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FÍSICA 2º BACHILLERATO. CAMPO ELÉCTRICO.

José Enrique Perandrés Yuste 1/11

TEMA3: CAMPO ELÉCTRICO o Naturaleza eléctrica de la materia. o Ley de Coulomb vs Ley de Newton. o Principio de superposición. o Intensidad del campo elétrico. o Líneas del campo eléctrico vs campo gravitatorio. o Potencial, diferencia de potencial. o Energía potencial. o Flujo. Teorema de Gauss.

o Campo creado por una esfera. o Campo creado por un plano. o Campo creado por un hilo conductor.



Naturaleza eléctrica de la materia. La carga eléctrica es la propiedad que adquieren los cuerpos que se han electrizado. Los experimentos ponen de manifiesto que las fuerzas entre cuerpos electrizados pueden ser de atracción o de repulsión, lo que se explica suponiendo la existencia de dos tipos de carga que se denominan carga positiva y carga negativa. La explicación de algunos fenómenos eléctricos en la naturaleza atómica de la materia, llevó a la conclusión de que la unidad mínima de carga era la que presentaban el protón o el electrón (hoy día se conocen fracciones más pequeñas de carga) de este modo se puede concluir que la carga está cuantizada.

Una deducción directa de a cuantización de la carga es su conservación ya que las cargas que en un sistema aislado se trasladan de un cuerpo a otro alteran el valor particular de la carga de los cuerpos pero nunca cambie el valor total de la carga del sistema.

Ley de Coulomb. Cuando se consideran dos cuerpos cargados (supuestamente puntuales) y en reposo o

con movimiento muy pequeño, la intensidad de las fuerzas atractivas o repulsivas que

se ejercen entre sí es directamente proporcional al producto de sus cargas e

inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa, dependiendo

además dicha fuerza de la naturaleza del medio que la rodea.

Las fuerzas eléctricas se aplican en los respectivos centros de las cargas y están

dirigidos a lo largo de la línea que los une.

La expresión matemática de la ley de Coulomb es: 1 22e r

q qF K u

r=

ur r

donde las cargas se

sustituyen con su signo, y el valor de la constante de proporcionalidad K para el vacío

es: 2

92

9 10m

K NC

= ⋅ , que justifica el elevado valor de las fuerzas eléctricas.

Para el caso de cargas situadas en agua pura, el valor de la fuerza electrostática se reduce 81 veces respecto al valor en el vacío, luego K traduce la influencia del medio:

1

4K

πε= , donde ε representa la permitividad dieléctrica del medio (ε0 para el vacío).

El siguiente cuadro muestra de forma esquemática las analogías y diferencias entre el campo gravitatorio y el campo eléctrico.

1 22e r

q qF K u

r=

ur r;

29

29 10vacío

mK N

C= ⋅ 2

'g r

mmF G u

r= −

ur r;

211

26,67 10

mG N

kg

−= ⋅

AnalogíasAnalogíasAnalogíasAnalogías DiferenciasDiferenciasDiferenciasDiferencias � Su expresión matemática es semejante � Describen fuerzas que son proporcionales a la magnitud física que interacciona, las masas en las fuerzas gravitatorias y las cargas en las eléctricas � En ambas leyes las fuerzas son

� La fuerza gravitatoria está asociada a la masa y la fuerza eléctrica a la carga. � La fuerza gravitatoria es de atracción (porque solo hay un tipo de masa) y la fuerza eléctrica puede ser de atracción o



inversamente proporcionales al cuadrado de la distancia � Tanto las fuerzas gravitatorias como las eléctricas son fuerzas centrales, es decir, actúan en la dirección de la recta que une las masas o las cargas, respectivamente.

de repulsión (porque hay dos tipos de cargas) � El valor de la constante G no depende del medio mientras que el valor de la constante K depende del medio en el que estén las cargas. � El valor de G es muy pequeño frente a K: la interacción gravitatoria es mucho más débil que la eléctrica.

Campo eléctrico ( Eur

). Una o varias cargas en reposo o movimiento muy pequeño, crean en la región del espacio en torno a ellas un campo eléctrico, que se manifiesta cuando colocamos una carga de prueba y se observa la aparición sobre ella de fuerzas eléctricas. Definimos la

intensidad del campo como la fuerza por unidad de carga en un punto: '

F NE

q C

=

urur

, que

en caso del campo creado por una sola carga q, 2

q NE K

r C

=

ur

Éste campo puede representarse mediante las llamadas líneas de fuerza que indican la trayectoria que seguiría la carga de prueba positiva si se la abandonase libremente a la influencia del campo. El campo eléctrico será un vector tangente a la línea de fuerza en el punto considerado. Una carga puntual da lugar a un mapa de líneas de fuerza radiales:

Manantial y sumidero.

Superposición de campos eléctricos. Cuando el campo es generado por varias cargas, su efecto en un punto se obtiene como suma de los vectores campo producidos por cada una de ellas por separado:

1 2 ...T nE E E E= + + =∑ur ur ur ur

� Ejemplo: Dos cargas en el vacío de 3µC y -2µC están situadas en dos vértices de un triángulo equilátero de lado 10 cm. Calcular:



a) El vector intensidad de campo en el otro vértice (P); b) La fuerza que actúa sobre una carga de -2µC situada en P.

1. Hacemos un dibujo que represente los datos del problema:

2. Calculamos las coordenadas de todos los puntos y predecimos la dirección y sentido del campo creado por cada carga.

3. Obtenemos los vectores que van de cada carga al punto de

cálculo del campo:

R1=(0’05,0’09)-(0,0)= (0’05,0’09) R2=(0’05,0’09)-(0’10,0)=(-0’05,0’09) 4. Aplicamos la ecuación del campo a cada carga:

2 2 3r

q q r qE K u K K r

r r r r= = =

rur r r

( )

( ) ( )6

9 6 6 61 3

3 109 10 0 '05,0 '09 27 10 0 '05,0 '09 1'35 10 2 '43 10

0,1

NE i j

C

−⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ + ⋅

ur

( )( ) ( )

69 6 5 6

2 3

2 109 10 0 '05,0 '09 18 10 0 '05,0 '09 9 10 1'62 10

0,1

NE i j

C

−− ⋅ = ⋅ − = − ⋅ − = ⋅ − ⋅

ur

5. Calculamos el campo total: 6 52 '25 10 8'1 10T

NE i j

C

= ⋅ + ⋅

ur

6. Ahora calculamos la fuerza que actúa sobre la carga situada en dicho punto:

( ) ( )6 5 62 '25 10 8'1 10 ( 2 10 ) 4 '5 16 '2TF E q i j i j N−= ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ = − −ur ur

� Ejemplo: Dos partículas con carga q = 0,8 mC, cada una, están fijas en el

vacío y separadas una distancia d = 5 m. Determina el vector campo eléctrico que producen estas cargas en el punto A, que forma un triángulo equilátero con ambas. Calcula el campo y el potencial eléctricos en el punto medio entre las cargas, B. DATO: Constante de Coulomb: K = 1/(4лε0) = 9 · 10

9 N m2 C-2

SOL: 55'0 10A

NE j

C= ⋅

ur ; 0B

NE

C=

ur; 65'76 10BV V= ⋅

Energía potencial electrostática.

10 cm

Q1=3µC Q1=-2µC

P

E2

(0,0) (0’1,0)

(0’05,0’09)

E1



El trabajo que realiza la fuerza eléctrica conservativa (el campo) para trasladar q’ desde A hasta B, será:

2 2

' 1 1 1' ' '

BB B B

BrA A B

A A BA A A

qq drW F d r K u d r Kqq Kqq Kqq Ep Ep Ep

r r r r r

− = ⋅ = ⋅ = ⋅ = = − = − = −∆ ∫ ∫ ∫ur r r r

Donde: 1 cos0ru d r dr dr⋅ = ⋅ ⋅ =r r

El W será positivo cuando lo haga el campo y negativo cuando lo realicen fuerzas externas en contra del campo. Luego se define la Ep de una carga q’ en un punto A, como el trabajo realizado para llevar esa carga desde ese punto al ∞. Si es positivo lo hace el campo, y si es negativo lo hace un agente externo. La Ep en un punto puede ser + o -, según el signo de las cargas. Si el campo en un punto estuviera creado por varias cargas, la Ep sería:

i j

sistema

i j ij

q qEp K

r= ∑

p

Comparemos ahora con el campo gravitatorio:

'A T

A

mEp GM

r= −

'A

A

qqEp K

r=

'A

A

qqEp K

r=

0A A AW Ep Ep Ep∞

∞= − = p

0A A AW Ep Ep Ep∞∞= − = f 0A A AW Ep Ep Ep∞

∞= − = f

0

0

aW F externa

W Campo

⇒

⇒

p

f

� Ejemplo: Hallar la Ep de un sistema formado por:

a) Dos protones separados por una distancia de 1 Å. b) Un protón y un electrón separados una distancia de 1Å.

Interpretar el signo de la Ep obtenida en cada caso. Dato: qe=1,6x10-19C.

Ep

r

∞A

Ep

r

∞

A

Ep

r

∞A

A

B

q’

q’

rA

rB

q

+

+

+



a) 19 19

9 18

10

' 1,6 10 1,6 109 10 2,3 10

10

qqEp K J

r

− −−

−

⋅ ⋅ ⋅= = ⋅ = ⋅ ,

como W=-∆Ep=-2,3x10-18J, luego el trabajo lo debe hacer un agente externo.

b) 19 19

9 18

10

' 1,6 10 ( 1,6 10 )9 10 2,3 10

10

qqEp K J

r

− −−

−

⋅ ⋅ − ⋅= = ⋅ = − ⋅ ,

como W=-∆Ep=2,3x10-18J, luego el trabajo lo debe hacer el propio campo.

Potencial electrostático (V). La diferencia de potencial entre A y B se define como la diferencia de Ep entre ambos

puntos por unidad de carga: A BA B

A B

Ep Ep q qV V K K

q r r

−− = = − , luego ( )B

A A BW q V V= −

En un punto A, A

A

q qV V K K

r∞− = − ⇒

∞ A

A

qV K

r=

Si el campo está creado por varias cargas:

isistema

i i

qV K

r= ∑

Ahora vamos a obtener la relación entre el potencial (V) y el campo (E):

A A

A

dEpEp W F dr F

dr

∞∞= = ⋅ ⇒ =∫

ur r; dividiendo por la carga testigo q’, queda;

' '

dEpF dr

q q= y

como dEp

dVq

= ; '

F dV dVE

q dr dr= ⇒ = ; y en forma vectorial r

dVE u

dr=

ur r; y si

E cte= ⇒ur

ABA BV V E r− = ⋅ur r

� Ejemplo: Dos cargas eléctricas están situadas en los puntos (2,0)m y (4,0)m respectivamente. La

primera es de 2µC y la segunda de 3µC. Calcular el potencial en los puntos X(3,0) e Y(5,0).

6 6

9 42 10 3 109 10 4,5 10

1 1i

X

i i

qV K V

r

− − ⋅ ⋅= = ⋅ + = ⋅

∑

6 6

9 42 10 3 109 10 3,3 10

3 1i

Y

i i

qV K V

r

− − ⋅ ⋅= = ⋅ + = ⋅

∑

� Cuatro cargas en el vacío están situadas en los vértices de un cuadrado de un metro de lado. Los

valores de las cargas son: 10-8C; -4x10-8C; -3x10-8C; y 2x10-8C; respectivamente. Calcular: a) El potencial en el centro del cuadrado. b) La energía potencial de una carga de -3x10-8C situada en el centro del cuadrado.

SOL: a) -509 V; b) 1’5x10-5J

q q’ X Y

(2,0) (3,0) (4,0) (5,0) + +



Superficies equipotenciales.

Visualizan cómo varía el potencial de un punto a otro del campo. Son el lugar geométrico de los puntos del campo que se encuentran a igual potencial. Teóricamente habría infinitas envolturas (superficies), pero sólo se suelen representar variaciones fijas del potencial, que observamos no están igualmente espaciadas. Las cargas positivas se desplazarán espontáneamente hacia potenciales menores y las negativas hacia potenciales mayores. Para trasladar una carga desde una superficie a otra podemos

calcular el trabajo: ( )B

A A BW q V V= −

� Una carga puntual q = (1/3)·10-8 C está situada en el origen de coordenadas. Dibujar las superficies

equipotenciales a intervalos de 25 V desde 50 V hasta 100 V. ¿Están igualmente espaciadas? Calcula el W para trasladar una carga de 3 microculombios desde la superficie de 75 V hasta la de 50 V, indicando quien lo realizará. Datos: Constante de Coulomb K = 9·109 Nm2C2

Concepto de flujo del campo eléctrico.

Es una medida del número neto de líneas de campo que atraviesan una superficie. Si es

positivo indica que las lineas de campo salen y si es negativo, que entran.

Cuando el vector campo eléctrico E es constante en todos los puntos de una superficie

S, se denomina flujo al producto escalar del vector campo por el vector superficie

E SΦ = ⋅ur ur

El vector superficie es un vector que tiene por módulo

el área de dicha superficie, la dirección es

perpendicular al plano que la contiene.

Cuando el vector campo E y el vector superficie S son

perpendiculares el flujo es cero.

En el caso de una superficie cualquiera, el flujo total se calcula como la integral a lo

largo de la superficie: cosS S

E d S EdS θΦ = ⋅ =∫ ∫ur ur

, y si es una superficie cerrada:

S

E dSΦ = ⋅∫ur ur

�

100V

75V

50V

q +

+



Teorema de Gauss. Para un campo vectorial conservativo, el flujo que atraviesa una superficie cerrada es

constante: S

E dS cteΦ = ⋅ =∫ur ur

�

Tenemos una superficie cerrada S irregular, en cuyo interior hay una carga q.

El flujo del campo eléctrico a través de S será igual que a través de S’, que es una esfera de radio R.

2 r

qE K u

R=

ur r;

'S S

E dS E dSΦ = ⋅ = ⋅ =∫ ∫ur ur ur ur

� �2

20 0' '

1cos0 ' 4 4

4S S

q qEdS E dS E S K R q

Rπ π

πε ε= = ⋅ = = =∫ ∫� �

En el caso de varias cargas: “el flujo del campo eléctrico a través de una superficie

cerrada es proporcional a la carga neta Q encerrada en dicha superficie.” 0

Q

εΦ = Es

muy útil para calcular el campo eléctrico debido a distribuciones de carga como esferas, hilos y placas.

Campo eléctrico creado por una esfera cargada positivamente en un punto exterior

Para una distribución esférica y uniforme de carga, la aplicación del teorema de Gauss

requiere los siguientes pasos:

1. A partir de la simetría de la distribución de carga, determinar la dirección del

campo eléctrico:

La distribución de carga tiene simetría esférica, la dirección del campo es radial

2. Elegir una superficie cerrada apropiada para calcular el flujo:

Tomamos como superficie cerrada, una esfera de radio

r.

El campo eléctrico E es paralelo al vector superficie

dS, y el campo es constante en todos los puntos de la

superficie esférica como se ve en la figura, por lo que,

2

' ' '

cos0 ' 4S S S

E dS EdS E dS E S E RπΦ = ⋅ = = = ⋅ = ⋅∫ ∫ ∫ur ur

� � �

q

S

S’

R



3. Determinar la carga que hay en el interior de la

superficie cerrada:

Si estamos calculando el campo en el exterior de la esfera

uniformemente cargada, la carga que hay en el interior de

la superficie esférica de radio r es la carga total q=Q.

4. Aplicar el teorema de Gauss y despejar el

módulo del campo eléctrico:

2

0

4Q

E Rπε

⋅ = ; luego 204

QE

rπε=

El campo en el exterior de una esfera cargada con carga Q, tiene la misma expresión

que el campo producido por una carga puntual Q situada en su centro.

Campo eléctrico creado por un hilo conductor cargado e indefinido.

El teorema de Gauss afirma que el flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual al cociente entre la carga que hay en el interior de dicha superficie dividido entre e0.

0'S

QE dS

ε⋅ =∫

ur ur

�

Para una línea indefinida cargada, la

aplicación del teorema de Gauss

requiere los siguientes pasos:

1. A partir de la simetría de la distribución de carga, determinar la dirección

del campo eléctrico:

La dirección del campo es radial y perpendicular a la línea cargada

2. Elegir una superficie cerrada apropiada para calcular el flujo:

Tomamos como superficie cerrada, un cilindro de radio r y longitud L.



• Flujo a través de las bases del cilindro: el campo E y el vector superficie S1 o S2 forman 90º, luego el flujo es cero.

• Flujo a través de la superficie lateral del cilindro: el campo E es paralelo al vector superficie dS. El campo eléctrico E es constante en todos los puntos de la superficie lateral,

' ' '

cos0 ' 2S S S

E dS EdS E dS E S E RLπΦ = ⋅ = = = ⋅ = ⋅∫ ∫ ∫ur ur

� � �

3. Determinar la carga que hay en el interior de la superficie cerrada:

La carga que hay en el interior de la superficie cerrada vale q=λ L, donde λ es la carga

por unidad de longitud.

4. Aplicar el teorema de Gauss y despejar el módulo del campo eléctrico:

0 0

2Q l

E RLλ

πε ε

⋅ = = ; luego, 02

ER

λ

πε=

Campo creado por una placa plana indefinida cargada.

Para una placa indefinida cargada, la aplicación

del teorema de Gauss requiere los siguientes

pasos:

1. A partir de la simetría de la

distribución de carga, determinar

la dirección del campo eléctrico.

La dirección del campo es perpendicular a la

placa cargada, hacia afuera si la carga es positiva

y hacia la placa si la carga es negativa.

2. Elegir una superficie cerrada

apropiada para calcular el flujo

Tomamos como superficie cerrada, un cilindro de base S, cuya generatriz es

perpendicular a la placa cargada. El flujo tiene dos contribuciones

• Flujo a través de las bases del cilindro: el campo y el vector superficie son paralelos.

E·S1+E·S2=2EScos0º=2ES

• Flujo a través de la superficie lateral del cilindro. El campo E es perpendicular al vector superficie dS, el flujo es cero.

El flujo total es por tanto; 2ES

3. Determinar la carga que hay en el interior de la superficie cerrada



La carga (en la figura de color rojo) en el interior de la superficie cerrada vale q=σ S,

donde σ es la carga por unidad de superficie

4. Aplicar el teorema de Gauss y despejar el módulo del campo eléctrico

0 0

22

SES E

σ σ

ε ε= ⇒ =

El campo producido por una placa infinitamente grande es constante, su dirección es

perpendicular a la placa. Esta fórmula la podemos considerar válida para distancias

próximas a una placa en comparación con sus dimensiones.

Campo creado por dos placas planas cargadas con cargas iguales y opuestas: Condensador.

Se denomina condensador al dispositivo formado por dos placas paralelas y con igual

carga pero de signo contrario.

El campo entre las placas valdrá: 0

Eσ

ε= y fuera de él aproximadamente nulo.

La diferencia de potencial entre las armaduras será: 0 0

'd Qd

V V E dS

σ

ε ε− = ⋅ = =

La capacidad C de un condensador se define como el cociente entre la carga Q y la

diferencia de potencia V-V’ existente entre ellos.'

QC

V V=

−

La unidad de capacidad es el faradio F, aunque se suelen emplear submúltiplos de esta

unidad como el microfaradio µF=10-6 F, y el picofaradio, pF=10-12 F.

Un condensador acumula una energía U en forma de campo eléctrico. La fórmula como

demostraremos más abajo es2

2

QU

C= .

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