, disponibles para la inversin en el ao 3

X3A + X3B + Y3 = 1.4X1A + Y2Cantidad no invertido en el ao 3, ms las utilidades de la inversin en el ao 2, disponibles para la inversin en el ao 4

X4A + Y4 = 1.4X2A + 1.7X1B + Y3Las utilidades de la inversin en el ao 3, disponibles para la inversin en el ao 5

X5D = 1.4X3A + 1.7X2B + Y4 Xij, Yi 0 Problema

Una compaa est introduciendo dos nuevas lneas de productos: Seguro de Riesgos Especiales e Hipotecas. La ganancia esperada es 5 por unidad sobre el seguro de riesgos especiales y 2 por la unidad sobre hipotecas. La administracin quiere establecer las cuotas de ventas para las nuevas lneas de productos con el fin de maximizar la ganancia esperada. Los requerimientos de trabajo son los siguientes:

DepartamentoHora de trabajo por unidadHoras de

Trabajo

disponibles

Riesgos

EspecialesHipotecas

Procesamiento322400

Administraciones01800

Reclamaciones201200

Formule un modelo de P.L.

Solucin

Variables de decisin:

Xi Cantidad de unidades de la nueva lnea de productos

Donde: i 1,2; (1 = Seguro de riesgo especial

2 = Seguro de Hipoteca)

Funcin Objetivo:

Maximizacin de ganancia.

MaxZ = 5.x1 + 2.x2 .. (1)

Restricciones:

Horas de trabajo disponible por unidad de producto:

Departamento de Procesamiento:

3x1 + 2x2 2400

- Departamento de Administracin :

0x1 + 1x2 800

x2 800

Departamento de Reclamaciones:

2x1 + 0x2 1200

x2 600

Problema

Una fbrica produce cuatro productos A, B, C, y D. Cada unidad del producto A requiere de dos horas de maquinado, una hora de montaje y cuesta $10 en el inventario de proceso. Cada unidad del producto B requiere de una hora de maquinado, tres horas de montaje y cuesta $5 en el inventario de proceso. Cada unidad C necesita dos horas y media de maquinado, dos horas y media de montaje y cuesta $2 en el inventario de proceso. Finalmente cada unidad del producto D requiere de cinco horas de maquinado, no necesita tiempo de montaje y cuesta $12 en el inventario de proceso. La fabrica dispone de 1200 horas de maquinado y 1600 horas de montaje. Adems, no puede dispone mas de $10000 en el inventario de proceso. Cada unidad del producto A tiene una utilidad de $40; cada unidad de B de $24; cada unidad de C de $36 y cada unidad de D, de $23. Puede venderse cualquier

cantidad de unidades de los productos A, B, C y D. Sin embargo para cumplir con un contrato debe producirse y venderse por lo menos 100 unidades del producto D. El objetivo de la fbrica es maximizar la utilidad resultante de la venta de los cuatro productos.

Formular el problema como uno de programacin lineal.

Solucin

Variable de decisin:

i = A, B, C, D.

Funcion Objetivo: Maximizar utilidades

Restricciones:

a) Disposicin de horas de maquinado

b) Disposicin de horas de montaje

c) Disposicin de capital en el inventario del proceso

d) Mnima cantidad de produccin de D

Condicin de no negatividad:

PROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMA

Un fabricante de cemento produce dos tipos de cemento, a saber en grnulos y polvo. l no puede hacer ms de 1600 bolsas un da debido a una escasez de vehculos para transportar el cemento fuera de la planta. Un contrato de ventas establece que l debe producir 500 bolsas al dia de cemento en polvo. Debido a restricciones del proceso, se requiere el doble del tiempo para producir una bolsa de cemento granulado en relacin al tiempo requerido por el cemento en polvo. Una bolsa de cemento en polvo consume para su fabricacin 0.24 minutos/bolsa y la planta opera un 8 da de la hora. Su ganancia es 4 por la bolsa para el cemento granulado y 3 por la bolsa para el cemento en polvo. Formule el problema de decidir cunto se debe producir de cada tipo de cemento para maximizar las ganancias de la Empresa, utilizando el Mtodo Grfico.

PROBLEMA

La empresa de computadoras COMPAQ toma las decisiones trimestral sobre la fabricacin de su mezcla de productos. Mientras toda sus lneas productivas incluyen una gran variedad de artculos de computacin, solamente se considerar un problema ms simple con slo dos productos: las computadoras porttiles y las computadoras del escritorio. A COMPAQ les gustara saber cuntos de dichos productos deben fabricar para obtener mximas ganancias en el primer trimestre del 2003. Hay varios lmites del proceso que definen la capacidad productiva tanto de la computadora porttil como la de escritorio:

1.- Cada computadora (porttil o escritorio) requiere un microprocesador. Debido a la escasez de estos productos en el mercado, INTEL les ha asignado solamente 10,000 unidades trimestrales..

2.- Cada computadora requiere de memoria RAM. La memoria viene en 16MB por tarjeta. Una computadora porttil requiere 16MB de memoria instalada (es decir, necesita 1 tarjeta RAM) mientras una computadora de escritorio tiene 32MB ( sea, requiere 2 tarjetas RAM). COMPAQ dispone en inventario 15.000 tarjetas RAM para el prximo trimestre.

3.- Cada computadora requiere un tiempo de ensamblaje. Debido a las estrechas tolerancias para ensamblar una computadora porttil, esta tarda un tiempo de 4 minutos contra 3 minutos para una computadora de escritorio. Hay 25,000 minutos disponibles de tiempo de ensamblaje para el prximo trimestre

Bajo las actuales condiciones del mercado, costos de los materiales y sistema productivo, la venta de cada computadora porttil genera US$ 750 de ganancia y cada computadora de escritorio produce $1000 ganancia.

Hay muchas preguntas que COMPAQ podra hacer. Por ello, aplicando el mtodo Grfico, determinar la respuesta desde la ms obvia que es Cuntos computadoras de cada tipo debe fabricar COMPAQ en el prximo trimestre para maximizar sus beneficios?, hasta las otras preguntas, menos obvias, pero de inters para la Gerencia de la Empresa, entre ellas, Cunto estara dispuesta a pagar COMPAQ por una memoria RAM adicional? Qu efecto tiene sobre la ganancia , la perdida de 1,000 minutos de tiempo de ensamblaje por fallas en una de sus mquinas? Que ganancia se requiere para justificar la fabricacin de una computadora porttil con 32 MB de RAM?

PROBLEMAUna compaa produce tres tamaos de tubos: A, B y C, que son vendidos, respectivamente en $10, $12 y $9 por metro. Para fabricar cada metro del tubo A se requieren de 0.5 minutos de tiempo de procesamiento sobre un tipo particular de mquina de modelado. Cada metro del tubo B requiere de 0.45 minutos y cada metro del tubo C requiere 0.6 minutos. Despus de la produccin, cada metro de tubo, sin importar el tipo, requiere 1 kg de material de soldar. El costo total se estima en $3, $4 y $4 por metro de los tubos A, B y C respectivamente.Para la siguiente semana, la compaa ha recibido pedidos excepcionalmente grandes de sus clientes, que totalizan 2000 metros de tubo A, 4000 metros de tubo B y 5000 metros del tubo C. Como slo se dispone de 40 hrs. Del tiempo de mquina esta semana y slo se tienen en inventario 5,500 kgs de material de soldar el departamento de produccin no podr satisfacer la demanda la cual requiere de 11,000 kgs de material para soldar y ms tiempo de produccin. No se espera que contine este alto nivel de demanda. En vez de expandir la capacidad de las instalaciones de produccin, la gerencia esta considerando la compra de algunos de estos tubos a proveedores de Japn a un costo de entrega de $6 por metro del tubo A, $6 por metro del tubo B y $7 por metro del tubo C. Estos diversos datos se resumen en la tabla 1. A Usted como Gerente del Departamento de produccin, se le ha pedido hacer recomendaciones respecto a la cantidad de produccin de cada tipo de tubo y la cantidad de compra a Japn para satisfacer la demanda y maximizar las ganancias de la Compaa.

Tabla 1: Datos referentes al problema:

Tubo tipoPrecio de Venta ($/metro)Demanda

(metros)Tiempo de Mquina (min/metro)Material para soldar

(kg/metro)Costo de Produccin

($/metro)Costo de compra a Japn ($/metro)

A102,0000.50136

B124,0000.45146

C95,0000.60147

Formule el modelo de PL

8

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