psicopedagogico.edu.svpsicopedagogico.edu.sv/archivoL/libro12.pdf · Física I Segunda edición Ing. Juan Antonio Cuéllar Carvajal Universidad Autónoma de Nuevo León Revisión

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LibertadDigital (2015)

Física I



Física I

Segunda edición

Ing. Juan Antonio Cuéllar CarvajalUniversidad Autónoma de Nuevo León

Revisión TécnicaM. en D. Aissa Teremilia Ruiz Luna

Universidad Autónoma de Nuevo León

MÉXICO • BOGOTÁ • BUENOS AIRES • CARACAS • GUATEMALA • MADRID • NUEVA YORK SAN JUAN • SANTIAGO • SAO PAULO • AUCKLAND • LONDRES • MILÁN • MONTREAL

NUEVA DELHI • SAN FRANCISCO • SINGAPUR • ST. LOUIS • SIDNEY • TORONTO


Gerente editorial: Alejandra Martínez ÁvilaEditor sponsor: Sergio G. López HernándezEditor: Luis Amador Valdez VázquezSupervisora de producción: Marxa de la Rosa PliegoDiseño de portada: José Palacios Hernández

Física ISegunda edición

Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra,por cualquier medio, sin la autorización escrita del editor.

DERECHOS RESERVADOS © 2013, 2008, respecto a la segunda edición por:McGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A. DE C.V.

Punta Santa Fe, Prolongación Paseo de la Reforma 1015, Torre A,Piso 17, Colonia Desarrollo Santa Fe,Delegación Álvaro ObregónC.P. 01376, México, D.F.Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Núm. 736

ISBN: 978-607-15-0891-1(ISBN: 978-970-10-6556-3 Primera edición)

1234567890 2456789013Impreso en México Printed in Mexico


Dedicatoria

Con gratitud y amor por siempre a la memoria de Inocencia Covarrubias, Josefina Ro-dríguez Covarrubias, María del Carmen Carvajal Rodríguez, Bertha Carvajal Rodríguez, Leticia Cuéllar Carvajal y Juana Noriega Almeida.


Al escribir este libro, el autor tuvo en mente el deseo de motivar a los alumnos a que se interesen por el estudio de la física; por ello, ha procurado que la explicación de los temas sea clara y completa.

Para la mejor comprensión de los métodos más importantes (analíticos, sintéticos, analógicos, deductivos e inductivos) se presentan más de 250 ejercicios, los cuales se han ordenado cuidadosamente, además de que son variados e incluyen un gran número de apli-caciones. Por otra parte, los ejercicios se han dispuesto según el grado de dificultad, de los más simples a los más complejos.

El libro consta de cuatro bloques y 12 temas que cumplen con el programa de estu-dios de la Dirección General de Bachillerato (dgb). Acorde con este programa, cada bloque incluye una evaluación diagnóstica para que el alumno relacione sus conocimientos previos con los temas que estudiará; al final de cada tema se presenta una evaluación para que el alumno mida el grado de avance en su aprendizaje.

Para alentar a los estudiantes a la lectura del texto y reforzar el conocimiento concep-tual, cada tema inicia con un marco teórico sencillo y accesible, acompañado por ejemplos resueltos. Enseguida, se presentan actividades de aprendizaje integradas por una serie de ejercicios con sus respuestas, lo cual cumple una función muy importante, ya que gracias a ella el alumno podrá saber si el proceso seguido para encontrarla es correcto. Además, al contestar cada ejercicio en el espacio correspondiente, se conservará un orden y una siste-matización del conocimiento, que resultarán muy útiles a los alumnos.

La estructura del libro está diseñada para que sea un útil cuaderno de trabajo para el alumno, pero también se buscó que fuera un texto conciso de consulta para el profesor, esto le ayudará a abreviar esfuerzos en la investigación de temas en la enseñanza de la física. Por último, es necesario destacar otro gran propósito que guió la elaboración del presente trabajo: ayudar a desterrar la tradicional práctica del Magister dixit (“El maestro lo ha di-cho”). Eliminando todo lo que conlleva esta expresión, el profesor podrá convertirse en un coordinador de esfuerzos, que impulsará y motivará a sus alumnos para que adquieran el conocimiento por sí mismos, a que logren un aprendizaje significativo de los físicos y a que desarrollen su pensamiento abstracto.

Juan Antonio Cuéllar Carvajal

Presentación


Competencias

Competencias génericas1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos

que persigue.2. Es sensible al arte y participa en la apreciación e interpretación de sus expresiones en distin-

tos géneros.3. Elige y practica estilos de vida saludables.4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utiliza-

ción de medios, códigos y herramientas apropiados.5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.6. Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando otros

puntos de vista de manera crítica y reflexiva.7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.9. Participa con una conciencia cívica y ética en la vida de su comunidad, región, México y el

mundo.10. Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valo-

res, ideas y prácticas sociales.

11. Contribuye al desarrollo sustentable de manera crítica, con acciones responsables.

Competencias disciplinaresQuímica I, Física I y Biología I (campo de ciencias experimentales)

1. Establece la interrelación entre la ciencia, la tecnología, la sociedad y el ambiente en contextoshistóricos y sociales específicos

2. Fundamenta opiniones sobre los impactos de la ciencia y la tecnología en su vida cotidiana, asumiendo consideraciones éticas.

3. Identifica problemas, formula preguntas de carácter científico y plantea las hipótesis necesa-rias para responderlas.

4. Obtiene, registra y sistematiza la información para responder a preguntas de carácter cientí-fico, consultando fuentes relevantes y realizando experimentos pertinentes.

5. Contrasta los resultados obtenidos en una investigación o experimento con hipótesis previasy comunica sus conclusiones.

6. Valora las preconcepciones personales o comunes sobre diversos fenómenos naturales a partirde evidencias científicas.

7. Explicita las nociones científicas que sustentan los procesos para la solución de problemascotidianos.

8. Explica el funcionamiento de máquinas de uso común a partir de nociones científicas.


VIII Física I

9. Diseña modelos o prototipos para resolver problemas, satisfacer necesidades o demostrar principios científicos.

10. Relaciona las expresiones simbólicas de un fenómeno de la naturaleza y los rasgos observa-bles a simple vista o mediante instrumentos o modelos científicos.

11. Analiza las leyes generales que rigen el funcionamiento del medio físico y valora las acciones humanas de riesgo e impacto ambiental.

12. Decide sobre el cuidado de su salud a partir del conocimiento de su cuerpo, sus procesos vitales y el entorno al que pertenece.

13. Relaciona los niveles de organización química, biológica, Física y ecológica de los sistemas vivos.

14. Aplica normas de seguridad en el manejo de sustancias, instrumentos y equipo en la reali-zación de actividades de su vida cotidiana.


Contenido

Bloque 1 Reconoce el lenguaje técnico básico de la física 1

Conocimientos•Desempeños•Competenciaquesebuscadesarrollar 1 Evaluacióndiagnóstica 2

Tema 1 Introducción a la física 3

Ciencia 3 El método científico 5 Clasificación de la ciencia 7 ¿Qué es la física? 8 Actividades de aprendizaje 9 Evaluación 11

Tema 2 Magnitudes físicas y su medición 13

La medición 13 Sistema cegesimal, cgs 14 Sistema internacional de medidas, si 15 Cantidades físicas fundamentales y derivadas 16 Sistema británico gravitacional o sistema inglés 17 Conversión de unidades 17 Actividades de aprendizaje 18 Notación científica 21 Operaciones en notación científica 22 Actividades de aprendizaje 23 Teoría de la medición 27 Cifras significativas 30 Operaciones con cifras significativas 32 Actividades de aprendizaje 33 Evaluación 41

Tema 3 Introducción a los vectores 45

Generalidades 45 Representación gráfica de un vector 46 Propiedades de los vectores 48 Sistemas de vectores 48


X Física I

Suma de vectores 49 Actividades de aprendizaje 60 Diferencia de vectores 66 Actividades de aprendizaje 66 Evaluación 67 Comunicar para aprender 68 Autoevaluación 69

Bloque 2. Identifica diferencias entre distintos tipos de movimiento 71


Tema 1. Movimiento unidimensional 73

Definición de conceptos 73 Marco de referencia y sistemas de referencia 74 Carácter relativo del reposo y del movimiento 74 Sistema de referencia 75 Vector de posición y desplazamiento de una partícula material 76 Rapidez, velocidad y aceleración instantánea 81 Actividades de aprendizaje 82 Evaluación 85

Tema 2. Movimiento rectilíneo uniforme, mru 87

Definición y aplicaciones 87 Gráfica de posición contra tiempo para un objeto con velocidad

constante o uniforme 87 Gráfica de velocidad contra tiempo del mru 89 Actividades de aprendizaje 90 Evaluación 91

Tema 3. Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, mrua 94

Definición y aplicaciones 94 Fórmulas cinemáticas del mrua 94 Gráfica de velocidad contra tiempo para la aceleración constante 97 Actividades de aprendizaje 100 Evaluación 108

Tema 4. Caída libre 111

Definición y aplicaciones 111


Contenido XI

Fórmulas cinemáticas para la caída libre 112 Fórmulas de la caída libre 112 Actividades de aprendizaje 118 Evaluación 127

Tema 5. Movimiento en dos dimensiones 129

Definición y aplicaciones 129 Movimiento horizontal de un proyectil (tiro horizontal) 129 Actividades de aprendizaje 132 Movimiento de proyectiles que son lanzados hacia arriba con un ángulo

con respecto a la horizontal 137 Solución de problemas 137 Actividades de aprendizaje 140 Evaluación 145

Tema 6. Movimiento circular 147

Definición y aplicaciones 147 Desplazamiento angular 147 Velocidad angular 148 Frecuencia y periodo 150 Aceleración centrípeta 152 Actividades de aprendizaje 154 Movimiento angular uniformemente acelerado 160 Actividades de aprendizaje 161 Evaluación 165

Bloque 3. Leyes de Newton y de la gravitación universal 171


Tema 1. Leyes de Newton 173

Introducción 173 ¿Qué es una fuerza? 173 Fuerza neta 175 Inercia 175 Leyes del movimiento 177 Primera ley de Newton o de la inercia 177 Segunda ley de Newton 178 Tercera ley de Newton 178


XII Física I

El peso 178 La fuerza normal 179 La fricción 181 Aplicaciones de las leyes de Newton 182 Actividades de aprendizaje 186 Ángulo de reposo y deslizamiento uniforme 192 Actividades de aprendizaje 193 Peso aparente 197 Actividades de aprendizaje 201 La fuerza centrípeta en el movimiento circular uniforme 207 Actividades de aprendizaje 208 Evaluación 213

Tema 2. Ley de la gravitación universal 217

Leyes de Kepler 217 Ley de gravitación universal 218 Cálculo de la masa de la Tierra 219 Velocidad orbital 220 Actividades de aprendizaje 221 Evaluación 230

Bloque 4. Relaciona el trabajo con la energía 233


Tema 1. Trabajo, energía y potencia 235

Definición de conceptos 235 Trabajo neto o resultante 236 El trabajo es un escalar 236 Potencia 238 Actividades de aprendizaje 239 Energía mecánica 246 Energía cinética 246 Teorema del trabajo y la energía 247 Energía potencial 247 Energía potencial gravitacional 247 Conservación de la energía mecánica 248 Energía mecánica y fricción 251 Actividades de aprendizaje 252


Bloque 1Reconoce el

lenguaje técnico

básico de la física

Conocimientos

• Introducciónalafísica• Magnitudesfísicasysumedición• Notacióncientífica

• Instrumentosdemedición• Vectores

Desempeños• Identificaslaimportanciadelosmétodosdeinvesti-

gaciónysurelevanciaeneldesarrollodelacienciacomolasolucióndeproblemascotidianos.

• Reconocesycomprendeselusodelasmagnitudesfí-sicasysumedicióncomoherramientasdeusoenlaactivi-dadcientíficadetuentorno.

• Interpretaselusodelanotacióncientíficaydelospre-fijoscomounaherramientadeusoquetepermitarepre-sentarnúmerosenterosydecimales.

• Identificaslascaracterísticasypropiedadesdelosvec-toresquetepermitanaplicarlosymanejarlosparasolucio-narproblemascotidianos.

Competencias que se busca desarrollar• Establece la interrelación entre la ciencia, la tecno-

logía,lasociedadyelambienteencontextoshistóricosysocialesespecíficos.

• Fundamentaopinionessobrelosimpactosdelacien-ciaylatecnologíaensuvidacotidianaasumiendoconsi-deracioneséticas.

• Identifica problemas, formula preguntas de caráctercientífico y plantea las hipótesis necesarias para respon-derlas.

• Obtiene, registra y sistematiza la información pararesponder preguntas de carácter científico consultandofuentesrelevantesyrealizandoexperimentospertinentes.

• Contrastalosresultadosobtenidosenunainvestigaciónoexperimentoconhipótesisprevias y comunica sus con-

clusionesenequiposdiversos, respetando ladiversidaddevalores,ideasyprácticassociales.

• Valoralaspreconcepcionespersonalesocomunesso-bre diversos fenómenos naturales a partir de evidenciascientíficas.

• Haceexplícitaslasnocionescientíficasquesustentanlosprocesosparalasolucióndeproblemascotidianos.

• Explicaelfuncionamientodemáquinadeusocomúnapartirdenocionescientíficas.

• Diseñamodelosoprototipospararesolverproblemaslocales,satisfacernecesidadesodemostrarprincipioscien-tíficos.

• Relacionalasexpresionessimbólicasdeunfenómenodelanaturalezay losrasgosobservablesasimplevistaomedianteinstrumentosomodeloscientíficos.

• Analizalasleyesgeneralesquerigenelfuncionamien-todelmediofísicoyvaloralasaccioneshumanasderiesgoeimpactoambientaldentrodesuregiónycomunidad.

• Proponemanerasde solucionarunproblemaode-sarrollar un proyecto en equipo al definir un curso deacciónconpasosespecíficos.

• Aportapuntosdevistaconaperturayconsideralosdeotraspersonasdemanerareflexiva.

• Dialogayaprendedepersonascondistintospuntosdevistaytradicionesculturalesmediantelaubicacióndesuspropiascircunstanciasenuncontextomásamplio.

• Asumequeelrespetodelasdiferenciaseselprincipiodelaintegraciónyconvivenciaenloscontextoslocal,na-cionaleinternacional.


1. ¿Quéentiendesporciencia?

2. ¿Quéesunmétodo?

3. ¿Quésabesocreesqueeslafísica?

4. Mencionatresfenómenosqueocurrenatualrededorqueconsiderassusceptiblesdeestu-diarsemediantelafísica.

5. Deentrelosaparatosqueusascotidianamente,seleccionadosyescribecómocreesquelafísicaintervinoensudiseñoyconstrucción.

6. ¿Quéesmedir?

7. ¿Quésonelmetro,elkilogramo,elsegundo?

8. Mencionatresinstrumentosdemediciónqueconozcas.

9. Escribelosnombresdetresunidadesdemedición.

10. ¿Conocesladiferenciaentremagnitudescalarymagnitudvectorial?,¿cuáles?


Ciencia

El método científico

Clasificación de la ciencia

¿Qué es la física?Introducción a la física

Tema I

Figura 1.1 Los fenómenos de la naturaleza son hechos que pue-den conocerse, y algunos de ellos predecirse, a partir de la reco-lección de datos.

Figura 1.2 Los conocimientos elementales nos permiten orien-tarnos en el mundo que nos rodea.

CienciaConformeasuorigen, lapalabra ciencia significa conoci-miento; sinembargo,hoysuacepciónesmuchomásam-plia.En laspáginassiguientesseexplicaráyprecisaráelsignificadodeesteconcepto.

Losconocimientossignificanposesióndedatosacer-cadeunhecho;ésteescualquierfenómenoqueocurreenelUniverso;porejemplo,elmovimientodeunplaneta,unrayo láser, la luz,el sonido, lacaídadeunapiedra,entreotrosmás.

Losconocimientospuedenserdetresclases:

• elementales• cotidianos• científicos

Los conocimientos elementales son propios de losniños,quienestienenunainformaciónacercadedetermi-nadaspropiedadesdelascosasysobresusrelacionesmássimples.Estosconocimientoslespermitenorientarseade-cuadamenteenelmundoquelesrodea.

Losconocimientos cotidianos los adquiereelhom-breempíricamenteyselimitan,porlogeneral,alaeviden-ciasuperficialdeloshechosyacómosedesarrollan.Po-demosdecirqueelconocimientocotidianollevaalsujetoaentenderunfenómenosinmayoresproblemas;respondeacómoserealizaunhecho,peronoaporquéserealizaprecisamentedeesemodo.

Porejemplo,unniñosabequesilanzadesdelaventa-naunacanica,éstacaeráalsuelo;sinembargo,desconocelacausadesucaída.

Segúnloestablecelafísica,lafuerzadeatracciónqueejercelamasadelaTierrasobrelamasadelacanicaeslacausadesucaída,ésteesunconocimiento científico.

Elconocimientocientíficopresuponenosólolacons-tanciay ladescripcióndeloshechos,sinolaexplicaciónracionalyobjetivadecómoocurreyporquéocurrepre-cisamente de ese modo. Además, explica las relacionesgenerales,necesariasyconstantes,de los fenómenosque


4 Física I

ocurrenenelUniverso.Porejemplo,lasleyesdelafísicaindicanquesiunmetalsecalienta,éstesedilata.Estonosconduceaestablecerquelarelaciónentreelcalorylalon-gituddeunmetalnopuedeserdeotramanera,esdecir,esnecesaria.Asimismo,sedicequeesuna relaciónconstanteporquecualquiermetalquesesometeaaltastemperaturassiempresedilata.

Otradelascaracterísticas delconocimientocientíficoesqueofrecelaperspectivadepredecirydeformarcon-scientementeelfuturo.Establecerunapredicciónsignificaconoceralgo poranticipado;porconsiguiente,lainvenciónesunaformadepredicciónquesellevaacabopormediode la investigacióncientífica,a lacualguía la razónyseapoyaenconocimientoscientíficos.

El sentido fundamental de cualquier ciencia puedecaracterizarsedelasiguienteforma:saberparaprede-cir,predecirparaactuar.

Sistematización de la cienciaUnrasgoesencialde lacienciaes susistematización;esdecir, la agrupación, clasificación y ordenación, segúndeterminadosprincipios teóricos, de conocimientos ob-tenidosdeunamanerametódica.Unconjuntodecono-cimientosdispersosquenoseordenendeacuerdoconunsistema,obienqueseanmerasobservacionesproductodelacasualidadynoseanestudiadascondetalle,noconsti-tuiráunaciencia.

Elfundamentodelacienciaradicaenunconjuntodepremisasinicialesydeleyescientíficasagrupadasbajounsistemaúnico,demodoqueformanpartedeunateoría.Una ley científica esunaexpresión queafirmaen formacualitativaocuantitativaunarelaciónconstanteynecesa-riaentredosomásvariables.Porejemplo,lasegundaleydeNewtonestableceque la aceleracióndeunobjetoenmovimientovaríadeformadirectamenteproporcionalconlamagnituddelafuerzanetaqueseaplicaenlamismadi-reccióndesudesplazamientoeinversamenteproporcionalasumasa.Laexpresiónmatemáticadeestaleyes

a FM

=

TeoríaUnateoríaesunconjuntodeleyescientíficasordenadasyrelacionadasentresí.Porejemplo,lateoríaelectromagné-ticaestácontenidaenlascuatroecuacionesdeMaxwellylafuerzadeLorentz.Conestasecuacionespodemosexpli-carlosfenómenoselectromagnéticos.

Las teorías requieren,ademásde las leyescientíficasque lasconstituyen,elementoscomolasdefiniciones, losaxiomasypostulados.

¿Qué es ciencia?Elconjuntodetodoslosprocesosqueexistendemaneraindependiente a cualquier sujeto y almodoque éste losconozca,ignoreoimagineconstituyeelUniverso, objetoúnicodeestudiodelaciencia.

SabemosqueelUniversoesunconjuntodeprocesosofenómenosporquetodoslosobjetosexistentesexperimen-tanmovimientosytransformacionesconstantes.Laexis-tenciaobjetivadelosprocesossemanifiestacomomateriaen movimiento.

La materia, que a su vez puede transformarse enenergía, constituye toda la realidadobjetivaquenos ro-dea:partículas,átomos,moléculas,electrones,protones,laluz, el sonido, losmetales, el aire, el agua, las sustancias,entreotros.

Lacienciabuscacomprenderyexplicarobjetivamentelasrelacionesexistentes,generales,constantesynecesarias,entrelosdiversosfenómenosqueocurrenenelUniversoyrelacionarlosapartirdeconexioneslógicasquepermitenpresentarpostulados,axiomas,leyes,teoríasydefinicionesenlosdistintosnivelesdelconocimientoapartirdesusis-tematización.

Porloanterior,podemosdecirquela ciencia es un con-junto sistematizado y ordenado de conocimientos que explican objetiva y racionalmente los procesos que ocurren en el Universo.

Lacienciaesunaexplicaciónporquedescribelasdi-versasformasenquesemanifiestanlosfenómenosdela

Figura 1.3 La materia constituye toda la realidad objetiva que nos rodea.



naturaleza, determina las condiciones necesarias y sufi-cientesparallevarlosacabo,ydesentrañalosenlacesin-ternosysusconexionesconotrosprocesos.Laexplicacióncientíficaesobjetivaporquerepresentalasformasenquelosfenómenosmanifiestansuexistencia,lacualnodepen-dedelassensaciones,lavoluntad,lasposicionesideológi-casoreligiosasdelossujetosqueconocendichosprocesos.

Porúltimo,podemosdecirquelaexplicacióncientífi-caesracionalporqueestableceunaimagendecadaunodelosfenómenosnaturalesquellegaaconocerse;lomismoquecadaunadesuspropiedadeseinterrelacionesconlosotros.

El método científicoLainvestigacióncientíficaesunaactividadcuyoobjetivoeslaobtencióndeconocimientoscientíficos.Losinvesti-gadores,parafacilitarsutrabajoeincrementarsusposibili-dadesdeéxito,necesitandiseñaryplanearsuformadepro-cederenlainvestigación;esdecir,debenseguirunmétodoque,aunquenoproduzcaautomáticamenteconocimientoniseainfalible,sípermitaeliminarlasimprovisaciones,yporende,evitelaobtenciónderesultadosconfusos.

Lapalabramétodo sederivadelosvocablosgriegosmeta,“alolargo”,yodos,“camino”.Así,podemosdecirqueelmétodocientíficoeselcaminoquesesigueparaobtener

conocimientoscientíficos.Paraestefin,elmétodocientí-ficoseapoyaenreglasytécnicasqueseperfeccionanparallegaralaluzdelaexperienciaydelanálisisracional.Enelproceso,cadapasonosacercaalameta;sinembargo,lasreglasnosoninfaliblesydebenadaptarseencadapaso.

Enelmétodocientíficosedistinguendosaspectos:

1. Esunprocesoque imponeordenen la investigacióncientífica.

2. Planealasactividades, losprocedimientos,recursosyconocimientosnecesariosparaunainvestigación.

Etapas del método científicoEntérminosgenerales, lasetapasdecualquier investiga-cióncientíficason:

1. Plantearunproblemaquesenecesitaresolver.Enten-demosporproblemacualquierdificultadquenotieneso-luciónautomática.

2. Suponerunasoluciónapartirdelaformulacióndeunahipótesis.

3. Comprobarlahipótesis,esdecir,aportarevidenciasdesuveracidad.Losprocedimientosespecíficosdelmétodocientíficoparacomprobarlashipótesisson:

• Lademostraciónformal.• Laverificación.

Lademostraciónformal,oraciocinio,consisteenqueapartirdeciertasproposicionesaceptadascomoverdade-rassebuscaobtenercomoconclusiónunanuevaproposi-ciónquecoincidaconlahipótesisquesedeseacomprobar.Analicemoselsiguienteejemplo:

• proposicióndelaqueseparte:Todoslosnúmerosnaturalessonmayoresque cero.

• proposiciónpordemostrar:Seisesmayorquecero.

• demostración:Todoslosnúmerosnaturalessonenterospositivos.Elnúmeroseisesunnúmeronatural.

• Conclusión:Seisesmayorquecero.

Paraverificarunahipótesissepuedenaplicardosmé-todosoprocedimientos:laobservaciónylaexperimenta-ción.Analizaremosmásadelanteestosconceptos.

4. Sisecompruebalahipótesissedebeinterpretarelre-sultadoobtenidoenlostérminosde lateoríacorrespon-diente.

5. Lainsercióndelresultadoenelsistemadelosconoci-mientosadquiridos,esdecir,suincorporaciónalcuerpodeconocimientosdelaciencia.

6. Indagarposiblesconsecuenciasdelresultado.7. Elsurgimientodenuevosproblemas.

Figura 1.4 El método científico representa una base sólida de trabajo para los investigadores.


6 Física I

Métodos que se utilizan en la investigación científicaEnelprocesodelainvestigacióncientíficaseutilizanpro-cedimientosempíricos yracionales.

Elaspectoempíricoserefierealusodelossentidos,tantoenlaobservacióndelosfenómenoscomoenlaexpe-rimentación.Elvocabloempíricosignificaexperiencia.

Elusode los sentidos, laobservación, elmanejodedatosyhechosofenómenosqueseestáninvestigandosonaplicacionesempíricas.

La observación es un procedimiento empírico queconsisteenfijarlaatenciónenunhechoofenómenoparapercibirlopormediodelossentidosyasíobtenerinforma-ciónacercadesucomportamiento.

La astronomía es un buen ejemplo de los procedi-mientos científicos; por ejemplo, a partir de una grancantidaddeobservacionesastronómicas,JohannesKeplerformulólasleyesdelmovimientodelosplanetasalrededordelSol.

Enlaantigüedad,laobservacióncientíficasólocon-sistióenregistrarmediantelossentidoslosmovimientosycambiosdelamateria;porestarazón,endichaépocaseestablecierondeterminacionesmeramentecualitativas.

Con la introducción de las técnicas demedición selogróestablecerrelacionescuantitativas.Porejemplo,hoysabemosquelaLunasedesplazaconunmovimientoelíp-ticoyquelasestacionesdelañotienenunasucesióncíclicaregularyunaduraciónbiendefinida.

Másadelante, elmejoramientode losmétodosparacalculartrajoconsigoeldesarrollodetecnologíaconlaqueseabriólaposibilidaddereproducirartificialmentelosfe-nómenosnaturales, loquefavoreciólascondicionesparaquesurgieranocambiaransucomportamiento.

Deestemodo,delaobservaciónsellegóalaexperi-mentación,estableciéndoseasíunarelaciónentreambas:

lo que se observa se experimenta y lo que se experimenta se ob-serva. Uncasoespecialeselde laastronomía,endondemuchascosasseobservanperonopuedeexperimentarseconellas,aunqueconlosrecursostecnológicosactualessíselogransimulacionesdigitalesysobreéstas serealizalaexperimentación.

Elinvestigador,despuésdequehalogradoreproducirlascausasquecondicionanelfenómenodeestudio,procu-raasumirelpapeldeobservadorpararegistrarconobjeti-vidadsudesenvolvimiento.Comoresultadodelaexperi-mentaciónlahipótesispuedeverificarse,rechazarseobienquedarparcialmenteconfirmadaymostrarlanecesidaddemodificarla.

Ademásdelosprocedimientosempíricos,lossiguien-tesmétodosracionalessonpartedelmétodocientífico:

• Lainducción• Ladeducción• Lainferenciaporanalogía

La inducción es un método que sirve para inferiro razonar; consta de varias proposiciones de casos par-ticularesquesehanobservadoparaestablecerotrapro-posición o un grupo de ellas más generales. Analiza elsiguienteejemplo:

Laplatasedilataconelcalor.Elorosedilataconelcalor.Elplatinosedilataconelcalor.Entonces,utilizandolosjuiciosanteriores,pode-

mos inducir lo siguiente:Todos los metales se dilatan con el calor.

Ladeducción esunmétodoracionalqueconsisteeninferir soluciones particulares a partir de conocimientosgenerales.

Analizaahoraesteejemplo:

Elproductodedosnúmeros impares esunnúmeroimpar.

7y15sonnúmeroimpares.Porconsiguiente,elproducto7×15esunnúme-

roimpar.

Tambiéninferimosdemaneradeductivacuandouti-lizamos una fórmula general para resolver un problemaconcreto.

Figura 1.5 En la antigüedad, la observación y la percepción eran los únicos medios de explicar los fenómenos naturales.



Ejemplo 1.1 Determinalaaceleracióndeuncuer-pode10kilogramossiseleaplicaunafuerzanetade12newtons.

SoluciónDeacuerdoconlasegundaleydeNewton:

a=a FM

Conocimientogeneral

a=a 12 N10 kg

a=1.2m/s2 Solucióndeuncasoparticular

La analogía es unmétodo racional que consiste eninferirrelacionesoconsecuenciassemejantesenfenóme-nosparecidos.

Porejemplo,observalaanalogíaentrelasfórmu-lasdelmovimiento rectilíneouniformemente acele-rado y las del movimiento circular uniformementeacelerado.

MRUA MCUA

aV Vt

0=−

α =−W Wt

0

d =V +V0

2t =

W +W0

2t

d V t at120

2= + W t t120

2θ α= +

En resumenElinstrumentodelainvestigacióncientíficaeselmétodocientífico;ésteincluyetodoslosprocedimientosinvolucra-dosenlainvestigacióncientífica.

Porconsiguiente,formanpartedelmétodocientíficoelplanteamientodelproblemaylasmanerasdeabordarlasolución,la hipótesis,lasoperacionesindagatorias,losmé-todos de inducción, deducción, analogía, la observación,lasdemostraciones(yaseanracionalesoempíricas),lapla-neaciónylastécnicasdeexperimentación,etcétera.

Por último, es importante señalar que en la investi-gación científica los resultados dependendemanera di-rectadelmétodoempleado,elcual nonecesariamenteesinfalible.Sinembargo,unmétodorigurosonosconduceaobtener resultadosprecisos; en cambio, unmétodo vagosólonospuedellevararesultadosconfusos.Esindispen-sablequeelmétodoseaelinstrumentoadecuadoparaelcasoespecíficodequesetrate;además,debeaplicarseconhabilidad,inteligenciaydestreza.

Clasificación de la cienciaLaproblemáticamáscomúndelacienciaessuclasifica-ción.Algunaspersonaslaclasificanporsuobjetodeestu-dio,otras,porsumétodo,suafinidadoporsucomplejidadydependencia.

Sea cual fuere el puntodepartida, una clasificaciónacertadadelacienciaimplicaquesuobjetodeestudioestébiendeterminado,susrelacionesconotrasáreasesténbiendefinidas,yqueelmétodoparaenfrentarsuobjetodees-tudioseaclaro.

Ladiferenciamásnotableentrevariascienciaseslaquesepresenta entre las formales y las factuales.Lasciencias formales estudianlorelacionadoconlasideas,mientrasquelasciencias factuales estudian loshechos.A partirdeestadiferenciaydelobjetodeestudiodecadaciencia,MarioBun-gerealizólasiguienteclasificacióndelasciencias,queaquísepresentaconelobjetivodeubicarlafísicadentrodeella:

• Física• Química• Biología• Psicología

• Sociología• Economía• Historia• Cienciaspolíticas

Ciencia

Ciencias formalesTienenrelacióncon

lasideas

Ciencias factualesTienenrelacióncon

loshechos

CulturalesEstudianlasociedadentodaslasformasylosaspectosdesuorganizaciónydesarrollo.Selesconocetambiéncomocienciassociales

Naturales

LógicaMatemáticas


8 Física I

¿Qué es la física?Lafísica,comociencia,estudialaspropiedadesyleyesdelmovimientodelamateria,preferentemente,delanatura-lezainanimada.

Elobjetodeestudiodelafísicaloconstituyenlaspro-piedadesylasleyesespecíficasdelmovimientodeloscuer-pos,delaspartículaselementales(comoelelectrón,elpro-tónyelfotón),delosquarks,delosátomosylasmoléculas.Estudiaademáslosprocesosdedimensionessemejantesaladelhombre,yporúltimo,losfenómenosenloscualesintervienenenergíasymasaselevadísimas.

Alavanzarenelestudiodelafísicapodráscompren-derconmayorclaridadsudefiniciónycamposdeestudio;porlopronto,unadefinicióncortapodríaser:la física esla ciencia que estudia las propiedades de la materia, de la energía y la relación entre ambas.

Clasificación de la físicaConelprogresodelacienciahansurgidolasdiferentesra-masdelafísica:lamecánica,latermodinámica,elelectro-magnetismo,laóptica,laacústica,lafísicadelaspartículaselementales,lafísicanuclear,lafísicacuántica,lateoríadelarelatividad,entreotrasmás.

Lasramasdelafísicaquesedesarrollaronhastafina-lesdelsigloxix constituyenladenominada física clásica,mientrasquelasdesarrolladasapartirdelsigloxx consti-tuyenlafísicamoderna. Observaelcuadrodelasiguientepágina.

Mecánica• Cinemática• Dinámica• Estática

AcústicaÓpticaTermodinámicaElectromagnetismo

Física

Clásica

Moderna

Físicanuclear

FísicaatómicaFísicadelplasmaFísicadelaspartículaselementales

Físicadelestadosólido

FísicarelativistaMecánicacuántica

Te recomendamos realizar una investigación sobrequéestudiacadaunadeestasramasdelafísica.

El impacto de la física en la tecnología

Desdeloscomienzosdelahumanidad,elhombreenfrentólanecesidaddeexplicarlosfenómenosnaturalesparame-jorarsuscondicionesdevida.

Lafísicaseiniciaenciertashabilidadesqueloshom-bres primitivos desarrollaron como resultado de sus es-fuerzospordominar lanaturaleza y establecer orden ensuvidasocial.Loshombresteníanqueconstruirviviendas,cazar,pescar,navegar, labrar la tierraycurarenfermeda-des.Todasestasactividadesrequeríanciertoconocimientodelosmaterialesconlosquediseñabansusinstrumentos,delacomprensióndelaperiodicidaddelasestacionesdelaño,delacapacidadparapronosticarelmaltiempo,entreotrosconocimientosmás.

Enlaactualidad, lascosasnohancambiadomucho.Lasnecesidadesdelhombreaúnsonelmotorqueimpulsaelestudioydesarrollodelafísica.

Lafinalidadsocialdelacienciaconsisteenfacilitarlavidayeltrabajodelaspersonas,asícomoelevarelpoderdelhombresobrelasfuerzasdelanaturaleza.Esteobjetivoselograalestablecerlosfundamentosteóricosnecesariosparadesarrollarlatecnología; se entiendeporéstalaapli-cacióndelosconocimientoscientíficos.

Latecnologíaesresultadodelaaplicacióndelaciencia.

Latecnologíaqueresultadelaaplicacióndelafísicaconvierteaestacienciaenunafuerzaproductiva;porejem-plo,elhombrepuedesustituir losmétodosmecánicosdeelaboracióndeciertosproductosporotrosprocesoseléc-tricosyquímicos.Tambiénesposiblereducireltiempodefabricacióndepiezasmetálicas,perfeccionareltransporte,aumentarlaproductividaddelaagricultura,laganaderíaylapesca.

Graciasalaaplicacióndelasleyesdelafísicasehanpodidoconstruirpuentes,carreteras,automóviles,aviones,radios,televisores,computadoras,transbordadores,satéli-tesymilinstrumentostecnológicosmás.

Enlassiguientesimágenespuedesobservarlosinven-tos tecnológicosquesonresultadode laaplicaciónde lafísica.



Figura 1.6 Ejemplos de las aplicaciones de la física en la vida cotidiana.

ActividAdEs dE AprEndizAjE

1. Integraunequipodetrabajocontrescompañerosdeclase e investiga lasprincipales aportaciones aldesa-rrollodelafísicadelossiguientescientíficos.

Galileo Isaac Newton

Kepler Albert Einstein

2. Escribeunabrevehistoria sobre la vidadealgunodeestospersonajesypreséntalaalrestodetuscompañeros.

3. Elaboraunperiódicomuralconrecortesdeperiódico,revistasodibujosconcuandomenoscincoinventosyunabreve semblanzade sus inventores; por ejemplo,la bombilla eléctrica, mejor conocida como foco, alladodesuinventorTomásAlva Edison.Organiza,deacuerdocontuprofesor,unconcursoenclaseypresen-tatupropuestaalrestodetus compañeros.

4. Preparaunlistadodelosartículosqueseencuentrenentucasaocomunidad,dondeseobservelaaplicacióndelacienciaylatecnologíacomogeneradordebienestarparalasociedad.

5. Elabora un reporte sobre el avance científico en loscambiosambientalesdetucomunidadyespecificaquéimpactohatenido.

6. Elaboraunresumenosíntesisdelalecturadelaparta-do“Elmétodocientífico”.

7. Leeelsiguientetexto:

Día munDial forestal

Origen de la conmemoración En1971,losEstadosmiembrosdelaOrganizacióndelasNacionesUnidasparalaAgriculturaylaAlimentación(fao)eligieronel21demarzoparaconmemorarelDíaMundialFo-restal.Estafechacoincideconelprimerdíadeotoñoenelhemisferiosuryelprimerdíadeprimaveraenelhemisferionorte;secelebróporprimeravezen1974.

La importancia de recordar este día nos invita areflexionarenlapresentesituaciónambientalqueviveelplanetaTierra,enelsentidodeconcientizaralahuma-nidadsobre lanecesidaddecambiaraquellasaccionesque van en contra de resguardar este recurso natural,


10 Física I

parteesencialparalasubsistenciadetodoservivo,asícomo fomentar una cultura de conservación y mejoraprovechamientodelossuelosforestales.

2011, Año internacional de los bosques Duranteesteañoselediomayoraugeenelámbitoglobalalasacti-vidadesafavordelmedioambiente,yaquelaAsambleaGeneral de la Organización de las Naciones Unidas(onu)declaróal2011comoelAñoInternacionaldelosBosques(aib2011).Suprincipalobjetivoesaumentarlaparticipaciónpúblicaen lasactividadesdedivulgaciónforestalatravésdelosdiversoseventosqueserealiza-ríanencasitodoelmundo.

El logotipodelalb2011muestra lanecesidaddeconsiderar losecosistemasforestalescomountodo,yaquebrindancobijoalaspersonasyhábitatalabiodi-versidad;sonunafuentevastadealimentos,productosmedicinalesyagua,ydesempeñanunafunciónvitalenlaestabilidadclimáticadelmundo.

LarepresentacióndeMéxicoantelaonuparaloseventosdelAñoInternacionaldelosBosques2011fuelaComisiónNacionalForestal(Conafor),atravésdelaCoordinacióndeEducación,DesarrolloTecnológicoyCulturaForestal.

Ensuma,losbosquesconstituyenunrecursonaturalquedebendefendertodoslossereshumanos,yaquedeesodependequelahumanidadsigacontandoconagua,alimentación,airelimpiomediantelamitigacióndelasemisionesdegasesdeefectoinvernadero,liberacióndeoxígeno,conservaciónde70%delabiodiversidad,queseprotejalatierra,losrecursoshídricos,labellezaescénica,sereguleelclima,semitiguenlosimpactosrelacionadosconciertosfenómenonaturales,entreotros.

Eltérminoreforestar serefierearepoblarunasu-perficiedondeantesexistíanoestánpordesaparecerlosbosquesyselvas.Apenasen2009,nuestropaíscontabi-lizó176906hareforestadas;sobresalíanlosestadosdeCoahuilayZacatecas,queregistraron20991y18776hectáreas,respectivamente.Aunqueesdesalentadoralacifra respectoa2008,que tuvo327046hectáreas, losdesafíosdereforestaciónaúnsonprioritarios.

Ladeforestaciónconsisteenelcambiodeunacu-biertavegetaldominadaporárbolesaotraquecarecedeellos.Sinembargo,estetemahageneradocontroversiarespecto a las estimaciones, debido principalmente alempleodecriteriosymétodosdistintos.Entre1988y2005,lasestimacionesdelatasadedeforestaciónenelpaíshanosciladoentre316000y800000hectáreasdebosquesyselvasporaño.Enelcontextomundial,Méxi-cofue,enelperiodo1990-2000,elúnicopaísmiembrodelaOrganizaciónparalaCooperaciónyelDesarrolloEconómicos(ocde)queperdióunapartedesusuperfi-cieforestal;enLatinoaméricafueunodelospaísesconlamayortasa,tansólopordebajodeBrasil,CostaRica,GuatemalayElSalvador.

Las causas principales de la deforestación son latala inmoderadapara extraer lamadera, liberar tierrasparalaagriculturaylaganaderíaenmayoresextensio-nes,losincendios,laconstruccióndemásespaciosur-banosyrurales,asícomolasplagasyenfermedadesdelosárboles.

Debidoaloanterior,lasconsecuenciasquedebere-mosafrontarsonlaerosióndelsueloydesestabilizacióndelascapasfreáticas,loqueasuvezprovocalasinun-dacionesosequías,alteracionesclimáticas,reduccióndelabiodiversidad(delasdiferentesespeciesdeplantasyanimales)yelcalentamientoglobaldelplaneta(porquealdeforestarloslosbosquesnopuedeneliminarelexce-sodedióxidodecarbonoenlaatmósfera).

Actualmente, el área de bosquemexicano aporta64.8millonesdeha(0.5%)alasuperficiemundial;deellas,3.2millonesesbosqueplantado.Sinembargo,enlosúltimos20añosMéxicoharegistradounapérdidade17%deestaextensiónboscosa,porloqueesurgenteprotegerestosimportantesecosistemaspormediodeunmanejosustentable,queconsidereelaprovechamientoracionaldetodoslosrecursosnaturalessindejardeladotodoslosbeneficiosmaderablesyalimenticiosquebrin-dananuestropaís.

Años Superficie reforestada en la República Mexicana (hectáreas)

2000 240,943

2001 164,823

2002 224,772

2003 186,715

2004 195,819

2005 182,674

2006 212,675

2007 295,110

2008 327,046

2009 176,906

Fuente: Semarnat.sniarn.Basededatos.ConsultatemáticaRecursosforestales,2010(sólosetomaronlosdatosNaciona-les).InstitutoNacionaldeEstadísticayGeografía.

• Realizaunlistadodelosfenómenosfísicosrelacio-nadoscon fenómenosecológicoso recursosnaturales entu localidad, regióno comunidaden los cuales sehaganinvestigacionesactualmente.

• Realizaunproyectode investigaciónacercadeunaproblemáticaambientaldeturegiónocomunidad.



1. Tipodeconocimientoqueexplicalasrelacionesgenera-les,necesariasyconstantesdeloshechosofenómenosqueocurrenenelUniverso.a) conocimientoempíricob) conocimientocientífico

2. Clasedeconocimientosqueselimitan,porlogeneral,alaconstanciasuperficialdeloshechosyacómosedesarro-llansinresponderporquéserealizandeciertamanera.a) conocimientocotidianob) conocimientocientífico

3. Característicadelconocimientocientíficoqueconsisteenconoceralgoporanticipado:a) tecnologíab) hipótesisc ) predicciónd ) ley

4. Expresión que afirma en forma cualitativa o cuantitativaunarelaciónconstanteynecesariaentredosomásvariables:a) teoríab) hipótesisc ) leyd ) método

5. Conjuntodeleyessistematizadasyrelacionadasentresí:a) teoríab) hipótesisc ) leyd ) métodocientífico

6. Estodalarealidadobjetivaquenosrodea.Suformadeexistireselconstantemovimiento:a) inerciab) masac ) volumend ) materia

7. Conjunto sistematizado y ordenado de conocimientosqueexplicaobjetivayracionalmentelosprocesosqueocu-rrenenelUniverso:a) religiónb) cienciac ) filosofíad ) investigacióncientífica

8. Actividadsocialdelhombreencaminadaa laobtencióndeconocimientoscientíficos:a) cienciab) investigacióncientíficac ) métodocientíficod ) tecnología

9. Todaslassiguientesafirmacionessonverdaderasexcepto:a) Elinstrumentodelainvestigacióncientíficaeselmé-

todocientífico.b) Elmétodocientíficoimponeunordenenlainvesti-

gación.c ) Elmétodocientíficoesinfalible.d ) Elmétodocientíficoplanealasactividadesylospro-

cedimientosutilizadosenlainvestigación.e ) Elmétodocientíficolepermitealinvestigadorno

improvisaryevitaquelleguearesultadosconfusos.

10. Conjeturaosupuestasoluciónaunproblemacientíficoplanteado:a) leyb) teoríac ) hipótesisd ) postulado

11. Procedimientosempleadosenelmétodocientíficoparacomprobarunahipótesis:a) lademostraciónformalb) laobservaciónc ) laexperimentaciónd ) todassoncorrectas

12. Procedimientoempíricoqueconsisteenfijarlaatenciónenunhechoofenómenoparapercibirlopormediodenuestrossentidosconelfindeobtenerinformaciónacer-cadesucomportamiento:a) experimentaciónb) observaciónc ) deducciónd ) inducción

13. Procedimientoempíricoqueconsisteenproducirartifi-cialmenteunhechoofenómenomediantelarecreaciónde lascondicionesparaquesurjaomodifiquesucom-portamiento:a) observaciónb) experimentaciónc ) deducciónd ) inducción

14. Consisteen inferirunaproposicióngeneralapartirdevariasproposicionesdecasosparticulares:a) deducciónb) analogíac ) análisisd ) inducción


12 Física I

15. Consisteeninferirunasoluciónparticularapartirdeconocimientosgenerales:a) deducciónb) analogíac ) análisisd ) inducción

16. Consisteeninferirrelacionesoconsecuenciassemejan-tesenfenómenosparecidos:a) deducciónb) analogíac ) análisisd ) inducción

17. Cienciasqueestudianlorelacionadoconideas:a) cienciasformalesb) cienciasfactuales

18. Cienciasqueestudianlorelacionadoconhechos:a) cienciasformalesb) cienciasfactuales

19. Cienciaqueestudia lamateria, la energía y la relaciónentreambas:a) biologíab) geografíac ) físicad ) química

20. Rama de la física cuyos conocimientos se obtuvieronhastafinalesdelsigloxix ysonacercadelmovimientodelaluz, elcalor,elsonidoylosfenómenoselectromag-néticos:a) físicaclásicab) físicaaristotélicac ) físicacuánticad ) físicamoderna

21. Dosramasdelafísicaclásicason:a) electromagnetismoyfísicacuánticab) cuánticayacústicac ) relatividadycinemáticad ) mecánicayóptica

22. Ramadelafísicacuyodesarrolloempezóaprincipiosdelsigloxx, susestudiossevinculanconlosfenómenosrela-cionadosconlaspartículaselementalesyelmovimientodepartículasavelocidadescomparablesaladelaluz:a) físicaaristotélicab) físicaclásicac ) físicamodernad ) físicamolecular

23. Sonramasdelafísicamoderna:a) termodinámicaymecánicab) electromagnetismoymecánicac ) relatividadyfísicacuánticad ) acústicayóptica

24. Esresultadodelaaplicacióndelaciencia:a) filosofíab) religiónc ) tecnología


La medición

La necesidad de usar

unidades patrón o

estándar en la medición

Sistema cegesimal, cgs

Sistema internacional

de medidas, si

Prefijos del si

Cantidades físicas

fundamentales y derivadas

Otras unidades útiles

Sistema británico

gravitacional o sistema

inglés

Conversión de unidades

Notación científica

Operaciones en notación

científica

Teoría de la medición

La incertidumbre en el

proceso de medición

Errores en la medición

Precisión y exactitud de

una medida

Incertidumbre o error

absoluto

Error relativo y exactitud

Cifras significativas

Magnitudes físicas

y su mediciónTema 2

La mediciónLametaprincipaldelafísicaesdescubrirlasleyesgenera-lesdelanaturalezayexpresarlasdemaneraracionalyob-jetiva;cumpleestamisiónutilizandoelmétodocientíficoexperimental,elcualsebasaenlaobservacióndelosfenó-menosyenlarealizacióndeexperimentosqueimplicanlamedicióndecantidadesfísicas.

Llamamoscantidad física atodo aquelloquesepue-demedir.Porejemplo,lalongitud,lamasa,eltiempo,elvolumen,elárea,etcétera.

Almedirenrealidadcomparamoslamagnitud(tama-ño)delacantidadfísicaconunpatrónuniversalacepta-docomounidad de medida. Estepatrónpuedeapareceren cintasmétricas, relojes, balanzas o termómetros.Di-chacomparaciónconsisteencontarcuántasunidadesdemedidacabenenlamagnituddelacantidadfísicaquesemide.Porejemplo, si lamasadeunniñoesde20kilo-gramos,significaquesumasaes20vecesmayorque1ki-logramo.Esimportantequeelpatrónseleccionadocomounidaddemedida sea de lamisma clase del objeto quevaamedirse.Unaunidadde longitud,ya seametro,pieocentímetro,seutilizaráparadistancias,yunaunidaddemasa,comopodríaserelkilogramooelgramo,paramedirlamasadeuncuerpo.

Atodoaquelloutilizadocomopatrónparamedirselellamaunidad física.

El términomagnitud lousamosparareferirnosa lamedidadeunacantidadfísicaysedeterminamedianteunnúmeroyunaunidadfísica.Porejemplo,8kilogramos,15metros,25pieso20minutos.

La necesidad de usar unidades patrón o estándar en la mediciónLanecesidaddeestablecerunidadespatróndemedidalapodemos ilustrar con el siguiente ejemplo: supongamosquerequerimosmedirelanchodeunsalónconcualquierobjetoalalcancedelamano.

Consideremosqueseobtuvieronlassiguientesmedidas:

Unidad de medida Magnitud

Libro 20libros

Pluma 37plumas

Lápiz 40lápices

Borrador 35borradores

¿Podemosvisualizarelanchodelsalónmediantecual-quieradelasunidadesutilizadasenestamedición?Comohaylibrosdemuchostamaños,unanchode20librosnotienesentidocomoexpresióndemedida,lomismopode-mosdecirdelasotrasunidadesdemedidaaplicadas.

Apartirdeestasituaciónpodemosdecirquesene-cesita alguna unidad patrón o estándar para tener una


14 Física I

interpretaciónuniformedelasmedidasdelascantidadesfísicas.

Enlaantigüedad,cadacivilizaciónestablecíasuspa-tronesdemedida.Sinembargo,elcomercioyeldesarrollodelacienciacrearonlanecesidaddellegaraunaestanda-rizacióndelasmedidasdelongitud,masa,tiempoyvolu-men.En1795 se llevóacabo laconvenciónmundialdecienciaenParísycomoresultadoseestablecióelsistemadeunidadesdenominadosistema métrico decimal.

Lasunidadesfundamentalesdelsistemamétricode-cimalson:

Delongitud,elmetro.Demasa,elkilogramo.Detiempo,elsegundo.

Porestarazón, tambiénse ledenominasistemadeunidadesmks.

El metro se definió como la diezmillonésima parte1

107 de la distancia delPoloNorte alEcuador,medidoalolargodelmeridianoquepasaporParís.

Figura 1.7 Punto de referencia para medir el metro.

017 m

París

Polo Norte

Ecuador

Estalongitudsemarcósobreunabarradeplatinoeiridiohaciendodosranurassobreellas.Ladistanciaentreestasranuras,cuandolatemperaturadela barraesde0°C,esdeunmetro.

Elkilogramosedefinióapartirdeunvolumenespe-cífico:eldeuncubode0.1metrosporlado,llenodeaguapuraa4°C.

1.0 Litro

0.10 m

0.10

m

0.10 m

1.00 dm 3

Figura 1.8 Defi nición de un kilogramo a partir de un volumen específi co.

Comounidaddetiempo,elsegundosedefiniócomo 186400

deundeundíasolarpromedio(1díasolar=24horas=1440minutos=86 400segundos).Eldíasolarmedioesellargopromediodeundíaenunaño.

Laventajamás sobresalientedel sistemamétricode-cimalesqueunidadesdediferentestamañospuedenrela-cionarsepormúltiplosysubmúltiplosde10; esdecir,conprefijos indicapotenciasdediezparadenominardistintasunidades.Porejemplo,undécimodeunmetroesundecíme-tro; uncentésimodemetro,uncentímetro, yunmilésimodeunmetro,unmilímetro. Asimismo,diezmetrosesundecá-metro;cienmetros,unhectómetro, ymilmetros,unkilómetro.

Sistema cegesimal, CGs

En1881 secelebróenParíselcongresointernacionaldeelectricistas;ahíseaceptóelsistemacegesimal,ocgs–quepropusoelfisicomatemáticoKarlFriedrichGauss–,cuyasunidadesfundamentalessonelcentímetropara la longi-tud, elgramopara lamasay el segundoparael tiempo.Lasinicialesdeestasunidadesdan origenalnombredelsistema:cgs ocegesimal.

Figura 1.9 Karl Friedrich Gauss propuso en 1881 el sistema ce-gesimal.



Lasunidadesfundamentalesdelsistemacgsson:

Cantidad física Unidad básica Símbolo

Longitud Centímetro cm

Masa Gramo g

Tiempo Segundo s

Sistema internacional de unidades, siEn1960, la comunidad científica internacional estanda-rizó unaversiónmodernadelsistemamétricodecimal:elsistemainternacionaldeunidadesosi,elcualseaplicaríaparamedirtodaslas cantidadesfísicas.

Elsisebasaensietecantidadesfísicasfundamentales.Observalasiguientetabla.

Tabla 1.1 Unidades fundamentales del si

Cantidad Unidad Símbolo de la unidad

Longitud Metro m

Masa Kilogramo kg

Tiempo Segundo s

Temperatura Kelvin K

Cantidaddesustancia Mol mol

Corrienteeléctrica Ampere A

Intensidaddeluminosidad Candela cd

Latabla1.2muestraladefinicióncientíficadelasuni-dadesfundamentalesdelsi.Éstascontienenunaseriedetérminosquetepuedenparecerconfusos,peroconformeavancesenelestudiodelafísicalosiráscomprendiendo.

Prefijos del siCuandoexpresamosunacantidadfísica,porejemplo100metros, comparamos la distancia con la longitud de unmetro.Una longitud de cienmetros significa que dichalongitud es cien vecesmayor que la de unmetro.Aun-quesepuedeexpresarcualquiercantidadentérminosdelaunidadfundamental,avecesnoresultamuyconveniente.Porejemplo,sidecimosqueladistanciaentredosciudadesesde960000metros,esobvioqueestereferentedemedi-danoeselmásadecuadoparadescribirunadistanciatan

grande,por loqueresultamásacertadousarunaunidadde longitudmayor,comoelkilómetro,elcualequivalea1000metros.Así, tenemosque ladistancia entredichasciudadesesde960kilómetros.

Almedircantidades,pequeñasograndes,susunida-desseexpresanagregandounprefijoalaunidadestándarofundamental.Porejemplo,elprefijomili designaunamilé-simapartedelalongituddeunmetro,esdecir,1milímetro=0.001metros.

Tabla 1.2 Definiciones de las unidades fundamentales del si

Delongitud,elmetro.Demasa,elkilogramo.Detiempo,elsegundo.Porestarazón, tambiénse ledenominasistema

deunidadesmks.

• Un metro es la distancia que viaja la luz en elvacíoen 1

29 979 458 deunsegundo.

• Un kilogramo se define como la masa de uncilindro prototipo de una aleación de iridio platinoqueseconservaenlaOficinaInternacionaldePesosyMedidas.

• Unsegundoesiguala9192631770periodosdelaoscilaciónelectromagnéticanaturaldurantelatran-siciónalestadoraso s2

12

decesio-133.

• UnKelvines 1273.16

delatemperaturatermodiná-micadelpuntotripledelagua,queesaquellaenquedadasciertascondicionesdepresión,elaguacoexistesimultáneamente en equilibrio como sólido, líquidoygas.

• Un ampere es la corriente constante que, si semantieneendosconductoresparalelosrectosdeunalongitudinfinitayáreatransversalinsignificanteyco-locadosenelvacíoaunadistanciade1metro,pro-ducirá sobrecadaconductoruna fuerzade2×10−7newtonspormetrodelongitud.

• Lacandela es la intensidad luminosa, en ladi-rección 1

600000m2

m2deuncuerponegro,alatemperatura

decongelacióndelplatinoqueesde2045Kyaunapresiónde101325pascales.

• Unmol es lacantidaddesustanciaquecontie-netantasentidadeselementalescomohayátomosen0.012kilogramosdecarbono-12.


16 Física I

Laexcepciónalareglaseaplicaenlasmedicionesdemasa,endondelaunidadfundamental,kg,yatieneprefi-jo.Unaunidaddemasadediferentemagnitudseexpresaremplazandoelprefijodelaunidaddegramo.Deestama-nera,uncentigramo,cg,representaunaunidadquetienelacentésimapartedelamasadeungramo.

Enlatabla1.3semuestranlosprefijosdemayorusoenelsi.

Cantidades físicas fundamentales y derivadasComoloexplicamosenpárrafosanteriores,lascantidadesfísicas fundamentales del si son longitud,masa, tiempo,temperatura, cantidad de sustancia, corriente eléctrica eintensidad de luminosidad. Se les llama fundamentalesporquenosedefinenenfuncióndeotras.

Partiendode las cantidades físicas fundamentales sepuedendefinirotrascomoárea,volumen,densidadyve-locidad.Aestetipodecantidadesfísicasselesdenominacantidades físicas derivadas porque resultandediversascombinaciones de las cantidades físicas fundamentales.Porejemplo,launidaddeáreaseobtienealmultiplicardosunidadesdelongitud;deestemodo,dadoquelaunidaddelongitud del si es elmetro, entonces la unidad derivadadeáreadelsi eselmetrocuadrado(m2).Delmismomodo,launidaddevolumensederivadelproductodetresuni-

Tabla 1.3 Prefijos de mayor uso en el si

Mayores que 1

Prefijo Símbolo Significado Valor numérico Expresión en notación científica

Giga G Milmillones 1000000000 1×109

Mega M Millón 1000000 1×106

Kilo K Mil 1000 1×103

Hecto h Cien 100 1×102

Deca Da Diez 10 1×10

Menores que 1

Prefijo Símbolo Significado Valor numérico Expresión en notación científica

Deci d Décimo 0.1 1× 10-1

Centi c Centésimo 0.01 1× 10-2

Mili m Milésimo 0.001 1× 10-3

Micro u Millonésimo 0.000001 1× 10-6

Nano n Billonésimo 0.000000001 1× 10-9

Pico p Trillonésimo 0.000000000001 1× 10-12

dadesdelongitud;porconsiguiente,launidadderivadadevolumendelsieselmetrocúbico(m3).

Enfísica, la rapidezcon laqueuncuerposemuevesedefinecomolarazóndeladistanciaquerecorreenunintervalodetiempo;porconsiguiente,launidadderivadaderapidezenelsieselmetrosobresegundo,m/s.

La tabla1.4muestraalgunascantidadesfísicasderiva-dasysuunidadcorrespondienteenelsi.

Tabla 1.4 Unidades derivadas del si

Cantidad Unidad Símbolo de la unidad

Área Metrocuadrado m2

Volumen Metrocúbico m3

Densidaddelamasa

Kilogramopormetrocúbico kg/m3

Energía Joule JCalordefusión Jouleporkilogramo J/kgCalordeevaporación

Jouleporkilogramo J/kg

Calorespecífico Jouleporkilogramo-kelvin J/kg·K

Presión Pascal PaPotencialeléctrico

Volt V



Otras unidades útilesApesardequeelsistemamétricodecimalesunprecursordelsi,algunascantidadesfísicasderivadasdeaquéltienenunidadesdiferentesalasdeéste.

Dadoqueestas unidadessonmuycomunesytodavíaestánenuso,latabla1.5presentaalgunasdeellasparatureferencia.

Tabla 1.5 Unidades métricas

Cantidad física Unidad básica SímboloVolumen Litro(0.001m3) LTemperatura GradoCelsius °C

Calorespecífico Jouleporkilogramo-gradoCelsius J/kg·°C

Presión Milímetrodemercurio mmHg

Energía Caloría Cal

Sistema británico gravitacional o sistema inglésEl sistema inglés es un sistema técnico gravitacional, yaqueconsideraelpesocomounacantidadfísicafundamen-talylamasacomounacantidadfísicaderivada.

A reservadequeelconceptopesoloanalizaremosmásadelante,podemosdecirqueeslafuerzadeatracciónqueejercelamasadelaTierrasobrelamasadeuncuerpo.

Las unidades fundamentales del sistema inglés semuestranenlatabla1.6.

Tabla 1.6 Unidades fundamentales del sistema inglés

Cantidad física Unidad fundamentalLongitud Pie

Peso LibraTiempo segundo

Elpesodeunalibraequivalea454g;porlotanto,seestablecelaigualdad1 kg=2.2lb.

DadoqueenEstadosUnidostodavíaseutilizaelsis-temainglés,lasiguientetablapresentaalgunasequivalen-ciasentrelasunidadesfísicas.

1pie=12pulgadas1yarda=3pies

=36pulgadas1pie=30.48cm1pulgada=2.54cm1yarda=0.914m

1milla=1.609km1kg =2.2lb1libra=454g1galón=3.785litros1slug=32libras1libra=16onzas

Conversión de unidadesEnlasolucióndeproblemasdefísica,confrecuencialasmagnitudesde las cantidades físicas estánexpresadas endiferentesunidadesfísicas.

Porejemplo,sienunproblemalamasadeunobjetoestá expresada engramosy laqueremos sumar conotraenunciada en kilogramos, efectuar la operación requiereque ambasmagnitudes esténmanifestadas en gramos okilogramos.

Matemáticamentesenecesitaefectuarloquesellamaconversión de unidades. Para realizar esta operación seaplicaeldenominadométododel factorunitario,elcualexplicaremosconlossiguientesejemplos:

Ejemplo 1.1 Lalongituddeunaplumaesde15.6cm.Expresadichamagnitudenmetros.

SoluciónLarelaciónnuméricaentreunmetroyuncentímetroes1m=100cmytenemoslassiguientesrazones:

= =100 cm

1 m1 m

100 cm1

Paraexpresar15.6cmcomounamedidaenme-tros,debesmultiplicar15.6cmporlarazónquecan-celalaunidaddecm;es decir,lamultiplicaspor 1 m

100 cm.

Así:(15.6cm)(1)=15.6cm

(15.6 cm ) 1 m100 cm

= 15.6 cm

15.6 m100

= 15.6 cm

0.156 m = 15.6 cm

15.6cm=0.156m

Observaqueelmétododelfactorunitarionoalteralamagnituddelacantidadfísicaporquesemultiplicaporunfactorqueesigualauno.

Elfactorunitarioporelquesemultiplicaunamag-nitud físicapara efectuaruna conversióndeunidades sedebeseleccionardemaneraquesilaunidadquesequierecancelarseencuentraenelnumerador,esnecesarioelegirelfactorunitarioquela tieneeneldenominador.

Demanerainversa,silaunidadquesebuscacancelarestáeneldenominador,seseleccionaelfactorunitarioquelatieneenelnumerador.Veamosotrosejemplos.

Ejemplo 1.2 Eláreadeuncarteldepublicidadesde800cm2.Expresaestamagnitudenm2.


18 Física I

Solución1m=100cm

(1m)2=(100cm)2

1m2=10000cm2

Apliquemosacontinuaciónelmétododelfactorunitario:

1 m10 000 cm

10 000 cm1 m

1

800 cm 1 800 cm

2

2

2

2

2 2( )

= =

=

Launidadquequeremoseliminarescm2;enton-cesseleccionamoselfactorunitario 1 m

10 000 cm

2

2paraob-tener:

800 cm2 1 m2

10 000 cm2= 800 cm2

80010 000

m2 = 800 cm2

0.08 m2 = 800 cm2

0.08m2=800cm2

Ejemplo 1.3 Lavelocidadpromediodeunauto-móvilesde90km/h.Expresadichamagnitudenm/s.

SoluciónEn este caso es preciso efectuar dos conversiones deunidades:dekilómetrosametrosydehorasasegundos: 1km=1000m 1h=3600s

= =1 km

1000 m1000 m1 km

1

= =1 h

3600 s3600 s

1 h1

Recuerdaque1 hora=60minutos=60(60)se-gundos=3600segundos.

Dadoquenecesitamoscancelar launidaddeki-lómetros,seleccionamoselfactorunitario1000 m

1 kmytam-

biéndebemoscancelarlaunidad dehoras,elegimoselfactorunitario = =

1 h3600 s

3600 s1 h

1.

Luego:

90 kmh= 90 km

h1000 m1 km

1 h3600 s

=90(1000 m)

3600 s

= 25 ms

90 kmh= 25 m

s


I. Indagalasequivalenciasdelassiguientesunidadesfísicas.

1. 1 kilómetro = m(metros)2. 1metro = cm(centímetros)3. 1metro = mm(milímetros)4. 1milla = km(kilómetros)5. 1pulgada = cm(centímetros)6. 1pie = cm(centímetros)7. 1pie = in(pulgadas)8. 1milla = m(metros)9. 1yarda = cm(centímetros)

10. 1yarda = m(metros)11. 1yarda = ft(pies)12. 1kilogramo = g(gramos)13. 1kilogramo = libras(1b)14. 1libra = gramos(g)15. 1onza = gramos(g)16. 1tonelada = kilogramos(kg)17. 1libra = onzas(oz)18. 1tonelada = libras(lb)19. 1minuto = segundos(s)20. 1hora = minutos(min)21. 1hora = segundos(s)22. 1día = horas(h)

II. Realizalassiguientesconversionesdeunidades.

1. 8kilómetroametros 2. 5.4metrosacentímetros 3. 1250milímetrosametros



4. 1.6kilogramosagramos 5. 8600gramosakilogramos 6. 4horasaminutos

7. 36librasakilogramos 8. 90kilómetrosametros 9. 3horasaminutos

10. 1horaasegundos 11. 12minutosasegundos 12. 10kilogramosalibras

13. 14000gramosakilogramos 14. 7299segundosahoras 15. 360centímetrosametros

16. 285piesametros 17. 48metrosapies 18. 40pulgadasacentímetros


20 Física I

19. 72km/ham/s 20. 40m/sakm/h 21. 8pulgadasacentímetros

22. MarcaconunaXeltipodemagnitud(fundamentaloderivada)quecorrespondalacantidadfísicaqueseteindica.

Cantidad física Magnitud fundamental Magnitud derivadaLavelocidaddeunautomóvil

Unlitrodeleche

Ladistanciaquecaminas

Eláreadelpisodetucasa

Latemperaturacorporal

Eldesplazamientodetucasaalaescuela

Elvolumendeunapiedra

Eltiempoquetardasenrecorrer100metros

23. Lasiguientetablacontienealgunasmagnitudesfundamentalesyderivadas,complétalacolocandolasunidadesdeme-didascorrespondientesacadacuadro.

Magnitud si cgs Inglés

Longitud

Masa

Tiempo

Área

Energía

Densidaddelamasa

24. Construyelasiguientetabladeequivalenciasrelativasdeunidadesalatransformacióndeunsistemaaotro.

Longitud

cm m km pulg pie milla

CentímetroMetro

Kilómetro

Pulgada

Pie

Milla



Masa

g kg Slug libra onza

GramoKilogramo

Slug

Libra

Onza

Tiempo

seg min h día año

Segundo

Minuto

Hora

Día

Año

25. Completalasiguientetablainvestigandolostiposdeinstrumentosdemediciónmásutilizadosentucomunidad,regiónolocalidad.

Instrumento Función Unidad de medida

Notación científicaLanotacióncientíficaconsisteenexpresarnúmerosmuygrandesomuypequeñosconlaayudadelaspotenciasdebase10.

Cuandounnúmeroseescribeennotacióncientíficaaparececomounnúmeromayoroigualque1,peromenorque10multiplicadoporalgunapotenciadebase10.Porejemplo:

• 4.6×105

• 3.9×10−5

• 107

Acontinuaciónanalizaremoslospasosquedebesse-guirparaexpresarunnúmeroennotacióncientífica.

• Caso 1. El número dado es mayor que 1Eneste caso,elpuntodecimalse recorrealaizquierdayseescribealaderechadelprimerdígitodiferentedecero;despuéssemultiplicaporunapotenciadebase10conexponenteigualalnúmerodelugaresquesemovióelpuntodecimal.

Escribelossiguientesnúmerosennotacióncientífica:

a) 41800000=4.18×107

b) 345800=3.45×105

c) 64800000000=6.48×1010

• Caso 2. El número dado es menor que 1Enestecaso,elpuntodecimalserecorrealaderechayseescribeacontinuacióndelprimerdígitodiferentedecero;despuéssemultiplicaelnúmeroobtenidoporuna


22 Física I

potenciadebase10conexponenteigualalnúmerodelugaresquesemovióelpuntodecimal,peroconsignonegativo.

Escribelossiguientesnúmerosennotacióncientífica.a) 0.000057=5.7×10−5

b) 0.0078=7.8×01−3

c) 0.0000000065=6.5×10−9

d) 0.42581=4.22581×10−1

e) 2.23Enestecasonosehacenadaporquedichonú-meroestáescritoennotacióncientífica.

Operaciones en notación científica

MultiplicaciónSupongamos que se requiere multiplicar los númerosM× 10m yN× 10n.PrimeromultiplicamosM porN yluegolaspotenciasdebase10deacuerdoconlasiguienteleydelosexponentes.

xm•xn=xm+n

Enestecasoparticular:10m • 10n = 10m+n

Ejemplo 1.4 Realiza las siguientesmultiplicacio-nesennotacióncientífica.360000×40000000

SoluciónPrimeroexpresamoslosnúmerosennotacióncientífica:360000=3.6×105

40000000=4×107

(3.6×105)(4×107)=14.4×1012

=1.44×1012+1

=1.44×1013

Ejemplo 1.5 0.00000009×5000

Solución0.00000009=9×10−8

5000=5×103

(9×10−8)(5×103)=45×10−8+3

=45×10−5=4.5×10−5+1

=4.5×10−4

Ejemplo 1.6 0.00092×0.004

Solución0.00092=9.2×10−4

0.004=4×10−3

(9.2×10−4)(4×10−3)=36.8×10−4+(−3)

=36.8×10−4−3

=36.8×10−7

=3.68×10−7+1

=3.68×10−6

DivisiónParadividirM×10m entreN×10n,primeronecesitamosdividirMentreNydespués,deacuerdoconlasleyesdelosexponentes,tenemos:

1010

10m

nm n= −

Ejemplo 1.7 Realiza las siguientes divisiones ennotacióncientífica.82 000 000

4000

Solución82000000=8.2×107

4000=4×103

×

×

8.2 104 10

7

3=2.05×107−3

=2.05×104

Ejemplo 1.8 ×

×

1.2 106 10

5

9

Solución×

×=

×

×

1.2 106 10

12 106 10

5

9

4

9

=2×10−5

Ejemplo 1.9 ×

× −

1.4 107 10

6

2

Solución

×

×=

×

×− −

1.4 107 10

14 107 10

6

2

5

2

=2×105−(−2)

=2×105+2

=2×107

Ejemplo 1.10 ×

×

−9 103 10

6

4

Solución=3×10-6-4

=3×10-10



Suma y restaParasumarorestarcantidadesennotacióncientífica,laspotenciasde10 debenseriguales.Veamosunosejemplos.

Ejemplo 1.11 Realizalasiguientesumaennota-cióncientífica.6.2×105+2.0×105

SoluciónAlextraer105comofactorcomúnresulta:

105(6.2+2.0)=8.2×105

Ejemplo 1.12 Realizalasiguienteresta.7×109−2×108

SoluciónPrimeroexpresamoselnúmero7×109comounapo-tenciade10conexponente8,obien,elnúmero2×108comounapotenciade10conexponente9.

Primera situación Segunda situación7×109=70×108 2×108=0.2×109

70×108−2×108

=108(70−2)7×109−0.2×109

=109(7−0.2)=68×108

=6.8×109=6.8×109


I. Expresalascantidadesfísicasqueseindicanennotacióncientífica.

1. LadistanciapromediodelaTierraal Solesde93000000millas.

2. Lamasadeunprotónesde0.00000000000000000000016gramos.

3. LasuperficieaproximadadelaTierraesde148000000000000m2.

4. Eltamañoaproximadodeunvirusesde0.000000042m.

5. LamasaaproximadadelaTierraesde6100000000000000000000000kg.

6. Lamasaaproximadadeciertamoléculaesde0.0000045g.

II. Realizalassiguientesoperacionesennotacióncientífica.

1. 45000000×0.00014=a) 6.3×103

b) 6.3×105

c) 6.3×102

d) 6.3×104

a) 6.3×103

2. 200000000×0.000016=a) 3.2×1013

b) 3.2×104

c) 3.2×105

d) 3.2×103


24 Física I

3. =0.000 000 014

7000 000a) 2×10−14

b) 2×10−15

c) 2×102

d) 2×10−2

4. =9000 000 000 000

300 000 000a) 3×106

b) 3×1020

c) 3×104

d) 3×105

c) 3×104

5. =150 0000.000 03a) 5×10−1

b) 5×10c) 5×1010

d) 5×109

d) 5×109

6. =4000

0.000 000 002a) 2×1012

b) 2×10−6

c) 2×1014

d) 2×106



7. 7×108+2×108

a) 9×108

b) 9×1016

c) 9×100

d) 9×10

a) 9×108

8. 5×1012+9×1012

a) 1.4×1011

b) 1.4×1013

c) 1.4×1012

d) 1.4×1014

9. 4×108+7×107

a) 11×1015

b) 4.7×109

c) 4.7×106

d) 4.7×108

10. 3×104+2×103

a) 3.2×104

b) 3.2×107

c) 3.2×105

d) 3.2×103

a) 3.2×104


26 Física I

11. 8×105+4×106

a) 4.8×105

b) 4.8×107

c) 4.8×106

d) 4.8×107

12. 5×10-8+4×10−9

a) 5.4×10−9

b) 5.4×10−10

c) 5.4×108

d) 5.4×10−8

d) 5.4×10−8

13. 7×10−6−3×10−7

a) 6.7×10−8

b) 6.7×10−6

c) 6.7×10−5

d) 6.7×10−9

b) 6.7×10−6

14. 5×10−12−2×10−13

a) 4.8×10−13

b) 4.8×10−14

c) 4.8×10−12

d) 4.8×1012



Teoría de la medición

Método o formas de medirLosprocedimientosparamedircantidadespuedenclasifi-carsecomosemuestraacontinuación:

• Eldecontar• Medicióndirecta• Mediciónindirecta

Cómo contar Elprocedimientodecontarconsisteende-terminarelnúmerodeelementosdeunconjuntodeobje-tosyproporcionaunamedidaexacta.

Unejemploseríacontarelnúmerodenaranjasconte-nidoenunabolsa.

Medición directa Porlogeneralesunprocesovisualqueconsiste en comparar demaneradirecta lamagnituddeunacantidadfísicaconunaunidaddemedidapatrónoes-tándar.Porejemplo,medirlaestaturadeunniñoconunacintamétrica; la capacidad de un recipiente observandolacantidaddelitrosdeaguaqueserequiereparallenarlo,oconunrelojcuántotiempotardaunatletaenrecorrerciertadistancia.

Mediciónindirecta Muchascantidadesfísicasnosepue-denmedir directamente; por ejemplo, la temperatura, laaceleracióndeunmóvil,laenergíapotencialycinéticadeuncuerpo,eláreadeuncírculo,entreotrasmás.

Figura 1.10 Ejemplos de instrumentos que se utilizan para reali-zar mediciones indirectas.

En algunos casos podemos utilizar instrumentos demediciónindirecta,comountermómetro,unabalanzaoel

velocímetrodeunauto.Enotrasocasiones,realizamosunamediciónindirectautilizandounafórmulaoecuaciónal-gebraica;porejemplo,siconocemoselradiodeuncírculo,esposiblecalcularsuáreaconlafórmulaA=pr 2.

Asimismo,siconocemoseltiempoquetardaunmóvilenrecorrerunadistanciadeterminada,podemosmedirsurapidezpromediomediantelafórmularapidez=rapidez = distancia

tiempo oloqueesigualav=v d

t= Veamosacontinuaciónunejemplo

demediciónindirecta.

Ejemplo 1.13 Consideraquenecesitasdeterminarlaalturadeunacasaqueproyectaunasombrade2.2metros,perojustocuandocomienzastuscálculosunapersonade1.7metrosdeestaturaproyectaunasombrade0.62metros.

1.7 m

62 cm2.2 m

h = ?

SoluciónConlainformacióndisponiblepodemosconstruirdostriángulosrectángulos,comoseilustraacontinuación:

1.7m

A

B

0.62 mC P 2.2 m R

h

Q

Dadoquelosrayosdelsolsonparalelos,lostriángulosABCyPQR sonsemejantes,asílosángulosAyPtie-nenlamismamedida;porconsiguiente:

tanA = tanP

=

=

=

h

h

h

1.7 m0.62 m 2.2 m

(1.7 m)(2.2 m)0.62 m

6.0 m

Laalturadelacasaesde6.0metros.


28 Física I

La incertidumbre en el proceso de mediciónDeacuerdo con el resultadodeunamedición,podemosconcluirquehaydosclasesdemedidas:exactasyaproxi-madas.Lasmedidasexactasson,necesariamente,elresul-tadodecontar;porejemplo,elnúmerodemanzanasquehayenunfrutero.

Por otra parte, las mediciones de cantidades físicassólopuedenseraproximaciones,poresoseconocencomomedidas aproximadas. Incluso si se emplean los instru-mentosdemediciónmásprecisos,nuncaseobtieneunamedidaexacta;siemprehayunaincertidumbreoerrorex-perimentalquedependedediversosfactores.

Lalongituddeunareglapuedealterarseporloscam-bios de temperatura; un aparato de medidas eléctricaspuede registrar errores debido a los camposmagnéticoscercanosaél; lamínimadivisiónde laescaladel instru-mentodemedicióntambiénesunfactordeincertidum-bre;entremáspequeñasealamínimadivisióndelaescala,elgradodeincertidumbreesmenory,porende,decimosquelamedidaobtenidaesmásprecisa.

Laexactituddeunamedicióntambiéndependedelapersonaquelarealiza;porejemplo,paramedircorrecta-menteconuninstrumentoesnecesarioobservarlaescaladefrente,denoserasí,sepuedecometerunerrordebidoalparalaje,elcualseentiendecomoelcambioaparentedeposicióndeunobjetocuandoselemiradesdediferentesángulos.Así, la lecturadel velocímetrodeun automóvilpuedesermuydiferentesilahaceelconductorounacom-pañante.

Figura 1.11 La lectura del velocímetro se ve distinta cuando se mira de frente que desde el ángulo del copiloto.

Paraevitarelparalaje, losinstrumentosdemedicióndebenleersedefrenteycolocarsealaalturadelosojos.

Otrofactordelcualtambiéndependelaincertidum-bredeunamedida son las característicasde la cantidad

físicaquesemide.Suscaracterísticasdeterminanlarepe-tibilidadenlasmedidas;esdecir,sialrepetirvariasvecesunamediciónseobtienenresultadosigualesodiferentes.

Esposibleestablecerqueelerrorexperimentaloin-certidumbreenunamedidadependedelacantidadfísicaquesemide,conquésemideyquiénlomide.

Errores en la mediciónLoserroresenlamediciónpuedenserdedosclases:

• Sistemáticos• Aleatoriosocircunstanciales

Los errores sistemáticos se presentan de maneraregular o constante en todas las lecturas de lamedicióndeuna cantidadfísicadeterminada.Debidoaestetipodeerrores, las lecturasobtenidas en lasmediciones siempresonmayoresomenoresquelamedidareal.

Engeneral,lascausasdeloserroressistemáticosson:

a) Malacalibracióndelosinstrumentosdemediciónodefectosdefábrica.

b) Lamínimadivisióndelaescaladelinstrumentoconquesemide.

c) Ciertascondicionesambientalescomolatemperatu-ra,lapresenciadecamposmagnéticosolailuminación

d) Latendenciadelapersonaquemideasóloregistrar valoresmayoresomenoresdelamedidarealenformasis-temática.

e) Elparalaje.Los errores sistemáticos no pueden eliminarse por

completo.Parareducirlosserecomienda:

• Realizar revisiones o pruebas de control periódica-mente, lascualespuedenconsistirencotejarmedidasdeunacantidadfísicacondiferentesaparatos.

• Evitarelparalaje.• Seleccionar instrumentosdemedición con lamayor

precisiónposible;osea,conlamínimadivisióndelaescaladelinstrumentoposible.

• Mejorarlapericiadequienmide.

Loserrores aleatorioso circunstancialesnosepre-sentandemaneraregularosistemáticadeunamedicióna otra de una cantidad física determinada. Resultan defactoresinciertosycausanquelasmedidassucesivasobte-nidassedispersenaleatoriamentealrededordelamedidarealconigualprobabilidaddentrodeciertointervaloma-yoromenorqueelvalorreal.

Aunque es imposible eliminar los errores aleatorios,sepuedenestimarmatemáticamentedeterminandounin-tervalo,cuyoanchonosproporcionalaincertidumbreenlamedida.Lasmedidassucesivasdebencaerdentrodeesteintervalo.



∆m ∆m

0 m

2∆ m

M ± ∆m m=

Figura 1.12 Estimación de los errores aleatorios.

Precisión y exactitud de una medidaEnelcampodelamedición,lostérminosprecisiónyexac-titudnosonsinónimos.

La exactitudserefierealgradodecoincidenciadeunamedidaconrespectoalvalorverdaderoyladeterminalacalidaddelinstrumentodemedición.Almedirunacanti-dadfísicaconuninstrumentomalcalibradolamedidanoseráexacta.

Sedicequeunamedidatieneunaltogradodeexac-titudsiestálibre,relativamente,deerroressistemáticos.

La precisióneselgradodecertezaempleadoparame-dirunacantidadfísicayladetermina la mínima división de la escaladelinstrumentodemedición.

Al reportar una medida por un número decimal, elemplazamientodelaciframásalejadaaladerechadelpun-todecimalindicalaprecisión.Así,unamedidade48cmsemidióconunaprecisiónde1cm;8.6mtieneunaprecisiónde0.1m;7.46kg tieneunaprecisiónde0.01kg;42.085gtieneunaprecisiónde0.001g,yasísucesivamente.

Sisetienendosmedidas,lamásprecisaesaquellaob-tenidaconlamenordivisióndeescaladelinstrumentodemedición.

Incertidumbre o error absolutoComoentodamedida,sepresentanerrores,yaseasiste-máticosoaleatorios,suresultadosedebeexpresarcomo:

M=m±Dm

dondemeselvalorrepresentativooelvalormásproba-bledelamedida,yDmrepresentaelintervalodeincerti-dumbre,alcualtambiénselellamaerror absoluto de la medida.

Elerrorabsolutorepresentaelmáximoerrorposible.

Debidoaqueenunamedidapuedenincidirdiferen-tescausas,esnecesariorepetirelprocesodemediciónva-riasvecesenlasmismascondiciones.

Almedir varias veces una cantidad física es posibledistinguirdostiposderesultados:

• Losqueserepiten;esdecir,enlosquesiempreseob-tieneelmismovalor.

• Losquenoserepiten.Sienlosresultadossiempreseobtienelamismame-

dida, entonces la estimaciónde incertidumbreoel errorabsolutodelamedidaDmesigualalamitaddelapreci-sión.Elvalormásprobableorepresentativodelamedidaeselresultadodelamedición,elcualsiempreesigual.

Sialrepetirvariasveceselprocesodemedicióndeunacantidadfísicadeterminadaseobtienenlecturasdiferen-tes,elvalormásprobabledelamedidaeselpromedio(omediaaritmética)detodaslasmedidas.

Elintervalodeincertidumbreoerrorabsolutoesigualalpromediodelasdesviacionesabsolutasdecadamedidarespectoalvalorpromedioovalormásprobabledelame-dida;osea:

Error absoluto =

Suma de los valores absolutosde las desviaciones sin tomaren cuenta el signo

Número de mediciones

Elvalordecadadesviaciónabsolutanosdaunaideadeladesviacióndelamedidarespectoalvalorpromedio.

Unadesviaciónpositivaindicaqueelvalordelame-didaesmayorqueelvalorpromedio,yunanegativa,queesmenor.

Ejemplo 1.14 Almedir seis veces la longituddeunavarillaseobtuvieronlossiguientesresultados:24.96cm 24.91cm24.92cm 24.98cm24.97cm 24.90cmDetermina:

a) Elvalormásprobabledelalongituddelavarilla.

Solución

=m 24.96 + 24.92 + 24.97 + 24.91 + 24.98 + 24.906

cm

m=24.94cm

b) El intervalo de incertidumbre o error absoluto de la medida.

SoluciónDeterminemos la desviación absoluta de cadamedidarespectoalvalormásprobabledelalongituddelavarilla.

|24.96cm−24.94cm| = |0.02|=0.02 |24.92cm−24.94cm| = |−0.02|=0.02


30 Física I

|24.97cm−24.94cm| = |0.03|=0.03 |24.91cm−24.94cm| =|−0.03|=0.03 |24.98cm−24.94cm| =|0.04|=0.04 |24.90cm−24.94cm| =|−0.04|=0.04

Calculamosacontinuaciónelerrorabsolutodelvalormásprobable,queesigualalpromedioomediaarit-méticadelasdesviacionesabsolutas.

Dm=Errorabsoluto= + + + + +Error absoluto 0.02 0.02 0.03 0.3 0.04 0.046

Dm=Errorabsoluto=0.03cm

c) Cómosedebereportarlalongituddelavarilla.

Solución

L=m±Dm

L=24.94± 0.03cm

El resultadoobtenido significaque el valor real estáentre (24.94− 0.03) cmy (24.94+ 0.03) cm,o sea,entre24.91y24.97cm.

Error relativo y exactitudElerror relativodeunamedidasedefinecomolarazónentreelanchodelintervalodeincertidumbre(oerrorab-soluto)y elvalormásprobabledelamedida.

Error relativo = Error absolutoValor más probable

=mm

Así,ennuestroejemploanterior:

Error relativo 0.0324.94

0.0012= =

Elerrorrelativonosproporcionaunabaseparacom-pararlaexactituddedosmedidas;lamásexactaeslaquetienemenorerrorrelativo.

Cifras significativasPara estimar la incertidumbre (o error absoluto) de unamedidaseutiliza laconvencióndecifrassignificativas,lacualestablecequesóloseconservanlascifrasconsideradasconfiables.Porejemplo,decirquelalongituddeunavarillaesde20.8cmsignificaquelalongitudsemidióconunaprecisiónde0.1cm;yel errorabsolutode lamedidaesigualalamitaddelaprecisión.

Así,tenemosque:

Dm = 0.1 cm2

Dm=0.05cm (errorabsoluto)

Estosignificaquelalongituddelavarillaestácom-prendidaentre20.75cmy20.85cm,osea,equivalea20.8±0.05cm.

Deacuerdocon lamedidaregistrada,20.8cm,con-cluimosqueelnúmero8(últimodígito)esunacifraesti-madayquetenemoscertezadelascifras2y0.

Eneltrabajocientíficotodamedidasedebeexpresarconlosdígitosdeloscualestenemoscertezaenelprocesodemedición,o sea, lascifrascorrectasy laprimeracifraestimada. Estas cifras se denominan cifras significativasporquesabemosquesonrazonadamenteconfiables.

Enlafigura1.13seilustraunmosaicocuyalongituddeanchosemidecondosreglas.Laregladearribaestácalibradaencentímetros,yladeabajo,enmilímetros.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Figura. 1.13 Reglas calibradas en centímetros y en milímetros, respectivamente.

Almedirconlareglacalibradaencentímetros,obser-vamosquelalongituddelanchoestáentre4y5cm.Porlotanto,tenemoslacertezadeque4cmesunacifracorrec-ta.Dadoquenohaydivisiónmásexactaentre4y5cm,estimamos la longitud entre4 y5 cm.La aproximacióndependedelapersonaquemide,unapodríaestimarlaen0.2cm,otraen0.3cm,yotrosen0.4cm.

Siestimamosquelalongitudentre4y5cm es0.2cm,entonces expresamos la longitud del ancho delmosaicocomoa =4.2cm.

Observaquelaprecisióndelamedidaes0.1cm;porlotanto,elanchodesuintervalodeincertidumbreoerrorabsolutoes:

Dm = 0.1 cm2

Dm=0.05cm

Loanteriorsignificaquelalongitudexactadelanchodelmosaicocaeentre4.2±0.05cm;esdecir,entre(4.2−0.05cm)y (4.2+0.05cm),o loquees lomismo:entre4.15cmy4.25cm.

Al medirconlareglacalibradaenmilímetros,observa-mosquelalongituddelanchoestáentre4.2y4.3cm.Te-nemosentonceslacertezadequelosdígitosde4.2cmsoncifrascorrectasycomonohaydivisiónmásfinaentre4.2y4.3cm,estimamoslalongitudquehayentre4.2y4.3cm.



Supongamosqueestimamos0.06cm,entoncesexpre-samoslamedidacomo4.26cm.

Observaquelaprecisióndelamedidaes0.01cm;porconsiguiente, el ancho de su intervalo de incertidumbre (errorabsoluto)estádadopor:

Errorabsoluto = Dm = 0.01 cm2

Dm=0.005cmLoanteriorsignificaquelalongitudexactadelancho

caeentre4.26±0.005cm,osea,entre4.255y4.265cm.Siqueremosdeterminarcuálmedidaeslamásexacta

deambas,seguimoselsiguienteproceso:1. Calculamoselerrorrelativodecadamedida:

a) m1=4.2cmb) m2=4.26cm

Error relativo =

Error absoluto o intervalode incertidumbre Medida obtenida

Paralamedidaobtenidaconlareglacalibradaencen-tímetros(4.2cm)tenemos:

Error relativo = 0.05 cm4.2 cm

0.0119=

Enformaporcentuales1.19%.Paralamedidaobtenidaconlareglacalibradaenmi-

límetros(4.26cm)tenemos:

Error relativo = 0.005 cm4.26 cm

0.0017=

Enformaporcentuales0.17%Como0.0017esmenorque0.0119,lamedidaobteni-

daconlareglacalibradaenmilímetrosesmásexactaquelaconseguidaempleandolareglacalibradaencentímetros.

Ejemplo 1.15 Almedirellargodeunrectánguloseobtuvolasiguientemedida:L=3.6cm.Determina:a) Laprecisióndelamedición.

Solución

Precisión=0.1

b) Elanchodelaincertidumbredelamedición;esdecir,elvalorabsolutodelamedición.

Solución

Errorabsoluto = D =m Precisión2

Errorabsoluto = Dm=0.12

=0.05

c) ¿Cuál es el intervalo dentro del cual está lamedidaexacta?

Solución

m±Dm,luegolamedidaexactaestádentrodelintervalo

3.6±0.05 oseaentre3.55y3.65

d) Determinaelerrorrelativodelamedición.

Solución

=Error relativo Error absoluto Medida obtenida

= = =Error relativo 0.053.6

0.01388 1.38%

Reglas para determinar el número de cifras significativas de una medidaExistenreglasquepermiteninterpretarcuálessonlasci-frassignificativasdeunamedida.

1. Enunamedición, todas lascifrasdiferentesdecerosonsignificativas.Porejemplo:

• 83cm(2cifrassignificativas)• 54.7cm(3cifrassignificativas)

2. Todosloscerosqueaparecenentrecifrassignificativasson siempresignificativos.Porejemplo:

• 8024.51g (6cifrassignificativas)• 70004g(5cifrassignificativas)

3. Todosloscerosfinales,despuésdelpuntodecimalsoncifrassignificativas.Porejemplo:

• 45.00(4cifrassignificativas)• 891.00(5cifrassignificativas)

4. Loscerosqueseutilizanúnicamenteparaindicarlaposicióndelosdecimalesnosoncifrassignificativas.Porejemplo:

• 0.07m(1cifrasignificativa,elceronoloes)• 0.0085 kg (las cifras significativas de esta cantidad

sólosonel8yel5)

5. Cuandounamedidaestáexpresadaennúmerosente-rossinpuntodecimalquetengaunoomáscerosdenomi-nadospostreros,porejemplo:enlamedida18000gloscerospuedenonosersignificativos.El8puedeserlacifraestimadaylostrescerosseusaronparalocalizarelpuntodecimal,olostrescerospuedenhabersidomedidos.Paraevitar confusiones, en este texto consideraremos que loscerospostrerossoncifrassignificativas.Siqueremospre-


32 Física I

cisarque,porejemplo,elnúmero2430000mtienetrescifras significativas, loexpresaremosencualquierade lassiguientesformas:

243×104m24.3×105m2.43×106m

Operaciones con cifras significativasAl resolverproblemasde físicaoquímica, las respuestassólodebencontenercifrassignificativas,porelloesimpor-tantequeconsidereslassiguientesreglas.

Suma y restaPara efectuar sumas y restas de cifras significativas pro-cedemosenlaformaqueyaconoces.Comoelresultadodelaoperaciónnopuedesermásprecisoquelamediciónmenosprecisa,elresultadodeberedondearse,encasodequese requiera,paraquetengaelmismonúmerodecifrasaladerechadelpuntodecimalquelasquetienelamedidamenosprecisa.

Ejemplo 1.16 Realiza la suma de las siguientesmagnitudes:15.295m25.867m2.81m7.3m

Solución

15.29525.8672.81

+ 7.3 51.272

Delasmagnitudesquesumamos, lamenospre-cisaes7.3,porloqueelresultadosedeberedondearpara que contenga sólo una cifra después del puntodecimal.

Cuandoredondeamosunamagnitud,silaprimeracifradelasqueseeliminanesmayorque5,laúltima ci-fraquesemantengadeberáaumentarseenunaunidad.

Enrelaciónconelejemploanterior,tenemos:

51.272m↑

Primeracifraqueseelimina

Como7esmayorque5,elresultadodelasumaseexpresacomo51.3m.

Silaprimeracifradelasqueseeliminanesmenorque5,laúltimacifraquesemantengaquedaráigual.

Ejemplo 1.17 Resta18.7cmde36.93cm.

Solución

36.93−18.718.23

Lamagnitudmenosprecisaes18.7;portanto,elresultadosedeberedondearparaquehayasóloundí-gitodespuésdelpuntodecimal.

Dadoqueelnúmero3,dígitoqueseelimina,esme-norque5,elresultadodelarestaquedacomo 18.2cm .

Multiplicación y divisiónParamultiplicarodividirdosmedidasseguimoselpro-cesoqueyaconocemos.Elresultadoobtenidoloredon-deamosparaque tenga elmismonúmerode cifras sig-nificativasquelamagnitudconmenornúmerodecifrassignificativas.

Ejemplo 1.18 Multiplica7.85cmpor5.4cm.

Solución

7.85cm×5.4cm=42.39cm2

Comolacantidad5.4cmeslaquetieneelme-nornúmerodecifrassignificativas,entonces42.39cmdebe redondearsedemaneraque tenga tambiéndoscifrassignificativas,osea:

7.85cm×5.4cm= 42cm2

Ejemplo 1.19 Multiplica2.15mpor0.4m

Solución

2.15m×0.4m= 0.86cm2

La medida que tiene el menor número de cifrassignificativas es 0.4m;por lo tanto, el productode lamultiplicacióntambiéndebetenerunacifrasignificativa.

Elredondeode0.86m2seexpresacomo 0.9m2 .

Ejemplo 1.20 Divide85.3 cm2.574 cm

2

Solución

=85.3 cm2.574 cm

33.1390 cm2

Lacantidadfísicaquetieneelmenornúmerodecifrassignificativases85.3cm2;portanto,elresultadodebe tener también tres cifras significativas.Redon-deamos33.1390cma 33.1cm .




I. Realizalassiguientesoperaciones.(Lasrespuestassólodebencontenercifrassignificativas.)1. 8.205cm+6.5cm+0.74cm+13.0cm

a) 28.445cmb) 28.4cmc) 28cmd) 28.44cm

2. 80.5min+9min+0.75mina) 90.25minb) 90.3minc) 90.2mind) 9×10min

3. 1.9km+1.72km+0.012kma) 3.632kmb) 3.63kmc) 3.6kmd) 3.5km

c) 3.6km

4. 4.0kg+0.845kg+0.061kga) 5kgb) 4.90kgc) 4.906kgd) 4.9kg

d) 4.9kg5. 8.26N−0.40N

a) 7.9Nb) 7.86Nc) 7.8Nd) 8.0N

a) 7.9N

6. 34pies+8.1piesa) 42.1piesb) 42.0piesc) 42piesd) 43pies

c) 42pies7. 15h−8.1h

a) 6.9hb) 6.90hc) 7hd) 7.0h

a) 6.9h

8. 3.41cm×0.2cma) 0.682cm2

b) 0.68cm2

c) 0.7cm2

d) 7cm2

c) 0.7cm2


34 Física I

9. 5.865cm×4.20cma) 24.63cm2

b) 25cm2

c) 24.6cm2

d) 24.633cm2

c) 24.6cm2

10. 107.88N×0.610ma) 65.80N-mb) 65.807N-mc) 65.8068N-md) 65.8N-m

d) 65.8N-m11. 8.52kg×6.0m/s

a) 51.12kgm/sb) 51.1kgm/sc) 51kgm/sd) 52.3kgm/s

c) 51kgm/s

12. 72 km4.05 ha) 17.777km/hb) 18km/hc) 17.7km/hd) 18.0km/h

b) 18km/h

13. 97.520 cm2.52 s

a) 38.7cm/sb) 38.6984cm/sc) 38.698cm/sd) 38.6cm/s

a) 38.7m/s

14. 14.28 m0.714 m

2

a) 20mb) 20.0mc) 200md) 18m

b) 20.0m

II. Determinalaprecisióndelassiguientesmedidas.1. 4m

a) 1mb) 0.5mc) 0.005md) 0.05m

2. 18.3cma) 0.05cmb) 0.1cmc) 0.005cmd) 1cm

b) 0.1cm



3. 4.85kma) 2kmb) 0.01kmc) 0.005kmd) 0.1km

b) 0.01km

4. 1.00mina) 1minb) 0.01minc) 0.001mind) 0.0005min

5. 3.025milla) 0.001millb) 0.01millc) 0.0005milld) 0.005mill

6. 14.45ma) 0.001mb) 0.005mc) 0.0005md) 0.01m

d) 0.01m7. 105mm

a) 0.1mmb) 0.5mmc) 0.05mmd) 1mm

d) 1mm

8. 0.0004kma) 0.001kmb) 0.0001kmc) 0.1kmd) 0.00005km

III. Paralassiguientesmedidas,determinaloqueseindicaencadacaso.1. 414cm

a) Elerrorabsolutoointervalodeincertidumbredelamedida.a) Dm=1cmb) Dm= 0.1cmc) Dm= 0.01cmd) Dm= 0.005cm

2. 705ma) Elerrorabsolutoointervalodeincertidumbre.

a) Dm= 1mb) Dm= 0.1mc) Dm= 0.5md) Dm= 0.005m


36 Física I

b) Elintervalodentrodelcualestálamedidaexacta.a) (4.14±0.01)cmb) (4.14±0.005)cmc) (4.14±0.0012)cmd) (4.14±0.05)cm

b) 4.14±0.005cm

b) Elintervalodentrodelcualestálamedidaexacta.a) (705±1)mb) (705±0.1)mc) (705±0.5)md) (705±0.005)m

c) (705±0.5)m

c) Elerrorrelativodelamedida.a) 0.0012b) 0.012c) 0.12d) 0.00012

a) 0.0012

c) Elerrorrelativo.a) 0.00071b) 0.00092c) 0.00064d) 0.00014



3. 75cma) Elerrorabsolutoointervalodeincertidumbre

delamedida.a) 0.5cmb) 1cmc) 0.05cmd) 0.005cm

a) 0.5cm

4. 10.45kga) Elerrorabsolutoointervalodeincertidumbredela

medida.a) 0.05kgb) 0.005kgc) 0.1kgd) 0.01kg

b) Elintervalodentrodelcualestálamedidaexacta.a) (75±1)cmb) (75±0.05)cmc) (75±0.005)cmd) (75±0.5)cm

b) Elintervalodentrodelcualestálamedidaexacta.a) (10.45±0.005)kgb) (10.45±0.05)kgc) (10.45±0.1)kgd) (10.45±0.01)kg

a) (10.45±0.005)kgc) Elerrorrelativo.

a) 0.0082b) 0.0067c) 0.0052d) 0.0075

b) 0.0067

c) Elerrorrelativo.a) 0.0048b) 0.0095c) 0.00095d) 0.00048


38 Física I

5. 12.5ma) Elerrorabsolutoointervalodeincertidumbre

delamedida.a) 0.1mb) 0.05mc) 0.5md) 0.005m

b) 0.05m

6. 0.006kga) Elerrorabsolutoointervalodeincertidumbredela

medida.a) 0.001kgb) 0.0005kgc) 0.01kgd) 0.005kg

b) Elintervalodentrodelcualestálamedidaexacta.a) (12.5±0.1)mb) (12.5±0.5)mc) (12.5±0.05)md) (12.5±0.005)m

b) Elintervalodentrodelcualestálamedidaexacta.a) (0.006±0.0005)kgb) (0.006±0.001)kgc) (0.006±0.01)kgd) (0.006±0.005)kg

a) (0.006±0.0005)kgc) Elerrorrelativodelamedida.

a) 0.004b) 0.008c) 0.04d) 0.0004

a) 0.004

c) Elerrorrelativodelamedida.a) 0.083b) 0.167c) 0.0167d) 0.0083



IV. Resuelvelossiguientesproblemas.

1. Almedirlamasadeuncilindroseobtuvieronlossiguientesresultados:86.49g,86.52g,86.53g,86.50g,86.48g.De-termina:a) Elvalormásprobabledelamasadelcilindro.

a) 87.2gb) 86.50gc) 84.2gd) 86.0g

b) 86.50g

c) Elintervalodentrodelcualcaelamedidaexacta.a) (86.50±0.016)gb) (86.5±0.0028)gc) (86.5±0.0012)gd) (86.5±0.018)g

b) Elerrorabsolutoointervalodeincertidumbredelamedida.a) 0.016gb) 0.028gc) 0.012gd) 0.018g

a) 0.016g

d) Elerrorrelativodelamedida.a) 0.00032b) 0.000139c) 0.0001849d) 0.00021

c) 0.0001849


40 Física I

2. Almedircincoveceslalongituddeunavarillaseobtuvieronlossiguientesresultados:23.88cm,23.83cm,23.78cm,23.90cm,23.86cm.Determina:a) Elvalormásprobabledelalongituddelavarilla.

a) 23.40cmb) 23.85cmc) 23.95cmd) 24.74cm

b) 23.85cm

c) El intervalodentrodel cual está la longitud exactadelavarilla.a) (23.85±0.0360)cmb) (23.40±0.028)cmc) (23.85±0.054)cmd) (24.74±0.036)cm

b) Elerrorabsolutoointervalodeincertidumbredelamedidamásprobable.a) 0.045cmb) 0.028cmc) 0.054cmd) 0.0360cm

d) Elerrorrelativodelamedición.a) 0.00119b) 0.0022c) 0.0015d) 0.0013

c) 0.0015



1. Estodoaquelloquesepuedemedir:a) sistemademediciónb) unidadfísicac ) cantidadfísicad ) unidadfundamental

2. Estodoaquelloquesetomacomopatrónparamedir:a) cantidadfísicab) mediciónc ) unidadfísicad ) cifrassignificativas

3. Consisteencompararlamagnituddeunacantidadfísicaconotradelamismaclaseaceptadacomopatrónouni-daddemedida.a) sistemademediciónb) mediciónc ) cantidadfísicad ) unidadfísica

4. Cantidadesfísicasquenosedefinenenfuncióndeotras:a) derivadab) auxiliaresc ) fundamentalesd ) primitivas

5. Cantidadesfísicasquesedefinenenfuncióndeotras:a) derivadasb) auxiliaresc ) fundamentalesd ) compuestas

6. Unidadesdemediciónquesederivandelacombinacióndelasunidadesfundamentales:a) primitivasb) auxiliaresc ) compuestasd ) derivadas

7. Soncantidadesfísicasfundamentalesdelsi:a) presiónb) áreac ) temperaturad ) cantidaddesustanciae) corrienteeléctricaf ) intensidaddeluminosidadg) c,d, e yf soncorrectas

8. Unidadfundamentaldelatemperaturadelsi:a) gradocentígradob) ElKelvinc ) gradoFahrenheitd ) ElRankine

9. Esunaunidadfísicafundamental:a) kgb) mc ) sd ) m/se ) kg/m3

f ) a, b, ycsoncorrectas

10. Esunaunidadderivada:a) cmb) gc ) m/s2

d ) g/cm2

e ) c yd soncorrectas

11. ¿Cuáles de las siguientes cantidades físicas son funda-mentalesdelsi?a) longitudb) masac ) volumend ) densidade ) tiempof ) a, b ye soncorrectas

12. Launidadfundamentaldelongitudenelsies:a) kilómetrob) piec ) yardad ) centímetroe) metro

13. Launidadfundamentaldemasaenelsies:a) librab) gramoc ) kilogramod ) onza

14. Launidadfundamentaldetiempoenelsies:a) horab) segundoc ) minutod ) díasolarpromedio

15. Elprefijométricoquesignifica1×106es:a) gigab) kiloc ) hectod ) mega

16. Elprefijométricoquesignifica1×109es:a) gigab) kiloc ) decad ) mega


42 Física I

17. Elprefijométricoquesignifica1×103es:a) hectob) decac ) kilod ) mili

18. Elprefijométricoquesignifica 110

0.1( )= es:a) centib) decic ) mili


0.000001= es:a) nanob) microc ) picod ) mega


0.000000 0019 = es:a) nanob) microc ) picod ) mega


0.000000 000 00112 = es:a) nanob) microc ) picod ) mega

22. Lamedidaqueresultadeunamedición...a) siempreesexactab) algunasvecesesexactac ) nuncaesexactad ) algunasvecesesinexacta

23. Laincertidumbreoerrorenunamedidadependede:a) loquesemideb) conquesemidec ) quienmided ) lostresfactoresanteriores

24. Paraevitarerroresdeparalaje,losinstrumentosdemedi-ciónsedebenleer:a) deladoyalaalturadelosojosb) defrenteypordebajodelosojosc ) defrenteyalaalturadelosojosd ) deladoypordebajodelosojos

25. Clasedeerrorespresentesdemaneraregularoconstanteentodaslaslecturasalmedirunacantidadfísicadeter-minada.a) Erroresaleatoriosb) Erroressistemáticos

26. Clasedeerroresquenosepresentandemaneraregularoconstantedeunamediciónaotradeunacantidadfísicadeterminada.Sonlascausasdequelasmedidassucesivas

sedispersenalrededordelamedidarealconigualproba-bilidaddesermayoresomenoresqueelvalorreal.a) Erroressistemáticosb) Erroresaleatoriosocircunstanciales

27. Serefierealgradodecoincidenciadeunamedidares-pectoalvalorverdadero.a) Exactitudb) Precisión

28. Eselgradodecertezaempleadoparamedirunacanti-dadfísica.Ladeterminalamínimadivisióndelaescaladelinstrumentodemedición.a) Precisiónb) Exactitud

29. Dígitosdeunamedidaqueseconsideranconfiables.Sonlas cifras correctas y la primera cifra estimada de unamedición.a) Cifrasexactasb) Cifrassignificativasc ) Cifrasestimadas

30. Eldiámetrodeciertasmoléculases0.00000017cm.Ex-presadichacantidadennotacióncientífica.a) 1.7×107cmb) 1.7×106cmc ) 1.7×10−6cmd ) 1.7×10−7cm

31. Elnúmerodemoléculasen22.4litrosdegas(númerodeAvogadro)es6020000000000000000000000.Expresadichonúmeroennotacióncientífica.a) 6.02×1024

b) 6.02×1021

c ) 6.02×10−21

d ) 6.02×10−24

32. Elresultadodeladivisión 3.2 10 2.1 10

4.1 10

6 8

4

( )( )× ×

×es:

a) 1.6×1018

b) 1.6×109

c ) 2.1×109

d ) 1.6×1010

33. Elresultadodeladivisión 9.4 105.8 10

6

8

×

× − es:a) 1.6×10−2

b) 1.6×102

c ) 1.6×1014

d ) 1.6×10−14

34. Elresultadodelaresta9.2×105−7.6×105es:a) 1.6b) 1.6×1010

c ) 1.6×105

d ) 1.6×10

35. Elresultadodelaresta8.6×107−2.4×106

a) 8.4×107



b) 6.2×106

c ) 8.3×106

d ) 8.3×105

36. Convierte144km/henm/s.a) 42m/sb) 48m/sc ) 40m/sd ) 45.3m/s

37. Convierte18400makilómetros.a) 184.0kmb) 18.4kmc ) 1.84kmd ) 1.840×105km

38. ¿Acuántoscentímetrosequivalen163pulgadas?a) 414cmb) 325cmc ) 463cmd ) 420cm

39. ¿Acuántaslibrasequivalen30kg?a) 66lbb) 72lbc ) 13.6lbd ) 64lb

40. ¿Acuántoskilómetrosequivalen2500cm?a) 0.025kmb) 2.50×103kmc ) 0.00025kmd ) 0.00250km

41. Convierte460piesametros.a) 156mb) 128mc ) 137md ) 140m

42. Laprecisiónde6kmes:a) 1kmb) 0.1kmc ) 0.001kmd ) 0.5km

43. Laprecisiónde7.54cmes:a) 0.05cmb) 0.01cmc ) 0.1cmd ) 0.001cm

44. Almedir la longitud de una varilla se registró el dato86.54cm.¿Cuálessonlascifrascorrectasdelamedición?a) Todascorrectasb) 8y6c ) 8,6y5d ) 8

45. Delasmedidasanteriores,¿cuáleslacifraestimada?a) 5y4b) 4c ) 6,5y4d ) Todassonestimadas.

46. Elnúmerodecifrassignificativasde2.008kmes:a) 2b) 1c ) 4d ) 3

47. Elnúmerodecifrassignificativasde0.018kges:a) 5b) 3c ) 2d ) 1

48. Realizalasiguientesumayescribelarespuestaconelnúmerocorrectodecifrassignificativas.47.68cm+42.6cm+54.7cma) 143.65cmb) 143cmc ) 145cmd ) 143.6cme) 143.7cm

49. Realizalasiguienterestayescribelarespuestaconelnúmerocorrectodecifrassignificativas.23.83kg−15.4kga) 8.43kgb) 8.4kgc ) 8kgd ) 8.6kge) 8.5kg

Almedircuatroveceslamasadeunniñoseobtuvieronlossiguientesresultados:

34.97kg 35.01kg 34.98kg 35.02kg

Determina:(preguntas50a53)

50. Elvalormásprobabledelamasadelniño.a) 34.94kgb) 34.99kgc ) 34.95kgd ) 35.00kge) 34.96kg

51. Elerrorabsolutooincertidumbredelvalormásprobable.a) 0.04kgb) 0.03kgc ) 0.06kgd ) 0.02kg


44 Física I

52. Elintervalodentrodelcualestálamedidaexactadelamasa.a) Entre34.98y35.02kgb) Entre34.96y35.04kgc ) Entre34.96y35.00kgd ) Entre34.97y35.01kg

53. Elerrorrelativodelamedidamásprobable.a) 0.005b) 0.0004c ) 0.0003d ) 0.00057e ) 0.0005

Almedirseisveceslalongituddeunavarillaseobtuvieronlossiguientesresultados:

54.70cm 54.75cm54.68cm 54.69cm54.73cm 54.72cm

Determina:

54. Elvalormásprobabledelalongituddelavarilla.a) 56.2cmb) 54.71cmc ) 54.2.cmd ) 55.0cm

55. Elerrorabsolutooincertidumbrerespectoalvalormásprobable.a) 0.02cmb) 0.01cmc ) 0.03cmd ) 0.04cm

56. El intervalodentrodel cual está la longitud real de lavarilla.a) Entre54.68y54.74cmb) Entre54.69y54.73cmc ) Entre54.70y54.72cmd ) Entre54.7y54.71cm

57. Elerrorrelativodelamedición.a) 0.00036b) 0.00021c ) 0.0041d ) 0.00048

LalongituddeunterrenoesL=12.53m.Determina:

58. Laprecisiónenlamedida.a) 0.1mb) 0.05mc ) 0.01md ) 0.005me) 0.001m

59. Elerrorabsolutoointervalodeincertidumbreenlame-dida.a) 0.05mb) 0.01mc ) 0.005md ) 0.05m

60. Elerrorrelativo.a) 0.004b) 0.0003c ) 0.0002d ) 0.0004


Capítulo 1 Introducción a la física 45

Generalidades

Representación gráfi ca de un

vector

Propiedades de los vectores

Sistema de vectores

Suma de vectores

Diferencia de vectores

Introducción a los vectores

Tema 3

GeneralidadesLosfenómenosfísicosqueocurrenenlanaturalezasema-nifiestanestableciendorelacionesentrecantidadesfísicasespecíficas; algunas de estas cantidades únicamente lasdeterminansumagnitudotamaño.Porejemplo,cuandodecimosquelatemperaturadeunobjetoesde37°C,quelamasadeunautoesde800kg,queeltiempoquetardaenevaporarseciertacantidaddeaguaes5deminutos,etc.Cadaunadeestascantidadessedeterminadamedianteunnúmeroyunaunidaddemedida.Aestaclasedecantida-desselesdenominacantidades escalares.

Figura 1.14 La masa de un automóvil ejemplifi ca una cantidad escalar.

Unescalaresunacantidadfísicaquesólotienemag-nitud.Acontinuación sepresentanalgunos ejemplosdecantidadesescalares:

• Masa• Tiempo• Temperatura• Distancia• Área• Volumen• Densidad

Para trabajarmatemáticamente con escalares, segui-moslosmétodosalgebraicosqueyaconocemos.Observalossiguientesejemplos:

• 9m+6m=15m• 45g−15g=30g• 5.0m×7.0m=35m2

• 15min+40min=55minEnfísicasemanejanotrotipodecantidadesquepara

determinarlasnobastaconocersumagnitud.Porejemplo,sidecimosqueunaviónselocalizaa800kmdelaeropuer-todedondedespegó, la informaciónes incompletapor-quelaubicaciónnoesespecífica;esunhechoqueelaviónpudohabertomadounainfinidaddedirecciones.Observalasiguientefigura1.15.

800 km800 km

800 km800 km

800 km

800 km

800 km 800 km

Figura 1.15 Posibles direcciones que un avión puede tomar a 800 km del lugar de donde despegó.

Determinar la localizaciónexactadel avión requiere conocer:

1. Lamagnituddesudesplazamiento(800km).2. Ladireccióndesudesplazamiento.Porejemplo,recta

queformaunángulode40°conlahorizontal.3. Elsentidode sudesplazamiento.Puedeserhaciael

NorteoelOeste.Alascantidadesfísicasquetienenmagnitud,dirección

ysentidoselesdenominacantidades vectoriales, osim-


46 Física I

plementevectores.Eldesplazamiento,lavelocidad,laace-leraciónylafuerzasonejemplosdecantidadesvectoriales.

Eneste libro representaremosunacantidadvectorialconunaletraennegritas,porejemplo:V.Parareferi-mossóloalamagnituddelacantidadvectorial,utiliza-remoslamismaletraperosinnegritas,porejemplo:V.

Por definición, lamagnitud de un vector es unacantidadescalar y siempreespositiva.Es importantequecuandoquieras indicarunvectoren tucuadernooenelpizarrónapliqueslanotaciónV

��;esdecir,debes

escribirunapequeñaflechaarribadelaletramayúscula.

Representación gráfica de un vectorUnvectorpuede representarsegráficamenteporunseg-mentoderectaconunapuntadeflechadibujadoaescala.Lalongituddelsegmentorepresentalamagnituddelvec-tor,ladireccióndelaflechacorrespondealadireccióndelvector,ysupuntarepresentaelsentido.

Enmuchoscasos,consideramosladirecciónyelsen-tidocomounsoloconcepto,eldedirección,entendiendoporéstalainclinacióndelaflechayelpuntohaciaelqueseñala.

Dirección de un vectorUnaformadedeterminarladireccióndeunvectorconsis-teentomarcomoreferenciaunsistemaformadopordoslíneasllamadasejes perpendiculares. Lalíneahorizontalseconocecomoejex, ylalíneavertical,comoejey.

x

y

0

Figura 1.16 Sistema de referencia para ubicar la dirección de un vector.

Ladirecciónseindicamedianteelángulodelvectormedidoensentidocontrarioalmovimientodelasmane-cillasdelreloj,yapartirdelaposicióndelejex positivo,lacualseubicaaladerechadelorigen.

Comentacontuscompañeroslossiguientesejemplos.

x

y

20°

120°

x

y

y

Figura 1.17 Figura 1.18

180°

x

y

225°

x

y


300°

x

y

Figura 1.21

Otra formadedeterminar ladireccióndeunvectorconsisteentomarcomoreferencia lospuntoscardinales:Norte,Sur,EsteyOeste.

(90°)

(180°)

(270°)

O E

N

S

(0°)

Figura 1.22 Otra forma de determinar la dirección de un vector.

Cuandoseindicaladireccióndeunvector,laexpre-sión“alNortedelEste”significaquesuánguloseformagirandouna líneahaciaelNorteapartirde ladirecciónEste.Asimismo, ladirección“alNortedelOeste” indicaqueelánguloseformagirandouna líneahaciaelNorte



apartirdelOeste.Elánguloquecorrespondealadirec-ción“alSurdelOeste”seformagirandounalíneahaciaelSurapartirdelOeste,yladirección“alSurdelEste”seformagirandounalíneahaciaelSurapartirdelEste.

Observalossiguientesejemplos:

S

N

O E

d→

30°

O

S

E

N

v→

40°

Figura 1.23 Dirección del vector d

30° al Norte del Este. Figura 1.24 Dirección del vector v

40° al Norte del Oeste.

O

S

E

N

F→

35°

O

S

E

N

P→

60°

Figura 1.25 Dirección del vector f

35° al Sur del Oeste. Figura 1.26 Dirección del vector p

60° al Sur del Este.

Cuandonosreferimosalasdireccionesnoreste(NE),noroeste(NO),suroeste(SO)ysureste(SE),susángulosformanunángulode45°conelejex enelcuadranteco-rrespondiente.Analizacontuscompañeroslassiguientesfiguras:

45° NEO

S

E

N

NO 45°

O

S

E

N


O

S

E

N

SO 45°

45° SEO

S

E

N


Esimportanteprecisarquelosejespuedenestarorien-tadosenotrasdirecciones; lo importanteesquesiempreseanperpendicularesentresí.Observalasiguientefigura:

y x90°

Figura 1.31 Aunque los ejes estén orientados en diferentes di-recciones, lo importante es que siempre sean perpendiculares entre sí.

Representagráficamentelossiguientesvectores:

Ejemplo 1.21 V1=60ma120°

SoluciónEscala:1cm=20m

120°

x

y

V

Ejemplo 1.22 D=80kma60°alSurdelEste:

SoluciónEscala:1cm=20km

60°

S

N

O E

D


48 Física I

Propiedades de los vectores

Propiedad de los vectores libresEstapropiedadserefierealhechodequeunvectorsiguesiendoelmismocuandosetrasladaparalelamenteasímis-moporquetienelamismamagnitud,direcciónysentido.

c)0O

S

E

ND

D

Figura 1.32 Si el vector D se traslada paralelamente a sí mismo, sigue siendo el mismo vector.

Propiedad de los vectores deslizantesEstapropiedadserefierealhechodequeelefectoexternoqueproduceunvectornosealterasiéstesedesplazasobresumisma líneadeacción.Estosedebeaque lamagni-tud,direcciónylíneadeaccióndelvectorpermanecensincambios.

Aestehechoseledenominaprincipio de transmisi-bilidad del punto de aplicación de un vector.Elpuntodeaplicaciónesaquelenelquefísicamentesesuponeestáac-tuandoelvector.Porejemplo,supongamosqueunafuerza

queestáactuandosobreuncuerpodeterminadoproduceel desplazamientode éste. Si el cuerpo y la fuerza apli-cada sobre él se deslizan simultáneamente, lamagnitud,ladirecciónyelsentidodelvectorpermanecenigual;porlotanto,elefectoqueproducesuacciónsobreelcuerpodeterminadonocambia.

Sistemas de vectoresUnconjuntodevectoresconsideradosenunhechoparti-cularconstituye un sistema de vectores.

Clasifi cación de los sistemas de vectoresSistema de vectores coplanares Lossistemascoplanaresse caracterizan porque todas las líneas de acción de losvectoresquelosconstituyenseencuentranenunmismoplano.

y

x

V2

V3

V1

Figura 1.34 V1, V2 y V3 son vectores coplanares.

Lossistemasnocoplanaressecaracterizanporquelaslíneasdeaccióndelosvectoresqueloconstituyenseloca-lizanendistintosplanos.

Principio de transmisibilidadEmpujar = Jalar

F F

Figura 1.33 F es un vector deslizante si se traslada en su misma dirección.



V2

V1

xy

zFigura 1.35 V1 y V2 son vectores no coplanares.

Sistema de vectores colineales Losvectoressoncolinea-les si las líneasdeacciónde todosellosestán sobreunamismalíneadeacción.

F2 F1

N

W

Figura 1.36 F1 y F2 son vectores colineales, al igual que N y W.

Sistema de vectores concurrentes Silaslíneasdeaccióndedosomásvectoresconcurrenenunpunto,decimosquelosvectoressonconcurrentes.

Elpuntodondeconcurreneselpuntodeaplicacióndelosvectores.

F1

F2F3

F4 F5

Figura 1.37 F1, F2, F3, F4 y F5 son vectores concurrentes.

Sistema de vectores paralelos Dosomásvectoressonpa-ralelossisuslíneasdeacciónsonparalelasentresí.

Fy

Fx

N

W

90°90°

Figura 1.38 Los vectores N y Fy son paralelos.

Suma de vectoresLasumadevectoresnopuedeefectuarsecomolasumadecantidadesescalares,yaqueademásdesumagnituddebenconsiderarsesudirecciónysentido.

La adición de vectores se puede realizar mediantemétodos gráficos y analíticos (aritméticos o algebraicos)utilizando,segúnconvenga,laspropiedadesgeométricasotrigonométricas.

Acontinuaciónseexplicarán losdiferentesmétodosqueseutilizanparaefectuarunaadiciónosumadevec-tores.

Método gráfi co del triánguloRealizagráficamentelasumavectorialA+B siguiendolospasosqueindicamosacontinuación:

1. Seleccionaunaescalaydeterminalalongituddelseg-mentoderectaquecorrespondeacadavector.

2. Apartirdelorigendeunsistemaderectasperpendi-culares,trazaaescalaelsegmentoderectaconlapuntadeflechacorrespondientealvectorAconsurespectivadirec-ción,demodoquecoincidaelorigendelsistemaderectasperpendicularesconelorigendelvectorA.

3. Trazaaescala,consurespectivadirección,elsegmentoderectaconsupuntadeflechaquecorrespondealvectorB,demodoquecoincidalapuntadelaflechadelvectorA(cabeza)conelorigen(cola)delvectorB.

4. LasumadelosvectoresAyBesotrovector,elcualdenotaremosporRydenominaremosvectorresultante.

Al vector resultanteR lodetermina el segmentoderectaconpuntadeflechaqueuneelorigen(cola)delvec-torAconlapuntadelvectorB.

5. Midelalongituddelsegmentoderectaquecorrespon-deal vector resultanteparadeterminar sumagnitud.Ladirecciónsedeterminaconuntransportador.

AR

B

r = dirección de R0

q

y

x

Figura 1.39 Determinación del vector resultante, R.

Lasumadedosvectoresesconmutativa,esdecir:A+B=B+A


50 Física I

y

RA

B

B + A también es igual a R

0 x

Figura 1.40 B + A también es igual a R.

Ejemplo 1.23 Unapersonacamina50mhaciaelSuryluego90mhaciaelEste.Determinalamagni-tudy ladireccióndeldesplazamientoporelmétodográfico.

SoluciónResolveresteproblemarequiereexplicarladiferenciaentredistanciaydesplazamiento,yaqueenfísicaestosconceptosnosignificanlomismo.

Supongamos que sales de tu escuela y caminas600mhaciaelNorteyluego400mhaciaelSur.Ladistanciaquesupuestamentecaminasteesde1000m;sinembargo,larealidadesquetelocalizasa200mdetuescuela.

Ladistancia eslalongituddelatrayectoriadeunmóvilyserefiereaunacantidadescalar,mientrasqueeldesplazamiento eslalongitudydirecciónmedidasdesdeelorigenhastalaposiciónfinal.

Unavezquehemosestablecido ladefinicióndeestosimportantesconceptos,ahorasípodemosresol-verelproblemadenuestroejemplo.

Paso 1 Definamoslaescala:1cm =10m.Paso 2 Tracemosunsistemaderectasperpendiculares entresí(figura1.41).

O

S

E

N

Figura 1.41

Paso 3 Apartirdelorigendelsistemaderectasper-pendiculares,trazamoselprimervectoraescalaconsudireccióncorrespondiente(figura1.42).

d 50alSur1 =

alSur

S

EON

Figura 1.42

N

O E

S

5 cm9 cmd2

d1

Figura 1.43



Paso 4 Tracemosaescala,consudireccióncorrespon-diente,elsegundovectorapartirdelapuntadeflechadelprimervector(figura1.43).

d2

90 m=

alEste

Paso 5 Tracemos el vector resultante D (desplaza-miento)uniendo,medianteun segmentode recta, elorigen del sistema de rectas perpendiculares con elextremodelaflechadelsegundovector(figura1.44).Paso 6 Medimos la longitud del segmento de rectaquecorrespondealdesplazamiento,ydeacuerdoconlaescala,calculamoslamagnituddeldesplazamiento.

Deacuerdoconlafigura1.44,eldesplazamientoesde103ma29°alSurdelEste.(qr=29°)

Parasumartresvectoresomásseguimoslosmis-mospasosdelmétododeltriángulo.

Sinecesitamos sumar los vectoresA,B,C yD,primerosumamoslosvectoresAyB;despuéssuma-moselvectorC,simplementecolocándoloenseguidadelvectorB.Porúltimo,sumamoselvectorDubicán-dolodespuésdelvectorC.

Ésteeselmétodogeneralqueconmayorfrecuen-cia se aplica para determinar gráficamente el vectorresultante de una suma de vectores. El método deltriánguloesuncasomuyparticular.

VR x

y

VR = A→

+ B→

+ C→

+ D→

A→

B→C

→

D→

Figura 1.45 Método gráfico del polígono para sumar vectores.

O

N

E

9 cm

d1

d2

5 cm

Dr

S

qr

Figura 1.44

Ejemplo 1.24 Determinagráficamentelamagni-tudyladireccióndelafuerzaresultantedelsiguientesistemadefuerzas. F1=80Na0° F3=110Na150° F2=100Na45° F4=160Na200°

SoluciónEnlenguajecomúnpodemosdecirqueunafuerzaestodoempuje,jalónotirónqueseejercesobreuncuer-po.Lasfuerzassoncantidadesfísicasvectorialesysuunidaddemedidaenelsieselnewton,denotadoporlaletraN,yelcualsedefinecomo:

1N=1kgm/s2

Aunque estos conceptos los analizaremos másadelante,porahoraconsideremosquelafuerzaesunvectorcuyaunidaddemedidaenelsieselnewton.Paso 1 Definamoslaescala:1cm=20NPaso 2 DibujamosF1

1–1

–2

–1–2

1

2

3

4y

xF1

2 3 4 5


52 Física I

Paso 3 DibujamosF2

1

1

2

3

4

2 3 4

45°

5

y

xF1

F2

Paso 4 DibujamosF3

1

1

2

3

4

5

6

2 3 4

45°

150°

5

y

xF1

F2

F3

Paso 5 DibujamosF4

1

1

2

3

4

5

6

2 3 4

45°

150°

200°

5

y

xF1

F2

F3F4

–1–2–3–4

Paso 6 DibujamoselvectorresultanteFR

1

1

2

3

4

5

6

2 3 4

45°qr

150°

200°

5

y

FR

xF1

F2

F3F4

–1–2–3–4



Paso 7 DeterminamoslamagnitudyladireccióndelvectorresultanteDeacuerdoconlafiguraylaescaladefinidas:R=119Nyqr=142.5°

Método del paralelogramoUnmétodoalternoaldel triánguloparasumardosvec-tores gráficamente es el denominado método del para-lelogramo, el cual consiste en trazar los vectoresque sesumanconsusorígenesjuntos.Delapuntadeflechadecadavectorsetrazaunsegmentoderectaparaleloalquecorrespondealotrovector.

Elvectorresultanteesladiagonaldelparalelogramoquesehaconstruido.

Recuerdaqueenunparalelogramolosladosopuestossonparalelosydeiguallongitud.Además,dosángu-lossuplementariossuman180°.

A→

B→

R→

aθ rθ

Vector R

Resultan

te

Figura 1.46 Suma de los vectores A y B por el método del pa-ralelogramo.

q=ÁnguloformadoporAyBa=180−qqr=DireccióndelvectorresultanterespectoalvectorA

Ejemplo 1.25 Dosfuerzasde120y200N,respec-tivamente,actúansobreunbaúlformandounángulode60°,comoseilustraenlasiguientefigura.

120 N

200 N

F1

F2

60°

Calcula lamagnitud y la dirección de la fuerzaresultanteporelmétododelparalelogramo.

SoluciónTracemoselsistemaderectasperpendicularesdemodoque el eje x contenga la línea de acción del vector:F2=200N.

1

1

2

3

4

76

23

4 60°

120°

5

y

x

F1=200 N

F 2=120 N

FR

q r

Escala:1cm=40NDeacuerdocon lafiguraanteriorycon laesca-

la establecida, lamagnitudde la fuerza resultante es280N,ysudirecciónqres22°respectoalafuerzade200N.

Suma de vectores por métodos analíticos (matemáticos)Analicemosahoralossiguientescasos:

Caso 1.Sumadevectorescolinealesquetienenlamismadirecciónysentido

Cuando dos omás vectores colineales que se van asumartienenlamismadirecciónysentido,lamagnituddelvectorresultanteesigualalasumaalgebraicadelasmag-nitudesdecadaunodeellos,ysudirecciónes lamismaqueladelosvectoresinvolucrados.

Ejemplo 1.26 Sumalosvectores:

D1=5ma0°D2=2ma0°

SoluciónComolosvectorescolinealesD1yD2tienenlamisma direcciónysentido,entonces:

DR=5m+2m=7ma0°


54 Física I

D = 7 m a 0°

5 m

2 m

Caso 2. Suma de dos vectores colineales que tienen la misma dirección pero sentido contrario

Cuandosesumandosvectorescolinealesquetienenlamismadirecciónperosentidocontrario,lamagnituddelvectorresultanteeselvalorabsolutodeladiferenciadelasmagnitudes.Ladirecciónyelsentidosonlosquecorres-pondenalvectordemayormagnitud.

Ejemplo 1.27 Calculalamagnitudydireccióndelossiguientesvectores:

D1=6kmalNorteD2=4kmalSur

SoluciónVR=|6km−4km|alNorteVR=2kmalNorte

4 km

N

6 km

O

O E

S

E

R = 2 km al Norte

Caso 3. Suma de dos vectores cuyas líneas de acción son perpendiculares entre sí

Cuandosesumandosvectorescuyaslíneasdeacciónsonperpendiculares,éstos, juntoconelvectorresultante,formanuntriángulorectángulo.

R

90°

V2

y

xV1

θ

LamagnituddelaresultanteRsedeterminaporme-diodelteoremadePitágoras:

R V V

R V V

212

22

12

22

= +

= +

ElánguloqentreRyV1secalculaapartirdelasi-guienterazóntrigonométrica:

VV

tan 2

1

θ =

Ejemplo 1.28 Unapersonacamina20mhaciaelOesteyluego15malNorte.Determinalamagnitudydireccióndeldesplazamiento.

Solución

y

R15 km

20 kmx

q r

q

Primero calculamos la magnitud del desplaza-mientoaplicandoelteoremadePitágoras:

R2=(20m)2+(15m)2

R2=400m2+225m2

R2=625m2

R2= 625m2

R=25m

Ahora determinamos la dirección del desplaza-miento.Deacuerdoconeltriángulodelafiguraan-terior,tenemos:

tan 1520

θ =

tanq=0.750

q=arctan0.75

q=36.9°

Ladireccióndeldesplazamientoes36.9°alNortedelOesteobien,143.1°.Observaque

qr=(180−36.9)°=143.1°

Caso 4. Suma de dos vectores que no son colineales ni perpendiculares entre síCuandosesumananalíticamentedosvectoresquenosoncolinealesniperpendicularesentre sí aplicamos las leyesdecosenosysenos.

a) Leydecosenos



qa

a

bc

c a b ab2 cos 2 2 2 α= + −

b) Leydesenos

b csen sen θ α

= ,luego

bc

sen sen θ

α=

Ejemplo 1.29 Unbarconavega40.0kmhaciaelEste, luegogiraynavega60.0kmalnoreste.Deter-minalamagnitudydireccióndeldesplazamientodelbarco.

SoluciónSeaDelvectordeldesplazamientodelbarco.

q r

a45°

N

O

S

E

60.0 kmD

40.0 km

Primero calculamos la magnitud del desplaza-miento. De acuerdo con la ley de cosenos y con eltriángulodelafiguraanterior,tenemos:

D2=(40.0km)2+(60.0km)2−2(40.0)(60.0)cosa

Observaquea=(180−45),osea135°:

D2=1600km2+3600km2−4800(−0.7071)D2=8594.08km2

D=92.7km

Ahora determinamos la dirección del desplaza-mientoaplicandolaleydesenos.

r

r

r

sen 60.0

sen 135º92.7

sen 60.0 sen 135º92.7

sen 60(0.7071)92.7

θ

θ

θ

=

=

=

r

r

r

sen 60.0

sen 135º92.7

sen 60.0 sen 135º92.7

sen 60(0.7071)92.7

θ

θ

θ

=

=

=

senqr=0.4576qr=sen−10.4576qr=27.2°

Ladireccióndeldesplazamientoes27.2°alNortedelEste.

Caso 5. Suma de dos vectores de origen común y no co-lineales

Ejemplo 1.30 Unbaúlesremolcadopormediodedoscablesqueformanentresíunángulode70°.Silasfuerzassobreloscablesson150y240N,respectiva-mente,calculalamagnitudyladireccióndelafuerzaresultante.

Solución

150 N

240 N

F1

F2

70°

Siseaplicaelmétododelparalelogramotenemos:

qr

FR70°

110°

150 N

150 N

240 N

Deacuerdoconlaleydecosenos:

FR2=(150N)2+(240N)2−2(150N)(240N)cos110°

FR2=22500N2+57600N2−(− 24625.45N2)

FR2=104725.45N2

FR=323.61N

El resultadodebe tener tres cifras significativas;portanto,alredondearqueda:

FR=324N


56 Física I

Ahorasecalculaladireccióndelafuerzaresultan-teaplicandolaleydelossenos:

150 N

FR = 324 N

240 N

q R

110°

sen 150 N

sen 110º324 N

sen 150 N (sen 110º)324 N

R

R

θ

θ

=

=

senqR=0.4350

qR=sen−10.4350

qR=25.78°

Alredondearqueda:qR=25.8°

Componentes perpendiculares de un vectorEnestecapítuloaprendimosqueaunconjuntodevecto-resqueactúansobreunmismopuntopuederemplazarlosunvectorresultante.

Asimismo,unvectorpuedeconsiderarsecomolare-sultantededosvectorescondireccionesdiferentesaladeloriginal.Estosvectoresseconocencomovectores compo-nentes del vector. En esta sección sólo analizaremoslosvectorescomponentesrectangularescuyasdireccionessonlaverticalylahorizontal.

El proceso de determinar los vectores componentes

deunvectorsellamaresolución de vectores.Enlareso-lucióndeunvectorseutilizanlasproyeccionesdeéstealolargo de un sistema de coordenadas rectangulares.Estas proyecciones se denominan proyecciones componentes

del vector.ConsideremosunvectorVqueselocalizaenunsistema

decoordenadasrectangularesyqueformaunánguloqconelejexpositivo,comoseilustraenlafigura1.47.

y

θ

V

x

Figura 1.47

LaproyeccióndelvectorValolargodelejex, deno-tadaporVx, sellamacomponentex deVysuproyecciónalolargodelejey, denotadoporVy,sellamacomponentey deV.

y

x

v

q0

vy

vx

Figura 1.48

LoscomponentesoproyeccionesVxyVy nosonvec-tores,soncantidadesescalaresconsigno,locualnosper-miteefectuaroperacionesdesuma,resta,multiplicaciónydivisión.LoscomponentesVxyVysonnúmerospositivosonegativosconunidaddemedida.

Dadoquelosvectorescomponentessonperpendicu-laresentresí, formanuntriángulorectángulocuyamagni-tuddelvectorVeslaquecorrespondealalongituddelahipotenusa.Así,deacuerdoconlosprincipiosdelatrigo-nometríayelteoremadePitágoras,tenemos:

VV

sen yθ = ⇒ Vy=Vsenq

VV

cos xθ = ⇒ Vx=Vcosq

V 2= 2 2V Vx y+ . VV

tan y

x

θ =

q

V Vy

Vx

Elsignode loscomponentesrectangulares lodeter-minaelcuadranteendondeselocalizaelvectorV.Obser-valassiguientesfiguras:Primer cuadrante

Vx(+)Vy (+)

0

y

xθVx (+)Vy (+)

Figura 1.49



Segundo cuadrante

Vx(−)Vy (+)

qR=Ángulodereferencia=180−q

x

y

V

RθVx (-)Vy (+)

θ

Figura 1.50

Tercer cuadrante

Vx(−)Vy (−)

qR=q−180

y

V

xRθ

Vx (-)Vy (-)

θ

Figura 1.51

Cuarto cuadrante

Vx(+)Vy (−)

qR=360−q

x

y

Rθ

Vx (+)Vy (-)

θ

V

Figura 1.52

Ejemplo 1.31 Determinaloscomponentesrectan-gularesdelvectorF=80.0Na40°.

Solucióny

x40°

Fx=80.0Ncos40°

Fx=61.3N

Fy=(80.0N)sen40°

Fy=51.4N

Ejemplo 1.32 Determinaloscomponentesrectan-gularesdelvectorD=500ma120°.

Solucióny

D

x120°

Dx=Dcos120°Dx=500m(cos120°)Dx=−250mDy =Dsen120°Dy =500m(sen120°)Dy=433m

Ejemplo 1.33 Determinaloscomponentesrectan-gularesdelvectorV=80m/salsuroeste.

Solución

q = 225°

45°

N

O

S

E

V


58 Física I

Observaqueq=180°+45°=225°

Vx =Vcosq

Vx=(80.0m/s)(cos225°)

Vx=80.0m/s(−0.707)

Vx=−56.6m/s

Vy=Vsenq

Vy=(80.0m/s)(sen225°)

Vy=80.0m/s(−0.707)

Vy=−56.6m/s

Ejemplo 1.34 Determinaloscomponentesrectan-gularesdelvectordelasiguientefigura.

y

F

60.0 N

x20°

SoluciónObservaque20°eslamedidadelángulodereferencia(ánguloqueformaelvectorconelejex).

q=360°−qR

q=360°−20°

q=340°

q = 340°

F

y

x

Fx=Fcosq

Fx=60.0N(cos340°)

Fx=56.4N

Fx=56.4NFy=60.0N(sen340°)

Fy=−20.5N

Suma de vectores por el método de los componentesLasolucióndevectores,esdecir,ladescomposicióndeunvectorensuscomponentes,sepuedeutilizarparasumarvectores.Elprocedimientoconsisteenlossiguientespa-sos:

1. Determinar el componente horizontal y vertical decadavector.

2. Sumarloscomponenteshorizontalesparaobtenerunvectorenladirecciónhorizontal,denotadoporRx.

3. Sumar los componentes verticales para obtener unvectorenladirecciónvertical,denotadoporRy.

4. ElvectorresultantesedeterminaporlasumavectorialRx+RyydadoqueRxyRysonperpendicularesentresí,entonces:R2=Rx

2+Ry2

Ry

Rx

α

tana= RRy

x

α = endondea es el ánguloque formael vectorresultanteconelejex.

Representaremos la dirección del vector resultanteporelsímboloq.

Acontinuaciónmostraremoscómodeterminarlame-didadeánguloqsegúnelcuadrantedondeselocaliceelvectorresultante.

Caso 1 SiRxyRytienensignopositivo,laresultanteRxselocalizaenelprimercuadrante.Enestecaso:a=q.

Ry

R

y

xRx

α = q

Caso 2SiRxesnegativoyRypositivo,elvectorresultanteselocalizaenelsegundocuadrante. Enestecaso:q=180°−a.



RyR

Rx

q = 180°– αα

Caso 3RxyRysonnegativos.Enestecaso,elvectorresul-tantequedaeneltercercuadrante,entonces:q=180°+a.

Ry

Rx q = 180°+ α

α

y

x

Caso 4RxtienesignopositivoyRynegativo.Enestecaso,el vector resultante queda en el cuarto cuadrante y: q =360°−a.

Ry

Rx

q = 360° – α

q

α

y

A

Ejemplo 1.35 Calcula lamagnitudy ladireccióndelvectorresultantedelsiguientesistemadefuerzas.

60° 40°

20° 15°

F1 = 140 N F2 = 60 N

F3 = 100 N

F4 = 30 N F5 = 100 N

F6 = 80 N

y

x

SoluciónDeacuerdoconlafigura,ladireccióndecadaunadelasfuerzases:

q1=60°q2=(180−40)°=140°q3=180°

q4=(180+20)°=200°

q5=270°

q6=(360−15)°=345°

Entonceslosvectoresson:

F1=140Na60°

F2=60Na140°

F3=100Na180°

F4=30Na200°

F5=100Na270°

F6=80Na345°

Determinemos a continuación los componentesrectangularesdecadavector:

Fx=Fcosq

Compruebaque:

F1x=70.0N

F2x=−46N

F3x=−100N

F4x=−28N

F5x=0N

F6x=77N

Rx=−27N

Fy=Fsenq

Compruebaque:

F1y=121N

F2y=39N

F3y=0N

F4y=−10N

F5y=−100N

F6y=−21N

Ry=29N

Deacuerdoconloanteriortenemos:

R

– 27 N

q qR

y

29 N

x


60 Física I

R2=(−27N)2+(29N)2

R2=729N2+841N2

R2=1570N2

R=39.6N≈40N

Observa que redondeamos 39.6 N a dos cifrassignificativas.

tan 2927

tan 2927

R

R1

θ

θ

=

= −

tan 2927

tan 2927

R

R1

θ

θ

=

= −

qR=47°

q=180°−47°

q=133°

Lamagnitudde la fuerza resultanteesde40Na133°.


I. Realizalasumadelossiguientesvectorescolineales.1. D1=40malOeste

D2=30malOeste2. D1=400malSur

D2=80malSur

3. F1=4Na0°F2=9Na180°

4. F1=60Na90°F2=75Na270°

5. V1=8m/salEsteV2=12m/salOeste

6. D1=70malNorteD2=90malSur



7. V1=15m/sa20°V2=10m/sa200°

8. F1=15Na0°F2=15Na180°

II. Sumadedosvectorescuyaslíneasdeacciónsonperpendicularesentresí.1. Determinalamagnitudyladireccióndelafuerzaresultantedelsiguientesistemadefuerzas:

F1=40Na90°F2=30Na0°

FR qr

a) 60N a) 53.1°b) 50N b) 60°c ) 56N c ) 48°d ) 45N d ) 50°

2. Unhombrecamina400mhaciaelOesteyluego200mhaciaelNorte.Determinalamagnitudyladireccióndeldesplazamientoresultante.

Dr qr

a) 460m a) 26.6°alnortedelOesteb) 438m b) 26.6°alsurdelOestec ) 465m c ) 32°alnortedelOested ) 447m d ) 20°alnortedelOeste

3. UnaviónquevuelahaciaelOestea250km/hesempujadohaciaelSurporunaráfagadevientode50.0km/h.¿Cuáleslamagnitudyladireccióndelavelocidadresultantedelavión?

VR qr

a) 255km/h a) 13°alsurdelOesteb) 270km/h b) 15°alsurdelOestec ) 240km/h c ) 11.3°alsurdelOested ) 248km/h d ) 18°alsurdelOeste


62 Física I

4. Unapersonacamina50.0mhaciaelSur,yluego,80.0mhaciaelEste.Calculalamagnitudyladireccióndeldespla-zamientoresultante.

DR qr

a) 99.0m a) 40°alsurdelEsteb) 92.0m b) 32°alsurdelEstec ) 94.3m c ) 46°alsurdelEsted ) 100m d ) 58°alsurdelEste

III. Sumadedosvectoressinorigencomúnycuyaslíneasdeacciónnosonperpendicularesentresí.1. Unaviónvuela400kmhaciaelEste,luegocambiaderutayvuela500kma60°alnortedelEste.Determinalamag-

nitudydireccióndeldesplazamientoresultante.

60°

N

O

S

E

500 km

400 km

DR =781km q =33.7°≈34°alnortedelEste

2. Unaviónvuela200kmhaciaelEste,luegocambiaderutayvuela100kmhaciaelsuroeste.Determinalamagnitudydireccióndeldesplazamientoresultante.

45°

N N

S

O E

100 k

m

200 km

DR =147km q =28.75°≅29°alsurdelEste



3. Unbarconavega80.0kmhaciaelOesteyluego30.0kmhaciaelsuroeste.Determinalamagnitudydireccióndeldesplazamientoresultante.

45°

N

S

N

S

E

30.0 km

80.0 km

DR =103km q =11.9°≅12°alsurdelOeste

4. Siunautorecorre26.0kmhaciaelNorteyluegorecorre62.0kma30°alnortedelEste,¿cuáleslamagnitudydi-reccióndeldesplazamientoresultante.

30°

qR

DR

a

N

O E

S

62.0 km

26.0 km

DR =78.3km q =46.7°≅47°alnortedelEste

5. Dosfuerzasde40.0Ny60.0N,respectivamente,actúansobreunacaja.Sielánguloentrelasdosfuerzasesde60°,determinalamagnitudydireccióndelafuerzaresultanteconrespectoaF2.

40.0 N

60.0 N

F1

F2

60°

FR =87.2N qR =23.4°≅23°respectoalafuerzade60N


64 Física I

6. Dosfuerzasde30.0Ny40.0N,respectivamente,seaplicansobreunmismocuerpo.Sielánguloentrelasdosfuerzasesde25.0°,calculalamagnitudydireccióndelafuerzaresultanteconrespectoaF2.

30.0 N

40.0 N

F1

F2

25.0°

FR qrconrespectoaF2

a) 60.8N a) 10.7°b) 62.0N b) 13°c ) 68.4N c ) 12°d ) 72.5N d ) 20°

7. Dosfuerzasde600.0Ny750.0N,respectivamente,seaplicansobreunautoparaarrastrarlo.Sielánguloentrelasdosfuerzasesde50°,calculalamagnitudydireccióndelafuerzaresultanteconrespectoaF2.

F1

F2

750 N

600 N

50°

FR qrconrespectoaF2

a) 1225N a) 18°b) 1300N b) 26°c ) 1180N c ) 32°d ) 1200N d ) 22°

8. Calculaloscomponentesrectangularesdeundesplazamientode80.0ma150°.

Dx Dy

a) 40m a) −69.2mb) 69.3m b) 40.0mc ) −69.3m c ) −40.0md ) −40m d ) 69.2m



9. ¿Cuálessonloscomponentesrectangularesdeunafuerzade64.0Na300°?

Fx Fy

a) −55.4N a) 32.0Nb) 55.4N b) −32.0Nc ) 32.0N c ) −55.4Nd ) −32.0N d ) 55.4N

10. Deacuerdoconelsiguientesistemadefuerzas,calculalamagnitudydireccióndelafuerzaresultante.

30° 40°

F1

F2

y

x 60.0 N

85.0 N

FR qR

a) 85.6N a) 85°b) 90.0N b) 99°c ) 92.4N c ) 115°d ) 80.0N d ) 105°

11. Determinalamagnitudyladireccióndelafuerzaresultantedelsiguientesistemadefuerzas.

40°

55°

F1

F2

y

x

56 N

43 N

FR qR

a) 70.4N a) 205°b) 60.0N b) 175°c ) 67.5N c ) 195.6°≈196°d ) 75.2N d ) 215°


66 Física I

12. ¿Cuáleslamagnitudydireccióndelafuerzaresultantedelsiguientesistemadefuerzas?

30° 20°

y

x

50.0 N 80.0 N

FR qr

a) 66.9N a) 300°b) 55.0N b) 280°c ) 61.3N c ) 320°d ) 70.6N d ) 291°

13. Deacuerdoconelsiguientesistemadefuerzas,hallalamagnitudydireccióndelafuerzaresultante.F1=60.0Na45° F2=20.0Na90° F3=40.0Na300°

FR qr

a) 76.1N a) 20°b) 60.4N b) 32°c ) 68.3N c ) 24°d ) 62.06N d ) 29°

Fx1= Fy1=

Fx2= Fy2=

Fx3= Fy3=

Rx= Ry=

Diferencia de vectoresPara determinar la diferencia de vectores A − B proce-demosadeterminarlasumavectorialA+(−B),dondeelvector−BeselnegativodeB.

ElvectorBysunegativo−Bsonvectoresparalelosdeigualmagnitudperodesentidocontrario.

B→

−B→

Figura 1.53

B y −

B son vecto-res paralelos de igual magni-tud pero de sentido contrario.

Enlasiguientefiguraseilustracómoobtenerladife-renciavectorial.

R

A

B

R = A + (−B) = A − B→ → → → →

−B

Figura 1.54 Diferencia vectorial.


1. Elabora una lista de cantidades físicas presentes ennuestroentornoinmediato,dondeesposibleobservarcuáles son lasmagnitudesescalaresycuáles sonvec-toriales.

2. Redactauninformedondeseobservelaaplicacióndelosvectoresdemaneracotidiana.

3. MarcaconunaX,segúnlamagnitudquecorresponda,lacantidadfísicaqueseteindica.

Magnitud Escalar VectorialTemperaturaMasaTiempoDesplazamientoÁreaAceleraciónDistanciaVolumenVelocidadFuerzaDensidad



1. ( )Lascantidadesfísicasvectorialestienen…a) sólomagnitudb) sólodirecciónc) sólosentidod) todoloanterior

2. ( )Lascantidadesfísicasescalarestienen…a) sólomagnitudb) sólodirecciónc ) sólosentidod ) todoloanterior

3. ( )Esunacantidadfísicavectorial:a) distanciab) masac ) desplazamientod ) tiempo

4. ( )Esunacantidadfísicaescalar:a) desplazamientob) fuerzac ) masad ) velocidad

5. ( )Unapersonacamina100mhaciaelNorteysedetie-neacompraruncafé.Despuéscontinúasurutaenlamis-madirecciónycamina400m.Porúltimo,decidecaminarhaciaelSury recorre600m.Determina lamagnitudydireccióndeldesplazamientoresultante.a) 1100mb) 100mhaciaelNortec ) 100mhaciaelSurd ) 100m

6. ( )Unapersonacamina400malEsteyluego100malOeste.Calculalamagnitudydireccióndeldesplazamien-toresultante.a) 500malEsteb) 300malOestec ) 300malEsted ) 500malOestee) 300m

Unautomóvilrecorre16kmalEsteyluegotomalacarreterahaciaelNorteyrecorre10km.Deacuerdoconestosdatos,respondelaspreguntas7y8.7. ( )¿Cuáleslamagnituddeldesplazamientoresultante?

a) 22kmb) 28kmc ) 19kmd ) 26km

8. ( )¿Cuálesladireccióndeldesplazamientoresultante?a) 28°alnortedelEsteb) 35°alnortedelEste

c ) 58°alnortedelEsted ) 32°alnortedelEste

UnaviónsedesplazahaciaelOesteyrecorre300km.Des-puéscambiadedirecciónhaciaelNortey recorre400km.Respondelaspreguntas9y10.

9. ( )¿Cuáleslamagnituddeldesplazamientoresultante?a) 700kmb) 480kmc ) 600kmd ) 500km

10. ( )¿Cuálesladireccióndeldesplazamientoresultante?a) 62°alnortedelOesteb) 58°alnortedelOestec ) 53.1°alnortedelOested ) 50°alnortedelOeste

Unavióntomasurutadesdeelaeropuertoyvuela200kmhaciaelEste,yluegorecorre300kma60.0°alnortedelEste.Respondelaspreguntas11y12.

11. ( ) ¿Cuál es lamagnitud del desplazamiento resul-tante?a) 436kmb) 410kmc ) 280kmd ) 470km

12. ( )¿Cuálesladireccióndeldesplazamientoresultante?a) 42°alnortedelEsteb) 36.6°alnortedelEstec ) 30°alnortedelEsted ) 40°alnortedelEste

Dosfuerzasde60.0Ny80.0N,respectivamente,seaplicansobreunmismocuerpo.Sielánguloentrelasdosfuerzasesde35°,respondelaspreguntas13y14.

13. ( )¿Cuáleslamagnituddelafuerzaresultante?a) 134Nb) 128Nc ) 140Nd ) 183.4N

80.0 NF1

F2

60.0 N

35°


68 Física I

14. ( )¿Cuálesladireccióndelafuerzaresultanterespectoalafuerzade60.0N?a) 25.0°b) 17.0°c ) 20.0°d ) 27.0°

Deacuerdoconelsiguientesistemadefuerzas,contestalaspreguntas15y16.

30.0°

25.0°

F1 = 45.0 N

F2 = 90.0 N

F3 = 24.0 NF4 = 30.0 N

y

x

15. ( )¿Cuáleslamagnituddelafuerzaresultante?a) 0.30Nb) 35Nc ) 30.6Nd ) 28.2N

16. ( )¿Cuálesladireccióndelafuerzaresultante?a) 211°b) 205°c ) 221°d ) 240°

Respectoalasiguientefigura,contestalaspreguntas17,18y19.

R→

P→

Q→V

→

1

V→

2

A B

C D

17. ( )¿CuáldelosvectorescorrespondenalasumaV1+ V2?a) Pb) Qc ) R

18. ( )¿CuáldelosvectorescorrespondenaladiferenciaV1−V2a) Pb) Qc ) R

19. ( )¿Cuáldelosvectorescorrespondena−V1?a) Pb) Qc ) R

Comunicar para aprender

1. Explica con tuspropiaspalabras ladiferencia entreunconocimientocotidianoyunocientífico.

2. Mencionalasetapasdelmétodocientífico.3. Explica la diferencia entre las ciencias formales y las

cienciasfactuales.4. Explicaaunodetuscompañerosporquésonnecesarias

unidadespatrónoestándarenelprocesodelamedición.5. Explicaaunodetuscompañeroscomoexpresar108km/h

enm/s.6. Explicacontuspropiaspalabrascomoconvertir20m/s

akm/h.7. Explicaaunodetuscompañerosenquécasosesimpor-

tantelanotacióncientífica.8. Explicacómoexpresar0.00000078ennotacióncientífica.9. Explicacontuspropiaspalabrascómoexpresar

98000000000000ennotacióncientífica.10. Mencionalostiposdeerroresquesecometenenlame-

dición.11. Explícaleaunodetuscompañerosquésonlascifrassig-

nificativas.

12. Explica con tuspropiaspalabras ladiferencia entreunvectoryunescalar.

13. ExplícaleaunodetuscompañeroscómosedeterminanloscomponentesrectangularesdelvectorF=40Na30°.

14. Conrespectoalsistemadefuerzaquecorrespondealaspreguntas15y16detuevaluación(pág.68),explicaaunodetuscompañeroscómohallarlamagnitudyladi-reccióndelafuerzaresultante.

15. Explica con tus propias palabras cómo sumar vectoresporelmétodográficodelpolígono.

d1=8m→x

40°d2=6m→

y

Explica aunode tus compañeros cómohallar la sumadelosvectoresa→yb→delafiguraanterior,pormétodosanalíticos.


Autoevaluación

Indicadores de desempeño

Nivel

Exc

elen

te

Bue

no

Ele

men

tal

Insu

ficie

nte

1. Establecelainterrelaciónentrelacienciaylatecnología.

2. Fundamentaelimpactodelacienciaylatecnologíaensuvidacotidiana.

3. Distingueunconocimientocientíficodeunocotidiano.

4. Reconocealmétodocientíficocomoelinstrumentodelainvestigacióncientífica.

5. Reconocelasetapasdelmétodocientífico.

6. Fundamentalaimportanciadelamedición.

7. Reconocelosdiferentessistemasdemedición.

8. Realizalaconversióndeunidadesdemedición.

9. Distingueunacantidadfísicafundamentaldeunaderivada.

10. Fundamentalaimportanciadelanotacióncientífica.

11. Expresacantidadesmuygrandesomuypequeñasennotacióncientífica.

12. Efectúaoperacionesennotacióncientífica.

13. Distinguelosdiferentestiposdeerroresenlamedición.

14. Determinalaprecisiónylaincertidumbre(errorabsoluto)deunamedición.

15. Comprendeelconceptodecifrasignificativa.

16. Efectúaoperacionesconcifrassignificativas.

17. Distingueladiferenciaentreunvectoryunescalar.

18. Representagráficamenteunvector.

19. Sumavectoresporelmétodográficoypormétodosanalíticos.




Bloque 2Identifica diferencias

entre distintos tipos

de movimiento

Conocimientos

• Movimiento unidimensional• Movimiento rectilíneo uniforme, mru

• Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, mrua

• Caída libre• Movimiento en dos dimensiones• Movimiento circular

Desempeños• Define conceptos básicos relacionados con el movimiento.• Identifica las características del movimiento de los cuerpos en una y dos dimensiones.• Reconoce y describe, con base en sus características, diferencias entre cada tipo de movi-

miento.

Competencias que se busca desarrollar• Identificaproblemas, formulapreguntasdecarácter científicoyplantea lashipótesisnecesarias

pararesponderlas.• Obtiene,registraysistematizalainformaciónpararesponderpreguntasdecaráctercientíficome-

diantelaconsultadefuentesrelevantesylarealizacióndeexperimentospertinentes.• Contrastalosresultadosobtenidosenunainvestigaciónoexperimentoconhipótesispreviasycomu-

nicasusconclusionesenequiposdiversosrespetandoladiversidaddevalores,ideasyprácticassociales.• Valoralaspreconcepcionespersonalesocomunessobrediversosfenómenosnaturalesapartirde

evidenciascientíficas.• Haceexplícitaslasnocionescientíficasquesustentanlosprocesosparalasolucióndeproblemas

cotidianos.• Explicaelfuncionamientodemáquinasdeusocomúnapartirdenocionescientíficas.• Relacionalasexpresionessimbólicasdeunfenómenodelanaturalezaylosrasgosobservablesa

simplevistaomedianteinstrumentosomodeloscientíficos.• Analizalasleyesgeneralesquerigenelfuncionamientodelmediofísico.• Proponemanerasdesolucionarunproblemaodesarrollarunproyectoenequipodefiniendoun

cursodeacciónconpasosespecíficos.• Aportapuntosdevistaconaperturayconsideralosdeotraspersonasdemanerareflexiva.• Dialogayaprendedepersonascondistintospuntosdevistaytradicionesculturalesmediantela

ubicacióndesuspropiascircunstanciasenuncontextomásamplio.• Asumequeelrespetodelasdiferenciaseselprincipiodeintegraciónyconvivenciaenloscontextos

local,nacionaleinternacional.


Respondelassiguientespreguntasconbaseenloqueaprendistedefísicaenlasecundariayenloquetuexperienciacotidianatehamostrado.

1. ¿Quésignificadesplazamiento?

2. ¿Hayalgunadiferenciaentredesplazamientoydistancia?

3. ¿Quéesunatrayectoria?

4. ¿Quésignificanparatilostérminosvelocidadyrapidez?;¿sonlomismoohayalgunadi-ferenciaentreellos?

5. ¿Quéentiendesporaceleración?

6. ¿Cuántasclasesdemovimientoconoces?

7. Cuandosueltasunobjetodesdeciertaaltura,éstecae,¿porqué?

8. ¿Quéocurrecuandolanzasunobjetohaciaarribaenformavertical?

9. Unbalónalserpateado,unabaladecañónalserdisparadaycualquierobjetolanzadohaciaarribayalfrentedescribenunciertotipodemovimiento,¿sabesquénombrerecibeéste?

10. ¿Quéesunradiányacuántosgradossexagecimalesequivale?

11. ¿Quésignificaparatielconceptomovimiento circular uniforme?


movimiento

mecánica

cinemática

dinámica

partícula material

marco de referencia

sistema de referencia

sistemas inerciales


absoluto


relativo

vector de posición

vector desplazamiento

rapidez

velocidad

rapidez promedio

rapidez constante

velocidad media o promedio

aceleración

desaceleración

rapidez instantánea

velocidad instantánea

aceleración instantánea

Movimiento unidimensional

Tema I

Defi nición de conceptos

MovimientoLaformamássimpledemovimientoeneluniversoeslaqueexperimentaunobjetocuandocambiasuposiciónenelespaciorespectoaotroeneltranscursodeltiempo.Aestecambiodeposiciónse leconocecomomovimiento mecánico.

Laramadelafísicaclásicaqueestudiaelmovimientodelosobjetoseslamecánica,lacualsesubdivideencine-máticaydinámica.

Modelo de partícula materialPararepresentaryestudiarelmovimientodeunobjetoseestablecióelconceptodepartícula material.Estapartícu-laabstractaseconsideracarentededimensionesespacia-les,aligualqueunpuntogeométrico,peroocupaunlugarenelespacioypuedecambiarsuposiciónenél.

Planeta

t4

t3

t1

t2

A A

Sol

Figura 2.1 Esquema de la distancia entre el Sol y los planetas.

Considerarunobjetocomounapartículamaterialrequie-re que sus dimensiones seanmuy pequeñas comparadascon lasdimensionesdesutrayectoria.Porejemplo,con-sideraelmovimientodelosplanetasalrededordelSol.Apesardesusgrandesdimensiones,losplanetassepuedenconsiderarcomopartículasmaterialesporque su tamañoesdespreciable(esdecir,muypequeño)respectoaladis-tanciaquelosseparadelSol.

La formulaciónde la partículamaterial se establececonelfindeestudiarelmovimientoprincipaldeunobjetosinconsiderar susmovimientos internos.Porejemplo, siqueremosdescribirelmovimientodeunavión,noconsi-deramoslosmovimientosinternosqueexperimentanlosobjetosypersonasqueviajanensuinterior.

Defi nición de cinemáticaEl cambio de posición de una partícula material de unpuntodereferenciaaotrocorrespondeaundesplazamien-toquepuedeserunatraslaciónsitodaslaspartículasdelobjeto experimentan losmismos desplazamientos en unintervalodetiempodado;obien,unarotaciónsitodaslaspartículasdedichocuerposemuevenenuncírculocuyocentroeselpuntodereferenciayésteseubicasobreunalínearectallamadaeje de rotación.Tambiénesposiblelaconjugacióndeunatraslaciónconunarotación.

La razón de cambio del desplazamiento respecto altiempoeslavelocidaddelobjeto.Lavelocidadeslinealenelcasodeunatraslación,yangularenelcasodeunarotación.

Larazóndecambiodelavelocidadrespectoaltiempoeslaaceleraciónqueexperimentalapartículaensumovi-miento,yaligualquelavelocidad,eslinealparatraslacio-nesyangularrespectoalasrotaciones.


74 Física I

La utilización de todos estos conceptos (desplaza-miento, velocidad, aceleración,distancia y rapidez)posi-bilita describir elmovimientodeunapartículamaterial.Deestamanerasedesarrollólacinemáticacomolaramadelamecánicaqueestudiaabstractamenteladescripcióndelmovimientodelosobjetosensuaspectomássimple,considerándolocomounmerocambioespacio-temporal,perosintomarencuentalascausasqueloproducenomo-difican,nitampocosusefectos.

Lacinemáticaeslaramadelamecánicaqueestudialadescripcióndelmovimientodelosobjetos,conside-rándolocomounarelacióndecambioespacio-tem-poralsinconsiderarlascausasqueloproducen,omo-difican,nisusefectos.

Definición de dinámicaLos cambios que experimentan los objetos en sumovi-mientosonproductodeciertascausasyasuvezgenerandeterminadosefectos.Dichodeotramanera,siunobjetoenrepososeponeenmovimientoosiestáenmovimientoy su velocidad experimenta un cambio demagnitud, dedirecciónodeambascaracterísticas–loquesedebea laaccióndealgunafuerzaoalaconjugacióndevariasfuer-zas–,laconsecuenciaserálarealizacióndedeterminadoscambiosdebidosalareacciónquesurgeinevitablemente.

Laconsideraciónde lasfuerzasqueproducenomo-dificanelmovimientodelosobjetosoqueseoponenasurealizaciónconstituyeelcampodeestudiodeladinámica.

Ladinámica es la ramade lamecánica que estudiaelmovimientodelosobjetosconsiderandolascausas(fuerzas)queloproducenomodifican.

Marco de referencia y sistemas de referenciaElmovimientodetodoloqueexisteesuniversal;detalma-neraquetodoslosobjetosyeluniversoensuconjuntoestánenmovimiento.Sinembargo,paradescribirodeterminarelmovimientodeunobjetoesimperativoreferirloaalgúnotroobjetoquesirvacomomarcoopuntodereferencia.

Un marco de referencia es una entidad física cual-quiera;porejemplo,unposte,unacasa,unvehículoenmovimiento,unaviónounplaneta.

Figura 2.2 Ejemplos de marcos de referencia.

Carácter relativo del reposo y del movimientoElreposoyelmovimientodeunobjetosonrelativos;esdecir,dependendelacondicióndelobjetorespectoalmar-codereferenciaestablecido.Porejemplo,unposteyunacasaestánenreposorespectoa laTierra,peroenmovi-mientorespectoalSol.

Decimosqueunobjetoestáenmovimientorespectoasumarcodereferenciacuandocambiasuposicióneneltranscursodeltiemporespectoadichomarco.Sinohaycambiodeposición,decimosqueestáenreposo.Porejem-plo,unapersonasentadaenunodelosasientosdeunautoenmarchaseencuentraenmovimientorespectoalaTie-rra,peroenreposorespectoadichoauto.Porelcontrario,unárbol,unposteounsemáforoestánenreposorespectoalaTierra,peroenmovimientoencuantoalauto.

Analicemoselsiguienteejemplo.SupongamosqueuntrenviajahaciaelEsteaunavelocidadde40km/h.Siunapersonaqueviajaeneltrencaminaaunavelocidadde2.0km/henlamismadirecciónysentido,entonces,respectoalaTierra,suvelocidadseráde:

40 kmh

2.0 kmh

42 kmh

+ =

SilapersonacaminaalamismavelocidadperohaciaelOeste,suvelocidadrespectoalaTierraseráde:

40 kmh

2.0 kmh

38 kmh

− =


Tema 1 Movimiento unidimensional 75

SiunautoviajaalamismavelocidaddeltrenhaciaelEste,lavelocidaddeltrenrespectoalautoescero;esdecir,eltrenrespectoalautoestáenreposo,yviceversa.

Sistema de referenciaAlconsiderar el carácter relativodel reposoydelmovi-mientoy lanecesidaddedescribir elmovimientodeunobjeto,elobservadordebedefinirunsistemadereferenciarespectodel cual analizar elmovimiento.Un sistemadereferenciaseconstituyede:

• Unobjetoquecumplelafuncióndemarcodereferencia.• Unsistemadeejesdecoordenadasasociadoalmarco

dereferencia.• Laindicacióndelinstanteenelcualseempiezaaana-

lizarelmovimiento.

X

Z

YO

Figura 2.3 Un sistema de referencia.

Medianteunsistemadereferenciapodemosdetermi-narlaposicióndeunobjeto,yaseaqueésteseencuentreenmovimientooenreposo.Silascoordenadasdelapo-sicióndeunobjeto cambian, está enmovimiento; de locontrario,estáenreposo.

x2x1x0

x

Figura 2.4 Dado que en este ejemplo se presenta un cambio de coordenadas, podemos decir que el auto está en movimiento.

Sistemas de referencia absolutos y relativosEn laantigüedad, los físicos creíanen la existenciadeunsistemade referencia absoluto.Bajo este sistema, para unobservadorqueestuvieraenreposo, lascantidades físicas,

desplazamiento, velocidad y aceleración tendrían sus va-lores absolutos o verdaderos. Sin embargo, dado que fueimposible establecer un sistema de referencia absoluto yestá comprobado que no existe ningún objeto en reposoabsoluto,esteplanteamientosedesechó.

La físicaclásicaconsideracomosistemade referen-ciacualquiersistema,detalmaneraquetodoobjetoquenoestésometidoalaaccióndeunafuerzaseencontraráenreposoosemoveráconvelocidadconstantealolargodeuna trayectoria rectilínea respectoadicho sistema.Aestossistemasdereferenciaselesconocecomosistemas inerciales.

Siseconsideraqueelsistemadereferenciaestáfijo,seledenominasistema de referencia absoluto, ysisesu-ponequeestáenmovimientoselellamasistema de refe-rencia relativo.

Alestudiarladescripcióndelmovimientodelosobje-tosresultadegranutilidadconsideraralaTierracomounsistemadereferenciafijo.

X

Z

Y

O

Figura 2.5 Sistema de referencia absoluto.

X

Z

Y

Figura 2.6 Sistema de referencia relativo.

Cuandodefinimosunsistemadereferenciaesconve-nienteseleccionarelorigendelsistemadeejesdecoordena-dasenunaposiciónparaasífacilitarladescripcióndelmo-vimientoenparticularynocambiarlomientrasseanaliza.


76 Física I

Debido a que en este texto estudiaremos el movi-mientorectilíneo(movimientounidimensional)yelmo-vimientosobreunplano (movimientoendosdimensio-nes),sóloutilizaremossistemasdereferenciaconunejedecoordenadasodos,segúnseaelcaso.

X1X00

X

t0 t1

Desplazamiento

Figura 2.7 Sistema de referencia unidimensional horizontal.

Sistema de referencia unidimensional vertical

Y

y

-y

0

A

YB

B

B

0

100 m

Figura 2.8 Sistema de referencia unidimensional vertical.

Sistema de referencia bidimensional

Movimiento de proyectiles

Y

X

Figura 2.9 Sistema de referencia bidimensional.

Vector de posición y desplazamiento de una partícula materialConsideremosqueenunsistemadereferenciabidimensionalyenuninstantedetiempot0,unapartículamaterialseloca-lizainicialmenteenelpuntoA,comoloilustralafigura2.10.

Ay0

x0

y

x0

Figura 2.10

Supongamosquedespuésdeuntiempot,lapartículaselocalizaenelpuntoBysiguelatrayectoriaquemuestralasiguientefigura:

x

TrayectoriaA

B

y

Figura 2.11

Lalongituddelatrayectoriaquedescribelapartículamaterial en el intervalode tiempodesde t0hasta t es ladistanciaquerecorre.Estacantidadfísicaquedaregistradaconunnúmeroyunaunidaddemedida;loquenoscon-duceaestablecerqueladistanciaesunacantidadescalar.

LaposicióndelapartículaAladeterminanlascoor-denadas (x0, y0) o también el vector cuya representacióngráficauneelorigendelsistemaconelpuntoAconsenti-dohaciaA.Dichovectorsedenominavectorde posiciónyserepresentacomod0.

x

y

A

B

d0

Figura 2.12 El vector de posición d0

�� corresponde a la posición

inicial del objeto en cuestión.



Asimismo,laposicióndelapartículaenelpuntoBladeterminanlascoordenadas(x,y)otambiénelvectordeposición

d comoilustralafigura2.13.

x

y

y0

y

x0 x

B

A

d0

d

Figura 2.13 El vector de posición d

corresponde a la posición final del objeto.

Elcambiodeposiciónqueexperimentaunapartículamaterialsellamadesplazamiento.Estacantidadfísicaesunvectorquegráficamenteserepresentamedianteelsegmentoderectaqueunesuposicióninicialconsuposiciónfinalconsentidohacialaposiciónfinal.

Ennuestroejemplo,eldesplazamientodelapartícula,denotadopor d , serepresentagráficamenteconelseg-mentoderectaorientadoqueune lospuntosAyB consentidohaciaBcomoloilustralafigura2.14.

x

y

∆d

d

d0

A

B

Figura 2.14

Deacuerdocon ladefiniciónde la restadevectoressabemosque:

d +(-d0) = d - d0

Ahoraobservalasiguientefigura:

x

y

∆d

d

–d0

A

B

Figura 2.15

(-d0)+d=Dd

Luego:

-d0+d=Dd

Osea:

Dd=d-d0

Elcambiodeposiciónodesplazamientoesunaope-raciónqueserepresentaasí:

(Dd)=Vectordeposiciónfinal(d)–Vectordeposi-cióninicial(d0).

Cuandoelmovimientodeunapartículamaterial seproduceenunadimensión,esdecir,esrectilíneo,suposi-ciónsedeterminaindicandoaquédistanciaseencuentradelorigendelsistemadecoordenadas.Elcambiodeposi-cióndondeseincluyeelsignodelcambioeseldesplaza-mientodelapartículamaterial.Deestemodo,laposicióndeunobjetotambiénestáreferidacomosudesplazamien-todesdeelorigen.

ConsideramosqueunapartículamaterialcambiadeposicióndesdeelpuntoAhastaelpuntoBenunsistemadereferenciaunidimensionalcomoelqueilustralafigura2.16.

O A B

0 x0 x

Figura 2.16

Deacuerdoconel sistemadereferencia, laposicióninicialyfinaldelapartículaladeterminanlascoordenadasx0yx,respectivamente.Porconsiguiente,eldesplazamien-to(cambiodeposición)lodeterminalaexpresión:

Dx=x-x0,donde:

x= Posiciónfinaldelapartícula(posiciónenB)x0= Posicióninicialdelapartícula(posiciónenA)Dx= Desplazamiento (cambio de posición que experi-mentalapartículaalmoversedesdeAhastaB.

SielsignodeDxespositivo,significaqueelsentidodelvectordesplazamientovaendirecciónpositivadelejex;mientrasquesiesnegativo,elsentidodelvectordespla-zamientovaendirecciónnegativadelejex.

Enlossiguientesejemplossedeterminaeldesplaza-mientodeunobjetoquesemuevedesdeelpuntoAhastaelpuntoB.


78 Física I

Ejemplo 2.1

0 A B0 60 m 100 m

Oeste Este

dirección negativa dirección positiva

Solución

Dx=x-x0,dondex=100myx0=60m

Luego:Dx=100m-60mDx=40mhaciaelEste

Ejemplo 2.2

AB

x x0

0 60 m 100 m2)

Solución

Dx=x-x0,dondex=60myx0=100m

Luego:Dx =60m-100mDx=-40m

Comoel signodeDx esmenos, estonos indicaque el sentidodel vector desplazamiento es hacia elOeste.

Ejemplo 2.3

A BO−100 m 300 m0 E

xx0

Solución

Dx=x-x0,dondex=300myx0=–100m

Luego:

Dx=300m-(-100m)

Dx=400mhaciaelEste

Ejemplo 2.4

B A O−140 m −60 m 0

4) y.

x x0

SoluciónDx=x-x0

Dx=-140m-(-60m)Dx=-140m+60mDx=-80m

Ejemplo 2.5

B A O−80 m −20 m 0

x x0

SoluciónDx= x -x0

Dx=-80m-(-20m)Dx=-80m+20mDx=-60m

Rapidez y velocidadEnlavidacotidianautilizamoslaspalabrasrapidezyve-locidad indistintamente; sinembargo,enel campode lafísicacadaunatieneunsignificadoparticular.

Por intuición,yaestamos familiarizadosconel con-cepto de rapidez.Unobjeto enmovimiento recorre unadistanciaenun intervalode tiempodado.La rapidezeselcocientequeresultadedividirladistanciarecorridayeltiemporequeridoparaeltrayecto.

Supongamosqueunapersonaviajaensuautodesdesucasahastaelaeropuerto.Eneltrayectoyenciertosin-tervalosdetiempo,larapidezdelautopuedeserconstante,mientrasqueenotros,puedeaumentar,disminuiroinclu-solavelocidadpuedeserigualaceroconsiderandoquealconductorlepuedetocarunsemáforoenrojo,obientienequedetenerseporalgunarazón.Enestasituación,loqueleinteresaalconductoreslarapidezpromediodesuauto.

Larapidez promedio o rapidez media(v)sedefinecomoladistanciarotal(d )querecorreunobjetodi-vididoentreeltiempo(t )quetardaenrecorrerla.Lafórmulaparaexpresarlaes:

=v dt

Dondev esigualarapidezmedia.

Ejemplo 2.6 Siunaviónrecorre600kmen2ho-ras,calculasurapidezmedia.

Solución

=

=

=

v dt

v

v

600km2 h

300km h



Alexpresarelresultadoconunacifrasignificativa,queda:

v 3 10 km h2= ×

Ejemplo 2.7 Ernestocamina80mhaciaelNorteyluego90mhaciaelSur.Sieltiempototaldelreco-rridofuede2minutos,calculalarapidezmediadelapersonaenmetrosporsegundo.

Solución

=

=+

= =

v dt

v

v

80m 90m120s

170 m120 s

1.416m s

Alexpresarel resultadocondoscifras significa-tivasqueda:

=v 1.4m s

Silamagnituddelarapidezpromedioeslamis-maentodaslaspartesdelrecorrido,entonceslarapi-dezesconstante.

Larapidezesunacantidadfísicaescalardebidoaquetantoladistanciacomoeltiempotambiénloson.Larapi-dezresultadelacombinacióndeunaunidaddelongituddivididaentreunaunidaddetiempo.Launidadestándardelarapidezenelsieselm/s.

Lacantidadfísicaquedescribetantolarapidezcomoladireccióndelmovimientodeunobjetoeslavelocidad;porestarazón,yadiferenciadelarapidez,lavelocidadesunacantidadvectorial.

Si unobjeto experimentaundesplazamientoDd enunintervalodetiempoDtlavelocidadmediaovelo-cidadpromedio(v)sedefinecomoeldesplazamientodivididoentreelintervalodetiempoduranteelcualeldesplazamientosellevaacabo.

v = dt

Dondev esigualavelocidadmedia.

En elmovimiento rectilíneo, la velocidad promediopuedeserpositivaonegativa,loquedependedelsignodeldesplazamiento.

Unavelocidadpositivanosindicaqueelmovimientodel objeto es en la dirección considerada comopositiva;mientras que si es negativa, nos indica que el objeto semueveenladirecciónopuestaalapositiva.

Ejemplo 2.8 Unautorecorre8.0kmhaciaelOesteyluego15kmhaciaelNorte.Sieltiempototaldesurecorridofuede0.50horas,determina:

a) Larapidezpromedio.

Solución

=

=+

=

=

v dt

v

v

v

8.0km 15km0.50 h

23 km0.50 h

46km h

b) Lavelocidadmedia.

Solución

v = dt

Dondet0=0yt=0.50h

O E

15 km

8.0 km

S

N

Rθ

∆d

Luego:

(Dd)2=(15km)2+(8.0km)2

Dd=17km

Luego:

=

=

v

v

17 km0.50 h

34km h

Determinemos a continuación ladirecciónde la ve-locidad.

Deacuerdoconlafiguraanterior:

tanqr=158


80 Física I

qr=arctan158

qr=62°alNortedelOeste

Ejemplo 2.9 Talíacorre70mhaciaelEsteyluego80mhaciaelOeste.Sieltiempototaldesurecorridofuede30segundos,calcula:

a) Larapidezmedia

Este70 m

80 mOeste

Solución

=

=+

=

=

dt

70m 80m30s

150 m30s

5.0m s

v

v

v

v

Solución


Solución

v= dt

v= 1030s

v= 0.33m s

Dado que la velocidad es un vector, tendremosquedefinirunsistemadereferencia.

O E

dirección negativa

direcciónpositiva

0t0 = 0

Primerodeterminamos el desplazamiento resul-tantedeldeportista.

d = 70m 80md = 10m

Luego:

v= dt

v= 1030s

v= 0.33m s

v= dt

v= 1030s

v= 0.33m s

El signo negativo de la velocidad promedio in-dicaqueladirecciónyeldesplazamientosonhaciaelOeste.

Ejemplo 2.10 Antesdepartirdesucasa,unaper-sonaobservaqueelodómetrodesuautomóvilmarca8600km,2.0horasdespuésregresayobservaqueelodómetromarca8690km.Determina:a) Larapidezmedia.

Figura 2.17 Si la magnitud de la velocidad de un objeto cambia, está acelerado.

Solución

=v dt

Donde:= −

=

d

d

(8690 8600)km

90km

Luego:=

=

v

v

90km2.0 h

45km h


Solución

v= dt

v= 1030s

v= 0.33m s

Donde:Dd=0

¿Porqué?luego,

=v 0



Aceleración mediaCuandounobjetosemueve,durantesurecorridoesco-múnquesuvelocidadvaríe.A la razóndecambiode lavelocidadrespectoaltiemposelellamaaceleración.Sienuninstantet0lavelocidaddeunapartículamaterialesn0yposteriormente,enuntiempotesn,entonceslaacelera-ciónpromedio,denotadapora,sedefinecomoelcambiodevelocidadqueexperimentalapartículadivididaentreelintervalodetiemporequeridoparaelcambio

a = vt

a =v v0

t t0

Si t0 = 0

Entonces

=−

av vt

0

Dado que la velocidad es un vector, la aceleracióntambiénloes.Lasunidadesdemedicióndelaaceleraciónsonlasqueresultandedividirlasunidadesdelavelocidadentrelasdeltiempo.Enelsi,launidaddelaaceleraciónes:

=m s

sm s2

Esimportantequeconsideresqueunobjetoexperi-mentaunaaceleracióncuando:

a) Lamagnituddelavelocidadcambia.b) Ladireccióndelavelocidadcambia.c) Ladirecciónylamagnituddelavelocidadcambian.

10 m/s 12 m/s 14 m/s 16 m/s 18 m/s

V0 V

X

Figura 2.18 Si la magnitud de la velocidad de un objeto cambia, está acelerado.

Figura 2.19 Aunque la rapidez de un auto es constante, si cam-bia su dirección está acelerado.

Ejemplo 2.11 Unautoque viaja sobreuna rectacambiasuvelocidadde20m/sa12m/sen4.0s.Cal-culasuaceleraciónpromedio.

Solución

v0 = 20 m/s v = 12 m/s

0t0 = 0

t = 4 sx

a = vt

a = 12m s 20m s4.0s 0s

=8.0m s

4.0s

a = 2.0m s2

Elsignonegativodelaaceleraciónnosindicaquesudi-recciónesopuestaaladireccióndelmovimientodelob-jeto;loquehacesermáslentoalautomóvil.Aunaace-leracióndeestetiposeleconocecomodesaceleración.

Rapidez, velocidad y aceleración instantánea

Rapidez instantáneaAlarapidezconquesemueveunobjetoenuninstantedado se le denomina rapidez instantánea. Por ejemplo,la lecturadel velocímetrodeunautomóvilnos indica larapidezinstantáneadelauto.

Figura 2.20 Un velocímetro indica la rapidez instantánea de un automóvil.

Para calcular la rapidez instantánea enunpuntoA,sedeterminalarapidezpromedioduranteunintervalodetiempo(Dt)muypequeño;matemáticamentesignificaqueDtseacercaacero.


82 Física I

Laideacentralenestecasoesqueladistancia(Dd )sehará infinitamentepequeña amedidaqueDt sehagainfinitamentepequeña;sinembargo,surelación d

ttenderá

aunvalorfinitolímite.Estevalor límitealquetiende d

tcuandoDt tiendea

cerosellamarapidezinstantáneaymatemáticamenteseex-presaasí:

v =t 0

límdt

Velocidad instantáneaLomismoquesucedeconlarapidezocurreconlavelocidad;cuandoDtseacercaacero,obtenemoslavelocidadinstan-tánea,lacualdescribequétanrápidoyenquédirecciónseestámoviendounapartículamaterialenuninstantedado.

Matemáticamente,lavelocidadinstantáneasedeter-minaporlaexpresión:

V =t 0

lím ( d t )

Laexpresiónanteriornosindicaquelavelocidadins-tantáneaeselvalorlímitealquetiendelavelocidadpro-mediocuandoelintervalodetiempoDtseaproximaacero.

Aceleración instantáneaLaaceleracióninstantáneasedeterminaporlaexpresión:

a =t 0

límvt

Estafórmulanosindicaquelaaceleracióninstantáneaeselvalorlímitealquetiendelaaceleraciónmediacuandoelintervalodetiemposeacercaacero.

Encursossuperioresdematemáticasaprenderásade-terminarlavelocidadylaaceleracióninstantáneadeunapartículamaterialconlaayudadelcálculo.

ActividAdes de AprendizAje

1. Carmelitacamina60mhaciaelNorteyluego60mhaciaelSur.Sieltiempototaldesurecorridofuede60s,yseconsideraladirecciónhaciaelnortecomopositiva,determina:

60 m

60 m

N

S

a) Surapidezmediaa) 2.0m/sb) 0m/sc ) 2m/sd ) 1.5m/s

b) Suvelocidadmediaa) 2.0m/sb) 0m/sc ) 2m/sd ) 1.5m/s

2. Unatletacorre400mhaciaelEsteyluego500mhaciaelOeste.Sieltiempototaldesurecorridofuede4minutos,consideraladirecciónhaciaelestecomopositivaycalcula:

400 m E

500 mO

a) Surapidezmediaenm/sa) 3.50m/sb) 3.25m/sc ) 3.75m/sd ) 4.00m/s

c) 3.75m/s

b) Suvelocidadmediaenm/sa) –0.417m/sb) 3.75m/sc ) 4.17m/sd ) –3.75m/s

a) -0.417m/s



3. Unaflechaqueselanzaverticalmentehaciaarribaalcanzaunaalturamáximade29.4m.Siregresaasupuntodepartida6.0segundosdespués,calcula:

6.0 s

a) Larapidezmediadelaflecha.a) 4.9m/sb) 0m/sc ) 9.2m/sd ) 9.8m/s

d) 9.8m/s

b) Suvelocidadmediaa) 0.49m/sb) 0m/sc ) 0.92m/sd ) 0.98m/s

b) 0m/s

4. Raquelrecorreensubicicleta12kmen1.5h.Calculasurapidezmediaenm/s.

12 km

1.5 h

a) 3.0m/sb) 2.2m/sc ) 2.8m/sd ) 2.0m/s

b) 2.2m/s

5. Unpatinadorsedesliza30mhaciaelNorteyluego20mhaciaelSur.Sieltiempototaldesurecorridofuede5.0syseconsideraladirecciónhaciaelNortecomopositiva,determina:

30 m N

S

5.0 s

20 m

a) Surapidezmediaa) 12m/sb) 10m/sc ) 2.0m/sd ) 1.0m/s

b) Suvelocidadmediaa) –2.0m/sb) 2.0m/sc ) 3.0m/sd ) 4.0m/s

b) 2.0m/s


84 Física I

6. Uncorredordaunavueltacompletaalrededordeunapistacircularde60mdediámetro.Sieltiempodesurecorridofuede50s,calcula:

d = 60 m

50 s a) Surapidezmedia.a) 4.1m/sb) 3.5m/sc ) 3.8m/sd ) 4.5m/s

c) n=3.8m/s

b) Suvelocidadmedia.a) 3.8m/sb) 3.5m/sc ) 4.5m/sd ) 0m/s

7. Uncorredorda1.5vueltasalrededordeunapistacircularde30mderadio.Sieltiempototaldesurecorridofuede60segundos,calcula:

r = 30 m

60 s a) Surapidezmedia.a) 4.7m/sb) 5.4m/sc ) 4.0m/sd ) 3.9m/s

a) n=4.7m/s

b) Lamagnituddesuvelocidadmedia.a) 0.71m/sb) 1.0m/sc ) 4.7m/sd ) 1.6m/s

b) n=1.0m/s

8. Unamotoviajaconunarapidezpromediode72km/h.¿Quédistanciarecorreráen20s?Expresaladistanciaenmetros.

v = 72 km/h

20’

a) 4.0×102mb) 4.5×102mc ) 3.8×102md ) 3.5×102m

a) 4.0×102m



9. Supongamosquealas8:00am,elautodetupapásaledelacocheradetucasa.Elodómetromarca8600km;después,alas6p.m.queregresa,elodómetromarca8690km.Conbaseenestosdatos,calcula:

6 pm7 am

a) Larapidezmediadelautoenkm/ha) 8.5km/hb) 10km/hc ) 9.5km/hd ) 9.0km/he) 0km/h

b) La velocidadmediadelauto.a) 8.5km/hb) 10km/hc ) 9.5km/hd ) 9.0km/he) 0km/h


1. Elaboraunlistadodeobjetosqueseencuentranensucasaoentornosocialoculturalquedemaneraperiódi-caoconstantemuestrenalgúntipodemovimiento.

2. Dibujaunmapaconlascallesy/ocallejonesdetuco-munidady localiza lacasadondevivesy laescuelaadondeasistes,ytrazaunalíneaolascurvasdelcaminoquesiguesparallegaralaescuela.

O

N

E

S

Escribeenelparéntesislaletraquecorrespondaalarespues-tacorrecta.

1. ( )Ramadelafísicaqueestudiaelmovimientomecáni-codeloscuerpos.a) acústicab) ópticac ) mecánicad ) electromagnetismoe) termodinámica

2. ( )Estudialadescripcióndelmovimientodeloscuer-possinatenderlascausasqueloproducenomodifican.a) dinámicab) estáticac ) acústicad ) cinemáticae) termodinámica

3. ( )Estudiaelmovimientodeloscuerposatendiendolascausasqueloproducenomodifican.a) cinemáticab) dinámicac ) acústicad ) ópticae) termodinámica

4. ( )Cantidadescalarquerepresentalalongituddelatra-yectoriaquedescribeunobjetoenmovimiento.a) tiempob) desplazamientoc ) distanciad ) rapideze) velocidad

5. ( )Cantidadvectorialquerepresentaelcambiodepo-sicióndeunmóvilrespectoaunmarcodereferencia.Su


86 Física I

representacióngráfica es un segmentode rectadirigidoqueunelaposicióninicialconsentidohacialaposiciónfinal.a) distanciab) velocidadc ) aceleraciónd ) desplazamientoe) rapidez

6. ( )Cantidadescalarquesedefinecomoladistanciato-talquerecorreunmóvildivididaentreeltiempoquetardaenrecorrerla.a) rapidezmediab) velocidadmediac ) aceleraciónd ) desplazamientoe) trabajo

7. ( )Sedefinecomoeldesplazamientodividoentreelin-tervalo de tiempo durante el cual el desplazamiento sellevaacabo.a) rapidezmediab) aceleraciónc ) velocidadmediad ) potenciae) trabajo

8. ( )ValorlímitedelarapidezmediacuandoDttiendeacero.a) velocidaduniformeb) rapidezinstantáneac ) velocidadmediad ) velocidadinstantáneae) rapidezmedia

9. ( )Segmentoderectadirigidoqueuneelorigendeunsistemadereferenciaconlaposicióndeunapartículama-terial.a) distanciab) vectordesplazamientoc ) vectordeposiciónd ) vectorvelocidad

10. ( )Sedefinecomoelcambiodevelocidadqueexpe-rimentaunobjetodivididoentreelintervalodetiemporequeridoparaelcambio.a) rapidezmediab) velocidadmediac ) distanciad ) desplazamientoe) aceleraciónmedia

11. ( )Valorlímitedelave1ocidadmediacuandoDttiendeacero.a) aceleraciónmediab) rapidez

c ) velocidadinstantánead ) aceleracióninstantánea

Unapersonacamina200mhaciaelNorteyluego140mha-ciaelSur.Sieltiempototaldesurecorridofuede4minutos,contestalaspreguntas12y13.Determina

12. ( )Larapidezmediadelapersona.a) 1.42m/sb) 0.25m/sc ) 1.7m/sd ) 1.2m/s

13. ( )Lamagnituddelavelocidadmediadelapersona.(ConsideraladirecciónhaciaelNortecomopositiva.)a) 1.41m/sb) 0.250m/sc ) 1.7m/sd ) 1.2m/s

14. ( )¿Cuáleslamagnituddedesplazamientodeunau-tomóvilquedaunavueltacompletaenunapistacircularde400mdediámetro?a) 200mb) 100mc ) 400md ) 0me) 1256m

15. ( )¿Cuáleslamagnituddeldesplazamientodeunau-tomóvilquedaunavueltaymediaenunapistacircularde200mderadio?a) 200mb) 100mc ) 400md ) 0me) 1884m

Uncorredordaunavueltacompletaalrededordeunapistacircularde80.0mdediámetroen2minutos.Contesta laspreguntas16y17.

16. ( )Determinalarapidezmediadelcorredorenmetrosporsegundo.a) 1.70m/sb) 2.09m/sc ) 3m/sd ) 2.5m/s

17. ( )Determinalavelocidadmediadelcorredor.a) 2.1m/sb) 1.7m/sc ) 0m/sd ) 1.8m/s



velocidad constante

mru

pendiente de una recta

gráfica de posición contra tiempo

para un objeto que se mueve con

velocidad constante o uniforme

gráfica de velocidad contra

tiempo para mru

Movimiento rectilíneo

uniforme, mruTema 2

Definición y aplicacionesElmovimientodeunobjetoesrectilíneo uniformecuan-dolamagnitudyladireccióndesuvelocidadmediaper-manecenconstantes.Dichodeotramanera,recorredes-plazamientosigualesenintervalosdetiempoidénticos.

Porejemplo,siunapartículasemueveaunavelocidadconstantede8m/s, esto significaqueporcada segundotranscurrido,elobjetoexperimentaundesplazamientode8m.Supongamosahoraquesuvelocidaduniformeesde-8m/s. Esdecir, cada segundoque transcurra el objetoexperimentaundesplazamientode8menladirecciónne-gativadelmovimiento.

Como el movimiento rectilíneo uniforme es en lamismadirecciónysentido,entonces:

Distancia=Magnituddeldesplazamiento.

Magnitudderapidezmedia=Magnituddevelocidadmedia=Velocidadinstantáneaen

cualquierpunto

Lasrelacionesanterioresnosecumplensiseinvierteelsentidodelmovimiento.

Alresolverproblemasrelacionadosconelmovimien-torectilíneoesrecomendabledefinirunsistemaderefe-renciacuyoejedecoordenadascoincidaconlatrayectoriade la rectapor la cual sedesplaza elobjeto en cuestión.Deestamanera,ladireccióndedichoejecoincideconlade los vectores de posición, desplazamiento, velocidad yaceleración. Esta coincidencia permite utilizar fórmulasdeterminadasen funciónde lasproyeccionesde losvec-toressobreelejedecoordenadasestablecido,locualrindalaposibilidaddeoperaralgebraicamente,yaquecomosehaseñaladopreviamente,lasproyeccionessoncantidadesescalaresconsigno.

La magnitud de las proyecciones corresponde a lamagnituddel vector componente,mientras que el signoindicaladireccióndeesteúltimo.

Ejemplo 2.12 Unautosedesplazaaunavelocidaduniformede20m/s. Calculaladistanciaquerecorreen5minutos.

SoluciónDadoquelavelocidadesconstante,tenemos:

Distancia=DesplazamientoRapidezmedia=Velocidadmedia

=v dt

Luego:

d =nt

Luego:

d =20m/s(5min)

Donde5min=300s

Luego:d=(20m/s)(300s)=6000m

Comoelresultadodebetenerdoscifrassignificativas,entonces,d =6.0×103m

Gráfica de posición contra tiempo para un objeto con velocidad constante o uniformeOtraformadedescribirelmovimientoespormediodegráficas. Supongamos que un auto semueve a una ve-locidadconstantede20m/sdurante8segundos.Lasi-guientetablamuestralaposicióndelautoalfinaldecadasegundo.


88 Física I

Tiempo en

segundos0 1 2 3 4 5 6 7 8

Posiciónenmetros

0 20 40 60 80 100 120 140 160

Lasiguientefigurailustralagráficadeposicióncontratiempodelauto.

1 2 3 4 5 6 7 8

16014012010080604020

t(s)

d(m)

La gráfica que se obtuvo es una recta no paralela aningunodelosejest od.

Veamosacontinuacióncómodeterminarlavelocidad,cuandoesconstante,apartirdelagráficadeposicióncon-tratiempo.

Enmatemáticas,alatangentetrigonométricadeunarectaenelplanocartesianoselellamapendienteysede-notaporlaliteralm.

Lapendiente(m)deunarectaeselcambioverticaloelevación(Dy)divididoentreelcambiohorizontaloavan-ce(Dx) entredospuntoscualesquieraquepertenezcanalarecta.

Siennuestroejemploconsideramoslospuntos(3,60)y(7,140),entonces:

=m 140 m - 60 m7 s - 3 s

Observaquem = dt;esdecir,es iguala lavelocidad

mediadelobjeto.

=m 80 m4 s

= 20 ms

Sielegimosotrosdospuntoscualesquiera,porejem-plo,(2,40)y(8,160),tenemosque:

m = yx

m = 160 m 40 m8 s 2 s

m = 120 m6 s

m = 20m s

¡Obtuvimoselmismoresultado!yasíserásiempresielegimosotrospuntos;loquenospermiteconcluirqueelvalordelapendienteesconstante.

Silagráficadeposicióncontratiempoesunarectanoparalelaaningunodelosejescoordenados,elmo-vimientodelobjetoesrectilíneouniformeylamag-nituddelavelocidad(uniformeoconstante)esigualalvalornuméricodelapendientedelarecta.

Ladirecciónde la velocidad ladeterminael signode lapendiente.Unapendientepositivaindicaqueelobjetoencuestiónsemueveendirecciónpositiva,mientrasqueunapendiente negativa indica que el objeto se desplaza convelocidaduniformeperoendirecciónnegativa.

La figura 2.21 ilustra la gráfica de posición contratiempoquedescribeelmovimientodeunobjetoque semueveaunavelocidadconstantede6m/senladirecciónnegativadelmovimiento.

d

t

30 m

5 s

Figura 2.21

=−

−−m 0 30 m

5 0 s= 6 m

s

La figura 2.22 ilustra la gráfica de posición contratiempodeunobjetoqueselocalizaa20mdelorigendelsistemadecoordenadasypermaneceenesaposicióndu-rante4s.

d

t

201510

5

25

1 2 3 4 5

Figura 2.22

Con base en la gráfica anterior podemos inducir losiguiente: el hecho de que la gráfica de posición contratiemposeaunarectaparalelaalejet significaqueelobjeto


Tema 2 Movimiento rectilíneo uniforme, mru 89

estáenreposoenelintervalodetiempoqueseindicaendichagráfica.Ennuestroejemplo,elobjetopermaneceenreposoenelintervalodesde0hasta4segundos.

Ejemplo 2.13 Lasiguientetablamuestralaposi-cióndeundeportistaquecorredesdeelpuntoA hastaelpuntoC,luegoseregresadesdeChastaelpuntoB. Observalafigura.

t (s) 0 1 2 3 4 5 6 7X (m) 0 5 10 15 20 25 30 35

t (s) 8 9 10 11 12 13 14 15x(m) 40 40 40 40 35 30 25 20

dirección positivaA B C

X0=0 20m 40m

Conbaseenlainformación,contestalassiguien-tespreguntas.a) Trazalagráficadeposicióncontratiempodelde-

portista.

Solución

40

2030

10

84 11

d (m)

15t (s)

b) Determinalavelocidaddeldeportistaenelinter-valode0a8segundos.

SoluciónDeacuerdo con los pares ordenados (0, 0) y (8, 40)tenemos:

=−

−=m m40m 0

8s 05m s

Lavelocidadenelintervalode0a8segundosesde5m/sendirecciónpositiva.c) ¿Enquéintervalodetiempoeldeportistaestáen

reposo?

SoluciónEnelintervalode8a11segundos,lapendientedelarectaesceroy,porende,suvelocidadtambién.Enesteintervalo,eldeportistaestáenreposo.

d) ¿Cuáleslavelocidaddeldeportistaenelintervalode11a15segundos?

SoluciónDeacuerdoconlosparesordenados(11,40)y(15,20)tenemosque:

=

=

m

m

20 m – 40 m15 s – 11 s

–5.0 m sLuego:

=V –5.0 m s

e) ¿Quénosindicaelsignonegativodelavelocidadanterior?

SoluciónQueelmovimientodeldeportistaesensentidocon-trarioaloriginal;esdecir,semueveenunadirecciónconsideradanegativa.

f ) ¿Cuáleslavelocidadmediaenelintervalode0a15segundos?

Solución

V = d tDonde:

d = 20m – 0m = 20m y t = 15 – 0( )s = 15s

Luego:

= =V 20 m15 s

1.3 m s

Gráfica de velocidad contra tiempo para el mru

Siguiendoconelejemploanterior,sabemosquelaveloci-daddeldeportistaenelintervalode0a8segundosesde5.0m/s.Comoestavelocidades constanteendicho in-tervalo,lagráficadevelocidadcontratiempoesunarectaparalelaalejet,comoloilustralafigura2.23.

v (m/s)

5m/s

8t (s)

Figura 2.23

Observaqueeláreadelaregiónsombreadaesigualaldesplazamientodelobjeto.Engeneral,eláreabajounacurvaenlagráficadevelocidadcontratiempoesigualaldesplazamiento.


90 Física I

En el intervalo de 8 a 11 segundos el deportista seencuentraenreposo;porconsiguiente,lagráficadevelo-cidadcontratiempoendichointervaloesunsegmentoderectaquecoincideconelejet de0a11segundos,comoseobservaenlafigura2.24.

v

8 119 10

Figura 2.24

Enel intervalode11a15segundos, lavelocidadesde-5m/s;porconsiguiente,lagráficaden contrat esunsegmentoderectaparaleloalejet,comoloilustralafigura2.25.

0

v(m/s)

t (s)

−5

11 15

Figura 2.25

Observaqueladistanciaquerecorreeldeportistaenelintervalode11a15segundosesigualaláreadelare-giónsombreada.


1. Unautosemueveaunavelocidaduniformede30.0m/s.¿Quédistanciarecorreráen20.0s?a) 600mb) 500mc ) 450md ) 800m

2. Alex juega con una pelota que se mueve uniforme-mentesobreelpisoaunavelocidadde3.0m/s.Calculaeltiempoquelapelotatardaráenrecorrer12m.

a) 4.0sb) 0.25sc) 0.250sd) 4s

v = 30 m/s

3. Unaviónsemueveaunavelocidadconstanteyrecorre270kmen30.0min.¿Quédistanciarecorreráen80.0minutos?a) 760kmb) 720kmc) 800kmd) 700km

b) 720km

4. Lasiguientefiguracorrespondealagráficadeposicióncontratiempodeunautomóvil.

-40

200300

100

d (m)

t (s)12 20 3632 4028

Conbaseenlagráfica,determina:

a) Lavelocidaddelautoenelintervalode0a12se-gundos.

b) Losintervalosdetiempoenlosqueelautoestáenreposo.

c) La velocidaddel auto en el intervalo de 20 a 28segundos.



d) Enquéintervalosdetiempoelautosemueveensentidocontrarioaloriginal.

e) Lavelocidaddelautoenelintervalodesde32hasta36segundos.

f) ¿Despuésdecuántossegundoselautopasaporsupuntodepartida?

g) ¿Cuáleslaposicióndelautoalos40segundos?

h) Eldesplazamientoresultantedelauto.

i) Calculalavelocidadmediadelautomóvilenelin-tervalode0a40segundos.

j) Calculalarapidezmediadelauto.

k) Lavelocidaddelautoenelintervalo(36-40)s

5. LasiguientefiguracorrespondealagráficadeposicióncontratiempodelosobjetosA, B, C,DyE.

d

t

D

C

B

A

E

Conbaseenlagráficacontestalassiguientespregun-tas.

a) ¿Cuáldelosobjetosseencuentraenreposo?b) ¿Cuales de los objetos se mueven con velocidad

constante?c) ¿Quéobjetossemuevenenladirecciónconsidera-

dacomopositiva?d) ¿Quéobjetosemueveenladirecciónnegativa?e) ¿Quéobjetosemueveaunavelocidadvariable?

trABAjO en eQUipO

Realizar la siguienteactividadenequipo.Cada inte-grante del equipo deberá caminar 50mde distanciay recopilar información sobre tiempos empleados enrecorrerlasdistanciasde10,20,30,40y50m.Llenenla siguiente tabla y realicen las gráficas de desplaza-miento-tiempoyvelocidad-tiempo.

Integrante 1

Distancia (m) Tiempo empleado (s)

10

20

30

40

50

d

t

Demaneraindividual,analizalasgráficasdedesplaza-miento-tiempoobtenidasporcadaunodelosequiposydetermina,cualitativaycuantitativamente,quiénsemovióconmayorvelocidad.

Escribeenelparéntesislaletraquecorrespondaalarespuestacorrecta.1. ( )Nombredelmovimientoendondeuncuerposedes-

plazaconvelocidadconstante.a) movimientorectilíneouniformementeaceleradob) movimientocircularuniformec ) movimientorectilíneouniformed ) caídalibre

2. ( )Cuandounobjeto semueve con velocidad cons-tante,¿cuáles la relaciónentresurapidezysuveloci-dad?a) susmagnitudessonproporcionalesb) susmagnitudessondiferentesc ) susmagnitudessonigualesd ) nohayrelacióne) ambassoncantidadesvectoriales


92 Física I

3. ( ) La pendiente de la recta de la gráfica de posicióncontratiempocuandounobjetosemueveconvelocidadconstanterepresenta:a) laaceleracióndelobjetob) eldesplazamientodelobjetoc ) lavelocidaddelobjetod ) eltiempotranscurrido

Un corredordauna vuelta completa alrededordeunapis-tacircularde80.0mdediámetroen2minutos.Determina:(preguntas4y5)4. ( )Larapidezmediadelcorredorenm/s.

a) 1.70m/sb) 2.09m/sc ) 3.0m/sd ) 2.50m/s

5. ( )Lavelocidadmediadelcorredor.a) 2.1m/sb) 1.7m/sc ) 0m/sd ) 1.8m/s

6. ( )Larapidezmediadeunautomóvilesde27m/s. Cal-culaladistancia,enkilómetros,querecorreen50min.a) 60kmb) 88kmc ) 75kmd ) 81km

7. ( )Unautoconvelocidadconstanterecorre240men8.0segundos.¿Quédistanciarecorreráen15segundos?a) 4×102mb) 3.9×102mc ) 4.5×102md ) 5.0×102m

Deacuerdoconlasiguientegráficadeposicióncontratiempodeunapersona,contestalaspreguntas8a19.

28

20

12

4

4-4-8

8 16 24 28 42 46t (s)

d (m)

8. ( )Determinalavelocidaddelapersonaenelintervalode0a4segundos.a) 2m/sb) 3m/sc ) 4m/sd ) 1m/s

9. ( )¿Cuáleslavelocidaddelapersonaenelintervalode4a16segundos?a) 1m/sb) 2m/sc ) 0m/sd ) 0.5m/s

10. ( )Determinalavelocidaddelapersonaenelintervalode16a24segundos.a) 3.0m/sb) 4.0m/sc ) 1.0m/sd ) 2.0m/s

11. ( )Determinalavelocidaddelapersonaenelintervalode28a46segundos.a) -2m/sb) -3m/sc ) 3m/sd ) 2m/se) -4m/s

12. ( )¿Encuálesdelosintervaloslapersonaestáenreposo?a) de0a4segundossolamenteb) de16a24segundossolamentec ) de4a16segundossolamented ) de24a28segundossolamentee) cydsoncorrectas

13. ( )¿Enquéintervalodetiempolapersonasemueveenladirecciónnegativadelmovimiento?a) de0a4segundosb) de16a28segundosc ) de4a16segundosyde24a28segundosd ) de28a46segundos

14. ( )¿Aloscuántossegundospasalapersonaporsupun-todepartida?a) 46segundosb) 42segundosc ) 16segundosd ) 28segundos

15. ( )¿Cuáleseldesplazamientoresultantedelapersona?a) 64mb) 70mc ) 8md ) -8m

16. ( )Calculalarapidezmediadelapersonaenelinter-valode0a42segundos.a) 1.5m/sb) 1.3m/sc ) 1.2m/sd ) 1.4m/se) 0m/s


17. ( )Calculalavelocidadmediadelapersonaenelinter-valode0a42segundos.a) 1.5m/sb) 1.3m/sc ) 0m/sd ) 1.4m/s

18. ( )Calculalarapidezmediadelapersonaenelinter-valode0a46segundos.a) 1.5m/sb) 1.6m/sc ) 0m/sd ) 1.4m/s

19. ( )Calculalavelocidadmediadelapersonaenelinter-valode0a46segundos.a) 1.4m/sb) 0.17m/sc ) -0.17m/sd ) -0.3m/s

20. ( )Utilizalasiguientegráficadevelocidadcontratiem-podeunobjetoparacalcularladistanciaquerecorreenunintervalode3.0a8.0segundos.

3.0 8.05

10

t (s)

v ms

a) 25mb) 110mc ) 50md ) 45m



aceleración

velocidad final

gráfico de velocidad contra tiempo

para aceleración constante

movimiento rectilíneo uniforme

acelerado

gráfica de aceleración contra

tiempo para el mrua

gráfica de posición contra tiempo

del mrua

fórmulas cinemáticas del mrua

Movimiento rectilíneo uniformemente

acelerado, mruaTema 3

Definición y aplicacionesEnestetemaestudiaremosladescripcióndelmovimientodeunapartículamaterialcuandosemueveconaceleraciónconstanteouniforme.

Sielcambiodevelocidaddeunobjetoenmovimientoesconstanteenmagnitudyendirecciónduranteciertoin-tervalodetiempo,suaceleraciónesuniformeoconstanteylatrayectoriadesumovimientodescribeunalínearecta.

Al tipo demovimiento en donde la aceleración deunobjetoesconstante,seledenominamovimiento rectilíneo uniformemente acelerado, mrua.

Fórmulas cinemáticas del mrua

Cuando un objeto se mueve con aceleración constante,laaceleraciónmediaencualquier intervalodetiempoes iguala laaceleración instantánea.Sienun instante t0 lavelocidaddeunapartículamaterialquesemueveconace-leraciónconstanteesV0yposteriormenteenuntiempotesV,entoncessuaceleración(a)ladeterminalaexpresión:

a = Vt

Luego:

=−

−a

t tV V0

0

Sit0=0,entonces:

=−

at

V V0

ObservaqueV0yt0representanlavelocidadyeltiem-poinicial,mientrasqueVytrepresentanlavelocidadyel

tiempoenuntiempofuturo.Generalmente,alavelocidadVseleconocetambiéncomovelocidad final.

Debidoaquecuandounobjetosemueveconacelera-ciónconstantesumovimientoesunidimensional(osea,sutrayectoriadescribeunalínearecta),podemosutilizarlaspro-yeccionesdelosvectoresdeaceleración,velocidadydespla-zamiento,respectivamente,sobreunejedelsistemadecoor-denadasenlasfórmulascinemáticasdelmruaparaefectuartodosloscálculosalgebraicosynolosvectoresmismos.

Recuerdaquelasproyeccionesdeloscomponentesdeunvectorsoncantidadesescalaresconsigno.Lamagnituddelaproyeccióndeuncomponentecorrespondealamag-nituddeéste,ysusignoindicasisudirecciónespositivaonegativa.

Siv0eslaproyeccióndev0sobreelejedecoordenadas,vdeVyadeatenemos:

=−

av vt

0

Ejemplo 2.14 Lavelocidaddeunautomóvilcam-biauniformementede8.0m/s a20m/s en2.0segun-dos.Calculasuaceleración.

SoluciónComoelcambiodevelocidadqueexperimentaelau-tomóvilesuniforme,suaceleraciónesconstante.

x0 = 0t0 = 0

V0 = 8.0 m/s

x

t = 6.0 sV = 20 m/s

av vt

a

a

a

20m s 8.0m s6.0s

12 m/s6.0 s

2.0m/s

0

2

=−

=−

=

=


Tema 3 Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, mrua 95

av vt

a

a

a

20m s 8.0m s6.0s

12 m/s6.0 s

2.0m/s

0

2

=−

=−

=

=

Ejemplo 2.15 Unautomóvilquepartedelreposoacelera uniformemente a razón de 4.0 m/s2 durante8.0segundos.Calcula lavelocidaddelautoa los8.0segundos.

Solución

x0 = 0v0 = 0t0 = 0

V = ?t = 8.0 s

x

Dadoqueelautoacelerauniformemente,suace-leraciónesconstante;porconsiguiente:

av vt t

0

0

=−

−

Comot0=0yn0=0,entonces:

=a vt

Almultiplicarport ambosmiembrosdelaecua-ciónanteriorresulta:

=a t vtt( )

Luego:

a t=n

Entonces:n =4.0m/s2 (8.0s)

n =32m/s

Fórmula para calcular la distancia y el desplazamiento de una partícula material con aceleración constante en función de la velocidad inicial, la velocidad final y el tiempoCuandounapartículamaterialsemueveconaceleraciónconstante,podemoscalcularsuvelocidadmediaenlafor-maacostumbrada; sinembargo,cuando laaceleraciónesconstante,lavelocidadmediaeselpromediodelaveloci-dadinicialylafinal;esdecir:

=+

vv v

20

Demostramos a continuación la siguiente fórmula.Dx = x = v0 + v

2tDt,dondeDxrepresentaeldesplazamientode

unobjeto.Silaposicióndeunobjetoconaceleraciónconstante

enel instantet0 estádeterminadaporlacoordenadax0ydespuésenelinstantetporx,suvelocidadmediasecalculaconlaexpresión:

v = xt

x0t0

V0

xtV

∆x = x − x0

Deacuerdoconloanterior:xt=v0 + v

2

Multiplicamosambosmiembrosdelaecuaciónante-riorporDt paraobtener:

xt• t =

v0 + v2

t

Luego:

x =v0 + v

2t

x x0 =v0 + v

2t t0( )

Six0yt0=0,laecuaciónanteriorsereducea:

x =v0 + v

2t

Observaquesix0 =0,elvalordelaposicióndex eselmismoqueeldesudesplazamiento.EstonosevitaescribirsiempreDx =x -x0.

Enelmovimientorectilíneouniformementeacelera-do,lamagnituddeldesplazamientoyladeladistan-ciasoniguales;luego,ladistanciadcuandot =0estádadaporlaecuaciónd=d =

v + v0

2tt

Ejemplo 2.16 Un avión cambia su velocidaduniformementede300km/ha492km/hen5.0se-gundos.Calcula ladistanciaqueavanzaduranteesetiempo.


96 Física I

Solución

∆x = x

v0 = 300 km/hx0 = 0t0 = 0

v = 492 km/hx = ?t = 5.0 s

Dadoqueenelmrua,lamagnituddeldesplazamientoesigualalamagnituddeladistancia,tenemos:

d = x =v0 + v

2t

d = 300km h + 492km h2

5.0s( )

d = (396km h) 5.0s

d = 396km h( ) 1000 m1 km

1 h3600 s

5.0s( )

d = (110m s)(5.0s) = 550m

d = 5.5 102 mAl expresar el resultado condos cifras significativas,queda:

d = x =v0 + v

2t

d = 300km h + 492km h2

5.0s( )

d = (396km h) 5.0s

d = 396km h( ) 1000 m1 km

1 h3600 s

5.0s( )

d = (110m s)(5.0s) = 550m

d = 5.5 102 m

Fórmula para el mrua que relaciona la velocidad final, la velocidad inicial, la aceleración y el desplazamientoDemostraremosacontinuaciónlafórmula

2aDx =n2 -n02

Si en la ecuacióna=a = v v0

t despejamosDt y sustitui-mos su expresión equivalente obtenida en la ecuaciónDx=x = v + v0

2tDttenemos:

a Dt = n - n0

Luego:

t =v v0

aSustituimos -v v

a0 porDtenlaecuación

x =v + v0

2t

x =v + v0

2v v0

a

x =v2 v0

2

2a

x =v + v0

2t

x =v + v0

2v v0

a

x =v2 v0

2

2a

Almultiplicarpor2aambosmiembrosdelaecuaciónanteriorresulta:

2a Dx=n2-n02

Six0=0,entonces:2a x =n2-n0

2,luego

2ad =n2–n02

(drepresentaladistanciaquerecorreelmóvil)

Ejemplo 2.17 Unhelicópteroquearrancadesdeelreposo,despegadespuésderecorrer1400malolargodeunapistarecta.Sisuvelocidaddedespeguefuede324km/h,determinasuaceleraciónsiesconstante.

Solución

x0 = 0t0 = 0v0 = 0

d = x = 1400 mt = ?v = 324 km/h = 90 m/s

= −a d v v2 202

dadoquen0=0,entonces:

=a d v2 2

Luego:

( )( )

=

=

=

a v

a

a

2d

90 m s

2 1400 m

2.9 m s

2

2

2

Fórmula para calcular el desplazamiento y la distancia en función de la aceleración, el tiempo y la velocidad inicial en el mrua

Otrafórmulautilizadaconregularidadenlasolucióndeproblemasdelmruaeslasiguiente:



x = v0 t + 12a t2

Six0=0yt0=0,entonces:= +x v t at0

2

Luego:

= +d v t at0

Paraobtenerestafórmula,despejamosnena== −a

v vt

0 ydespuéssustituimossuexpresiónequivalenteobtenidaenlaecuación

x =v + v0

2t.

Ejemplo 2.18 Un tráiler que arranca del repo-somantieneunaaceleraciónconstantede0.20m/s2.¿Cuántotiempotardaráenrecorrer80m?

Solución

x0 = 0t0 = 0v0 = 0

x = 80 mt = ?v =

a = 0.20 m/s2

d = x = 80 m

Luego:

= +d v t a t12

02

Dadoquen0=0,entonces:

=d a t12

2

Aldespejart2resulta:

=t da

22

Luego:

t da

t

t

2

2 80 m

0.20 m s28.3s

28 s

2

( )

=

= =

=

t da

t

t

2

2 80 m

0.20 m s28.3s

28 s

2

( )

=

= =

=redondeandoa2cifrassignificativasqueda

t = 28s

Concluyendo:Sienelmruahacemoseltiempoinicialt0=0,yx0=0,tenemoslassiguientesfórmulas.

a =v v0

t

x = d =v + v0

2t

2ad = v f2 – v0

2

d = 12at2 + v0t

Ladistancia“d”yeldesplazamientoDx = x tienenlamismamagnitud.

Gráfica de velocidad contra tiempo para la aceleración constanteConsideremosqueunobjetoparteconunavelocidadde6m/s y queseacelerauniformementearazónde2m/s2.Lasiguientetablanosmuestrasuvelocidadalfinaldecadaunodelosprimeros4segundos.

t(s) 0 1 2 3 4v(m/s) 6 8 10 12 14

Lasiguientefiguracorrespondealagráficadeveloci-dadcontratiempodelobjeto.

t(s)

1412108642

2 41 3

v(m/s)

Comolagráficaesunarectanoparalelaalosejesdecoordenadas,supendienterepresentalarazóndecambioconstantedelavelocidadconrespectoaltiempo;osea,laaceleraciónconstantedelapartícula.


98 Física I

Silagráficavelocidadcontratiempo(n-t) esunarectanoparalelaalosejescoordenados,elmovimientodelapartículaesrectilíneouniformementeaceleradoylamagnituddesuaceleraciónesnuméricamenteigualalapendientedelarecta.

Si el valor de la pendiente es positivo, significa quelavelocidaddelapartículaaumentaconeltranscursodeltiempo,encasocontrario,disminuye.

Si lagráficavelocidad-tiempo(n-t) esunarectaho-rizontalparalelaaleje t, significaquenohaycambiodevelocidad;osea, laaceleraciónes igualacero.Ésteeselcasodelmovimientorectilíneouniforme.

t

v

Sabemosquelamagnituddeláreabajolarectadelagráfica de velocidad contra tiempodelmovimiento rec-tilíneo uniforme es numéricamente igual a la distanciarecorridaporelmóvil.Estotambiénsecumpleenelmo-vimientorectilíneouniformementeacelerado.

Analicemos la siguiente gráfica de velocidad contratiempoparalaaceleraciónconstante:

A2

A1

v

v

v0

0 t t

Deacuerdoconlagráfica,lamagnituddeláreaA1estádadaporlaexpresión:

A1 =n0 tAsimismo,lamagnituddeláreaA2sedeterminame-

diantelaexpresión:

A2 =t v

2

Luego:

A2 =v v0

2t

Deacuerdoconlaecuacióna== −a

v vt

0 ,tenemos:

at=n - n0

Alsustituirlaexpresiónequivalenteobtenidaden - n0 enA2 =A2 =

v v0

2t t, obtenemos:

=

=

A at t

A at

2

2

2

2

2

EláreatotalbajolacurvaeslasumadeA1yA2,luego:

= +A v t at12T 0

2

Deacuerdoconelresultadoobtenidotenemos:

AT=Dx=d

Enlagráficadevelocidadcontratiempoparalaace-leraciónconstante,eláreabajolacurva,estoes,bajola recta inclinada, es igual al desplazamiento y, porconsiguiente,aladistanciarecorridaporelobjetoencuestión.

Ejemplo 2.19 Lasiguientefiguracorrespondealagráficadevelocidadcontratiempodeunobjetoquesemueveconaceleraciónconstante.

18

10

5.0t(s)

v(m/s)

Determina:

a) Laaceleracióndelobjeto.

SoluciónDado que la aceleración es constante, el valor de lapendientedelarectaesigualalamagnituddelaace-leracióninstantáneaduranteelintervalodetiempo.

a = m,luego:

=−

−

=

=

a

a

a

18 105.0 0

m s

185.0

1.6m s

2

2


Tema 3 Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, mrua 99=−

−

=

=

a

a

a

18 105.0 0

m s

185.0

1.6m s

2

2

b) Ladistanciaquerecurrealos5segundos.

SoluciónLadistanciaquerecorreelobjetoesdelamismamag-nitudqueladeldesplazamiento;porconsiguiente:

vv(m/s)

v0

t(s)t

A1

A2v − v0

d = x = Área bajo la recta

ATOTAL = v0 t +v – v0

2t

ATOTAL = 10m s)(5.0s( ) + 18m s –10m s2

5

ATOTAL = 50m + 20m = 70m

Porlotanto,d=70m.

Gráfica de aceleración contra tiempo para el mrua

Silaaceleracióndeunapartículamaterialesconstante,lagráficadeaceleracióncontratiempoesunarectaparalelaaleje t, queestáporencimadelejet si laaceleraciónespositivaypordebajosiesnegativa.

Área = A

a

0 t t

a

Observa que el área bajo la recta en un intervalo detiempodeterminadoesigualalcambiodevelocidad;estoes:

A = at =v – v0

tt, luego

A = v – v0

Gráfica de posición contra tiempo del mrua

La siguiente parábola representa la gráfica de posicióncontratiempodeunapartículaquepartedelreposoconaceleraciónconstante.Matemáticamente,estonosindicaqueladistanciaoeldesplazamientoquerecorreunapartí-culaenelmovimientorectilíneouniformementeaceleradovaríademaneraproporcionalconelcuadradodeltiempo;estoes,larazón x

t2 esconstante.

10

6

20

14

18

22

d

t1 3 5 7 9

Figura 2.26

Observaqueenelmrua,elmóvilrecorreunadistan-ciamayorcadasegundo.

Enlagráficadeposicióncontratiempo,lavelocidadinstantáneaenuntiempot ladeterminalarectatangentealacurvaendichoinstante.Observalafigura2.27.

vP

OR

v

d(m)

0

v = 0

t0 t1 t2t

Figura 2.27 En el instante t0, la velocidad instantánea es positi-va, en t1 es cero y en t2 es negativa.

Deacuerdoconloanterior,siqueremoscalcularlave-locidadinstantáneaenunpuntodelaparábola,tenemosquetrazarunarectatangentea lacurvaendichopunto.Lapendientedelatangentenuméricamenteesigualalamagnituddelavelocidadinstantánea.Asimismo,laincli-nacióndedicharectadeterminasudirección.

Encursossuperioresdematemáticasaprenderásade-terminar la velocidad y la aceleración instantáneade unmóvilconlaayudadelcálculodiferencial.


100 Física I


1. Siunavióncambiasuvelocidaduniformementede80m/sa100m/sen10segundos,calcula:a) laaceleracióndelavión.

a) 3.0m/s2

b) 1.5m/s2

c ) 2.0m/s2

d ) 2.5m/s2

c ) 2.0m/s2

b) Ladistanciaquerecorreenlos10segundos.a) 9.0×102mb) 8.0×102mc ) 8.5×102md ) 9.5×102m

a) 9.0×102m

2. Siunavióncambiasuvelocidaduniformementede150m/sa60.0m/sen15.0segundos,calcula:a) Laaceleracióndelavión.

a) -5.0m/s2

b) 5.0m/s2

c ) -6.00m/s2

d ) 6.00m/s2

c ) -6.00m/s2

b) Ladistanciaquerecorreenlos15segundos.a) 1.57×103mb) 1.70×103mc ) 1.45×103md ) 1.65×103m

a) 1.70×103m

3. Unautoqueviajaa20m/sacelerauniformementearazónde1.8m/s2 durante10segundos.Calcula.a) Lavelocidadalos10.0segundos.

a) 40m/sb) 34m/sc ) 35m/sd ) 38m/s

d) 38m/s

b) Ladistanciaquerecorredurantelos10segundos.a) 3.4×102mb) 2.9×102mc ) 2.2×102md ) 4.0×102m

b) 2.9×102m



4. Unautoviajaa72km/h.Sialaplicarlelosfrenoscambiasuvelocidaduniformementearazónde-4.0m/s2. ¿Cuántosmetrosrecorreantesdedetenerse?a) 50mb) 45mc ) 60md ) 40m

a) 50m

5. Siunaviónquepartedelrepososeacelerauniformementearazónde3.0m/s2 durante24segundos,calcula:a) Lavelocidaddedespegue.

a) 80m/sb) 70m/sc ) 72m/sd ) 76m/s

c) 72m/s

b) Ladistanciaquerecorreantesdedespegar.a) 8.6×102mb) 7.4×102mc ) 9.0×102md ) 8.0×102m

a) 8.6×102m

6. Unautodecarrerasquepartedelrepososeacelerauniformementeyrecorre350men10segundos.Calcula:a) Laaceleracióndelauto.

a) 6.0m/s2

b) 6.5m/s2

c ) 7.4m/s2

d ) 7.0m/s2

d) 7.0m/s2

b) Lavelocidadalos10segundos.a) 60m/sb) 70m/sc ) 58m/sd ) 62m/s

b) 70m/s


102 Física I

7. Unamotocambiasuvelocidaduniformementede15m/s a25m/s en4.0segundos.Calcula.a) Laaceleracióndelamoto.

a) 2.5m/s2

b) 2.0m/s2

c ) 3.0m/s2

d ) 2.1m/s2

a) 2.5m/s2

b) Ladistanciaquerecorreen4.0segundos.a) 75mb) 88mc ) 80md ) 70m

c) 80m

8. Unautodecarrerasviajaa216km/h.¿Quédistanciarecorreráantesdedetenersesialfrenarcambiasuvelocidaduniformementearazónde-10m/s2?a) 1.6×102mb) 1.8×102mc ) 1.9×102md ) 2.0×102m

b) 1.8×102m

9. Unamotoqueviajaa72km/hacelerauniformementearazónde1.5m/s2durante8.0segundos.Calcula:a) Lavelocidadalos8.0s.

a) 30m/sb) 28m/sc ) 26m/sd ) 32m/s

d) 32m/s

b) Ladistanciaquerecorrelamotoenlos8.0s.a) 2.4×102mb) 1.9×102mc ) 2.1×102md ) 2.5×102m

c) 2.1×102m



10. Uncamiónconaceleraciónconstantearazónde2.0m/s2 cruzauntúnelde80mdelargoen4.0segundos.Calcula:a) Lavelocidaddelcamiónalprincipiodeltúnel.

a) 16m/sb) 15m/sc ) 10m/sd ) 12m/s

a) 16m/s

b) Lavelocidaddelcamiónalfinaldeltúnel.a) 20m/sb) 24m/sc ) 25m/sd ) 28m/s

b) 24m/s

11. Unautoqueviajaa25m/ssúbitamenteaplicalosfrenosyrecorre45mantesdedetenerse.Calcula:a) Laaceleracióndelautosiesconstante.

a) -6.9m/s2

b) 6.9m/s2

c ) -7.5m/s2

d ) 7.5m/s2

a) -6.9m/s2

b) Eltiempoquetardaendetenerseelauto.a) 3.0sb) 3.6sc ) 4.0sd ) 3.9s

b) 3.6s

12. Unpatinadorquepartedelreposomantieneunaaceleraciónconstantede0.60m/s2durante10segundos.Calcula:a) Lavelocidaddelpatinadoralos10segundos.

a) 8.0m/sb) 5.0m/sc ) 7.0m/sd ) 6.0m/s

d) 6.0m/s

b) Ladistanciaquerecorreenlos10s.a) 28mb) 30mc ) 60md ) 40m

b) 30m


104 Física I

13. Unautoquepartedelrepososeacelerauniformementeyrecorre80men5.0segundos.Calcula:a) Lavelocidaddelautoalos5.0segundos.

a) 32m/sb) 28m/sc ) 25m/sd ) 30m/s

a) 32m/s

b) Laaceleracióndelauto.a) 7.2m/s2

b) 7.0m/s2

c ) 6.4m/s2

d ) 6.0m/s2

c) 6.4m/s2

14. Siunaviónqueaterrizaa 216 km/hsedetienedespuésderecorrer1200m.Calcula:a) Laaceleracióndelaviónsiesconstante.

a) -1.8m/s2

b) 1.8m/s2

c ) 1.5m/s2

d ) -1.5m/s2

d) -1.5m/s2

b) Eltiempoquetardaendetenerseelavión.a) 50sb) 35sc ) 40sd ) 44s

c) 40s

15. Unautopartedelreposoyseacelerauniformementealcanzandounavelocidadde28m/s en10segundos.Calcula:a) Laaceleracióndelauto.

a) 2.8m/s2

b) 2.0m/s2

c ) 3.2m/s2

d ) 1.8m/s2

a) 2.8m/s2

b) Ladistanciaquerecorreelautoenlos10s.a) 1.6×102mb) 1.5×102mc ) 1.2×102md ) 1.4×102m

d) 1.4×102m



16. Unamotocambiauniformementesuvelocidadde10m/s a18m/s en4.0segundos.Calcula:a) Laaceleracióndelamoto.

a) 1.5m/s2

b) 7.0m/s2

c ) 2.0m/s2

d ) 2.5m/s2

c) 2.0m/s2

b) Ladistanciaquerecorrelamotoenlos4.0s.a) 60mb) 56mc ) 50md ) 62m

b) 56m

17. Unautoqueviajaa108km/hfrenaysedetienedespuésde6.0segundos.Calcula:a) Laaceleracióndelautosiesconstante.

a) 6m/s2

b) -6m/s2

c ) 5.0m/s2

d ) -5.0m/s2

d) -5.0m/s2

b) Ladistanciaquerecorreelautoantesdedetenerse.a) 90mb) 95mc ) 80md ) 98m

a) 90m

18. Unautoqueviajaa20m/s frenaysedetienedespuésderecorrer40m.Calcula:a) Laaceleracióndelauto.

a) -4.0m/s2

b) -5.0m/s2

c ) 5.0m/s2

d ) 4.0m/s2

b) –5.0m/s2

b) Eltiempoquetardaendetenerse.a) 3.0sb) 5.0sc ) 4.0sd ) 2s

c) 4.0s


106 Física I

19. Unamotoconunavelocidadinicialde6.0m/s seacelerauniformementearazónde1.5m/s2durante8.0segundos.Calculaladistanciaquerecorrelamotoduranteesetiempo.a) 80mb) 90mc ) 96md ) 88m

c) 96m

20. Lavelocidaddedespeguedeunavióndebeserde80m/s.Calculalaaceleraciónconstantedelaviónsidebeelevarseenunapistade1000mdelongitud.a) 3.2m/s2

b) 2.6m/s2

c ) 3.8m/s2

d ) 2.9m/s2

a) 3.2m/s2

21. Lasiguientefiguracorrespondealagráficadevelocidadcontratiempodeunobjeto.

14

10

6

2

4 7 14t (s)

v (m/s)



Determina:a) Laaceleraciónenelintervaloquevadesde0hasta

4segundos.a) 2m/s2

b) 1m/s2

c ) 3m/s2

d ) 4m/s2

a) 2m/s2

b) Laaceleraciónenelintervaloquevade4a7segundos.a) 1m/s2

b) 2m/s2

c ) 0.5m/s2

d ) 0m/s2

d) 0m/s2

c ) Laaceleraciónenelintervaloquevade7a14segundos.a) 2m/s2

b) -2m/s2

c ) -1m/s2

d ) 1m/s2

b) -2m/s2

d ) Laaceleraciónmediaenelintervaloquevade0a14segundos.a) -0.6m/s2

b) 0.6m/s2

c ) -0.4m/s2

d ) 0.4m/s2

c) -0.4m/s2

trABAjO cOlABOrAtivO

1. Realicenlasiguienteactividadenequipo.Cadaintegrantedelequipodeberácorrer 50metrosdedistanciayrecopilarinformaciónsobrelostiemposempleadosenrecorrerlasdistanciasde10,20,30,40y50metros,llenenlasiguientetablayrealicenlasgráficasdedesplazamiento-tiempo,velocidad-tiempo,aceleración-tiempo.

Integrante

Distancia (metros)

Tiempo empleado (segundos)

1020304050


108 Física I

d

t

v

t

a

t

Demaneraindividual,analizalasgráficasdedesplazamiento-tiempoobtenidasdecadaunodelosequipos,ydetermi-na,cualitativaycuantitativamente,quiénsemovióconmayoraceleración.

Escribeenelparéntesislaletraquecorrespondaalarespuestacorrecta.

1. ( )Tipodemovimientoenelqueuncuerposemueveconaceleraciónconstante.a) movimientouniformeb) movimientorectilíneoc ) movimientod ) movimientorectilíneouniformementeaceleradoe) movimientoacelerado

2. ( )ValorlímitedelaaceleraciónmediacuandoDttiendeacero.a) velocidadinstantáneab) velocidadmediac ) aceleracióncentrípetad ) aceleracióninstantánea

3. ( )Unobjetoexperimentaunaaceleracióncuando:a) cambiadeposiciónb) cambiasuvelocidadsolamentec ) cambialadireccióndesumovimientosolamente.d ) bycsoncorrectas

4. ( )Lapendientede la rectade lagráficadevelocidadcontratiempocuandounobjetosemueveconaceleraciónconstanterepresenta:a) laaceleracióndelobjetob) eldesplazamientodelobjetoc ) lavelocidaddelobjetod ) eltiempotranscurrido

5. ( )Silaaceleracióndeunobjetoesconstante,significaqueexperimentacambiosen:a) sumasab) supesoc ) suvelocidadd ) suaceleración

Conbaseenlassiguientesfiguras,contestalaspreguntas6-8.d I

III IV

V VI

II

tTiempo

Posic

ión

d

tTiempo

Posic

ión

a

tTiempo

Ace

lerac

ión

v

tTiempo

Velo

cidad

d

tTiempo

Posic

ión

v

tTiempo

Velo

cidad


d I

III IV

V VI

II

tTiempo

Posic

ión

d

tTiempo

Posic

ión

a

tTiempo

Ace

lerac

ión

v

tTiempo

Velo

cidad

d

tTiempo

Posic

ión

v

tTiempo

Velo

cidad

6. ( )¿Cuálesdelasgráficascorrespondenalmovimientodeunobjetoconaceleraciónconstante?a) iiib) vc ) Sóloiid ) iiyive) i

7. ( )¿Cuáldelasgráficascorrespondeaunobjetoqueseencuentraenreposo?a) vb) iic ) id ) vi

8. ( )¿Cuáldelasgráficascorrespondealmovimientodeunobjetoconvelocidadconstanteendirecciónnegativa?a) vb) ic ) iiid ) vie) iiyiv

Unautomóvilquepartedelreposoalcanzaunavelocidadde28m/salfinalde7.0segundos.Contestalaspreguntas9y10.

9. ( )Calculalaaceleracióndelautosiesconstante.a) 5.0m/s2

b) 4.0m/s2

c ) 3.0m/s2

d ) 6.0m/s2

10. ( )Calculaladistanciarecorridaenlos7.0s.a) 98mb) 102mc ) 90md ) 100m

Untrencambiauniformementesuvelocidadde54 km/ha90 km/hen10 segundos.Contestalaspreguntas11y12.

11. ( )Determinalaaceleracióndeltren.a) 2.0m/s2

b) 1.5m/s2

c ) 1.0m/s2

d ) 3.0m/s2

12. ( )Determinaladistanciaquerecorreenlos10s.a) 1.8×102mb) 2.1×102mc ) 2.2×102md ) 2.0×102m

Unautoqueviajaa20m/s frenaderepenteyalcanzaare-correr40mhastadetenerse.Contestalaspreguntas13y14.

13. ( )Hallalaaceleracióndelauto.a) -4.0m/s2

b) 4.0m/s2

c ) -5.0m/s2

d ) 6.0m/s2

e) 5.0m/s2

14. ( )Determinaeltiempoquetardaendetenerse.a) 4.0sb) 3.5sc ) 5.0sd ) 4.5s

Lavelocidaddeunaviónenelmomentodesuaterrizajeesde216km/hyalcanzaarecorrer900mantesdedetenerse.Contestalaspreguntas15y16.

15. ( )Determinasuaceleraciónsiesconstante.a) 2.0m/s2

b) -1.8m/s2

c ) -2.0m/s2

d ) 1.8m/s2

e) -1.6m/s2

16. ( )Determinaeltiempoquetardaendetenerse.a) 33sb) 29sc ) 37sd ) 30s

Unaviónparadespegarrecorre810men18segundos.Con-testalaspreguntas17y18.

17. ( )Determinalaaceleraciónconstantedelavión.a) 40m/s2

b) 6.5m/s2

c ) 5.0m/s2

d ) 5.5m/s2

18. ( )Determinalavelocidaddedespeguedelavión.a) 95m/sb) 90m/sc ) 80m/sd ) 5m/s

19. ( )Untráilerquepartedesdeelrepososemueveconaceleraciónconstantede0.40m/s2. ¿Cuántotiempotar-daráenrecorrer500m?a) 1minb) 40s



110 Física I

c ) 80sd ) 50se) 45s

Lasiguientefiguracorrespondealagráficavelocidadcontratiempodeunobjeto.Deacuerdoconlainformaciónquepre-senta,determina:

20

16

1012

18

14

8

42

6

4 8 18t (s)

v (m/s)

20. ( )Elintervalodetiempoenelcualelmovimientodelobjetoesconvelocidadconstante.a) de0a4segundosb) de8a18segundosc ) de0a4yde8a18segundosd ) de4a8segundos

21. ( )Laaceleraciónmediaenelintervalode0a18se-gundos.a) -2.26m/s2

b) -0.4m/s2

c ) -0.55m/s2

d ) 0.4m/s2

22. ( )Calculalaaceleraciónenelintervalode0a4se-gundos.a) 3m/s2

b) 5m/s2

c ) 2.5m/s2

d ) 4m/s2


b) 5m/s2

c ) 3m/s2

d ) 4m/s2


b) 3m/s2

c ) -1.8m/s2

d ) -2m/s2

25. ( )Calculaeldesplazamientoenelintervalode0a4segundos.a) 32mb) 60mc ) 56md ) 50m




Definición y aplicacionesElmovimientodeunobjetoquecaelibrementealasu-perficie,obienquese lanzaverticalmentehaciaarribaohacia abajo son ejemplos comunes del movimiento conaceleración constante. Estetipodeaceleraciónseconocecomoaceleración de la gravedad ysedenotaconlaletrag. Suvaloraproximadocercadelasuperficieterrestreesde9.80m/s2 ysudirecciónsiempreesverticalhaciaabajoyhaciaelcentrodelaTierra.

Figura 2.28 Cuando los objetos se mueven libremente bajo la influencia exclusiva de la gravedad, decimos que están en caída libre.

Cuandolosobjetossemuevenlibrementebajolain-fluenciaexclusivade la gravedad,1 decimosqueestánen caída libre, término conque se alude almovimientodelosobjetosquesedejancaerdesdeelreposooqueselan-zanverticalmentehaciaabajoohaciaarribayquesólolagravedad influye en sumovimiento. Incluso cuando sonlanzadosverticalmentehaciaarriba,sedicequeestánace-lerandohaciaabajo;haciaelcentrodelaTierra.

1 La gravedad es la fuerza de atracción que ejerce un cuerpo de gran masa como la Tierra sobre los objetos.

Aristótelespensabaqueloscuerposmáspesadoscaíanmásrápidoquelosligeros.Estaideafueconsideradacomoverdaderapormásde2000años;sinembargo,enlaactua-lidadesfácilobservarquesisedejancaer,almismotiem-po,unamonedayunapluma,éstacaerámáslentamentedebidoasugransuperficie.Unaplumarevoloteahastaelsueloyladetieneelaire,quedebeserempujadoaunladoparadejarlapasar.Entremásanchoseaunobjeto,mástar-daraencaerporqueelefectodelafriccióndelairesobresumovimientoesmayor.Lafriccióndelaireretrasalacaídadelosobjetos,lacualaumentamientrasmayorsealaalturadesdedondecaeelobjeto.

Sinembargo,enausenciadelaire,esdecir,enelva-cío,lamonedaylaplumacaenconlamismaaceleraciónylleganalfondoalmismotiemposisedejancaerdesdelamismaaltura.

Figura 2.29 La fricción del aire es la razón por la que la pluma no cae al suelo al mismo tiempo que la moneda si se de-jan caer desde la misma altura.

Pluma Moneda

Figura 2.30 En el vacío, una pluma y una moneda caen al mismo tiempo si se dejan caer desde la misma altura.

Tema 4

movimiento con aceleración

constante

aceleración de la gravedad

fórmula cinemática para la caída

libre

gravedad

caída libre

Caída libre


112 Física I

En1971,elastronautaDavidScottdejócaerenlasu-perficiedelaLunaunaplumay unmartillodesdelamismaaltura.Ambosobjetoscayeronalmismotiempoporqueeneselugarnohayatmósferayporlotanto,nohayaire.

DavidScottconfirmóloqueGalileoestablecióen1590:“Enausenciadelafriccióndelaire,todoslosobjetoscaenlibrementeconlamismaaceleración”.CuentalahistoriaqueundíaGalileoconvocóatodosloshabitantesdelpuebloalatorredePisaydesdeallí,atravésdeunaarcadaabierta,dejócaersimultáneamentedospiedrasdediferentepesoytamaño.Estosobjetosgolpearonalmismotiempoelsueloy conestesencilloactodemostróqueAristótelesseequivoca-baacercadelmovimientodelosobjetosquecaenlibremente.

DadoquelacaídalibredelosobjetosesmuyrápidayenlaépocadeGalileolosrelojesnoerantansofisticadoscomolosdehoy,esteingeniosocientíficohizorodarvariaspelotas por diferentes planos inclinados. Pensaba que silaaceleracióneraconstanteparacadainclinación,conti-nuaríasiéndolosilainclinaciónfueraverticalylaspelotascayeranlibremente.

Figura 2.31 Galileo fue el primer físico en efectuar un expe-rimento para demostrar que la aceleración de la gravedad es constante.

Figura 2.32 Experimento de Galileo con pelotas rodando en diferentes planos inclinados.

Galileoobservóqueamedidaqueaumentabalaincli-nacióndelosplanosinclinados,laaceleraciónaumentaba,peroparacadaposicióneraconstante.Finalmente,descu-brióqueaunainclinaciónde90°losobjetoscaenconunaaceleraciónconstante.

ComoGalileonopodíamedirlavelocidadinstantá-neadelaspelotasquesemovíanporlosplanosinclinados,investigólarelaciónentreladistanciarecorridayeltiempoparacadapelotaquerodabadesdeelreposoporunplanoinclinado.Comoresultadodesusexperimentosconcluyólosiguiente:

Ladistanciarecorridavaríadirectamenteproporcio-nal al cuadrado del tiempo: d = kt 2, donde k es laconstantedeproporcionalidad.

Fórmulas cinemáticas para la caída libreDadoquelaaceleracióndelagravedadesconstante,po-demosutilizar lasmismas fórmulasque aplicamos en elmovimientounidimensionalhorizontal,sólotenemosquesustituirgporayasíestablecerunsistemadereferenciacuyoejedecoordenadasseavertical.

Elpuntodelanzamientoodecaídadeunobjetoenparticularsetomacomoorigendelejedecoordenadas;así,tambiénsesustituyeenlasfórmulasDyporDx;yporxyy0porx0.

Experimentalmente,sehaencontradoqueelvalordelaaceleracióndelagravedadvaríaconlalatitudyconlaaltura; sinembargo,comocercade lasuperficie terrestrelasvariacionessonmuypequeñasynoafectanlosresulta-dosenlamayoríadelosproblemasprácticos,enestetextotomaremoselvalordelaaceleracióndelagravedadcomo9.80m/s2.

Enlasolucióndeproblemasdecaídalibreesnecesarioconvenirladirecciónpositivadelmovimiento.Siconveni-mosqueladirecciónpositivaeshaciaarriba,elsignodegesnegativo(-)porqueladireccióndelvectoraceleracióneshaciaabajo.Asimismo,losdesplazamientosporencimadelorigensonpositivos,ypordebajo,negativos.

Del mismo modo, si convenimos que la direcciónpositiva delmovimiento es hacia abajo, el signodeg espositivo (+) porque el vector aceleración tiene lamismadirecciónquelaconvenidacomopositivadelmovimiento.

Porúltimo,consideraremosnulalafriccióndelaireenlasolucióndelosejerciciosdeestetexto.

Fórmulas de la caída libreMovimientoverticalhaciaabajo


Tema 4 Caída libre 113

1. =−

−g

v vt t

0

0

3. 2g y = v2 v02

2. y =+

y y0 =v v0

2t 4. y = v0t +

12g t2

y0

y

Si t0 = 0, y0 = 0, h = y y convenimos que la direc-ciónpositivadelmovimientoeshacia abajo, el signodegespositivoporqueelvectoraceleracióntienelamismadirecciónquelaconvenidacomopositivadelmovimiento,entoncestenemoslassiguientesfórmulas:

1. =−

gv vt

0 3. = −g h v v2 202

2. h =v + v0

2t 4. = +h v t g t1

202

Porúltimo,consideraremosnulalafriccióndelaireenlasolucióndelosejerciciosdeestetexto.

Ejemplo 2.20 Unalbañildejacaeruntabiquedes-delacimadeunedificiode40.0mdealtura.Calcula:

a) Eltiempoquetardaenllegaralasuperficie.

SoluciónConsideremoslacaídacomoladirecciónpositivadelmovimiento;entonces,g=9.80m/s2.

y0 = 0v0 = 0t0 = 0

y = 40 mv = ?t = ?

∆y = y − y0h = ∆y = 40 m

g = 9.80 m/s2

y0

y

= +h v t gt120

2

Dadoquen0=0,entonces:h==h gt1

22gt2,dondealdespejart 2resulta:

=t hg

22

Luego:

t hg

t

2

2 40.0m9.80m s

2.857 s2

( )

=

= =

Luego,alexpresarelresultadocontrescifrassignifi-cativas,queda:

t=2.86sb) Lavelocidadconquellegaalasuperficie.

SoluciónAldespejarndelaecuación =

−g

v vt

0 ,dondeV0 = 0,resulta:n = gt;luego

v

v

(9.80m s )(2.86s)

28.03m s

2=

=

Alredondearatrescifrassignificativasqueda:

=v 28.0m s

Ejemplo 2.21 Ernesto lanzasupelotadebeisbolverticalmentehaciaabajoaunavelocidad6.0m/sdes-delacimadeunedificiode30mdealtura.Calcula:

a) Lavelocidadconquelapelotachocaconlasuperficie.

Solución

v0 = 6.0 m/st0 = 0y0 = 0

v = ?y = 30 mt = ?

h = ∆y = 30 – 0h = 30 m

y0

y

g = 9.80 m/s2


114 Física I

Consideraremos como ladirecciónpositiva elmovi-mientohaciaabajo.

= −gh v v2 202

Aldespejarn2enlaecuaciónanterior,resulta:

( )( ) ( )

= +

= +

= =

v v g h

v

v

2

6.0m s 2 9.80m s 30m

624m s 24.98m s

202

2 2 2

2 2

Alexpresarelresultadocondoscifrassignificati-vasqueda: n=25m/s

b) Eltiempoquetardaenllegaralasuperficie.

SoluciónAldespejartenlaecuación =

−g

v vt

0 resulta:= −

=−

=−

=

gt v v

tv vg

t 25 m s 6.0 m s9.80 m/s

1.938s

0

0


=t 1.9s

Ejemplo 2.22 Enrique deja caer un desarmadordesdelaventanadelpisomásaltodesucasa.Sieldes-armadorllegaalsuelodespuésde2.0segundos,calcula:

a) LaalturadelacasadeEnrique.

Solución

V0 = 0t0 = 0y0 = 0

h = y – 0h = y = ?

V = ?t0 = 2.0 sy = ?

y0

y

g = 9.80 m/s2

Consideraremos como ladirecciónpositiva elmovi-mientohaciaabajo.

= +h v t g t120

2

Dadoquen0=0,tenemos:

( )( )

=

=

=

h gt

h

h

12

12

9.80m s 2.0s

19.6m

2

2 2

Redondeamosadoscifrassignificativasparaobtener:

h=20m

Tiro vertical hacia arribaCon el siguiente ejemplo analicemos el tiro verticalhaciaarriba.

Ejemplo 2.23 El jefe de una tribu apache lanzaunaflechaverticalmentehaciaarribaaunavelocidadde39.2m/s.Contestalassiguientespreguntas:a) Determinaeltiempoquetardalaflechaenalcan-zarsualturamáxima.

SoluciónConsideremos la dirección positiva del movimientohaciaarriba,porconsiguientey=9.80m/s2

Dirección positivadel movimiento

v = 0t = ?y = ?

y0 = 0t0 = 0v0 = 39.2 m/s g = 9.80 m/s2

h = y – y0h = y

y

y0

g = 9.80 m/s2

Cuandounobjetoselanzaverticalmentehaciaarriba,suvelocidaddisminuyedemanerauniformea razónde9.80m/s porsegundoporque laaceleraciónde la



gravedadsiempreactúahaciaabajo;suefectoesdismi-nuirlavelocidaddelosobjetosquesubenyaumentarlade losquecaenlibremente.

Cuandounobjetosubelibremente,semuevecadavezconmenorvelocidadhastaquesedetieneunins-tanteydespuéscaeconmayorvelocidad.Laalturaquealcanzaelobjetocuandosuvelocidadesceroeslaal-turamáximaquealcanza.

Enlacimadelatrayectoriadeunobjetoqueselanza verticalmente hacia arriba, la aceleración de lagravedadsiguesiendode9.80m/s2condirecciónha-ciaabajo.Sig fueraigualacero,significaríaquelagra-vedadhabríadejadodeactuarsobreelobjeto.

Deacuerdoconloanterior,enelpuntomásaltodelatrayectoriadelaflechasuvelocidadesceroysuaceleraciónesg.

Así,considerandoladirecciónpositivadelmovi-mientohaciaarriba,tenemos:

=−

−g

v vt t

0

0

Dadoquen = 0yt0=0,entonces:

gvt

gt v

tvg

t

–

39.2m s

9.80m s4.00s

0

0

0

2

( )

=

= −

=−

=−

−=

t=4.00s

b) Calculalaalturamáximaquealcanzalaflecha.

SoluciónLaalturaquealcanzalaflechaesmáximacuandosuvelocidadesigualacero,osea,

hmáx =v + v0

2t

hmáx =0+ 39.2m s

24.00s

hmáx = 78.4m

c) Calculaeltiempoquetardalaflechaenllegarasupuntodepartida.

SoluciónCuandolaflecharegresaasupuntodepartida,eldes-plazamientoresultanteescero,esdecir,h=0.

h v t gt

v t gt

t t

t t

t t

12

12

0

39.2 m s 12

9.80m s 0

39.2 m s 4.90m s 0

39.2 m s 4.90m s 0

02

02

2 2

2 2

2 2

( )( )( )

( )

( )

( )

= +

+ =

+ − =

+ − =

− =

Alextraer t como factor comúnen la expresiónanterior,resulta:

t (39.2m/s-4.90m/s2t ) =0

De acuerdo con la propiedad multiplicativa delcero:

t = 0y39.2 m/s-4.90m/s2 t = 0

39.2m/s =4.90m/s2 t, luego

t 39.2 m s4.90 m s

8.00 s2= =


t=8.00s

Observaqueeltiempoquetardaenascenderlaflechaeselmismoquetardaencaer.

Tiempodesubida=Tiempodebajada

d) Calcula la velocidad con que la flecha llega a supuntodepartida.

Solución

=−

gv vt

0

Donde

v t

g v

v

v

v

v

v

39.2m s, y 8.0s

39.2m s8.0s

9.80m s 39.2m s8.0s

9.80m s 8.0s 39.2m s

9.80m s 8.0s 39.2m s

9.80m s 8.0s 39.2m s

39.2m s

0

2

2

2

2

( )( )

( )

( )

( )

( )

= =

=−

− =−

− = −

− + =

= − +

= −


116 Física I

v t

g v

v

v

v

v

v

39.2m s, y 8.0s

39.2m s8.0s

9.80m s 39.2m s8.0s

9.80m s 8.0s 39.2m s

9.80m s 8.0s 39.2m s

9.80m s 8.0s 39.2m s

39.2m s

0

2

2

2

2

( )( )

( )

( )

( )

( )

= =

=−

− =−

− = −

− + =

= − +

= −

Observaquelavelocidadconquellegalaflechaasupuntodepartidaesdeigualmagnitudqueladesulanzamiento,peroobviamentesudireccióneshaciaabajo,o sea, el signonegativode la velocidad indicaqueelmovimientodelaflechaeshaciaabajo.

Analizando nuestro ejemplo anterior, podemosdecir que cuando un objeto se lanza verticalmentehaciaarriba,sumovimientodeascensoy descensoessimétrico,esdecir:

• Tiempodeascenso=Tiempodedescenso• Las velocidades son de igual magnitud para cadatiempo(antesydespuésdealcanzarsualturamáxima),perodedireccióncontraria.Porlotanto,lamagnituddelavelocidaddelanzamientoesiguallamagnituddelavelocidaddellegadaasupuntodepartida.

Lafigura2.33muestraelcomportamientodelaflechaqueestudiamosenelejemploanterior.

v(↑)(m/s)

v(↓)(m/s)t (s) t (s)

−19.619.6

−9.809.8000

−29.429.4

−39.239.2

2

34

1

0

6s

5s

7s

8s

Figura 2.33

Lasiguientefiguracorrespondealagráficadeveloci-dadcontratiempodenuestroejemplo:

39.2

–39.2

29.4

–29.4

19.6

–19.6

9.8

–9.8t (s)

4 5 6 7

8

v ms

Ejemplo 2.24 Calcula la velocidad con laque sedebelanzarverticalmentehaciaarribaunapelotaparaquealcanceunaalturamáximade20m.

Solución

g = −9.80 m/s2

v = 0y = hmáx = 20 m

y0 = 0v0 = ?

y

y0

Direcciónpositiva

= −g h v v2 202

Dadoquey0 =0yn=0,entonces:

( )

= −

− = −

g h v

v

2

2 9.80m s 20m

02

202

Multiplicamos por -1 ambos miembros de laecuaciónanterior:

( )( )

( )( )

=

=

=

v

v

v

2 9.80 20 m s

2 9.80 20 m s

19.79m s

02 2

2 2



Redondeamosadoscifrassignificativasparaob-tener:

n=20m/s

Ejemplo 2.25 Desdelacimadeunedificiode60mdealtura,unacatapulta lanzaunapiedravertical-mentehacia arriba a una velocidadde 30m/s. Si lapiedraapenaslograpasareledificiodurantesucaída,contestalassiguientespreguntas.

a) Calculael tiempoquetarda lapiedraenalcanzarsualturamáxima.

Solución

Direcciónpositiva

v = 0t = ?y = ?

y0 = 0t0 = 0v0 = 30 m/s

60 m

0

h = y – y0 = y – 0 = yh

g = −9.80 m/s2

= +h h60mmáx

La figura de arribamuestra el sistema de referenciaconorigenenelpuntodesdedondeselanzalapiedraverticalmente hacia arriba. Consideraremos como ladirecciónpositivadelmovimientohacíaarriba.

=−

gv vt

0

Dadoque:v

g vt

v gt

t vg

t

t

0

30m s

9.80m s

3.06s

2

( )

=

=−

− =

=−

=−

−

=

v

g vt

v gt

t vg

t

t

0

30m s

9.80m s

3.06s

2

( )

=

=−

− =

=−

=−

−

=


t=3.1s

b) Calculalaalturamáximaquealcanzalapiedraconrespectoalabasedeledificio.

SoluciónPrimerocalculemoslaalturamáxima(h)quealcanzalapiedraconrespectoasupuntodepartida.

h =v + v0

2t

Donde:

n=0,

Luego:

h =v0

2t,

Luego:

h = 302

m s 3.1s( )

h = 46.5m


h=46m

Nota:tambiénpuedeserh =47m.

Calculemosacontinuaciónlaalturamáximadelapie-draconrespectoalabasedeledificio:

= +

=

h m m

h m

46 60

106

máx

máx

c) Calculalovelocidaddelapiedracuandochocaconelsuelo.

SoluciónEstablezcamos un sistemade referencia cuyo origenseaelpuntodesdedondeempiezaacaer lapiedrayconsideremos la dirección positiva del movimientohaciaabajo.


118 Física I

Direcciónpositiva

g = 9.80 m/s2

v = ?y = 106 m

v0 = 0t0 = 0y0 = 0

H = y = 106 m

H = y − y0 = y − 0

H

= −g H v v2 202

Dadoque =v 00 ,entonces:

( )( )

( )( )

( )( )

=

=

=

= =

v gH

v

v

v

2

2 9.80m s 106m

2 9.80 106 m s

2 9.80 106 m s 45.58m s

2

2 2

2 2 2

2 2 2

Alexpresarelresultadocondoscifrassignificati-vasqueda 46m/s .

d) Calculaeltiempototaldevuelodelapiedra.

Solución

= +

= +

t t t

t t3.1s

TOTAL ASCENSO DESCENSO

TOTAL DESCENSO

Calculemosacontinuacióneltiempodedescensodelapiedra.Parahacerlo,utilizaremoselsistemaderefe-renciadelincisoanterior.

=−

gv vt

0

Donde:

=v 00

Luego:

=g vt

Aldespejartdelaecuaciónanteriorresulta:

gt v

t vg

t

t

t

46m s9.80m s

4.65s 4.7s

4.7sDESCENSO

=

=

=

= ≅

=

Entonceseltiempototales:= +

=

t

t

3.1 4.7s

7.8s

t

t

Concluyendo: si un objeto es lanzado verticalmentehaciaarriba,tenemoslassiguientesfórmulas.

1. =−

gv vt

0

Cuandoelobjetoalcanzasualturamáximan = 0.

2. h = v + v0

2t

3. = +h v t g t120

2

4. = −gh v v2 202

Siconsideramosladirecciónpositivahaciaarriba,entonceselvalordeges

g –9.80 m s2=

ActividAdes de AprendizAje Enlasolucióndelossiguientesejercicios,consideraremosg =9.80m/s2.Consideraremostambiéncomodirecciónpositivahaciaabajocuandolosobjetoscaen.Siunobjetoselanzahaciaarriba,consideremosladirecciónpositivahaciaarriba.



1. Sedejacaerunapiedradesdeelbordedeunbarranco.Silapiedratarda3.60segundosenllegaralasuperficie,determina:a) Lavelocidadconlacualchocalapiedracontrael

suelo:a) 38.5m/sb) 30m/sc ) 35.3m/sd ) 41.2m/s

c) 35.3m/s

b) Laprofundidaddelbarranco:a) 70.4mb) 63.5mc ) 69.4md ) 72.6m

b) 63.5m

2. Luisdejacaerdesdeelbalcóndesuventanaunbalóndefutbol.Silaalturadelbalcónesde11metros,respondelassiguientespreguntas:a) Eltiempoquetardaelbalónenllegaralsuelo.

a) 1.5sb) 1.2sc ) 1.9sd ) 2.0s

a) 1.5s

b) Lavelocidadconlacualelbalónchocacontraelsuelo.a) 15.8m/sb) 12.5m/sc ) 13.5m/sd ) 14.7m/s

d) 14.7m/s

3. Unapiedraquesedejacaerdesdelacimadeunpuente,chocaconelagua2.40segundosdespués.Determina:a) Lavelocidadconquelapiedrachocaconelagua.

a) 23.5m/sb) 24.8m/sc ) 20.0m/sd ) 27.2m/s

a) 23.5m/s

b) Laalturadelpuente.a) 34.6mb) 24.0mc ) 28.2md ) 26.8m

c) 28.2m


120 Física I

4. Desdeungloboaerostáticoselanzaverticalmentehaciaabajounsacodearenaconunavelocidadde4.00m/s.Sielsacollegaalsuelo3.40segundosdespués,calcula:a) Lavelocidadalacualelsacodearenachocacon

elsuelo.a) 43.5m/sb) 40.0m/sc ) 37.3m/sd ) 32.8m/s

c) 37.3m/s

b) Laalturaalaqueseencuentraelgloboconrespectoalsuelo.a) 70.2mb) 65.1mc ) 74.6md ) 64.5m

a) 70.2m

5. Unapiedraselanzaverticalmentehaciaelfondodeunpozoconunavelocidadde4.00m/s.Silapiedrallegaalsueloen1.80segundos,respondelassiguientespreguntas:a) Calculalavelocidadconquelapiedrachocacon

elsuelo.a) 18.4m/sb) 27.1m/sc ) 19.4m/sd ) 21.6m/s

d) 21.6m/s

b) ¿Cuáleslaprofundidaddelpozo?a) 26.0mb) 23.0mc ) 20.9md ) 25.6m

b) 23.0m

6. Sisedejacaerunobjetodesdeloaltodeunedificiode80.0mdealtura,determina:a) Eltiempoquetardaelobjetoenllegaralsuelo.

a) 3.60sb) 4.04sc ) 4.50sd ) 5.00s

b) 4.04s

b) Lavelocidadconlaqueelobjetollegaalsuelo.a) 32.4m/sb) 39.6m/sc ) 44.5m/sd ) 35.2m/s

b) 39.6m/s



7. Nadiadejacaerunapiedradesdeunpuentede60.0mdealturaconrespectoalrío.Determina:a) Eltiempoquetardalapiedraenllegaralagua.

a) 3.0sb) 4.0sc ) 4.5sd ) 3.50s

d) 3.50s

b) Lavelocidadconquelapiedrachocaconelagua.a) 34.3m/sb) 30.5m/sc ) 38.0m/sd ) 36.1m/s

a) 34.3m/s

8. Desdelaazoteadeunedificio,se lanzaverticalmentehaciaabajounapelotaconunavelocidadde6.00m/s. Silape-lotallegaalasuperficie2.40segundosdespués,calcula:a) Lavelocidadconlacuallapelotachocacon

lasuperficie.a) 29.5m/sb) 20.7m/sc ) 24.8m/sd ) 32.8m/s

a) 29.5m/s

b) Laalturadeledificio.a) 48.0mb) 36.0mc ) 42.6md ) 40.5m

c) 42.6m

9. Cynthialanzaunapelotaverticalmentehaciaarribaconunavelocidadde20.0m/s.Determina:a) Eltiempoquetardalapelotaenalcanzarsualtura

máxima.a) 1.5sb) 2.04sc ) 1.8sd ) 2.40s

b) 2.04s

b) Laalturamáximaquealcanzalapelotasobresupuntodepartida.a) 20.4mb) 16.0mc ) 24.1md) 18.5m

a) 20.4mc) Eltiempototaldevuelodela

pelota.d) Lavelocidadconlaquelapelota

llegaasupuntodepartida.e) Laaceleraciónenelpuntomásalto

desutrayectoria.


122 Física I

10. ¿Conquévelocidadsedebelanzarverticalmentehaciaarribaunobjetoparaquealcanceunaalturade16.0msobresupuntodepartida?a) 24.0m/sb) 16.0m/sc ) 15.0m/sd ) 17.7m/s

d) 17.7m/s

11. ¿Conquévelocidadsedebeproyectarverticalmentehaciaarribaunapelotadebeisbolparaquealcanceunaalturamáximade30.0msobresupuntodepartida?a) 20.0m/sb) 18.4m/sc ) 24.2m/sd ) 22.0m/s

c) 24.2m/s

12. CuandoAntoniobateaunapelotadebeisbol,éstaseproyectaverticalmentehaciaarribaaunavelocidadde40m/s.Determina:(consideracomopositivoladireccióndelmovimientohaciaarriba).a) Eltiempoquetardaenalcanzarsualturamáxima.

a) 4.1sb) 3.6sc ) 4.5sd ) 3.8s

a) 4.1s

b) Laalturamáximaquealcanzalapelotasobresupuntodeproyeccióninicial.a) 76mb) 90mc ) 82md ) 88m

c) 82m



c ) Eltiempototaldevuelodelapelota.a) 6.4sb) 9.4sc ) 10sd ) 8.2s

d) 8.2s

d ) Laaceleracióndelapelotaenelpuntomásaltodesutra-yectoria.a) 9.80m/s2

b) 0m/s2

c ) -9.80m/s2

c) -9.80m/s2

e) Lavelocidaddelapelotaalos6.0segundos.a) -14m/sb) -15m/sc ) -19m/sd ) -20m/s

c) -19m/s

f ) Lavelocidaddelapelotaalos7s.a) -29m/sb) -26m/sc ) -30m/sd ) -35m/s

a) -29m/s

g) Lavelocidaddelapelotacuandoregresaasupuntodeproyeccióninicial.a) –45m/sb) –35m/sc ) –38m/sd ) –40m/s

d) -40m/s


124 Física I

13. Unapiedraqueselanzaverticalmentehaciaarribaalcanzaunaalturamáximade18.0msobresupuntodepartida.Determina:(consideracomopositivoladireccióndelmovimientohaciaarriba).a) Suvelocidaddelanzamiento.

a) 18.8m/sb) 21.0m/sc ) 20.0m/sd ) 16.0m/s

a) 18.8m/s

b) Eltiempoquetardaenregresarasupuntodepartida.a) 3.83sb) 4.20sc ) 3.40sd ) 4.50s

a) 3.83s

c ) Laaceleracióndelapiedraenelpuntomásaltodesutrayectoria.a) 0m/s2

b) 9.80m/s2

c ) -9.80m/s2

c) -9.80m/s2

d ) Lavelocidaddelapiedracuandoregresaasupuntodepartida.a) -15.0m/sb) -20.0m/sc ) -18.8m/sd ) -28m/s

c) -18.8m/s

14. Raúllanzaunbalóndebasquetbolverticalmentehaciaarribayregresaasupuntodepartida3.20segundosdespués.Contestalassiguientespreguntas:(consideracomopositivoladireccióndelmovimientohaciaarriba).

a) Lavelocidaddellanzamiento.a) 20.0m/sb) 15.7m/sc ) 14.5m/sd ) 21.0m/s

b) 15.7m/s

b) Laalturamáximaquealcanzalapelotasobresupuntodepartida.a) 12.5mb) 14.0mc ) 10.0md ) 16.0m

a) 12.5m



15. Unapiedrasearrojaverticalmentehaciaarribadesdelacimadeunbarrancode40.0mdeprofundidad.Silavelocidaddellanzamientoesde16.2m/syenlacaídalapiedraapenaslograpasarelbarranco,calcula:a) Eltiempoquetardalapiedraenalcanzarsualtura

máxima.a) 1.65s

h

h máx

40 m

b) 2.4sc ) 1.4sd ) 2.0s

a) 1.65s

b) Laalturamáxima(h máx)quealcanzalapiedrarespectoalacimadelbarranco.a) 15.6mb) 12.0mc ) 13.4md ) 17.0m

c) 13.4m

c ) Laalturamáxima(h máx)quealcanzalapiedrares-pectoalfondodelbarranco.a) 52.0mb) 57.0mc ) 49.0md ) 53.4m

d) 53.4m

d ) Eltiempoquetardalapiedraenllegaralfondodelbarranco.(tiempototaldevuelo)a) 4.95sb) 5.50sc ) 4.00sd ) 4.60s

a) 4.95s

e) Lamagnituddelavelocidadconlaquelapiedrallegaalfondodelbarranco.a) 30.5m/sb) 32.3m/sc ) 38.0m/sd ) 26.0m/s

b) 32.3m/s


126 Física I

16. Elaborauncuadrodesemejanzasydiferenciasentreelmrua(Elcuadrocomparativoconstituyeunaformaprácticadesintetizarlainformación,yfacilitaelcompararloselementosdeuntema,yaseaconsiderandosussemejanzasosusdiferencias.Elcuadrocomparativoestáconstituidoporcolumnasenlasqueseleelainformación en forma vertical y se establece la comparación entre los elementos de una y otra columna.)

Cuadro de semejanzas y diferencias entre el mrua

Horizontal Caída libre Tiro vertical

17. Llenalossiguientescuadrosdesemejanzasydiferenciasenelmovimiento.

Semejanzas en el movimientoTipo de

movimiento Ventilador Automóvil Brincar Hojas secas

mrua

Caída libre

Tiro vertical

Circular

Diferencia en el movimientoTipo de

movimiento Ventilador Automóvil Brincar Hojas secas

mrua

Caída libre

Tiro vertical

Circular




1. ( )Nombredelaaceleraciónqueexperimentanlosob-jetosenlacaídalibre.a) Pesob) Aceleracióncentrípetac ) Aceleracióncentrífugad ) Aceleracióndelagravedad

2. ( )SedejacaerunobjetoAdesdeunaalturah. Unse-gundodespuéssedejacaerdelmismolugarunobjetoB. Sisedesprecialafriccióndelaire,¿cuáldelassiguientesafirmacionesesverdadera?a) Ladistanciaentre losobjetospermaneceráconstante

durantelacaídadeambos.b) Ladistanciaentrelosobjetosmientrascaencadavezes

menor.c ) LadistanciadisminuirásielobjetoB pesamásqueA.d ) Ladistanciaentreellosserácadavezmayormientras

ambosesténcayendo.

3. SupongamosqueunobjetoMsedejacaerenelplanetaMartedesdeunaalturah. Otroobjeto (T ) sedeja caerdesdelamismaalturaperoenelplanetaTierra.Conside-ranulalaresistenciadelaireenlaTierraysabiendoquelagravedadenelplanetaMarteesde3.8m/s2.

Determinacuálesdelassiguientesproposicionessonverda-derasofalsas.

a) ( )ElobjetoT tardamástiempoenllegaralasuper-ficie.

b) ( )ElobjetoMllegaconmenorvelocidadalasuper-ficie.

c ) ( )LavelocidadconquellegaalasuperficieelobjetoT es2.6vecesmayorquelavelocidadconlaquellegaelobjetoM.

d ) ( )Lavelocidadconlaquellegaalasuperficieelob-jetoT es 1.6vecesmayorquelavelocidadconlaquellegaelobjetoM.

4. ( )Dosobjetosde4y10kg,respectivamente,sedejancaerdesdeeltechodeunacasaalmismotiempo.

Determinacuálesdelassiguientesproposicionessonverda-derasofalsas.Consideranulalafriccióndelaire.

a) ( )Elcuerpode10kgcaeprimeroalsuelo.b) ( )Lavelocidadconque llegaelobjetode4kges

menorqueconlaquellegaelde10kg.c ) ( )Ambosobjetoscaenalsueloalmismotiempo.d ) ( )Ambosobjetoschocanconelsueloconlamisma

velocidad.

e ) ( )Laaceleraciónqueexperimentaelcuerpode10kgesmayorqueladelcuerpode4kg.

f ) ( )Laaceleracióndelagravedadqueexperimentanloscuerposesde9.80m/s2yestádirigidaverticalmen-tehaciaarriba.

g) ( )Lagravedadqueexperimentanloscuerposesde9.80m/s2 yestádirigidaverticalmentehaciaabajo.

h) ( )Lavelocidadconlaquelleganalsuelodependedelaalturadesdelaquecaen.

i) ( )Eltiempoquetardanenllegardependedelaal-turadesdelaquecaen.

5. Si desde la superficie terrestre se lanza un objeto verti-calmentehaciaarriba,determinacuálesdelassiguientesproposicionessonverdaderasofalsas.Consideranula lafriccióndelaire.a) ( )Laaceleracióndelobjetoesde9.80m/s2yestá

dirigidahaciaarriba.b) ( )Laaceleracióndelobjetoesde9.80m/s2yestá

dirigidahaciaelcentrodelaTierra(haciaabajo).c ) ( )Lavelocidaddelobjetoenelpuntomásaltodesu

trayectoriaescero.d ) ( )Laaceleracióndelobjetoenelpuntomásaltoes

cero.e) ( )Eltiempodeasensodelobjetoesigualalamitad

deloquetardaencaer.f ) ( )Eltiempodeascensoesigualaltiempodedes-

censo.g) ( )Laaceleraciónenelpuntomásaltoes9.80m/s2y

sudirecciónesverticalhaciaarriba.h) ( )Laaceleraciónenelpuntomásaltoes9.80m/s2y

sudirecciónesverticalhaciaabajo.i) ( )Amayor velocidadde lanzamiento,mayor es la

alturaquealcanzaelobjeto.j ) ( )Sitardatsegundosenregresaralpuntodeparti-

da,entonceseltiempoquetardaenalcanzarsualturamáximaes2t segundos.

k) ( )Silavelocidaddelanzamientodelobjetoes+50 m/s, entoncescuandoregreseasupuntodepartidasuvelocidadseriade-50m/s.

Sedejacaerunapiedradesdeloaltodeunedificioyelobje-totarda2.40segundosenchocarconelsuelo.Respondelaspreguntas6y7.

6. ( )Determinalavelocidaddelapiedraalchocarconelsuelo.a) 23.5m/sb) 25.5m/sc ) 20.5m/sd ) 26m/s


128 Física I

7. ( )Calculalaalturadeledificio.a) 28.2mb) 34.5mc ) 24.6md ) 21.4m

Poraccidente,untrabajadordejacaerdesdeunedificiode70mdealturaunmartillo.Contestalaspreguntas8y9.

8. ( )Determinaeltiempoquetardaelmartilloenllegaralsuelo.a) 3.8sb) 3.2sc ) 4.5sd ) 4.8s

9. ( )Determinalavelocidaddelmartillojustocuandolle-gaalsuelo.a) 43m/sb) 32m/sc ) 40m/sd ) 37m/s

Selanzaunapelotaverticalmentehaciaarribaconunavelo-cidadde49.0m/s.Contestalaspreguntas10a16.Consideracomodirecciónpositivahaciaarriba.

10. ( )¿Cuáles lavelocidadde lapelotaenelpuntomásaltodesutrayectoria?a) 9.8m/sb) 19.6m/sc ) 0m/sd ) 49m/s

11. ( )¿Cuáleslaaceleracióndelapelotaenelpuntomásaltodesutrayectoria?a) 9.80m/s2haciaarribab) 0m/s2

c ) 9.80m/s2haciaabajod ) 4.90m/s2haciaabajo

12. ( )Determinalaalturamáximaquealcanzalapelotaapartirdesupuntodepartida.a) 123mb) 122mc ) 129md ) a yb sonrespuestascorrectas

13. ( )Determinaeltiempoquetardalapelotaenalcanzarsualturamáxima.a) 10.0sb) 4.00sc ) 5.00sd ) 6.00s

14. ( )Determinaeltiempoquetardalapelotaenregresarasupuntodepartida.a) 10.0sb) 12.0sc ) 8.00Sd ) 14.0s

15. ( )Determinalavelocidaddelobjetoalos3.20segun-dos.a) 27m/sb) 40m/sc ) 31.4m/sd ) 28m/se) 17.6m/s

16. ( )Determinalavelocidaddelobjetoalos6.40segun-dos.a) -13.7m/sb) -18.0 m/sc ) 18 m/sd ) -15.4m/se) 13.7m/s

17. ( ) ¿Con qué velocidad tiene que lanzarse un objetoverticalmente hacia arriba para que alcance una alturamáximade13.7mrespetoasupuntodepartida?a) 16.4m/sb) 13.2m/sc ) 18.4m/sd ) 15.2m/s



proyectil

tiro horizontal

parábola

movimiento de proyectiles que son

lanzados hacia arriba con un ángulo

con respecto a la horizontal.

solución de problemas

Movimiento en dos

dimensionesTema 5

Defi nición y aplicacionesUnproyectil escualquierobjetoqueselanzaalaire.

Eneste temaestudiaremos ladescripcióndelmovi-mientoendosdimensionescuando:

1. Se lanzaosearrojahorizontalmenteunobjeto(tirohorizontal).

2. Cuandoselanzaunobjetoconunánguloporencimadelahorizontal.

Figura 2.34 Tiro horizontal.

Figura 2.35 Lanzamiento con un ángulo.

Enestelibronoconsideraremoslosefectosdelare-sistencia del aire.Aunque esto no corresponde a larealidad,confrecuenciaesunabuenaaproximaciónaladescripciónrealdelmovimientodelosproyectiles.

Movimiento horizontal de un proyectil (tiro horizontal)En la obra Discurso sobre dos ciencias, Galileo establecióqueelmovimientoendosdimensionesdeunproyectilsepuedeconsiderarcomodosmovimientosindependientesyqueambosocurrensimultáneamente:unoeshorizontalconvelocidadconstanteyelotroesverticalconacelera-ciónconstante(laaceleracióndelagravedad).

Cuandounproyectilsearrojaolanzahorizontalmen-te,unavezqueestáenelairenoexperimentaaceleraciónen ladirecciónhorizontal, ypor lo tanto sedesplazaendichadirecciónaunavelocidadconstante.Sinembargo,unavezenelaire,elproyectilexperimentalaaceleracióndelagravedad.Porestarazón,mientrassedesplazahori-zontalmente,elproyectilestáencaídalibreenunadirec-ciónvertical.Estehechosepuedecomprobardejandocaerotroobjetoalmismotiempoyalamismaaltura.Losdosproyectileslleganalsuelosimultáneamente;porlotanto,losmovimientosverticalessonidénticos.

x

vy0 = 0

vx0

Figura 2.36 Lanzamiento de dos objetos al mismo tiempo.

Lasiguientefiguradedosesferasiluminadasconluzestroboscópicanosmuestrasustrayectorias:unaesferaselanzahorizontalmentey laotrasólosedejacaer.


130 Física I

Figura 2.37 Imagen de la trayectoria de dos esferas iluminadas con luz estroboscópica.

Sianalizamosdetalladamentelaimagenpodemosob-servarlosiguiente:

1. Laesferaqueselanzahorizontalmentesedesplazalamismadistanciahorizontaldurantelosintervalosdetiempoigualesquetranscurrenentredestellos.Estosignificaquelavelocidaddelaesferaenladirecciónhorizontalesconstante.

2. Lasdosesferastienenlamismaposiciónverticalencada iluminaciónde la luzestroboscópica.Estosignificaqueencadaposiciónverticallaalturadelproyectilquesedejacaeresigualalaalturadelqueselanzahorizontal-mente;demodoqueambosproyectilesllegarándemane-rasimultáneaalsuelo.Porlotanto,laesferaqueselanzahorizontalmenteexperimentalamismaaceleraciónhaciaabajoquelaquesedejacaer;esdecir,elmovimientoverti-caldelaesferaqueselanzahorizontalmenteesidénticoalmovimientodelaesferaquesedejacaer.

Enlasiguientefigurasemuestrandiagramassepara-dosparaelmovimientoverticalyelmovimientohorizon-taldelaesferaqueselanzahorizontalmente.

Inicio

Final

Final

vy ay = g

+y

+x

ax = 0vx

Figura 2.38

La suma vectorial de los componentes horizontal yverticalparaformarelvectorvelocidaddelproyectilqueselanzahorizontalmentesemuestraenlafigura2.39.

Inicio

vyvy

vy

vy

vx

vx

vx

vx

Final

Figura 2.39

Observa que la velocidad horizontal constante y laaceleraciónde la gravedadproducen la trayectoria curvadelproyectil.

Por sus características geométricas, en matemáticasdichacurvarecibeelnombredeparábola.

Pararesolverproblemasdetirohorizontal,deacuer-doconloanterior,podemosconsiderarelmovimientodelproyectilcomodosmovimientosindependientesentresí:unohorizontalconvelocidadconstanteyelotroverticalencaídalibre.

Ejemplo 2.26 Desdeunedificioa80mdealturaselanzahorizontalmenteunproyectilconunaveloci-dadde30m/s.Contestalassiguientespreguntas.

a) Calculael tiempoque tardaelproyectil en llegaralsuelo.

Solución

v0x

h = 80 m

x

y


Tema 5 Movimiento en dos dimensiones 131

Paradeterminareltiempodevueloconsideramosporseparadoelmovimientoverticaldelproyectilytome-mos comoorigendel sistemade referencia el puntodesdedondeelproyectilselanzaalaire.

h = Δy = 80 m

g = 9.80 m/s2

direcciónpositiva

y0 = 0t0 = 0v0y = 0

y = 80 mt = ?vy = ?y

y0

y = v0 y t + 12g t2

h = v0 yt +12g t2

Dadoque =v 0y0 ,entonces:

=h g t12

2

Despejemost 2enlaecuaciónanteriorparaobtener:

= =

=

t hg

t

2 2(80 m)

9.80 m s

4.0s

22

b) Calculaaquédistanciadelabasedeledificiocaeelproyectil.

Solución

d = x = v0tx

y

h = 80 m

Paracalcularestadistanciaconsideraremosporsepa-rado el movimiento horizontal del proyectil. Comolavelocidadhorizontalesconstante;esdecir, =v vx x0 ,entonces:

( )( )

=

=

=

x v t

x

x

30m s 4.0s

120

x


x=1.2×102m

c) Calculalamagnituddelavelocidadcuandoelpro-yectilchocaconelsuelo.

SoluciónComoloscomponentesdelvectorvelocidadsonper-pendiculares,tenemos:

( )

= +

= +

v v v

v v30m s

x y

y

2 2 2

2 2 2

Donde:v gt

v

v

v

v

9.80m s 4.0s 39.2m s

39m s , luego:

30m s 39m s 49.2m s, luego

49m s

y

y

y

2

2 2 2

( )( )

( )

( ) ( )

=

= =

=

= + =

=


v gt

v

v

v

v

9.80m s 4.0s 39.2m s

39m s , luego:

30m s 39m s 49.2m s, luego

49m s

y

y

y

2

2 2 2

( )( )

( )

( ) ( )

=

= =

=

= + =

=

Ejemplo 2.27 Sedejacaerunbotiquíndesdeunaviónque vuelahorizontalmente auna velocidadde198km/hy aunaalturade312m.Contesta las si-guientespreguntas.a) Calculaeltiempoquetardaencaerelbotiquín.

Solución

312 m

Paracalculareltiempoquetardaenllegarelbotiquínalsuelo,consideraremosporseparadoelmovimientoverticaldelproyectil.


132 Física I

h = Δy = 312 m

g = 9.80 m/s2

direcciónpositiva

Oy0 = 0t0 = 0v0y = 0

y = 312 mt = vy = y

y0

= +h v t g t12y0

2

Dadoque =v 0y0 ,entonces:

=h g t12

2

Luego:

( )

=

= =

t hg

t

2

2 312m

9.80m s63.7s

2

22

2

Luego:t=7.98s

b) Determinaladistanciaquerecorreelavióndesdeel instanteenque sedejacaerelbotiquínhastaquechocaconelsuelo.

SoluciónEnlaproyecciónhorizontaldelmovimientolaveloci-dadesconstante.Porlotanto:

x v t

x

x

x

198km h 7.98s

55.0m s 7.98s

439m

x

( )( )( )( )

=

=

=

=

c) Calcula lamagnitud de la velocidad del botiquíncuandochocaconelsuelo.

Solución

y

x

n

nx

ny

( )

= +

= +

v v v

v v55.0m s

x y

y

2 2 2

2 2 2

Donde,v g t

v

v

9.80m s 7.98s

78.2m s

y

y

y

2( )( )

=

=

=

Porconsiguiente:v

v

55.0m s 78.2m s

95.6m s

2 2 2( ) ( )= +

=


1. Unaeroplanodeabastecimientoquevuelaa80.0m/sydesciendea120mdeelevación,donde,envuelohorizontalliberaunbultodemedicamentosparaquecaigaenunaseñal.Halla:

h = 120 m



a) Eltiempoquetardaenllegarelbultoalsuelo.a) 6.00sb) 3.50sc ) 4.95sd ) 4.25s

c) 4.95s

b) ¿Aquédistanciadelcampamentoelpilotodebesoltarelbulto?a) 396mb) 415mc ) 380md ) 410m

a) 396m

2. Desdeunaviónquevuelahorizontalmentea1400mconunavelocidadde140m/ssedejacaerunbultodealimen-tos.Hallar:a) Eltiempoquetardaelbultoenllegaralsuelo.

a) 16.9sb) 14.0sc ) 18.5sd ) 20.0s

a) 16.9s

b) Elalcancedelbulto.a) 2.90×103mb) 2.65×103mc ) 2.37×103md ) 2.00×103m

c) 2.37×103m


134 Física I

c) Lamagnituddelavelocidadconquellegaelbultoalsuelo.a) 200m/sb) 225m/sc ) 220m/sd ) 217m/s

d) 217m/s

3. Unabalasedisparahorizontalmenteconunavelocidadde200m/sdesdeunaalturade1.60msobreelsuelo.Determina:a) Eltiempoquelabalapermaneceenelaire.

a) 0.571sb) 1.45sc ) 0.862sd ) 0.350s

a) 0.571s

b) Elalcancehorizontaldelabala.a) 120mb) 108mc ) 114md ) 100m

c) 114m

4. Desdeunhelicópteroquevuelahorizontalmenteconunavelocidadde40.0m/s sedejacaerunproyectildesdeunaalturade200m.Encuentra:a) Eltiempoquetardaelproyectilenchocarconelsuelo.

a) 7.50sb) 6.39sc ) 6.00sd ) 7.00s

b) 6.39s



b) Ladistanciahorizontalquerecorreelproyectil.a) 270mb) 240mc ) 248md ) 256m

d) 256m

c ) Lamagnituddelavelocidadconqueelproyectilllegaalasuperficie.a) 68.5m/sb) 80.0m/sc ) 65.0m/sd ) 74.3m/s

d) 74.3m/s

5. Desdeunatorrede75.0mdealturasedisparahorizontalmenteunaflechaconunavelocidadde30.0m/s.Encuentra:a) Eltiempoquetardalaflechaenchocarconelsuelo.

a) 4.50sb) 3.91sc ) 3.50sd ) 3.00s

b) 3.91s

b) Elalcancehorizontaldelaflecha.a) 117mb) 120mc ) 110md ) 114m

a) 117m


136 Física I

c ) Lamagnituddelavelocidadconlaquelaflechachocaconelsuelo.a) 48.7m/sb) 54.5m/sc ) 41.6m/sd ) 45.0m/s

a) 48.7m/s

6. Desdeunedificio,a20mdealturasobreelsuelo,selanzaunproyectilhorizontalmentequecaea24mdelabasedeledificio.Determinalavelocidaddelanzamiento.

vy = 0

x = 24 m

y

x

h = 20 m

a) 8m/sb) 14m/sc ) 12m/sd ) 18m/s

c) 12m/s

7. Carlosarrojaunproyectilhorizontalmentedesdeunacantiladode100mdealtura.Sichocaa90mdedistanciadelabasedelbarranco,calculalavelocidaddelanzamiento.

x = 90 m

100 m

a) 16m/sb) 24m/sc ) 18m/sd ) 20m/s

d) 20m/s



Movimiento de proyectiles que son lanzados hacia arriba con un ángulo con respecto a la horizontalCuandounproyectilselanzahaciaarribaconunángulo(q) respectoalahorizontal,elvectordelavelocidadinicialtieneunacomponentehorizontaldesignadaporv x0 yunacomponenteverticaldesignadaporv y0 donde:

θ

θ

=

=

v v

v v

cos

sen

x

y

0 0

0 0

x

vy

Vx0

Figura 2.40

Estetipodemovimientotambiénsepuedeconsiderarcomolacombinacióndedosmovimientos:unohorizontalconvelocidadconstanteyelotrocomountiroverticalconaceleraciónconstante(laaceleracióndelagravedad).

La figura 2.41 nos muestra que el movimiento deunproyectilqueselanzahaciaarribaconunánguloeslacombinacióndedosmovimientosindependientesunodelotro:unohorizontalconvelocidadconstante,yotroverti-calconaceleraciónconstante(tirovertical).y y y

+

x x x

=

vy = 0

v0

y v0x

Figura 2.41

La curva quedescribe la trayectoria de unproyectillanzado hacia arriba con un ángulo también es unaparábola.

Lafigura 2.42muestra diagramas separadospara elmovimientoverticalyhorizontal.Encadapuntodeladi-recciónvertical,lavelocidaddelproyectilcuandosemuevehaciaabajotienelamismamagnitudquecuandosemueve hacia arriba, pero en sentido contrario.El diagrama delmovimientohorizontalmuestraquelavelocidaddelpro-yectilesconstanteendichadirección.

vxay = 0

+y

+x

vy

g = ay

Figura 2.42

Enlafigura2.43sesumanloscomponentesverticaly horizontal para formar el vector velocidad. Se puedeobservar que la combinación de la velocidad horizontalconstanteylaaceleracióndelagravedadproducenlatra-yectoriadelproyectil,lacualesunaparábola.

Inicio

ay

Finalθ0

Figura 2.43

Observaquelaresultantedelasumadeloscompo-nentesvx yvyencadaposiciónapuntaenladireccióndelvuelodelproyectil.

Solución de problemasAligualqueeneltirohorizontal,pararesolverproblemasdeproyectileslanzadosconunángulo,podemosconside-rarelmovimientodelproyectilcomolacombinacióndedosmovimientos:unohorizontalconvelocidadconstanteyelotrocomountirovertical.

SiTrepresentaeltiempoquetranscurreparaqueunproyectilqueselanzahaciaarribaconunánguloregresealmismonivel desdedonde fueproyectado,H la alturamáxima(queeslaalturadelproyectilcuandolacompo-nenteverticalde lavelocidadescero),yR elalcance(ladistanciahorizontaldel recorridodelproyectil, desde supunto de proyección hasta el otro punto de la parábolaqueestáasumismonivel),demostraremoslassiguientesfórmulascinemáticas.


138 Física I

1. Tiempototaldevuelo.θ

=Tvg

2 sen0

2. Alturamáximaquealcanzaelproyectil.

θ θ( )= =Hv

gv

gsen2

sen2

0

2

02 2

3. Alcancedelproyectil.θ

=Rvg

sen202

v0 representa lamagnitud de la velocidad inicial, y q, el ángulodelanzamientoconrespectoalahorizontal.

vy = 0

y

v0

R

H

x

vx

θ

Primerodemostraremoslafórmula:

θ=Tvg

2 sen0

Comoeltiempodeascensoesigualaldedescenso,anali-cemoslaproyeccióndelmovimientodelacaídalibre.

direcciónpositiva

t = ?

y = vy = ?

y0 = 0t0 = 0v0 = 0

y

y0

H = Δy = y − y0 = y

vy = v0 y + g t

Dadoque:vy = v0 y + g t

v0 y = 0 y t0 = 0

Entonces:=v gty

Luego,

θ

=

=

tvg

tvg

sen

y

0

Comoeltiempodeascensoesigualaldedescenso,eltiempototaldevuelo(T )estádadoporlaexpresión:

θ=Tvg

2 sen0

Demostraremosahoralafórmula.

θ=Rvg

sen202

Debidoaqueenlaproyecciónhorizontaldelmovimientolavelocidadesconstante,tenemos:

=x v tx0

Luego:

x = v0 cos2v0 seng

x =v0

2 2sen cos( )g

De acuerdoconlaidentidadtrigonométrica2senq cos q = sen 2q obtenemos:

θ=Rvg

sen202

Enlaexpresiónanterior,observaquesiq=45°,entonces:R=n0

2sen90°

=°

Rv

gsen900

2

Porconsiguiente:

=Rvg02

Deacuerdoconloanterior:



Paraunavelocidadinicialv0,elalcancemáximodeunproyectilseproducecuandoq =45°.

Lafigura2.44ilustralastrayectoriasdeunobjetolan-zadohaciaarribaconlamismamagnituddelavelocidadinicialperocondiferentesángulos.Enellaseobservaqueelalcanceesmáximocuandoelángulomide45°.

10

8

6

4

20 2 4 6 8 10

y

12 14 16 18 20x

75°

45°

15°45°

30°

60°

Alcance

Figura 2.44 Trayectorias de un objeto lanzado hacia arriba con la misma magnitud de la velocidad inicial pero con diferentes ángulos.

Otrohechoimportantedelmovimientoparabólicoeselsiguiente:

PortrigonometríasabemosquesidosángulosA y B soncomplementarios (A +B =90°), entonces: sen2A=sen2B

Porejemplo,si<A =40°y<B =50°,entonces:sen80°=sen100°

Conbaseenlainformaciónanterior,deducimosquesiselanzaunproyectilconunavelocidadinicialv0,elalcancedelproyectilesigualsiselanzaconunánguloq queconánguloa siysólosiq +a =90°.

30°60°

y

Alcancex

v

Alatrayectoriarealdelosproyectileslaafectandiver-sosfactores,comoelgiroylaresistenciadelaire.Sitoma-mosencuentalaresistenciadelaire,disminuyenlaalturayelalcancemáximosdelproyectily,porconsecuencia,sutrayectoriayanodescribiráunaparábola.

Trayectoriareal en elaire

y

0

Trayectoriaparabólicaen el vacío

R x

Figura 2.45 Efecto de la resistencia del aire en el movimiento de un proyectil.

Demostremos,porúltimo,lafórmulaparacalcularlaalturamáximaH:

θ θ( )= =Hv

gv

gsen2

sen2

0

2

02 2

Laalturadelproyectilesmáximacuandolacompo-nenteverticaldelavelocidadescero;luego:

direcciónpositiva

v0y = v0 sent0 = 0y0 = 0

vy = 0y = H

θ

y0

y

H = y − y0 = y

2g y = vy2 v0 y

2

Dadoque:

= = = −v y a g0, 0 yy y0

Tenemos:

g y v

g H v

Hvg

Hvg

Hv

gv

g

2 0

2

2

2

sen2

sen2

y

y

y

y

02

02

02

02

0

2

02 2θ θ

( )

( )

− = −

− = −

=−

−

=

= =


140 Física I

g y v

g H v

Hvg

Hvg

Hv

gv

g

2 0

2

2

2

sen2

sen2

y

y

y

y

02

02

02

02

0

2

02 2θ θ

( )

( )

− = −

− = −

=−

−

=

= =

Ejemplo 2.28 Luislanzaunapelotadebéisbolconuna velocidad de 20m/s a un ángulo de 50° con lahorizontal.Calcula:

v = 20 m/s

y

v

R

Hx

vx

50°

a) Eltiempototaldevuelo.

Solución

θ

( )

=

=°

=

Tvg

T

T

2 sen

2 20m s sen50

9.80m s

3.1s

0

2

b) Laalturamáximaquealcanzalapelota.

Solución

H =v0 sen( )2

2g

H =20m s( ) sen50°( ) 2

2 9.80m s2( )H = 11.97m 12m

c) Elalcancedelapelota.

Solución

Rvg

R

R

sen 2

20m s sen100

9.80m s

40.2m 40m

02

2

2

θ

( )( )

=

=°

= ≈

d) El alcance de la pelota si se lanza con lamismavelocidada40°conlahorizontal.

SoluciónComo40°y50°sonánguloscomplementarios,elal-cancees igualenambascondiciones.¡Verifícalo!


1. Unproyectilselanzaconunavelocidadde20m/s conunángulode50°conlahorizontal.Calcula.a) Eltiempoqueelproyectilpermaneceenelaire.

a) 2.5sb) 3.1sc ) 3.5sd ) 4.0s

b) 3.1s



b) Laalturamáximaquealcanzaelproyectil.a) 12mb) 15mc ) 10md ) 9.0m

a) 12m

c) Elalcancehorizontal.a) 50mb) 45mc ) 36md ) 40m

d) 40m

d) Elalcancehorizontalsielproyectilselanzaconlamismavelocidada40°conlahorizontal.a) 50mb) 45mc ) 36md ) 40m

d) 40m


142 Física I

2. Sedisparaunproyectilconunavelocidadde30m/sconunángulode40°conlahorizontal.Determina:a) Eltiempototaldevuelodelproyectil.

a) 3.0sb) 4.8sc ) 5.0sd ) 3.9s

d) 3.9s

b) Eltiempoquetardaelproyectilenalcanzarsualturamáxima.a) 1.8sb) 1.9sc ) 2.0sd ) bycsonrespuestascorrectas

c) 2.0s

c) Laalturamáximaquealcanzaelproyectil.a) 2.5mb) 19mc ) 15md ) 30m

b) 19m

d ) Elalcancehorizontal.a) 90mb) 80mc ) 85md ) 95m

a) 90m

e) Elalcancehorizontaldelproyectilsiselanzaconlamismavelocidada50°conlahorizontal.a) 90mb) 80mc ) 85md ) 95m

a) 90m



3. Selanzaunapelotadegolfconunavelocidadde40m/s conunángulode45°.Determina:a) Eltiempoquelapelotapermaneceenelaire.

a) 4.0sb) 5.0sc ) 5.8sd ) 6.5s

c) 5.8s

b) Laalturamáximaquealcanzalapelota.a) 36mb) 39mc ) 41md ) 47m

c) 41m

c) Sualcancehorizontal.a) 1.4×102mb) 1.6×102mc ) 1.5×102md ) 1.3×102m

b) 1.6×102m

d ) Elalcancedelproyectilsiselanzaconlamismavelocidada30°conlahorizontal.a) 1.6×102mb) 1.5×102mc ) 1.3×102md ) 1.4×102m

d) 1.4×102m

e) Elalcancesiselanzaconlamismavelocidadde60°conlahorizontal.a) 1.6×102mb) 1.5×102mc ) 1.3×102md ) 1.4×102m

d) 1.4×102m


144 Física I

4. Si unbalóndefutbolamericanoselanzaconunavelocidadde24m/s conunángulodeelevaciónde60°.Calcula:a) Eltiempoqueduraenelaire.

a) 4.2sb) 3.4sc ) 5.0sd ) 5.5s

a) 4.2s

b) Laalturamáximaquealcanzaelbalón.a) 18mb) 20mc ) 25md ) 22m

d) 22m

c) Elalcancehorizontal.a) 56mb) 51mc ) 40md ) 49m

b) 51m

Realizaunaactividaddondesepuedaobservarelmovimientoparabólico.



Escribeenelparéntesislaletraquecorrespondaalarespuestacorrecta.1. ( )¿Quétipodetrayectoriasigueunapelotadebéisbol

alserbateadaoblicuamenteantesdecaeralsuelo?a) Unaelipseb) Unalínearectac ) Unalínearectaverticald ) Uncírculoe) Unaparábola

2. ( )Enlaproyecciónverticaldeltirohorizontalseconsi-deraque:a) Lavelocidadinicialescero.b) Lavelocidadinicialesconstante.c ) Laaceleraciónescero.d ) Lavelocidadinicialesde9.8m/s2.e) Lamagnitudde la velocidad vadisminuyendohasta

llegaralpuntomásaltodesutrayectoria.3. ( )UnobjetoA se lanzahorizontalmente y almismo

tiemposedejacaerlibrementeotroobjetoB.Enausenciadelafriccióndelairesepuedeafirmarque:a) EltiempoquetardaencaerelobjetoAesmayorque

eltiempoquetardaencaerelobjetoB.b) EltiempoquetardaencaerelobjetoBesmayorque

eltiempoquetardaencaerelobjetoA.c ) EltiempoquetardaencaerelobjetoAeseldobledel

quetardaencaerelobjetoB.d ) EltiempoquetardaencaerelobjetoBeseldobledel

quetardaencaerelobjetoA.e) El tiempo que tarda en caer el objetoA es igual al

tiempoquetardaencaerelobjetoB.4. ( )Elmovimientoparabólicodeunproyectil,enausen-

ciadelaire,sepuedeconsiderarcomolacombinacióndedosmovimientosindependientesentresí:a) Unohorizontalavelocidadconstanteyotroverticala

velocidadconstante.b) Unohorizontal a velocidad constante y otro vertical

conaceleraciónconstanteeigualag.c ) Unmovimientohorizontalconaceleraciónconstantey

otroverticalconvelocidadconstanted ) Tantoenelejexcomoenelejeyelmovimientoescon

aceleraciónconstanteeigualag.e) Solamentehaymovimientoenelejeyconaceleración

constanteeigualag.5. ( )Enel tirohorizontal,alanalizarelmovimientode

unproyectil(enausenciadelaire)laproyeccióndelmovi-mientohorizontales:a) Conaceleraciónconstante.b) Convelocidadigualacero.c ) Convelocidadconstante.

d ) Conaceleraciónigualag.e) Uniformementeretardado.

6. ( )Cuandounproyectileslanzadohaciaarribaconunánguloconlahorizontal,¿cuáldelassiguientesafirmacio-nesesverdadera?a) Lamagnituddelavelocidadenelpuntomásaltodela

trayectoriadelproyectilesigualacero.b) Lamagnituddelaaceleracióndelproyectilenelpunto

másaltodesutrayectoriaesigualacero.c ) Enelpuntomásaltodelatrayectoriadelproyectil,la

componenteverticaldelavelocidadesigualacero.d ) Lacomponentehorizontaldelavelocidadenelpunto

másaltoescero.7. ( )Elmáximoalcancehorizontaldeunproyectilseob-

tienecuandoelánguloconrespectoalahorizontal:a) Mide30°b) Mide90°c ) Mide45°d ) Sumedidaesmayorque45°

8. ( )Unapelotadebéisbolviajahaciaeljardínderechoalserbateada.Duranteelvuelo,lamagnituddelaacelera-cióndelaproyecciónverticaldesumovimientoes:a) Lamismadurantetodoeltrayecto.b) Dependedesilapelotavaenascensooendescenso.c ) Máximaenelpuntomásaltodesutrayectoria.d ) Escero.e) Esmáximaalfinaldesutrayectoria.

Lasiguientefiguramuestralatrayectoriadeunapelota.Conbaseenella,contestalaspreguntas9,10,11,12y13.

t = Vy/g

h

VxVy A

E

DB

C

9. ( )EnelpuntoCdondelaalturaesmáxima,lapelota:a) Tienevelocidadresultantecero,perosuaceleraciónes

diferentedecero.b) Suvelocidadresultantenoescero,perolaaceleración

síescero.c ) Lamagnituddelavelocidadresultanteescero.d ) Lamagnituddelavelocidadresultanteesigualquela

delcomponentehorizontaldelavelocidadinicial.


146 Física I

10. ( )¿Enquépunto(s)lavelocidaddelapelotatienema-yormagnitud?a) EnelpuntoBb) EnelpuntoCc ) EnelpuntoDd ) EnlospuntosAyEe) EnlospuntosByD

11. ( )¿Enquépuntolavelocidadhorizontalesmayor?a) EnlopuntosAyEb) EnelpuntoBc ) EnelpuntoCd ) EnelpuntoDe) Entodoslospuntoseslamisma.

12. ( )¿Enquépuntolamagnituddesuvelocidadverticalesmenor?a) EnelpuntoAb) EnelpuntoBc ) EnelpuntoCd ) EnelpuntoDe) EnelpuntoE

13. ( )¿Enquépuntolamagnituddelavelocidaddelpro-yectilesigualqueladesuvectorcomponentehorizontal.a) Ab) Bc ) Cd ) De) E

Martín lanza horizontalmente una piedra desde lo alto deunacantiladode130mdealturaconvelocidadde20.0m/s.Determina(preguntas14,15y16):14. ( )Eltiempoquetardaenllegaralasuperficie:

a) 10.3sb) 4.00sc ) 3.81sd ) 5.15se) 6.48s

15. ( )Elalcancehorizontal.a) 98mb) 103mc ) 70md ) 86me) 110m

16. ( )Lamagnituddelavelocidadconquelapiedrachocaconelsuelo:a) 58.2m/sb) 46.9m/sc ) 54.3m/sd ) 60.1m/se) 50.8m/s

Un jugadordegolfgolpeaunapelotaconunavelocidadde36.0m/s a40°conlahorizontal.Respondelaspreguntas17,18y19.

17. ( )Determinael tiempoquepermanece enel aire lapelota.a) 7.04sb) 6.41sc ) 2.36sd ) 4.72se) 5.20s

18. ( )Determinalaalturamáximaquealcanzalapelota.a) 24.6mb) 27.3mc ) 35.1md ) 42me) 31.6m

19. ( )Elalcancehorizontal.a) 140mb) 127mc ) 130md ) 135me) 117m

Sedisparaunaflechaa50.0m/sformandounánguloqconlahorizontal.Silaalturamáximaquealcanzófuede120m,contestalaspreguntas20,21y22.

y

H = 120 m

v

θ

20. ( )Determinaelángulodeelevaciónalaquefuepro-yectadalaflecha.a) 56.2ob) 48.5o

c ) 64.6o

d ) 75.9o

e) 80.0o

21. ( )Calculaeltiempototalquelaflechapermaneceenelaire.a) 9.90sb) 8.6sc ) 14sd ) 5se) 12s

22. ( )Hallaelalcancehorizontal.a) 120.5mb) 116.4mc ) 120md ) 124me) 121m



desplazamiento angular

velocidad angular media

aceleración angular

media

grados sexagesimales

radián

movimiento circular

uniforme

velocidad lineal

velocidad tangencial

frecuencia

hertz

periodo

aceleración centrípeta

aceleración angular

aceleración tangencial

fórmulas del movimiento

circular uniforme

fórmulas del

movimiento circular

uniformemente

acelerado

Movimiento circularTema 6

Definición y aplicacionesElmovimientodeunapartículamaterialquedescribeunatrayectoriacircularesunmovimientoendosdimensiones,yporlotantosepuededescribirmediantesuscomponen-tesrectangulares,comoenelmovimientoparabólico.

x

y

r

P (x, y)

Figura 2.46

Observaenlafigura2.46quelamagnituddelvectordeposiciónr esigualalvalordelradiodelacircunferencia.

Paradeterminarlaposicióndeunapartículamaterialenelmovimientocircular,tambiénsepuedenutilizarlascoordenadaspolaresP r( , )θ ,donde:

x ry r

cossen

θθ

==

r

x

P (r, )

q

q

Figura 2.47

Sinembargo,resultamásconvenientedescribirelmo-vimientocircularenfuncióndelasmagnitudesangulares.Ladescripcióndelmovimientoangularesanálogaaladelmovimientorectilíneo,peroseutilizansímbolosdiferentesparaseñalarquelascantidadesfísicastienensignificadosdiferentes.

Acontinuacióndefiniremoslosconceptosdedespla-zamiento angular, velocidad angular media y acelera-ción angular media.

Desplazamiento angularSupongamosqueunapartículamaterial semuevedescri-biendounatrayectoriacircularrespectoaunsistemadeco-ordenadascuyoorigencoincideconelcentrodelacircunfe-rencia.Así,porejemplo,sienelinstantet0=0unobjetoselocalizaenelpuntoAyuntiempo(t )despuésenelpuntoB,entonceselvectordeposiciónrgiraunángulo,alcualseledenominadesplazamientoangularysedenotaporDq.

r ∆

B

Ax

y

0q

q

q 0r

r0=vectordeposicióninicial r=vectordeposiciónfinalObservaque:

0 + =

Luego:= 0

Si 0 = 0


148 Física I

Entonces:=

B

Aq

r0

r

Elánguloquegiraelvectordeposicióndeunobjetoquesemueveconmovimientocircularsellamades-plazamientoangular.

Eldesplazamientoangularsepuedemedirengrados sexagesimales;sinembargo,esmásrecomendableutilizarcomocantidaddemedidaangularelradián.

Elradiánsedefinecomolamedidadelángulocentralquesubtiendeunarcodeiguallongitudqueelradiodelacircunferencia.

B

S

Ar

r

qO

Figura 2.48

Sila longituddelarcoABdelacircunferenciadelafigura2.48 esde igualmagnitudque el radio, entonces:q=1radián.

Ejemplo 2.29 Consideremos que el vector deposicióndeunobjetoque semueve conmovimien-tocirculargira360°(1revolución).Dadoqueenunacircunferenciahay2 r

rradianes,tenemos:

=1 radián

B

A6 cm

6 cm S = 6 cmq

2 rad= 360°

1rad = 360°2

1rad = 57.3°

Asimismo,elnúmeroderadianes(q)subtendidosporunarcodelongitudsesigualalnúmeroderadiosquecabenens,esdecir:

θ =sr

rad

Observaquesr eslarazóndedoslongitudes.Estosignificaqueunamedicióndeqenradianesesadimen-sional,osea,notieneunidadesyporlotantoessólounnúmero.

Velocidad angularLavelocidadangular(w)indicaquétanrápidamentegirael vector de posición de un objeto que se desplaza conmovimiento circular.La velocidad angularmedia (ω) sedefinecomoeldesplazamientoangulardivididoentreeltiempototalparagirardichoángulo.

=t= 0

t t0

Siθ= =t 0 y 00 0

Entonces:

tω

θ=

Aceleración angular mediaLaaceleraciónangularmediaesanálogaa laaceleraciónmediaenelmovimientorectilíneo.Correspondealcam-bio de velocidad angular dividido entre el intervalo detiempoquetardaenefectuarseesecambio.Siαrepresentalaaceleraciónangularmedia,wlavelocidadangularfinal,w0 lavelocidadangular inicialyDtel intervalode tiem-poquetardaenefectuarseelcambiodevelocidadangular,entonces:

=t

= 0

t t0

Si

=t 00 ,


Tema 6 Movimiento circular 149

Tenemos:

t0α

ω ω=

−

Movimiento circular uniformeCuando una partícula material describe una trayectoriacircular respecto a un punto y además desplazamientosangularesigualesenintervalosdetiempoiguales,esdecir,suvelocidadangularesconstante,decimosquesedespla-zaconunmovimiento circular uniforme.Esimportanteprecisarquelarapidezdelobjetotambiénesconstante.

Relación entre la velocidad lineal y la velocidad angular en el movimiento circular uniformeEn el estudio de la descripción del movimiento circularuniforme, además de considerar la velocidad angular delobjetoopartículamaterial,sedebetomarencuentalavelo-cidadconquesedesplazadeunpuntoaotrodesutrayec-toria.Aestavelocidadseleconocecomovelocidad linealyexpresaelcambiodeposición(desplazamiento)quedes-cribeelobjetoopartículamaterialporunidaddetiempo.

Consideremosqueunapartículamaterialconmovi-mientocircularuniformeenelinstantet0=0selocalizaenelpuntoAyuntiempo(t)después,enelpuntoB,comoloilustralafigura2.49.

∆

B

Aq q=

r0

r

Figura 2.49

Deacuerdoconlafigura,r0representaelvectordepo-sicióninicialyrelvectordeposiciónfinal.Dadoqueq0=0,entoncesDq=q.Asimismo,t0= 0.

Enconsecuencia,lavelocidadangularconstantedelapartículamaterialestádadapor:

ωθ

=t

Lafigura 2.50muestra el cambiode posiciónde lapartículamaterial,osea,sudesplazamiento.Estecambiodeposiciónlodenotamos r.

∆r

B

S

Ar0

r

q

Figura 2.50

Dondes=longituddelarcoAByporgeometríasabemosque:

s=r qObservaenlafigura2.50que:

r0 + r = r

Luego:r = r1 r0

La magnitud de la velocidad media de la partículamaterialestádadapor:

v = r/ t = r / t

Ahoraconsideremoslosiguiente:Sielvectordeposicióncambiader0arenunintervalodetiempo(Dt) muypequeño;esdecir,siDt tiendeacero,entonces el desplazamiento angular (q) también esmuypequeño,aligualquelalongituds delarcoAB esaproxi-madamenteigualalamagnituddeDr,esdecir:Si

r 0

Entonces:r s

Luego,=st

V

Peroθ=s r

Porlotanto:θ= tV r /

Luego,debidoaque:

ωθ

=t

Entonces:ωv = r


150 Física I

Lafórmulaanteriorsóloesválidasieldesplazamientoangularsehamedidoenradianes.Observaquetodaslaspartículasdeunobjetoenrotaciónangularconmovimien-to circular uniforme tienen la misma velocidad angular,pero lamagnitudde lavelocidadlinealesdiferenteparadistanciasdiferentesdelejederotación.

v2

v1

= wtr

w

s

d1

d2

Oq

v d

v d d

=

=

1 1

2 1 2

ω

ω( )+

Observaquen1≠n2.Comolohemosseñalado,enelmovimientocircular

uniformelamagnituddelavelocidadlinealdelobjetoesconstante;sinembargo,sudirecciónvaríacontinuamentede punto a punto de la trayectoria.CuandoDt tiende acero,elánguloquegiraelvectordeposiciónesmuype-queño;por lo tanto,prácticamente el segmentode rectacorrespondientealvectordeldesplazamientocoincideconelarcoquedescribeelobjeto.Porconsiguiente,podemosestablecerqueladireccióndelvectordelavelocidadlinealencualquierpuntoenparticulares tangentea la trayec-toriaendichopunto,esdecir,esperpendicularalvectordeposiciónendichopunto(perpendicularalradioenesepunto). Por esta razón, a la velocidad lineal se le llamatambiénvelocidad tangencial.

v2v1

∆v

v

O

qq

Frecuencia y periodoEnelmovimientocircularescomúnexpresarlavelocidadangular en funciónde la frecuenciade rotación.La fre-cuencia,f,eselnúmerodevueltascompletasorevolucio-

nesqueelobjetorealizaporunidaddetiempo.Sienuntiempot elobjetoefectúanrevoluciones,lafrecuencia,f,estádadaporlaexpresión:

=f nt

Porejemplo,sif=60rpm,estosignificaqueelobjetogira60revolucionesporminuto,esdecir,queenunmi-nutoelobjetoda60vueltascompletas.Enelsistemasi,launidaddelafrecuenciaeselhertz(Hz).Unafrecuenciade1hertzcorrespondeaunarevoluciónporsegundoydebeexpresarsecomos–1.

Elperiodo,P, deunobjetoconmovimientocircularuniforme es el tiempo que tarda en efectuar una vueltacompleta o revolución. Si en un tiempo t una partículamaterialefectúanrevoluciones,elperiodoP estádadoporlaexpresión:

=P tn

Elperiodoylafrecuenciasonrecíprocos,estoes:

=

=

=

Pf

fp

Pf

1

1

1

Losconceptosperiodoyfrecuenciaseaplicanalospro-cesosqueocurrenperiódicaocíclicamente.Porejemplo,elmovimientodelaLunaalrededordelaTierra,odeéstaal-rededordelSolnoescircularuniforme,perosí periódicoenunamuybuenaaproximación.Porconsiguiente,elperiodoeseltiempoquetardaunprocesoencompletaruncicloylafrecuenciaenhertzeselnúmerodeciclosporsegundo.

Cálculo de la velocidad angular (w) cuando se conoce la frecuencia (f )Cadavezqueunapartículamaterialenmovimientocircu-lardaunavueltacompleta,suvectordeposicióngira360°,osea,2prad.Estosignificaquesigiranrevolucionesentunidadesdetiempo,tendremos:

= 2 nrad

=t

luego

= 2 nt

, donde

= 2 f



Silaunidaddetiempoeselsegundo,entonceslauni-daddelavelocidadangularserárad/s.

Cálculo de la velocidad angular cuando se conoce el periodoComof=ƒ =

P1 ,entonces:

ωπ

=P

2

Ejemplo 2.30 Undiscode20.0 cmdediámetrogira con movimiento circular uniforme a 150 rpm(150revolucionesporminuto).Contestalassiguientespreguntas.

a) DeterminalafrecuenciadeldiscoenHertz.

Solución

= ×

=

= = = =−

f

f

f

150 revmin

1min60s

2.50 revs

2.50rps 2.50 revs

2.50 2.50hz1

b) Determinalavelocidadangulardeldiscoenrad/s.

Solución

ω π

ω π

ω

( )

=

=

=

f2

2 2.50 rad s

15.7 rad s

c) Calculalavelocidadlinealotangencialdeunpuntoqueselocalizaa5.00cmdelcentrodeldisco.

5 cmwr0

Solución

ω

( )( )

=

=

=

v r

v

v

5.00cm 15.7 rad s

78.5cm s

ω

( )( )

=

=

=

v r

v

v

5.00cm 15.7 rad s

78.5cm s

d) Determinalavelocidadlinealdeunpuntosituadoenlaperiferiadeldisco.

Solución

ω

( )( )

=

=

=

v r

v

v

10.0cm 15.7 rad s

157cm s

e) Calculaelperiododeldisco.

=

=

=

Pf

P

P

1

12.50

s

0.40s

Ejemplo 2.31 Unautosemueveconunaveloci-dadconstantede30m/s.Siel radiodecadaunadesusllantasesde0.40m,calculalavelocidadangulardecadallantaenrad/s.

ω

ω

ω

ω

=

=

=

=

v r

vr

luego;

30m s0.40m

75rad s

Ejemplo 2.32 Con respecto al movimiento derotación de laTierra sobre su propio eje, calcula lavelocidadlinealdeunobjetoqueestáenelEcuador.ConsideraqueelradiodelaTierraesde6.37×106myquesuperiodoesde24horas.

Soluciónω=v r

Donde

ω ππ

π

π

π ( )

( )

= =

=

=

=×

fP

vrP

v rP

v

2 2

2

2

2 6.37 10 m24 h

6LibertadDigital (2015)

152 Física I

ω ππ

π

π

π ( )

( )

= =

=

=

=×

fP

vrP

v rP

v

2 2

2

2

2 6.37 10 m24 h

6

Expresemosahora24hensegundos:

× = ×24h 3600s1h

8.64 10 s4


π ( )=

×

×

=

v

v

2 6.37 10 m

8.64 10 s

463m s

6

4

Ejemplo 2.33 En relación conelproblema2.32,calculalavelocidadangulardelobjeto.

ω

ω

ω

ω

ω

=

=

=×

= ×

= ×

−

−

v rvr

463m s6.37 10 m

72.7 10 rad s

7.27 10 rad s

6

6

5

Aceleración centrípetaComoseexplicó,lamagnituddelavelocidadlinealdeunobjetoconmovimientocircularuniformeesconstante.Sinembargo,sudireccióncambiacontinuamentedepuntoapuntode su trayectoria y, por consiguiente, experimentauna aceleración. Ésta se conoce como aceleración cen-trípetaporque ladireccióndesuvectorcorrespondientesiempreapuntahaciaelcentrodelacircunferencia.

Lafigura2.51muestralosvectoresdevelocidadV1yV2deunapartículamaterialquesemueveconmovimientocircularuniformealprincipioyalfinaldeunintervalodetiempo.

R1

R2

B

Av1

v2O

Figura 2.51

El cambio de velocidad lineal,DV se obtiene gráfi-camentealrestarV1deV2,comoloilustralafigura2.52.

C

R

A V1

V1B

V2 V

2

(a)

FD

E

(b)

∆v

Figura 2.52

Observaqueelsentidode Veshaciaelcentrodelacircunferencia.

Paraobtenerunafórmulaquenospermitadeterminarlamagnitudde laaceleracióncentrípeta, comparemoseltriánguloqueseformaconlosvectoresdeposiciónR1yR2,yeldesplazamientoDRconeltriánguloqueseformaconlosvectoresdevelocidadV1,V2yelcambiodeveloci-dadDV,loscualesseilustranenlafigura2.53.

C

R1

R2

A V1

V1B

V2 V2

FD

E

∆R(a) (b)

∆v

Figura 2.53

DadoqueV1esperpendicularaR1y V2aR2,deduci-mosporgeometríaquelostriángulossonsemejantes,porserambostriángulosisóscelesy portenerigualmedidalosánguloscomprendidosporlosladosdeiguallongitud.Porlo tanto, las razones entre las longitudesde losparesdeladoscorrespondientessoniguales,esdecir:

VR=

V1

R1

=V2

R2

Dadoquev1=v2y r1=r2,consideraremoslapropor-ción:

Dv/Dr = v/r

AldespejarDvenlaecuaciónanteriorresulta:

Dv = vDr/r

Dividimos a continuación ambos miembros de laecuaciónanteriorentreDt, luego:



Vt=

V RtR

Como:Vt= a y R

t= V

Entonces:( )

=

=

a

a

V VR

VRc

2

La fórmula anteriornospermite calcular la acelera-cióncentrípetacuandoseconocelamagnituddelarapi-dezyelradiodelacircunferencia.

Mientrasunobjetogiraconmovimientocircularuni-forme,ladirecciónyelsentidodelvectordelaaceleracióncentrípetacambian,perosumagnitudesconstante.Comoelvectordelaaceleracióncentrípetasiempreapuntahaciaelcentrode la circunferencia, entonces, enunpuntodado,elvectordelaaceleraciónyeldelavelocidadsiempresonperpendicularesentresí.Observalafigura2.54.

Oac

ac

ac

v

v

v1

Velocidad instantánea

m

m

m

Figura 2.54

Ejemplo 2.34 Unobjetounidoalextremodeunacuerdade0.60mdelargogira10revolucionesen20segundosconrapidezconstante.Realizalosolicitadoencadaunodelossiguientesincisos.

a) Calculalavelocidadangulardelobjetoenrad/s.

Solución

ωθ

ωπ

ω

( )

=

=

=

t

10 2 rad20s

3.1rad s

b) Calculalavelocidadlinealdelobjeto.

Soluciónω

( )( )

=

=

=

rv

v 0.60m 3.1rad s

v 1.86m sRedondeamoselresultadocondoscifrassignificativasparaobtener:

=v 1.9m s

c) Calculalamagnituddelaaceleracióncentrípeta.

Solución

( )

=

=

=

a

a

a

vr

1.9m s0.60m

6.0m s

c

c

c

2

2

2

Ejemplo 2.35 Unautosedesplazaconunarapidezconstantede10.0m/sporunacurvade50mderadio.Calculasuaceleracióncentrípeta.

Solución

( )

=

=

=

a

a

a

vr

10.0m s50m

2.0m s

c

c

c

2

2

2

Ejemplo 2.36 LadistanciapromediodelaTierraalaLunaesde3.84×108m.SielperiododelaLunacuandogiraalrededordenuestroplanetaesde28días,respondelosolicitadoenlossiguientesincisos.Consi-deraelmovimientodelaLunaalrededordelaTierracomocircularuniforme.

a) CalculalavelocidadangulardelaLunaenrad/s.

Solución

ω π= f2

Donde:

=fP1

Luego:

ωπ

=P

2


154 Física I

Expresemosahoraelperiodoensegundos:

h

n

28 días 241día

3600s1h

2.4 10 s

22.4 10

rad s

2.62 10 rad s

6

6

6

ωπ

ω

× × = ×

=×

= × −

b) CalculalavelocidadlinealdelaLuna.

Solución

ω

( )( )=

= × ×

= ×

= ×

− −

v r

v

v

v

3.84 10 m 2.62 10 s

10.06 10 m s

10.1 10 m s

8 6 1

2

2

c) CalculalaaceleracióncentrípetadelaLuna.

Solución

( )

=

=×

×

= × −

a vr

a

a

10.1 10 m s

3.84 10 m

2.66 10 m s

c

c

c

2

2 2

8

3 2

Resumen de fórmulas del mcu

1.ω θ=

t

w=velocidadangularq=desplazamientoangularenradianest=tiempo

2. =f nt

f=frecuencian=númeroderevolucionest=tiempo

3. f P 1=f=frecuenciaP=periodo

4.ω π= f2

f=frecuenciaenHertz revolucionessegundo

w=velocidadangularen radianessegundo

5.ω π= P2 w=velocidadangularP=periodo

6. ω=v rn=velocidadlinealr=radiow=velocidadangular

7. =a vrc

2 ac=aceleracióncentrípetan=velocidadlinealr=radio

8. 1radián=57.3°9. 1revolución=2pradianes=6.28radianes.10. Paraconvertirderpm(revoluciones/min)aradianesporsegundosemultiplicapor6.28ysedividepor60comoseobservaacontinuación:

π( )= × ×

=

1rpm 1 revmin

1min60s

6.28rad1rev

2

1rpm 6.2860

rad seg


1. Seatauntapónaunacuerdade0.80mdelargoysehacegirarconrapidezconstante.Sidaseisvueltascompletasen4.0segundos,determina:



a) Lafrecuenciadelobjeto(tapón)enhertz(rev/s).a) 1.2Hzb) 0.67Hzc ) 1.5Hzd ) 1.8Hz

c) 1.5Hz

b) Elperiododeltapón.a) 4.0sb) 0.50sc ) 0.90sd ) 0.67s

d) 0.67s

c) Lavelocidadangularenrad/s.a) 9.4rad/sb) 8.6rad/sc ) 9.8rad/sd ) 8.0rad/s

a) 9.4rad/s

d ) Lavelocidadlinealdeltapónenm/s.a) 7.5m/sb) 7.0m/sc ) 8.0m/sd ) 6.7m/s

a) 7.5m/s

e) Laaceleracióncentrípetadeltapónenm/s2.a) 60m/s2

b) 75m/s2

c ) 65m/s2

d ) 70m/s2

d) 70m/s2


156 Física I

2. Unapiedraatadaalextremodeunacuerdade0.30mdelargosehacegirarconrapidezconstante.Sielperiododelapiedraesde4.0s.Determina.a) Lafrecuenciadelapiedra.

a) 0.25Hzb) 0.30Hzc ) 4.0Hzd ) 0.20Hz

a) 0.25Hz

b) Lavelocidadangularenrad/s.a) 2.0rad/sb) 1.4rad/sc ) 1.6rad/sd ) 1.9rad/s

c) 1.6rad/s

c) Lavelocidadlinealdelapiedraenm/s.a) 0.72m/sb) 0.48m/sc ) 0.25m/s2

d ) 0.35m/s2

b) 0.48m/s

d ) Laaceleracióncentrípetadelapiedraenm/s2.a) 0.77m/s2

b) 0.85m/s2

c ) 0.70m/s2

d ) 0.65m/s2

a) 0.77m/s2

3. Unaruedade0.30mderadiogiraa600rpm(revolucionesporminuto)conrapidezconstante.Determina:a) LafrecuenciadelaruedaenHertz.

a) 12Hzb) 9.0Hzc ) 13Hzd ) 10Hz

d) 10Hz

b) Elperiododelarueda.a) 0.10sb) 0.20sc ) 0.30sd ) 0.40s

a) 0.10s



c) Lavelocidadangulardelaruedaenrad/s.a) 60rad/sb) 63rad/sc ) 58rad/sd ) 65rad/s

b) 63rad/s

d ) Lavelocidadlinealdeunpuntosituadoenlaperiferiadelaruedaenm/s.a) 19m/sb) 16m/sc ) 21m/sd ) 18m/s

a) 19m/s

e) Lavelocidadlinealdeunpuntosituadoa10cmdelcentrodelaruedaenm/s.a) 6.0m/sb) 5.8m/sc ) 6.7m/sd ) 6.3m/s

d) 6.3m/s

f ) Lavelocidadlinealdeunpuntosituadoa24cmdelcentrodelaruedaenm/s.a) 12m/sb) 20m/sc ) 15m/sd ) 19m/s

c) 15m/s

g) Lavelocidadlinealdeunpuntosituadoenelcen-trodelarueda.a) 19m/sb) 21m/sc ) 18m/sd ) 0m/s

d) 0m/s

h) Laaceleracióncentrípetadeunpuntosituadoenlaperife-riadelaruedaenm/s2.a) 1.2×103m/s2

b) 1.4×103m/s2

c ) 1.0×103m/s2

d ) 1.5×103m/s2

a) 1.2×103m/s2


158 Física I

4. Unautosemueveporunapistacircularde50.0mderadioconrapidezconstante.Sielautotarda10.0sendarunavueltacompleta,determina:a) Lavelocidadangulardelautoenrad/s.

a) 0.740rad/sb) 0.800rad/sc ) 0.710rad/sd ) 0.628rad/s

d) 0.628rad/s

b) Lavelocidadlinealdelautoenm/s.a) 31.4m/sb) 24.6m/sc ) 35.5m/sd ) 30.5m/s

a) 31.4m/s

c) Laaceleracióncentrípetadelautoenm/s2.a) 21.5m/s2

b) 16.8m/s2

c ) 19.7m/s2

d ) 23.0m/s2

c) 19.7m/s2

5. Unvolantegiraa120rpm(revolucionesporminuto)conrapidezconstante.Calculasudesplazamientoangularalcabode4.00s.Expresaelresultadoenradianes.a) 45.6radb) 50.2radc ) 60.4radd ) 54.4rad

b) 50.2rad



6. Undiscode20cmderadioconmovimientocircularuniformegira15.0raden6.0s.Determina:a) Lavelocidadangulardeldiscoenradianesporse-

gundoa) w=3.0rad/sb) w=2.9rad/sc ) w=2.0rad/sd ) w=2.5rad/s

d) w=2.5rad/s

b) Lafrecuenciadeldiscoenhertz.a) 0.20Hzb) 0.40Hzc ) 0.30Hzd ) 0.50Hz

b) 0.40Hz

c) Elperiododeldisco.a) 2.5sb) 2.0sc ) 3.0sd ) 3.5s

a) 2.5s

d ) Eltiempoquetardaeldiscoengirar40radianes.a) 16sb) 14sc ) 20sd ) 18s

a) 16s

e) Eltiempoquetardaeldiscoengirarunángulode16radianes.a) 5.4sb) 5.0sc ) 6.4sd ) 6.8s

c) 6.4s

f ) Eltiempoquetardaeldiscoendar20vueltascompletas(1vuelta=6.28radianes).a) 50sb) 60sc ) 48sd ) 45s

a) 50s


160 Física I

g) Lavelocidadlinealdeunpuntoqueestáenlaperi-feriadeldisco.a) 0.50m/sb) 0.45m/sc ) 0.58m/sd ) 0.40m/s

a) 0.50m/s

h) Lavelocidadlinealdeunpuntoqueestáa10cmdelcentrodeldisco.a) 0.50m/sb) 0.45m/sc ) 0.40m/sd ) 0.25m/s

d) 0.25m/s

i) Lavelocidaddeunpuntoqueestáenelcentrodeldisco.a) 0.50m/sb) 0.25m/sc ) 0.16m/sd ) 0m/s

d) 0m/s

j) Laaceleracióncentrípetadeunpuntoqueestáenlaperi-feriadeldisco.a) 1.2m/s2

b) 1.3m/s2

c ) 1.4m/s2

d ) aybsonrespuestascorrectas

Movimiento angular uniformemente aceleradoCuandolavelocidadangulardeunapartículamaterialquedescribe una trayectoria circular no es constante, dichapartículaexperimentaunaaceleración angular.

Comoyahemosseñalado,laaceleraciónangularme-dia( )α estádadaporlaexpresión:

αω ω

=−

−t tf 0

0

Osea,

=t

Silaaceleraciónangularesconstante,decimosqueelmovimientodelapartículamaterialescircularuniforme-menteacelerado.

Las fórmulas que describen el movimiento circularuniformementeaceleradosonanálogasalasqueseaplicanenelmovimientorectilíneo.

1. αω ω

=−

−t t0

0

,sit0=0,entonces:

αω ω

=−

t0



2. =+ 0

2t,sit0=0yq0=0,entonces:

=+ 0

2t

3. = 0 t +12

t2,sit0=0yq0=0,entonces:

θ ω α= +t t120

2

4. 2 = 2 – 20,siq0=0,entonces

αθ ω ω=2 –2 20

Ejemplo 2.37 Lapoleadeunmotorquepartedelrepososeacelerauniformementeyalcanzaunavelo-cidadangularde1440rpmdespuésde6.0s.Calcula:

a) Laaceleraciónangularenrad/s2.

Solución

αω ω

α

=

=

t–

1440 rpm – 06.0 s

0

Expresemos1440rpmenrad/s:

α

α

× × =

=

=

1440 revmin

1 min60 s

6.28 rad1 rev

150.72 rad s = 151rad s

151 rad/s – 06.0 s

25.1rad s2

b) Eldesplazamientoangularenradianes.

Solución

=151 rad/s + 0

26.0s

= 453 rad


1. Unmotorcambiauniformementesuvelocidadangularde480rpma1200rpmen5.0segundos.Determina:a) Laaceleraciónangularenrad/s2.

a) 10rad/s2

b) 20rad/s2

c ) 15rad/s2

d ) 14rad/s2

c) 15rad/s2

b) Eldesplazamientoangular.a) 70rev≈ 440radb) 65rev≈ 408radc ) 72rev≈ 452radd ) 75rev≈ 471rad

a) 440rad


162 Física I

2. Unmotorquegiraa1800rpm,tarda40.0segundosparadetenerse.Determina:

a) Laaceleraciónangularsiesconstante.a) -3.50rad/s2

b) -4.75rad/s2

c ) -4.70rad/s2

d ) -4.71rad/s2

d) -4.71rad/s2

b) Eldesplazamientoangular.a) 605rev= 3799.4radb) 600rev= 3768radc ) 620rev= 3893.6radd ) 610rev= 3831rad

b) 3768rad

3. Unrotoracelerauniformementedesdeelreposo.Sidespuésde50segundossuvelocidadangularesde1800rpm,determina:a) Laaceleraciónangular.

a) 3.5rad/s2

b) 3.8rad/s2

c ) 2.5rad/s2

d ) 3.6rad/s2

b) 3.8rad/s2

b) Eldesplazamientoangular.a) 4.5×103radb) 4.3×103radc ) 4.8×103radd ) 4.7×103rad

d) 4.7×103rad

4. Lavelocidadangulardeunmotordisminuyeuniformementede900rpma300rpmen10.0segundos.Determina:a) Laaceleraciónangular.

a) -6.28rad/s2

b) -5.80rad/s2

c ) -4.60rad/s2

d ) -5.90rad/s2

a) -6.28rad/s2

b) Eldesplazamientoangularquegira laruedaelmotorenlos10.0segundosa) 650radb) 590radc ) 550radd ) 628rad

d) 628rad



5. Unaruedaquepartedelrepososeacelerauniformementearazónde0.60rad/s2.Determina:a) Lavelocidadangulardelaruedaalos50segundos.

a) 28rad/sb) 30rad/sc ) 25rad/sd ) 34rad/s

b) 30rad/s

b) Eldesplazamientoangularquegiralaruedaenlos50se-gundosenradianes.a) 7.2×102radb) 7.5×102radc ) 7.4×102radd ) 6.9×102rad

b) 7.5×102rad

6. Unaruedaquegiraa1500rpmdisminuyeuniformementesuvelocidadangularhastadetenersedespuésde30segun-dos.Determina:a) Laaceleraciónangularenrad/s2.

a) -5.2rad/s2

b) -4.8rad/s2

c ) -5.5rad/s2

d ) -5.0rad/s2

a) -5.2rad/s

b) Eldesplazamientoangularquegiralaruedaenlos30s.a) 2263rad=2.3×103radb) 2400rad=2.6×103radc ) 2134rad=2.13×103radd ) 2355rad=2.3×103rad

d) 2355rad=2.3×103rad


características de cuerpos en movimiento1. Conbaseenlascaracterísticasdeloscuerposenmovimientoquesemencionanrealizalasiguienteactividad;marca

enlasegundacolumnaelolostiposdemovimientoalquecorresponde.

Cuerpo Tipo de movimiento

Ventilador

•Movimientoenlínearecta•Movimientocircular•Movimientocurvo•Movimientorápido•Movimientodecaída•Tirovertical•Tiroparabólico•Tirohorizontal•Movimientolento


164 Física I


Automóvil


Hojassecasdelosárboles


Lapiedraatadaaunacuerdagirando


Unaflechalanzadahaciaarribaverticalmente


Unaflechalanzadaverticalmenteconunángulo





Unsacodearenalanzadodesdeunaviónquevuelahorizontalmente


2. Investigainformaciónsobreaparatoscaserosoindustrialesdondesepresenteunmovimientocircularybuscarenellosinformaciónreferentealasrevolucionesporminuto(rpm)ydiámetrooradiodelobjetoquegirayllenalasi-guientetabla.

Aparatos revoluciones por minuto (rpm) Diámetro o radio

Caseros

Industriales

Circulalaletraquecorrespondaalarespuestacorrecta.

1. Ángulocentralquesubtiendeunarcode igual longitudqueelradiodelacircunferencia.a) Gradosexagesimalb) Revoluciónc ) Radiánd ) Ningunodelosanteriores

2. Eselánguloquegiraelvectordeposicióndeunobjetoquesemueveconmovimientocircular.a) Desplazamientolinealb) Desplazamientoangularc ) Frecuenciad ) Periodo

3. Eseldesplazamientoangulardivididoentreeltiempoquesetardaengirardichoángulo.a) Velocidadtangencialb) Aceleracióncentrípetac ) Frecuenciad ) Velocidadangularmediae) Aceleraciónangularmedia

4. Eselcambiodevelocidadangulardivididoentreelinter-valodetiempoquetardaenefectuarseesecambio.

a) Aceleracióncentrípetab) Aceleracióntangencialc ) Aceleraciónangularmediad ) Desplazamientoangulare) Velocidadangularmedia

5. ¿Acuántosradianesequivalen240°?a) 4.19radb) 5.24radc ) 2.89radd ) 4.72rad

6. ¿Acuántosgradossexagesimalesequivalen3.41radianes?a) 186.2°b) 129°c ) 195.4°d ) 208.3°

7. Cuando un objeto da una vuelta completa en elmovi-miento circular, ¿cuál es su desplazamiento angular enradianes?a) 3.14radb) 5.0radc ) 6.28radd ) 12.56rad


166 Física I

8. Es el número de vueltas completas o revoluciones queefectúaunobjetoporunidaddetiempoenelmovimientocircularuniforme.a) Desplazamientoangularb) Periodoc ) Frecuenciad ) Velocidadlineal

9. UnidaddelafrecuenciaenelSI.a) Hertzb) rad/sc ) rad/mind ) rad/s2

10. UnHzequivalea:a) 1rad/sb) 1rev/sc ) 1rev/mind ) 1rad/min

11. Esel tiempoquetardaunobjetoenefectuarunavueltacompletaorevoluciónenelmovimientocircularuniforme.a) Periodob) Frecuenciac ) Desplazamientoangulard ) Velocidadangular

12. Expresiónmatemática que relaciona la frecuencia y elperiodoenelmovimientocircularuniforme.a) =

Pf

1=1b) P f=1c ) P+f =1d ) f - P =l

13. Aceleraciónqueexperimentaunobjetoenelmovimien-tocircularuniforme.a) Aceleracióntangencialb) Gravedadc ) Aceleracióncentrífugad ) Aceleracióncentrípeta

14. Unaruedaconmovimientocircularuniformegira80re-volucionesen20s.¿Cuántasvueltascompletasdaen35s?a) 1.5×102

b) 1.4×102

c ) 1.3×102

d ) 1.6×102

Undiscode20 cmde radio conmovimiento circularuni-formegira16raden5.0segundos.Respondelaspreguntas15-25.

15. Determinalavelocidadangulardeldisco.a) 4.1rad/sb) 3.2rad/sc ) 0.3rad/sd ) 3.8rad/s

16. Determinalafrecuenciadeldisco.a) 2Hzb) 4Hzc ) 1Hzd ) 0.51Hz

17. Determinaelperiododeldisco.a) 0.5sb) 0.25sc ) 1.96s≈2.0sd ) 1s

18. Calculaeltiempoquetardaeldiscoengirar48radianes.a) 15sb) 18sc ) 20sd ) 12s

19. Calculaeltiempoquetardaeldiscoengirar4590°a) 30sb) 18sc ) 25sd ) 28s

20. Calcula el tiempoque tardaeldiscoendar22vueltascompletas.a) 50sb) 35sc ) 40sd ) 43s

21. Calculaeldesplazamientoangularquegiraeldiscoen50segundos.a) 1.6×102radb) 1.5×102radc ) 1.8×102radd ) 1.4×102rad

22. Calcula la velocidad lineal de unpuntoque está en laperiferiadeldisco.Expresaelresultadoenm/s.a) 0.80m/sb) 0.54m/sc ) 0.64m/sd ) 0.70m/s

23. Calculalavelocidadlinealdeunpuntoqueestáa10cmdelcentrodeldisco.Expresaelresultadoenm/s.a) 0.32m/sb) 0.64m/sc ) 0m/sd ) 0.70m/s

24. Calcula la velocidad lineal de un punto ubicado en elcentrodeldisco.a) 0.32m/sb) 0.64m/sc ) 0m/sd ) 0.70m/s


25. Calculalaaceleracióncentrípetadeunpuntoqueestáenlaperiferiadeldisco.a) 2.048m/s2≈2.0m/s2

b) 1.8m/s2

c ) 1.5m/s2

d ) 2.4m/s2

Unapoleade12.0cmderadiogiraconunarapidezconstantede540rpm.Respondelaspreguntas26-31.Determina:

26. LafrecuenciadelapoleaenHertz(rps).a) 7.0Hzb) 8.0Hzc ) 10Hzd ) 9.0Hz

27. Lavelocidadangulardelapoleaenrad/s.a) 56.5rad/sb) 62.4rad/sc ) 42.8rad/sd ) 60rad/s

28. Lavelocidadlinealdeunpuntosituadoenlaperiferiadelapolea.a) 6.1m/sb) 5.4m/sc ) 6.8m/sd ) 7.6m/s

29. Lavelocidad linealdeunpuntoqueestáa5.0cmdelcentrodelapolea.a) 2.8m/sb) 1.6m/sc ) 2.4m/sd ) 3.0m/s

30. Lavelocidadlinealdeunpuntosituadoenelcentrodelapolea.a) 0m/sb) 1.2m/sc ) 6.8m/sd ) 1.4m/s

31. Laaceleracióncentrípetadeunpuntoqueestáenlape-riferiadelapolea.a) 385m/s2

b) 340m/s2

c ) 400m/s2

d ) 316m/s2

32. Unapiedraatadaaunacuerdade0.80mdelargogiraconrapidezconstantea90rpm.Calcula laaceleracióncentrípetadelapiedra.a) 100m/s2

b) 96m/s2

c ) 71m/s2

d ) 70m/s2

Unapoleaquepartedelrepososeacelerauniformementeyalcanzaunavelocidadangularde1560rpmdespuésde15.0segundos.Determinalosolicitadoenlaspreguntas33y34.

33. Laaceleraciónangular.a) 12.5rad/s2

b) 10.9rad/s2

c ) 13.4rad/s2

d ) 9.2rad/s2

34. Eldesplazamientoangular.a) 1840radb) 1224.6radc ) 1205.1radd ) 1250.0rad

Unventiladorquegiraa360rpmseapagaytardaendetener-se15segundos.Respondelaspreguntas35y36.

35. Determina la aceleración angular del ventilador si esconstante.Expresaelresultadoenrad/s2.a) -3.0rad/s2

b) -2.5rad/s2

c ) -4.0rad/s2

d ) -3.8rad/s2

e) -1.9rad/s2

36. Determinaeldesplazamientoangulardelventiladordes-dequeseapagahastaquesedetiene.Expresaelresultadoenradianes.a) 290radb) 305radc ) 282.6radd ) 275rad

Unmotorquegira conuna velocidad angularde240 rpmseacelerauniformementea razónde3.0 rad/s2durante10segundos.Respondelaspreguntas37y38.

37. Determinalavelocidadangulardelmotoralos10s.a) 22rad/sb) 55rad/sc ) 25rad/sd ) 38rad/se) 16rad/s2

38. Determinaeldesplazamientoangularquegiraenlos10s.a) 350radb) 420radc ) 380radd ) 400.6rad



168 Física I

Autoevaluación


Nivel

Exc

elen

te

Bue

no

Ele

men

tal

Insu

ficie

nte

tema i

1. Defineelmovimientomecánico.

2. Comprendeelconceptodepartículamaterial.

3. Identificalacinemáticayladinámicacomolasramasdelamecánicaqueestudianelmovimientodeloscuerpos.

4. Diferencialacinemáticadeladinámica.

5. Distingueentrerapidezyvelocidad.

6. Diferenciaentredesplazamientoydistancia.

7. Definelossiguientesconceptos:• Distancia• Desplazamiento• Velocidadmedia• Rapidezmedia• Aceleraciónmedia• Velocidadinstantánea• Aceleracióninstantánea

8. Resuelveproblemasderapidezmediayvelocidadmedia.

tema ii

9. Identificalascaracterísticasdelmovimientorectilíneouniforme(mru).

10. Describeelmrumedianteunagráficadeposicióncontratiempo.

11. Describeelmrumedianteunagráficadevelocidadcontratiempo.

12. Analizalasgráficasdeposicióncontratiempoydevelocidadcontratiempodelmru.

13. Resuelveproblemasreferentesalmru.

tema iii

14. Identificalascaracterísticasdelmovimientorectilíneouniformementeacelerado.

15. Describeelmruamedianteunagráficadevelocidadcontratiempo.

16. Describeelmruamedianteunagráficadeposicióncontratiempo.

17. Describeelmruamedianteunagráficadeaceleracióncontratiempo.

18. Aplicalasfórmulasdelmruaenlasolucióndeproblemas.



Nivel

Exc

elen

te

Bue

no

Ele

men

tal

Insu

ficie

nte

tema iv

19. Identificalascaracterísticasdelacaídalibre.

20. Identificalascaracterísticasdeltiroverticalhaciaarribayhaciaabajo.

21. Aplicalasfórmulasdelacaídalibreenlasolucióndeproblemas.

tema v

22. Identificalascaracterísticasdeltirohorizontaldeunproyectil.

23. Identificalascaracterísticasdelmovimientodeunproyectilqueeslanzadohaciaarribaconunánguloconrespectoalahorizontal.

24. Resuelveproblemasdeltirohorizontal.

25. Resuelveproblemasdelmovimientodeunproyectilqueeslanzadohaciaarribaconunánguloconrespectoalahorizontal.

tema vi

26. Identificalascaracterísticasdelmovimientocircular.

27. Defineelconceptodedesplazamientoangular.

28. Defineelconceptodevelocidadangularmedia.

29. Defineelconceptodeaceleraciónangularmedia.

30. Identificalascaracterísticasdelmovimientocircularuniforme.

31. Defineelconceptodeperiodo.

32. Defineelconceptodefrecuencia.

33. Aplicalasfórmulasdelmovimientocircularuniformeenlasolucióndeproblemas.

34. Identificalascaracterísticasdelmovimientoangularuniformementeacelerado.

35. Aplicalasfórmulasdelmovimientoangularuniformementeaceleradoenlaresolucióndeproblemas.




Bloque 3Leyes de Newton

y de la gravitación

universal

Conocimientos

• Leyesdeladinámica• LeyesdeKepler• Leydelagravitaciónuniversal

Desempeños• Comprendeselmovimientodeloscuerposapartirde

lasleyesdeladinámicadeNewton.• Identificasenlosdiferentestiposdemovimientolas

fuerzasinvolucradasenelmovimientodeloscuerpos.• AplicaslasleyesdeladinámicadeNewton,enlaso-

luciónyexplicacióndelmovimientodeloscuerpos,obser-vablesensuentornoinmediato.

• Utilizaslaleydelagravitaciónuniversalparaentenderelcomportamientodeloscuerposbajolaaccióndefuerzasgravitatorias.

• ExplicaselmovimientodelosplanetasenelSistemaSolarutilizandolasleyesdeKepler.



• Fundamentaopinionessobrelosimpactosdelacien-ciaylatecnologíaensuvidacotidianaasumiendoconsi-deracioneséticas.

• Identifica problemas, formula preguntas de caráctercientífico y plantea las hipótesis necesarias para respon-derlas.

• Obtiene, registra y sistematiza la información pararesponderpreguntasdecaráctercientífico,portanto,con-sultafuentesrelevantesyrealizaexperimentospertinentes.

• Valoralaspreconcepcionespersonalesocomunesso-bre diversos fenómenos naturales a partir de evidenciascientíficas.

• Exponeenformaexplícitalasnocionescientíficasquesustentanlosprocesosparalasolucióndeproblemasco-tidianos.

• Explicaelfuncionamientodemáquinasdeusocomúnapartirdenocionescientíficas.


• Relacionalasexpresionessimbólicasdeunfenómenodelanaturalezaylosrasgosobservablesasimplevistaomedianteinstrumentosomodeloscientíficos.

• Analizalasleyesgeneralesquerigenelfuncionamien-todelmediofísico.

• Proponemanerasdesolucionarunproblemaodesa-rrollarunproyectoenequipoaldefiniruncursodeacciónconpasosespecíficos.

• Aportapuntosdevistaconaperturayconsideralosdeotraspersonasdemanerareflexiva.


• Asumequeelrespetodelasdiferenciaseselprincipiodeintegraciónyconvivenciaenloscontextoslocal,nacio-naleinternacional.



1. Escribequésabesrespectoalossiguientespersonajeshistóricos.

a) IsaacNewton

b) JohannesKepler

c) TychoBrahe

d )GalileoGalilei

2. ¿Creesquemasaypesosignificanlomismo?;sinoesasí,¿cuálesladiferencia?

3. Segúntuexperienciacotidiana,sidosobjetosdediferentemasagolpeanunapared,¿cuálpegarámásfuerte,eldemayoroeldemenormasa?

4. Sidosobjetosdelamismamasaperoquesemuevencondiferenteaceleracióngolpeanunapared,¿cuálgolpearámásfuerte,eldemayoroeldemenoraceleración?

5. ¿Quéentiendesporfuerza?

6. ¿Quéeslagravedad?

7. ¿Porquécualquierobjetoinanimadoquesesueltaenelairecae?


fuerza

masa

dinámica

fuerza gravitacional

fuerza electromagnética

fuerza eléctrica

fuerza magnética

fuerza nuclear fuerte

fuerza nuclear débil

fuerza neta

fuerza equilibrada

fuerza no equilibrada

inercia

fuerza de acción

fuerza de reacción

peso

fuerza normal

fricción

fricción estática

fricción cinética

coeficiente de fricción

estático

coeficiente de fricción

cinético

diagrama de cuerpo libre

ángulo de reposo

peso aparente

Leyes de NewtonTema I

IntroducciónLos cambiosque experimentan los objetos en sumovi-mientosonresultadodeciertascondiciones.Asuvez,es-tos cambios provocan ciertos efectos secundarios; dichodeotramanera,laaceleraciónconquesemuevenlosob-jetoslaproducelaaccióndeunafuerzaolaconjugacióndevariasfuerzas.

Entodomovimientoexistendostendenciasopuestas:laacción,denominadafuerza,ylareacción,oresistencia,llamadamasa.Por lo tanto,elmovimientoconsiste jus-toenelconflictoentrelaacciónylareacción;inclusoelreposorelativologeneraelequilibriotransitorioentrelaacciónylareacción.

En consecuencia, aunque siempre manteniendo laabstracciónde su carenciadedimensiones espaciales, alanocióndepartículamaterialseleagregalapropiedadde tenermasaque se contraponea las fuerzas externasquetratanotiendenaproduciruncambioensuestadodemovimiento.

Laconsideracióndelasfuerzasqueproducenelcam-biodelestadodelmovimientodeunobjetooqueseopo-nenaelloconstituyeeldominiodeestudiodeladinámica.

Ladinámicaeslaramadelafísicaclásicaqueestudiaelmovimientodelosobjetosconsiderandolascausasqueloproducenomodifican.

¿Qué es una fuerza?Intuitivamente,tenemosunaideadequéesunafuerzaentérminos de la acciónde empujar, jalar o tirar de algún

objeto.Laexperienciacotidianaenseñaqueelmovimientodeunobjeto es resultadode sus interacciones conotrosobjetoscircundantes.Cuandounjugadorgolpeaunape-lotaexisteunainteracciónconéstaquemodificasumovi-miento.LaLunasemuevealrededordelaTierradebidoa la interaccióngravitacionalqueexisteentreambos,delmismomodoquelaTierraylosplanetasgiranalrededordelSol.Latrayectoriadeunproyectilen lasproximida-desdelasuperficieterrestreesresultadodesuinteraccióngravitacionalcon laTierra.Losprotonesyneutronesdeunátomosemantienenunidosensunúcleodebidoasuinteracciónnuclear.Enfísica, las interaccionesentredosobjetos se expresan cuantitativamente en términos delconceptollamadofuerza.

Unafuerzanopuedeobservarsedirectamente;enrea-lidad,sólosepercibeelefecto.Lacausadecualquierinte-racciónentredosobjetosessiempreunafuerza.

Una fuerza causa que un balón en reposo se pongaenmovimientocuandoalguienlopatea,queunobjetoseacelere,yaseaporqueproduceuncambioenlamagnituddelavelocidadoensudirección.Todosloscambiosenelestadodemovimientodelosobjetossedebenaquesobreellosseejerceunafuerza.

Sinembargo,es importanteconsiderarque las fuer-zasnosiempreproducenelmovimientodeunobjeto.Porejemplo,sepuedeempujarunautomóvilynomoverlo.Enalgunoscasos,sedeformaunobjetosobreelcualseejerceunafuerza,estoes,cambiasuformaotamaño,comocuan-doapretamosunapelotadeesponja.Silasfuerzassonsu-ficientementegrandes,lasdeformacionespuedenserper-manentes,comosucedecuandodosautomóvileschocan.

Unadefiniciónoperacionaldelconceptofuerzabasa-daenlosefectosqueseobservanenlasinteraccionesentre


174 Física I

dos objetos es la siguiente: una fuerza es algo capaz decambiarelestadodemovimientodeunobjetoodedefor-marlo;noobstante,esimportanteaclararqueeltérminocapaznonecesariamente se refiereaque siempreque seejerzaunafuerzasobreunobjetoéstecambiesuestadodemovimiento,obien,sedeforme.

Fuerzas fundamentales en el universoLasfuerzaseneluniversosepuedenexplicarenfuncióndecuatrointeraccionesbásicasqueocurrenentrelosobjetos:

1. Lafuerzagravitacional.2. Lafuerzaelectromagnética.3. Lafuerzanuclearfuerte.4. Lafuerzanucleardébil.

Lafuerza gravitacionaleslafuerzadeatracciónmu-tuaentredosobjetosporelsimplehechodetenermasa.Es la causa de que los planetas semantengan en órbitaalrededordelSolylaLunaentornoalaTierra.Lafuer-zagravitacionalqueseejerceentre laTierrayunobjetopróximoalasuperficieterrestreeselpesodelobjeto.LasfuerzasgravitatoriasdelaLunayelSolsobrelosocéanosdelaTierracausanlasmareas.

Figura 3.1 Las fuerzas gravitatorias que la Luna y el Sol ejercen sobre los océanos de la Tierra causan las mareas.

Lafuerza electromagnéticaes lafuerzaentrecar-gaseléctricaseincluyelasfuerzaseléctricasylasfuerzasmagnéticas.Las fuerzas eléctricas existen entre cargaseléctricas que están en reposo y las fuerzas magnéti-cas se producen por la interacción de cargas eléctricasenmovimiento.Unejemplode las fuerzaseléctricaseslaatracciónentreunpeineypequeños trozosdepapelcuandoelpeinesehaelectrificadoalpasarloporelca-bello.Losrelámpagossonresultadodelafuerzaelectro-magnética.

Figura 3.2 Los relámpagos son resultado de la fuerza electro-magnética.

Lafuerza nuclear fuerteresultadelainteracciónen-trepartículassubatómicasyeslaresponsabledemantenerunidaslaspartículasenlosnúcleosatómicos.Laexplosióndelabombadehidrógenoesunejemplodelapotenciadeestafuerza.

Lafuerza nuclear débiles laqueresultadela inte-racciónentre laspartículas subatómicasdurante algunosprocesosdedecaimientoradiactivo.

Fuerzas de acción a distancia y de contactoCuandonoexistecontactofísicoentrelosobjetosquein-teractúan,sedicequelafuerzaesdeacciónadistancia.Porejemplo,lafuerzagravitacionalentredosobjetos.Paraquetengasunamejorideadeestetipodefuerza,consideraunimán.Apesardequelocoloqueslejosdeunobjetometá-lico,escapazdeatraerlo.

Lamayorpartedelasfuerzasqueobservamossobrelosobjetosqueinteractúanseejercenporcontactodirecto,yporlotantolasdenominamosfuerzasdecontacto.Estasfuerzas seejercenentre lasmoléculasde la superficiedecadaobjeto.


Tema 1 Leyes de Newton 175

Figura 3.3 Fuerzas de contacto.

Fuerza gravitacional

Fuerza electroestática

m1 m2

Q2q1

N SN S

Figura 3.4 Fuerzas a distancia.

La fuerza es una cantidad vectorialCuandounafuerzaseejercesobreunobjeto,susefectosdependendesumagnitud,asícomodesudirecciónysen-tido.Porejemplo,siseaplicasobreunobjetounafuerzahorizontalmente hacia la derecha, no produce elmismoefectoque si seaplicase la fuerzaen lamismadirecciónperohacialaizquierda.Asimismo,losefectosvaríansegúnlamagnituddelafuerza.Porestarazón,lafuerzaesunacantidadfísicaquequedaperfectamentedefinidacuandoseconocensumagnitud,direccióny sentido;esdecir, lafuerzarepresentaunacantidadvectorial.

Fuerza netaSivarias fuerzasactúansimultáneamentesobreunobje-to,elefectoresultantedecombinarlaseselmismoquesiseejercieraúnicamentelafuerzaconsecuenciadelasumavectorialdetodasellassobreelobjeto.Alafuerzaresul-tantedeunsistemade fuerzasque interactúansobreunmismoobjetotambiénselellamafuerza neta.

Cuandolamagnituddelafuerzanetaescero,sedicequelasfuerzasqueinteractúanconelobjetosonfuerzas equilibradas.Unafuerzanetacuyamagnitudnoescero,serefiereaunafuerza no equilibrada.

InerciaAntesdeGalileo,secreíanecesarialaaccióndeunafuerzapara que un objeto semoviera con velocidad constante.Sinembargo,Galileoformulólasiguienteidea:“Unobje-to,unavezenmovimientoysinperturbarloenadelante,continuaráconvelocidadconstanteporsímismo”.Con-cretamente,GalileoyluegoNewton,reconocieronquesiunobjeto,inicialmenteenreposo,seponeenmovimientomediantelaaccióndeunafuerzaydespuésyanoseejercefuerzaalguna,elobjetosedetienedebidoa la fricciónorozamientoentrelassuperficies.

Para llegar a esta conclusión, Galileo recurrió a unexperimento con dos planos inclinados colocados uno acontinuacióndelotro,comoloilustralafigura3.5.

Figura 3.5

Desdeloaltodeunodelosplanos,hizorodarunaes-fera,desdeelreposo,porunodelosplanosinclinados.La


176 Física I

esferapasabaporelfondoysubíaporelotroplanoincli-nado.Independientementedelainclinacióndelsegundoplano,Galileoobservóquelaesferaalcanzabaunaalturaverticalunpocomenorquelaesferaubicadainicialmenteenelotroplano.

Figura 3.6

Galileoinvestigóafondolacausadeladiferenciadealturas.Pulió laesferayalisó la superficiede losplanos.Así, observó que la diferencia de las alturas disminuía.Despuésdevariosexperimentos,concluyóquelacausaeralafricciónorozamientoentrelassuperficiesdelosplanosinclinadosydelaesfera.

Acontinuación,Galileo redujogradualmente el án-gulo de inclinación de uno de los planos inclinados, demanera que la esfera rodara cada vez más lejos antesde llegar al reposo. Se cuestionó, ¿qué pasaría si las su-perficiesde losplanosinclinadosy lade laesferafuerancomplementelisas,osea,quenoexistieralafricciónyelsegundo plano fuera horizontal? Intuyó e indujo la si-guiente idea: en ausencia de la fricción entre las super-ficies, la esfera semovería perpetuamente con velocidadconstante.Dichodeotromodo,unavezqueunobjetosepusieraenmovimiento,nopodríadetenerse.Sunaturalezaseríaresistirseaseracelerado.

Galileofinalmenteestablecióquetodoobjetoseresis-teacambiarsuestadodemovimientoyaestaresistencialellamóinercia.

Figura 3.7 Galileo afirmó que si no existiera la fricción y el se-gundo plano fuera horizontal, la esfera se movería permanente-mente con velocidad constante.

Estapropiedadsecompruebaensituacionescotidia-nas;porejemplo,alviajardepieenunautobúsdepasajeros,cuandoéstearrancasesientequenuestrocuerposemue-vehaciaatrástratandodepermanecerenreposo.Siporelcontrario,elautobúsestáenmovimientoconunavelocidad

constanteyderepentefrena,nuestrocuerposemueveha-ciadelantetratandodepermanecerconlamismavelocidadqueteníacuandoelcamiónestabaenmovimiento.

Figura 3.8

Figura 3.9



Elusodelcinturóndeseguridadenelautomóvilevitaque, en casodeun accidenteoun frenazo repentino, sesalgadisparadoporelparabrisas.Elcinturóndeseguridadhaevitadolamuertedemuchaspersonas.

Figura 3.10 El uso del cinturón de seguridad ha evitado la muer-te de miles de personas que sufren un accidente automovilístico.

La masa como medida de la inerciaSiintentamoscambiarelestadodemovimientodeunob-jeto,ésteseresistiráadichocambio.

Esmásfácilmoverunobjetocuyamasaesde20kgqueotrode60kg.Delmismomodo,unavezqueambosestánenmovimiento,serequeriríademayoresfuerzoparadetenerelobjetodemayormasaqueeldemenor.Porlotanto,sedicequeelobjetode60kgtienemásinerciaqueelde20kg.

Cuantamásmasatengaunobjeto,tantomayorserálaresistenciadeunobjetoaseracelerado;porestarazón,sediceque:

Lamasaesunamedidacuantitativadelainercia.

Leyes del movimientoLas leyesdelmovimientoque se estudiarána continua-ción son generalizaciones que surgen del análisis de losmovimientosqueseobservanennuestrorededor.Lasob-servacionesseextrapolanaciertosexperimentosidealesosimplificados.

Las leyesdelmovimientolasformulóIsaacNewton(1642-1727),aunqueGalileoyalashabíaplanteadodesdemuchoantes,perodeunamaneradiferente.

Estasleyessonválidasparadeterminarelmovimientodelosobjetoscuandoéstossemuevenconvelocidadesdemagnitudpequeñaencomparaciónconladelaluz.

Figura 3.11 A pesar de que Isaac Newton fue quien realizó un planteamiento formal de las leyes del movimiento, Galileo fue el primero en trabajar la teoría de estas leyes.

Primera ley de Newton o de la inerciaLa primera ley de Newton es un enunciado de causa-efectoquerelacionalafuerzayelmovimiento.Unafuerzanetanoequilibradaqueactúasobreunobjetoeslacausadeuncambioenelestadodemovimientodelobjeto.Suenunciadoeselsiguiente:

Unobjetoenreposooenmovimientorectilíneoconve-locidadconstantepermaneceráen reposooenmovi-mientoconvelocidadconstante,amenosquesobreélactúeunafuerzanetanoequilibrada.


178 Física I

Segunda ley de NewtonEstaleyserefierealarelaciónmatemáticaentrelafuerzanetaqueseejercesobreunobjeto,sumasaylaaceleraciónqueexperimenta.

Elenunciadodeestaleyeselsiguiente:

Cuando una fuerza neta no equilibrada actúa sobreun objeto, la aceleración del objeto es directamenteproporcionalalamagnituddelafuerzanetaeinver-samenteproporcionalasumasa.

Tomaencuentaquesilamagnituddelafuerzanetaescero,entoncesladelaaceleracióntambiénloes.

Laexpresiónmatemáticadeestaleyes:

=a Fm

Obien,

=F ma

Deacuerdoconestaley,siunafuerzanetaFocasionaqueunobjeto semuevaconunaaceleracióna, entoncesunafuerzademagnitud2Fproduciráunaaceleración2a,yasísucesivamente.

m m m F a 2a 3a

2F 3F

Porotraparte,siunafuerzanetaFocasionaqueunobjetodemasamsemuevaconunaaceleracióna,enton-cessiseejercesobreunobjetodemasa2m,leproduciríauna aceleración de magnitud a

2, y así sucesivamente. La

masaseresisteaseracelerada.

m 2m 3ma

F F Fa/2 a/3

Dadoquelafuerzaesunacantidadvectorial,laecua-ciónFn =ma(dondeFneslafuerzaresultanteonetadelconjuntodefuerzasqueactúansimultáneamentesobreunobjeto)puedeexpresarseentérminosdesuscomponentesrectangularesenelplano;estoes:

Σ = Σ =

= Σ + Σ

F ma F ma

F S F

y

( ) ( )

x x y y

n x y2 2 2

Unidad de fuerza en el siLaunidaddefuerzaenelsieselnewton,elcualdenota-mosconlaletraN.

Unnewton sedefine como la fuerzaqueaplicadaaunamasade1kgproduceunaaceleraciónde1m/s2.

=

→ =

a

kg F

1 m s

1 1N

2 F = ma

F = 1kg 1ms2

F =1N

Tercera ley de NewtonEstaleyestablecequesiuncuerpoAejerceciertafuerzaFasobrecualquierB,entoncestambiénelcuerpoB ejercesobreelcuerpoAunafuerzaFbdeigualmagnitud,perodesentidocontrario;osea,Fb=-Fa.Deestamanera,puedeverseque esposible aplicar fuerzas iguales a cuerposdemasasdiferentes.

Generalmente,aunadelasfuerzasselellamafuerza de acción, y a laotra, fuerza de reacción.Estas fuerzassonresultadodeunasolainteracciónqueactúasobrecuer-posdiferentesalmismotiempo.

Estaleysepuedeenunciardelasiguientemanera:

Atodofuerzadeacciónlecorrespondeotrareaccióndeigualmagnitud,peroensentidocontrario.

Fa

Fb

Figura 3.12 Si golpeas un objeto con una determinada fuerza, éste te golpeará con la misma fuerza.

El pesoCuandouncuerpocae librementehacia lasuperficie te-rrestre, experimenta la aceleración de la gravedad. De



acuerdo con la primera ley deNewton, debe haber unafuerzaqueprovoquedichaaceleración.Esta fuerzaes laatracción gravitacional que ejerce la Tierra sobe dichocuerpo.

El peso de un objeto es la fuerza gravitacional queejerceuncuerpodegrandesdimensiones(comolaTierraolaLuna)sobreél.Dadoqueelpesorepresentaunafuer-za, se consideraunacantidadvectorial cuyadirecciónesladelafuerzagravitacional,esdecir,estádirigidahaciaelcentrodelcuerpodemayoresdimensiones.

Su magnitud, de acuerdo con la segunda ley deNewton,estádadaporlaexpresión:

ω = mg

Donde:w =Magnituddelpesodelobjeto.m=Masadelobjeto.g=Aceleracióndelagravedad.

Ejemplo 3.1 Calculaelpesodeunobjetode50.0kgsiestásituado:

a) EnlaTierra

Solución

50.0 kg

w

w =mgw =50.0kg(9.80m/s2)w =490N

b) EnlaLuna.

SoluciónDadoqueenlaLunaelvalordelaaceleracióndelagravedadesde1.6m/s2,tenemos:

w =50.0kg(1.60m/s2)w =80.0N

Deacuerdoconlaexpresiónw =mg,observaqueel pesodeunobjeto es proporcional a sumasa.Porello,enellenguajecotidianoseusangeneralmentelasunidadesdemasaparaexpresarelpesodeuncuerpo;sinembargo,dichosconceptosnosignificanlomismo.Lamasa de un objeto es una propiedad física únicayexclusivadelobjeto;asimismo,sumagnitudserálamismaencualquierlugar.Porejemplo,sienlaTierra

unarocatieneunamasade2kg,enlaLunanohabríaningúncambioensumagnitud.

Porelcontrario,elpesodeunobjetonoescons-tante,dependedelvalordeg. Enpárrafosposterioresaprenderás que el valor de la gravedad (g) dependeprincipalmentedelossiguientesfactores:

• Ladistanciaquehaydesdeelcentrodelcuerpodegranmasahastadondeselocalizaelobjeto.

• Lamasadelcuerpo.

Tomandoencuentaestosfactores,elpesodeunmismoobjetoesdiferenteenlaLunaqueenlaTierra.Inclusocomoel valordeg varíadeunpuntoaotroendiferenteplaneta,elpesodeunobjetodemasam cambiaendiversoslugares.

Elsiguientecuadromuestralavariacióndelagra-vedadconlalatitudalniveldelmar.

Latitud 0° 10° 20° 30° 40°

g (m/s2) 9.78 9.781 9.786 9.793 9.80

Latitud 50° 60° 70° 80° 90°

g (m/s2) 9.81 9.82 9.826 9.830 9.832

La fuerza normalConsideremosqueunobjetoestáenrepososobreunasu-perficie horizontal. Sabemos que la fuerza gravitacionalactúasobreélatrayéndolohaciaelcentrode laTierra,apesardequesuaceleraciónescero.

m

w = Peso

DeacuerdoconlasegundaleydeNewton,lafuerzanetaqueactúasobreelobjetoescero;porlotanto,debeexistirotrafuerzaqueactúesobreelobjetoeimpidaqueéste sehunda en la superficie; es decir, debe existir otrafuerzaqueseopongaalafuerzagravitacional.Estafuerzala produce la superficie y actúaperpendicularmente a lasuperficiedecontacto;porestarazón,se le llamafuerzanormal.

La fuerzanormales la resistenciade la superficiealmovimientodelobjetoporlaaccióndelafuerzagravita-cional.Estafuerzasiempreactúaperpendicularmenteconlasuperficiedecontacto.


180 Física I

wN

N

w

90°

DeacuerdoconlasegundaleydeNewton,tenemos:S Fy =0N-w=0 o w-N=0N=wN=mg

Cuandounobjetodescansasobreunasuperficieho-rizontalyenelejevertical,únicamenteactúansobreéllafuerzanormalyelpeso.Porlotanto,siempresecumpleque

N=w

Ejemplo 3.2 Unobjetode10.0kgestáenrepososobreunasuperficiehorizontal.Determinalamagni-tuddelafuerzanormalqueejercelasuperficiesobreelobjeto.

Solución

10.0 kg

N

w

DeacuerdoconlasegundaleydeNewton,tenemos:SFy=mayN-w=0N=wN=mgN=10.0kg(9.80m/s2

N=98.0N

Magnitud de la fuerza normal en el plano inclinadoSupongamosqueunobjetodescansa sobreuna superficieinclinadayquesobreélúnicamenteactúanlafuerzagravita-cional(elpeso)ylanormal,comoseilustraacontinuación:

w

N

90°

θ

Siseestableceunsistemadecoordenadasdondeelejexseaparaleloalasuperficieinclinada,yelejeyperpendi-cularaésta,esposibledescomponerelvectordelpesoensus componentes rectangulares wx y wy , respectivamente,comosemuestraacontinuación:

N

w

x

θ

wy

wx

N

w

α

wy

wx

θ

Por geometría podemos demostrar que θ α=m m θ α=m m .Deacuerdoconlafracciónanterior,tenemosque:

α

αω

ω

=

=

lado adyacentehipotenusa

cos

cos y

Luego:ω ω α= cosy

Dadoquew =mgy ω α θ= =mg m mDadoque y ,entonces:,entonces:

ω θ= mg cosy

Delmismomodo:

αω

ω=sen x



Luego:ω α ω=sen x

ω θ=mg senx

Paradeterminarlaexpresiónmatemáticadelamagni-tuddelafuerzanormal,seaplicalasegundaleydeNewtonenelejey.

∑ =F may y

Comonohaymovimientoenladirecciónperpendi-cularalasuperficie,ay =0;luego:

ω− =N 0y

Luego:ω

θ

=

=

N

N mg cos

y

wy

900

N

θ

La fricciónSilanzamosunaboladebolichedemaneraqueunavezsueltaruedesobreunasuperficiehorizontal,laexperiencianosindicaquedespuésdesoltarla,suvelocidaddisminuyehastaquesedetiene.Estadesaceleración,deacuerdoconlaprimeraleydeNewton,indicalaexistenciadeunafuer-zaqueseoponealmovimiento.Estafuerzarecibeelnom-bredefricciónorozamiento.Cuandolafricciónimpidequeunobjetoenrepososepongaenmovimientoporlaaccióndeunafuerzasellamafricción estática,ycuandoseoponeaunmovimientoenacciónsedenominafricción cinética.

Lafricciónofrecemuchasventajas.Sinella,seríaim-posiblecaminaromanejarunautomóvil.Dehecho,cuan-dounautomóvilsemuevesobreunacarreteraconcurvas,lafuerzaderozamientoqueejercelasuperficiesobrelasllantas es loque impideque el autopierda el control altomarlascurvas.Sinlafricción,losclavosylostornillosresultaríaninútilesporquenopodríanmantenerseunidosalamaderaoalconcreto;inclusonosepodríansostenerlascosasconlasmanos.

Sin embargo, no siempre es ventaja la existencia dela fricción. Intuitivamente se sabe que esmuy peligrosotratardecaminarsobreunpisollenodeaceite.Tambiénqueloslubricantes,comoelaceiteenelmotordeunau-tomóvil, reducen el rozamiento entre sus partesmóvilesconelfindedisminuireldesgasteyreducirelconsumodeenergía.Unmotorsinaceitenopuedefuncionar.

Figura 3.13 Sin el efecto de la fricción, los autos perderían el control.

Fricción estáticaConsideremos un bloque (en reposo) sobre la superficiehorizontaldeunamesa,comoloilustralafigura3.14.

Figura 3.14

Lasúnicasfuerzasqueactúansobreelobjetosonlagravitacionalylanormal.Siseaplicaunapequeñafuer-zahorizontal, como lo ilustra lafigura3.15,y elobjetonosedesliza,deacuerdoconlasegundaleydeNewton,debe estar actuando sobre él otra fuerza de igualmag-nitud y dirección pero en sentido contrario, demaneraquelafuerzanetaescero.Lafuerzadefricciónestáticaqueejercelasuperficiesobreelobjetoesloqueimpidesumovimiento.

Así,tenemosque:


182 Física I

v = 0F

Wf sr

N

Figura 3.15

SialaplicarlafuerzaF elobjetonosemueve,entonces:

=F fsSilamagnituddelafuerzaaplicadasobreelobjeto

aumentaytampocosemueve,significaquelamagnitudde la fricciónestáticaaumentaen lamismamedida,demanera que también la magnitud de la fuerza neta escero.Sisesigueincrementandolamagnituddelafuerzaenalgúnmomento,elobjetoestaráapuntodedeslizar-se.Eneseinstante,lamagnituddelafricciónestáticaesmáxima.

Medianteexperimentossehanverificadolassiguien-tesleyesdelafricciónestática:

1. La fuerzade fricciónestática,denotadapor fs, entresuperficiesparalelasencontactoactúaenladireccióndelafuerzaaplicada,peroensentidocontrario.

2. Lamagnituddelafricciónestáticamáximaesdirec-tamenteproporcionalalafuerzanormal.Laconstantedeproporcionalidadsellamacoefi ciente de fricción estáticoyserepresentaporms.Estoes:

fsmáx = μsN

3. Lamagnituddelafuerzadefricciónestáticatomava-loresdelintervalo0≤fs≤fsmáx

.4. Lamagnituddelafricciónestáticaescero,esdecir,no

existecuandonoseaplicaunafuerzaexternaquepretendaponerelobjetoenmovimiento.

5. Lamagnituddelafuerzadefricciónestáticaesmáxi-macuando,pormediodelaaccióndeunafuerzaparalelaalassuperficiesencontacto,unobjetoestáapuntodeini-ciarsumovimiento.

Fricción cinéticaUnavezqueelobjetoestáenmovimientoysedeslizaso-breunasuperficie,actúalafuerzadefriccióncinéticare-presentadaporfk.Estafuerzaactúaenlamismadirecciónqueelmovimiento,peroen sentidocontrarioy conunamagnituddadapor:

fk = μs N

dondemkeselcoeficientedefricción cinética.Siunobjetosedeslizasobreunasuperficieyseleapli-

caunafuerzaF paralelaalasuperficiesepuedenpresentarlassiguientessituaciones.

1. =F frkEnestecaso,elobjetosedeslizaconvelocidadcons-

tante.2. >F frk

Enestecaso,elobjetoseacelera.3. <F frk

Enestecaso,elobjetosedesacelerahastaquesede-tiene.

4. Si se deja de aplicar la fuerza, la fuerza de friccióncinéticadesaceleraríaelobjetoy,finalmente, lo llevaráalreposo.

5. Elcoeficientedefricciónestáticaesmayorqueelco-eficientedefriccióncinético;estoes:

ms>mk

Aplicaciones de las leyes de NewtonAcontinuaciónanalizaremosalgunosejemplosdeaplica-ciónde las leyesdeNewton.Lasestrategiasdesoluciónqueusaremosteservirándemodelopararesolverlospro-blemaspropuestosenestetexto.

El siguientemétodote facilitaráelprocesodesolu-cióndeproblemasrelacionadosconladinámica.

1. Identificaelobjetodelproblemacuyoestadodemo-vimientosequiereanalizar.

2. Identificatodaslasfuerzasqueactúansobreelobjeto.3. Utilizaelmodelodepartículamaterial,demodoque

puedassuponerquetodaslasfuerzasqueactúansobreelobjetolohacenenunpunto.

4. Estableceunsistemadereferenciacuyoorigenseaelpunto que representa la partículamaterial (objeto). Losejesdebenorientarsedemaneraquelasolucióndelpro-blemaresultemássencilla.

5. Muestraenelsistemadereferenciatodaslasfuerzasqueactúan sobreelobjeto.Esta representación recibeelnombredediagrama de cuerpo libreoaislado.Parapro-blemasdondeseinvolucramásdeunobjeto,sedebetrazarundiagramadecuerpolibreparacadaunodeellos.

6. AplicalasegundaleydeNewton,SF=ma,enlafor-madecomponentesyresuelvelasecuacionesqueresulten;estoes:

∑ = ∑ =F ma F ma;x x y y



Fuerza Símbolo Definición Dirección y sentido

Peso wFuerzadelargoalcanceproducidaporlaatraccióngravitacionalentredosobjetos,unodeellosdegran

masa;porloregular,laTierrayunobjeto.

VerticalhaciaabajoyhaciaelcentrodelaTierra.

a)

w

m

b)

w

w

c)

Normal N Fuerzadecontactoqueejercelasuperficiesobreunobjeto.

Perpendicularyhaciafueradelasuperficie

a)

b)

N

N900

Fricción cinética fk

Fuerzadecontactoqueseoponealdeslizamientodeunobjetosobreunasuperficie.

Paralelaalasuperficieyopuestaalmovimiento.

Movimiento

Movimientoa)fk

Movimiento

Movimiento

frk

f rk

f rk

b)

c)

d )

Debidoaquelaaceleraciónqueexperimentaunob-jetosedebealafuerzanetadelconjuntodefuerzasqueseejercensobreél,esimportantesabercómodeterminarla

fuerzaneta.Elsiguientecuadrotepermitiráidentificarlostiposdefuerzasmáscomunes:


184 Física I

Fuerza Símbolo Definición Dirección y sentido

Tensión T Tirónejercidoporunresorte,cuerdaocablecuandoestáunidooatadoaunobjetoysetensiona.

Haciafueradelobjetoyparalelaalresorte,cuerdaocableenel

puntodeunión.

a) b)

TT T

w

T1 T2

c)

Empuje F Términogeneralquesedaalasfuerzasquemuevenobjetos,talescomoautos,avionesypersonas.

Enlamismadirecciónysentidodelobjetocontracualquierfuera

resultante.

Ejemplo 3.3 (Movimiento horizontal) Cal-culalamagnituddelafuerzanetaquesedebeaplicarsobreunobjetode10kgparaquesemuevaconunaaceleraciónde1.4m/s2.

Solución

Fn=maFn =10kg(1.4m/s2)Fn=14N

m Fn

Movimiento

Ejemplo 3.4 Calculalamagnituddelafuerzaho-rizontalquesedebeaplicarsobreunobjetode10kgparaquesedesliceconvelocidadconstantesobreunasuperficiehorizontal.Elcoeficientedefriccióncinéti-coes0.20.

SoluciónPrimerodebemostrazareldiagramadecuerpolibre.

fk

N

w

F

fk F

N

w



DeacuerdoconlasegundaleydeNewton,enelejey:

SFy =may

SFy=0

N - w=0

N = w

N =mg

N =10kg(9.80m/s2)

N =98.0N


N=98N

DeacuerdoconlasegundaleydeNewton,eneleje x:

SFx=max

F-fk=ma

Luego:

F=0+ fk

F=fk

F=mkN

F=0.20(98N)

F=19.6 N


F=20 N

Ejemplo 3.5 Sobre un objeto de 18.0 kg que sedesliza sobre una superficie horizontal se aplica unafuerzade40.0Na30° con lahorizontal.Calcula laaceleracióndelobjetosielcoeficientedefricciónci-néticoesde0.10.

SoluciónDiagramadecuerpolibre.

fk

fk

N

N

w

w

F

Fx

Fy

30°

fk

fk

N

N

w

w

F

Fx

Fy

30°

DeacuerdoconlasegundaleydeNewton,enelejey:SFy=0

N + Fy - w=0Luego:

N=w - Fy

Donde:Fy=Fsenq

Porlotanto:N=mg-Fsenq,N =18.0kg(9.80m/s2)-40.0sen30°N=156.4

Redondeamostrescifrassignificativasparaobtener:

N=156N

DeacuerdoconlasegundaleydeNewton,paraelejex:SFx=max

Fx-fk=ma

Luego:

=−

aF fmx k

Donde:

Fx =F cosq y fk =mkN

Porlotanto:

a =F cos μkN

m

a = 40.0N(cos30o ) 0.10(156N)18.0 kg

a = 1.05m s2


a=1.0m/s2,otambién:a=1.1m/s2


186 Física I

ActividAdes de AprendizAjeEnlossiguientesejercicios,consideraqueg=9.80m/s2

1. Unafuerzanetade120Nactúasobreunobjetode30kg.Calculalamagnituddelaaceleracióndelobjeto.a) 0.25m/s2

b) 4.0m/s2

c ) 4.5m/s2

d ) 5.0m/s2

b) 4.0m/s2

2. CalculalafuerzadeatraccióngravitacionalqueejercelaTierrasobreunobjetode15.0kg.a) 145Nb) 140Nc) 138Nd) 147N

d) 147N

3. Calculaelpesodeunapersonade20.0kg.a) 150Nb) 185Nc ) 196Nd ) 190N

c) 196N

4. Calculaelpesodeunobjetode40.0kg.a) 392Nb) 390Nc ) 295Nd ) 400N

a) 392N

5. Elpesodeunapersonaesde687N.CalculasumasasiestuvieraenlaLuna(gL=1.62m/s2).a) 75.6kgb) 424kgc ) 68.5kgd ) 70.1kg

d) 70.1kg

6. Unafuerzaneta30Naceleraunobjetoarazónde5.0m/s2.Determinasupeso.a) 55Nb) 60Nc ) 54Nd ) 59N

d) 59N



7. Unafuerzanetade16.0Naceleraunobjetoarazónde1.6m/s2. Calculalafuerzaquesedebeaplicarparaqueseacelerearazónde2.0m/s2.a) 15Nb) 20Nc ) 19Nd ) 25N

b) 20N

8. Unobjetode10kgseencuentraenrepososobreunasuperficiehorizontal.a) Siseleaplicaunafuerzahorizontalde30Nyno

semueve,determinalamagnituddelafricciónestática.a) 0Nb) 98Nc ) 30Nd ) 40N

c) 30N

b) Siseleaplicaunafuerzahorizontalde75N,determinasielobjetosemueve.ms=0.82.a) Nosemueveb) Sísemueve

9. Seejerceunafuerzahorizontalde30.0Nsobreunacajade12.0kgyéstasedeslizaconvelocidadconstantesobreunasuperficiehorizontal.Determinaelcoeficientedefriccióncinético.a) 0.201

F = 30 N12.0 kgb) 0.304c ) 0.283d ) 0.255

d) mk=0.255


188 Física I

10. Sobreunbloquede20.0kgquesedeslizasobreunasuperficiehorizontal,seleaplicaunafuerzaparalelaalasuperficiede100N.Calculalaaceleracióndelbloquesielcoeficientedefriccióncinéticoesde0.350.

20.0 kg F = 100 N

10.0 kg F = ?

a) 1.57m/s2

b) 1.40m/s2

c ) 1.65m/s2

d ) 2.00m/s2

a) 1.57m/s2

11. Unacajade10.0kgsedeslizasobreunasuperficiehorizontalconunaaceleraciónde1.20m/s2porlaaccióndeunafuerzaparalelaalasuperficie.Sielcoeficientedefriccióncinéticoesde0.320,determinalamagnituddelafuerza.

20.0 kg F = 100 N

10.0 kg F = ?a) 52.3Nb) 48.5Nc ) 43.4Nd ) 40.8N

c) 43.4N



12. Unbloquede7.0kgsedeslizahorizontalmenteconvelocidadconstanteporlaaccióndeunafuerzaparalelaalasuper-ficiede26N.Calculaelcoeficientedefriccióncinético.

F7.0 kg

10.0 kg

F

30°

a) mk=0.38b) mk=0.27c ) mk=0.32d ) mk=0.30

a) mk=0.38

13. Unaboladebolicheselanzaconunavelocidadinicialde6.0m/syrueda30msobreunasuperficiehorizontalantesdedetenerse.Determinaelcoeficientedefricciónporrodadura.

Movimiento

fk

a) 0.025b) 0.032c ) 0.061d ) 0.042

c) 0.061


190 Física I

14. Unbloquede10.0kgsedeslizasobreunasuperficiehorizontalporlaaccióndeunafuerzade50.0Ninclinada20°conlahorizontal.Sielcoeficientedefriccióncinéticaes0.400,calculalaaceleracióndelbloque.

m = 10.0 kg

F = 50.0 N

20°

a) 1.46m/s2

b) 1.2m/s2

c ) 1.40m/s2

d ) 1.90m/s2

a) 1.46m/s2

15. Unbloquede10.0kgsedeslizasobreunasuperficiehorizontalporlaaccióndeunafuerzade40.0Na30°conrespectoalahorizontal.Sielcoeficientedefriccióncinéticoes0.200,calculalaaceleración.

F7.0 kg

10.0 kg

F

30°

a) 1.90m/s2

b) 1.75m/s2

c ) 1.80m/s2

d ) 1.98m/s2

a) 1.90m/s2



Ejemplo 3.6 (Plano inclinado) Unbloquede8.0kgsemuevehaciaarribasobreunplanoinclinado30°conrespectoalahorizontaldebidoalaaccióndeunafuerzaparalelaalplano.Sielcoeficientedefric-cióncinéticoes0.35,resuelvelossiguientesproblemas:

a) Calculalamagnituddelacomponentewxdelpeso.

Solución

wy

N

wx

α

θ

wx

w

Comoq=a,entonces:

θω

ω=sen x

Luego:

ω θ ω

ω θ

ω

ω

( )

=

=

= °

=

mg

sen

sen

8.0 9.80m s sen30

39.2N

x

x

x

x

2


ω = 39Nx

b) Calculalamagnituddelacomponentewydelpeso.

SoluciónDeacuerdoconlafiguraanterior:

θω

ω=cos y

Luego:

ω ω θ

ω θ

ω

ω

( )

=

=

= °

=

mg

cos

cos

8.0kg 9.80m s cos30

67.9N

y

y

y

y

2


ω = 68Ny

c) Calculalamagnituddelafuerzanormal.

SoluciónDeacuerdoconlafiguraanterioryconlasegundaleydeNewtonenelejey,tenemos:

N x

wy

ω

ω

∑ =

− =

=

F

N

N

0

0

y

y

y

ω

ω

∑ =

− =

=

F

N

N

0

0

y

y

y

N=68N

d) Calculalamagnituddelafuerzadefriccióncinética.

Soluciónfk = μkN

fk = 0.35 68 N( )fk = 23.8 N


fk=24N

e) Calculalamagnituddelafuerzaparalelaalplanoquehaciaarribasedebeejercersobreelbloqueparquesedesliceconunaaceleraciónde1.0m/s2

.

SoluciónDiagramadecuerpolibre:

N

wx

fk

Fx wy

wy

w

N

Fk

wx

θ

θ

Fk

900


192 Física I

N

wx

fk

Fx wy

wy

w

N

Fk

wx

θ

θ

Fk

900

DeacuerdoconlasegundaleydeNewton,paraelejex:

∑ =

=

= + +

= + +

F ma

F w f ma

F ma w f

F kg

– –

8.0 (1.0m s ) 39 N 24 N

x x

k k

x k

2

F=71N

Ángulo de reposo y deslizamiento uniformeCuando un objeto sobre un plano inclinado empieza adeslizarsehaciaabajoporlaaccióndesupeso,elánguloqueseformaporelplanoylahorizontalseconocecomoángulo de reposo.

Esteánguloserelacionaconelcoeficientedefricciónestáticocomosedemostraráacontinuación.

fs máx

N

wx = mg sen wy = mg cos

w = mg

θ

θ

θθ

Figura 3.16

Cuandoelbloqueempiezaadeslizarse, lamagnituddelacomponentedelpesoparalelaalplano,oseawx,debeser igual que la fuerza de fricción estática máxima, demodoque:

wx = fsMÁX

mg sen = μsN

mg sen = μsmg cos

Aldespejarmsresulta:

μs =sen cos

Portrigonometríasabemosque:

θθ

θ=sen cos

tan

Entonces:

ms=tanq

En lo sucesivo, al ángulo de reposo lo denotaremosporqr.

Delmismomodo,siparaunánguloquunobjetosobreun plano inclinado se desliza hacia abajo con velocidadconstante,podemosdemostrarque:

mk=tanqu

qusedenominaángulo de deslizamiento uniforme.

Ejemplo 3.7 Elángulodedeslizamientouniformedeunacaja colocada sobre la superficiedeunplanoinclinadoesde20°.Determinaelcoeficientedefric-cióncinético.

Solución

mk=tanqm

mk=tan20°

mk=0.3639

Redondeamosatrescifrassignificativasparaobtener:

mk=0.364

Ejemplo 3.8 Elángulodereposodeunobjetoco-locadosobrelasuperficiedeunplanoinclinadoesde30°.Determinaelcoeficientedefricciónestático.

Solución

ms=tanqr

ms=tan30°

ms=0.577




1. Unacajade5.0kgsedeslizahaciaabajoporlaaccióndesupropiopesoporunplanoinclinadoa50°conlahorizon-tal.Sisuaceleraciónesde5.6m/s2,calculaelcoeficientedefriccióncinético.

5.0 kg

50°

a) 0.20b) 0.18c ) 0.30d ) 0.40

c) mk=0.30

2. Elángulodereposodeunobjetocolocadosobreunatablaesde38°.Determinaelcoeficientedefricciónestáticoentrelassuperficiesencontacto.

20.0 k

g

40°

a) ms=0.45b) ms=0.78c ) ms=0.60d ) ms=0.65

b) ms=0.78

3. Unesquiadorde70.0kgsedeslizahaciaabajoporlaaccióndesupropiopesoporunapendientede36°.Sielcoefi-cientedefriccióncinéticoes0.140,determinalaaceleracióndelesquiador.

a) 4.65m/s2

b) 4.04m/s2

c ) 3.85m/s2

d ) 5.00m/s2

a) 4.65m/s2


194 Física I

4. Elángulodedeslizamientouniformedeunacajademetalsobreunatabladerobleesde26°.Determinaelcoeficien-tedefriccióncinéticoentrelassuperficies.a) 0.40b) 0.29c ) 0.49d ) 0.42

c) 0.49

5. Unobjetode20.0kgsedeslizahaciaabajoporlaaccióndesupropiopesoporunplanoinclinadoa40°conlahori-zontal.Determinalaaceleracióndelbloquesielcoeficientedefriccióncinéticoes0.240.

20.0 k

g

400

a) 5.20m/s2

b) 4.50m/s2

c ) 4.00m/s2

d ) 5.42m/s2

b) 4.50m/s2

6. Unbloquede30.0kgestásobreunplanoinclinadode28°conlahorizontal.Sielcoeficientedefriccióncinéticoentrelassuperficiesencontactoesde0.200,calculalamagnituddelafuerzaparalelaalplanoqueserequiereaplicarsobreelbloqueparaque:a) Elbloquesubaconvelocidadconstante.

F

28°

a) 200Nb) 190Nc ) 182Nd ) 205N

b) 190N



b) Elbloquesubaconunaaceleraciónde1.60m/s2.a) 238Nb) 250Nc ) 225Nd ) 220N

a) 238N

7. Unobjetode10.0kgestásobreunplanoinclinadoa15°conrespectoalahorizontal.Sielcoeficientedefriccióncinéticoes0.200,determinalafuerzaparalelaalplanoquesedebeaplicarsobreelobjetoparaque:a) Elobjetosubaconvelocidadconstante.

a) 44.3Nb) 40.0Nc ) 49.5Nd ) 50.0N

a) 44.3Nb) Elobjetosubaconunaaceleraciónde2.00m/s2.

a) 60.0Nb) 69.5Nc ) 64.3Nd ) 70.0N

c) 64.3N


196 Física I

Movimiento de objetos que cuelgan del extremo de una cuerda o cable

Ejemplo 3.9 Siunobjetode4.0kgcuelgadelex-tremodeunacuerda,calcula:

a) Latensiónenlacuerdasielobjetosubeconunaaceleraciónde0.80m/s2.

Solución

4 kg

Sise jalauncuerpopormediodeuncableocuerdaatadaounidaaél,éstaejerceunafuerzasobredichocuerpoque actúahacia fuerade él y esparalela a lacuerdaenelpuntodeunión.Lamagnituddeestetipodefuerzassellamatensiónyserepresentageneralmen-teporlaletraT.Diagramadecuerpolibre:

T

w

T

w

Siconsideramosladirecciónpositivahaciaarriba,deacuerdoconlasegundaleydeNewtonresulta:

SFy=may

T–w = maT = ma + wT = ma + mgT=m(a + g)T =4.0kg(0.80m/s2+9.80m/s2)T =42.4N≈42N

b) Calculalatensiónenlacuerdasisubeconveloci-dadconstante.

T

w

SFy=may

SFy=0T-w = 0T=wT=mgT=4.0kg(9.80m/s2)T=39.2N≈39N

c) Latensiónenlacuerdasibajaconunaaceleraciónde0.80m/s2.

Solución

direcciónpositiva delmovimiento

T

w

SiconsideramosladirecciónpositivadelmovimientohaciaabajoydeacuerdoconlasegundaleydeNewtontenemos:

SFy=may

w–T= ma

Luego:w –ma =T

T=mg-maT=m(g–a)T=4.0kg(9.80m/s2–0.80m/s2)T=36N

Ejemplo 3.10 Jorgepesa50.0kgyestáparadoso-breunabalanzaderesorte.Determinalalecturadelabalanza.



SoluciónLasiguientefiguranosmuestralasfuerzasqueactúansobreJorge.

N = Fr

x

w

N = Fr

w

La fuerzahaciaarribaqueejerce labalanza so-breJorgeeslafuerzadelresortey,dadoqueestáenreposo,deacuerdoconlasegundaleydeNewton,te-nemos:

Fres–w=0

Fres=w

Fres = mg

Fres =50.0kg(9.80m/s2)

Fres=490N

HemosdeterminadoquelamagnituddelafuerzadelresorteesigualalpesodeJorge;estosignificaqueunabalanzaderesortesmideelpesoynolamasa.SiJorgeestuvieraenlaLuna, lacompresióndelresorteseríadiferenteylalecturadelabalanzasería:

Fres=mgL

Fres =50.0kg(1.6m/s2)

Fres=80N

Nota:LaaceleracióndelagravedadenlaLunaesde1.6m/s2.

Peso aparenteImaginaqueestásparadosobreunabalanzaderesortesenunascensor.Mientraselascensorestéenreposootengauna velocidad constante, la lecturade la balanza corres-pondealamagnituddetupeso.

Si el ascensor se acelera, la lecturade labalanzanorepresentarátupesoreal.Estehecholodemostraremosacontinuación.

Primero supongamos que el ascensor sube con unaaceleraciónconstantea.

DeacuerdoconlasegundaleydeNewton,tenemos:

Fr

w


SFy=ma

Fres-w=ma

Fres=ma+w

Fres = ma +mg

Fres =m(a+g)

Deacuerdoconlaexpresiónanterior,lalecturadelabalanzaindicaríaunafuerzamayorqueladetupeso;estosignificaqueelpesopresionamásfuertesobretuspies,osea,tesientesmáspesado.

Veamosquésucedesielascensorseacelerauniforme-mentehaciaabajo.

DeacuerdoconlasegundaleydeNewton,tenemos:


Fr

w

SFy=ma

w - Fres=ma

w - ma =Fres

Fres = mg -ma

Fres =m(g-a)

Deacuerdoconlaexpresiónanterior,lalecturadelabalanzaesmenorquelamagnituddetupeso,porloquetesentirásmásligero.

Alafuerzaejercidaporunabalanzaderesortessobreunapersonauobjetocuandoelascensorestáacelera-doselellamapeso aparente.

Imagina ahoraque el cableque sostiene el ascensorserompe.Enestasituación,labalanzacontigosobreella


198 Física I

aceleraríacona=-g.Deacuerdoconlasoluciónobtenidacuandoelascensorsube,tenemos:

Fres =m(g+a)

Fres = 0

Cuandoelcabledelascensorserompe,lalecturadelabalanzaindicaríacero;osea,tupesoaparenteseríaceroypo-dríamosdecirqueestásingrávido,estosignificaquenoexis-tenfuerzasdecontactoempujandosobreti;sinembargo,deningunamanerasignificaquetupesoseademagnitudcero.

AcontinuaciónresolveremosproblemasdeaplicacióndelasegundaleydeNewtoncondosobjetos.Estetipodeproblemas se resuelven trazandoundiagramadecuerpolibreparacadaobjetoydespuésseaplicalasegundaleydeNewtonparacadaunodeellos.

Ejemplo 3.11 En el sistema que se ilustra en lasiguientefigura,consideraquelamasadelacuerdaydelapoleasondespreciablesyquelasuperficiedelapoleasinotienefricción.

Si m1 = 20.0 kg, m2 = 10.0 kg y el coeficientede friccióncinéticoentreelbloquey la superficiees0.200,determinalaaceleracióndelsistemaylatensiónenlacuerda.

Si no se consideran los efectos de la polea, lasmagnitudes de las tensiones en cada extremo de lacuerdasonigualesydadoquelosobjetosestánunidosporlamismacuerda,susaceleraciones,respectivamen-te,sondeigualmagnitud.

Diagramadecuerpolibreparalamasam1.

N

w

fk T

w20N

N

m1T


SFy=0

N – w1=0

N = w1

N = m1g

DeacuerdoconlasegundaleydeNewton,enelejex:

SFx=max

T-fk = ma

T - mkN=ma

T - mkmg=ma

T -0.200(20.0kg)(9.80m/s2)=(20.0kg)a

T-39.2N=20.0kga

DadoquedesconocemoslamagnituddeTydea,necesitamosotraecuaciónparacalcularsusvalores.

Apliquemos la segunda ley de Newton para elbloquedemasam2.

Diagramadecuerpolibreparam2.

T

w2

T

w2

m2


SFy=ma

wk -T= ma

m2g -T =ma

10.0kg (9.80m/s2)- T =(10.0kg)a9.80N-T =10.0kga

Resolvamoselsistemadeecuacionesqueobtuvi-mosalaplicarlasleyesdeNewtonparaambasmasas.

T-39.2=20.0a–T+9.80=10.0a

Sumamosmiembroamiembroambasecuaciones:58.0N=30.0kga



=a 58.0 N300 kg

a =1.96m/s2

Calculemosahoralamagnituddelatensión:T–39.2N=20.0aT =20.0kg(1.96m/s2)+39.2NT=78.4N

Ejemplo 3.12 Dosobjetosde4.0y5.0kg,respec-tivamente,estánatadosalosextremosdeunacuerdayéstasedeslizaporunapoleasinfricción.Silasmasasdelacuerdaydelapoleasondespreciables,determinalaaceleracióndelosobjetosylatensiónenlacuerda.

5.0kg

4.0kg

SoluciónSinoseconsideranlosefectosdelapolea,latensiónencadaextremodelacuerdaeslamisma,ycomolosobjetosestánunidosporlamismacuerda,lasmagni-tudesdesusaceleracionessondeigualmagnitud.

Debidoaladiferenciadelamagnituddelasma-sas,esobvioqueelobjetode5.0kgsemuevehaciaabajo,mientrasqueelde4.0kghaciaarriba.Aplique-moslasegundaleydeNewtonparacadaobjeto.

Diagramadecuerpolibreporelobjetode4.0kg.Seam1=4.0kg.

T1

w1

dirección positiva del

movimiento

m1=4.0 kg

w1

T1

Direcciónpositivadelmovimiento.

SFy=0T1 –w1= m1a

T1 –m1g = m1aT1 –m1a + m1g

Diagramadecuerpolibreparaelobjetode5.0kg.

T2

w2

dirección positiva del movimiento

5.0 kg

w2

T2

m2=

SFy=maw2 -T2= m2aw2 -m2a = T

T2 =m2g - m2a

DadoqueT1=T2,entonces:

m1a + m1g =m2g - m2a

m1a + m2a =m2g - m1g

a(m1 + m2) =g(m2 - m1)

( )=

−

+a

g m mm m

2 1

1 2

Porlotanto:

( )=

−

+a

9.80m s 5.0kg 4.0kg5.0kg 4.0kg

2

a=1.09m/s2


a=1.1m/s2

Calculemosahoralatensiónenlacuerda.

T =m1a + m1g

T =4.0kg(1.1m/s2)+4.0kg(9.80m/s2)

T=43.6N


T=44N


200 Física I

Ejemplo 3.13 Dos objetos están conectados porunacuerdademasadespreciablequecorresobreunapolea también de masa despreciable y sin fricción,comoloilustralafigura.

Sim1=6.00kg,m2=10.0kgyelcoeficientedefriccióncinéticoentreelobjetodemasam1ylasuper-ficieesde0.400,calculalaaceleracióndelsistema.

m1m2

Diagrama de cuerpo libre para el objeto de masa m1=6.00kg.

NT

wxwy

frk

300

T

w x

f r k

N

w yw

Calculemoslamagnituddewx, wy, N yfk.

wx=mgsenq

wx=6.00kg(9.80m/s2)sen30°

wx=29.4N

wy=mgcosq

wy=6.00kg(9.80m/s2)cos30°

w7=50.9N


SFy=0N-wy = 0N =wy

N=50.9N

Calculemosahora lamagnitudde la fricciónci-nética:

fk=mkNfk=0.400(50.9N)

fk=20.4N

Calculemos la magnitud de la aceleración. DeacuerdoconlasegundaleydeNewtonparaelejex:

SFx=maT-fk - wx = m1aT -20.4N-50.9N=6.00kgaT - 71.3N=6.00kga

T-71.3N=6.00kga

Dadoquedesconocemos lamagnituddeT ya,necesitamosotraecuaciónparacalculardichosvalores.Analicemoseldiagramadecuerpolibreparaelobjetode10.0kg.

DeacuerdoconlasegundaleydeNewton,paraelobjetodemasam2tenemos:

T

w2

direcciónpositiva

T

w2

m2

Comoelbloquesemuevehaciaabajo,entonces:w2-T=m2am2g - T= m2a10.0kg(9.80m/s2) - T =10.0kga98.0N- T =10.0kga

Resolvamosacontinuaciónelsistemadecaucio-nesobtenido.

T -71.3N=6.00kga-T +98.0N=10.0kga

Sumamosmiembroamiembroambasecuaciones:26.7N=16.0a

=a 26.7 N16.0 kg

a=1.67m/s2



ActividAdes de AprendizAje1. Calculalatensiónenelcabledeunelevadorde500kg,si:

a) Subeconunaaceleraciónde0.60m/s2.a) 5.2×103Nb) 4.9×103Nc ) 5.6×103Nd ) 4.6×103N

a) 5.2×103N

b) Bajeconunaaceleraciónde0.60m/s2.a) 5.2×103Nb) 4.9×103Nc ) 4.0×103Nd ) 4.6×103N

d) 4.6×103N

2. Calculalatensióndelcablequesostieneunelevadorde600kgsi:a) Subeconunaaceleraciónde0.800m/s2.

a) 5.35×103Nb) 6.45×103Nc ) 6.36×103Nd ) 7.05×103N

c) 6.36×103N

b) Bajaconunaaceleraciónde0.800m/s2.a) 5.40×103Nb) 5.25×103Nc ) 6.05×103Nd ) 5.05×103N

a) 5.40×103N

3. Unapersonade60.0kgestáparadasobreunabásculaderesorteenunascensor.Determinalalecturadelabásculacuando:a) Elascensorestáenreposo.

a) 600Nb) 570Nc ) 596Nd ) 588Ne) 0N

d) 588N

b) Elascensorsubeobajaconvelocidadconstante.a) 600Nb) 570Nc ) 596Nd ) 588Ne) 0N

d) 588N


202 Física I

c ) Elascensorsubeconunaaceleraciónde1.00m/s2.a) 648Nb) 600Nc ) 528Nd ) 588N

a) 648N

d ) Elascensorbajaconunaaceleraciónde1.00m/s2.a) 648Nb) 600Nc ) 528Nd ) 588N

c) 528Ne) Elcablequesostieneelascensorserompe.

a) 600Nb) 570Nc ) 596Nd ) 588Ne) 0N

e) 0N

4. Unniñode20.0kgestáparadosobreunabásculaderesorteenunelevador.Determinasupesoaparentesi:a) Elelevadorsubeconunaaceleraciónde2.00m/s2.

a) 196Nb) 236Nc ) 250Nd ) 200N

b) 236N

b) Elelevadorbajaconunaaceleraciónde2.00m/s2.a) 151Nb) 149Nc ) 165Nd ) 156N

d) 156N



c ) Elcablequesostieneelelevadorserompe.a) 196Nb) 156Nc ) 0Nd ) 236N

c) 0N

d ) Elelevadorsubeobajaconvelocidadconstante,oestáenreposo.a) 156Nb) 0Nc ) 196Nd ) 204N

c) 196N5. Dosmasasde4.0y9.0kg,respectivamente,estánatadasauncabledemasadespreciablequesedeslizaporunapolea

tambiéndemasadespreciableysinfricción.Determina:

9.0 kg4.0 kg

mov

a) Laaceleracióndelasmasas.a) 3.8m/s2

b) 3.0m/s2

c ) 4.5m/s2

d ) 3.2m/s2

a) 3.8m/s2

b) Latensiónenlacuerda.a) 54Nb) 50Nc ) 60Nd ) 58N

a) 54N6. Dosmasasde8.0y10.0kg,respectivamente,estánatadasauncabledemasadespreciablequesedeslizaporunapo-

leatambiéndemasadespreciableysinfricción.Determina:

10.0 kg

8.0 kg

a) Laaceleracióndelsistema.a) 1.1m/s2

b) 1.4m/s2

c ) 1.5m/s2

d ) 1.6m/s2

a) 1.1m/s2

b) Latensiónenelcable.a) 90Nb) 80Nc ) 87Nd ) 93N

c) 87N


204 Física I

7. Dosmasasde10.0y12.0kg,respectivamente,estánatadasauncabledemasadespreciablequesedeslizaporunapoleatambiéndemasadespreciableysinfricción.Determina:

12.0kg

10.0kg

a) Laaceleracióndelosobjetos.a) 0.750m/s2

b) 1.05m/s2

c ) 0.891m/s2

d ) 0.96m/s2

c) 0.891m/s2

b) Latensiónenelcable.a) 115Nb) 107Nc ) 112Nd ) 95N

b) 107N



8. Dosobjetosestánatadosauncabledemasadespreciablequesedeslizaporunapoleatambiéndemasadespreciableysinfricción.Sim1=14.0kg,m2=10.0kg,q=20°yelcoeficientedefriccióncinéticoentrelassuperficieses0.200,determinalaaceleracióndelosobjetosylatensiónenlacuerda.

m1 m2

1m

a) Aceleracióna) 1.20m/sb) 1.30m/sc ) 1.05m/sd ) 1.35m/s

c) 1.05m/s

b) Tensiónenlacuerdaa) 90.0Nb) 82.3Nc ) 87.5Nd ) 80.0N

c) 87.5N


206 Física I

9. Enelsistemaqueilustralafigura,consideradespreciableslamasadelapoleaydelacuerda.Asimismo,tomaencuentaquelasuperficiedelapoleaessinfricción.Sim1=16.0kg,m2=12.0kgyelcoeficientedefriccióncinéticoentreelobjetodemasam1ylasuperficiees0.400,determinalaaceleracióndelosobjetosylatensiónenlacuerda.

m1

m2

a) Aceleracióna) 1.96m/s2

b) 2.40m/s2

c ) 1.50m/s2

d ) 2.60m/s2

a) 1.96m/s2

b) Tensiónenlacuerdaa) 90.0Nb) 88.0Nc ) 98.5Nd ) 94.1N

d) 94.1N



La fuerza centrípeta en el movimiento circular uniformeCuandouncuerposemueveconmovimientocircularuni-forme,experimentauncambioenladireccióndesuvelo-cidad,osea,unaaceleracióndirigidahaciaelcentrodeuncírculo.Porestarazón,debehaberunafuerzaquelopro-duzcayprovoquequeelmóvilsigaunatrayectoriacircular.Estafuerzaesladenominadafuerza centrípeta,lacualestádirigidaalcentrodelcírculo.DeacuerdoconlasegundaleydeNewton,sumagnitudestádadaporlaexpresión:

F=mac

=F mvr

2

Cuandounobjetosedesplazaenmovimientocircular,esimportanteidentificarelagentequeproducelafuerzacentrípeta.Porejemplo,lafuerzaquemantienealaLunayaunsatéliteenórbitaalrededordelaTierraeslafuerzagravitacionalqueejercenuestroplanetasobreellos.Siunobjeto atado a un extremodeuna cuerda semueve conmovimiento circular uniforme, la fuerza centrípeta es laqueejercedichacuerdasobreelobjeto.

Silafuerzacentrípetaqueactúasobreunobjetodes-aparece, ésta ya no semoverá siguiendo una trayectoriacircular,sinoalolargodeunalínearectatangentealcírcu-loenelpuntodondesedejódeejercerlafuerza.

Ejemplo 3.14 Unobjetode0.200kgseataalex-tremode una cuerda de 0.60mde largo y se hacegirarcon rapidezconstante.Sigira20 revolucionesen10segundos,calculalamagnituddelafuerzacen-trípeta.

Solución

F=mac

=F mvr

2

Dadoquen=r w,entonces:

ω

ω

ω

π

( )=

=

=

=

Fm rr

F mrr

F mr

F mr f(2 )

c

c

c

2

2 2

2

2

Dondelafrecuenciafestádadapor

f r2010s

2.0 Hzω= =

Luego,

Fc = 0.200kg .60( ) 2 2.0Hz( ) 2= 18.9

Al expresar el resultado con dos cifras significativasqueda:Fc=19N.


208 Física I


1. Seataunobjetode1.40kgaunacuerdade0.800mdelargoysehacegirarenuncírculohorizontalconrapidezconstante.Sigira6revolucionesen4.0segundos,calculalamagnituddelafuerzacentrípeta.a) 90Nb) 85Nc ) 89Nd ) 99N

d) 99N

2. Seataunobjetode0.20kgaunacuerdade0.60mdelargoysehacegirarenuncirculohorizontalconrapidezcons-tante.Sigiraarazónde240rpm(revolucionesporminuto),determinalamagnituddelafuerzacentrípeta.a) 80Nb) 76Nc ) 70Nd ) 82N

b) 76N

3. Determinalamagnituddelafuerzacentrípetaparamantenerunaesferade4.0kgmoviéndoseenuncírculohorizon-talde1.8mderadioconunarapidezconstantede6.0m/s.a) 75Nb) 80Nc ) 88Nd ) 85N

b) 80N



4. Unapiedrade0.40kgseataalextremodeunacuerdade0.80mdelargoysehacegirarconrapidezconstante.Sigiraarazónde72rpm(72revolucionesporminuto) determinalamagnituddelafuerzacentrípeta.a) 23Nb) 16Nc ) 21Nd ) 18N

d) 18N

5. Determinalamagnituddelafuerzacentrípetanecesariaparamanteneraunpatinadorde80.0kgmoviéndoseconunarapidezconstantede4.00m/ssobreunapistacircularde8.00mderadio.a) 160Nb) 180Nc ) 150Nd ) 170N

a) 160N

6. Elaboraunlistadodeobjetosqueseencuentranenreposooenmovimientodemanerapermanenteotemporalentuentorno.

Objetos en reposo Objetos en movimiento

7. Elaboraunreportequecontengalasvariablesconsideradasimportantesparacomprenderyanalizarelestudiodelascausasqueoriginanelreposoyelmovimientodeloscuerpos.


210 Física I

8. Dibujaeldiagramadecuerpolibredelossiguientescuerposenmovimiento.

a) Fm

Sin considerar la fricción. Diagramadecuerpolibre

Considera la fricción.Diagramadecuerpolibre

b)

F

m θ





9. Dibujaeldiagramadecuerpolibredelasmasasquesemuestranenlassiguientesfiguras.a) Elobjetosedeslizaporlaaccióndesupropiopesohaciaabajo.

m

θ



b) ElobjetosubeporunplanoinclinadoporlaaccióndeunafuerzaFparalelaatalplano.

m

F

θ




212 Física I

10. Dibuja,considerandolafricción,eldiagramadecuerpolibreparalasmasasdelassiguientesfiguras.

a)

m1m1 m2

Diagramadecuerpolibredelcuerpodemasam1

Diagramadecuerpolibredelobjetodemasam2

b)

m

Diagramadecuerpolibre

c)

m2

m1

m >2 m1

Diagramadecuerpolibredelcuerpodemasam1

Diagramadecuerpolibredelobjetodemasam2



d) m1

m2

(consideralafricción).Diagramadecuerpolibredelobjetodemasam1 Diagramadecuerpolibredelobjetodemasam2

11. Realizaunaactividaddondesepuedanobservarydemostrarlasleyesdeladinámica.

Escribelaletraquecorrespondaalarespuestacorrecta.

1. ( )Estudiaelmovimientodeloscuerposatendiendolascausasqueloproducenomodifican.a) Estadísticab) Cinemáticac ) Dinámicad ) Termodinámica

2. ( )Estodoaquellocapazdecambiarelestadodemovi-mientodeunobjetoodedeformarlo.a) Aceleraciónb) Masac ) Inerciad ) Fuerza

3. ( )Fuerzadeatracciónqueexisteentredosobjetosporelsimplehechodetenermasa.

a) Fuerzanuclearfuerteb) Fuerzagravitacionalc ) Fuerzaelectromagnéticad ) Fuerzanucleardébil

4. ( )Propiedadque tienen losobjetosde resistirse auncambioensuestadodereposoodemovimientoconvelo-cidadconstante.a) Pesob) Inerciac ) Fricciónd ) Ingravidez

5. ( )Eslamedidacuantitativadelainercia.a) Masab) Pesoc ) Aceleraciónd ) Fuerza


214 Física I

6. ( ) “Un objeto en reposo o en movimiento con velo-cidadconstantepermaneceráenreposooconvelocidadconstanteamenosquesobreélactúeunafuerzanetanoequilibrada.”Eselenunciadode:a) Laleydelagravitaciónuniversal.b LaterceraleydeNewton.c ) LaprimeraleydeNewton.d ) LasegundaleydeNewton.

7. ( )“Cuandounafuerzanetanoequilibradaactúasobreunobjeto,laaceleracióndelobjetoesdirectamentepro-porcionalalafuerzanetaeinversamenteproporcionalalamasa.”Eselenunciadode:a) Laleydelagravitaciónuniversal.b) LaprimeraleydeNewton.c ) LasegundaleydeNewton.d ) LaterceraleydeNewton.

8. ( )Unidaddefuerzaquesedefinecomolafuerzaqueaplicadasobreunamasade1kgleproduceunaacelera-ciónde1m/s2.a) Jouleb) Ergioc ) Dinad ) Newton

9. ( )Nombredelafuerzadeatraccióngravitacionalqueejercesobreunobjetootrodegranmasa,comolaTierra.a) Fuerzanormalb) Fuerzacentrípetac ) Masad ) Peso

10. ( )“Atodafuerzadeacciónlecorrespondeotradere-accióndeigualmagnitudperoensentidocontrario.”Eselenunciadode:a) Laleydelagravitaciónuniversal.b) LaprimeraleydeNewton.c ) LaterceraleydeNewton.d ) LasegundaleydeNewton.

11. ( )Fuerzaqueejerceunasuperficiesobreunobjetoqueestá sobreella.Actúa siempreperpendicularmentea lasuperficiequelaproduce.a) Pesob) Centrípetac ) Normald ) Fricción

12. ( )Lasfuerzasdeacciónyreacciónactúan:a) Sobreunmismoobjeto.b) Sobreobjetosdiferentes.Tienenlamismamagnitud,

direcciónysentido.c ) Sobreobjetosdiferentes.Tienenlamismamagnitud,

direcciónysentidocontrarios.

13. ( )LamasadeunastronautaqueestáenlaTierraesde80kg.¿CuálseríasumasasiestuvieraenlaLuna?LaaceleracióndelagravedadenlaLunaes 1

6 delaacelera-cióndelagravedadenlaTierra.a) 785Nb) 80kgc ) 131Nd ) 480N

14. ( )LamasadeunapiedraqueestáenlaTierraesde15.0kg.¿CuálseríasupesosiestuvieraenlaLuna?Re-cuerdaquegL= 1

6gT .

a) 15.0kgb) 147Nc ) 24.5Nd ) 882N

15. ( )Fuerzadefricciónqueimpideelmovimientorelati-voentrelassuperficies.a) Fricciónrotacionalb) Viscosidadc ) Friccióncinéticad ) Fricciónestática

16. ( )Fuerzadefricciónqueseoponealdesplazamientoentrelassuperficiesencontacto.Actúaenlamismadi-recciónqueelmovimientoperoensentidocontrario.a) Fricciónestáticab) Friccióncinéticac ) Fricciónrotacional

17. ( )Es la razónde lamagnitudde la fricciónestáticamáximayladelafuerzanormal.a) Coeficientedefriccióncinético.b) Coeficientedefricciónestático.c ) Coeficientederotación.

18. ( )Eslarazóndelamagnituddelafuerzadefricciónporeldeslizamientoylafuerzanormal.a) Coeficientedefricciónestática.b) Coeficientedefriccióncinético.c ) Coeficientederotación.

19. ( )Unobjetoestáenestadodeingravidezcuando:a) Supesoaparenteesmayorquesupesoreal.b) Supesoaparenteesmenorquesupesoreal.c ) Supesoaparenteesceroporqueestáencaídalibre.

20. ( )Sobreunbloquede8.0kgseejerceunafuerzanetade20N.Calculalaaceleracióndelobjeto.a) 160m/s2

b) 0.4m/s2

c ) 2.0m/s2

d ) 2.5m/s2

21. ( )Unobjetoseaceleraarazónde6.0m/s2porlaac-cióndeunafuerzanetade30N.Calculalamagnitudde



lafuerzanetaqueseejercesobreelobjetosisuacelera-ciónesde4.0m/s2.a) 18Nb) 16Nc ) 20Nd ) 24N

22. ( )Unobjetode20kgsemuevesobreunasuperficiehorizontalconunaaceleraciónde0.75m/s2porlaacciónde una fuerza paralela a la superficie. Si el coeficientedefriccióncinéticaes0.20,determinalamagnituddelafuerza.a) 54Nb) 39.2Nc ) 46Nd ) 60N

23. ( )Sobreunobjetode5.0kgseaplicaunafuerzade20Ninclinada20°respectoalahorizontal.Sielobjetosemuevesobreunasuperficiehorizontalconvelocidadconstante,determinaelcoeficientedefriccióncinético.a) 0.30b) 0.21c ) 0.44d ) 0.50

24. ( )Unobjetode40.0kgsemuevesobreunasuperficiehorizontalporlaaccióndeunafuerzade100Ninclinada30°respectoalahorizontal.Sielcoeficientedefriccióncinéticoes0.120,determinalaaceleracióndelobjeto.

F = 100 N

40.0 kg30º

a) 1.50m/s2

b) 2.10m/s2

c ) 1.35m/s2

d ) 1.14m/s2

Unbloque de 20.0 kg se desliza hacia abajo por un planoinclinadode28° con respecto a lahorizontal.Contesta laspreguntas25y26.

20.0 kg

28°

25. ()Calculalaaceleracióndelbloquesiseconsideranulalafricción.

a) 3.0m/s2

b) 4.60m/s2

c ) 4.05m/s2

d ) 5.20m/s2

26. ( )Calculalaaceleracióndelbloquesielcoeficientedefriccióncinéticoes0.28.a) 1.70m/s2

b) 2.18m/s2

c ) 3.40m/s2

d ) 1.96m/s2

Unacajade8.00kgseencuentrasobreunplanoinclinado40°respectoalahorizontal.Contestalaspreguntas27y28.

27. ( )Calcula lamagnituddelafuerzaparalelaalplanoquesedebeejercersobrelacajaparaquesubaconve-locidadconstante.Elcoeficientedefriccióncinéticaes0.400.a) 61.6Nb) 50.4Nc ) 74.4Nd ) 85.6N

28. ( )Calcula lamagnituddelafuerzaparalelaalplanoquesedebeejercersobrelacajaparaquesubaconunaaceleraciónconstantede1.40m/s2.a) 89.6Nb) 50.4Nc ) 74.4Nd ) 85.6N

Calculalatensióndelcabledeunelevadorde500kgsi:

29. ( )Elelevadorsubeconunaaceleraciónde0.60m/s2.a) 4.9×103

b) 5.2×103Nc ) 4.6×103Nd ) 5.8×103N

30. ( )Elelevadordesciendeconunaaceleraciónde0.60m/s2.a) 4.9×103Nb) 5.2×103Nc ) 4.6×103Nd ) 5.8×103N

31. ( )Elelevadorsubeobajaconvelocidadconstanteoestáenreposo.a) 4.90×103Nb) 5.20×103Nc ) 5.80×103Nd ) 6.40×103N

Dosmasasde4.0y7.0kg,respectivamente,estánatadasalosextremosdeunacuerdaquesedeslizaporunapoleasinfric-ción.Silasmasasdelapoleaydelacuerdasondespreciables,contestalaspreguntas32y33.


216 Física I

32. ( )Determinalaaceleracióndelosobjetos.a) 1.4m/s2

7.0 kg

4.0 kg

b) 1.9m/s2

c ) 2.7m/s2

d ) 3.0m/s2

33. ( )Calculalatensiónenelcable.a) 50Nb) 46Nc ) 58Nd ) 62N

Unobjetode5.0kgestásobreunabásculaderesorteenunelevador.Contestalaspreguntas34-37.

34. ( )Determinalalecturadelabalanzacuandoeleleva-dorestáenreposoosemueveconvelocidadconstante.a) 0Nb) 49Nc ) 60Nd ) 40N

35. ( )Determinalalecturadelabalanzacuandoeleleva-dorsubeconunaaceleraciónde2.0m/s2(pesoaparentedelobjeto).a) 49Nb) 50Nc ) 59Nd ) 39N

36. ( )Determinalalecturadelabalanzacuandoelobjetobajaconunaaceleraciónde2.0m/s2(pesoaparentedelobjeto).a) 49Nb) 50Nc ) 59Nd ) 39N

37. ( )Determina el peso aparente del objeto si el cablequesostienealelevadorserompe.a) 49Nb) 0Nc ) 33Nd ) 59N

Dos objetos están atados por una cuerda de masa des-preciable que se desliza por una polea también de masadespreciableysinfricción,comoseilustraenlasiguientefigura.

Sim1=18kg,m2=20kg,q=50°yelcoeficientedefric-cióncinéticoentreelobjetodemasam1ylasuperficiees0.44,contestalaspreguntas38y39.

m1

= 18 kgm1

= 20 kgm2

38. ( )Calculalaaceleracióndelosobjetos.a) 0.29m/s2

b) 1.20m/s2

c ) 0.750m/s2

d ) 2.1m/s2

39. ( )Calculalatensiónenlacuerda.a) 1.8×102Nb) 1.7×102Nc ) 1.9×102Nd ) 2.1×102N

En el sistema que ilustra en la siguiente figura, consideraquelasmasasdelapoleaydelacuerdasondespreciables,asícomoquelasuperficiedelapoleasinopresentafricción.Sim1=20.0kg,m2=15.0kgyelcoeficientedefriccióncinéticoentrelassuperficieses0.250,contestalaspreguntas40y41.

m1

m2

40. Calculalaaceleracióndelosobjetos.a) 3.50m/s2

b) 2.80m/s2

c ) 3.65m/s2

d ) 1.90m/s2

41. Calculalatensiónenlacuerda.a) 105Nb) 120Nc ) 140Nd ) 125N

42. Una piedra de 0.400 kg se amarra al extremo de unacuerdade0.800mdelargoysehacegirarconrapidezconstante.Silapiedragira12.0revolucionesen8.00se-gundos,determinalamagnituddelafuerzacentrípeta.a) 28.4Nb) 36.5Nc) 20.8Nd) 40.4N



leyes de Kepler

fuerza de gravedad

ley de la gravitación universal

velocidad orbital

constante de gravitación universalLey de la gravitación universal

Tema 2

Leyes de KeplerHaciafinalesdelsigloxvi,elastrónomoTychoBraherea-lizó diversas investigaciones sobre elmovimiento de losplanetas.Tomando como referencia los resultados obte-nidos de sumaestro, JohannesKepler descubrió que lastrayectoriasdelosplanetasalrededordelSoleranelipses.Asimismo,demostróque losplanetasnosemuevenconuna rapidez constante, sino que tienen mayor rapidezcuandoestánmáscercadelSolquecuandoseubicanlejos.Finalmente, Kepler estableció una relación matemáticaentreelperiododeunplanetaysudistanciapromediores-pectoalSol.Keplerformulósusconclusionesentresleyesempíricasqueseenuncianacontinuación.

Figura 3.17 Tycho Brahe desarrolló instrumentos astronómicos que le permitieron crear un catálogo de más de 1000 estrellas. Johannes Kepler (en la ilustración) descubrió que las trayectorias de los planetas alrededor del Sol eran elipses.

Primera ley de KeplerTodoslosplanetassemuevenenórbitaelípticaconelSolsituadoenunodesusfocos.

Planeta

rp ra

rt2

P ASol

Figura 3.18 El punto P, donde el planeta está más cerca del Sol, se llama perihelio, y el A, donde el planeta está más lejos, afelio.

Segunda ley de KeplerLarectaimaginariaqueunecualquierplanetaconelSolbarreáreasigualesentiemposiguales.

∆t

∆tSol

Planeta

A1 = A2

Figura 3.19 Representación de la segunda ley de Kepler.

Tercera ley de KeplerElcuadradodelperiododecualquierplanetavaríaenfor-madirectamenteproporcionalconelcubodelradiodesuórbita,osea,conelcubodeladistanciapromedioquehaydeunplanetaalSol.

LaexpresiónmatemáticadelaterceraleydeKepleres:T 2=kr 3

Donde la constante de proporcionalidad k tiene elmismovalorparatodoslosplanetas.


218 Física I

Ley de gravitación universalSibienlasleyesdeKeplerconstituyenunpasoimportanteenlacomprensióndelmovimientoplanetario,fueNewtonquiendescubriólanaturalezadelasfuerzasqueactúanenelmovimientodelosplanetas.Deacuerdoconlaleydelainercia,unobjetoenmovimientocontinuarámoviéndoseconmovimientorectilíneouniforme,amenosquesobreélactúeunafuerzanetaexternanoequilibrada.

Newtonsabíaquelosplanetassólosemoveríanenór-bitascasicircularessiexistiesealgunafuerzaqueprodujerasuaceleracióncentrípeta.

Lahistoriacuentaqueenciertaocasión,Newtonob-servócaerunamanzanadeunárboly sepreguntósi sucaídalibresedebíaalmismotipodefuerzaadistanciaquelaqueproducelaaceleracióncentrípetadelaLunaensuórbitaalrededordelaTierra.

Conbaseenestaidea,NewtoncalculólamagnituddelaaceleracióncentrípetadelaLunaensuórbitaalrededordelaTierra,considerandounaórbitaconmovimientocir-cularuniforme.

Newtonconocíalasiguienteinformación:

r=distanciapromediodelaTierraalaLuna=3.84×108m

T=periododelaLuna=27.3días= 2.36×106s.

Conbaseenestosdatos,calculólaaceleracióncentrí-petadelaLuna,representadapor:

=a vrc

2

Donde:

ac =2 rT

21r

ac =4 2r 2

rT 2

ac =4 2r 2

T 2

ac =4 3.14( )2

3.84 108m( )2.36 106s( )2

ac = 2.71 10 3 m s2

ac = 0.00271m s2

Después,Newtoncomparólamagnituddelaacelera-cióndelagravedadenlaTierraconlaaceleracióncentrí-petadelaLuna;estoes:

ga

ga

9.80 m s0.00271

3619

cL

cL

2

=

=

Observóqueg@(60)2veceslaaceleracióncentrípetadelaLuna;esdecir:

( )≅g a60 cL

2

ComparóademáselradiodelaTierraconelradiodelaórbitalunar;osea,ladistanciapromediodelaTierraalaLuna:

rT =radiodelaTierra

r =radiodelaórbitalunar

=×

×

=

=

rr

rr

r r

3.84 106.37 10

60

60

T

T

T

8

6

Conlosresultadosqueobtuvopensó:SilaaceleracióncentrípetadelaLunaes 1

60

2

vecesmenorquelaacelera-cióndelagravedaddelaTierrayladistanciadenuestroplaneta a laLuna es 60 vecesmayor que el radio de laTierra,entonceslaaceleracióncentrípetadelaLunaensuórbitaalrededordelaTierraydelosplanetasalrededordelSolesinversamenteproporcionalalcuadradodeladistan-ciaquelossepara;estoes:

αar1

c 2

NewtonatribuyólaaceleracióncentrípetadelaLunaensuórbitaalrededordelaTierraaunafuerzadeatracción(fuerzaadistancia)ejercidaporlaTierrasobrelaLuna.

EstafuerzaquelaTierraejercesobre laLunaesunejemplode la fuerzauniversal conocidacomo fuerza de gravedad.

Después,enlabúsquedadeunaexpresiónmatemáti-caquedeterminaralamagnituddelafuerzadegravedad,Newtonrelacionólaexpresiónacaαa d

1c 2consusegundaleydel

movimiento:FgamL Fg mL1d 2 .

Newton razonóque si la fuerza entre laTierra y laLunadependedelamasadeésta,entonces,deacuerdocon


Tema 2 Ley de la gravitación universal 219

su tercera leydelmovimiento, laLuna tienequeejerceruna fuerzade igualmagnitudydirecciónperoensenti-do contrario sobre laTierra.Por lo tanto, si lamasa delaLunaseduplicara,lafuerzagravitacionalentrelaTie-rra y laLuna se duplicaría. Si por el contrario, lamasade laTierraseduplicara, lafuerzagravitacionaltambiénseduplicaría.Silamasadeambosseduplicara,lafuerzagravitacional entreambos se cuadriplicaría.Por lo tanto,concluyóquelafuerzagravitacionalesdirectamentepro-porcionalalproductodesusmasas:

αFm mdgT L

2

NewtonasumióquelafuerzagravitacionalentredosobjetosactúasiempredelamismaformaqueentrelaTie-rraylaLuna.Apartirdeestesupuesto,finalmenteformu-lóelenunciandodelaleydelagravitaciónuniversal:

Ley de la Gravitación Universal

Todoobjetoeneluniversoatraeaotroconunafuer-zaqueesdirectamenteproporcionalalproductodesusmasaseinversamenteconelcuadradodeladis-tanciaentreloscentrosdesusmasas.

La expresiónmatemáticade la leyde la gravitaciónuniversales:

=F Gm md1 2

2

DondeGeslaconstantedeproporcionalidadyrecibeelnombredeconstante de gravitación universal.

CienañosdespuésdequeNewtonpublicarasutra-bajo,HenryCavendishencontró,pormediode la expe-rimentación, que el valor de la constante de gravitaciónuniversales:

G=6.67×10-11Nm2/kg2

AlconocerelvalordeGsepuedecuantificarlafuerzadeatraccióngravitacionalentredosobjetos.

Ejemplo 3.15 Determina la fuerza gravitacionalentredospersonasde60.0y90.0kg,respectivamente,siestánseparados20.0m.

Solución

FGmmd

F

F

F

6.67 10 N m kg (60.0kg)(90.0kg)(20.0m)

90.0 10 N

9.00 10 N

g

g

g

g

1 22

11 2 2

2

11

10

=

=×

= ×

= ×

−

−

−

FGmmd

F

F

F

6.67 10 N m kg (60.0kg)(90.0kg)(20.0m)

90.0 10 N

9.00 10 N

g

g

g

g

1 22

11 2 2

2

11

10

=

=×

= ×

= ×

−

−

−

Ejemplo 3.16 La fuerza gravitacional entre dosautomóvilesde800y1200kg,respectivamente,esde1.60×10-7N.Calculaladistanciaqueestánseparadossuscentros.

Solución

=FGm mdg

1 22

Al multiplicar ambos miembros de la ecuaciónanteriorpord 2obtenemos:

=F d Gm mg2

1 2Luego,

dGm mF

d

d

d

d

6.67 10 N m kg (800 kg)(1200 kg)1.60 10 N

400 m

400 m

20.0 m

g

2 1 2

211 2 2

7

2 2

2

=

=×

×

=

=

=

−

−

Cálculo de la masa de la TierraAlconocerel valorde la constantedegravitación,G, sepuedecalcularlamasadelaTierra,comoveremosacon-tinuación.

LafuerzaqueproducelacaídalibredeunobjetohacialaTierra es la fuerza de atracción gravitacional entre laTierrayelobjeto;estoes,elpeso.Dadoqueestafuerzaobedecelaleydegravitaciónuniversal,tenemos:

=

=

F w

G m mr

mg

g

T

T2

Donde:m=masadeunobjetocualquieramT=masadelaTierrarT=radiodelaTierrag=aceleracióndelagravedadenlaTierra


220 Física I

AldespejarmTenlaecuaciónanteriorresulta:

=mgrGm

mTT2

Luego:

=mgrGT

T

2

Sabemosquecercadelasuperficieterrestreelvalordelaaceleracióndelagravedades9.80m/s2;mientrasqueelra-diodelaTierraes(rT)=6.38×106m;porlotanto,

=×

×m 9.80 m s (6.38 10 m)

6.67 10 N m kgT

2 6 2

-11 2 2

Luego:= ×m 5.98 10 kgT

24

LamasadelaTierraes5.98×1024kg

AlconocerlamasadelaTierrasepuededeterminarlamagnituddelaaceleracióndelagravedad,yenconse-cuencia,elpesodeunobjetoencualquier lugarsobre lasuperficieterrestre.

Siunobjetodemasamselocalizaaunaalturahsobrelasuperficieterrestre,entonces:

hm

r

w = Fg

mg =G m mT(r + h)2

Al dividir ambos miembros de la ecuación anteriorentremresulta:

=+

gGmr h( )

T2

Ejemplo 3.17 Determina lamagnitudde la ace-leracióndelagravedada200.0kmsobrelasuperficieterrestre.

rT=6370kmmT=5.98×1024km

Solución

g =GmT

(r + h)2

Donde:r+h=6370km+200.0kmr+h=6570kmr+h=6570000mr+h=6.570×106km

=× ×

×

−

g 6.67 10 N m kg (5.98 10 kg)(6.570 10 m)

11 2 2 24

6 2

g=9.24m/s2

Ejemplo 3.18 Calculaelpesodeunobjetode20.0kgqueselocalizaa1000kmsobrelasuperficieterrestre.

Solución

=w mg

Donde:

g =GmTr + h( )2

g = 6.67 10 11N m2 kg2 (5.98 1024 kg)

(6370+1000) 1000 m2

g = 6.67 10 11N m2 kg2 (5.98 1024 kg)(7.37 106 m)2

g = 7.34 m s2

w = mg '

w = 20.0 kg 7.34 m s2( )w = 146.8 N

Redondeamosatrescifrassignificativasparaobtener:

w=147N

Velocidad orbitalAprenderemosahoraadeterminarlavelocidadorbitaldeunsatélite.

Ejemplo 3.19 Siun satélite está enórbita a250kmsobrelasuperficieterrestre,determina:

a) Suvelocidadorbital.

b) Superiodo.



SoluciónUnsatélitedelaTierraescualquierproyectilquegiraconmovimiento circular uniforme alrededor de ella.LafuerzagravitacionalqueejercelaTierrasobreelsa-téliteeslafuerzacentrípetaqueproducelaaceleracióncentrípetadelsatélite.

h m

h

v

Fg

FtFg

( )

( )

( )

( )

=

+=

+

=+

+

=+

=+

F F

mvr h

Gmm

r h

vGmm r h

r h m

vGmmm r h

vGmr h

( )

c g

T

T

T

T T

T

T

T

T

T

2

2

22

2

2

( )

( )

( )

( )

=

+=

+

=+

+

=+

=+

F F

mvr h

Gmm

r h

vGmm r h

r h m

vGmmm r h

vGmr h

( )

c g

T

T

T

T T

T

T

T

T

T

2

2

22

2

2

Donde:

( )+ = +

+ = = ×

= ×

=× ×

×

=×

= ×

=

−

− −

r h

r h

m

v

v

v

v

6370 250 km

6620 km 6.62 10 m

5.98 10 kg

6.67 10 N m kg (5.98 10 kg)(6.62 10 m)

6.67(5.98) 10(6.62)

m s

6.02 10 m s

7758.9 m s

T

T

T

6

24

211 2 2 24

6

224 11 6

2 2

2 7 2 2

Redondeamosatrescifrassignificativasparaob-tener:

n=7.76×103m/s


1. DeterminalafuerzagravitacionalentrelaTierraylaLuna.

mT=5.98×1024kgmL=7.35×1022kgd=3.8×108m

a) 2.0×1020Nb) 2.50×1020Nc ) 1.80×1020Nd ) 1.85×1020N

a) 2.0×1020N


222 Física I

2. Determinalafuerzagravitacionalentedosobjetosde80y60kg,respectivamente,ycuyoscentrosestánseparados4.0m.a) 1.5×10-8Nb) 1.7×10-8Nc ) 2.4×10-8Nd ) 2.0×10-8N

d) 2.0×10-8N

3. LafuerzagravitacionalentreelSolylaTierraes3.6×1022N.Calculaladistanciapromedioentreellos.

mT=5.98×1024kgms=2.0×1030kg

a) 1.3×1011mb) 1.7×1011mc ) 1.5×1011md ) 1.8×1011m

c) 1.5×1011N



4. Lafuerzagravitacionalentredosautosdeigualmasaes8.7×10-6Ncuandosuscentrosestánseparados5.0m.De-terminalamasadecadaauto.a) 1.6×103kgb) 1.8×103kgc ) 1.5×103kgd ) 1.9×103kg

b) 1.8×103N

5. Determinaelpesodeunobjetode100kgsi:a) EstáenlaTierra.

a) 1000Nb) 490Nc ) 980Nd ) 900N

c) 980N

b) EstáaunadistanciadelcentrodelaTierraigualadosve-ceselradiodeésta.a) 240Nb) 245Nc ) 238Nd ) 250N

b) 245N


224 Física I

c ) EstáaunadistanciadelcentrodelaTierraigualatresveceselradioésta.a) 109Nb) 120Nc ) 100Nd ) 116N

a) 109N

6. Siuntransbordadorespacialestáa600kmsobrelasuperficieterrestre,determina:a) Laaceleracióndelagravedadenellugardondese

localizaeltransbordador.

rT=6370;mT=5.98×1024kg

a) 8.00m/s2

b) 7.80m/s2

c ) 8.9m/s2

d ) 8.21m/s2

d) 8.21m/s2

b) Elpesodeunastronautade80.0kgqueestáeneltrans-bordador.a) 665Nb) 670Nc ) 657Nd ) 650N

c) 657N



7. Unobjetode70.0kgestáa100kmsobrelasuperficieterrestre.Determina:a) Laaceleracióndelagravedadenellugardonde

estáelobjeto.

rT=6370kmmT=5.98×1024kg

a) 9.53m/s2

b) 9.00m/s2

c ) 9.70m/s2

d ) 9.40m/s2

a) 9.53m/s2

b) Elpesodelobjetoenellugardondeseencuentra.a) 686Nb) 667Nc ) 685Nd ) 660N

b) 667Nc ) LamasadelobjetosiestuvieraenlaTierra.

a) 65kgb) 80kgc ) 67kgd ) 70kg

d) 70kg


226 Física I

8. Siunsatéliteestáenórbitacirculara1000kmsobrelasuperficieterrestre,calculasuvelocidadorbital.

rT=6370kmmT=5.98×1024kgG=6.67×10-11Nm2/kg2

a) 8.24×103m/sb) 7.02×103m/sc ) 9.25×103m/sd ) 7.36×103m/s

d) 7.36×103m/s

9. LanaveespacialApoloVIIIdescribióunaórbitacirculara110kmsobrelasuperficielunar.Calculalavelocidadorbi-talconquegirólanave.

rL=1740kmmL=7.35×1022kgG=6.67×10-11Nm2/kg2

a) 1.63×103m/sb) 1.92×103m/sc ) 1.42×103m/sd ) 1.80×103m/s

a) 1.63×103m/s



10. Untransbordadorespacialestáenórbitacirculara500kmsobrelasuperficieterrestre.Encuentrasuvelocidadorbital.

rT=6370kmmT=5.98×1024kgG=6.67×10-11Nm2/kg2

a) 8.10×103m/sb) 7.10×103m/sc ) 7.62×103m/sd ) 7.95×103m/s

c) 7.62×103m/s


Ley de la gravitación universal1. Elaboraunalíneadeltiempodelossucesoshistóricosmássobresalientesdelpensamientofilosóficoquesentólas

basesdelafísicaclásica.

2. ElaboraunanálisissobrelaconcepcióndelmovimientodeloscuerposquepropusieronAristóteles,CopérnicoyGa-lileoGalilei,ycomparaestasconcepcionesconlasprecolombinas.


228 Física I

3. RealizaunlistadodeconceptosylasconsideracionesmásimportantesparapoderentenderlaaplicabilidaddelaleydelaGravitaciónUniversal.

Aplicación de la Ley de la Gravitación Universal Explicación

•CalcularlamasadelaTierra.

•Calcularlavelocidadorbitaldeunsatélite.

•Calcularlaaceleracióndeunobjetodemasamqueselocalizaaunaalturahsobrelasuperficieterrestre.

4. Elaboraunreportequeincluyaunresumendelosconceptosbásicos.



5. Realizaunanálisisquesustenteelcálculodelafuerzadeatracciónentrelosplanetasy,engeneral,doscuerposfísicosentresí.

6. LlenalasiguientetablaconsiderandolasleyesdeKepler

Explica las leyes de Kepler

Primera ley de Kepler

Segunda ley de Kepler

Tercera ley de Kepler

7. InvestigaenInternetelmovimientoplanetarioenelsistemasolaryentregauninformeescritoatuprofesor.

8. InvestigaenInternetelprocesoquesiguióNewtonparaformularlaLeydelaGravitaciónUniversalyentregauninformeescritoatuprofesor.


230 Física I


1. ( )CalculalafuerzagravitacionalentreelSolylaTierra.

mT=5.98×1024kgmS=2.00×1030kgd =1.50×1011m

a) 4.60×1025Nb) 3.82×1022Nc ) 3.46×1022Nd ) 3.54×1022N

2. ( )Silafuerzagravitacionalentreunamujerde60.0kgysuesposoesde3.20×10-9Ncuandosuscentrosestánseparados10.0metros,calculalamasadelesposo.a) 85.0kgb) 80.0kgc ) 74.0kgd ) 76.5kg

3. ( )DeterminalaaceleracióndelagravedadenlaLuna

mL=7.35×1022kgrL=1740km

a) 1.62m/s2

b) 1.54m/s2

c ) 1.85m/s2

d ) 2.0m/s2

4. ( )Determina laaceleraciónde lagravedada100kmsobrelasuperficieterrestre.

rT=6370kmmT=5.98×1024kg

a) 8.5m/s2

b) 6.9m/s2

c ) 7.34m/s2

d ) 9.53m/s2

ElpesodeunobjetoenlaTierraesde720N.Contestalaspreguntas5-7.

5. ( )Determinaelpesodelobjetosisetrasladaaunaal-turasobrelasuperficieterrestrequeesigualalradiodelaTierra.

r

r

a) 360Nb) 400Nc ) 180Nd ) 200N

6. ( )DeterminaelpesodelobjetosisetrasladaaunpuntoqueestáatresveceselradiodelaTierradelcentrodeésta.

r

2r

a) 80.0Nb) 100Nc ) 60.0Nd ) 95.0N

7. ( )Determinaelpesodelobjetosisetrasladaa830kmsobrelasuperficieterrestre.

rt=6370km

a) 564Nb) 625Nc ) 506Nd ) 93.4N

8. ( )Untransbordadorestáenórbitacirculara80kmso-brelasuperficieterrestre.Determinalavelocidadorbitaldelanave.

rt=6370kmmt=5.98×1024kg

a) 7.20×103m/sb) 7.86×103m/sc ) 7.46×103m/sd ) 6.59×103m/s



Rúbrica


Nivel

Exc

elen

te

Bue

no

Ele

men

tal

Insu

ficie

nte

1. Desdeelpuntodevistaoperacional,defineelconceptofuerza.

2. Identificalascuatrofuerzasfundamentaleseneluniversoysuscaracterísticas.

3. Identificalafuerzacomounacantidadvectorial.

4. Defineelconceptofuerzaneta.

5. Deacuerdoconlamagnituddelafuerzaneta,identificacuandolasfuerzasqueactúanconunobjetosonfuerzasequilibradasono.

6. Defineelconceptodeinercia.

7. Identificalamasacomolamedidadelainercia.

8. EnuncialasleyesdeNewton.

9. Definelaunidaddefuerzanewton.

10. Definelaunidaddefuerzaergio.

11. Defineelconceptopeso.

12. Diferenciaentrepesoymasadeunobjeto.

13. Identificalascaracterísticasdelpesodeunobjeto.

14. Identificalascaracterísticasdelafuerzanormal.

15. Reconocelafriccióncomounafuerzaqueseoponealmovimiento.

16. Diferenciaentrefricciónestáticaycinética.

17. Calculalamagnituddelafricciónestáticamáxima.

18. Calculalamagnituddelafriccióncinética.

19. AplicalasleyesdeNewton.

20. EnuncialasleyesdeKepler.

21. Identificaquelatrayectoriadeunplanetaeselíptica.

22. Enuncialaleydegravitaciónuniversal.

23. Aplicalaleydelagravitaciónuniversalpara:• Calcularlafuerzadeatracciónentredoscuerpos.• CalcularlamasadelaTierra.• Calcularelvalordelagravedadyelpesodeunobjetoqueseencuentraaunaalturah

sobrelasuperficieterrestre.• Calcularlavelocidadorbitaldeunsatélite.



Bloque 4Relaciona el trabajo

con la energía

Conocimientos

• Trabajo• Energía cinética y energía potencial• Ley de la conservación de la energía mecánica• Ley de la conservación de la energía• Potencia

Desempeños• Defines el concepto de trabajo en física, realizado

por o sobre un cuerpo como un cambio en su posición o su deformación por efecto de una fuerza.

• Relacionas los cambios de la energía cinética y po-tencial que posee un cuerpo con el trabajo en física.

• Utilizas la ley de la conservación de la energía me-cánica en la explicación de fenómenos naturales de tu entorno social, ambiental y cultural.

• Aplicas, en situaciones de la vida cotidiana, el con-cepto de potencia como la rapidez con la que se con-sume energía.



• Fundamentaopinionessobrelosimpactosdelacien-ciaylatecnologíaensuvidacotidianaalasumirconside-racioneséticas.

• Identifica problemas, formula preguntas de caráctercientíficoyplantealashipótesisnecesariaspararesponderlas.

• Obtiene,registraysistematizalainformaciónparares-ponderpreguntasdecaráctercientífico,lolograalconsultarfuentesrelevantesyrealizandoexperimentospertinentes.

• Contrastalosresultadosobtenidosenunainvestiga-ciónoexperimentoconhipótesispreviasycomunicasusconclusionesenequiposdiversosrespetandolapluralidaddevalores,ideasyprácticassociales.

• Valoralaspreconcepcionespersonalesocomunesso-bre diversos fenómenos naturales basado en evidenciascientíficas.

• Evidenciaconclaridadlasnocionescientíficasquesus-tentanlosprocesosparasolucionarproblemascotidianos.

• Explicaelfuncionamientodemáquinasdeusocomúnapartirdenocionescientíficas.


• Relacionalasexpresionessimbólicasdeunfenómenodelanaturalezaylosrasgosobservablesasimplevistaomedianteinstrumentosomodeloscientíficos.

• Proponemanerasdesolucionarunproblemaodesa-rrollarunproyectoenequipoaldefiniruncursodeacciónconpasosespecíficos.

• Aporta puntos de vista con apertura y considera demanerareflexivalosdeotraspersonas.


• Asumequeelrespetodelasdiferenciaseselprincipiodeintegraciónyconvivenciaenloscontextoslocal,nacio-naleinternacional.



1. ¿Quéentiendesportrabajodesdeelpuntodevistadelafísica?

2. ¿Quéentiendesporenergía?

3. ¿Quéentiendesporpotenciadesdeelpuntodevistadelafísica?


trabajo

energía

energía mecánica

energía cinética

energía potencial

ley de la conservación de

la energía mecánica

teorema del trabajo y la energía

potencia

Trabajo, energía y potencia

Tema I

Definición de conceptosEnnuestravidacotidianautilizamoslapalabratrabajoconmuchossignificados;porejemplo,unapersonadiráquehatrabajadointensamentealtratardelevantarunobjetosinlograrloapesardeungranesfuerzo.Unfísicoafirmaríaquenorealizópropiamenteuntrabajo,porqueparalafí-sica,elconceptotrabajomidecuantitativamenteelefectoespacialdeunafuerzasobreunproceso.

Cuando levantamos a un niño en nuestros brazos,empujamos un carrito del supermercado, un cuerpo caelibrementedesdeunaaltura,extraemosaguadeunpozooaceleramosunautomóvil,ejercemosunafuerzaalolargodeunadistancia.

Consideremoselcasoenelqueunasolafuerzacons-tanteactúasobreuncuerpoquesemuevesobreunalínearectaenlamismadirecciónysentidoqueella.Sediceen-toncesqueeltrabajoefectuadosedefinecomoelproductodelafuerzaporeldesplazamiento.

FBA

Movimiento

dT = Fd

Sielpuntodeaplicacióndelafuerzanosedesplaza,seconsideraquelafuerzahaefectuadounapresiónounatracción,esdecir,unesfuerzo,peroesimposiblehablardetrabajo.Porejemplo,siunhombreempujaunaparedsinquelogredesplazarla,lamagnituddeltrabajoescero.

Figura 4.1 Si el punto de aplicación de la fuerza no se mueve, no ejerce trabajo.

Launidadconquesemideeltrabajo(T )dentrodelsieseljoule,elcualsedefinecomoeltrabajorealizadoporunafuerzade1Ncuandoelobjetosobreelcualseejercesedesplaza1menlamismadirecciónysentidoqueella.

Silafuerzaquerealizauntrabajoactúaformandounángulo(q)conladireccióndeldesplazamiento,eltrabajoefectuadoporlafuerzasobreelobjetosedefinecomoelproducto de la componente de la fuerza en la direccióndelmovimientoporeldesplazamientoodistanciaquelapartícularecorrealolargodedichadirección.

F

BA

Movimiento

d

Fx

θ

T = Fd cos q

Deacuerdoconlaexpresiónanterior,silafuerzaactúaperpendicularmenteconeldesplazamiento,oseaq=90°,eltrabajodelafuerzaescero.Estosedebeaquecos90°=0.Éstees,porejemplo,elcasodelafuerzanormalqueunasuperficie ejerce sobre un objeto colocado sobre ella, elpesodeuncuerpocuandosemueveenunasuperficieho-rizontalydelafuerzacentrípetaenelmovimientocircular.

FC

V

C

Figura 4.2 La fuerza centrípeta no realiza trabajo sobre una par-tícula con movimiento circular uniforme.


236 Física I

F

N

w

Figura 4.3 Cuando un objeto se mueve por la acción de una fuerza horizontal, la fuerza normal y la gravitacional no realizan trabajo.

Sielánguloqesmayorque90°,entoncescosqesne-gativoyporconsiguientetambiéneltrabajo.Ésteeselcasodeltrabajoquerealizalafricción;recuerdaqueestafuerzasiempreactúaensentidocontrarioaldelmovimiento.Enlacaídalibre,elpesorealizauntrabajopositivoporqueladireccióndeldesplazamientoyladelpesocoinciden.Enel tiro vertical, el trabajoque realiza el peso esnegativoporqueactúaensentidocontrarioaldelmovimiento.

Trabajo neto o resultanteCuando sobre una partícula material actúan dos o másfuerzas,eltrabajonetosobreellaeslasumaalgebraicadelostrabajosdecadaunadelasfuerzas.

El trabajo es un escalarEnmatemáticas,elproductoescalardedosvectoresA • B sedefinecomolacantidadescalarqueresultademultipli-carlamagnituddeunodelosvectoresporlacomponentedelotroenladireccióndelprimero.

A • B=ABcosq

LaexpresiónFdcosqsepuedeescribircomoelpro-ductoescalarF•d,loquedemuestraqueeltrabajo(T )esunescalar.

Ejemplo 4.1 Unafuerzade40.0Nactúasobreunobjetoalolargodeunadistanciade6.0m.Silafuerzaactúaenlamismadirecciónysentidoqueeldesplaza-miento,calculaeltrabajorealizadoporlafuerza.

Solución

Fd = 6.0 m

F

T =FdT =40.0N(6.0m)T=240J


T=2.4×102J

Ejemplo 4.2 Un escritorio se desliza horizontal-menteporlaaccióndeunafuerzade80.0Ninclinada60°conrespectoalahorizontal.Calculaeltrabajodelafuerzasielescritoriosedesliza20.0m.

Solución

FF

BAd = 20.0 m

60° 60°

T =Fd cosq

T =80.0N(20.0m)cos60°

T=800J

Ejemplo 4.3 Unobjetode20.0kgsearrastrasobreunasuperficiehorizontalporunafuerza100Nincli-nada30°conrespectoalahorizontal.Sielcoeficientede fricción cinético entre las superficies en contactoes0.250yelobjetosedesliza10.0m,contestalassi-guientespreguntas.

a) Determinaeltrabajodelafuerzadegravedadsobreelobjeto.

Solución

d = 10.0 m

F

20.0 kg

F

30°30°

Como el peso actúa perpendicularmente con el desplaza-miento del objeto, no realiza trabajo sobre éste.Delmis-mo modo, la fuerza normal y la componente Fy norealizantrabajosobreelobjeto.

Fy

Fx

N

w

fk

F

b) Calculaeltrabajonetorealizadosobreelobjeto.


Tema 1 Trabajo, energía y potencia 237

SoluciónLasúnicasfuerzasquerealizantrabajosobreelobjetoson lacomponenteFx (trabajopositivo)y la fricción(trabajonegativo).

Luego:

Tn =(Fx - fk )d

Donde:

Fx =F cosq fk=mkN

Donde:

N =w - Fy =mg - F sen q


Tn =[F cos q - mk(mg - F senq)]d

Tn =[100N cos 30° - 0.250[20.0kg(9.80m/s2)

-100Nsen30°]]10.0m

Tn =[86.6N- 0.250(146N)]10.0m

Tn =[86.6N- 36.5N]10.0m

Tn =501J

Ejemplo 4.4 Unapersonalevantaunacajade4.0kga1.2msobreelpiso.Sielobjetoselevantaconrapi-dezconstante,calculaeltrabajodelapersona.

SoluciónAllevantarunobjetoserealizatrabajoencontradelafuerzadegravedad.Sielobjetosemueveconrapidezconstante, la fuerzaascendenteesde igualmagnitudqueelpesodelobjeto;porlotanto:

T =wh

h

m

w

E

T =mgh

T =4.0kg(9.80m/s2)(1.2m)

T=47J

Observación:Conrespectoalproblemaanterior, eltrabajodelafuerzagravitacionalsobreelobjetoesdeigualmagnitudqueelrealizadopor lafuerzaascen-dente,peroesnegativoyaqueeldesplazamientoylafuerzagravitacionalactúanensentidocontrario.

Ejemplo 4.5 Calcula el trabajo realizado por lafuerzagravitacionalsobreunobjetode2.0kgquecaelibremente5.0m.

Solución

m

h

T =wh

T =mgh

T =2.0kg(9.80m/s2)5.0m

T=98J

Ejemplo 4.6 Unempleadobajaalsuelounacajade5.0kgdesdeunaalturade0.80m.Calculaeltrabajodelafuerzadesoportesielobjetosebajaconrapidezconstante.

5 kg

5 kg

0.80 m

SoluciónComoelobjetosebajaconrapidezconstante,lafuerzadesoporteesdeigualmagnitudqueelpesodelobjeto.Debidoaquelafuerzadesoporteactúahaciaarriba,mientrasqueeldesplazamientohaciaabajo,eltrabajodelafuerzadesoporteesnegativo.

T =-wh

T =-mgh

T =-5.0kg(9.80m/s2)(0.80m)

T=-39.2J


238 Física I


T = -39J

Ejemplo 4.7 Unniñode 40.0 kg subeun tramode28escalones,cadaunode0.20mdealtura;sisubeconrapidezconstante,calculaeltrabajoquerealizaencontradelafuerzadegravedad.

0.20 m

40 kg

SoluciónEl trabajo realizado depende de la distancia verticalnetarecorrida,independientementedeloquesucedeenladirecciónhorizontal,porlotanto:

T =mgh

T =40.0kg(9.80m/s2)(0.20)28

Observaqueh=28(0.20m)

T=2195.2J


T=2.2×103J

PotenciaEnladefinicióndeltrabajorealizadoporunafuerza,noseconsideraeltiempoduranteelcualsupuntodeaplicaciónsemueve;siunautorecorre100men8s,serealizaelmis-motrabajoquesilohaceen10s;sinembargo,másquelamagnituddeltrabajo,nosinteresalarapidez.Conestefinseintrodujoelconceptodepotencia.

Lapotenciasedefinecomolarapidezconlaqueserealizauntrabajo

SiunafuerzarealizauntrabajoTenunintervalodetiempoDt,entoncesa la razónentreel trabajorealizado

yel intervalode tiempoenelqueseefectúase le llamapotencia promedio,lacualdenotaremosporP.

P = Tt

ComoT=FDd,entonces:

P = F dt

Donde:dt= v (velocidadmedia)

Luego:P Fv=Silarapidezesconstante,entoncesP=Fn

Unidades de potenciaLaunidadde potencia en el si es el joule por segundo,tambiénllamadowatt(W),enhonordeJamesWatt.

Unwattsedefinecomolapotenciaquesedesarrollaalefectuaruntrabajodeunjouleenunsegundo.

1watt=1j/s=1kg·m2/s3

Otrasunidadesdelapotenciason:

1kilowatt(kW)=1000watts1caballodepotencia(hp)=746watts

Figura 4.4 James Watt nació en Escocia en 1736 y ayudó en el desarrollo y perfeccionamiento de la máquina de vapor. Muchos de sus escritos se conservan en la Birmingham Central Library, en el Reino Unido.

Ejemplo 4.8 Calcula la potencia de una bombaqueen60.0sdescarga800litrosdeaguadentrodeuntanqueseencuentraa30.0mporencimadelabomba.Recuerdaque1litrodeagua=1kg.



Solución

=

=

=

=

P Tt

P mg ht

P

P watts

800 kg(9.80 m/s )30.0 m60.0 s

3920

2

=

=

=

=

P Tt

P mg ht

P

P watts

800 kg(9.80 m/s )30.0 m60.0 s

3920

2

Redondeamosatrescifrassignificativasparaob-tener:

P =3.92kw


1. Seejerceunafuerzahorizontalde40Nsobreunacajaalolargodeunamesa.Calculaeltrabajorealizadoporlafuer-zasitiradelacaja0.60m.a) 20Jb) 66Jc ) 24Jd ) 30J

c) 24J

2. Unapersonaejerceunafuerzahorizontalde200Nparadeslizarunescritorio18msobreelpiso.Calculaeltrabajorealizadoporlafuerza.a) 3.0×103Jb) 4.0×103Jc ) 3.6×103Jd ) 3.2×103J

c) 3.6×103J


240 Física I

3. Sejalaunobjetoconunafuerzade60.0Ninclinada40°conrespectolahorizontal.Calculaeltrabajorealizadoporlafuerzasitiradelobjeto4.80m.

F

F = 60.0 N

40°

a) 221Jb) 215Jc ) 230Jd ) 228J

a) 221J

4. Unobjetosedesliza20.0msobreelpisoporlaaccióndeunafuerzade160Ninclinada60°conlahorizontal.Calcu-laeltrabajorealizadoporlafuerza.a) 1.5×103Jb) 1.7×103Jc ) 2.7×103Jd ) 1.60×103J

d) 1.60×103J

5. Unafuerzahorizontalde100Nempujaunacajade12.0kgsobrelasuperficie.Sielcoeficientedefriccióncinéticoentrelassuperficiesencontactoes0.450,calculaeltrabajonetosobrelacajasiéstasedesliza10.0m.a) 480Jb) 465Jc ) 450Jd ) 471J

d) 471J



6. Unobjetode20.0kgsedeslizahorizontalmente12.0mporlaaccióndeunafuerzade100Ninclinada40°conrespectoalahorizontal.Sielcoeficientedefriccióncinéticoes0.180,determinaeltrabajonetorealizadosobreelbloque.

F = 100 N

40°

a) 635Jb) 620Jc ) 646Jd ) 600J

a) 635J


242 Física I

7. Unacajade40.0kgsedesliza4.00mhaciaarribaporunplanoinclinadode26°conrespectoalahorizontalporlaaccióndeunafuerzade340Nparalelaalplano.Sielcoeficientedefriccióncinéticoentrelassuperficiesencontactoes0.250,calculaeltrabajonetorealizadosobreelobjeto.

F

m

26°

a) 320Jb) 340Jc ) 398Jd ) 300J

a) 320J

8. Cuántotrabajoserealizasobreunobjetode6.50kgcuando:a) Selevantaconrapidezconstanteaunaalturade

1.20msobreelsuelo.a) 70.0Jb) 71.2Jc ) 76.4Jd ) 80.0J

c) 76.4J

b) Sebajaalamismadistanciaverticalconrapidezconstante.a) -76.4Jb) 71.2Jc ) 76.4Jd ) -71.2J

a) -76.4J



9. Joaquíntieneunamasade30.0kgysube20escalonescuyaalturaesde0.150mcadauno.Determinaeltrabajoreali-zadoencontradelafuerzadegravedadsisubeconrapidezconstante.a) 840Jb) 860Jc ) 882Jd ) 900J

c) 882J

10. Unatletasostienea2.0msobreelsuelounapesade80kgdurante4.0s.Determinaeltrabajodesarrolladoporelatleta.a) 1.6×103Jb) 1.2×103Jc ) 0Jd ) 1.4×103J

c) 0J

11. Siunobjetode5.0kgseelevaa2.0m,calcula:a) Eltrabajoqueserealizaencontradelafuerzade

gravedadsielobjetosubeconrapidezconstante.a) 98Jb) 90Jc ) 85Jd ) 80J

a) 98J

b) Eltrabajoqueserealizasobreelobjetosisebajavertical-menteconrapidezconstante.a) -90Jb) 98Jc ) 90Jd ) -98J

d) -98J


244 Física I

12. Calculalapotenciaqueserequieredesarrollarparaelevarunobjetode80.0kgaunaalturade2.50men10.0s.a) 200wattsb) 188wattsc ) 196wattsd ) 190watts

c) 196watts

13. Unagrúalevantaunautomóvilde1400kgconrapidezconstante.Sielautoseelevaa1.20men4.0segundos,calculalapotenciadesarrolladaporlagrúa.Expresaelresultadoenkilowatts.a) 4.1Kwb) 3.8Kwc ) 4.5Kwd ) 3.5Kw

a) 4.1Kw

14. ¿Quépotenciadebedesarrollarunabombaparaelevar4000litrosdeaguaaunaalturade50men40s?Expresaelresultadoenkilowattsa) 40Kwb) 45Kwc ) 54Kwd ) 49Kw

d) 49Kw




1. Anotaenlatablaalgunasactividadesdiariasenlascualesserealizatrabajomecánicoyotrasenlasquesedesarrollepotenciamecánica.

Trabajo mecánico y potencia mecánicaTrabajo Potencia

2. Llenalasiguientetabladondeespecifiquesenquéactividadesserealizatrabajomecánicoyencuálesnoydaexplica-cióndeporqué.

Situación Existe o no trabajo mecánico

Existe o no potencia mecánica Explicación

Deslizaruncuerpo2m

Levantarunabolsademano.

Uncuerpoenreposo.

Unhombrequeempujaunaparedsindesplazarla.

Unapersonaquebajaunacajaalsuelo.

Unjardineroqueempujaunapodadora.

Unniñoquesubeporunaescalera.


246 Física I

Energía mecánicaEnergía es otra palabra que utilizamos en nuestra vidadiariayleatribuimosmuchossignificados:hablamosdelnivel energéticode los alimentos, de la energía solar, delaenergíaquímicadelagasolina,delaenergíaeléctricaeinclusodelaenergíadelaspersonaspararealizarciertasactividades.

Figura 4.5 En nuestra vida diaria utilizamos el término energía incluso para expresar la manera en la que algunas personas rea-lizan ciertas actividades.

En determinadas circunstancias, los objetos puedenrealizaruntipodetrabajo.Considera,porejemplo,cuandoel viento hace que las aspas de unmolino comiencen amoverse,obien, cuandounabala traspasaunbloquedemadera.Labalarealizauntrabajoalvencerlaresistenciaqueoponelamaderaalapenetración.

Lacapacidadquetienenlosobjetosderealizaruntipodetrabajosellamaenergía. Lamagnituddeestacan-tidadfísicasemideporeltrabajoquepuederealizarysuunidaddemedidaenelsieseljoule.

Cuando una persona efectúa trabajo al levantar uncuerpo,ésteadquierelacapacidadderealizaridénticacan-tidadde trabajo sobre el objetoquegolpea al caer.Asi-mismo, cuando se realiza trabajo al tender un arco, ésteadquierelacapacidaddeejercerlamismacantidaddetra-bajosobrelaflecha.Entodosestoscasos,losobjetoshanadquirido trabajo acumulado ydel que, teóricamente, sepuededisponer.Podemosdecirentoncesque:

Laenergíaeslacapacidadderealizartrabajo.Dichodeotramanera,siemprequealgotienelafacultadderealizartrabajosedicequetieneenergía.

La energía existente en el universo es constante, esdecir,sucantidadtotalnoaumentanidisminuye;sinem-bargo,sepresentaenvariasformas(energíatérmica,mecá-nica,química,nuclear,atómicayeléctrica)yessusceptibledetransformarsemutuamenteentretodasellas.

Principio de la conservación de la energíaLa energía existente en el universono se creani sedestruye,sólosetransforma.

Figura 4.6 La energía que hay en el universo no se crea ni se destruye, sólo se transforma.

A continuación estudiaremos el tema de la energíamecánica,lacualpuedeestarenformadeenergíacinéticaoenergíapotencial.

Energía cinéticaLaenergíamecánicaqueposeeunobjetoenvirtuddesumovimientosedenominaenergía cinética,lacualseiden-tificaconlaexpresiónEk.

LacantidaddeenergíacinéticaqueposeeunobjetoenmovimientoesigualaltrabajorealizadoporlafuerzanetaqueseejercesobreunobjetodemasamalponerloenmovimientoconunavelocidadV.

DeacuerdoconlasegundaleydeNewton,yretoman-doladefinicióndelconceptotrabajo,tenemos:

Fn =ma

T =Fnd

Luego:



T =mad

T = mV V0

tV +V0

2

T =m V2 V0

2( )2

T = mV2

2mV0

2

2

SiV0=0,entonces:

=T m12

V2

Lacantidad=E m12

Vk2mV2eslamagnituddeltrabajorealizado

sobre el objeto demasam para llevarlo desde el reposohastalavelocidadV;porlotanto,dichaexpresióndeter-mina laenergíacinéticadeunobjetodemasamque sedesplazaconvelocidadV.

=E m12

Vk2

Teorema del trabajo y la energíaCuandoporlaaccióndeunafuerzanetasobreunobjetoéste se acelera, el trabajo realizadopor la fuerzaneta esigualalcambiodelaenergíacinéticadelobjeto.Estaafir-macióneslabasefundamentaldelteorema del trabajo y la energía.

T =Ek final - Ekinicial

= −T m m12

V 12

V202

Ejemplo 4.9 Calculalaenergíacinéticadeunobjetode5.0kgquesemueveconunavelocidadde4.0m/s.

Solución

( )( )

=

=

=

E m

E

E

12

V

12

5.0 kg 4.0m s

40 J

k

k

k

2

2

Ejemplo 4.10 Porlaaccióndeunafuerzaconstan-te,unobjetode8.0kgcambiasuvelocidadde4.0m/sa 6.0m/s.Calcula el trabajo realizado por la fuerzaneta.

SoluciónDeacuerdoconelteoremadeltrabajoylaenergía:

T =Ekf - EkiLuego:

T = 12m Vf

2 12m Vi

2

T = 12m Vf

2 Vi2( )

T = 12

8.0 kg( ) 6.0 m s( )2– 4.0 m s( )2

T = 4.0 kg( ) 36 m2 s2 – 16 m2 s2

T = 80J

Energía potencialLaenergíaqueposeeunobjetoenvirtuddesuposiciónocondiciónsedenominaenergía potencial.Porejemplo,unarcoentensiónposeeenergíapotencialquesetransformaenenergíacinéticaporelmovimientodelaflechacuandoéstasedispara.Lasmateriasexplosivas,comoladinamitaestándotadasdegrancantidaddeenergíapotencial.Unresorteestiradoocomprimido tieneenergíapotencial aligualquelasbateríaseléctricas,losalimentosqueingeri-mos,entreotrascosasmás.

Figura 4.7 La energía que posee un objeto en virtud de su posi-ción o condición se denomina energía potencial.

Energía potencial gravitacionalUnobjetoqueseubicaaunadeterminadaalturasobreunniveldereferenciaestablecido,tienelacapacidadpararea-lizartrabajo,esdecir,poseeenergía.Estaenergíaseconocecomo energía potencial gravitacionalyseidentificaconlaexpresiónEpg.


248 Física I

Laenergíapotencialgravitacionalqueposeeunobje-tosituadoaunaalturahsobreunniveldereferenciaes-tablecidoesigualalacantidaddetrabajoqueserealizaalelevardichoobjeto con rapidez constantedesdeelniveldereferenciaestablecidohastalamismaalturah;esdecir:

m

h

Esimportanteprecisarquelaenergíapotencialgravi-tacionalqueposeeunobjetonodependedelatrayectoriaquesesigueparallevarlodesdeelniveldereferenciahastadondeestá.dondeestá.

10 kg 10 kg

Ep = 10(9.80)(3) J

10 kga b c

3 m 3 m 3 m6 m

60°

Figura 4.8 En estas fi guras observamos que la energía potencial del objeto no depende de la trayectoria que se sigue para llevar-lo hasta una altura de 3 m.

Ejemplo 4.11 Determinalaenergíapotencialqueposeeuna cajade3.0kgubicada2.0mpor encimadelsuelo.

Solución

3.0 kg

h = 2.0 m

Conrespectoalsuelotenemosque:Ep =mghEp =3.0kg(9.80m/s2)(2.0m)Ep=58.8J

Redondeamosadoscifrassignificativasparaobtener:Ep =59J

Ejemplo 4.12 Unobjetode10kgposeeunaener-gíapotencialde589Jconrespectoalpiso.¿Aquéal-turasobreelpisoestáelobjeto?

Solución

10 kg

h

Ep = 589 J

Ep =mgh

Luego:

h Epmg

h

h

589 J10 kg(9.80 m/s )

6.0 m

2

=

=

=

Conservación de la energía mecánicaCuando un objeto se encuentra a cierta altura sobre unniveldereferencia,porejemplo,elsuelo,tieneenergíapo-tencialgravitacional.Sisedejacaer,enlamedidaquepier-dealturapierdeenergíapotencialgravitacional,yamedidaquecaeaumentasuvelocidad,por lotantoganaenergíacinética.

Laenergíamecánicadelsistemaesconstante,osea,Epg + Ek =constante.Porlotanto,enlacaídalibrelaener-gíapotencialquepierdeelobjetoalperderalturasetrans-formaenenergíacinética.

Todoprocesoenelquesetransformalaenergíaciné-ticaenenergíapotencialgravitacionaloviceversa,sedicequeesunsistema conservativo.

Ejemplo 4.13 Unobjetode5.00kg sedeja caerdesdelacimadeunedificiode12.0mdealtura.De-termina:

a) La energíamecánica del objeto en el puntomásaltodesutrayectoriaconrespectoalpiso.



Solución

m

h = 12.0 m

Consideremos lapartemás altadel edificio como laposición1delobjeto.

( )( )

= +

= +

= +

=

=

=

E E Ep

E m mgh

E m mgh

E mgh

E

E

12

V

12

(0)

5.00 kg 9.80 m s 12.0 m

588 J

mec k

mec

mec

mec

mec

mec

1 1 1

12

12

1

12

1

b) Calculalaenergíapotencialdelobjetocuandoestáa4.00msobreelpiso.

Solución

4.00 m

5.00 kg

h2

1

2 2 m4 m6 m8 m

10 m12 m

Consideremos como posición 2 la altura de 4.00msobreelpiso.

Ep2 =mgh2

Ep2 =5.00kg(9.80m/s2)4.00mEp2 =196J

c) Calculalaenergíacinéticadelobjetocuandoestáa4.00msobreelpiso.

SoluciónComolaenergíamecánicaseconserva,entonces:

Em1 =Em2

588J= Ep2 + Ek2

588J= 196J+ Ek2

Ek2 =588J-196JEk2 =392J

d) Calculalavelocidaddelobjetocuandoestáa4.00msobreelpiso.

Solución

E mV

V

V

12

12

5.00 kg 392 J

392J 25.00kg

156m s

157 m s

k2 22

22 2 2

22 2 2

( )

( )

=

=

= =

=

=V 12.5m s2

e) Calculalavelocidaddelobjetojustoantesdellegaralsuelo.

SoluciónConsideremoscomoposición3delobjetoelniveldelsuelo.

m1

3

E E

m mgh

h

588 J 12

V

0

m m1 3

32

3

3

=

= +

=

Luego:

mV mg

mV

V V

588 J 12

0 7

588 J 12

12

5.00 kg 588 J 588 J 25.00 kg

32

32

32

32

( )

( ) ( )

= +

=

= =


250 Física I

Alefectuarlasoperacionesnecesariasyextraerlaraízcuadradatenemos:

V3 =15.3m/s

Ejemplo 4.14 Lasiguientefiguranosmuestraunpéndulo con una cuerda de 1.0mde longitud y unobjetode0.30kgsuspendidoensuextremo.

0.30 kg

Sielobjetosellevahacialaderechahastaelpuntoenelcualelpénduloformaunángulode20°conlaverticalysesueltaparaqueoscile,determinalaveloci-daddelobjetoenelpuntomásbajodesutrayectoria.

Solución

Lx = L - h1

h1

θ

x

1

2

Teniendoencuentaquelaenergíamecánicadelamasapermanececonstante,resolvamosnuestroejem-plo.Consideremos como la posición 1 del objeto elpuntodondesesueltayempiezaaoscilar,ycomopo-sición2elpuntomásbajodelatrayectoriadelobjeto.

=

+ = +

Em Em

m mgh m mgh12

V 12

V

2 1

22

2 12

1

Lavelocidaddelobjetoenlaposición1escero,luego:

+ = +m mgh mgh12

V 022

2 1

Sitomamoselpunto2comoniveldereferenciaparalaenergíapotencialgravitacional,entoncesh2=0;porlotanto,mgh2=0.Así,resultaque:

=m mgh12

V22

1

AldespejarV2delaecuaciónanteriorresulta.

=

=

=

Vmghm

V gh

V gh

2

2

2

22 1

22

1

2 1

Determinemosahoralalongituddeh1.Deacuerdocon la siguientefiguray la trigono-

metríatenemos:

L

q

L - h1

θ =−L hL

cos 1

Luego:

Lcosq =L –h1

h1+Lcosq =L

h1=L–L cosq

h1=L(1–cosq)

h1=1.0m(1–cos20°)

h1=0.06m

Porúltimo,calculemoslavelocidaddelobjetoenlaposición2.

V gh

V

V

2

2 9.80m s 0.06 m

1.084 m s

2 1

22

2

( )( )

=

=

=


V2=1.1m/s



Ejemplo 4.15 Unobjetode2.0kgsedeslizahaciaabajodesdeloaltodeunplanoinclinado25°conres-pectoalahorizontal.Silalongituddelplanoinclinadoesde8.0m,determinalavelocidaddelobjetoalpiedelplano.Consideradespreciablelafricción.

SoluciónSinosetomaencuentalafricciónelsistemaescon-servativo,ysiconsideramoscomopunto1laposicióndelobjetoenlacimadelplanoinclinadoycomopunto2elobjetoalpiedelmismoplano,entonces:

L

h

1

2

posición

posiciónθ

=

+ = +

Em Em

mV mgh mV mgh12

12

2 1

22

2 12

1

Si tomamos la horizontal como referencia paradeterminarlaalturadelbloque,entoncesh2=0yh1=h.Comoenlapartesuperiordelplanoinclinadolavelo-cidaddelobjetoescero,entonces:

mV mgh

mV mgh

12

0 0

12

22

22

+ = +

=

AldespejarV2,resulta:

V gh22 =

Calculemos a continuación el valor de h parapoderdeterminarlamagnituddelavelocidadV2.Deacuerdoconlafigurayportrigonometríatenemos:

Lh

25°

sen25°= hL;luego

h =Lsen25°

h =8.0msen 35°

h =3.4m

Luego:

( )( )

=

=

=

V gh

V

V

2

2 9.80m s 3.4m

8.16 m s

2

22

2


V2=8.2m/s

Energía mecánica y fricciónAlconsiderarlafricción,laenergíamecánicatotaldelsis-temanoseconserva.Eltrabajorealizadocontralafricciónseconvierteenenergía calorífica.Sinembargo,laenergíatotaldelsistemasíseconserva;porlotanto,alconsiderarlaspérdidasdelaenergíamecánicaquelafriccióngenera,tenemos:

Eminicial=Emfinal+fkd

Ejemplo 4.16 Un objeto de 8.0 kg inicialmenteenrepososedeslizahaciaabajodesdelacimadeunplanoinclinadode20.0mdelongitudy50°deincli-naciónconrespectoalahorizontal.Sielcoeficientedefriccióncinéticoes0.420,determinalavelocidaddelobjetoalpiedelplano.

Solución

2

1

20.0

m

f k

m

h

N

w

50°

w

y

N

wy

fk

wx 50°

Eminicial = Emfinal + fkd

Ek1 + Ep1= Ek2

+ Ep2+ μkNd

12mV1

2 +mgh1 =12mV2

2 +mgh2 + μkNd

Dadoque:

V h 0 y 01 2= =


252 Física I

Entonces:

0+mgh1 =12mV2

2 + 0+ μkNd

mgh1 =12mV2

2 + μkNd

Donde,deacuerdoconlasegundaleydeNewtonyconeldiagramadecuerpolibre,tenemos:

N =wy =mgcosq

Luego:

mgh1 =12mV2

2 + μkmg cos d

Aldividirambosmiembrosdelaecuaciónante-riorentremqueda:

gh1 =12V2

2 + μk g cos d

Al multiplicar ambos miembros de la ecuaciónanteriorpor2queda:

2gh1 =V22 + 2μk g cos d

DespejamosacontinuaciónV2enlaecuaciónan-terior:

V22 = 2gh1 2μk g cos d

V2 = 2g h1 μcosd( )

Calculemosacontinuaciónlalongituddeh1:

20.0

m

h1

50°

° =

=

=

h

h

h

sen5020.0

20.0 sen 50º

15.3 m

1

1

1

Conelvalordeh1 queobtuvimosesposiblecalcu-larlavelocidadalpiedelplano.

Dado que g= 9.80m/s2, h1= 15.3m, q = 50°,d =20.0mymk=0.420,entonces:

V2 = 2 9.80m s2( ) 15.3m 0.420 cos50°( ) 20.0( )

V22 = 194m2 s2

V2 = 194m2 s2 = 13.9m s


1. Calculalaenergíacinéticadeunautomóvilde1600kgyqueviajaaunavelocidadde20m/s.a) 1.6×104Jb) 3.0×105Jc ) 3.2×105Jd ) 3.8×105J

c) 3.2×105J



2. Calculalaenergíacinéticadeunniñode30kgquepatinaaunavelocidadde6.0m/s.a) 5.4×102Jb) 4.8×102Jc ) 5.0×102Jd ) 4.5×102J

a) 5.4×102J

3. Siunobjetode10kgposeeunaenergíacinéticade2000J,¿cuáleslavelocidaddelobjeto?a) 15m/sb) 20m/sc ) 10m/sd ) 5m/s

b) 20m/s

4. Unautomóvilde1400kgcambiasuvelocidadde12.0m/sa20.0m/s.Siconsideramosnulalafricción,aplicaelteo-remadeltrabajoylaenergíaparadeterminareltrabajodesarrolladoporelmotor.a) 1.90×105Jb) 1.80×105Jc ) 1.84×105Jd ) 1.79×105J

d) 1.79×105J

5. Aplicaelteoremadeltrabajoylaenergíaparadeterminarlapotenciadelmotordeunautomóvilde1200kgquecambiasuvelocidadde10.0m/sa16.0m/sen3.00s.Expresaelresultadoencaballosdefuerzayconsideranulalafricción.a) 41.8hpb) 40.6hpc ) 38.2hpd ) 44.2hp

a) 41.8hp


254 Física I

6. Calculalaenergíapotencialgravitacionalqueposeeunhombrede70.0kgqueseubicaa3.5msobreelpiso.a) 2.0×103Jb) 2.9×103Jc ) 2.4×103Jd ) 1.9×103J

c) 2.4×103J

7. Unaboladebolichede4.0kgselevantadelpisohastaunaalturade1.4m.Calculaelincrementodesuenergíapo-tencialgravitacional.RecuerdaqueEpfinal-Epinicial = DEpg.a) 50Jb) 48Jc ) 55Jd ) 45J

c) 55J

8. Laenergíapotencialgravitacionaldeunelevadorsituadoa25.0msobreelpisoes147,000J.Calculalamasadelele-vador.a) 550kgb) 600kgc ) 500kgd ) 450kg

b) 600kg

9. ¿Aquéalturasobreelpisoestáunacajade4.0kgqueposeeunaenergíapotencialgravitacionalde196J?a) 4.5mb) 4.0mc ) 5.5md ) 5.0m

d) 5.0m



10. Calculalavelocidaddeunniñode30kgqueposeeunaenergíacinéticade240J.a) 4.0m/sb) 3.5m/sc ) 3.0m/sd ) 4.5m/s

a) 4.0m/s

11. Unaviónvuelaa1000mdealturasobreelsueloconunavelocidadde80m/s.Determinalaenergíamecánicaqueposeeunacajade6.0kgubicadaenelavión.a) 7.8×104Jb) 7.5×104Jc ) 6.9×104Jd ) 8.0×104J

a) 7.8×104J

12. Unapiedrade5.00kgcaedesdeloaltodeunedificiode30.0mdealtura.Determina:a) Laenergíapotencialgravitacionaldelapiedraantesdecaer.

a) 1.56×103Jb) 1.40×103Jc ) 1.54×103Jd ) 1.47×103J

d) 1.47×103Jb) Laenergíacinéticadelapiedrajustoantesdellegaralsuelo.

a) 1.46×103Jb) 1.53×103Jc ) 1.50×103Jd ) 1.47×103J

d) 1.47×103J


256 Física I

c ) Lavelocidaddelapiedrajustoantesdellegaralsuelo.a) 20.3m/sb) 24.2m/sc ) 25.0m/sd ) 26.4m/s

b) 24.2m/s

13. Octaviodejadecaerunobjetode6.00kgdesdeloaltodeunedificiode50.0mdealtura.Determina:a) Laenergíapotencialgravitacionaldelobjetoantesdesucaída.

a) 2.99×103Jb) 2.94×103Jc ) 1.98×103Jd ) 2.54×103J

b) 2.94×103Jb) Laenergíacinéticadelobjetoalllegaralsuelo.

a) 2.90×103Jb) 2.94×103Jc) 2.89×103Jd) 1.97×103J

b) 2.94×103Jc) Lavelocidadconquellegaelobjetoalsuelo.

a) 30.2m/sb) 25.5m/sc) 28.0m/sd) 31.3m/s

d) 31.3m/s



14. Unapiedrade0.200kgselanzaverticalmentehaciaarribaconunavelocidadde14.0m/s.Calcula:a) Laenergíapotencialgravitacionaldelapiedracuandoalcanzasualturamáxima.

a) 19.6Jb) 15.4Jc) 20.6Jd) 18.5J

a) 19.6Jb) Laalturamáximaquealcanzalapiedra.

a) 10.0mb) 8.7mc) 5.5md) 12.0m

a) 10.0m

15. Unbloquede10.0kgsedeslizaporunplanoinclinadode30°conrespectoalahorizontaly8.20mdelongitud.Sielcoeficientedefriccióncinéticoes0.400,determina:

2

1L = 8.20 m10.0 kg

h1

30° 90°

a) Laenergíapotencialgravitacionalenlacimadelplanoinclinado.a) 401Jb) 405Jc) 402Jd) 308J

c) 402J


258 Física I

b) Lacantidaddeenergíamecánicatransformadaencalor.a) 278Jb) 275Jc) 270Jd) 280J

a) 278Jc) Laenergíacinéticaenlabasedelplanoinclinado.

a) 124Jb) 120Jc) 125Jd) 130J

a) 124Jd) Lavelocidaddelbloqueenlabasedelplanoinclinado.

a) 5.40m/sb) 4.50m/sc) 4.80m/sd) 4.98m/s

d) 4.98m/s

16. Unacajade25.0kgsedeslizaporunplanoinclinado20°conrespectoalahorizontalyde10.0mdelongitud.Sielcoeficientedefriccióncinéticoes0.200,calcula:a) Laenergíapotencialgravitacionaldelacajaenlacimadelplanoinclinado.

10.0 m

2

1

mh

20°

a) 838Jb) 900Jc) 801Jd) 920J

a) 838J



b) Lacantidaddeenergíamecánicaquesetransformaencaloralllegaralabasedelplanoinclinado.a) 430Jb) 460Jc) 450Jd) 480J

b) 460Jc) Laenergíacinéticadelacajaenlabasedelplanoinclinado.

a) 365Jb) 378Jc) 375Jd) 400J

b) 378Jd) Lavelocidaddelacajaenlabasedelplanoinclinado.

a) 4.80m/sb) 5.25m/sc) 5.50m/sd) 6.20m/s

c) 5.50m/s


260 Física I

17. Unesquiadorde80.0kginicialmenteenrepososedesliza100metrosporlaaccióndesupropiopesodesdeelpuntomásaltodeunapendientede18°conrespectoalahorizontal.Sielcoeficientedefriccióncinéticoentrelassuperficiesencontactoes0.100,determinalavelocidaddelesquiadoralpiedelapendiente.

100 m

18°h

a) 20.5m/sb) 21.9m/sc) 25.0m/sd) 22.4m/s

a) 20.5m/s

18. Unaesferade0.40kgsujetaalextremodeunacuerdade0.80mdelargosesueltacuandoformaunángulode40°respectoalavertical.Determinalavelocidaddelaesferaenelpuntomásbajodesutrayectoria.

Lθ

Lθ

x = L - h1

x

h1

a) 1.5m/sb) 2.0m/sc) 1.7m/sd) 1.9m/s

d) 1.9m/s



19. Unaesferade0.60kgsujetaalextremodeunacuerdade0.70mdelargosesueltacuandoformaunángulode35°respectoalavertical.Determinalavelocidaddelaesferaenelpuntomásbajodesutrayectoria.

Lθ

Lθ

x = L - h1

x

h1

a) 1.4m/sb) 1.0m/sc) 1.6m/sd) 1.7m/s

c) 1.6m/s

20. Unbalínseresbalaporunalambrecomoseilustraenlasiguientefigura.SilavelocidaddelbalínenelpuntoAes4.0m/s,determina:

h1 = 1.2 m

CA

B

h2 = 0.90 m

a) LavelocidaddelbalínenelpuntoB.Consideradespreciablelafricción.a) 5.9m/sb) 6.3m/sc) 6.9m/sd) 6.5m/s

b) 6.3m/s


262 Física I

b) LavelocidaddelbalínenelpuntoC.Consideradespreciablelafricción.a) 4.7m/sb) 4.5m/sc) 3.8m/sd) 4.2m/s

a) 4.7m/s


1. Completalasiguientetablareferentealasunidadesyequivalenciadeltrabajomecánico,delapotenciamecánicaydelaenergía.

Unidades y equivalencias del trabajo mecánico, de la potencia mecánica y de la Energía

Magnitud Unidad Equivalencia

Trabajo

Energía

Potencia



2. Investigacómoseaprovechanlosdistintostiposdeenergíamencionadosenlatabla.

Tipo de energía Aprovechamiento

Mecánica

Cinética

Potencial

Radiante

Luminosa

Química

Eléctrica

Eólica

Sonora

Nuclear

Térmica

Hidráulica

Solar


264 Física I

3. Investigayllenalasiguientetabla.Buscadiversosobjetosdeusocotidianodondeseespecifiquequétipodeenergíautilizaparafuncionar.Tambiénexplicaporquélaposeeycómoseutilizapararealizareltrabajo.

Objetos de uso cotidiano Tipo de energía que utiliza para funcionar

Explica por qué poseen energía ¿Cómo realiza el trabajo?

4. Calculaelconsumodeenergíaentuhogar.Emplealainformacióndepotenciamecánicaquepresentanlosaparatoseléctricosomecánicosqueutilizasnormalmente(focos,refrigerador,tostadorasdepan,microondasuotrosaparatos)yeltiempodeoperacióndecadaunoduranteeldía.

Aparato Consumo de energía Tiempo de operación Costo

5. Realizaunaactividadquepermitaobservarlaconservacióndelaenergíamecánicayentregauninformeescritoatuprofesor.

6. Realizaunaactividaddondepuedasdemostrarlaexistenciadefuerzasquedisipanlaenergíamecánicaenformadecalor.

7. Investigasituacionesdelavidacotidianadondeobserveslasmedidasconlascualesseevitaquelaenergíamecánicasedisipeenformadecaloryentregaunescritoatuprofesor.

8. Elaboraunálbumconfotografíaseimágenesquemuestreneltrabajoylaapotenciamecánica,asícomolosdiferentestiposdeenergía,incluyendolasenergíasalternativas.

Rúbrica


Nivel

Exc

elen

te

Buen

o

Ele

men

tal

Insu

ficie

nte

1. Defineelconceptodetrabajoenfísica.

2. IdentificaeljoulecomolaunidaddeltrabajoenelSistemaInternacionaldeMedidas(si).

3. Definelaunidaddetrabajo,eljoule.




Nivel

Exc

elen

te

Bue

no

Ele

men

tal

Insu

ficie

nte

4. Identificaeltrabajocomounacantidadescalar.

5. Comprendequesielpuntodeaplicacióndeunafuerzanosemueve,entoncesnoejercetrabajo.

6. Comprendequesiunafuerzaactúaperpendicularmenteconeldesplazamiento,entoncesnoejercetrabajo.

7. Resuelveproblemasrelacionadosconeltrabajo.

8. Defineelconceptodepotencia.

9. Identificaelwattcomolaunidaddepotenciaenelsi.

10. Definelaunidaddepotencia,elwatt.

11. Establecelaequivalenciaentreelkilowattyelwatt.

12. Establecelaequivalenciaentreelcaballodepotencia(hp)yelwatt.

13. Resuelveproblemasrelacionadosconlapotencia.

14. Defineelconceptodeenergía.

15. IdentificadiversasformasdeenergíaquesemanifiestanenelUniverso.

16. ReconocequelaenergíaexistenteenelUniversoesconstante,esdecir,quesucantidadtotalnoaumentanidisminuye,sólosetransforma.

17. Identificalosdostiposdeenergíamecánica.

18. Reconocelaenergíacinéticacomoaquelloqueposeeunobjetoenvirtuddesumovimiento.

19. Reconocelaenergíapotencialcomoaquellaqueposeeunobjetoenvirtuddesuposiciónocondición.

20. Identificalaenergíapotencialgravitacional(Epg)

21. Reconocelaenergíapotencialgravitacionalcomolacapacidaddeunobjetoderealizartrabajoenvirtuddelaalturaalaqueseencuentraconrespectoaunniveldereferenciaestablecido.

22. Calculalaenergíacinéticadeunobjeto.

23. Calculalaenergíapotencialgravitacionaldeuncuerpo.

24. Enunciaelprincipiodelaconservacióndelaenergía.

25. Enunciaelprincipiodelaconservacióndelaenergíamecánica.

26. Utilizaelteoremadeltrabajoylaenergíapararesolverproblemas.

27. Utilizaelprincipiodelaconservacióndelaenergíamecánicapararesolverproblemas.

28. Reconocequeeltrabajorealizadocontralafricciónseconvierteenenergíacalorífica.


analíticoÍndice

Aaceleración, 73, 81-82, 94-99, 111-112, 112f,

147-148, 152-153, 154t, 178, 179, 218angular, 147, 148, 160angular media, 147, 148, 160centrípeta, 152-154, 154t, 218de la gravedad, 111-112, 111f, 112f, 129,

137, 178-179, 197, 218, 219instantánea, 78, 81-82

afelio, 217facústica, 7, 8ampere, 15, 15tángulo de reposo, 192

BBrahe, Tycho, 217, 217f

Ccaída libre, 111-118, 111f, 219candela, 15, 15tcantidad escalar, 45, 45f, 46, 76, 236cantidad física, 13, 15, 15t, 17, 17t, 28, 29,

79fundamentales y derivadas, SI, 15, 16, 16t

cgs. Véase Sistema cegesimalciencia, 3-5

clasificación de la, 7ciencias factuales, 7, 8ciencias formales, 7, 8cifras significativas, 30-32

multiplicación y división, 32 operaciones con, 32suma y resta, 32

cinemática, 8, 73-74coeficiente de fricción

cinético, 184-190estático, 192

componentes (vectores), 56-57conocimiento, 3-4

científico, 3, 4cotidianos, 3elementales, 3

conservación de la energía, 246, 246f mecánica, 235, 250-251principio de conservación de la, 246

constante de gravitación universal, 219contar, 27conversión de unidades, 17-18

Ddeducción, 6, 7desaceleración, 81, 181desplazamiento angular, 147-148, 154tdiagrama de cuerpo libre, 182dinámica, 8, 73, 74, 173, 182

Eeje de rotación, 73, 150electromagnetismo, 8energía, 8, 16t, 17t, 233, 235-251, 246f,

246-248calorífica, 251cinética, 246-247, 248mecánica, 246, 248-249, 251-252potencial, 247, 247fpotencial gravitacional, 247-248, 248fteorema del trabajo y la, 247 error, 28-31absoluto, 29-30errores aleatorios o circunstanciales, 28,

29f relativo y exactitud, 30, 31

estática, 8

Ffísica, 1, 7-9

aplicaciones de la, 9f atómica, 8clásica, 73clasificación de la, 7de las partículas elementales, 7, 8del estado sólido, 8del plasma, 8moderna, 7nuclear, 7, 8relativista, 8

fórmulas cinemáticas, 94-97 de la caída libre, 112del mrua, 94-97

fórmulasde la caída libre, 112-113del mcu, 154tdel movimiento angular uniformemente

acelerado, 160-161del movimiento rectilíneo uniforme-

mente acelerado, 7rapidez media, 78para el mrua que relaciona la velocidad

final, la velocidad inicial, la acelera-ción y el desplazamiento, 96

para calcular el desplazamiento y la dis-tancia en función de la aceleración, el tiempo y la velocidad inicial en el mrua, 96-97

para calcular la distancia y el desplaza-miento de una partícula material con aceleración constante, 95-96

frecuencia, 150-154, 154tfricción, 111, 111f, 175-176, 176f, 181,

181fcinética, 181, 182coeficiente de fricción, 184-190, 192estática, 181-182y energía mecánica, 251-252

fuerza nuclear, 174 débil, 174fuerte, 174

fuerza, 173-177centrípeta, mcu, 207, 235fde acción, 178de gravedad, 218de reacción, 178electromagnética, 174, 174fequilibrada, 175gravitacional, 174-175, 175f, 179, 236fmagnética, 174neta, 175no equilibrada, 175, 177, 178normal, 179-180, 236f

GGalileo, 112, 112f, 175-176Gauss, Karl Friedrich, 14, 14fgrados sexagesimales, 148


gráficas, 87-90, 97-99aceleración contra tiempo, mrua, 99posición contra tiempo, mrua, 99posición contra tiempo para un objeto

que se mueve con velocidad cons-tante, 87-89, 88f

velocidad contra tiempo, mru, 89-90velocidad contra tiempo para aceleración

constante, 97-99gravedad, 218

aceleración de la, 11-112, 111f, 112f, 129, 137, 178-179, 197, 218, 219

Hhertz, 150

Iincertidumbre

en el proceso de medición, 28o error absoluto, 29-30

inercia, 175-177masa como medida de la, 177primera ley de newton, 178

Jjoule, 16t, 235, 238, 246

Kkelvin, 15, 15t, 16tKepler, 6, 217, 217f

primera ley, 217segunda ley, 217, 217ftercera ley, 217

kilogramo, 13, 14, 14f, 15, 15f, 15t, 16, 17

Lley científica, 4ley de la conservación de la energía mecá-

nica, 246ley de la gravitación universal, 217-221leyes

de Kepler, 217de Newton, 173-185del movimiento, 177

Mmagnitud, 13-18, 13tmarco de referencia, 74, 74fmasa, 13, 14, 15, 15t, 16, 16t, 173, 177

de la Tierra, cálculo de, 219-220materia, 4, 4f, 8

mcu. Véase Movimiento circular uniformemecánica, 8, 73-74medición, 13-18, 27-32, 27f

directa, 27error de la, 28-31incertidumbre en el proceso de, 28indirecta, 27, 27f teoría de la, 27

medida, precisión y exactitud de una, 29medidas aproximadas, 28método científico, 5-7

etapas del, 5inducción, 6, 7inferencia por analogía, 6

método de los componentes, suma de vec-tores, 58-60

método del paralelogramo, suma de vecto-res, 53-55

método gráfico, suma de vectores, 49-53, 51f

metro, 14, 14f, 15, 15t, 16mol, 15, 15tmovimiento, 71-165

con aceleración constante, 94-95de proyectiles lanzados hacia arriba con

un ángulo con respecto a la hori-zontal, 137-140

en dos dimensiones, 129-132, 137-140horizontal de un proyectil. Véase Tiro ho-

rizontalmecánico, 73rectilíneo uniforme, mru, 87-90rectilíneo uniformemente acelerado, mrua,

7, 94-99unidimensional (rectilíneo), 73-85

movimiento angular uniformemente acele-rado, 160-161

movimiento circular uniforme, mcu, 149-150

fuerza centrípeta en el, 207, 235frelación entre velocidad lineal y veloci-

dad angular en mcu. Véase Movi-miento circular uniforme

mru. Véase Movimiento rectilíneo uniformemrua. Véase Movimiento rectilíneo unifor-

memente acelerado

Nnewton (unidad de fuerza), 51, 178Newton, leyes de, 171, 173-194

aplicaciones, 182-283

primera ley (inercia), 177segunda ley, 4, 178, 246tercera ley, 178-179

Newton, Isaac, 9, 175, 177, 177fnotación científica, 16t, 21-23

división, 22 multiplicación, 22 operaciones en, 22-23suma y resta, 23

Oóptica, 8

Pparábola, 130, 137partícula, 8

material, 73, 77-81, 95-96pendiente, 88perihelio, 217fperiodo, 150-154, 217-218peso, 17, 17t, 178-179

aparente, 197-200potencia, 238-239

promedio, 239unidades de, 238

prefijos del si, 15-16, 16tpresión, 16t, 17tprincipio de la conservación de la energía

mecánica, 246primera ley de Kepler, 217primera ley de Newton (inercia), 178proyectil, 129-132

Rradián, 148, 154trapidez, 78-82

constante, 79instantánea, 81-82promedio o media, 78-79y velocidad, 78-80

rotación, 149-150rozamiento, Véase Fricción

Ssegunda ley de Kepler, 217segunda ley de Newton, 178segundo, 14, 15, 15t, 17tSI. Véase Sistema internacional de unidadessistema británico gravitacional o sistema

inglés, 17unidades fundamentales, 17t

Índice analítico 267


268 Física I

sistema cegesimal (cgs), 14-15sistema conservativo, 248sistema de referencia, 46f, 74, 75-76, 75f,

76f absoluto, 75, 75fbidimensionales, 76 relativo, 75, 75funidimensionales, 76, 76f

sistema de vectores, 48-49clasificación de los, 48-49

sistema internacional de unidades (si), 15-17, 15t

prefijos del, 15-16, 16tunidades fundamentales, 15, 15t unidades derivadas, 16, 16t

sistema métrico decimal, 14-15sistemas inerciales, 75suma de vectores, 49-60

por métodos analíticos (matemáticos), 53-56

método de los componentes, 58-60método gráfico, 49-53, 51f método del paralelogramo, 53

Ttecnología, 8tensión, 184, 196

teorema del trabajo y la energía, 247tercera ley de Kepler, 217tercera ley de Newton, 178-179termodinámica, 8tiro horizontal, 114, 126, 129, 129ftrabajo, 235-238, 235f, 236f

neto o resultante, 236y energía, 247

tracción, 235traslación, 73

Uunidades

de fuerza (newton), 178de trabajo (joule), 235del cgs, 14-15del si, 15, 16del sistema inglés, 17patrón o estándar, 13

universo, 3, 4, 174, 246, 246f

Vvector,

componentes perpendiculares, 56-58componentes rectangulares, 56-58de posición, 76-78, 76f desplazamiento, 76-78

dirección de un, 46-47representación gráfica de un, 46-47

vectores, 45-60deslizantes, 48diferencia de, 66libres, 48 propiedades de los, 48sistema de, 48-49suma de, 49-60

velocidad, 73-75, 78-80, 81, 82angular, 148-150angular media, 148 constante mru, 89-90final, 94, 95, 96instantánea, 82lineal, 149-150, 154tmedia o promedio, 79-80orbital, 220-221tangencial, 150

Wwatt (W), 238Watt, James, 238, 238f


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psicopedagogico.edu.svpsicopedagogico.edu.sv/archivoL/libro12.pdf · Física I Segunda edición Ing. Juan Antonio Cuéllar Carvajal Universidad Autónoma de Nuevo León Revisión