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FORO
Capt de E Vctor Hugo Ypez Proao
January 11, 2016
COMENTE: En los siguientes sistemas de ecuaciones:5x1-x2 + x3 =
10
2x1 + 8x2 x3 = 11-x1 + x2 + 4x3 = 3
{x1 + 3x2 = 16x1-2x2 = 2
1. Convergen o divergen, respectivamente, estos sistemas a las
soluciones X = (2, 1, 1) y X = (4, 1), aplicando
el mtodo iterativo de Gauss-Seidel.
2. Explique con un anlisis matemtico.
1 PRIMER SISTEMA5x1-x2 + x3 = 10
2x1 + 8x2 x3 = 11-x1 + x2 + 4x3 = 3
Primero se despejan las incgnitas x1, x2 y x3 de las ecuaciones
1, 2 y 3 respectivamente. Se tiene:
x1 = 10+x2x35
x2 = 112x1+x38
x3 = 3+x1x24
Estas ltimas son el juego de frmulas iterativas que se estar
utilizando.
Se comienza el proceso iterativo sustituyendo los valores de x2
= x3 = 0 en la primera ecuacin,
para calcular el valor de x1:
x1 = 2
Ahora se sustituye x1 = 2 y x3 = 0 en la segunda ecuacin para
obtener x2:
x2 = 0.875
Ahora se sustituye x1 = 2 y x2 = 0.875 en la tercera ecuacin
para obtener x3:
x3 = 1.03125
1
-
As se tiene la primera aproximacin a la solucin del sistema:
x1 x2 x3
2 0.875 1.03125
Puesto que todava no se puede calcular ningn error aproximado,
se repite el proceso pero ahora
con los ltimos datos obtenidos para las incgnitas:
Sustituyendo x2 = 0.875 y x3 = 1.03125 en la ecuacin 1 se
obtiene x1 = 1.96875. Sustituyendox1 = 1.96875 y x3 = 1.03125 en la
ecuacin 2 se obtiene x2 = 1.01171875 nalmente, sustituyendox1 =
1.96875 y x2 = 1.01171875 en la ecuacin 3 se obtiene x3 =
0.989257813 . Es as como se tiene lasegunda lista de valores de
aproximacin a la solucin del sistema:
x1 x2 x3
1.96875 1.01171875 0.989257813
Ahora se pueden calcular los errores absolutos para cada una de
las incgnitas:
Errx1 = |21.96875|1002 = 1.56%
Errx2 = |0.8751.01171875|1000.875 = 15.63%
Errx3 = |1.031250.989257813|1001.03125 = 4.07%
Puesto que no se ha logrado el objetivo, se debe repetir el
mismo proceso con los ltimos valores
obtenidos de cada una de las incgnitas, hasta que los errores
para las tres incgnitas sean menor al
1%.
Podemos desarrollar la siguiente tabla
2
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Iteraciones Variables Resultados Error %
1 x1 2
x2 0.875
x3 1.03125
2 x1 1.96875 1.56
x2 1.01171875 15.63
x3 0.989257813 4.07
3 x1 2.004492188 1.82
x2 0.99753418 1.40
x3 1.001739502 1.26
4 x1 1.999158936 0.27
x2 1.000427704 0.29
x3 0.999682808 0.21
5 x1 2.000148979 0.05
x2 0.999923106 0.05
x3 1.000056468 0.04
6 x1 1.999973328 0.01
x2 1.000013727 0.01
x3 0.9999899 0.01
7 x1 2.000004765 0.00
x2 0.999997546 0.00
x3 1.000001805 0.00
8 x1 1.999999148 0.00
x2 1.000000439 0.00
x3 0.999999677 0.00
9 x1 2.000000152 0.00
x2 0.999999922 0.00
x3 1.000000058 0.00
10 x1 1.999999973 0.00
x2 1.000000014 0.00
x3 0.99999999 0.00
11 x1 2. 0.00
x2 1 0.00
x3 1 0.00
12 x1 2 0.00
x2 1 0.00
x3 1 0.00
Se puede observar que ahora se ha cumplido el objetivo
para cada uno de los errores aproximados. Por lo tanto, se
concluye que la solucin aproximada es:
x1 = 2x2 = 1x3 = 1
2 PRIMER SISTEMA{x1 + 3x2 = 16x1-2x2 = 2
Hacemos un cambio en el orden de las ecuaciones{6x1-2x2 = 2
x1 + 3x2 = 1
Primero se despejan las incgnitas x1, x2 y x3 de las ecuaciones
1, 2 y 3 respectivamente. Se tiene:
3
-
x1 = 2+2x26
x2 = 1+x13
Estas ltimas son el juego de frmulas iterativas que se estar
utilizando.
Se comienza el proceso iterativo sustituyendo los valores de x2
= 0 en la primera ecuacin, para
calcular el valor de x1:
x1 = 0.333333333
Ahora se sustituye x1 = 0.333333333 en la segunda ecuacin para
obtener x2:
x2 = 0.444444444
As se tiene la primera aproximacin a la solucin del sistema:
x1 x2
0.333333333 0.444444444
Puesto que todava no se puede calcular ningn error aproximado,
se repite el proceso pero ahora
con los ltimos datos obtenidos para las incgnitas:
Sustituyendo x2 = 0.444444444 en la ecuacin 1 se obtiene x1 =
0.481481481. Sustituyendo x1 =0.481481481 en la ecuacin 2 se
obtiene x2 = 0.49382716. Es as como se tiene la segunda lista
devalores de aproximacin a la solucin del sistema:
x1 x2
0.481481481 0.49382716
Ahora se pueden calcular los errores absolutos para cada una de
las incgnitas:
Errx1 = |0.3333333330.481481481|1000.333333333 = 44.44%
Errx2 = |0.4444444440.49382716|1000.444444444 = 11.11%
Puesto que no se ha logrado el objetivo, se debe repetir el
mismo proceso con los ltimos valores
obtenidos de cada una de las incgnitas, hasta que los errores
para las tres incgnitas sean menor al
1%.
Podemos desarrollar la siguiente tabla
4
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Iteraciones Variables Resultados Error %
1 x1 0.333333333
x2 0.444444444
2 x1 0.481481481 44.44
x2 0.49382716 11.11
3 x1 0.497942387 3.42
x2 0.499314129 1.11
4 x1 0.499771376 0.37
x2 0.499923792 0.12
5 x1 0.499974597 0.04
x2 0.499991532 0.01
6 x1 0.499997177 0.00
x2 0.499999059 0.00
7 x1 0.499999686 0.00
x2 0.499999895 0.00
8 x1 0.499999965 0.00
x2 0.499999988 0.00
9 x1 0.5 0.00
x2 0.5 0.00
Se puede observar que ahora se ha cumplido el objetivo para cada
uno de los errores aproximados.
Por lo tanto, se concluye que la solucin aproximada es:
x1 = 0.5
x2 = 0.5
5
