fracciones2. Equivalencia de fracciones
4. Fracciones con el numerador mayor que el denominador
5. Reducción de fracciones a común denominador
6. Reducción de fracciones a mínimo común denominador
7. Comparación de fracciones
9. Multiplicación de fracciones
11. División de fracciones
12. Resolución de problemas
Constan de dos términos:
El numerador, que indica las partes iguales que se toman de la unidad.
El denominador, que indica las partes iguales en que se divide la unidad.
1. Términos de una fracción
Fracciones
1 2 3 4 5
3 6 9 1215
Dos fracciones son equivalentes si los
productos del numerador de cada una de ellas
por el denominador de la otra son iguales.
También podemos observar que: 2 · 15 = 5 · 6
Los productos cruzados son iguales
2. Fracciones equivalentes (I)
0
1
Indican lo mismo.
Se representan en el mismo punto de la recta numérica.
Dan el mismo cociente.
2. Fracciones equivalentes (II)
dan el mismo cociente.
Fracciones
Fíjate en las 64 casillas del tablero de ajedrez.
Dos fracciones son equivalentes si los productos del numerador de cada una
de ellas por el denominador de la otra son iguales.
¿Qué parte del tablero ocupan las 16 figuras blancas?
Puedes decirlo de muchas maneras:
Observa:
Vamos a comprobar que estas fracciones son equivalentes mediante la regla de los productos cruzados.
4 8 = 16 2
Fracciones
Observa estas otras fracciones:
Las fracciones
Fracciones
Observa las partes coloreadas de azul de las fracciones que se representan:
Observa:
no se puede reducir más.
Si multiplicamos o dividimos los términos de una fracción por un mismo número, la fracción obtenida es equivalente a la dada.
3. Ampliación y simplificación de fracciones (II)
Las fracciones
irreducible
Fracciones
En la figuras siguientes, las partes coloreadas de azul son iguales. Las fracciones que representan son equivalentes.
Este proceso se denomina simplificación de fracciones.
Observa que:
Ejemplo:
Simplificar una fracción es convertirla en otra equivalente e irreducible. Para ello se dividen los dos términos de la fracción por todos los divisores comunes de ambos.
3. Simplificación de fracciones
Hemos transformado la fracción
Dividiendo por 8
Dividiendo por 10
Fracciones
Las 22 fotos de igual tamaño ocupan mas de 2 hojas del álbum.
Otro ejemplo:
Por tanto:
Para convertir una fracción en un número entero y otra fracción hay que dividir el numerador entre el denominador.
22 : 9 = 2, resto 4.
pues 53 : 12 = 4, resto 5.
A estas fracciones
En concreto, 2 hojas completas y
de otra.
Esto se puede escribir así:
+
+
=
=
Fracciones
Los números fraccionarios escritos de esta forma se llaman números mixtos.
Ejercicio resuelto:
Hay fracciones que representan un número entero de unidades más una parte fraccionaria. Son fracciones mayores que 1. La parte coloreada de la figura es:
Si divides: 9 : 4 = 2, resto 1
Podemos escribir una fracción mayor que 1, como suma de la parte entera y de una fracción menor que 1:
Dividiendo : 41 : 3 = 13 y resto 2
4. Números mixtos
Fracciones
Tenemos las fracciones:
y queremos encontrar tres fracciones equivalente a cada una de ellas que tengan el mismo denominador.
Escribimos fracciones equivalentes:
Por tanto, el denominador común tiene que ser múltiplo de 3, 4 y 6 a la vez. Por ejemplo, 24.
Sus denominadores son múltiplos de 3.
Sus denominadores son múltiplos de 4.
Sus denominadores son múltiplos de 6.
5. Reducción de fracciones a común denominador (I)
Fracciones
Hay una forma directa de conseguir fracciones con común denominador.
Lo aplicamos a las fracciones:
Como 3 x 4 x 6 es múltiplos de 3, 4 y 6, se tendrá:.
Halla un múltiplo común a los denominadores.
Escribe las fracciones equivalentes con ese denominador.
Otro ejemplo:
Las fracciones:
Puedes calcular el m.c.m. de varios números así:
Vamos a ver otra forma de reducir fracciones con común denominador.
Lo aplicamos a las fracciones:
Descompones los números en factores primos.
El m.c.m. es igual al producto de los factores primos comunes y no comunes, elevados al mayor exponente.
El denominador común tiene que ser múltiplo de 4 y de 6.
Múltiplos de 4:
4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 ...
Múltiplos de 6:
6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 ...
Múltiplos comunes:
12 24 36 ...
El menor es 12. Se llama mínimo común múltiplo de 4 y 6.
Escribimos:
6 = 2 3
El m.c.m. debe tener: el 22 por ser múltiplo de 4; el 2 y el 3 por ser múltiplo de 6. El 2 ya está en 22.
Luego, m.cm. (4, 6) = 22 3 = 12
6. Mínimo común denominador
El mínimo común denominador será 120.
Para reducir fracciones a mínimo común denominador se elige como denominador común el m.c.m. de los denominadores.
Lo aplicamos a las fracciones:
Descomponemos los denominadores en factores primos:
Luego:
8 = 23
12
10
15
Fracciones
El denominador 12 es el menor de los denominadores comunes, y coincide con el mínimo común múltiplo de 3, 6 y 4.
Para calcular el mínimo común denominador de varias fracciones se procede como sigue:
1º. Se calcula el mínimo común múltiplo de los denominadores.
2º. Los numeradores de cada fracción se multiplicarán por el cociente entre ese m.c.m. y los denominadores respectivos.
Veamos otro ejemplo:
1º Como 8 = 23, 12 = 3 · 22 y 3 = 3, el m.c.m. (8, 12, 3) = 23 · 3 = 24
2º. Dividimos 24 entre 8, 12 y 3:
24 : 8 = 3
24 : 12 = 2
24 : 3 = 8
Las fracciones
Fracciones
mismo denominador, es mayor
mismo numerador, es mayor
Con el mismo numerador:
Reducimos a común denominador:
nuevo mayor numerador.
Suma
Resta
Para sumar o restar fracciones con distinto denominador:
· Se reducen a común denominador. · Se suman o restan las fracciones obtenidas con el mismo denominador.
En ambos casos se deja el mismo denominador.
8. Suma y resta de fracciones
Fracciones
Calcula:
Como tienen el mismo denominador, para operar se suman o restan los numeradores.
Ejercicio 2
Calcula:
Como 9 = 32, 5 = 5 y 10 = 2 · 5, el m.c.m (9, 5, 10) = 32 · 2 · 5 = 90.
Luego:
Luego:
Observa que cada numerador se multiplica por el cociente entre el m.c.m (90) y los denominadores respectivos
8. Suma y resta de fracciones. Ejercicios (I)
Fracciones
13860 : 11 = 1260
Escritos en factores: 11 = 11, 20 = 22 · 5, 9 = 32 y 35 = 5 · 7
Calculamos el m.c.m de los denominadores:
Luego, m.c.m (11, 20, 9, 35) = 11· 22 · 5 · 32 · 7 = 13860
Observa:
8. Suma y resta de fracciones. Ejercicios (II)
Calcula:
1260
693
396
1540
Fracciones
Para sumar un número entero y una fracción:
1º. Se expresa el número entero como fracción, multiplicado y dividiendo por
el denominador de la fracción.
2º. Se suman como dos fracciones de igual denominador.
Tenemos dos cuadrados completos y un cuarto de otro:
+
2
Calcula:
Fracciones
Tenemos un rectángulo completo y deseamos quitarle cinco séptimos del mismo:
1
Para restar un número entero y una fracción:
1º. Se expresa el número entero como fracción, multiplicado y dividiendo por
el denominador de la fracción.
2º. Se restan como dos fracciones de igual denominador.
Otro ejemplo
Luego:
Calcula:
Fracciones
+
=
+
=
+
+
Para multiplicar un número natural por una fracción se multiplica
el número por el numerador; se deja el mismo denominador.
Producto de dos fracciones
El numerador igual al producto de los numeradores.
El denominador igual al producto de los denominadores
Calculemos los 2 quintos de 3 cuartos:
9. Multiplicación de fracciones
Fracciones
La fracción opuesta se obtiene cambiando de signo la fracción dada.
Dos fracciones
su suma es 0.
La fracción inversa se obtiene intercambiando los términos de la fracción dada.
Dos fracciones
Dada la fracción , ¿qué fracción sumada con ella da 0?
Si se elige , la suma es:
Las fracciones y se dice que son fracciones opuestas.
Dada la fracción , ¿qué fracción multiplicada por ella da 1?
Si se elige , el producto es:
Las fracciones y se dice que son fracciones inversas.
Fracciones
:
=
11. División de fracciones (I)
¿Cuántos pinchos de de tortilla hay en de tortilla?
¿Cuántos vasos de refresco de de litro pueden llenarse con una botella de de litro?
¿Cuántos vasos de leche de de litro pueden llenarse con una botella de de litro?
Observa que
Observa que:
es equivalente a
Luego, multiplicar por una fracción equivale a dividir por su inversa. Y viceversa: dividir por una fracción equivale a multiplicar por su inversa.
11. División de fracciones (II)
?
Fracciones
Para hallar el cociente de dos fracciones se multiplica la primera por la fracción inversa de la segunda.
Hemos visto que:
?
?
?
?
Primero:
Problema: Un club de fútbol tiene dividida su temporada en cuatro partes. En la primera juega la mitad del total de los partidos; en la segunda, la cuarta parte, y en la tercera, un octavo. Para terminar la temporada le faltan todavía 6 partidos por jugar. ¿De cuántos partidos consta la temporada de este club? ¿Cuántos partidos juega en cada parte de la temporada?
Utilizar fracciones
La fracción de partidos jugados es la suma
Podemos representar la temporada mediante una línea dividida en cuatro partes:
Faltan 6 partidos
Pero todavía “no sabemos” sumar fracciones.
Habrá que buscar otra alternativa. Por ejemplo, podemos observar que el número de partidos debe ser múltiplo de 8.
Si se sabe sumar fracciones puede seguirse esa idea
12. Resolución de problemas (I) (1ª parte)
Fracciones
cuarta parte, queda otra cuarta parte
Y la octava parte es la mitad de la cuarta parte.
Luego, 6 es la mitad de la cuarta parte; esto es, la octava parte:
? : 8 = 6
El número buscado es 48. Esos son los partidos que juega el equipo
Comprueba que el resultado es correcto.
Problema: Un club de fútbol tiene dividida su temporada en cuatro partes. En la primera juega la mitad del total de los partidos; en la segunda, la cuarta parte, y en la tercera, un octavo. Para terminar la temporada le faltan todavía 6 partidos por jugar. ¿De cuántos partidos consta la temporada de este club? ¿Cuántos partidos juega en cada parte de la temporada?
La cuarta parte es la mitad de la mitad.
12. Resolución de problemas (I) (2ª parte)
Faltan 6 partidos
Fracciones
Tantear
Primero:
Problema: A los ganadores de una competición se les premia regalándoles discos: Al primero le regalan la mitad de los discos. Al segundo, la mitad que al primero. Al tercero, la mitad que al segundo. Al cuarto, los 12 discos que quedan. ¿Cuántos discos se han regalado?
Utilizar fracciones
Segundo:
El segundo la mitad de la mitad, que es la cuarta parte:
Supongamos que se regalan 36 discos en total.
Así:
Entre los tres han recibido:
Al primero le tocarían 18; al segundo, 9; al tercero, la mitad de nueve. No puede ser (habría que romper un disco).
El primero recibe la mitad:
El tercero recibe la mitad que el segundo:
Al cuarto le quedará lo que falta:
12. Resolución de problemas (II) (1ª parte)
Indiquemos con el total de discos:
?
?
?
?
?
El número de discos regalados es 96.
El primero recibe la mitad:
El segundo recibe la mitad que el primero: 24
El tercero, la mitad que el segundo: 12
En total: 48 + 24 + 12 + 12 = 96
El cuarto recibe 12 (96 : 8 = 12)
Problema: A los ganadores de una competición se les premia regalándoles discos: Al primero le regalan la mitad de los discos. Al segundo, la mitad que al primero. Al tercero, la mitad que al segundo. Al cuarto, los 12 discos que quedan. ¿Cuántos discos se han regalado?
12. Resolución de problemas (II) (2ª parte)
?
Fracciones
PROBLEMA
En la biblioteca hay un estante con libros de aventuras. El jueves se prestaron 16 libros. El viernes se prestaron la mitad de los que quedaban. Después de este préstamo quedaron 24 libros. ¿Cuántos libros de aventuras había en la biblioteca?
ELABORA UN DIAGRAMA
EMPIEZA POR EL FINAL
Se indica por N el número de libros que había antes de realizar ningún préstamo.
Como la mitad de M son 24, se tiene:
COMPRUEBA EL RESULTADO
El jueves quedaron en la biblioteca 48 libros de aventuras.
N – 16 = 48
Prestan
Prestan
Quedan
Quedan