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Fotografía de página completa - Dr. Myron Evans · interpretarse de dos maneras distintas. Primero, po demos predefinir un campo de flujo de espacio-tiempo fijo E F ... tado verticalmente

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3. A

nál

isis

nu

mér

ico

y g

ráfi

co.

3.1

Cas

o e

stát

ico

A p

arti

r d

e la

s ec

uac

ion

es d

e din

ámic

a d

e fl

uid

os

de

EC

E2,

un

cam

po g

ravit

acio

nal

g,

o c

ampo

eléc

tric

o E

es

equiv

alen

te a

un c

ampo e

téri

co E

F m

edia

nte

g =

EF

(61

)

ó

E =

(ρ/ρ

m)

EF

(62)

resp

ecti

vam

ente

, co

n u

na

den

sidad

de

carg

a el

éctr

ica

ρ y

un

a den

sid

ad d

e m

asa

ρm. L

a d

iver

gen

cia

de

un c

amp

o e

léct

rico

o g

ravit

acio

nal

da

la d

ensi

dad

de

carg

a o d

e m

asa,

seg

ún l

as e

cuac

ion

es d

e ca

mp

o

EC

E2.

En es

ta

secc

ión

consi

der

amos

ejem

plo

s el

éctr

icos.

U

tili

zand

o

la

ecuac

ión

elec

tro

stát

ica

ord

inar

ia

. E

= (

ρ /

ϵo)

(

63

)

po

dem

os

sust

itu

ir ρ

en l

a E

c. (

62):

E =

� . E

(ϵ o

/ ρ

m)

EF

(6

4)

o, en

el ca

so e

lect

rost

átic

o, do

nd

e E

= −

� ϕ

, es

dec

ir, d

onde

hay s

ólo

un p

ote

nci

al e

scal

ar ϕ

, y n

ingú

n

po

tenci

al v

ecto

rial

var

iable

co

n e

l ti

emp

o:

−�

ϕ =

−�

2 ϕ

(ϵ o

/ ρ

m)

EF

(6

5)

Res

trin

gie

nd

o n

ues

tro a

nál

isis

a u

na

dim

ensi

ón X

, es

ta e

cuac

ión d

evie

ne

��

��

= �

��

��

� (

ϵ o /

ρm

) E

F

(66)

Tab

la 1

. S

olu

cio

nes

de

la E

c. y

´/y”

= E

F p

ara

un d

ado E

F.

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do

nd

e E

F e

s la

co

mp

on

ente

X d

el v

ecto

r E

F.

Ind

ican

do l

a d

eriv

ada

med

ian

te u

n s

ímb

olo

pri

mad

o y

la

var

iab

le ϕ

co

mo y

por

con

ven

ienci

a, y s

up

on

ien

do q

ue

las

const

ante

s so

n i

gual

es a

la

unid

ad,

ob

tenem

os

= y

” E

F

(6

7)

o

E

F =

(y´

/ y”

)

(6

8)

Vem

os

qu

e so

n p

osi

ble

s re

son

anci

as d

e E

F d

onde

y” s

e vuel

ve

igual

a c

ero.

La

Ec.

(6

8)

pu

ede

inte

rpre

tars

e d

e d

os

man

eras

dis

tinta

s. P

rim

ero,

po

dem

os

pre

def

inir

un c

amp

o d

e fl

ujo

de

esp

acio

-

tiem

po fi

jo E

F y ver

m

edia

nte

cu

ales

pote

nci

ales

elé

ctri

cos

y el

lo p

ued

e “d

iseñ

arse

”. S

egu

nd

o,

po

dem

os

uti

liza

r u

n v

alor

fijo

de

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ara

obse

rvar

el

val

or

resu

ltan

te d

e E

F.

E

n

el

pri

mer

ca

so,

deb

emos

de

reso

lver

en

fu

nci

ón de

y

la

ecu

ació

n d

ifer

enci

al an

teri

or.

Uti

liza

nd

o u

n v

alo

r co

nst

ante

de

cam

po E

F =

1 e

n e

l ca

so m

ás s

enci

llo,

ten

emo

s

(y´

/ y”

) =

1

(6

9)

qu

e ti

ene

po

r so

luci

ón

y

= c

1 e

X +

c2

(

70

)

con

co

nst

ante

s c 1

y c

2. N

eces

itam

os

un p

ote

nci

al c

on c

reci

mie

nto

exp

onen

cial

par

a o

bte

ner

un c

amp

o

con

stan

te E

F.

El

asig

nar

a E

F u

n v

alor

per

iód

ico d

a lu

gar

a s

olu

cion

es c

om

ple

tam

ente

dif

eren

tes

par

a

y.

Var

ias

elec

cio

nes

d

e val

ore

s p

ara

EF d

an

lugar

a

solu

cio

nes

an

alít

icas

p

ara

y,

con

val

ore

s

par

cial

men

te c

om

ple

jos.

Lo

s re

sult

ados

se m

ues

tran

en la

Tab

la 1

. Γ

es

la f

un

ció

n g

amm

a in

com

ple

ta.

Los

caso

s A

-E s

e re

pre

senta

ron g

ráfi

cam

ente

en l

as F

igs.

6-1

0.

3.2

C

aso d

epen

die

nte

del

tie

mp

o

Un

a d

epen

den

cia

exp

líci

ta r

esp

ecto

del

tie

mp

o s

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a p

ara

el c

amp

o e

léct

rico

cu

ando h

ay i

nvo

lucr

ado

un

po

ten

cial

vec

tori

al:

E =

−�

ϕ −

��

� .

(71

)

Tab

la 2

. S

olu

cio

nes

de

la E

c. y

´/y”

= E

F p

ara

un

a d

ada

y(x)

.

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Ento

nce

s, a

par

tir

de

la E

c.(6

4)

se o

bti

ene

E

= �

. E

(ϵ o

/ ρ

m)

EF

= (

−�

2 ϕ

− � �

. A

) (

ϵ o /

ρm)

EF

(7

2)

y r

eord

enad

a:

En e

l ca

so d

e u

n d

ielé

ctri

co, te

nem

os

qu

e su

stit

uir

la

per

mit

ivid

ad d

el v

acío

ϵo c

on

el p

rod

uct

o ϵ

oϵ r

,

do

nd

e ϵ r

es

la p

erm

eab

ilid

ad r

elat

iva

del

mat

eria

l. C

onsi

der

arem

os

un c

aso d

e ap

lica

ció

n e

spec

ial,

de

un

so

len

oid

e. E

l p

ote

nci

al v

ecto

rial

mag

nét

ico,

A,

den

tro d

e u

n s

ole

no

ide

idea

l, e

s pro

po

rcio

nal

a l

a

dis

tan

cia

rad

ial

des

de

el c

entr

o y

lo e

s en

la

dir

ecci

ón a

zim

uta

l. P

ara

coo

rden

adas

cil

índri

cas

(r,

θ,

Z)

consi

der

arem

os

el vo

lum

en i

nte

rio

r de

un

sole

noid

e id

eal

con núcl

eo d

e ai

re si

n án

gu

lo de

incl

inac

ión

del

em

bo

bin

ado (

el s

ole

noid

e es

tá o

rien

tado v

erti

calm

ente

co

n c

entr

o e

n e

l ej

e Z

), c

on l

a

corr

iente

cil

índri

ca p

roporc

ion

al a

sen

(ωt)

, d

e ta

l m

aner

a q

ue

A =

r s

en(ω

t) �

, do

nd

e r

es l

a dis

tan

cia

rad

ial

des

de

el o

rigen

(ce

ntr

o d

el s

ole

noid

e),

y �

es

el v

ecto

r u

nit

ario

en l

a dir

ecci

ón a

zim

uta

l.

In

tro

du

cim

os

del

iber

adam

ente

un p

erfi

l d

e vo

ltaj

e es

táti

co p

arab

óli

co e

n l

a d

irec

ción Z

den

tro d

el

sole

no

ide,

do

nde

el p

ote

nci

al ϕ

dep

end

e en

form

a cu

adrá

tica

de

la c

oo

rden

ada

Z. Q

uiz

ás e

sto p

udie

ra

logra

rse

apro

xim

adam

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ap

ilan

do e

lect

reto

s d

ielé

ctri

cos

con

fo

rma

de

dis

co c

ircu

lar

de

carg

a y

esp

acia

mie

nto

ver

tica

l ap

rop

iad

os

(co

mo o

tra

apro

xim

ació

n a

lter

na,

po

drí

an e

mple

arse

del

gad

os

dis

cos

met

álic

os

cond

uct

ore

s, c

on c

ada

dis

co c

on

ecta

do

a u

na

fuen

te d

e vo

ltaj

e es

táti

co c

on v

alor

asig

nad

o, au

nque

esto

s d

isco

s po

drí

an c

rear

co

rrie

nte

s p

arás

itas

cau

sad

as p

or

el c

ampo

mag

nét

ico d

el

sole

no

ide,

com

pli

cand

o e

ste

anál

isis

). L

a p

erm

eabil

idad

del

vac

ío e

sta

inm

ersa

en la

pro

po

rcio

nal

idad

men

cio

nad

a, de

man

era

que

no ap

arec

e en

fo

rma

exp

líci

ta en

la

s fo

rmas

in

clu

idas

m

ás ab

ajo.

Ento

nce

s, c

on n

ota

ció

n f

orm

al,

ten

emo

s:

Se

ded

uce

ento

nce

s:

� . A

= 0

(7

6)

y u

tili

zan

do

Page 14: Fotografía de página completa - Dr. Myron Evans · interpretarse de dos maneras distintas. Primero, po demos predefinir un campo de flujo de espacio-tiempo fijo E F ... tado verticalmente

ob

tenem

os

a par

tir

de

la E

c.(7

3)

el c

ampo e

léct

rico

del

esp

acio

-tie

mpo:

La

com

po

nen

te θ

se

repre

sen

ta g

ráfi

cam

ente

en l

a F

ig.1

1 c

om

o u

na

grá

fica

bid

imen

sion

al e

n r

y t

.

S

i ah

ora

co

nsi

der

amos

el c

aso i

nver

so,

en el

que

se d

a E

F,

tom

amo

s el

mis

mo m

od

elo d

e

con

stru

cció

n a

nte

rior,

co

n l

os

elec

tret

os

crea

nd

o e

l ca

mp

o d

e p

ote

nci

al

ϕ

= �

Z 2

co

s (ω

t)

(

80

)

qu

e en

est

e ca

so e

stá

osc

ilan

do e

n f

un

ció

n d

el t

iem

po

. S

up

onie

nd

o q

ue

la p

arte

ind

uci

da

por

el

esp

acio

-tie

mpo d

e ϕ

es

peq

ueñ

a en

co

mp

arac

ión

con e

l po

ten

cial

del

ele

ctre

to.

Co

n e

l p

ote

nci

al

vec

tori

al d

epen

die

nte

del

tie

mpo

��

0

(

81

)

(8

2)

esto

da

y s

up

onie

ndo

� . A

= 0

(8

4)

ob

tenem

os

par

a la

com

po

nen

te s

egú

n Z

de

A:

do

nd

e E

F,Z

es

la c

om

po

nen

te s

egú

n Z

de

EF.

Est

a ec

uac

ión p

ose

e la

sen

cill

a so

luci

ón

tem

pora

l:

Page 15: Fotografía de página completa - Dr. Myron Evans · interpretarse de dos maneras distintas. Primero, po demos predefinir un campo de flujo de espacio-tiempo fijo E F ... tado verticalmente

con u

na

const

ante

C. S

e re

pre

senta

grá

fica

men

te e

n la

Fig

.12.

Hay u

n incr

emen

to lin

eal d

el p

ote

nci

al

vec

tori

al e

n l

a dir

ecci

ón Z

, p

ero q

ue

osc

ila

en f

un

ció

n d

el t

iem

po.

F

inal

men

te,

con

sid

eram

os

un e

jem

plo

mo

dif

icad

o c

on f

orm

a o

nd

ula

tori

a pre

def

inid

a

ver

la

Fig

.13.

Sup

on

ien

do

ϕ

= �

Z 2

(

88

)

el m

ism

o p

roce

dim

iento

con

du

ce,

par

a la

co

mp

onen

te θ

de

A,

a la

ecu

ació

n

qu

e ti

ene

po

r so

luci

ón

de

man

era

que

una

osc

ilac

ión

en la

com

pon

ente

an

gu

lar

de

EF p

roduce

un

a co

mp

on

ente

de

on

da

pla

na

osc

ilat

ori

a A

θ.

Est

a so

luci

ón

se

rep

rese

nta

grá

fica

men

te e

n l

a F

ig.1

4.

Fig

.1 E

F y

y(x

), c

aso A

de

la T

abla

1.

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Fig

.2.

E

F y

co

rres

po

ndie

nte

y(x

) ,

caso

B d

e la

Tab

la 1

.

Fig

.3

EF

y c

orr

espo

ndie

nte

y(x

) ,

caso

C d

e la

Tab

la 1

.

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Fig

.4

EF

y c

orr

espo

ndie

nte

y(x

) ,

caso

D d

e la

Tab

la 1

.

Fig

.5

EF

y c

orr

espo

ndie

nte

y(x

) ,

caso

E d

e la

Tab

la 1

.

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Fig

. 6

y(x

) y E

F c

orr

esp

ond

iente

, ca

so A

de

la T

abla

2.

Fig

. 7

y(x

) y E

F c

orr

esp

ondie

nte

, ca

so B

de

la T

abla

2.

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Fig

. 8

y(x)

y E

F c

orr

espo

ndie

nte

, ca

so C

de

la T

abla

2.

Fig

. 9

y(x

) y E

F c

orr

esp

ond

iente

, ca

so D

de

la T

abla

2.

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Fig

.10

y(x

) y E

F c

orr

esp

ond

iente

, ca

so E

de

la T

abla

2.

Fig

.11

Co

mp

on

ente

θ d

e E

F,

Ec.

(79

).

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Fig

.12

Co

mp

on

ente

AZ ,

Ec.

(86).

Fig

. 13

Com

pon

ente

θ d

e E

F,

Ec.

(87).

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Fig

.14

Co

mpon

ente

Aθ ,

Ec.

(90).

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Ag

rad

ecim

ien

tos.

Se

agra

dec

e al

Go

bie

rno B

ritá

nic

o p

or

la P

ensi

ón

Civ

il V

ital

icia

y a

l eq

uip

o t

écn

ico

de

AIA

S

y o

tro

s p

or

much

as d

iscu

sio

nes

in

tere

sante

s. S

e ag

rad

ece

a D

ave

Bu

rlei

gh

, C

EO

de

An

nex

a

Inc.

, po

r la

s p

ub

lica

cio

nes

vo

lun

tari

as,

com

o

anfi

trió

n

del

p

ort

al

ww

w.a

ias.

us

y

el

man

tenim

iento

a l

os

pro

gra

mas

y e

l po

rtal

, a

Ale

x H

ill

po

r la

s tr

adu

ccio

nes

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ectu

ras

en

idio

ma

cast

ella

no y

a R

ober

t C

hes

hir

e p

or

las

lect

ura

s en

id

iom

a in

glé

s.

Ref

eren

cias

bib

lio

grá

fica

s.

[1]

M.

W. E

van

s, H

. E

ckar

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