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Física I
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Física I
Segunda edición
Ing. Juan Antonio Cuéllar CarvajalUniversidad Autónoma de Nuevo León
Revisión TécnicaM. en D. Aissa Teremilia Ruiz Luna
Universidad Autónoma de Nuevo León
MÉXICO • BOGOTÁ • BUENOS AIRES • CARACAS • GUATEMALA • MADRID • NUEVA YORK SAN JUAN • SANTIAGO • SAO PAULO • AUCKLAND • LONDRES • MILÁN • MONTREAL
NUEVA DELHI • SAN FRANCISCO • SINGAPUR • ST. LOUIS • SIDNEY • TORONTO
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Gerente editorial: Alejandra Martínez ÁvilaEditor sponsor: Sergio G. López HernándezEditor: Luis Amador Valdez VázquezSupervisora de producción: Marxa de la Rosa PliegoDiseño de portada: José Palacios Hernández
Física ISegunda edición
Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra,por cualquier medio, sin la autorización escrita del editor.
DERECHOS RESERVADOS © 2013, 2008, respecto a la segunda edición por:McGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A. DE C.V.
Punta Santa Fe, Prolongación Paseo de la Reforma 1015, Torre A,Piso 17, Colonia Desarrollo Santa Fe,Delegación Álvaro ObregónC.P. 01376, México, D.F.Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Núm. 736
ISBN: 978-607-15-0891-1(ISBN: 978-970-10-6556-3 Primera edición)
1234567890 2456789013Impreso en México Printed in Mexico
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Dedicatoria
Con gratitud y amor por siempre a la memoria de Inocencia Covarrubias, Josefina Ro-dríguez Covarrubias, María del Carmen Carvajal Rodríguez, Bertha Carvajal Rodríguez, Leticia Cuéllar Carvajal y Juana Noriega Almeida.
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Al escribir este libro, el autor tuvo en mente el deseo de motivar a los alumnos a que se interesen por el estudio de la física; por ello, ha procurado que la explicación de los temas sea clara y completa.
Para la mejor comprensión de los métodos más importantes (analíticos, sintéticos, analógicos, deductivos e inductivos) se presentan más de 250 ejercicios, los cuales se han ordenado cuidadosamente, además de que son variados e incluyen un gran número de apli-caciones. Por otra parte, los ejercicios se han dispuesto según el grado de dificultad, de los más simples a los más complejos.
El libro consta de cuatro bloques y 12 temas que cumplen con el programa de estu-dios de la Dirección General de Bachillerato (dgb). Acorde con este programa, cada bloque incluye una evaluación diagnóstica para que el alumno relacione sus conocimientos previos con los temas que estudiará; al final de cada tema se presenta una evaluación para que el alumno mida el grado de avance en su aprendizaje.
Para alentar a los estudiantes a la lectura del texto y reforzar el conocimiento concep-tual, cada tema inicia con un marco teórico sencillo y accesible, acompañado por ejemplos resueltos. Enseguida, se presentan actividades de aprendizaje integradas por una serie de ejercicios con sus respuestas, lo cual cumple una función muy importante, ya que gracias a ella el alumno podrá saber si el proceso seguido para encontrarla es correcto. Además, al contestar cada ejercicio en el espacio correspondiente, se conservará un orden y una siste-matización del conocimiento, que resultarán muy útiles a los alumnos.
La estructura del libro está diseñada para que sea un útil cuaderno de trabajo para el alumno, pero también se buscó que fuera un texto conciso de consulta para el profesor, esto le ayudará a abreviar esfuerzos en la investigación de temas en la enseñanza de la física. Por último, es necesario destacar otro gran propósito que guió la elaboración del presente trabajo: ayudar a desterrar la tradicional práctica del Magister dixit (“El maestro lo ha di-cho”). Eliminando todo lo que conlleva esta expresión, el profesor podrá convertirse en un coordinador de esfuerzos, que impulsará y motivará a sus alumnos para que adquieran el conocimiento por sí mismos, a que logren un aprendizaje significativo de los físicos y a que desarrollen su pensamiento abstracto.
Juan Antonio Cuéllar Carvajal
Presentación
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Competencias
Competencias génericas1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos
que persigue.2. Es sensible al arte y participa en la apreciación e interpretación de sus expresiones en distin-
tos géneros.3. Elige y practica estilos de vida saludables.4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utiliza-
ción de medios, códigos y herramientas apropiados.5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.6. Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando otros
puntos de vista de manera crítica y reflexiva.7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.9. Participa con una conciencia cívica y ética en la vida de su comunidad, región, México y el
mundo.10. Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valo-
res, ideas y prácticas sociales.
11. Contribuye al desarrollo sustentable de manera crítica, con acciones responsables.
Competencias disciplinaresQuímica I, Física I y Biología I (campo de ciencias experimentales)
1. Establece la interrelación entre la ciencia, la tecnología, la sociedad y el ambiente en contextoshistóricos y sociales específicos
2. Fundamenta opiniones sobre los impactos de la ciencia y la tecnología en su vida cotidiana, asumiendo consideraciones éticas.
3. Identifica problemas, formula preguntas de carácter científico y plantea las hipótesis necesa-rias para responderlas.
4. Obtiene, registra y sistematiza la información para responder a preguntas de carácter cientí-fico, consultando fuentes relevantes y realizando experimentos pertinentes.
5. Contrasta los resultados obtenidos en una investigación o experimento con hipótesis previasy comunica sus conclusiones.
6. Valora las preconcepciones personales o comunes sobre diversos fenómenos naturales a partirde evidencias científicas.
7. Explicita las nociones científicas que sustentan los procesos para la solución de problemascotidianos.
8. Explica el funcionamiento de máquinas de uso común a partir de nociones científicas.
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VIII Física I
9. Diseña modelos o prototipos para resolver problemas, satisfacer necesidades o demostrar principios científicos.
10. Relaciona las expresiones simbólicas de un fenómeno de la naturaleza y los rasgos observa-bles a simple vista o mediante instrumentos o modelos científicos.
11. Analiza las leyes generales que rigen el funcionamiento del medio físico y valora las acciones humanas de riesgo e impacto ambiental.
12. Decide sobre el cuidado de su salud a partir del conocimiento de su cuerpo, sus procesos vitales y el entorno al que pertenece.
13. Relaciona los niveles de organización química, biológica, Física y ecológica de los sistemas vivos.
14. Aplica normas de seguridad en el manejo de sustancias, instrumentos y equipo en la reali-zación de actividades de su vida cotidiana.
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Contenido
Bloque 1 Reconoce el lenguaje técnico básico de la física 1
Conocimientos•Desempeños•Competenciaquesebuscadesarrollar 1 Evaluacióndiagnóstica 2
Tema 1 Introducción a la física 3
Ciencia 3 El método científico 5 Clasificación de la ciencia 7 ¿Qué es la física? 8 Actividades de aprendizaje 9 Evaluación 11
Tema 2 Magnitudes físicas y su medición 13
La medición 13 Sistema cegesimal, cgs 14 Sistema internacional de medidas, si 15 Cantidades físicas fundamentales y derivadas 16 Sistema británico gravitacional o sistema inglés 17 Conversión de unidades 17 Actividades de aprendizaje 18 Notación científica 21 Operaciones en notación científica 22 Actividades de aprendizaje 23 Teoría de la medición 27 Cifras significativas 30 Operaciones con cifras significativas 32 Actividades de aprendizaje 33 Evaluación 41
Tema 3 Introducción a los vectores 45
Generalidades 45 Representación gráfica de un vector 46 Propiedades de los vectores 48 Sistemas de vectores 48
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X Física I
Suma de vectores 49 Actividades de aprendizaje 60 Diferencia de vectores 66 Actividades de aprendizaje 66 Evaluación 67 Comunicar para aprender 68 Autoevaluación 69
Bloque 2. Identifica diferencias entre distintos tipos de movimiento 71
Conocimientos•Desempeños•Competenciaquesebuscadesarrollar 71 Evaluacióndiagnóstica 72
Tema 1. Movimiento unidimensional 73
Definición de conceptos 73 Marco de referencia y sistemas de referencia 74 Carácter relativo del reposo y del movimiento 74 Sistema de referencia 75 Vector de posición y desplazamiento de una partícula material 76 Rapidez, velocidad y aceleración instantánea 81 Actividades de aprendizaje 82 Evaluación 85
Tema 2. Movimiento rectilíneo uniforme, mru 87
Definición y aplicaciones 87 Gráfica de posición contra tiempo para un objeto con velocidad
constante o uniforme 87 Gráfica de velocidad contra tiempo del mru 89 Actividades de aprendizaje 90 Evaluación 91
Tema 3. Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, mrua 94
Definición y aplicaciones 94 Fórmulas cinemáticas del mrua 94 Gráfica de velocidad contra tiempo para la aceleración constante 97 Actividades de aprendizaje 100 Evaluación 108
Tema 4. Caída libre 111
Definición y aplicaciones 111
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Contenido XI
Fórmulas cinemáticas para la caída libre 112 Fórmulas de la caída libre 112 Actividades de aprendizaje 118 Evaluación 127
Tema 5. Movimiento en dos dimensiones 129
Definición y aplicaciones 129 Movimiento horizontal de un proyectil (tiro horizontal) 129 Actividades de aprendizaje 132 Movimiento de proyectiles que son lanzados hacia arriba con un ángulo
con respecto a la horizontal 137 Solución de problemas 137 Actividades de aprendizaje 140 Evaluación 145
Tema 6. Movimiento circular 147
Definición y aplicaciones 147 Desplazamiento angular 147 Velocidad angular 148 Frecuencia y periodo 150 Aceleración centrípeta 152 Actividades de aprendizaje 154 Movimiento angular uniformemente acelerado 160 Actividades de aprendizaje 161 Evaluación 165
Bloque 3. Leyes de Newton y de la gravitación universal 171
Conocimientos•Desempeños•Competenciaquesebuscadesarrollar 171 Evaluacióndiagnóstica 172
Tema 1. Leyes de Newton 173
Introducción 173 ¿Qué es una fuerza? 173 Fuerza neta 175 Inercia 175 Leyes del movimiento 177 Primera ley de Newton o de la inercia 177 Segunda ley de Newton 178 Tercera ley de Newton 178
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XII Física I
El peso 178 La fuerza normal 179 La fricción 181 Aplicaciones de las leyes de Newton 182 Actividades de aprendizaje 186 Ángulo de reposo y deslizamiento uniforme 192 Actividades de aprendizaje 193 Peso aparente 197 Actividades de aprendizaje 201 La fuerza centrípeta en el movimiento circular uniforme 207 Actividades de aprendizaje 208 Evaluación 213
Tema 2. Ley de la gravitación universal 217
Leyes de Kepler 217 Ley de gravitación universal 218 Cálculo de la masa de la Tierra 219 Velocidad orbital 220 Actividades de aprendizaje 221 Evaluación 230
Bloque 4. Relaciona el trabajo con la energía 233
Conocimientos•Desempeños•Competenciaquesebuscadesarrollar 233 Evaluacióndiagnóstica 234
Tema 1. Trabajo, energía y potencia 235
Definición de conceptos 235 Trabajo neto o resultante 236 El trabajo es un escalar 236 Potencia 238 Actividades de aprendizaje 239 Energía mecánica 246 Energía cinética 246 Teorema del trabajo y la energía 247 Energía potencial 247 Energía potencial gravitacional 247 Conservación de la energía mecánica 248 Energía mecánica y fricción 251 Actividades de aprendizaje 252
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Bloque 1Reconoce el
lenguaje técnico
básico de la física
Conocimientos
• Introducciónalafísica• Magnitudesfísicasysumedición• Notacióncientífica
• Instrumentosdemedición• Vectores
Desempeños• Identificaslaimportanciadelosmétodosdeinvesti-
gaciónysurelevanciaeneldesarrollodelacienciacomolasolucióndeproblemascotidianos.
• Reconocesycomprendeselusodelasmagnitudesfí-sicasysumedicióncomoherramientasdeusoenlaactivi-dadcientíficadetuentorno.
• Interpretaselusodelanotacióncientíficaydelospre-fijoscomounaherramientadeusoquetepermitarepre-sentarnúmerosenterosydecimales.
• Identificaslascaracterísticasypropiedadesdelosvec-toresquetepermitanaplicarlosymanejarlosparasolucio-narproblemascotidianos.
Competencias que se busca desarrollar• Establece la interrelación entre la ciencia, la tecno-
logía,lasociedadyelambienteencontextoshistóricosysocialesespecíficos.
• Fundamentaopinionessobrelosimpactosdelacien-ciaylatecnologíaensuvidacotidianaasumiendoconsi-deracioneséticas.
• Identifica problemas, formula preguntas de caráctercientífico y plantea las hipótesis necesarias para respon-derlas.
• Obtiene, registra y sistematiza la información pararesponder preguntas de carácter científico consultandofuentesrelevantesyrealizandoexperimentospertinentes.
• Contrastalosresultadosobtenidosenunainvestigaciónoexperimentoconhipótesisprevias y comunica sus con-
clusionesenequiposdiversos, respetando ladiversidaddevalores,ideasyprácticassociales.
• Valoralaspreconcepcionespersonalesocomunesso-bre diversos fenómenos naturales a partir de evidenciascientíficas.
• Haceexplícitaslasnocionescientíficasquesustentanlosprocesosparalasolucióndeproblemascotidianos.
• Explicaelfuncionamientodemáquinadeusocomúnapartirdenocionescientíficas.
• Diseñamodelosoprototipospararesolverproblemaslocales,satisfacernecesidadesodemostrarprincipioscien-tíficos.
• Relacionalasexpresionessimbólicasdeunfenómenodelanaturalezay losrasgosobservablesasimplevistaomedianteinstrumentosomodeloscientíficos.
• Analizalasleyesgeneralesquerigenelfuncionamien-todelmediofísicoyvaloralasaccioneshumanasderiesgoeimpactoambientaldentrodesuregiónycomunidad.
• Proponemanerasde solucionarunproblemaode-sarrollar un proyecto en equipo al definir un curso deacciónconpasosespecíficos.
• Aportapuntosdevistaconaperturayconsideralosdeotraspersonasdemanerareflexiva.
• Dialogayaprendedepersonascondistintospuntosdevistaytradicionesculturalesmediantelaubicacióndesuspropiascircunstanciasenuncontextomásamplio.
• Asumequeelrespetodelasdiferenciaseselprincipiodelaintegraciónyconvivenciaenloscontextoslocal,na-cionaleinternacional.
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1. ¿Quéentiendesporciencia?
2. ¿Quéesunmétodo?
3. ¿Quésabesocreesqueeslafísica?
4. Mencionatresfenómenosqueocurrenatualrededorqueconsiderassusceptiblesdeestu-diarsemediantelafísica.
5. Deentrelosaparatosqueusascotidianamente,seleccionadosyescribecómocreesquelafísicaintervinoensudiseñoyconstrucción.
6. ¿Quéesmedir?
7. ¿Quésonelmetro,elkilogramo,elsegundo?
8. Mencionatresinstrumentosdemediciónqueconozcas.
9. Escribelosnombresdetresunidadesdemedición.
10. ¿Conocesladiferenciaentremagnitudescalarymagnitudvectorial?,¿cuáles?
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Ciencia
El método científico
Clasificación de la ciencia
¿Qué es la física?Introducción a la física
Tema I
Figura 1.1 Los fenómenos de la naturaleza son hechos que pue-den conocerse, y algunos de ellos predecirse, a partir de la reco-lección de datos.
Figura 1.2 Los conocimientos elementales nos permiten orien-tarnos en el mundo que nos rodea.
CienciaConformeasuorigen, lapalabra ciencia significa conoci-miento; sinembargo,hoysuacepciónesmuchomásam-plia.En laspáginassiguientesseexplicaráyprecisaráelsignificadodeesteconcepto.
Losconocimientossignificanposesióndedatosacer-cadeunhecho;ésteescualquierfenómenoqueocurreenelUniverso;porejemplo,elmovimientodeunplaneta,unrayo láser, la luz,el sonido, lacaídadeunapiedra,entreotrosmás.
Losconocimientospuedenserdetresclases:
• elementales• cotidianos• científicos
Los conocimientos elementales son propios de losniños,quienestienenunainformaciónacercadedetermi-nadaspropiedadesdelascosasysobresusrelacionesmássimples.Estosconocimientoslespermitenorientarseade-cuadamenteenelmundoquelesrodea.
Losconocimientos cotidianos los adquiereelhom-breempíricamenteyselimitan,porlogeneral,alaeviden-ciasuperficialdeloshechosyacómosedesarrollan.Po-demosdecirqueelconocimientocotidianollevaalsujetoaentenderunfenómenosinmayoresproblemas;respondeacómoserealizaunhecho,peronoaporquéserealizaprecisamentedeesemodo.
Porejemplo,unniñosabequesilanzadesdelaventa-naunacanica,éstacaeráalsuelo;sinembargo,desconocelacausadesucaída.
Segúnloestablecelafísica,lafuerzadeatracciónqueejercelamasadelaTierrasobrelamasadelacanicaeslacausadesucaída,ésteesunconocimiento científico.
Elconocimientocientíficopresuponenosólolacons-tanciay ladescripcióndeloshechos,sinolaexplicaciónracionalyobjetivadecómoocurreyporquéocurrepre-cisamente de ese modo. Además, explica las relacionesgenerales,necesariasyconstantes,de los fenómenosque
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4 Física I
ocurrenenelUniverso.Porejemplo,lasleyesdelafísicaindicanquesiunmetalsecalienta,éstesedilata.Estonosconduceaestablecerquelarelaciónentreelcalorylalon-gituddeunmetalnopuedeserdeotramanera,esdecir,esnecesaria.Asimismo,sedicequeesuna relaciónconstanteporquecualquiermetalquesesometeaaltastemperaturassiempresedilata.
Otradelascaracterísticas delconocimientocientíficoesqueofrecelaperspectivadepredecirydeformarcon-scientementeelfuturo.Establecerunapredicciónsignificaconoceralgo poranticipado;porconsiguiente,lainvenciónesunaformadepredicciónquesellevaacabopormediode la investigacióncientífica,a lacualguía la razónyseapoyaenconocimientoscientíficos.
El sentido fundamental de cualquier ciencia puedecaracterizarsedelasiguienteforma:saberparaprede-cir,predecirparaactuar.
Sistematización de la cienciaUnrasgoesencialde lacienciaes susistematización;esdecir, la agrupación, clasificación y ordenación, segúndeterminadosprincipios teóricos, de conocimientos ob-tenidosdeunamanerametódica.Unconjuntodecono-cimientosdispersosquenoseordenendeacuerdoconunsistema,obienqueseanmerasobservacionesproductodelacasualidadynoseanestudiadascondetalle,noconsti-tuiráunaciencia.
Elfundamentodelacienciaradicaenunconjuntodepremisasinicialesydeleyescientíficasagrupadasbajounsistemaúnico,demodoqueformanpartedeunateoría.Una ley científica esunaexpresión queafirmaen formacualitativaocuantitativaunarelaciónconstanteynecesa-riaentredosomásvariables.Porejemplo,lasegundaleydeNewtonestableceque la aceleracióndeunobjetoenmovimientovaríadeformadirectamenteproporcionalconlamagnituddelafuerzanetaqueseaplicaenlamismadi-reccióndesudesplazamientoeinversamenteproporcionalasumasa.Laexpresiónmatemáticadeestaleyes
a FM
=
TeoríaUnateoríaesunconjuntodeleyescientíficasordenadasyrelacionadasentresí.Porejemplo,lateoríaelectromagné-ticaestácontenidaenlascuatroecuacionesdeMaxwellylafuerzadeLorentz.Conestasecuacionespodemosexpli-carlosfenómenoselectromagnéticos.
Las teorías requieren,ademásde las leyescientíficasque lasconstituyen,elementoscomolasdefiniciones, losaxiomasypostulados.
¿Qué es ciencia?Elconjuntodetodoslosprocesosqueexistendemaneraindependiente a cualquier sujeto y almodoque éste losconozca,ignoreoimagineconstituyeelUniverso, objetoúnicodeestudiodelaciencia.
SabemosqueelUniversoesunconjuntodeprocesosofenómenosporquetodoslosobjetosexistentesexperimen-tanmovimientosytransformacionesconstantes.Laexis-tenciaobjetivadelosprocesossemanifiestacomomateriaen movimiento.
La materia, que a su vez puede transformarse enenergía, constituye toda la realidadobjetivaquenos ro-dea:partículas,átomos,moléculas,electrones,protones,laluz, el sonido, losmetales, el aire, el agua, las sustancias,entreotros.
Lacienciabuscacomprenderyexplicarobjetivamentelasrelacionesexistentes,generales,constantesynecesarias,entrelosdiversosfenómenosqueocurrenenelUniversoyrelacionarlosapartirdeconexioneslógicasquepermitenpresentarpostulados,axiomas,leyes,teoríasydefinicionesenlosdistintosnivelesdelconocimientoapartirdesusis-tematización.
Porloanterior,podemosdecirquela ciencia es un con-junto sistematizado y ordenado de conocimientos que explican objetiva y racionalmente los procesos que ocurren en el Universo.
Lacienciaesunaexplicaciónporquedescribelasdi-versasformasenquesemanifiestanlosfenómenosdela
Figura 1.3 La materia constituye toda la realidad objetiva que nos rodea.
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Tema 1 Introducción a la física 5
naturaleza, determina las condiciones necesarias y sufi-cientesparallevarlosacabo,ydesentrañalosenlacesin-ternosysusconexionesconotrosprocesos.Laexplicacióncientíficaesobjetivaporquerepresentalasformasenquelosfenómenosmanifiestansuexistencia,lacualnodepen-dedelassensaciones,lavoluntad,lasposicionesideológi-casoreligiosasdelossujetosqueconocendichosprocesos.
Porúltimo,podemosdecirquelaexplicacióncientífi-caesracionalporqueestableceunaimagendecadaunodelosfenómenosnaturalesquellegaaconocerse;lomismoquecadaunadesuspropiedadeseinterrelacionesconlosotros.
El método científicoLainvestigacióncientíficaesunaactividadcuyoobjetivoeslaobtencióndeconocimientoscientíficos.Losinvesti-gadores,parafacilitarsutrabajoeincrementarsusposibili-dadesdeéxito,necesitandiseñaryplanearsuformadepro-cederenlainvestigación;esdecir,debenseguirunmétodoque,aunquenoproduzcaautomáticamenteconocimientoniseainfalible,sípermitaeliminarlasimprovisaciones,yporende,evitelaobtenciónderesultadosconfusos.
Lapalabramétodo sederivadelosvocablosgriegosmeta,“alolargo”,yodos,“camino”.Así,podemosdecirqueelmétodocientíficoeselcaminoquesesigueparaobtener
conocimientoscientíficos.Paraestefin,elmétodocientí-ficoseapoyaenreglasytécnicasqueseperfeccionanparallegaralaluzdelaexperienciaydelanálisisracional.Enelproceso,cadapasonosacercaalameta;sinembargo,lasreglasnosoninfaliblesydebenadaptarseencadapaso.
Enelmétodocientíficosedistinguendosaspectos:
1. Esunprocesoque imponeordenen la investigacióncientífica.
2. Planealasactividades, losprocedimientos,recursosyconocimientosnecesariosparaunainvestigación.
Etapas del método científicoEntérminosgenerales, lasetapasdecualquier investiga-cióncientíficason:
1. Plantearunproblemaquesenecesitaresolver.Enten-demosporproblemacualquierdificultadquenotieneso-luciónautomática.
2. Suponerunasoluciónapartirdelaformulacióndeunahipótesis.
3. Comprobarlahipótesis,esdecir,aportarevidenciasdesuveracidad.Losprocedimientosespecíficosdelmétodocientíficoparacomprobarlashipótesisson:
• Lademostraciónformal.• Laverificación.
Lademostraciónformal,oraciocinio,consisteenqueapartirdeciertasproposicionesaceptadascomoverdade-rassebuscaobtenercomoconclusiónunanuevaproposi-ciónquecoincidaconlahipótesisquesedeseacomprobar.Analicemoselsiguienteejemplo:
• proposicióndelaqueseparte:Todoslosnúmerosnaturalessonmayoresque cero.
• proposiciónpordemostrar:Seisesmayorquecero.
• demostración:Todoslosnúmerosnaturalessonenterospositivos.Elnúmeroseisesunnúmeronatural.
• Conclusión:Seisesmayorquecero.
Paraverificarunahipótesissepuedenaplicardosmé-todosoprocedimientos:laobservaciónylaexperimenta-ción.Analizaremosmásadelanteestosconceptos.
4. Sisecompruebalahipótesissedebeinterpretarelre-sultadoobtenidoenlostérminosde lateoríacorrespon-diente.
5. Lainsercióndelresultadoenelsistemadelosconoci-mientosadquiridos,esdecir,suincorporaciónalcuerpodeconocimientosdelaciencia.
6. Indagarposiblesconsecuenciasdelresultado.7. Elsurgimientodenuevosproblemas.
Figura 1.4 El método científico representa una base sólida de trabajo para los investigadores.
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6 Física I
Métodos que se utilizan en la investigación científicaEnelprocesodelainvestigacióncientíficaseutilizanpro-cedimientosempíricos yracionales.
Elaspectoempíricoserefierealusodelossentidos,tantoenlaobservacióndelosfenómenoscomoenlaexpe-rimentación.Elvocabloempíricosignificaexperiencia.
Elusode los sentidos, laobservación, elmanejodedatosyhechosofenómenosqueseestáninvestigandosonaplicacionesempíricas.
La observación es un procedimiento empírico queconsisteenfijarlaatenciónenunhechoofenómenoparapercibirlopormediodelossentidosyasíobtenerinforma-ciónacercadesucomportamiento.
La astronomía es un buen ejemplo de los procedi-mientos científicos; por ejemplo, a partir de una grancantidaddeobservacionesastronómicas,JohannesKeplerformulólasleyesdelmovimientodelosplanetasalrededordelSol.
Enlaantigüedad,laobservacióncientíficasólocon-sistióenregistrarmediantelossentidoslosmovimientosycambiosdelamateria;porestarazón,endichaépocaseestablecierondeterminacionesmeramentecualitativas.
Con la introducción de las técnicas demedición selogróestablecerrelacionescuantitativas.Porejemplo,hoysabemosquelaLunasedesplazaconunmovimientoelíp-ticoyquelasestacionesdelañotienenunasucesióncíclicaregularyunaduraciónbiendefinida.
Másadelante, elmejoramientode losmétodosparacalculartrajoconsigoeldesarrollodetecnologíaconlaqueseabriólaposibilidaddereproducirartificialmentelosfe-nómenosnaturales, loquefavoreciólascondicionesparaquesurgieranocambiaransucomportamiento.
Deestemodo,delaobservaciónsellegóalaexperi-mentación,estableciéndoseasíunarelaciónentreambas:
lo que se observa se experimenta y lo que se experimenta se ob-serva. Uncasoespecialeselde laastronomía,endondemuchascosasseobservanperonopuedeexperimentarseconellas,aunqueconlosrecursostecnológicosactualessíselogransimulacionesdigitalesysobreéstas serealizalaexperimentación.
Elinvestigador,despuésdequehalogradoreproducirlascausasquecondicionanelfenómenodeestudio,procu-raasumirelpapeldeobservadorpararegistrarconobjeti-vidadsudesenvolvimiento.Comoresultadodelaexperi-mentaciónlahipótesispuedeverificarse,rechazarseobienquedarparcialmenteconfirmadaymostrarlanecesidaddemodificarla.
Ademásdelosprocedimientosempíricos,lossiguien-tesmétodosracionalessonpartedelmétodocientífico:
• Lainducción• Ladeducción• Lainferenciaporanalogía
La inducción es un método que sirve para inferiro razonar; consta de varias proposiciones de casos par-ticularesquesehanobservadoparaestablecerotrapro-posición o un grupo de ellas más generales. Analiza elsiguienteejemplo:
Laplatasedilataconelcalor.Elorosedilataconelcalor.Elplatinosedilataconelcalor.Entonces,utilizandolosjuiciosanteriores,pode-
mos inducir lo siguiente:Todos los metales se dilatan con el calor.
Ladeducción esunmétodoracionalqueconsisteeninferir soluciones particulares a partir de conocimientosgenerales.
Analizaahoraesteejemplo:
Elproductodedosnúmeros impares esunnúmeroimpar.
7y15sonnúmeroimpares.Porconsiguiente,elproducto7×15esunnúme-
roimpar.
Tambiéninferimosdemaneradeductivacuandouti-lizamos una fórmula general para resolver un problemaconcreto.
Figura 1.5 En la antigüedad, la observación y la percepción eran los únicos medios de explicar los fenómenos naturales.
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Tema 1 Introducción a la física 7
Ejemplo 1.1 Determinalaaceleracióndeuncuer-pode10kilogramossiseleaplicaunafuerzanetade12newtons.
SoluciónDeacuerdoconlasegundaleydeNewton:
a=a FM
Conocimientogeneral
a=a 12 N10 kg
a=1.2m/s2 Solucióndeuncasoparticular
La analogía es unmétodo racional que consiste eninferirrelacionesoconsecuenciassemejantesenfenóme-nosparecidos.
Porejemplo,observalaanalogíaentrelasfórmu-lasdelmovimiento rectilíneouniformemente acele-rado y las del movimiento circular uniformementeacelerado.
MRUA MCUA
aV Vt
0=−
α =−W Wt
0
d =V +V0
2t =
W +W0
2t
d V t at120
2= + W t t120
2θ α= +
En resumenElinstrumentodelainvestigacióncientíficaeselmétodocientífico;ésteincluyetodoslosprocedimientosinvolucra-dosenlainvestigacióncientífica.
Porconsiguiente,formanpartedelmétodocientíficoelplanteamientodelproblemaylasmanerasdeabordarlasolución,la hipótesis,lasoperacionesindagatorias,losmé-todos de inducción, deducción, analogía, la observación,lasdemostraciones(yaseanracionalesoempíricas),lapla-neaciónylastécnicasdeexperimentación,etcétera.
Por último, es importante señalar que en la investi-gación científica los resultados dependendemanera di-rectadelmétodoempleado,elcual nonecesariamenteesinfalible.Sinembargo,unmétodorigurosonosconduceaobtener resultadosprecisos; en cambio, unmétodo vagosólonospuedellevararesultadosconfusos.Esindispen-sablequeelmétodoseaelinstrumentoadecuadoparaelcasoespecíficodequesetrate;además,debeaplicarseconhabilidad,inteligenciaydestreza.
Clasificación de la cienciaLaproblemáticamáscomúndelacienciaessuclasifica-ción.Algunaspersonaslaclasificanporsuobjetodeestu-dio,otras,porsumétodo,suafinidadoporsucomplejidadydependencia.
Sea cual fuere el puntodepartida, una clasificaciónacertadadelacienciaimplicaquesuobjetodeestudioestébiendeterminado,susrelacionesconotrasáreasesténbiendefinidas,yqueelmétodoparaenfrentarsuobjetodees-tudioseaclaro.
Ladiferenciamásnotableentrevariascienciaseslaquesepresenta entre las formales y las factuales.Lasciencias formales estudianlorelacionadoconlasideas,mientrasquelasciencias factuales estudian loshechos.A partirdeestadiferenciaydelobjetodeestudiodecadaciencia,MarioBun-gerealizólasiguienteclasificacióndelasciencias,queaquísepresentaconelobjetivodeubicarlafísicadentrodeella:
• Física• Química• Biología• Psicología
• Sociología• Economía• Historia• Cienciaspolíticas
Ciencia
Ciencias formalesTienenrelacióncon
lasideas
Ciencias factualesTienenrelacióncon
loshechos
CulturalesEstudianlasociedadentodaslasformasylosaspectosdesuorganizaciónydesarrollo.Selesconocetambiéncomocienciassociales
Naturales
LógicaMatemáticas
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8 Física I
¿Qué es la física?Lafísica,comociencia,estudialaspropiedadesyleyesdelmovimientodelamateria,preferentemente,delanatura-lezainanimada.
Elobjetodeestudiodelafísicaloconstituyenlaspro-piedadesylasleyesespecíficasdelmovimientodeloscuer-pos,delaspartículaselementales(comoelelectrón,elpro-tónyelfotón),delosquarks,delosátomosylasmoléculas.Estudiaademáslosprocesosdedimensionessemejantesaladelhombre,yporúltimo,losfenómenosenloscualesintervienenenergíasymasaselevadísimas.
Alavanzarenelestudiodelafísicapodráscompren-derconmayorclaridadsudefiniciónycamposdeestudio;porlopronto,unadefinicióncortapodríaser:la física esla ciencia que estudia las propiedades de la materia, de la energía y la relación entre ambas.
Clasificación de la físicaConelprogresodelacienciahansurgidolasdiferentesra-masdelafísica:lamecánica,latermodinámica,elelectro-magnetismo,laóptica,laacústica,lafísicadelaspartículaselementales,lafísicanuclear,lafísicacuántica,lateoríadelarelatividad,entreotrasmás.
Lasramasdelafísicaquesedesarrollaronhastafina-lesdelsigloxix constituyenladenominada física clásica,mientrasquelasdesarrolladasapartirdelsigloxx consti-tuyenlafísicamoderna. Observaelcuadrodelasiguientepágina.
Mecánica• Cinemática• Dinámica• Estática
AcústicaÓpticaTermodinámicaElectromagnetismo
Física
Clásica
Moderna
Físicanuclear
FísicaatómicaFísicadelplasmaFísicadelaspartículaselementales
Físicadelestadosólido
FísicarelativistaMecánicacuántica
Te recomendamos realizar una investigación sobrequéestudiacadaunadeestasramasdelafísica.
El impacto de la física en la tecnología
Desdeloscomienzosdelahumanidad,elhombreenfrentólanecesidaddeexplicarlosfenómenosnaturalesparame-jorarsuscondicionesdevida.
Lafísicaseiniciaenciertashabilidadesqueloshom-bres primitivos desarrollaron como resultado de sus es-fuerzospordominar lanaturaleza y establecer orden ensuvidasocial.Loshombresteníanqueconstruirviviendas,cazar,pescar,navegar, labrar la tierraycurarenfermeda-des.Todasestasactividadesrequeríanciertoconocimientodelosmaterialesconlosquediseñabansusinstrumentos,delacomprensióndelaperiodicidaddelasestacionesdelaño,delacapacidadparapronosticarelmaltiempo,entreotrosconocimientosmás.
Enlaactualidad, lascosasnohancambiadomucho.Lasnecesidadesdelhombreaúnsonelmotorqueimpulsaelestudioydesarrollodelafísica.
Lafinalidadsocialdelacienciaconsisteenfacilitarlavidayeltrabajodelaspersonas,asícomoelevarelpoderdelhombresobrelasfuerzasdelanaturaleza.Esteobjetivoselograalestablecerlosfundamentosteóricosnecesariosparadesarrollarlatecnología; se entiendeporéstalaapli-cacióndelosconocimientoscientíficos.
Latecnologíaesresultadodelaaplicacióndelaciencia.
Latecnologíaqueresultadelaaplicacióndelafísicaconvierteaestacienciaenunafuerzaproductiva;porejem-plo,elhombrepuedesustituir losmétodosmecánicosdeelaboracióndeciertosproductosporotrosprocesoseléc-tricosyquímicos.Tambiénesposiblereducireltiempodefabricacióndepiezasmetálicas,perfeccionareltransporte,aumentarlaproductividaddelaagricultura,laganaderíaylapesca.
Graciasalaaplicacióndelasleyesdelafísicasehanpodidoconstruirpuentes,carreteras,automóviles,aviones,radios,televisores,computadoras,transbordadores,satéli-tesymilinstrumentostecnológicosmás.
Enlassiguientesimágenespuedesobservarlosinven-tos tecnológicosquesonresultadode laaplicaciónde lafísica.
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Tema 1 Introducción a la física 9
Figura 1.6 Ejemplos de las aplicaciones de la física en la vida cotidiana.
ActividAdEs dE AprEndizAjE
1. Integraunequipodetrabajocontrescompañerosdeclase e investiga lasprincipales aportaciones aldesa-rrollodelafísicadelossiguientescientíficos.
Galileo Isaac Newton
Kepler Albert Einstein
2. Escribeunabrevehistoria sobre la vidadealgunodeestospersonajesypreséntalaalrestodetuscompañeros.
3. Elaboraunperiódicomuralconrecortesdeperiódico,revistasodibujosconcuandomenoscincoinventosyunabreve semblanzade sus inventores; por ejemplo,la bombilla eléctrica, mejor conocida como foco, alladodesuinventorTomásAlva Edison.Organiza,deacuerdocontuprofesor,unconcursoenclaseypresen-tatupropuestaalrestodetus compañeros.
4. Preparaunlistadodelosartículosqueseencuentrenentucasaocomunidad,dondeseobservelaaplicacióndelacienciaylatecnologíacomogeneradordebienestarparalasociedad.
5. Elabora un reporte sobre el avance científico en loscambiosambientalesdetucomunidadyespecificaquéimpactohatenido.
6. Elaboraunresumenosíntesisdelalecturadelaparta-do“Elmétodocientífico”.
7. Leeelsiguientetexto:
Día munDial forestal
Origen de la conmemoración En1971,losEstadosmiembrosdelaOrganizacióndelasNacionesUnidasparalaAgriculturaylaAlimentación(fao)eligieronel21demarzoparaconmemorarelDíaMundialFo-restal.Estafechacoincideconelprimerdíadeotoñoenelhemisferiosuryelprimerdíadeprimaveraenelhemisferionorte;secelebróporprimeravezen1974.
La importancia de recordar este día nos invita areflexionarenlapresentesituaciónambientalqueviveelplanetaTierra,enelsentidodeconcientizaralahuma-nidadsobre lanecesidaddecambiaraquellasaccionesque van en contra de resguardar este recurso natural,
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10 Física I
parteesencialparalasubsistenciadetodoservivo,asícomo fomentar una cultura de conservación y mejoraprovechamientodelossuelosforestales.
2011, Año internacional de los bosques Duranteesteañoselediomayoraugeenelámbitoglobalalasacti-vidadesafavordelmedioambiente,yaquelaAsambleaGeneral de la Organización de las Naciones Unidas(onu)declaróal2011comoelAñoInternacionaldelosBosques(aib2011).Suprincipalobjetivoesaumentarlaparticipaciónpúblicaen lasactividadesdedivulgaciónforestalatravésdelosdiversoseventosqueserealiza-ríanencasitodoelmundo.
El logotipodelalb2011muestra lanecesidaddeconsiderar losecosistemasforestalescomountodo,yaquebrindancobijoalaspersonasyhábitatalabiodi-versidad;sonunafuentevastadealimentos,productosmedicinalesyagua,ydesempeñanunafunciónvitalenlaestabilidadclimáticadelmundo.
LarepresentacióndeMéxicoantelaonuparaloseventosdelAñoInternacionaldelosBosques2011fuelaComisiónNacionalForestal(Conafor),atravésdelaCoordinacióndeEducación,DesarrolloTecnológicoyCulturaForestal.
Ensuma,losbosquesconstituyenunrecursonaturalquedebendefendertodoslossereshumanos,yaquedeesodependequelahumanidadsigacontandoconagua,alimentación,airelimpiomediantelamitigacióndelasemisionesdegasesdeefectoinvernadero,liberacióndeoxígeno,conservaciónde70%delabiodiversidad,queseprotejalatierra,losrecursoshídricos,labellezaescénica,sereguleelclima,semitiguenlosimpactosrelacionadosconciertosfenómenonaturales,entreotros.
Eltérminoreforestar serefierearepoblarunasu-perficiedondeantesexistíanoestánpordesaparecerlosbosquesyselvas.Apenasen2009,nuestropaíscontabi-lizó176906hareforestadas;sobresalíanlosestadosdeCoahuilayZacatecas,queregistraron20991y18776hectáreas,respectivamente.Aunqueesdesalentadoralacifra respectoa2008,que tuvo327046hectáreas, losdesafíosdereforestaciónaúnsonprioritarios.
Ladeforestaciónconsisteenelcambiodeunacu-biertavegetaldominadaporárbolesaotraquecarecedeellos.Sinembargo,estetemahageneradocontroversiarespecto a las estimaciones, debido principalmente alempleodecriteriosymétodosdistintos.Entre1988y2005,lasestimacionesdelatasadedeforestaciónenelpaíshanosciladoentre316000y800000hectáreasdebosquesyselvasporaño.Enelcontextomundial,Méxi-cofue,enelperiodo1990-2000,elúnicopaísmiembrodelaOrganizaciónparalaCooperaciónyelDesarrolloEconómicos(ocde)queperdióunapartedesusuperfi-cieforestal;enLatinoaméricafueunodelospaísesconlamayortasa,tansólopordebajodeBrasil,CostaRica,GuatemalayElSalvador.
Las causas principales de la deforestación son latala inmoderadapara extraer lamadera, liberar tierrasparalaagriculturaylaganaderíaenmayoresextensio-nes,losincendios,laconstruccióndemásespaciosur-banosyrurales,asícomolasplagasyenfermedadesdelosárboles.
Debidoaloanterior,lasconsecuenciasquedebere-mosafrontarsonlaerosióndelsueloydesestabilizacióndelascapasfreáticas,loqueasuvezprovocalasinun-dacionesosequías,alteracionesclimáticas,reduccióndelabiodiversidad(delasdiferentesespeciesdeplantasyanimales)yelcalentamientoglobaldelplaneta(porquealdeforestarloslosbosquesnopuedeneliminarelexce-sodedióxidodecarbonoenlaatmósfera).
Actualmente, el área de bosquemexicano aporta64.8millonesdeha(0.5%)alasuperficiemundial;deellas,3.2millonesesbosqueplantado.Sinembargo,enlosúltimos20añosMéxicoharegistradounapérdidade17%deestaextensiónboscosa,porloqueesurgenteprotegerestosimportantesecosistemaspormediodeunmanejosustentable,queconsidereelaprovechamientoracionaldetodoslosrecursosnaturalessindejardeladotodoslosbeneficiosmaderablesyalimenticiosquebrin-dananuestropaís.
Años Superficie reforestada en la República Mexicana (hectáreas)
2000 240,943
2001 164,823
2002 224,772
2003 186,715
2004 195,819
2005 182,674
2006 212,675
2007 295,110
2008 327,046
2009 176,906
Fuente: Semarnat.sniarn.Basededatos.ConsultatemáticaRecursosforestales,2010(sólosetomaronlosdatosNaciona-les).InstitutoNacionaldeEstadísticayGeografía.
• Realizaunlistadodelosfenómenosfísicosrelacio-nadoscon fenómenosecológicoso recursosnaturales entu localidad, regióno comunidaden los cuales sehaganinvestigacionesactualmente.
• Realizaunproyectode investigaciónacercadeunaproblemáticaambientaldeturegiónocomunidad.
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Tema 1 Introducción a la física 11
1. Tipodeconocimientoqueexplicalasrelacionesgenera-les,necesariasyconstantesdeloshechosofenómenosqueocurrenenelUniverso.a) conocimientoempíricob) conocimientocientífico
2. Clasedeconocimientosqueselimitan,porlogeneral,alaconstanciasuperficialdeloshechosyacómosedesarro-llansinresponderporquéserealizandeciertamanera.a) conocimientocotidianob) conocimientocientífico
3. Característicadelconocimientocientíficoqueconsisteenconoceralgoporanticipado:a) tecnologíab) hipótesisc ) predicciónd ) ley
4. Expresión que afirma en forma cualitativa o cuantitativaunarelaciónconstanteynecesariaentredosomásvariables:a) teoríab) hipótesisc ) leyd ) método
5. Conjuntodeleyessistematizadasyrelacionadasentresí:a) teoríab) hipótesisc ) leyd ) métodocientífico
6. Estodalarealidadobjetivaquenosrodea.Suformadeexistireselconstantemovimiento:a) inerciab) masac ) volumend ) materia
7. Conjunto sistematizado y ordenado de conocimientosqueexplicaobjetivayracionalmentelosprocesosqueocu-rrenenelUniverso:a) religiónb) cienciac ) filosofíad ) investigacióncientífica
8. Actividadsocialdelhombreencaminadaa laobtencióndeconocimientoscientíficos:a) cienciab) investigacióncientíficac ) métodocientíficod ) tecnología
9. Todaslassiguientesafirmacionessonverdaderasexcepto:a) Elinstrumentodelainvestigacióncientíficaeselmé-
todocientífico.b) Elmétodocientíficoimponeunordenenlainvesti-
gación.c ) Elmétodocientíficoesinfalible.d ) Elmétodocientíficoplanealasactividadesylospro-
cedimientosutilizadosenlainvestigación.e ) Elmétodocientíficolepermitealinvestigadorno
improvisaryevitaquelleguearesultadosconfusos.
10. Conjeturaosupuestasoluciónaunproblemacientíficoplanteado:a) leyb) teoríac ) hipótesisd ) postulado
11. Procedimientosempleadosenelmétodocientíficoparacomprobarunahipótesis:a) lademostraciónformalb) laobservaciónc ) laexperimentaciónd ) todassoncorrectas
12. Procedimientoempíricoqueconsisteenfijarlaatenciónenunhechoofenómenoparapercibirlopormediodenuestrossentidosconelfindeobtenerinformaciónacer-cadesucomportamiento:a) experimentaciónb) observaciónc ) deducciónd ) inducción
13. Procedimientoempíricoqueconsisteenproducirartifi-cialmenteunhechoofenómenomediantelarecreaciónde lascondicionesparaquesurjaomodifiquesucom-portamiento:a) observaciónb) experimentaciónc ) deducciónd ) inducción
14. Consisteen inferirunaproposicióngeneralapartirdevariasproposicionesdecasosparticulares:a) deducciónb) analogíac ) análisisd ) inducción
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12 Física I
15. Consisteeninferirunasoluciónparticularapartirdeconocimientosgenerales:a) deducciónb) analogíac ) análisisd ) inducción
16. Consisteeninferirrelacionesoconsecuenciassemejan-tesenfenómenosparecidos:a) deducciónb) analogíac ) análisisd ) inducción
17. Cienciasqueestudianlorelacionadoconideas:a) cienciasformalesb) cienciasfactuales
18. Cienciasqueestudianlorelacionadoconhechos:a) cienciasformalesb) cienciasfactuales
19. Cienciaqueestudia lamateria, la energía y la relaciónentreambas:a) biologíab) geografíac ) físicad ) química
20. Rama de la física cuyos conocimientos se obtuvieronhastafinalesdelsigloxix ysonacercadelmovimientodelaluz, elcalor,elsonidoylosfenómenoselectromag-néticos:a) físicaclásicab) físicaaristotélicac ) físicacuánticad ) físicamoderna
21. Dosramasdelafísicaclásicason:a) electromagnetismoyfísicacuánticab) cuánticayacústicac ) relatividadycinemáticad ) mecánicayóptica
22. Ramadelafísicacuyodesarrolloempezóaprincipiosdelsigloxx, susestudiossevinculanconlosfenómenosrela-cionadosconlaspartículaselementalesyelmovimientodepartículasavelocidadescomparablesaladelaluz:a) físicaaristotélicab) físicaclásicac ) físicamodernad ) físicamolecular
23. Sonramasdelafísicamoderna:a) termodinámicaymecánicab) electromagnetismoymecánicac ) relatividadyfísicacuánticad ) acústicayóptica
24. Esresultadodelaaplicacióndelaciencia:a) filosofíab) religiónc ) tecnología
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La medición
La necesidad de usar
unidades patrón o
estándar en la medición
Sistema cegesimal, cgs
Sistema internacional
de medidas, si
Prefijos del si
Cantidades físicas
fundamentales y derivadas
Otras unidades útiles
Sistema británico
gravitacional o sistema
inglés
Conversión de unidades
Notación científica
Operaciones en notación
científica
Teoría de la medición
La incertidumbre en el
proceso de medición
Errores en la medición
Precisión y exactitud de
una medida
Incertidumbre o error
absoluto
Error relativo y exactitud
Cifras significativas
Magnitudes físicas
y su mediciónTema 2
La mediciónLametaprincipaldelafísicaesdescubrirlasleyesgenera-lesdelanaturalezayexpresarlasdemaneraracionalyob-jetiva;cumpleestamisiónutilizandoelmétodocientíficoexperimental,elcualsebasaenlaobservacióndelosfenó-menosyenlarealizacióndeexperimentosqueimplicanlamedicióndecantidadesfísicas.
Llamamoscantidad física atodo aquelloquesepue-demedir.Porejemplo,lalongitud,lamasa,eltiempo,elvolumen,elárea,etcétera.
Almedirenrealidadcomparamoslamagnitud(tama-ño)delacantidadfísicaconunpatrónuniversalacepta-docomounidad de medida. Estepatrónpuedeapareceren cintasmétricas, relojes, balanzas o termómetros.Di-chacomparaciónconsisteencontarcuántasunidadesdemedidacabenenlamagnituddelacantidadfísicaquesemide.Porejemplo, si lamasadeunniñoesde20kilo-gramos,significaquesumasaes20vecesmayorque1ki-logramo.Esimportantequeelpatrónseleccionadocomounidaddemedida sea de lamisma clase del objeto quevaamedirse.Unaunidadde longitud,ya seametro,pieocentímetro,seutilizaráparadistancias,yunaunidaddemasa,comopodríaserelkilogramooelgramo,paramedirlamasadeuncuerpo.
Atodoaquelloutilizadocomopatrónparamedirselellamaunidad física.
El términomagnitud lousamosparareferirnosa lamedidadeunacantidadfísicaysedeterminamedianteunnúmeroyunaunidadfísica.Porejemplo,8kilogramos,15metros,25pieso20minutos.
La necesidad de usar unidades patrón o estándar en la mediciónLanecesidaddeestablecerunidadespatróndemedidalapodemos ilustrar con el siguiente ejemplo: supongamosquerequerimosmedirelanchodeunsalónconcualquierobjetoalalcancedelamano.
Consideremosqueseobtuvieronlassiguientesmedidas:
Unidad de medida Magnitud
Libro 20libros
Pluma 37plumas
Lápiz 40lápices
Borrador 35borradores
¿Podemosvisualizarelanchodelsalónmediantecual-quieradelasunidadesutilizadasenestamedición?Comohaylibrosdemuchostamaños,unanchode20librosnotienesentidocomoexpresióndemedida,lomismopode-mosdecirdelasotrasunidadesdemedidaaplicadas.
Apartirdeestasituaciónpodemosdecirquesene-cesita alguna unidad patrón o estándar para tener una
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14 Física I
interpretaciónuniformedelasmedidasdelascantidadesfísicas.
Enlaantigüedad,cadacivilizaciónestablecíasuspa-tronesdemedida.Sinembargo,elcomercioyeldesarrollodelacienciacrearonlanecesidaddellegaraunaestanda-rizacióndelasmedidasdelongitud,masa,tiempoyvolu-men.En1795 se llevóacabo laconvenciónmundialdecienciaenParísycomoresultadoseestablecióelsistemadeunidadesdenominadosistema métrico decimal.
Lasunidadesfundamentalesdelsistemamétricode-cimalson:
Delongitud,elmetro.Demasa,elkilogramo.Detiempo,elsegundo.
Porestarazón, tambiénse ledenominasistemadeunidadesmks.
El metro se definió como la diezmillonésima parte1
107 de la distancia delPoloNorte alEcuador,medidoalolargodelmeridianoquepasaporParís.
Figura 1.7 Punto de referencia para medir el metro.
017 m
París
Polo Norte
Ecuador
Estalongitudsemarcósobreunabarradeplatinoeiridiohaciendodosranurassobreellas.Ladistanciaentreestasranuras,cuandolatemperaturadela barraesde0°C,esdeunmetro.
Elkilogramosedefinióapartirdeunvolumenespe-cífico:eldeuncubode0.1metrosporlado,llenodeaguapuraa4°C.
1.0 Litro
0.10 m
0.10
m
0.10 m
1.00 dm 3
Figura 1.8 Defi nición de un kilogramo a partir de un volumen específi co.
Comounidaddetiempo,elsegundosedefiniócomo 186400
deundeundíasolarpromedio(1díasolar=24horas=1440minutos=86 400segundos).Eldíasolarmedioesellargopromediodeundíaenunaño.
Laventajamás sobresalientedel sistemamétricode-cimalesqueunidadesdediferentestamañospuedenrela-cionarsepormúltiplosysubmúltiplosde10; esdecir,conprefijos indicapotenciasdediezparadenominardistintasunidades.Porejemplo,undécimodeunmetroesundecíme-tro; uncentésimodemetro,uncentímetro, yunmilésimodeunmetro,unmilímetro. Asimismo,diezmetrosesundecá-metro;cienmetros,unhectómetro, ymilmetros,unkilómetro.
Sistema cegesimal, CGs
En1881 secelebróenParíselcongresointernacionaldeelectricistas;ahíseaceptóelsistemacegesimal,ocgs–quepropusoelfisicomatemáticoKarlFriedrichGauss–,cuyasunidadesfundamentalessonelcentímetropara la longi-tud, elgramopara lamasay el segundoparael tiempo.Lasinicialesdeestasunidadesdan origenalnombredelsistema:cgs ocegesimal.
Figura 1.9 Karl Friedrich Gauss propuso en 1881 el sistema ce-gesimal.
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Tema 2 Magnitudes físicas y su medición 15
Lasunidadesfundamentalesdelsistemacgsson:
Cantidad física Unidad básica Símbolo
Longitud Centímetro cm
Masa Gramo g
Tiempo Segundo s
Sistema internacional de unidades, siEn1960, la comunidad científica internacional estanda-rizó unaversiónmodernadelsistemamétricodecimal:elsistemainternacionaldeunidadesosi,elcualseaplicaríaparamedirtodaslas cantidadesfísicas.
Elsisebasaensietecantidadesfísicasfundamentales.Observalasiguientetabla.
Tabla 1.1 Unidades fundamentales del si
Cantidad Unidad Símbolo de la unidad
Longitud Metro m
Masa Kilogramo kg
Tiempo Segundo s
Temperatura Kelvin K
Cantidaddesustancia Mol mol
Corrienteeléctrica Ampere A
Intensidaddeluminosidad Candela cd
Latabla1.2muestraladefinicióncientíficadelasuni-dadesfundamentalesdelsi.Éstascontienenunaseriedetérminosquetepuedenparecerconfusos,peroconformeavancesenelestudiodelafísicalosiráscomprendiendo.
Prefijos del siCuandoexpresamosunacantidadfísica,porejemplo100metros, comparamos la distancia con la longitud de unmetro.Una longitud de cienmetros significa que dichalongitud es cien vecesmayor que la de unmetro.Aun-quesepuedeexpresarcualquiercantidadentérminosdelaunidadfundamental,avecesnoresultamuyconveniente.Porejemplo,sidecimosqueladistanciaentredosciudadesesde960000metros,esobvioqueestereferentedemedi-danoeselmásadecuadoparadescribirunadistanciatan
grande,por loqueresultamásacertadousarunaunidadde longitudmayor,comoelkilómetro,elcualequivalea1000metros.Así, tenemosque ladistancia entredichasciudadesesde960kilómetros.
Almedircantidades,pequeñasograndes,susunida-desseexpresanagregandounprefijoalaunidadestándarofundamental.Porejemplo,elprefijomili designaunamilé-simapartedelalongituddeunmetro,esdecir,1milímetro=0.001metros.
Tabla 1.2 Definiciones de las unidades fundamentales del si
Delongitud,elmetro.Demasa,elkilogramo.Detiempo,elsegundo.Porestarazón, tambiénse ledenominasistema
deunidadesmks.
• Un metro es la distancia que viaja la luz en elvacíoen 1
29 979 458 deunsegundo.
• Un kilogramo se define como la masa de uncilindro prototipo de una aleación de iridio platinoqueseconservaenlaOficinaInternacionaldePesosyMedidas.
• Unsegundoesiguala9192631770periodosdelaoscilaciónelectromagnéticanaturaldurantelatran-siciónalestadoraso s2
12
decesio-133.
• UnKelvines 1273.16
delatemperaturatermodiná-micadelpuntotripledelagua,queesaquellaenquedadasciertascondicionesdepresión,elaguacoexistesimultáneamente en equilibrio como sólido, líquidoygas.
• Un ampere es la corriente constante que, si semantieneendosconductoresparalelosrectosdeunalongitudinfinitayáreatransversalinsignificanteyco-locadosenelvacíoaunadistanciade1metro,pro-ducirá sobrecadaconductoruna fuerzade2×10−7newtonspormetrodelongitud.
• Lacandela es la intensidad luminosa, en ladi-rección 1
600000m2
m2deuncuerponegro,alatemperatura
decongelacióndelplatinoqueesde2045Kyaunapresiónde101325pascales.
• Unmol es lacantidaddesustanciaquecontie-netantasentidadeselementalescomohayátomosen0.012kilogramosdecarbono-12.
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16 Física I
Laexcepciónalareglaseaplicaenlasmedicionesdemasa,endondelaunidadfundamental,kg,yatieneprefi-jo.Unaunidaddemasadediferentemagnitudseexpresaremplazandoelprefijodelaunidaddegramo.Deestama-nera,uncentigramo,cg,representaunaunidadquetienelacentésimapartedelamasadeungramo.
Enlatabla1.3semuestranlosprefijosdemayorusoenelsi.
Cantidades físicas fundamentales y derivadasComoloexplicamosenpárrafosanteriores,lascantidadesfísicas fundamentales del si son longitud,masa, tiempo,temperatura, cantidad de sustancia, corriente eléctrica eintensidad de luminosidad. Se les llama fundamentalesporquenosedefinenenfuncióndeotras.
Partiendode las cantidades físicas fundamentales sepuedendefinirotrascomoárea,volumen,densidadyve-locidad.Aestetipodecantidadesfísicasselesdenominacantidades físicas derivadas porque resultandediversascombinaciones de las cantidades físicas fundamentales.Porejemplo,launidaddeáreaseobtienealmultiplicardosunidadesdelongitud;deestemodo,dadoquelaunidaddelongitud del si es elmetro, entonces la unidad derivadadeáreadelsi eselmetrocuadrado(m2).Delmismomodo,launidaddevolumensederivadelproductodetresuni-
Tabla 1.3 Prefijos de mayor uso en el si
Mayores que 1
Prefijo Símbolo Significado Valor numérico Expresión en notación científica
Giga G Milmillones 1000000000 1×109
Mega M Millón 1000000 1×106
Kilo K Mil 1000 1×103
Hecto h Cien 100 1×102
Deca Da Diez 10 1×10
Menores que 1
Prefijo Símbolo Significado Valor numérico Expresión en notación científica
Deci d Décimo 0.1 1× 10-1
Centi c Centésimo 0.01 1× 10-2
Mili m Milésimo 0.001 1× 10-3
Micro u Millonésimo 0.000001 1× 10-6
Nano n Billonésimo 0.000000001 1× 10-9
Pico p Trillonésimo 0.000000000001 1× 10-12
dadesdelongitud;porconsiguiente,launidadderivadadevolumendelsieselmetrocúbico(m3).
Enfísica, la rapidezcon laqueuncuerposemuevesedefinecomolarazóndeladistanciaquerecorreenunintervalodetiempo;porconsiguiente,launidadderivadaderapidezenelsieselmetrosobresegundo,m/s.
La tabla1.4muestraalgunascantidadesfísicasderiva-dasysuunidadcorrespondienteenelsi.
Tabla 1.4 Unidades derivadas del si
Cantidad Unidad Símbolo de la unidad
Área Metrocuadrado m2
Volumen Metrocúbico m3
Densidaddelamasa
Kilogramopormetrocúbico kg/m3
Energía Joule JCalordefusión Jouleporkilogramo J/kgCalordeevaporación
Jouleporkilogramo J/kg
Calorespecífico Jouleporkilogramo-kelvin J/kg·K
Presión Pascal PaPotencialeléctrico
Volt V
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Tema 2 Magnitudes físicas y su medición 17
Otras unidades útilesApesardequeelsistemamétricodecimalesunprecursordelsi,algunascantidadesfísicasderivadasdeaquéltienenunidadesdiferentesalasdeéste.
Dadoqueestas unidadessonmuycomunesytodavíaestánenuso,latabla1.5presentaalgunasdeellasparatureferencia.
Tabla 1.5 Unidades métricas
Cantidad física Unidad básica SímboloVolumen Litro(0.001m3) LTemperatura GradoCelsius °C
Calorespecífico Jouleporkilogramo-gradoCelsius J/kg·°C
Presión Milímetrodemercurio mmHg
Energía Caloría Cal
Sistema británico gravitacional o sistema inglésEl sistema inglés es un sistema técnico gravitacional, yaqueconsideraelpesocomounacantidadfísicafundamen-talylamasacomounacantidadfísicaderivada.
A reservadequeelconceptopesoloanalizaremosmásadelante,podemosdecirqueeslafuerzadeatracciónqueejercelamasadelaTierrasobrelamasadeuncuerpo.
Las unidades fundamentales del sistema inglés semuestranenlatabla1.6.
Tabla 1.6 Unidades fundamentales del sistema inglés
Cantidad física Unidad fundamentalLongitud Pie
Peso LibraTiempo segundo
Elpesodeunalibraequivalea454g;porlotanto,seestablecelaigualdad1 kg=2.2lb.
DadoqueenEstadosUnidostodavíaseutilizaelsis-temainglés,lasiguientetablapresentaalgunasequivalen-ciasentrelasunidadesfísicas.
1pie=12pulgadas1yarda=3pies
=36pulgadas1pie=30.48cm1pulgada=2.54cm1yarda=0.914m
1milla=1.609km1kg =2.2lb1libra=454g1galón=3.785litros1slug=32libras1libra=16onzas
Conversión de unidadesEnlasolucióndeproblemasdefísica,confrecuencialasmagnitudesde las cantidades físicas estánexpresadas endiferentesunidadesfísicas.
Porejemplo,sienunproblemalamasadeunobjetoestá expresada engramosy laqueremos sumar conotraenunciada en kilogramos, efectuar la operación requiereque ambasmagnitudes esténmanifestadas en gramos okilogramos.
Matemáticamentesenecesitaefectuarloquesellamaconversión de unidades. Para realizar esta operación seaplicaeldenominadométododel factorunitario,elcualexplicaremosconlossiguientesejemplos:
Ejemplo 1.1 Lalongituddeunaplumaesde15.6cm.Expresadichamagnitudenmetros.
SoluciónLarelaciónnuméricaentreunmetroyuncentímetroes1m=100cmytenemoslassiguientesrazones:
= =100 cm
1 m1 m
100 cm1
Paraexpresar15.6cmcomounamedidaenme-tros,debesmultiplicar15.6cmporlarazónquecan-celalaunidaddecm;es decir,lamultiplicaspor 1 m
100 cm.
Así:(15.6cm)(1)=15.6cm
(15.6 cm ) 1 m100 cm
= 15.6 cm
15.6 m100
= 15.6 cm
0.156 m = 15.6 cm
15.6cm=0.156m
Observaqueelmétododelfactorunitarionoalteralamagnituddelacantidadfísicaporquesemultiplicaporunfactorqueesigualauno.
Elfactorunitarioporelquesemultiplicaunamag-nitud físicapara efectuaruna conversióndeunidades sedebeseleccionardemaneraquesilaunidadquesequierecancelarseencuentraenelnumerador,esnecesarioelegirelfactorunitarioquela tieneeneldenominador.
Demanerainversa,silaunidadquesebuscacancelarestáeneldenominador,seseleccionaelfactorunitarioquelatieneenelnumerador.Veamosotrosejemplos.
Ejemplo 1.2 Eláreadeuncarteldepublicidadesde800cm2.Expresaestamagnitudenm2.
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18 Física I
Solución1m=100cm
(1m)2=(100cm)2
1m2=10000cm2
Apliquemosacontinuaciónelmétododelfactorunitario:
1 m10 000 cm
10 000 cm1 m
1
800 cm 1 800 cm
2
2
2
2
2 2( )
= =
=
Launidadquequeremoseliminarescm2;enton-cesseleccionamoselfactorunitario 1 m
10 000 cm
2
2paraob-tener:
800 cm2 1 m2
10 000 cm2= 800 cm2
80010 000
m2 = 800 cm2
0.08 m2 = 800 cm2
0.08m2=800cm2
Ejemplo 1.3 Lavelocidadpromediodeunauto-móvilesde90km/h.Expresadichamagnitudenm/s.
SoluciónEn este caso es preciso efectuar dos conversiones deunidades:dekilómetrosametrosydehorasasegundos: 1km=1000m 1h=3600s
= =1 km
1000 m1000 m1 km
1
= =1 h
3600 s3600 s
1 h1
Recuerdaque1 hora=60minutos=60(60)se-gundos=3600segundos.
Dadoquenecesitamoscancelar launidaddeki-lómetros,seleccionamoselfactorunitario1000 m
1 kmytam-
biéndebemoscancelarlaunidad dehoras,elegimoselfactorunitario = =
1 h3600 s
3600 s1 h
1.
Luego:
90 kmh= 90 km
h1000 m1 km
1 h3600 s
=90(1000 m)
3600 s
= 25 ms
90 kmh= 25 m
s
ActividAdEs dE AprEndizAjE
I. Indagalasequivalenciasdelassiguientesunidadesfísicas.
1. 1 kilómetro = m(metros)2. 1metro = cm(centímetros)3. 1metro = mm(milímetros)4. 1milla = km(kilómetros)5. 1pulgada = cm(centímetros)6. 1pie = cm(centímetros)7. 1pie = in(pulgadas)8. 1milla = m(metros)9. 1yarda = cm(centímetros)
10. 1yarda = m(metros)11. 1yarda = ft(pies)12. 1kilogramo = g(gramos)13. 1kilogramo = libras(1b)14. 1libra = gramos(g)15. 1onza = gramos(g)16. 1tonelada = kilogramos(kg)17. 1libra = onzas(oz)18. 1tonelada = libras(lb)19. 1minuto = segundos(s)20. 1hora = minutos(min)21. 1hora = segundos(s)22. 1día = horas(h)
II. Realizalassiguientesconversionesdeunidades.
1. 8kilómetroametros 2. 5.4metrosacentímetros 3. 1250milímetrosametros
LibertadDigital (2015)
Tema 2 Magnitudes físicas y su medición 19
4. 1.6kilogramosagramos 5. 8600gramosakilogramos 6. 4horasaminutos
7. 36librasakilogramos 8. 90kilómetrosametros 9. 3horasaminutos
10. 1horaasegundos 11. 12minutosasegundos 12. 10kilogramosalibras
13. 14000gramosakilogramos 14. 7299segundosahoras 15. 360centímetrosametros
16. 285piesametros 17. 48metrosapies 18. 40pulgadasacentímetros
LibertadDigital (2015)
20 Física I
19. 72km/ham/s 20. 40m/sakm/h 21. 8pulgadasacentímetros
22. MarcaconunaXeltipodemagnitud(fundamentaloderivada)quecorrespondalacantidadfísicaqueseteindica.
Cantidad física Magnitud fundamental Magnitud derivadaLavelocidaddeunautomóvil
Unlitrodeleche
Ladistanciaquecaminas
Eláreadelpisodetucasa
Latemperaturacorporal
Eldesplazamientodetucasaalaescuela
Elvolumendeunapiedra
Eltiempoquetardasenrecorrer100metros
23. Lasiguientetablacontienealgunasmagnitudesfundamentalesyderivadas,complétalacolocandolasunidadesdeme-didascorrespondientesacadacuadro.
Magnitud si cgs Inglés
Longitud
Masa
Tiempo
Área
Energía
Densidaddelamasa
24. Construyelasiguientetabladeequivalenciasrelativasdeunidadesalatransformacióndeunsistemaaotro.
Longitud
cm m km pulg pie milla
CentímetroMetro
Kilómetro
Pulgada
Pie
Milla
LibertadDigital (2015)
Tema 2 Magnitudes físicas y su medición 21
Masa
g kg Slug libra onza
GramoKilogramo
Slug
Libra
Onza
Tiempo
seg min h día año
Segundo
Minuto
Hora
Día
Año
25. Completalasiguientetablainvestigandolostiposdeinstrumentosdemediciónmásutilizadosentucomunidad,regiónolocalidad.
Instrumento Función Unidad de medida
Notación científicaLanotacióncientíficaconsisteenexpresarnúmerosmuygrandesomuypequeñosconlaayudadelaspotenciasdebase10.
Cuandounnúmeroseescribeennotacióncientíficaaparececomounnúmeromayoroigualque1,peromenorque10multiplicadoporalgunapotenciadebase10.Porejemplo:
• 4.6×105
• 3.9×10−5
• 107
Acontinuaciónanalizaremoslospasosquedebesse-guirparaexpresarunnúmeroennotacióncientífica.
• Caso 1. El número dado es mayor que 1Eneste caso,elpuntodecimalse recorrealaizquierdayseescribealaderechadelprimerdígitodiferentedecero;despuéssemultiplicaporunapotenciadebase10conexponenteigualalnúmerodelugaresquesemovióelpuntodecimal.
Escribelossiguientesnúmerosennotacióncientífica:
a) 41800000=4.18×107
b) 345800=3.45×105
c) 64800000000=6.48×1010
• Caso 2. El número dado es menor que 1Enestecaso,elpuntodecimalserecorrealaderechayseescribeacontinuacióndelprimerdígitodiferentedecero;despuéssemultiplicaelnúmeroobtenidoporuna
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22 Física I
potenciadebase10conexponenteigualalnúmerodelugaresquesemovióelpuntodecimal,peroconsignonegativo.
Escribelossiguientesnúmerosennotacióncientífica.a) 0.000057=5.7×10−5
b) 0.0078=7.8×01−3
c) 0.0000000065=6.5×10−9
d) 0.42581=4.22581×10−1
e) 2.23Enestecasonosehacenadaporquedichonú-meroestáescritoennotacióncientífica.
Operaciones en notación científica
MultiplicaciónSupongamos que se requiere multiplicar los númerosM× 10m yN× 10n.PrimeromultiplicamosM porN yluegolaspotenciasdebase10deacuerdoconlasiguienteleydelosexponentes.
xm•xn=xm+n
Enestecasoparticular:10m • 10n = 10m+n
Ejemplo 1.4 Realiza las siguientesmultiplicacio-nesennotacióncientífica.360000×40000000
SoluciónPrimeroexpresamoslosnúmerosennotacióncientífica:360000=3.6×105
40000000=4×107
(3.6×105)(4×107)=14.4×1012
=1.44×1012+1
=1.44×1013
Ejemplo 1.5 0.00000009×5000
Solución0.00000009=9×10−8
5000=5×103
(9×10−8)(5×103)=45×10−8+3
=45×10−5=4.5×10−5+1
=4.5×10−4
Ejemplo 1.6 0.00092×0.004
Solución0.00092=9.2×10−4
0.004=4×10−3
(9.2×10−4)(4×10−3)=36.8×10−4+(−3)
=36.8×10−4−3
=36.8×10−7
=3.68×10−7+1
=3.68×10−6
DivisiónParadividirM×10m entreN×10n,primeronecesitamosdividirMentreNydespués,deacuerdoconlasleyesdelosexponentes,tenemos:
1010
10m
nm n= −
Ejemplo 1.7 Realiza las siguientes divisiones ennotacióncientífica.82 000 000
4000
Solución82000000=8.2×107
4000=4×103
×
×
8.2 104 10
7
3=2.05×107−3
=2.05×104
Ejemplo 1.8 ×
×
1.2 106 10
5
9
Solución×
×=
×
×
1.2 106 10
12 106 10
5
9
4
9
=2×10−5
Ejemplo 1.9 ×
× −
1.4 107 10
6
2
Solución
×
×=
×
×− −
1.4 107 10
14 107 10
6
2
5
2
=2×105−(−2)
=2×105+2
=2×107
Ejemplo 1.10 ×
×
−9 103 10
6
4
Solución=3×10-6-4
=3×10-10
LibertadDigital (2015)
Tema 2 Magnitudes físicas y su medición 23
Suma y restaParasumarorestarcantidadesennotacióncientífica,laspotenciasde10 debenseriguales.Veamosunosejemplos.
Ejemplo 1.11 Realizalasiguientesumaennota-cióncientífica.6.2×105+2.0×105
SoluciónAlextraer105comofactorcomúnresulta:
105(6.2+2.0)=8.2×105
Ejemplo 1.12 Realizalasiguienteresta.7×109−2×108
SoluciónPrimeroexpresamoselnúmero7×109comounapo-tenciade10conexponente8,obien,elnúmero2×108comounapotenciade10conexponente9.
Primera situación Segunda situación7×109=70×108 2×108=0.2×109
70×108−2×108
=108(70−2)7×109−0.2×109
=109(7−0.2)=68×108
=6.8×109=6.8×109
ActividAdEs dE AprEndizAjE
I. Expresalascantidadesfísicasqueseindicanennotacióncientífica.
1. LadistanciapromediodelaTierraal Solesde93000000millas.
2. Lamasadeunprotónesde0.00000000000000000000016gramos.
3. LasuperficieaproximadadelaTierraesde148000000000000m2.
4. Eltamañoaproximadodeunvirusesde0.000000042m.
5. LamasaaproximadadelaTierraesde6100000000000000000000000kg.
6. Lamasaaproximadadeciertamoléculaesde0.0000045g.
II. Realizalassiguientesoperacionesennotacióncientífica.
1. 45000000×0.00014=a) 6.3×103
b) 6.3×105
c) 6.3×102
d) 6.3×104
a) 6.3×103
2. 200000000×0.000016=a) 3.2×1013
b) 3.2×104
c) 3.2×105
d) 3.2×103
LibertadDigital (2015)
24 Física I
3. =0.000 000 014
7000 000a) 2×10−14
b) 2×10−15
c) 2×102
d) 2×10−2
4. =9000 000 000 000
300 000 000a) 3×106
b) 3×1020
c) 3×104
d) 3×105
c) 3×104
5. =150 0000.000 03a) 5×10−1
b) 5×10c) 5×1010
d) 5×109
d) 5×109
6. =4000
0.000 000 002a) 2×1012
b) 2×10−6
c) 2×1014
d) 2×106
LibertadDigital (2015)
Tema 2 Magnitudes físicas y su medición 25
7. 7×108+2×108
a) 9×108
b) 9×1016
c) 9×100
d) 9×10
a) 9×108
8. 5×1012+9×1012
a) 1.4×1011
b) 1.4×1013
c) 1.4×1012
d) 1.4×1014
9. 4×108+7×107
a) 11×1015
b) 4.7×109
c) 4.7×106
d) 4.7×108
10. 3×104+2×103
a) 3.2×104
b) 3.2×107
c) 3.2×105
d) 3.2×103
a) 3.2×104
LibertadDigital (2015)
26 Física I
11. 8×105+4×106
a) 4.8×105
b) 4.8×107
c) 4.8×106
d) 4.8×107
12. 5×10-8+4×10−9
a) 5.4×10−9
b) 5.4×10−10
c) 5.4×108
d) 5.4×10−8
d) 5.4×10−8
13. 7×10−6−3×10−7
a) 6.7×10−8
b) 6.7×10−6
c) 6.7×10−5
d) 6.7×10−9
b) 6.7×10−6
14. 5×10−12−2×10−13
a) 4.8×10−13
b) 4.8×10−14
c) 4.8×10−12
d) 4.8×1012
LibertadDigital (2015)
Tema 2 Magnitudes físicas y su medición 27
Teoría de la medición
Método o formas de medirLosprocedimientosparamedircantidadespuedenclasifi-carsecomosemuestraacontinuación:
• Eldecontar• Medicióndirecta• Mediciónindirecta
Cómo contar Elprocedimientodecontarconsisteende-terminarelnúmerodeelementosdeunconjuntodeobje-tosyproporcionaunamedidaexacta.
Unejemploseríacontarelnúmerodenaranjasconte-nidoenunabolsa.
Medición directa Porlogeneralesunprocesovisualqueconsiste en comparar demaneradirecta lamagnituddeunacantidadfísicaconunaunidaddemedidapatrónoes-tándar.Porejemplo,medirlaestaturadeunniñoconunacintamétrica; la capacidad de un recipiente observandolacantidaddelitrosdeaguaqueserequiereparallenarlo,oconunrelojcuántotiempotardaunatletaenrecorrerciertadistancia.
Mediciónindirecta Muchascantidadesfísicasnosepue-denmedir directamente; por ejemplo, la temperatura, laaceleracióndeunmóvil,laenergíapotencialycinéticadeuncuerpo,eláreadeuncírculo,entreotrasmás.
Figura 1.10 Ejemplos de instrumentos que se utilizan para reali-zar mediciones indirectas.
En algunos casos podemos utilizar instrumentos demediciónindirecta,comountermómetro,unabalanzaoel
velocímetrodeunauto.Enotrasocasiones,realizamosunamediciónindirectautilizandounafórmulaoecuaciónal-gebraica;porejemplo,siconocemoselradiodeuncírculo,esposiblecalcularsuáreaconlafórmulaA=pr 2.
Asimismo,siconocemoseltiempoquetardaunmóvilenrecorrerunadistanciadeterminada,podemosmedirsurapidezpromediomediantelafórmularapidez=rapidez = distancia
tiempo oloqueesigualav=v d
t= Veamosacontinuaciónunejemplo
demediciónindirecta.
Ejemplo 1.13 Consideraquenecesitasdeterminarlaalturadeunacasaqueproyectaunasombrade2.2metros,perojustocuandocomienzastuscálculosunapersonade1.7metrosdeestaturaproyectaunasombrade0.62metros.
1.7 m
62 cm2.2 m
h = ?
SoluciónConlainformacióndisponiblepodemosconstruirdostriángulosrectángulos,comoseilustraacontinuación:
1.7m
A
B
0.62 mC P 2.2 m R
h
Q
Dadoquelosrayosdelsolsonparalelos,lostriángulosABCyPQR sonsemejantes,asílosángulosAyPtie-nenlamismamedida;porconsiguiente:
tanA = tanP
=
=
=
h
h
h
1.7 m0.62 m 2.2 m
(1.7 m)(2.2 m)0.62 m
6.0 m
Laalturadelacasaesde6.0metros.
LibertadDigital (2015)
28 Física I
La incertidumbre en el proceso de mediciónDeacuerdo con el resultadodeunamedición,podemosconcluirquehaydosclasesdemedidas:exactasyaproxi-madas.Lasmedidasexactasson,necesariamente,elresul-tadodecontar;porejemplo,elnúmerodemanzanasquehayenunfrutero.
Por otra parte, las mediciones de cantidades físicassólopuedenseraproximaciones,poresoseconocencomomedidas aproximadas. Incluso si se emplean los instru-mentosdemediciónmásprecisos,nuncaseobtieneunamedidaexacta;siemprehayunaincertidumbreoerrorex-perimentalquedependedediversosfactores.
Lalongituddeunareglapuedealterarseporloscam-bios de temperatura; un aparato de medidas eléctricaspuede registrar errores debido a los camposmagnéticoscercanosaél; lamínimadivisiónde laescaladel instru-mentodemedicióntambiénesunfactordeincertidum-bre;entremáspequeñasealamínimadivisióndelaescala,elgradodeincertidumbreesmenory,porende,decimosquelamedidaobtenidaesmásprecisa.
Laexactituddeunamedicióntambiéndependedelapersonaquelarealiza;porejemplo,paramedircorrecta-menteconuninstrumentoesnecesarioobservarlaescaladefrente,denoserasí,sepuedecometerunerrordebidoalparalaje,elcualseentiendecomoelcambioaparentedeposicióndeunobjetocuandoselemiradesdediferentesángulos.Así, la lecturadel velocímetrodeun automóvilpuedesermuydiferentesilahaceelconductorounacom-pañante.
Figura 1.11 La lectura del velocímetro se ve distinta cuando se mira de frente que desde el ángulo del copiloto.
Paraevitarelparalaje, losinstrumentosdemedicióndebenleersedefrenteycolocarsealaalturadelosojos.
Otrofactordelcualtambiéndependelaincertidum-bredeunamedida son las característicasde la cantidad
físicaquesemide.Suscaracterísticasdeterminanlarepe-tibilidadenlasmedidas;esdecir,sialrepetirvariasvecesunamediciónseobtienenresultadosigualesodiferentes.
Esposibleestablecerqueelerrorexperimentaloin-certidumbreenunamedidadependedelacantidadfísicaquesemide,conquésemideyquiénlomide.
Errores en la mediciónLoserroresenlamediciónpuedenserdedosclases:
• Sistemáticos• Aleatoriosocircunstanciales
Los errores sistemáticos se presentan de maneraregular o constante en todas las lecturas de lamedicióndeuna cantidadfísicadeterminada.Debidoaestetipodeerrores, las lecturasobtenidas en lasmediciones siempresonmayoresomenoresquelamedidareal.
Engeneral,lascausasdeloserroressistemáticosson:
a) Malacalibracióndelosinstrumentosdemediciónodefectosdefábrica.
b) Lamínimadivisióndelaescaladelinstrumentoconquesemide.
c) Ciertascondicionesambientalescomolatemperatu-ra,lapresenciadecamposmagnéticosolailuminación
d) Latendenciadelapersonaquemideasóloregistrar valoresmayoresomenoresdelamedidarealenformasis-temática.
e) Elparalaje.Los errores sistemáticos no pueden eliminarse por
completo.Parareducirlosserecomienda:
• Realizar revisiones o pruebas de control periódica-mente, lascualespuedenconsistirencotejarmedidasdeunacantidadfísicacondiferentesaparatos.
• Evitarelparalaje.• Seleccionar instrumentosdemedición con lamayor
precisiónposible;osea,conlamínimadivisióndelaescaladelinstrumentoposible.
• Mejorarlapericiadequienmide.
Loserrores aleatorioso circunstancialesnosepre-sentandemaneraregularosistemáticadeunamedicióna otra de una cantidad física determinada. Resultan defactoresinciertosycausanquelasmedidassucesivasobte-nidassedispersenaleatoriamentealrededordelamedidarealconigualprobabilidaddentrodeciertointervaloma-yoromenorqueelvalorreal.
Aunque es imposible eliminar los errores aleatorios,sepuedenestimarmatemáticamentedeterminandounin-tervalo,cuyoanchonosproporcionalaincertidumbreenlamedida.Lasmedidassucesivasdebencaerdentrodeesteintervalo.
LibertadDigital (2015)
Tema 2 Magnitudes físicas y su medición 29
∆m ∆m
0 m
2∆ m
M ± ∆m m=
Figura 1.12 Estimación de los errores aleatorios.
Precisión y exactitud de una medidaEnelcampodelamedición,lostérminosprecisiónyexac-titudnosonsinónimos.
La exactitudserefierealgradodecoincidenciadeunamedidaconrespectoalvalorverdaderoyladeterminalacalidaddelinstrumentodemedición.Almedirunacanti-dadfísicaconuninstrumentomalcalibradolamedidanoseráexacta.
Sedicequeunamedidatieneunaltogradodeexac-titudsiestálibre,relativamente,deerroressistemáticos.
La precisióneselgradodecertezaempleadoparame-dirunacantidadfísicayladetermina la mínima división de la escaladelinstrumentodemedición.
Al reportar una medida por un número decimal, elemplazamientodelaciframásalejadaaladerechadelpun-todecimalindicalaprecisión.Así,unamedidade48cmsemidióconunaprecisiónde1cm;8.6mtieneunaprecisiónde0.1m;7.46kg tieneunaprecisiónde0.01kg;42.085gtieneunaprecisiónde0.001g,yasísucesivamente.
Sisetienendosmedidas,lamásprecisaesaquellaob-tenidaconlamenordivisióndeescaladelinstrumentodemedición.
Incertidumbre o error absolutoComoentodamedida,sepresentanerrores,yaseasiste-máticosoaleatorios,suresultadosedebeexpresarcomo:
M=m±Dm
dondemeselvalorrepresentativooelvalormásproba-bledelamedida,yDmrepresentaelintervalodeincerti-dumbre,alcualtambiénselellamaerror absoluto de la medida.
Elerrorabsolutorepresentaelmáximoerrorposible.
Debidoaqueenunamedidapuedenincidirdiferen-tescausas,esnecesariorepetirelprocesodemediciónva-riasvecesenlasmismascondiciones.
Almedir varias veces una cantidad física es posibledistinguirdostiposderesultados:
• Losqueserepiten;esdecir,enlosquesiempreseob-tieneelmismovalor.
• Losquenoserepiten.Sienlosresultadossiempreseobtienelamismame-
dida, entonces la estimaciónde incertidumbreoel errorabsolutodelamedidaDmesigualalamitaddelapreci-sión.Elvalormásprobableorepresentativodelamedidaeselresultadodelamedición,elcualsiempreesigual.
Sialrepetirvariasveceselprocesodemedicióndeunacantidadfísicadeterminadaseobtienenlecturasdiferen-tes,elvalormásprobabledelamedidaeselpromedio(omediaaritmética)detodaslasmedidas.
Elintervalodeincertidumbreoerrorabsolutoesigualalpromediodelasdesviacionesabsolutasdecadamedidarespectoalvalorpromedioovalormásprobabledelame-dida;osea:
Error absoluto =
Suma de los valores absolutosde las desviaciones sin tomaren cuenta el signo
Número de mediciones
Elvalordecadadesviaciónabsolutanosdaunaideadeladesviacióndelamedidarespectoalvalorpromedio.
Unadesviaciónpositivaindicaqueelvalordelame-didaesmayorqueelvalorpromedio,yunanegativa,queesmenor.
Ejemplo 1.14 Almedir seis veces la longituddeunavarillaseobtuvieronlossiguientesresultados:24.96cm 24.91cm24.92cm 24.98cm24.97cm 24.90cmDetermina:
a) Elvalormásprobabledelalongituddelavarilla.
Solución
=m 24.96 + 24.92 + 24.97 + 24.91 + 24.98 + 24.906
cm
m=24.94cm
b) El intervalo de incertidumbre o error absoluto de la medida.
SoluciónDeterminemos la desviación absoluta de cadamedidarespectoalvalormásprobabledelalongituddelavarilla.
|24.96cm−24.94cm| = |0.02|=0.02 |24.92cm−24.94cm| = |−0.02|=0.02
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30 Física I
|24.97cm−24.94cm| = |0.03|=0.03 |24.91cm−24.94cm| =|−0.03|=0.03 |24.98cm−24.94cm| =|0.04|=0.04 |24.90cm−24.94cm| =|−0.04|=0.04
Calculamosacontinuaciónelerrorabsolutodelvalormásprobable,queesigualalpromedioomediaarit-méticadelasdesviacionesabsolutas.
Dm=Errorabsoluto= + + + + +Error absoluto 0.02 0.02 0.03 0.3 0.04 0.046
Dm=Errorabsoluto=0.03cm
c) Cómosedebereportarlalongituddelavarilla.
Solución
L=m±Dm
L=24.94± 0.03cm
El resultadoobtenido significaque el valor real estáentre (24.94− 0.03) cmy (24.94+ 0.03) cm,o sea,entre24.91y24.97cm.
Error relativo y exactitudElerror relativodeunamedidasedefinecomolarazónentreelanchodelintervalodeincertidumbre(oerrorab-soluto)y elvalormásprobabledelamedida.
Error relativo = Error absolutoValor más probable
=mm
Así,ennuestroejemploanterior:
Error relativo 0.0324.94
0.0012= =
Elerrorrelativonosproporcionaunabaseparacom-pararlaexactituddedosmedidas;lamásexactaeslaquetienemenorerrorrelativo.
Cifras significativasPara estimar la incertidumbre (o error absoluto) de unamedidaseutiliza laconvencióndecifrassignificativas,lacualestablecequesóloseconservanlascifrasconsideradasconfiables.Porejemplo,decirquelalongituddeunavarillaesde20.8cmsignificaquelalongitudsemidióconunaprecisiónde0.1cm;yel errorabsolutode lamedidaesigualalamitaddelaprecisión.
Así,tenemosque:
Dm = 0.1 cm2
Dm=0.05cm (errorabsoluto)
Estosignificaquelalongituddelavarillaestácom-prendidaentre20.75cmy20.85cm,osea,equivalea20.8±0.05cm.
Deacuerdocon lamedidaregistrada,20.8cm,con-cluimosqueelnúmero8(últimodígito)esunacifraesti-madayquetenemoscertezadelascifras2y0.
Eneltrabajocientíficotodamedidasedebeexpresarconlosdígitosdeloscualestenemoscertezaenelprocesodemedición,o sea, lascifrascorrectasy laprimeracifraestimada. Estas cifras se denominan cifras significativasporquesabemosquesonrazonadamenteconfiables.
Enlafigura1.13seilustraunmosaicocuyalongituddeanchosemidecondosreglas.Laregladearribaestácalibradaencentímetros,yladeabajo,enmilímetros.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Figura. 1.13 Reglas calibradas en centímetros y en milímetros, respectivamente.
Almedirconlareglacalibradaencentímetros,obser-vamosquelalongituddelanchoestáentre4y5cm.Porlotanto,tenemoslacertezadeque4cmesunacifracorrec-ta.Dadoquenohaydivisiónmásexactaentre4y5cm,estimamos la longitud entre4 y5 cm.La aproximacióndependedelapersonaquemide,unapodríaestimarlaen0.2cm,otraen0.3cm,yotrosen0.4cm.
Siestimamosquelalongitudentre4y5cm es0.2cm,entonces expresamos la longitud del ancho delmosaicocomoa =4.2cm.
Observaquelaprecisióndelamedidaes0.1cm;porlotanto,elanchodesuintervalodeincertidumbreoerrorabsolutoes:
Dm = 0.1 cm2
Dm=0.05cm
Loanteriorsignificaquelalongitudexactadelanchodelmosaicocaeentre4.2±0.05cm;esdecir,entre(4.2−0.05cm)y (4.2+0.05cm),o loquees lomismo:entre4.15cmy4.25cm.
Al medirconlareglacalibradaenmilímetros,observa-mosquelalongituddelanchoestáentre4.2y4.3cm.Te-nemosentonceslacertezadequelosdígitosde4.2cmsoncifrascorrectasycomonohaydivisiónmásfinaentre4.2y4.3cm,estimamoslalongitudquehayentre4.2y4.3cm.
LibertadDigital (2015)
Tema 2 Magnitudes físicas y su medición 31
Supongamosqueestimamos0.06cm,entoncesexpre-samoslamedidacomo4.26cm.
Observaquelaprecisióndelamedidaes0.01cm;porconsiguiente, el ancho de su intervalo de incertidumbre (errorabsoluto)estádadopor:
Errorabsoluto = Dm = 0.01 cm2
Dm=0.005cmLoanteriorsignificaquelalongitudexactadelancho
caeentre4.26±0.005cm,osea,entre4.255y4.265cm.Siqueremosdeterminarcuálmedidaeslamásexacta
deambas,seguimoselsiguienteproceso:1. Calculamoselerrorrelativodecadamedida:
a) m1=4.2cmb) m2=4.26cm
Error relativo =
Error absoluto o intervalode incertidumbre Medida obtenida
Paralamedidaobtenidaconlareglacalibradaencen-tímetros(4.2cm)tenemos:
Error relativo = 0.05 cm4.2 cm
0.0119=
Enformaporcentuales1.19%.Paralamedidaobtenidaconlareglacalibradaenmi-
límetros(4.26cm)tenemos:
Error relativo = 0.005 cm4.26 cm
0.0017=
Enformaporcentuales0.17%Como0.0017esmenorque0.0119,lamedidaobteni-
daconlareglacalibradaenmilímetrosesmásexactaquelaconseguidaempleandolareglacalibradaencentímetros.
Ejemplo 1.15 Almedirellargodeunrectánguloseobtuvolasiguientemedida:L=3.6cm.Determina:a) Laprecisióndelamedición.
Solución
Precisión=0.1
b) Elanchodelaincertidumbredelamedición;esdecir,elvalorabsolutodelamedición.
Solución
Errorabsoluto = D =m Precisión2
Errorabsoluto = Dm=0.12
=0.05
c) ¿Cuál es el intervalo dentro del cual está lamedidaexacta?
Solución
m±Dm,luegolamedidaexactaestádentrodelintervalo
3.6±0.05 oseaentre3.55y3.65
d) Determinaelerrorrelativodelamedición.
Solución
=Error relativo Error absoluto Medida obtenida
= = =Error relativo 0.053.6
0.01388 1.38%
Reglas para determinar el número de cifras significativas de una medidaExistenreglasquepermiteninterpretarcuálessonlasci-frassignificativasdeunamedida.
1. Enunamedición, todas lascifrasdiferentesdecerosonsignificativas.Porejemplo:
• 83cm(2cifrassignificativas)• 54.7cm(3cifrassignificativas)
2. Todosloscerosqueaparecenentrecifrassignificativasson siempresignificativos.Porejemplo:
• 8024.51g (6cifrassignificativas)• 70004g(5cifrassignificativas)
3. Todosloscerosfinales,despuésdelpuntodecimalsoncifrassignificativas.Porejemplo:
• 45.00(4cifrassignificativas)• 891.00(5cifrassignificativas)
4. Loscerosqueseutilizanúnicamenteparaindicarlaposicióndelosdecimalesnosoncifrassignificativas.Porejemplo:
• 0.07m(1cifrasignificativa,elceronoloes)• 0.0085 kg (las cifras significativas de esta cantidad
sólosonel8yel5)
5. Cuandounamedidaestáexpresadaennúmerosente-rossinpuntodecimalquetengaunoomáscerosdenomi-nadospostreros,porejemplo:enlamedida18000gloscerospuedenonosersignificativos.El8puedeserlacifraestimadaylostrescerosseusaronparalocalizarelpuntodecimal,olostrescerospuedenhabersidomedidos.Paraevitar confusiones, en este texto consideraremos que loscerospostrerossoncifrassignificativas.Siqueremospre-
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32 Física I
cisarque,porejemplo,elnúmero2430000mtienetrescifras significativas, loexpresaremosencualquierade lassiguientesformas:
243×104m24.3×105m2.43×106m
Operaciones con cifras significativasAl resolverproblemasde físicaoquímica, las respuestassólodebencontenercifrassignificativas,porelloesimpor-tantequeconsidereslassiguientesreglas.
Suma y restaPara efectuar sumas y restas de cifras significativas pro-cedemosenlaformaqueyaconoces.Comoelresultadodelaoperaciónnopuedesermásprecisoquelamediciónmenosprecisa,elresultadodeberedondearse,encasodequese requiera,paraquetengaelmismonúmerodecifrasaladerechadelpuntodecimalquelasquetienelamedidamenosprecisa.
Ejemplo 1.16 Realiza la suma de las siguientesmagnitudes:15.295m25.867m2.81m7.3m
Solución
15.29525.8672.81
+ 7.3 51.272
Delasmagnitudesquesumamos, lamenospre-cisaes7.3,porloqueelresultadosedeberedondearpara que contenga sólo una cifra después del puntodecimal.
Cuandoredondeamosunamagnitud,silaprimeracifradelasqueseeliminanesmayorque5,laúltima ci-fraquesemantengadeberáaumentarseenunaunidad.
Enrelaciónconelejemploanterior,tenemos:
51.272m↑
Primeracifraqueseelimina
Como7esmayorque5,elresultadodelasumaseexpresacomo51.3m.
Silaprimeracifradelasqueseeliminanesmenorque5,laúltimacifraquesemantengaquedaráigual.
Ejemplo 1.17 Resta18.7cmde36.93cm.
Solución
36.93−18.718.23
Lamagnitudmenosprecisaes18.7;portanto,elresultadosedeberedondearparaquehayasóloundí-gitodespuésdelpuntodecimal.
Dadoqueelnúmero3,dígitoqueseelimina,esme-norque5,elresultadodelarestaquedacomo 18.2cm .
Multiplicación y divisiónParamultiplicarodividirdosmedidasseguimoselpro-cesoqueyaconocemos.Elresultadoobtenidoloredon-deamosparaque tenga elmismonúmerode cifras sig-nificativasquelamagnitudconmenornúmerodecifrassignificativas.
Ejemplo 1.18 Multiplica7.85cmpor5.4cm.
Solución
7.85cm×5.4cm=42.39cm2
Comolacantidad5.4cmeslaquetieneelme-nornúmerodecifrassignificativas,entonces42.39cmdebe redondearsedemaneraque tenga tambiéndoscifrassignificativas,osea:
7.85cm×5.4cm= 42cm2
Ejemplo 1.19 Multiplica2.15mpor0.4m
Solución
2.15m×0.4m= 0.86cm2
La medida que tiene el menor número de cifrassignificativas es 0.4m;por lo tanto, el productode lamultiplicacióntambiéndebetenerunacifrasignificativa.
Elredondeode0.86m2seexpresacomo 0.9m2 .
Ejemplo 1.20 Divide85.3 cm2.574 cm
2
Solución
=85.3 cm2.574 cm
33.1390 cm2
Lacantidadfísicaquetieneelmenornúmerodecifrassignificativases85.3cm2;portanto,elresultadodebe tener también tres cifras significativas.Redon-deamos33.1390cma 33.1cm .
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Tema 2 Magnitudes físicas y su medición 33
ActividAdEs dE AprEndizAjE
I. Realizalassiguientesoperaciones.(Lasrespuestassólodebencontenercifrassignificativas.)1. 8.205cm+6.5cm+0.74cm+13.0cm
a) 28.445cmb) 28.4cmc) 28cmd) 28.44cm
2. 80.5min+9min+0.75mina) 90.25minb) 90.3minc) 90.2mind) 9×10min
3. 1.9km+1.72km+0.012kma) 3.632kmb) 3.63kmc) 3.6kmd) 3.5km
c) 3.6km
4. 4.0kg+0.845kg+0.061kga) 5kgb) 4.90kgc) 4.906kgd) 4.9kg
d) 4.9kg5. 8.26N−0.40N
a) 7.9Nb) 7.86Nc) 7.8Nd) 8.0N
a) 7.9N
6. 34pies+8.1piesa) 42.1piesb) 42.0piesc) 42piesd) 43pies
c) 42pies7. 15h−8.1h
a) 6.9hb) 6.90hc) 7hd) 7.0h
a) 6.9h
8. 3.41cm×0.2cma) 0.682cm2
b) 0.68cm2
c) 0.7cm2
d) 7cm2
c) 0.7cm2
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34 Física I
9. 5.865cm×4.20cma) 24.63cm2
b) 25cm2
c) 24.6cm2
d) 24.633cm2
c) 24.6cm2
10. 107.88N×0.610ma) 65.80N-mb) 65.807N-mc) 65.8068N-md) 65.8N-m
d) 65.8N-m11. 8.52kg×6.0m/s
a) 51.12kgm/sb) 51.1kgm/sc) 51kgm/sd) 52.3kgm/s
c) 51kgm/s
12. 72 km4.05 ha) 17.777km/hb) 18km/hc) 17.7km/hd) 18.0km/h
b) 18km/h
13. 97.520 cm2.52 s
a) 38.7cm/sb) 38.6984cm/sc) 38.698cm/sd) 38.6cm/s
a) 38.7m/s
14. 14.28 m0.714 m
2
a) 20mb) 20.0mc) 200md) 18m
b) 20.0m
II. Determinalaprecisióndelassiguientesmedidas.1. 4m
a) 1mb) 0.5mc) 0.005md) 0.05m
2. 18.3cma) 0.05cmb) 0.1cmc) 0.005cmd) 1cm
b) 0.1cm
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Tema 2 Magnitudes físicas y su medición 35
3. 4.85kma) 2kmb) 0.01kmc) 0.005kmd) 0.1km
b) 0.01km
4. 1.00mina) 1minb) 0.01minc) 0.001mind) 0.0005min
5. 3.025milla) 0.001millb) 0.01millc) 0.0005milld) 0.005mill
6. 14.45ma) 0.001mb) 0.005mc) 0.0005md) 0.01m
d) 0.01m7. 105mm
a) 0.1mmb) 0.5mmc) 0.05mmd) 1mm
d) 1mm
8. 0.0004kma) 0.001kmb) 0.0001kmc) 0.1kmd) 0.00005km
III. Paralassiguientesmedidas,determinaloqueseindicaencadacaso.1. 414cm
a) Elerrorabsolutoointervalodeincertidumbredelamedida.a) Dm=1cmb) Dm= 0.1cmc) Dm= 0.01cmd) Dm= 0.005cm
2. 705ma) Elerrorabsolutoointervalodeincertidumbre.
a) Dm= 1mb) Dm= 0.1mc) Dm= 0.5md) Dm= 0.005m
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36 Física I
b) Elintervalodentrodelcualestálamedidaexacta.a) (4.14±0.01)cmb) (4.14±0.005)cmc) (4.14±0.0012)cmd) (4.14±0.05)cm
b) 4.14±0.005cm
b) Elintervalodentrodelcualestálamedidaexacta.a) (705±1)mb) (705±0.1)mc) (705±0.5)md) (705±0.005)m
c) (705±0.5)m
c) Elerrorrelativodelamedida.a) 0.0012b) 0.012c) 0.12d) 0.00012
a) 0.0012
c) Elerrorrelativo.a) 0.00071b) 0.00092c) 0.00064d) 0.00014
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Tema 2 Magnitudes físicas y su medición 37
3. 75cma) Elerrorabsolutoointervalodeincertidumbre
delamedida.a) 0.5cmb) 1cmc) 0.05cmd) 0.005cm
a) 0.5cm
4. 10.45kga) Elerrorabsolutoointervalodeincertidumbredela
medida.a) 0.05kgb) 0.005kgc) 0.1kgd) 0.01kg
b) Elintervalodentrodelcualestálamedidaexacta.a) (75±1)cmb) (75±0.05)cmc) (75±0.005)cmd) (75±0.5)cm
b) Elintervalodentrodelcualestálamedidaexacta.a) (10.45±0.005)kgb) (10.45±0.05)kgc) (10.45±0.1)kgd) (10.45±0.01)kg
a) (10.45±0.005)kgc) Elerrorrelativo.
a) 0.0082b) 0.0067c) 0.0052d) 0.0075
b) 0.0067
c) Elerrorrelativo.a) 0.0048b) 0.0095c) 0.00095d) 0.00048
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38 Física I
5. 12.5ma) Elerrorabsolutoointervalodeincertidumbre
delamedida.a) 0.1mb) 0.05mc) 0.5md) 0.005m
b) 0.05m
6. 0.006kga) Elerrorabsolutoointervalodeincertidumbredela
medida.a) 0.001kgb) 0.0005kgc) 0.01kgd) 0.005kg
b) Elintervalodentrodelcualestálamedidaexacta.a) (12.5±0.1)mb) (12.5±0.5)mc) (12.5±0.05)md) (12.5±0.005)m
b) Elintervalodentrodelcualestálamedidaexacta.a) (0.006±0.0005)kgb) (0.006±0.001)kgc) (0.006±0.01)kgd) (0.006±0.005)kg
a) (0.006±0.0005)kgc) Elerrorrelativodelamedida.
a) 0.004b) 0.008c) 0.04d) 0.0004
a) 0.004
c) Elerrorrelativodelamedida.a) 0.083b) 0.167c) 0.0167d) 0.0083
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Tema 2 Magnitudes físicas y su medición 39
IV. Resuelvelossiguientesproblemas.
1. Almedirlamasadeuncilindroseobtuvieronlossiguientesresultados:86.49g,86.52g,86.53g,86.50g,86.48g.De-termina:a) Elvalormásprobabledelamasadelcilindro.
a) 87.2gb) 86.50gc) 84.2gd) 86.0g
b) 86.50g
c) Elintervalodentrodelcualcaelamedidaexacta.a) (86.50±0.016)gb) (86.5±0.0028)gc) (86.5±0.0012)gd) (86.5±0.018)g
b) Elerrorabsolutoointervalodeincertidumbredelamedida.a) 0.016gb) 0.028gc) 0.012gd) 0.018g
a) 0.016g
d) Elerrorrelativodelamedida.a) 0.00032b) 0.000139c) 0.0001849d) 0.00021
c) 0.0001849
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40 Física I
2. Almedircincoveceslalongituddeunavarillaseobtuvieronlossiguientesresultados:23.88cm,23.83cm,23.78cm,23.90cm,23.86cm.Determina:a) Elvalormásprobabledelalongituddelavarilla.
a) 23.40cmb) 23.85cmc) 23.95cmd) 24.74cm
b) 23.85cm
c) El intervalodentrodel cual está la longitud exactadelavarilla.a) (23.85±0.0360)cmb) (23.40±0.028)cmc) (23.85±0.054)cmd) (24.74±0.036)cm
b) Elerrorabsolutoointervalodeincertidumbredelamedidamásprobable.a) 0.045cmb) 0.028cmc) 0.054cmd) 0.0360cm
d) Elerrorrelativodelamedición.a) 0.00119b) 0.0022c) 0.0015d) 0.0013
c) 0.0015
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Tema 2 Magnitudes físicas y su medición 41
1. Estodoaquelloquesepuedemedir:a) sistemademediciónb) unidadfísicac ) cantidadfísicad ) unidadfundamental
2. Estodoaquelloquesetomacomopatrónparamedir:a) cantidadfísicab) mediciónc ) unidadfísicad ) cifrassignificativas
3. Consisteencompararlamagnituddeunacantidadfísicaconotradelamismaclaseaceptadacomopatrónouni-daddemedida.a) sistemademediciónb) mediciónc ) cantidadfísicad ) unidadfísica
4. Cantidadesfísicasquenosedefinenenfuncióndeotras:a) derivadab) auxiliaresc ) fundamentalesd ) primitivas
5. Cantidadesfísicasquesedefinenenfuncióndeotras:a) derivadasb) auxiliaresc ) fundamentalesd ) compuestas
6. Unidadesdemediciónquesederivandelacombinacióndelasunidadesfundamentales:a) primitivasb) auxiliaresc ) compuestasd ) derivadas
7. Soncantidadesfísicasfundamentalesdelsi:a) presiónb) áreac ) temperaturad ) cantidaddesustanciae) corrienteeléctricaf ) intensidaddeluminosidadg) c,d, e yf soncorrectas
8. Unidadfundamentaldelatemperaturadelsi:a) gradocentígradob) ElKelvinc ) gradoFahrenheitd ) ElRankine
9. Esunaunidadfísicafundamental:a) kgb) mc ) sd ) m/se ) kg/m3
f ) a, b, ycsoncorrectas
10. Esunaunidadderivada:a) cmb) gc ) m/s2
d ) g/cm2
e ) c yd soncorrectas
11. ¿Cuáles de las siguientes cantidades físicas son funda-mentalesdelsi?a) longitudb) masac ) volumend ) densidade ) tiempof ) a, b ye soncorrectas
12. Launidadfundamentaldelongitudenelsies:a) kilómetrob) piec ) yardad ) centímetroe) metro
13. Launidadfundamentaldemasaenelsies:a) librab) gramoc ) kilogramod ) onza
14. Launidadfundamentaldetiempoenelsies:a) horab) segundoc ) minutod ) díasolarpromedio
15. Elprefijométricoquesignifica1×106es:a) gigab) kiloc ) hectod ) mega
16. Elprefijométricoquesignifica1×109es:a) gigab) kiloc ) decad ) mega
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42 Física I
17. Elprefijométricoquesignifica1×103es:a) hectob) decac ) kilod ) mili
18. Elprefijométricoquesignifica 110
0.1( )= es:a) centib) decic ) mili
19. Elprefijométricoquesignifica 11000000
0.000001= es:a) nanob) microc ) picod ) mega
20. Elprefijométricoquesignifica 110
0.000000 0019 = es:a) nanob) microc ) picod ) mega
21. Elprefijométricoquesignifica 110
0.000000 000 00112 = es:a) nanob) microc ) picod ) mega
22. Lamedidaqueresultadeunamedición...a) siempreesexactab) algunasvecesesexactac ) nuncaesexactad ) algunasvecesesinexacta
23. Laincertidumbreoerrorenunamedidadependede:a) loquesemideb) conquesemidec ) quienmided ) lostresfactoresanteriores
24. Paraevitarerroresdeparalaje,losinstrumentosdemedi-ciónsedebenleer:a) deladoyalaalturadelosojosb) defrenteypordebajodelosojosc ) defrenteyalaalturadelosojosd ) deladoypordebajodelosojos
25. Clasedeerrorespresentesdemaneraregularoconstanteentodaslaslecturasalmedirunacantidadfísicadeter-minada.a) Erroresaleatoriosb) Erroressistemáticos
26. Clasedeerroresquenosepresentandemaneraregularoconstantedeunamediciónaotradeunacantidadfísicadeterminada.Sonlascausasdequelasmedidassucesivas
sedispersenalrededordelamedidarealconigualproba-bilidaddesermayoresomenoresqueelvalorreal.a) Erroressistemáticosb) Erroresaleatoriosocircunstanciales
27. Serefierealgradodecoincidenciadeunamedidares-pectoalvalorverdadero.a) Exactitudb) Precisión
28. Eselgradodecertezaempleadoparamedirunacanti-dadfísica.Ladeterminalamínimadivisióndelaescaladelinstrumentodemedición.a) Precisiónb) Exactitud
29. Dígitosdeunamedidaqueseconsideranconfiables.Sonlas cifras correctas y la primera cifra estimada de unamedición.a) Cifrasexactasb) Cifrassignificativasc ) Cifrasestimadas
30. Eldiámetrodeciertasmoléculases0.00000017cm.Ex-presadichacantidadennotacióncientífica.a) 1.7×107cmb) 1.7×106cmc ) 1.7×10−6cmd ) 1.7×10−7cm
31. Elnúmerodemoléculasen22.4litrosdegas(númerodeAvogadro)es6020000000000000000000000.Expresadichonúmeroennotacióncientífica.a) 6.02×1024
b) 6.02×1021
c ) 6.02×10−21
d ) 6.02×10−24
32. Elresultadodeladivisión 3.2 10 2.1 10
4.1 10
6 8
4
( )( )× ×
×es:
a) 1.6×1018
b) 1.6×109
c ) 2.1×109
d ) 1.6×1010
33. Elresultadodeladivisión 9.4 105.8 10
6
8
×
× − es:a) 1.6×10−2
b) 1.6×102
c ) 1.6×1014
d ) 1.6×10−14
34. Elresultadodelaresta9.2×105−7.6×105es:a) 1.6b) 1.6×1010
c ) 1.6×105
d ) 1.6×10
35. Elresultadodelaresta8.6×107−2.4×106
a) 8.4×107
LibertadDigital (2015)
Tema 2 Magnitudes físicas y su medición 43
b) 6.2×106
c ) 8.3×106
d ) 8.3×105
36. Convierte144km/henm/s.a) 42m/sb) 48m/sc ) 40m/sd ) 45.3m/s
37. Convierte18400makilómetros.a) 184.0kmb) 18.4kmc ) 1.84kmd ) 1.840×105km
38. ¿Acuántoscentímetrosequivalen163pulgadas?a) 414cmb) 325cmc ) 463cmd ) 420cm
39. ¿Acuántaslibrasequivalen30kg?a) 66lbb) 72lbc ) 13.6lbd ) 64lb
40. ¿Acuántoskilómetrosequivalen2500cm?a) 0.025kmb) 2.50×103kmc ) 0.00025kmd ) 0.00250km
41. Convierte460piesametros.a) 156mb) 128mc ) 137md ) 140m
42. Laprecisiónde6kmes:a) 1kmb) 0.1kmc ) 0.001kmd ) 0.5km
43. Laprecisiónde7.54cmes:a) 0.05cmb) 0.01cmc ) 0.1cmd ) 0.001cm
44. Almedir la longitud de una varilla se registró el dato86.54cm.¿Cuálessonlascifrascorrectasdelamedición?a) Todascorrectasb) 8y6c ) 8,6y5d ) 8
45. Delasmedidasanteriores,¿cuáleslacifraestimada?a) 5y4b) 4c ) 6,5y4d ) Todassonestimadas.
46. Elnúmerodecifrassignificativasde2.008kmes:a) 2b) 1c ) 4d ) 3
47. Elnúmerodecifrassignificativasde0.018kges:a) 5b) 3c ) 2d ) 1
48. Realizalasiguientesumayescribelarespuestaconelnúmerocorrectodecifrassignificativas.47.68cm+42.6cm+54.7cma) 143.65cmb) 143cmc ) 145cmd ) 143.6cme) 143.7cm
49. Realizalasiguienterestayescribelarespuestaconelnúmerocorrectodecifrassignificativas.23.83kg−15.4kga) 8.43kgb) 8.4kgc ) 8kgd ) 8.6kge) 8.5kg
Almedircuatroveceslamasadeunniñoseobtuvieronlossiguientesresultados:
34.97kg 35.01kg 34.98kg 35.02kg
Determina:(preguntas50a53)
50. Elvalormásprobabledelamasadelniño.a) 34.94kgb) 34.99kgc ) 34.95kgd ) 35.00kge) 34.96kg
51. Elerrorabsolutooincertidumbredelvalormásprobable.a) 0.04kgb) 0.03kgc ) 0.06kgd ) 0.02kg
LibertadDigital (2015)
44 Física I
52. Elintervalodentrodelcualestálamedidaexactadelamasa.a) Entre34.98y35.02kgb) Entre34.96y35.04kgc ) Entre34.96y35.00kgd ) Entre34.97y35.01kg
53. Elerrorrelativodelamedidamásprobable.a) 0.005b) 0.0004c ) 0.0003d ) 0.00057e ) 0.0005
Almedirseisveceslalongituddeunavarillaseobtuvieronlossiguientesresultados:
54.70cm 54.75cm54.68cm 54.69cm54.73cm 54.72cm
Determina:
54. Elvalormásprobabledelalongituddelavarilla.a) 56.2cmb) 54.71cmc ) 54.2.cmd ) 55.0cm
55. Elerrorabsolutooincertidumbrerespectoalvalormásprobable.a) 0.02cmb) 0.01cmc ) 0.03cmd ) 0.04cm
56. El intervalodentrodel cual está la longitud real de lavarilla.a) Entre54.68y54.74cmb) Entre54.69y54.73cmc ) Entre54.70y54.72cmd ) Entre54.7y54.71cm
57. Elerrorrelativodelamedición.a) 0.00036b) 0.00021c ) 0.0041d ) 0.00048
LalongituddeunterrenoesL=12.53m.Determina:
58. Laprecisiónenlamedida.a) 0.1mb) 0.05mc ) 0.01md ) 0.005me) 0.001m
59. Elerrorabsolutoointervalodeincertidumbreenlame-dida.a) 0.05mb) 0.01mc ) 0.005md ) 0.05m
60. Elerrorrelativo.a) 0.004b) 0.0003c ) 0.0002d ) 0.0004
LibertadDigital (2015)
Capítulo 1 Introducción a la física 45
Generalidades
Representación gráfi ca de un
vector
Propiedades de los vectores
Sistema de vectores
Suma de vectores
Diferencia de vectores
Introducción a los vectores
Tema 3
GeneralidadesLosfenómenosfísicosqueocurrenenlanaturalezasema-nifiestanestableciendorelacionesentrecantidadesfísicasespecíficas; algunas de estas cantidades únicamente lasdeterminansumagnitudotamaño.Porejemplo,cuandodecimosquelatemperaturadeunobjetoesde37°C,quelamasadeunautoesde800kg,queeltiempoquetardaenevaporarseciertacantidaddeaguaes5deminutos,etc.Cadaunadeestascantidadessedeterminadamedianteunnúmeroyunaunidaddemedida.Aestaclasedecantida-desselesdenominacantidades escalares.
Figura 1.14 La masa de un automóvil ejemplifi ca una cantidad escalar.
Unescalaresunacantidadfísicaquesólotienemag-nitud.Acontinuación sepresentanalgunos ejemplosdecantidadesescalares:
• Masa• Tiempo• Temperatura• Distancia• Área• Volumen• Densidad
Para trabajarmatemáticamente con escalares, segui-moslosmétodosalgebraicosqueyaconocemos.Observalossiguientesejemplos:
• 9m+6m=15m• 45g−15g=30g• 5.0m×7.0m=35m2
• 15min+40min=55minEnfísicasemanejanotrotipodecantidadesquepara
determinarlasnobastaconocersumagnitud.Porejemplo,sidecimosqueunaviónselocalizaa800kmdelaeropuer-todedondedespegó, la informaciónes incompletapor-quelaubicaciónnoesespecífica;esunhechoqueelaviónpudohabertomadounainfinidaddedirecciones.Observalasiguientefigura1.15.
800 km800 km
800 km800 km
800 km
800 km
800 km 800 km
Figura 1.15 Posibles direcciones que un avión puede tomar a 800 km del lugar de donde despegó.
Determinar la localizaciónexactadel avión requiere conocer:
1. Lamagnituddesudesplazamiento(800km).2. Ladireccióndesudesplazamiento.Porejemplo,recta
queformaunángulode40°conlahorizontal.3. Elsentidode sudesplazamiento.Puedeserhaciael
NorteoelOeste.Alascantidadesfísicasquetienenmagnitud,dirección
ysentidoselesdenominacantidades vectoriales, osim-
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46 Física I
plementevectores.Eldesplazamiento,lavelocidad,laace-leraciónylafuerzasonejemplosdecantidadesvectoriales.
Eneste libro representaremosunacantidadvectorialconunaletraennegritas,porejemplo:V.Parareferi-mossóloalamagnituddelacantidadvectorial,utiliza-remoslamismaletraperosinnegritas,porejemplo:V.
Por definición, lamagnitud de un vector es unacantidadescalar y siempreespositiva.Es importantequecuandoquieras indicarunvectoren tucuadernooenelpizarrónapliqueslanotaciónV
��;esdecir,debes
escribirunapequeñaflechaarribadelaletramayúscula.
Representación gráfica de un vectorUnvectorpuede representarsegráficamenteporunseg-mentoderectaconunapuntadeflechadibujadoaescala.Lalongituddelsegmentorepresentalamagnituddelvec-tor,ladireccióndelaflechacorrespondealadireccióndelvector,ysupuntarepresentaelsentido.
Enmuchoscasos,consideramosladirecciónyelsen-tidocomounsoloconcepto,eldedirección,entendiendoporéstalainclinacióndelaflechayelpuntohaciaelqueseñala.
Dirección de un vectorUnaformadedeterminarladireccióndeunvectorconsis-teentomarcomoreferenciaunsistemaformadopordoslíneasllamadasejes perpendiculares. Lalíneahorizontalseconocecomoejex, ylalíneavertical,comoejey.
x
y
0
Figura 1.16 Sistema de referencia para ubicar la dirección de un vector.
Ladirecciónseindicamedianteelángulodelvectormedidoensentidocontrarioalmovimientodelasmane-cillasdelreloj,yapartirdelaposicióndelejex positivo,lacualseubicaaladerechadelorigen.
Comentacontuscompañeroslossiguientesejemplos.
x
y
20°
120°
x
y
y
Figura 1.17 Figura 1.18
180°
x
y
225°
x
y
Figura 1.19 Figura 1.20
300°
x
y
Figura 1.21
Otra formadedeterminar ladireccióndeunvectorconsisteentomarcomoreferencia lospuntoscardinales:Norte,Sur,EsteyOeste.
(90°)
(180°)
(270°)
O E
N
S
(0°)
Figura 1.22 Otra forma de determinar la dirección de un vector.
Cuandoseindicaladireccióndeunvector,laexpre-sión“alNortedelEste”significaquesuánguloseformagirandouna líneahaciaelNorteapartirde ladirecciónEste.Asimismo, ladirección“alNortedelOeste” indicaqueelánguloseformagirandouna líneahaciaelNorte
LibertadDigital (2015)
Tema 3 Introducción a los vectores 47
apartirdelOeste.Elánguloquecorrespondealadirec-ción“alSurdelOeste”seformagirandounalíneahaciaelSurapartirdelOeste,yladirección“alSurdelEste”seformagirandounalíneahaciaelSurapartirdelEste.
Observalossiguientesejemplos:
S
N
O E
d→
30°
O
S
E
N
v→
40°
Figura 1.23 Dirección del vector d
30° al Norte del Este. Figura 1.24 Dirección del vector v
40° al Norte del Oeste.
O
S
E
N
F→
35°
O
S
E
N
P→
60°
Figura 1.25 Dirección del vector f
35° al Sur del Oeste. Figura 1.26 Dirección del vector p
60° al Sur del Este.
Cuandonosreferimosalasdireccionesnoreste(NE),noroeste(NO),suroeste(SO)ysureste(SE),susángulosformanunángulode45°conelejex enelcuadranteco-rrespondiente.Analizacontuscompañeroslassiguientesfiguras:
45° NEO
S
E
N
NO 45°
O
S
E
N
Figura 1.27 Figura 1.28
O
S
E
N
SO 45°
45° SEO
S
E
N
Figura 1.29 Figura 1.30
Esimportanteprecisarquelosejespuedenestarorien-tadosenotrasdirecciones; lo importanteesquesiempreseanperpendicularesentresí.Observalasiguientefigura:
y x90°
Figura 1.31 Aunque los ejes estén orientados en diferentes di-recciones, lo importante es que siempre sean perpendiculares entre sí.
Representagráficamentelossiguientesvectores:
Ejemplo 1.21 V1=60ma120°
SoluciónEscala:1cm=20m
120°
x
y
V
Ejemplo 1.22 D=80kma60°alSurdelEste:
SoluciónEscala:1cm=20km
60°
S
N
O E
D
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48 Física I
Propiedades de los vectores
Propiedad de los vectores libresEstapropiedadserefierealhechodequeunvectorsiguesiendoelmismocuandosetrasladaparalelamenteasímis-moporquetienelamismamagnitud,direcciónysentido.
c)0O
S
E
ND
D
Figura 1.32 Si el vector D se traslada paralelamente a sí mismo, sigue siendo el mismo vector.
Propiedad de los vectores deslizantesEstapropiedadserefierealhechodequeelefectoexternoqueproduceunvectornosealterasiéstesedesplazasobresumisma líneadeacción.Estosedebeaque lamagni-tud,direcciónylíneadeaccióndelvectorpermanecensincambios.
Aestehechoseledenominaprincipio de transmisi-bilidad del punto de aplicación de un vector.Elpuntodeaplicaciónesaquelenelquefísicamentesesuponeestáac-tuandoelvector.Porejemplo,supongamosqueunafuerza
queestáactuandosobreuncuerpodeterminadoproduceel desplazamientode éste. Si el cuerpo y la fuerza apli-cada sobre él se deslizan simultáneamente, lamagnitud,ladirecciónyelsentidodelvectorpermanecenigual;porlotanto,elefectoqueproducesuacciónsobreelcuerpodeterminadonocambia.
Sistemas de vectoresUnconjuntodevectoresconsideradosenunhechoparti-cularconstituye un sistema de vectores.
Clasifi cación de los sistemas de vectoresSistema de vectores coplanares Lossistemascoplanaresse caracterizan porque todas las líneas de acción de losvectoresquelosconstituyenseencuentranenunmismoplano.
y
x
V2
V3
V1
Figura 1.34 V1, V2 y V3 son vectores coplanares.
Lossistemasnocoplanaressecaracterizanporquelaslíneasdeaccióndelosvectoresqueloconstituyenseloca-lizanendistintosplanos.
Principio de transmisibilidadEmpujar = Jalar
F F
Figura 1.33 F es un vector deslizante si se traslada en su misma dirección.
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Tema 3 Introducción a los vectores 49
V2
V1
xy
zFigura 1.35 V1 y V2 son vectores no coplanares.
Sistema de vectores colineales Losvectoressoncolinea-les si las líneasdeacciónde todosellosestán sobreunamismalíneadeacción.
F2 F1
N
W
Figura 1.36 F1 y F2 son vectores colineales, al igual que N y W.
Sistema de vectores concurrentes Silaslíneasdeaccióndedosomásvectoresconcurrenenunpunto,decimosquelosvectoressonconcurrentes.
Elpuntodondeconcurreneselpuntodeaplicacióndelosvectores.
F1
F2F3
F4 F5
Figura 1.37 F1, F2, F3, F4 y F5 son vectores concurrentes.
Sistema de vectores paralelos Dosomásvectoressonpa-ralelossisuslíneasdeacciónsonparalelasentresí.
Fy
Fx
N
W
90°90°
Figura 1.38 Los vectores N y Fy son paralelos.
Suma de vectoresLasumadevectoresnopuedeefectuarsecomolasumadecantidadesescalares,yaqueademásdesumagnituddebenconsiderarsesudirecciónysentido.
La adición de vectores se puede realizar mediantemétodos gráficos y analíticos (aritméticos o algebraicos)utilizando,segúnconvenga,laspropiedadesgeométricasotrigonométricas.
Acontinuaciónseexplicarán losdiferentesmétodosqueseutilizanparaefectuarunaadiciónosumadevec-tores.
Método gráfi co del triánguloRealizagráficamentelasumavectorialA+B siguiendolospasosqueindicamosacontinuación:
1. Seleccionaunaescalaydeterminalalongituddelseg-mentoderectaquecorrespondeacadavector.
2. Apartirdelorigendeunsistemaderectasperpendi-culares,trazaaescalaelsegmentoderectaconlapuntadeflechacorrespondientealvectorAconsurespectivadirec-ción,demodoquecoincidaelorigendelsistemaderectasperpendicularesconelorigendelvectorA.
3. Trazaaescala,consurespectivadirección,elsegmentoderectaconsupuntadeflechaquecorrespondealvectorB,demodoquecoincidalapuntadelaflechadelvectorA(cabeza)conelorigen(cola)delvectorB.
4. LasumadelosvectoresAyBesotrovector,elcualdenotaremosporRydenominaremosvectorresultante.
Al vector resultanteR lodetermina el segmentoderectaconpuntadeflechaqueuneelorigen(cola)delvec-torAconlapuntadelvectorB.
5. Midelalongituddelsegmentoderectaquecorrespon-deal vector resultanteparadeterminar sumagnitud.Ladirecciónsedeterminaconuntransportador.
AR
B
r = dirección de R0
q
y
x
Figura 1.39 Determinación del vector resultante, R.
Lasumadedosvectoresesconmutativa,esdecir:A+B=B+A
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50 Física I
y
RA
B
B + A también es igual a R
0 x
Figura 1.40 B + A también es igual a R.
Ejemplo 1.23 Unapersonacamina50mhaciaelSuryluego90mhaciaelEste.Determinalamagni-tudy ladireccióndeldesplazamientoporelmétodográfico.
SoluciónResolveresteproblemarequiereexplicarladiferenciaentredistanciaydesplazamiento,yaqueenfísicaestosconceptosnosignificanlomismo.
Supongamos que sales de tu escuela y caminas600mhaciaelNorteyluego400mhaciaelSur.Ladistanciaquesupuestamentecaminasteesde1000m;sinembargo,larealidadesquetelocalizasa200mdetuescuela.
Ladistancia eslalongituddelatrayectoriadeunmóvilyserefiereaunacantidadescalar,mientrasqueeldesplazamiento eslalongitudydirecciónmedidasdesdeelorigenhastalaposiciónfinal.
Unavezquehemosestablecido ladefinicióndeestosimportantesconceptos,ahorasípodemosresol-verelproblemadenuestroejemplo.
Paso 1 Definamoslaescala:1cm =10m.Paso 2 Tracemosunsistemaderectasperpendiculares entresí(figura1.41).
O
S
E
N
Figura 1.41
Paso 3 Apartirdelorigendelsistemaderectasper-pendiculares,trazamoselprimervectoraescalaconsudireccióncorrespondiente(figura1.42).
d 50alSur1 =
alSur
S
EON
Figura 1.42
N
O E
S
5 cm9 cmd2
d1
Figura 1.43
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Tema 3 Introducción a los vectores 51
Paso 4 Tracemosaescala,consudireccióncorrespon-diente,elsegundovectorapartirdelapuntadeflechadelprimervector(figura1.43).
d2
90 m=
alEste
Paso 5 Tracemos el vector resultante D (desplaza-miento)uniendo,medianteun segmentode recta, elorigen del sistema de rectas perpendiculares con elextremodelaflechadelsegundovector(figura1.44).Paso 6 Medimos la longitud del segmento de rectaquecorrespondealdesplazamiento,ydeacuerdoconlaescala,calculamoslamagnituddeldesplazamiento.
Deacuerdoconlafigura1.44,eldesplazamientoesde103ma29°alSurdelEste.(qr=29°)
Parasumartresvectoresomásseguimoslosmis-mospasosdelmétododeltriángulo.
Sinecesitamos sumar los vectoresA,B,C yD,primerosumamoslosvectoresAyB;despuéssuma-moselvectorC,simplementecolocándoloenseguidadelvectorB.Porúltimo,sumamoselvectorDubicán-dolodespuésdelvectorC.
Ésteeselmétodogeneralqueconmayorfrecuen-cia se aplica para determinar gráficamente el vectorresultante de una suma de vectores. El método deltriánguloesuncasomuyparticular.
VR x
y
VR = A→
+ B→
+ C→
+ D→
A→
B→C
→
D→
Figura 1.45 Método gráfico del polígono para sumar vectores.
O
N
E
9 cm
d1
d2
5 cm
Dr
S
qr
Figura 1.44
Ejemplo 1.24 Determinagráficamentelamagni-tudyladireccióndelafuerzaresultantedelsiguientesistemadefuerzas. F1=80Na0° F3=110Na150° F2=100Na45° F4=160Na200°
SoluciónEnlenguajecomúnpodemosdecirqueunafuerzaestodoempuje,jalónotirónqueseejercesobreuncuer-po.Lasfuerzassoncantidadesfísicasvectorialesysuunidaddemedidaenelsieselnewton,denotadoporlaletraN,yelcualsedefinecomo:
1N=1kgm/s2
Aunque estos conceptos los analizaremos másadelante,porahoraconsideremosquelafuerzaesunvectorcuyaunidaddemedidaenelsieselnewton.Paso 1 Definamoslaescala:1cm=20NPaso 2 DibujamosF1
1–1
–2
–1–2
1
2
3
4y
xF1
2 3 4 5
LibertadDigital (2015)
52 Física I
Paso 3 DibujamosF2
1
1
2
3
4
2 3 4
45°
5
y
xF1
F2
Paso 4 DibujamosF3
1
1
2
3
4
5
6
2 3 4
45°
150°
5
y
xF1
F2
F3
Paso 5 DibujamosF4
1
1
2
3
4
5
6
2 3 4
45°
150°
200°
5
y
xF1
F2
F3F4
–1–2–3–4
Paso 6 DibujamoselvectorresultanteFR
1
1
2
3
4
5
6
2 3 4
45°qr
150°
200°
5
y
FR
xF1
F2
F3F4
–1–2–3–4
LibertadDigital (2015)
Tema 3 Introducción a los vectores 53
Paso 7 DeterminamoslamagnitudyladireccióndelvectorresultanteDeacuerdoconlafiguraylaescaladefinidas:R=119Nyqr=142.5°
Método del paralelogramoUnmétodoalternoaldel triánguloparasumardosvec-tores gráficamente es el denominado método del para-lelogramo, el cual consiste en trazar los vectoresque sesumanconsusorígenesjuntos.Delapuntadeflechadecadavectorsetrazaunsegmentoderectaparaleloalquecorrespondealotrovector.
Elvectorresultanteesladiagonaldelparalelogramoquesehaconstruido.
Recuerdaqueenunparalelogramolosladosopuestossonparalelosydeiguallongitud.Además,dosángu-lossuplementariossuman180°.
A→
B→
R→
aθ rθ
Vector R
Resultan
te
Figura 1.46 Suma de los vectores A y B por el método del pa-ralelogramo.
q=ÁnguloformadoporAyBa=180−qqr=DireccióndelvectorresultanterespectoalvectorA
Ejemplo 1.25 Dosfuerzasde120y200N,respec-tivamente,actúansobreunbaúlformandounángulode60°,comoseilustraenlasiguientefigura.
120 N
200 N
F1
F2
60°
Calcula lamagnitud y la dirección de la fuerzaresultanteporelmétododelparalelogramo.
SoluciónTracemoselsistemaderectasperpendicularesdemodoque el eje x contenga la línea de acción del vector:F2=200N.
1
1
2
3
4
76
23
4 60°
120°
5
y
x
F1=200 N
F 2=120 N
FR
q r
Escala:1cm=40NDeacuerdocon lafiguraanteriorycon laesca-
la establecida, lamagnitudde la fuerza resultante es280N,ysudirecciónqres22°respectoalafuerzade200N.
Suma de vectores por métodos analíticos (matemáticos)Analicemosahoralossiguientescasos:
Caso 1.Sumadevectorescolinealesquetienenlamismadirecciónysentido
Cuando dos omás vectores colineales que se van asumartienenlamismadirecciónysentido,lamagnituddelvectorresultanteesigualalasumaalgebraicadelasmag-nitudesdecadaunodeellos,ysudirecciónes lamismaqueladelosvectoresinvolucrados.
Ejemplo 1.26 Sumalosvectores:
D1=5ma0°D2=2ma0°
SoluciónComolosvectorescolinealesD1yD2tienenlamisma direcciónysentido,entonces:
DR=5m+2m=7ma0°
LibertadDigital (2015)
54 Física I
D = 7 m a 0°
5 m
2 m
Caso 2. Suma de dos vectores colineales que tienen la misma dirección pero sentido contrario
Cuandosesumandosvectorescolinealesquetienenlamismadirecciónperosentidocontrario,lamagnituddelvectorresultanteeselvalorabsolutodeladiferenciadelasmagnitudes.Ladirecciónyelsentidosonlosquecorres-pondenalvectordemayormagnitud.
Ejemplo 1.27 Calculalamagnitudydireccióndelossiguientesvectores:
D1=6kmalNorteD2=4kmalSur
SoluciónVR=|6km−4km|alNorteVR=2kmalNorte
4 km
N
6 km
O
O E
S
E
R = 2 km al Norte
Caso 3. Suma de dos vectores cuyas líneas de acción son perpendiculares entre sí
Cuandosesumandosvectorescuyaslíneasdeacciónsonperpendiculares,éstos, juntoconelvectorresultante,formanuntriángulorectángulo.
R
90°
V2
y
xV1
θ
LamagnituddelaresultanteRsedeterminaporme-diodelteoremadePitágoras:
R V V
R V V
212
22
12
22
= +
= +
ElánguloqentreRyV1secalculaapartirdelasi-guienterazóntrigonométrica:
VV
tan 2
1
θ =
Ejemplo 1.28 Unapersonacamina20mhaciaelOesteyluego15malNorte.Determinalamagnitudydireccióndeldesplazamiento.
Solución
y
R15 km
20 kmx
q r
q
Primero calculamos la magnitud del desplaza-mientoaplicandoelteoremadePitágoras:
R2=(20m)2+(15m)2
R2=400m2+225m2
R2=625m2
R2= 625m2
R=25m
Ahora determinamos la dirección del desplaza-miento.Deacuerdoconeltriángulodelafiguraan-terior,tenemos:
tan 1520
θ =
tanq=0.750
q=arctan0.75
q=36.9°
Ladireccióndeldesplazamientoes36.9°alNortedelOesteobien,143.1°.Observaque
qr=(180−36.9)°=143.1°
Caso 4. Suma de dos vectores que no son colineales ni perpendiculares entre síCuandosesumananalíticamentedosvectoresquenosoncolinealesniperpendicularesentre sí aplicamos las leyesdecosenosysenos.
a) Leydecosenos
LibertadDigital (2015)
Tema 3 Introducción a los vectores 55
qa
a
bc
c a b ab2 cos 2 2 2 α= + −
b) Leydesenos
b csen sen θ α
= ,luego
bc
sen sen θ
α=
Ejemplo 1.29 Unbarconavega40.0kmhaciaelEste, luegogiraynavega60.0kmalnoreste.Deter-minalamagnitudydireccióndeldesplazamientodelbarco.
SoluciónSeaDelvectordeldesplazamientodelbarco.
q r
a45°
N
O
S
E
60.0 kmD
40.0 km
Primero calculamos la magnitud del desplaza-miento. De acuerdo con la ley de cosenos y con eltriángulodelafiguraanterior,tenemos:
D2=(40.0km)2+(60.0km)2−2(40.0)(60.0)cosa
Observaquea=(180−45),osea135°:
D2=1600km2+3600km2−4800(−0.7071)D2=8594.08km2
D=92.7km
Ahora determinamos la dirección del desplaza-mientoaplicandolaleydesenos.
r
r
r
sen 60.0
sen 135º92.7
sen 60.0 sen 135º92.7
sen 60(0.7071)92.7
θ
θ
θ
=
=
=
r
r
r
sen 60.0
sen 135º92.7
sen 60.0 sen 135º92.7
sen 60(0.7071)92.7
θ
θ
θ
=
=
=
senqr=0.4576qr=sen−10.4576qr=27.2°
Ladireccióndeldesplazamientoes27.2°alNortedelEste.
Caso 5. Suma de dos vectores de origen común y no co-lineales
Ejemplo 1.30 Unbaúlesremolcadopormediodedoscablesqueformanentresíunángulode70°.Silasfuerzassobreloscablesson150y240N,respectiva-mente,calculalamagnitudyladireccióndelafuerzaresultante.
Solución
150 N
240 N
F1
F2
70°
Siseaplicaelmétododelparalelogramotenemos:
qr
FR70°
110°
150 N
150 N
240 N
Deacuerdoconlaleydecosenos:
FR2=(150N)2+(240N)2−2(150N)(240N)cos110°
FR2=22500N2+57600N2−(− 24625.45N2)
FR2=104725.45N2
FR=323.61N
El resultadodebe tener tres cifras significativas;portanto,alredondearqueda:
FR=324N
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56 Física I
Ahorasecalculaladireccióndelafuerzaresultan-teaplicandolaleydelossenos:
150 N
FR = 324 N
240 N
q R
110°
sen 150 N
sen 110º324 N
sen 150 N (sen 110º)324 N
R
R
θ
θ
=
=
senqR=0.4350
qR=sen−10.4350
qR=25.78°
Alredondearqueda:qR=25.8°
Componentes perpendiculares de un vectorEnestecapítuloaprendimosqueaunconjuntodevecto-resqueactúansobreunmismopuntopuederemplazarlosunvectorresultante.
Asimismo,unvectorpuedeconsiderarsecomolare-sultantededosvectorescondireccionesdiferentesaladeloriginal.Estosvectoresseconocencomovectores compo-nentes del vector. En esta sección sólo analizaremoslosvectorescomponentesrectangularescuyasdireccionessonlaverticalylahorizontal.
El proceso de determinar los vectores componentes
deunvectorsellamaresolución de vectores.Enlareso-lucióndeunvectorseutilizanlasproyeccionesdeéstealolargo de un sistema de coordenadas rectangulares.Estas proyecciones se denominan proyecciones componentes
del vector.ConsideremosunvectorVqueselocalizaenunsistema
decoordenadasrectangularesyqueformaunánguloqconelejexpositivo,comoseilustraenlafigura1.47.
y
θ
V
x
Figura 1.47
LaproyeccióndelvectorValolargodelejex, deno-tadaporVx, sellamacomponentex deVysuproyecciónalolargodelejey, denotadoporVy,sellamacomponentey deV.
y
x
v
q0
vy
vx
Figura 1.48
LoscomponentesoproyeccionesVxyVy nosonvec-tores,soncantidadesescalaresconsigno,locualnosper-miteefectuaroperacionesdesuma,resta,multiplicaciónydivisión.LoscomponentesVxyVysonnúmerospositivosonegativosconunidaddemedida.
Dadoquelosvectorescomponentessonperpendicu-laresentresí, formanuntriángulorectángulocuyamagni-tuddelvectorVeslaquecorrespondealalongituddelahipotenusa.Así,deacuerdoconlosprincipiosdelatrigo-nometríayelteoremadePitágoras,tenemos:
VV
sen yθ = ⇒ Vy=Vsenq
VV
cos xθ = ⇒ Vx=Vcosq
V 2= 2 2V Vx y+ . VV
tan y
x
θ =
q
V Vy
Vx
Elsignode loscomponentesrectangulares lodeter-minaelcuadranteendondeselocalizaelvectorV.Obser-valassiguientesfiguras:Primer cuadrante
Vx(+)Vy (+)
0
y
xθVx (+)Vy (+)
Figura 1.49
LibertadDigital (2015)
Tema 3 Introducción a los vectores 57
Segundo cuadrante
Vx(−)Vy (+)
qR=Ángulodereferencia=180−q
x
y
V
RθVx (-)Vy (+)
θ
Figura 1.50
Tercer cuadrante
Vx(−)Vy (−)
qR=q−180
y
V
xRθ
Vx (-)Vy (-)
θ
Figura 1.51
Cuarto cuadrante
Vx(+)Vy (−)
qR=360−q
x
y
Rθ
Vx (+)Vy (-)
θ
V
Figura 1.52
Ejemplo 1.31 Determinaloscomponentesrectan-gularesdelvectorF=80.0Na40°.
Solucióny
x40°
Fx=80.0Ncos40°
Fx=61.3N
Fy=(80.0N)sen40°
Fy=51.4N
Ejemplo 1.32 Determinaloscomponentesrectan-gularesdelvectorD=500ma120°.
Solucióny
D
x120°
Dx=Dcos120°Dx=500m(cos120°)Dx=−250mDy =Dsen120°Dy =500m(sen120°)Dy=433m
Ejemplo 1.33 Determinaloscomponentesrectan-gularesdelvectorV=80m/salsuroeste.
Solución
q = 225°
45°
N
O
S
E
V
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58 Física I
Observaqueq=180°+45°=225°
Vx =Vcosq
Vx=(80.0m/s)(cos225°)
Vx=80.0m/s(−0.707)
Vx=−56.6m/s
Vy=Vsenq
Vy=(80.0m/s)(sen225°)
Vy=80.0m/s(−0.707)
Vy=−56.6m/s
Ejemplo 1.34 Determinaloscomponentesrectan-gularesdelvectordelasiguientefigura.
y
F
60.0 N
x20°
SoluciónObservaque20°eslamedidadelángulodereferencia(ánguloqueformaelvectorconelejex).
q=360°−qR
q=360°−20°
q=340°
q = 340°
F
y
x
Fx=Fcosq
Fx=60.0N(cos340°)
Fx=56.4N
Fx=56.4NFy=60.0N(sen340°)
Fy=−20.5N
Suma de vectores por el método de los componentesLasolucióndevectores,esdecir,ladescomposicióndeunvectorensuscomponentes,sepuedeutilizarparasumarvectores.Elprocedimientoconsisteenlossiguientespa-sos:
1. Determinar el componente horizontal y vertical decadavector.
2. Sumarloscomponenteshorizontalesparaobtenerunvectorenladirecciónhorizontal,denotadoporRx.
3. Sumar los componentes verticales para obtener unvectorenladirecciónvertical,denotadoporRy.
4. ElvectorresultantesedeterminaporlasumavectorialRx+RyydadoqueRxyRysonperpendicularesentresí,entonces:R2=Rx
2+Ry2
Ry
Rx
α
tana= RRy
x
α = endondea es el ánguloque formael vectorresultanteconelejex.
Representaremos la dirección del vector resultanteporelsímboloq.
Acontinuaciónmostraremoscómodeterminarlame-didadeánguloqsegúnelcuadrantedondeselocaliceelvectorresultante.
Caso 1 SiRxyRytienensignopositivo,laresultanteRxselocalizaenelprimercuadrante.Enestecaso:a=q.
Ry
R
y
xRx
α = q
Caso 2SiRxesnegativoyRypositivo,elvectorresultanteselocalizaenelsegundocuadrante. Enestecaso:q=180°−a.
LibertadDigital (2015)
Tema 3 Introducción a los vectores 59
RyR
Rx
q = 180°– αα
Caso 3RxyRysonnegativos.Enestecaso,elvectorresul-tantequedaeneltercercuadrante,entonces:q=180°+a.
Ry
Rx q = 180°+ α
α
y
x
Caso 4RxtienesignopositivoyRynegativo.Enestecaso,el vector resultante queda en el cuarto cuadrante y: q =360°−a.
Ry
Rx
q = 360° – α
q
α
y
A
Ejemplo 1.35 Calcula lamagnitudy ladireccióndelvectorresultantedelsiguientesistemadefuerzas.
60° 40°
20° 15°
F1 = 140 N F2 = 60 N
F3 = 100 N
F4 = 30 N F5 = 100 N
F6 = 80 N
y
x
SoluciónDeacuerdoconlafigura,ladireccióndecadaunadelasfuerzases:
q1=60°q2=(180−40)°=140°q3=180°
q4=(180+20)°=200°
q5=270°
q6=(360−15)°=345°
Entonceslosvectoresson:
F1=140Na60°
F2=60Na140°
F3=100Na180°
F4=30Na200°
F5=100Na270°
F6=80Na345°
Determinemos a continuación los componentesrectangularesdecadavector:
Fx=Fcosq
Compruebaque:
F1x=70.0N
F2x=−46N
F3x=−100N
F4x=−28N
F5x=0N
F6x=77N
Rx=−27N
Fy=Fsenq
Compruebaque:
F1y=121N
F2y=39N
F3y=0N
F4y=−10N
F5y=−100N
F6y=−21N
Ry=29N
Deacuerdoconloanteriortenemos:
R
– 27 N
q qR
y
29 N
x
LibertadDigital (2015)
60 Física I
R2=(−27N)2+(29N)2
R2=729N2+841N2
R2=1570N2
R=39.6N≈40N
Observa que redondeamos 39.6 N a dos cifrassignificativas.
tan 2927
tan 2927
R
R1
θ
θ
=
= −
tan 2927
tan 2927
R
R1
θ
θ
=
= −
qR=47°
q=180°−47°
q=133°
Lamagnitudde la fuerza resultanteesde40Na133°.
ActividAdEs dE AprEndizAjE
I. Realizalasumadelossiguientesvectorescolineales.1. D1=40malOeste
D2=30malOeste2. D1=400malSur
D2=80malSur
3. F1=4Na0°F2=9Na180°
4. F1=60Na90°F2=75Na270°
5. V1=8m/salEsteV2=12m/salOeste
6. D1=70malNorteD2=90malSur
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Tema 3 Introducción a los vectores 61
7. V1=15m/sa20°V2=10m/sa200°
8. F1=15Na0°F2=15Na180°
II. Sumadedosvectorescuyaslíneasdeacciónsonperpendicularesentresí.1. Determinalamagnitudyladireccióndelafuerzaresultantedelsiguientesistemadefuerzas:
F1=40Na90°F2=30Na0°
FR qr
a) 60N a) 53.1°b) 50N b) 60°c ) 56N c ) 48°d ) 45N d ) 50°
2. Unhombrecamina400mhaciaelOesteyluego200mhaciaelNorte.Determinalamagnitudyladireccióndeldesplazamientoresultante.
Dr qr
a) 460m a) 26.6°alnortedelOesteb) 438m b) 26.6°alsurdelOestec ) 465m c ) 32°alnortedelOested ) 447m d ) 20°alnortedelOeste
3. UnaviónquevuelahaciaelOestea250km/hesempujadohaciaelSurporunaráfagadevientode50.0km/h.¿Cuáleslamagnitudyladireccióndelavelocidadresultantedelavión?
VR qr
a) 255km/h a) 13°alsurdelOesteb) 270km/h b) 15°alsurdelOestec ) 240km/h c ) 11.3°alsurdelOested ) 248km/h d ) 18°alsurdelOeste
LibertadDigital (2015)
62 Física I
4. Unapersonacamina50.0mhaciaelSur,yluego,80.0mhaciaelEste.Calculalamagnitudyladireccióndeldespla-zamientoresultante.
DR qr
a) 99.0m a) 40°alsurdelEsteb) 92.0m b) 32°alsurdelEstec ) 94.3m c ) 46°alsurdelEsted ) 100m d ) 58°alsurdelEste
III. Sumadedosvectoressinorigencomúnycuyaslíneasdeacciónnosonperpendicularesentresí.1. Unaviónvuela400kmhaciaelEste,luegocambiaderutayvuela500kma60°alnortedelEste.Determinalamag-
nitudydireccióndeldesplazamientoresultante.
60°
N
O
S
E
500 km
400 km
DR =781km q =33.7°≈34°alnortedelEste
2. Unaviónvuela200kmhaciaelEste,luegocambiaderutayvuela100kmhaciaelsuroeste.Determinalamagnitudydireccióndeldesplazamientoresultante.
45°
N N
S
O E
100 k
m
200 km
DR =147km q =28.75°≅29°alsurdelEste
LibertadDigital (2015)
Tema 3 Introducción a los vectores 63
3. Unbarconavega80.0kmhaciaelOesteyluego30.0kmhaciaelsuroeste.Determinalamagnitudydireccióndeldesplazamientoresultante.
45°
N
S
N
S
E
30.0 km
80.0 km
DR =103km q =11.9°≅12°alsurdelOeste
4. Siunautorecorre26.0kmhaciaelNorteyluegorecorre62.0kma30°alnortedelEste,¿cuáleslamagnitudydi-reccióndeldesplazamientoresultante.
30°
qR
DR
a
N
O E
S
62.0 km
26.0 km
DR =78.3km q =46.7°≅47°alnortedelEste
5. Dosfuerzasde40.0Ny60.0N,respectivamente,actúansobreunacaja.Sielánguloentrelasdosfuerzasesde60°,determinalamagnitudydireccióndelafuerzaresultanteconrespectoaF2.
40.0 N
60.0 N
F1
F2
60°
FR =87.2N qR =23.4°≅23°respectoalafuerzade60N
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64 Física I
6. Dosfuerzasde30.0Ny40.0N,respectivamente,seaplicansobreunmismocuerpo.Sielánguloentrelasdosfuerzasesde25.0°,calculalamagnitudydireccióndelafuerzaresultanteconrespectoaF2.
30.0 N
40.0 N
F1
F2
25.0°
FR qrconrespectoaF2
a) 60.8N a) 10.7°b) 62.0N b) 13°c ) 68.4N c ) 12°d ) 72.5N d ) 20°
7. Dosfuerzasde600.0Ny750.0N,respectivamente,seaplicansobreunautoparaarrastrarlo.Sielánguloentrelasdosfuerzasesde50°,calculalamagnitudydireccióndelafuerzaresultanteconrespectoaF2.
F1
F2
750 N
600 N
50°
FR qrconrespectoaF2
a) 1225N a) 18°b) 1300N b) 26°c ) 1180N c ) 32°d ) 1200N d ) 22°
8. Calculaloscomponentesrectangularesdeundesplazamientode80.0ma150°.
Dx Dy
a) 40m a) −69.2mb) 69.3m b) 40.0mc ) −69.3m c ) −40.0md ) −40m d ) 69.2m
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Tema 3 Introducción a los vectores 65
9. ¿Cuálessonloscomponentesrectangularesdeunafuerzade64.0Na300°?
Fx Fy
a) −55.4N a) 32.0Nb) 55.4N b) −32.0Nc ) 32.0N c ) −55.4Nd ) −32.0N d ) 55.4N
10. Deacuerdoconelsiguientesistemadefuerzas,calculalamagnitudydireccióndelafuerzaresultante.
30° 40°
F1
F2
y
x 60.0 N
85.0 N
FR qR
a) 85.6N a) 85°b) 90.0N b) 99°c ) 92.4N c ) 115°d ) 80.0N d ) 105°
11. Determinalamagnitudyladireccióndelafuerzaresultantedelsiguientesistemadefuerzas.
40°
55°
F1
F2
y
x
56 N
43 N
FR qR
a) 70.4N a) 205°b) 60.0N b) 175°c ) 67.5N c ) 195.6°≈196°d ) 75.2N d ) 215°
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66 Física I
12. ¿Cuáleslamagnitudydireccióndelafuerzaresultantedelsiguientesistemadefuerzas?
30° 20°
y
x
50.0 N 80.0 N
FR qr
a) 66.9N a) 300°b) 55.0N b) 280°c ) 61.3N c ) 320°d ) 70.6N d ) 291°
13. Deacuerdoconelsiguientesistemadefuerzas,hallalamagnitudydireccióndelafuerzaresultante.F1=60.0Na45° F2=20.0Na90° F3=40.0Na300°
FR qr
a) 76.1N a) 20°b) 60.4N b) 32°c ) 68.3N c ) 24°d ) 62.06N d ) 29°
Fx1= Fy1=
Fx2= Fy2=
Fx3= Fy3=
Rx= Ry=
Diferencia de vectoresPara determinar la diferencia de vectores A − B proce-demosadeterminarlasumavectorialA+(−B),dondeelvector−BeselnegativodeB.
ElvectorBysunegativo−Bsonvectoresparalelosdeigualmagnitudperodesentidocontrario.
B→
−B→
Figura 1.53
B y −
B son vecto-res paralelos de igual magni-tud pero de sentido contrario.
Enlasiguientefiguraseilustracómoobtenerladife-renciavectorial.
R
A
B
R = A + (−B) = A − B→ → → → →
−B
Figura 1.54 Diferencia vectorial.
ActividAdEs dE AprEndizAjE
1. Elabora una lista de cantidades físicas presentes ennuestroentornoinmediato,dondeesposibleobservarcuáles son lasmagnitudesescalaresycuáles sonvec-toriales.
2. Redactauninformedondeseobservelaaplicacióndelosvectoresdemaneracotidiana.
3. MarcaconunaX,segúnlamagnitudquecorresponda,lacantidadfísicaqueseteindica.
Magnitud Escalar VectorialTemperaturaMasaTiempoDesplazamientoÁreaAceleraciónDistanciaVolumenVelocidadFuerzaDensidad
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Tema 3 Introducción a los vectores 67
1. ( )Lascantidadesfísicasvectorialestienen…a) sólomagnitudb) sólodirecciónc) sólosentidod) todoloanterior
2. ( )Lascantidadesfísicasescalarestienen…a) sólomagnitudb) sólodirecciónc ) sólosentidod ) todoloanterior
3. ( )Esunacantidadfísicavectorial:a) distanciab) masac ) desplazamientod ) tiempo
4. ( )Esunacantidadfísicaescalar:a) desplazamientob) fuerzac ) masad ) velocidad
5. ( )Unapersonacamina100mhaciaelNorteysedetie-neacompraruncafé.Despuéscontinúasurutaenlamis-madirecciónycamina400m.Porúltimo,decidecaminarhaciaelSury recorre600m.Determina lamagnitudydireccióndeldesplazamientoresultante.a) 1100mb) 100mhaciaelNortec ) 100mhaciaelSurd ) 100m
6. ( )Unapersonacamina400malEsteyluego100malOeste.Calculalamagnitudydireccióndeldesplazamien-toresultante.a) 500malEsteb) 300malOestec ) 300malEsted ) 500malOestee) 300m
Unautomóvilrecorre16kmalEsteyluegotomalacarreterahaciaelNorteyrecorre10km.Deacuerdoconestosdatos,respondelaspreguntas7y8.7. ( )¿Cuáleslamagnituddeldesplazamientoresultante?
a) 22kmb) 28kmc ) 19kmd ) 26km
8. ( )¿Cuálesladireccióndeldesplazamientoresultante?a) 28°alnortedelEsteb) 35°alnortedelEste
c ) 58°alnortedelEsted ) 32°alnortedelEste
UnaviónsedesplazahaciaelOesteyrecorre300km.Des-puéscambiadedirecciónhaciaelNortey recorre400km.Respondelaspreguntas9y10.
9. ( )¿Cuáleslamagnituddeldesplazamientoresultante?a) 700kmb) 480kmc ) 600kmd ) 500km
10. ( )¿Cuálesladireccióndeldesplazamientoresultante?a) 62°alnortedelOesteb) 58°alnortedelOestec ) 53.1°alnortedelOested ) 50°alnortedelOeste
Unavióntomasurutadesdeelaeropuertoyvuela200kmhaciaelEste,yluegorecorre300kma60.0°alnortedelEste.Respondelaspreguntas11y12.
11. ( ) ¿Cuál es lamagnitud del desplazamiento resul-tante?a) 436kmb) 410kmc ) 280kmd ) 470km
12. ( )¿Cuálesladireccióndeldesplazamientoresultante?a) 42°alnortedelEsteb) 36.6°alnortedelEstec ) 30°alnortedelEsted ) 40°alnortedelEste
Dosfuerzasde60.0Ny80.0N,respectivamente,seaplicansobreunmismocuerpo.Sielánguloentrelasdosfuerzasesde35°,respondelaspreguntas13y14.
13. ( )¿Cuáleslamagnituddelafuerzaresultante?a) 134Nb) 128Nc ) 140Nd ) 183.4N
80.0 NF1
F2
60.0 N
35°
LibertadDigital (2015)
68 Física I
14. ( )¿Cuálesladireccióndelafuerzaresultanterespectoalafuerzade60.0N?a) 25.0°b) 17.0°c ) 20.0°d ) 27.0°
Deacuerdoconelsiguientesistemadefuerzas,contestalaspreguntas15y16.
30.0°
25.0°
F1 = 45.0 N
F2 = 90.0 N
F3 = 24.0 NF4 = 30.0 N
y
x
15. ( )¿Cuáleslamagnituddelafuerzaresultante?a) 0.30Nb) 35Nc ) 30.6Nd ) 28.2N
16. ( )¿Cuálesladireccióndelafuerzaresultante?a) 211°b) 205°c ) 221°d ) 240°
Respectoalasiguientefigura,contestalaspreguntas17,18y19.
R→
P→
Q→V
→
1
V→
2
A B
C D
17. ( )¿CuáldelosvectorescorrespondenalasumaV1+ V2?a) Pb) Qc ) R
18. ( )¿CuáldelosvectorescorrespondenaladiferenciaV1−V2a) Pb) Qc ) R
19. ( )¿Cuáldelosvectorescorrespondena−V1?a) Pb) Qc ) R
Comunicar para aprender
1. Explica con tuspropiaspalabras ladiferencia entreunconocimientocotidianoyunocientífico.
2. Mencionalasetapasdelmétodocientífico.3. Explica la diferencia entre las ciencias formales y las
cienciasfactuales.4. Explicaaunodetuscompañerosporquésonnecesarias
unidadespatrónoestándarenelprocesodelamedición.5. Explicaaunodetuscompañeroscomoexpresar108km/h
enm/s.6. Explicacontuspropiaspalabrascomoconvertir20m/s
akm/h.7. Explicaaunodetuscompañerosenquécasosesimpor-
tantelanotacióncientífica.8. Explicacómoexpresar0.00000078ennotacióncientífica.9. Explicacontuspropiaspalabrascómoexpresar
98000000000000ennotacióncientífica.10. Mencionalostiposdeerroresquesecometenenlame-
dición.11. Explícaleaunodetuscompañerosquésonlascifrassig-
nificativas.
12. Explica con tuspropiaspalabras ladiferencia entreunvectoryunescalar.
13. ExplícaleaunodetuscompañeroscómosedeterminanloscomponentesrectangularesdelvectorF=40Na30°.
14. Conrespectoalsistemadefuerzaquecorrespondealaspreguntas15y16detuevaluación(pág.68),explicaaunodetuscompañeroscómohallarlamagnitudyladi-reccióndelafuerzaresultante.
15. Explica con tus propias palabras cómo sumar vectoresporelmétodográficodelpolígono.
d1=8m→x
40°d2=6m→
y
Explica aunode tus compañeros cómohallar la sumadelosvectoresa→yb→delafiguraanterior,pormétodosanalíticos.
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Autoevaluación
Indicadores de desempeño
Nivel
Exc
elen
te
Bue
no
Ele
men
tal
Insu
ficie
nte
1. Establecelainterrelaciónentrelacienciaylatecnología.
2. Fundamentaelimpactodelacienciaylatecnologíaensuvidacotidiana.
3. Distingueunconocimientocientíficodeunocotidiano.
4. Reconocealmétodocientíficocomoelinstrumentodelainvestigacióncientífica.
5. Reconocelasetapasdelmétodocientífico.
6. Fundamentalaimportanciadelamedición.
7. Reconocelosdiferentessistemasdemedición.
8. Realizalaconversióndeunidadesdemedición.
9. Distingueunacantidadfísicafundamentaldeunaderivada.
10. Fundamentalaimportanciadelanotacióncientífica.
11. Expresacantidadesmuygrandesomuypequeñasennotacióncientífica.
12. Efectúaoperacionesennotacióncientífica.
13. Distinguelosdiferentestiposdeerroresenlamedición.
14. Determinalaprecisiónylaincertidumbre(errorabsoluto)deunamedición.
15. Comprendeelconceptodecifrasignificativa.
16. Efectúaoperacionesconcifrassignificativas.
17. Distingueladiferenciaentreunvectoryunescalar.
18. Representagráficamenteunvector.
19. Sumavectoresporelmétodográficoypormétodosanalíticos.
Tema 3 Introducción a los vectores 69
LibertadDigital (2015)
LibertadDigital (2015)
Bloque 2Identifica diferencias
entre distintos tipos
de movimiento
Conocimientos
• Movimiento unidimensional• Movimiento rectilíneo uniforme, mru
• Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, mrua
• Caída libre• Movimiento en dos dimensiones• Movimiento circular
Desempeños• Define conceptos básicos relacionados con el movimiento.• Identifica las características del movimiento de los cuerpos en una y dos dimensiones.• Reconoce y describe, con base en sus características, diferencias entre cada tipo de movi-
miento.
Competencias que se busca desarrollar• Identificaproblemas, formulapreguntasdecarácter científicoyplantea lashipótesisnecesarias
pararesponderlas.• Obtiene,registraysistematizalainformaciónpararesponderpreguntasdecaráctercientíficome-
diantelaconsultadefuentesrelevantesylarealizacióndeexperimentospertinentes.• Contrastalosresultadosobtenidosenunainvestigaciónoexperimentoconhipótesispreviasycomu-
nicasusconclusionesenequiposdiversosrespetandoladiversidaddevalores,ideasyprácticassociales.• Valoralaspreconcepcionespersonalesocomunessobrediversosfenómenosnaturalesapartirde
evidenciascientíficas.• Haceexplícitaslasnocionescientíficasquesustentanlosprocesosparalasolucióndeproblemas
cotidianos.• Explicaelfuncionamientodemáquinasdeusocomúnapartirdenocionescientíficas.• Relacionalasexpresionessimbólicasdeunfenómenodelanaturalezaylosrasgosobservablesa
simplevistaomedianteinstrumentosomodeloscientíficos.• Analizalasleyesgeneralesquerigenelfuncionamientodelmediofísico.• Proponemanerasdesolucionarunproblemaodesarrollarunproyectoenequipodefiniendoun
cursodeacciónconpasosespecíficos.• Aportapuntosdevistaconaperturayconsideralosdeotraspersonasdemanerareflexiva.• Dialogayaprendedepersonascondistintospuntosdevistaytradicionesculturalesmediantela
ubicacióndesuspropiascircunstanciasenuncontextomásamplio.• Asumequeelrespetodelasdiferenciaseselprincipiodeintegraciónyconvivenciaenloscontextos
local,nacionaleinternacional.
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Respondelassiguientespreguntasconbaseenloqueaprendistedefísicaenlasecundariayenloquetuexperienciacotidianatehamostrado.
1. ¿Quésignificadesplazamiento?
2. ¿Hayalgunadiferenciaentredesplazamientoydistancia?
3. ¿Quéesunatrayectoria?
4. ¿Quésignificanparatilostérminosvelocidadyrapidez?;¿sonlomismoohayalgunadi-ferenciaentreellos?
5. ¿Quéentiendesporaceleración?
6. ¿Cuántasclasesdemovimientoconoces?
7. Cuandosueltasunobjetodesdeciertaaltura,éstecae,¿porqué?
8. ¿Quéocurrecuandolanzasunobjetohaciaarribaenformavertical?
9. Unbalónalserpateado,unabaladecañónalserdisparadaycualquierobjetolanzadohaciaarribayalfrentedescribenunciertotipodemovimiento,¿sabesquénombrerecibeéste?
10. ¿Quéesunradiányacuántosgradossexagecimalesequivale?
11. ¿Quésignificaparatielconceptomovimiento circular uniforme?
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movimiento
mecánica
cinemática
dinámica
partícula material
marco de referencia
sistema de referencia
sistemas inerciales
sistema de referencia
absoluto
sistema de referencia
relativo
vector de posición
vector desplazamiento
rapidez
velocidad
rapidez promedio
rapidez constante
velocidad media o promedio
aceleración
desaceleración
rapidez instantánea
velocidad instantánea
aceleración instantánea
Movimiento unidimensional
Tema I
Defi nición de conceptos
MovimientoLaformamássimpledemovimientoeneluniversoeslaqueexperimentaunobjetocuandocambiasuposiciónenelespaciorespectoaotroeneltranscursodeltiempo.Aestecambiodeposiciónse leconocecomomovimiento mecánico.
Laramadelafísicaclásicaqueestudiaelmovimientodelosobjetoseslamecánica,lacualsesubdivideencine-máticaydinámica.
Modelo de partícula materialPararepresentaryestudiarelmovimientodeunobjetoseestablecióelconceptodepartícula material.Estapartícu-laabstractaseconsideracarentededimensionesespacia-les,aligualqueunpuntogeométrico,peroocupaunlugarenelespacioypuedecambiarsuposiciónenél.
Planeta
t4
t3
t1
t2
A A
Sol
Figura 2.1 Esquema de la distancia entre el Sol y los planetas.
Considerarunobjetocomounapartículamaterialrequie-re que sus dimensiones seanmuy pequeñas comparadascon lasdimensionesdesutrayectoria.Porejemplo,con-sideraelmovimientodelosplanetasalrededordelSol.Apesardesusgrandesdimensiones,losplanetassepuedenconsiderarcomopartículasmaterialesporque su tamañoesdespreciable(esdecir,muypequeño)respectoaladis-tanciaquelosseparadelSol.
La formulaciónde la partículamaterial se establececonelfindeestudiarelmovimientoprincipaldeunobjetosinconsiderar susmovimientos internos.Porejemplo, siqueremosdescribirelmovimientodeunavión,noconsi-deramoslosmovimientosinternosqueexperimentanlosobjetosypersonasqueviajanensuinterior.
Defi nición de cinemáticaEl cambio de posición de una partícula material de unpuntodereferenciaaotrocorrespondeaundesplazamien-toquepuedeserunatraslaciónsitodaslaspartículasdelobjeto experimentan losmismos desplazamientos en unintervalodetiempodado;obien,unarotaciónsitodaslaspartículasdedichocuerposemuevenenuncírculocuyocentroeselpuntodereferenciayésteseubicasobreunalínearectallamadaeje de rotación.Tambiénesposiblelaconjugacióndeunatraslaciónconunarotación.
La razón de cambio del desplazamiento respecto altiempoeslavelocidaddelobjeto.Lavelocidadeslinealenelcasodeunatraslación,yangularenelcasodeunarotación.
Larazóndecambiodelavelocidadrespectoaltiempoeslaaceleraciónqueexperimentalapartículaensumovi-miento,yaligualquelavelocidad,eslinealparatraslacio-nesyangularrespectoalasrotaciones.
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74 Física I
La utilización de todos estos conceptos (desplaza-miento, velocidad, aceleración,distancia y rapidez)posi-bilita describir elmovimientodeunapartículamaterial.Deestamanerasedesarrollólacinemáticacomolaramadelamecánicaqueestudiaabstractamenteladescripcióndelmovimientodelosobjetosensuaspectomássimple,considerándolocomounmerocambioespacio-temporal,perosintomarencuentalascausasqueloproducenomo-difican,nitampocosusefectos.
Lacinemáticaeslaramadelamecánicaqueestudialadescripcióndelmovimientodelosobjetos,conside-rándolocomounarelacióndecambioespacio-tem-poralsinconsiderarlascausasqueloproducen,omo-difican,nisusefectos.
Definición de dinámicaLos cambios que experimentan los objetos en sumovi-mientosonproductodeciertascausasyasuvezgenerandeterminadosefectos.Dichodeotramanera,siunobjetoenrepososeponeenmovimientoosiestáenmovimientoy su velocidad experimenta un cambio demagnitud, dedirecciónodeambascaracterísticas–loquesedebea laaccióndealgunafuerzaoalaconjugacióndevariasfuer-zas–,laconsecuenciaserálarealizacióndedeterminadoscambiosdebidosalareacciónquesurgeinevitablemente.
Laconsideraciónde lasfuerzasqueproducenomo-dificanelmovimientodelosobjetosoqueseoponenasurealizaciónconstituyeelcampodeestudiodeladinámica.
Ladinámica es la ramade lamecánica que estudiaelmovimientodelosobjetosconsiderandolascausas(fuerzas)queloproducenomodifican.
Marco de referencia y sistemas de referenciaElmovimientodetodoloqueexisteesuniversal;detalma-neraquetodoslosobjetosyeluniversoensuconjuntoestánenmovimiento.Sinembargo,paradescribirodeterminarelmovimientodeunobjetoesimperativoreferirloaalgúnotroobjetoquesirvacomomarcoopuntodereferencia.
Un marco de referencia es una entidad física cual-quiera;porejemplo,unposte,unacasa,unvehículoenmovimiento,unaviónounplaneta.
Figura 2.2 Ejemplos de marcos de referencia.
Carácter relativo del reposo y del movimientoElreposoyelmovimientodeunobjetosonrelativos;esdecir,dependendelacondicióndelobjetorespectoalmar-codereferenciaestablecido.Porejemplo,unposteyunacasaestánenreposorespectoa laTierra,peroenmovi-mientorespectoalSol.
Decimosqueunobjetoestáenmovimientorespectoasumarcodereferenciacuandocambiasuposicióneneltranscursodeltiemporespectoadichomarco.Sinohaycambiodeposición,decimosqueestáenreposo.Porejem-plo,unapersonasentadaenunodelosasientosdeunautoenmarchaseencuentraenmovimientorespectoalaTie-rra,peroenreposorespectoadichoauto.Porelcontrario,unárbol,unposteounsemáforoestánenreposorespectoalaTierra,peroenmovimientoencuantoalauto.
Analicemoselsiguienteejemplo.SupongamosqueuntrenviajahaciaelEsteaunavelocidadde40km/h.Siunapersonaqueviajaeneltrencaminaaunavelocidadde2.0km/henlamismadirecciónysentido,entonces,respectoalaTierra,suvelocidadseráde:
40 kmh
2.0 kmh
42 kmh
+ =
SilapersonacaminaalamismavelocidadperohaciaelOeste,suvelocidadrespectoalaTierraseráde:
40 kmh
2.0 kmh
38 kmh
− =
LibertadDigital (2015)
Tema 1 Movimiento unidimensional 75
SiunautoviajaalamismavelocidaddeltrenhaciaelEste,lavelocidaddeltrenrespectoalautoescero;esdecir,eltrenrespectoalautoestáenreposo,yviceversa.
Sistema de referenciaAlconsiderar el carácter relativodel reposoydelmovi-mientoy lanecesidaddedescribir elmovimientodeunobjeto,elobservadordebedefinirunsistemadereferenciarespectodel cual analizar elmovimiento.Un sistemadereferenciaseconstituyede:
• Unobjetoquecumplelafuncióndemarcodereferencia.• Unsistemadeejesdecoordenadasasociadoalmarco
dereferencia.• Laindicacióndelinstanteenelcualseempiezaaana-
lizarelmovimiento.
X
Z
YO
Figura 2.3 Un sistema de referencia.
Medianteunsistemadereferenciapodemosdetermi-narlaposicióndeunobjeto,yaseaqueésteseencuentreenmovimientooenreposo.Silascoordenadasdelapo-sicióndeunobjeto cambian, está enmovimiento; de locontrario,estáenreposo.
x2x1x0
x
Figura 2.4 Dado que en este ejemplo se presenta un cambio de coordenadas, podemos decir que el auto está en movimiento.
Sistemas de referencia absolutos y relativosEn laantigüedad, los físicos creíanen la existenciadeunsistemade referencia absoluto.Bajo este sistema, para unobservadorqueestuvieraenreposo, lascantidades físicas,
desplazamiento, velocidad y aceleración tendrían sus va-lores absolutos o verdaderos. Sin embargo, dado que fueimposible establecer un sistema de referencia absoluto yestá comprobado que no existe ningún objeto en reposoabsoluto,esteplanteamientosedesechó.
La físicaclásicaconsideracomosistemade referen-ciacualquiersistema,detalmaneraquetodoobjetoquenoestésometidoalaaccióndeunafuerzaseencontraráenreposoosemoveráconvelocidadconstantealolargodeuna trayectoria rectilínea respectoadicho sistema.Aestossistemasdereferenciaselesconocecomosistemas inerciales.
Siseconsideraqueelsistemadereferenciaestáfijo,seledenominasistema de referencia absoluto, ysisesu-ponequeestáenmovimientoselellamasistema de refe-rencia relativo.
Alestudiarladescripcióndelmovimientodelosobje-tosresultadegranutilidadconsideraralaTierracomounsistemadereferenciafijo.
X
Z
Y
O
Figura 2.5 Sistema de referencia absoluto.
X
Z
Y
Figura 2.6 Sistema de referencia relativo.
Cuandodefinimosunsistemadereferenciaesconve-nienteseleccionarelorigendelsistemadeejesdecoordena-dasenunaposiciónparaasífacilitarladescripcióndelmo-vimientoenparticularynocambiarlomientrasseanaliza.
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76 Física I
Debido a que en este texto estudiaremos el movi-mientorectilíneo(movimientounidimensional)yelmo-vimientosobreunplano (movimientoendosdimensio-nes),sóloutilizaremossistemasdereferenciaconunejedecoordenadasodos,segúnseaelcaso.
X1X00
X
t0 t1
Desplazamiento
Figura 2.7 Sistema de referencia unidimensional horizontal.
Sistema de referencia unidimensional vertical
Y
y
-y
0
A
YB
B
B
0
100 m
Figura 2.8 Sistema de referencia unidimensional vertical.
Sistema de referencia bidimensional
Movimiento de proyectiles
Y
X
Figura 2.9 Sistema de referencia bidimensional.
Vector de posición y desplazamiento de una partícula materialConsideremosqueenunsistemadereferenciabidimensionalyenuninstantedetiempot0,unapartículamaterialseloca-lizainicialmenteenelpuntoA,comoloilustralafigura2.10.
Ay0
x0
y
x0
Figura 2.10
Supongamosquedespuésdeuntiempot,lapartículaselocalizaenelpuntoBysiguelatrayectoriaquemuestralasiguientefigura:
x
TrayectoriaA
B
y
Figura 2.11
Lalongituddelatrayectoriaquedescribelapartículamaterial en el intervalode tiempodesde t0hasta t es ladistanciaquerecorre.Estacantidadfísicaquedaregistradaconunnúmeroyunaunidaddemedida;loquenoscon-duceaestablecerqueladistanciaesunacantidadescalar.
LaposicióndelapartículaAladeterminanlascoor-denadas (x0, y0) o también el vector cuya representacióngráficauneelorigendelsistemaconelpuntoAconsenti-dohaciaA.Dichovectorsedenominavectorde posiciónyserepresentacomod0.
x
y
A
B
d0
Figura 2.12 El vector de posición d0
��� corresponde a la posición
inicial del objeto en cuestión.
LibertadDigital (2015)
Tema 1 Movimiento unidimensional 77
Asimismo,laposicióndelapartículaenelpuntoBladeterminanlascoordenadas(x,y)otambiénelvectordeposición
d comoilustralafigura2.13.
x
y
y0
y
x0 x
B
A
d0
d
Figura 2.13 El vector de posición d
corresponde a la posición final del objeto.
Elcambiodeposiciónqueexperimentaunapartículamaterialsellamadesplazamiento.Estacantidadfísicaesunvectorquegráficamenteserepresentamedianteelsegmentoderectaqueunesuposicióninicialconsuposiciónfinalconsentidohacialaposiciónfinal.
Ennuestroejemplo,eldesplazamientodelapartícula,denotadopor d , serepresentagráficamenteconelseg-mentoderectaorientadoqueune lospuntosAyB consentidohaciaBcomoloilustralafigura2.14.
x
y
∆d
d
d0
A
B
Figura 2.14
Deacuerdocon ladefiniciónde la restadevectoressabemosque:
d +(-d0) = d - d0
Ahoraobservalasiguientefigura:
x
y
∆d
d
–d0
A
B
Figura 2.15
(-d0)+d=Dd
Luego:
-d0+d=Dd
Osea:
Dd=d-d0
Elcambiodeposiciónodesplazamientoesunaope-raciónqueserepresentaasí:
(Dd)=Vectordeposiciónfinal(d)–Vectordeposi-cióninicial(d0).
Cuandoelmovimientodeunapartículamaterial seproduceenunadimensión,esdecir,esrectilíneo,suposi-ciónsedeterminaindicandoaquédistanciaseencuentradelorigendelsistemadecoordenadas.Elcambiodeposi-cióndondeseincluyeelsignodelcambioeseldesplaza-mientodelapartículamaterial.Deestemodo,laposicióndeunobjetotambiénestáreferidacomosudesplazamien-todesdeelorigen.
ConsideramosqueunapartículamaterialcambiadeposicióndesdeelpuntoAhastaelpuntoBenunsistemadereferenciaunidimensionalcomoelqueilustralafigura2.16.
O A B
0 x0 x
Figura 2.16
Deacuerdoconel sistemadereferencia, laposicióninicialyfinaldelapartículaladeterminanlascoordenadasx0yx,respectivamente.Porconsiguiente,eldesplazamien-to(cambiodeposición)lodeterminalaexpresión:
Dx=x-x0,donde:
x= Posiciónfinaldelapartícula(posiciónenB)x0= Posicióninicialdelapartícula(posiciónenA)Dx= Desplazamiento (cambio de posición que experi-mentalapartículaalmoversedesdeAhastaB.
SielsignodeDxespositivo,significaqueelsentidodelvectordesplazamientovaendirecciónpositivadelejex;mientrasquesiesnegativo,elsentidodelvectordespla-zamientovaendirecciónnegativadelejex.
Enlossiguientesejemplossedeterminaeldesplaza-mientodeunobjetoquesemuevedesdeelpuntoAhastaelpuntoB.
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78 Física I
Ejemplo 2.1
0 A B0 60 m 100 m
Oeste Este
dirección negativa dirección positiva
Solución
Dx=x-x0,dondex=100myx0=60m
Luego:Dx=100m-60mDx=40mhaciaelEste
Ejemplo 2.2
AB
x x0
0 60 m 100 m2)
Solución
Dx=x-x0,dondex=60myx0=100m
Luego:Dx =60m-100mDx=-40m
Comoel signodeDx esmenos, estonos indicaque el sentidodel vector desplazamiento es hacia elOeste.
Ejemplo 2.3
A BO−100 m 300 m0 E
xx0
Solución
Dx=x-x0,dondex=300myx0=–100m
Luego:
Dx=300m-(-100m)
Dx=400mhaciaelEste
Ejemplo 2.4
B A O−140 m −60 m 0
4) y.
x x0
SoluciónDx=x-x0
Dx=-140m-(-60m)Dx=-140m+60mDx=-80m
Ejemplo 2.5
B A O−80 m −20 m 0
x x0
SoluciónDx= x -x0
Dx=-80m-(-20m)Dx=-80m+20mDx=-60m
Rapidez y velocidadEnlavidacotidianautilizamoslaspalabrasrapidezyve-locidad indistintamente; sinembargo,enel campode lafísicacadaunatieneunsignificadoparticular.
Por intuición,yaestamos familiarizadosconel con-cepto de rapidez.Unobjeto enmovimiento recorre unadistanciaenun intervalode tiempodado.La rapidezeselcocientequeresultadedividirladistanciarecorridayeltiemporequeridoparaeltrayecto.
Supongamosqueunapersonaviajaensuautodesdesucasahastaelaeropuerto.Eneltrayectoyenciertosin-tervalosdetiempo,larapidezdelautopuedeserconstante,mientrasqueenotros,puedeaumentar,disminuiroinclu-solavelocidadpuedeserigualaceroconsiderandoquealconductorlepuedetocarunsemáforoenrojo,obientienequedetenerseporalgunarazón.Enestasituación,loqueleinteresaalconductoreslarapidezpromediodesuauto.
Larapidez promedio o rapidez media(v)sedefinecomoladistanciarotal(d )querecorreunobjetodi-vididoentreeltiempo(t )quetardaenrecorrerla.Lafórmulaparaexpresarlaes:
=v dt
Dondev esigualarapidezmedia.
Ejemplo 2.6 Siunaviónrecorre600kmen2ho-ras,calculasurapidezmedia.
Solución
=
=
=
v dt
v
v
600km2 h
300km h
LibertadDigital (2015)
Tema 1 Movimiento unidimensional 79
Alexpresarelresultadoconunacifrasignificativa,queda:
v 3 10 km h2= ×
Ejemplo 2.7 Ernestocamina80mhaciaelNorteyluego90mhaciaelSur.Sieltiempototaldelreco-rridofuede2minutos,calculalarapidezmediadelapersonaenmetrosporsegundo.
Solución
=
=+
= =
v dt
v
v
80m 90m120s
170 m120 s
1.416m s
Alexpresarel resultadocondoscifras significa-tivasqueda:
=v 1.4m s
Silamagnituddelarapidezpromedioeslamis-maentodaslaspartesdelrecorrido,entonceslarapi-dezesconstante.
Larapidezesunacantidadfísicaescalardebidoaquetantoladistanciacomoeltiempotambiénloson.Larapi-dezresultadelacombinacióndeunaunidaddelongituddivididaentreunaunidaddetiempo.Launidadestándardelarapidezenelsieselm/s.
Lacantidadfísicaquedescribetantolarapidezcomoladireccióndelmovimientodeunobjetoeslavelocidad;porestarazón,yadiferenciadelarapidez,lavelocidadesunacantidadvectorial.
Si unobjeto experimentaundesplazamientoDd enunintervalodetiempoDtlavelocidadmediaovelo-cidadpromedio(v)sedefinecomoeldesplazamientodivididoentreelintervalodetiempoduranteelcualeldesplazamientosellevaacabo.
v = dt
Dondev esigualavelocidadmedia.
En elmovimiento rectilíneo, la velocidad promediopuedeserpositivaonegativa,loquedependedelsignodeldesplazamiento.
Unavelocidadpositivanosindicaqueelmovimientodel objeto es en la dirección considerada comopositiva;mientras que si es negativa, nos indica que el objeto semueveenladirecciónopuestaalapositiva.
Ejemplo 2.8 Unautorecorre8.0kmhaciaelOesteyluego15kmhaciaelNorte.Sieltiempototaldesurecorridofuede0.50horas,determina:
a) Larapidezpromedio.
Solución
=
=+
=
=
v dt
v
v
v
8.0km 15km0.50 h
23 km0.50 h
46km h
b) Lavelocidadmedia.
Solución
v = dt
Dondet0=0yt=0.50h
O E
15 km
8.0 km
S
N
Rθ
∆d
Luego:
(Dd)2=(15km)2+(8.0km)2
Dd=17km
Luego:
=
=
v
v
17 km0.50 h
34km h
Determinemos a continuación ladirecciónde la ve-locidad.
Deacuerdoconlafiguraanterior:
tanqr=158
LibertadDigital (2015)
80 Física I
qr=arctan158
qr=62°alNortedelOeste
Ejemplo 2.9 Talíacorre70mhaciaelEsteyluego80mhaciaelOeste.Sieltiempototaldesurecorridofuede30segundos,calcula:
a) Larapidezmedia
Este70 m
80 mOeste
Solución
=
=+
=
=
dt
70m 80m30s
150 m30s
5.0m s
v
v
v
v
Solución
b) Lavelocidadmedia.
Solución
v= dt
v= 1030s
v= 0.33m s
Dado que la velocidad es un vector, tendremosquedefinirunsistemadereferencia.
O E
dirección negativa
direcciónpositiva
0t0 = 0
Primerodeterminamos el desplazamiento resul-tantedeldeportista.
d = 70m 80md = 10m
Luego:
v= dt
v= 1030s
v= 0.33m s
v= dt
v= 1030s
v= 0.33m s
El signo negativo de la velocidad promedio in-dicaqueladirecciónyeldesplazamientosonhaciaelOeste.
Ejemplo 2.10 Antesdepartirdesucasa,unaper-sonaobservaqueelodómetrodesuautomóvilmarca8600km,2.0horasdespuésregresayobservaqueelodómetromarca8690km.Determina:a) Larapidezmedia.
Figura 2.17 Si la magnitud de la velocidad de un objeto cambia, está acelerado.
Solución
=v dt
Donde:= −
=
d
d
(8690 8600)km
90km
Luego:=
=
v
v
90km2.0 h
45km h
b) Lavelocidadmedia.
Solución
v= dt
v= 1030s
v= 0.33m s
Donde:Dd=0
¿Porqué?luego,
=v 0
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Tema 1 Movimiento unidimensional 81
Aceleración mediaCuandounobjetosemueve,durantesurecorridoesco-múnquesuvelocidadvaríe.A la razóndecambiode lavelocidadrespectoaltiemposelellamaaceleración.Sienuninstantet0lavelocidaddeunapartículamaterialesn0yposteriormente,enuntiempotesn,entonceslaacelera-ciónpromedio,denotadapora,sedefinecomoelcambiodevelocidadqueexperimentalapartículadivididaentreelintervalodetiemporequeridoparaelcambio
a = vt
a =v v0
t t0
Si t0 = 0
Entonces
=−
av vt
0
Dado que la velocidad es un vector, la aceleracióntambiénloes.Lasunidadesdemedicióndelaaceleraciónsonlasqueresultandedividirlasunidadesdelavelocidadentrelasdeltiempo.Enelsi,launidaddelaaceleraciónes:
=m s
sm s2
Esimportantequeconsideresqueunobjetoexperi-mentaunaaceleracióncuando:
a) Lamagnituddelavelocidadcambia.b) Ladireccióndelavelocidadcambia.c) Ladirecciónylamagnituddelavelocidadcambian.
10 m/s 12 m/s 14 m/s 16 m/s 18 m/s
V0 V
X
Figura 2.18 Si la magnitud de la velocidad de un objeto cambia, está acelerado.
Figura 2.19 Aunque la rapidez de un auto es constante, si cam-bia su dirección está acelerado.
Ejemplo 2.11 Unautoque viaja sobreuna rectacambiasuvelocidadde20m/sa12m/sen4.0s.Cal-culasuaceleraciónpromedio.
Solución
v0 = 20 m/s v = 12 m/s
0t0 = 0
t = 4 sx
a = vt
a = 12m s 20m s4.0s 0s
=8.0m s
4.0s
a = 2.0m s2
Elsignonegativodelaaceleraciónnosindicaquesudi-recciónesopuestaaladireccióndelmovimientodelob-jeto;loquehacesermáslentoalautomóvil.Aunaace-leracióndeestetiposeleconocecomodesaceleración.
Rapidez, velocidad y aceleración instantánea
Rapidez instantáneaAlarapidezconquesemueveunobjetoenuninstantedado se le denomina rapidez instantánea. Por ejemplo,la lecturadel velocímetrodeunautomóvilnos indica larapidezinstantáneadelauto.
Figura 2.20 Un velocímetro indica la rapidez instantánea de un automóvil.
Para calcular la rapidez instantánea enunpuntoA,sedeterminalarapidezpromedioduranteunintervalodetiempo(Dt)muypequeño;matemáticamentesignificaqueDtseacercaacero.
LibertadDigital (2015)
82 Física I
Laideacentralenestecasoesqueladistancia(Dd )sehará infinitamentepequeña amedidaqueDt sehagainfinitamentepequeña;sinembargo,surelación d
ttenderá
aunvalorfinitolímite.Estevalor límitealquetiende d
tcuandoDt tiendea
cerosellamarapidezinstantáneaymatemáticamenteseex-presaasí:
v =t 0
límdt
Velocidad instantáneaLomismoquesucedeconlarapidezocurreconlavelocidad;cuandoDtseacercaacero,obtenemoslavelocidadinstan-tánea,lacualdescribequétanrápidoyenquédirecciónseestámoviendounapartículamaterialenuninstantedado.
Matemáticamente,lavelocidadinstantáneasedeter-minaporlaexpresión:
V =t 0
lím ( d t )
Laexpresiónanteriornosindicaquelavelocidadins-tantáneaeselvalorlímitealquetiendelavelocidadpro-mediocuandoelintervalodetiempoDtseaproximaacero.
Aceleración instantáneaLaaceleracióninstantáneasedeterminaporlaexpresión:
a =t 0
límvt
Estafórmulanosindicaquelaaceleracióninstantáneaeselvalorlímitealquetiendelaaceleraciónmediacuandoelintervalodetiemposeacercaacero.
Encursossuperioresdematemáticasaprenderásade-terminarlavelocidadylaaceleracióninstantáneadeunapartículamaterialconlaayudadelcálculo.
ActividAdes de AprendizAje
1. Carmelitacamina60mhaciaelNorteyluego60mhaciaelSur.Sieltiempototaldesurecorridofuede60s,yseconsideraladirecciónhaciaelnortecomopositiva,determina:
60 m
60 m
N
S
a) Surapidezmediaa) 2.0m/sb) 0m/sc ) 2m/sd ) 1.5m/s
b) Suvelocidadmediaa) 2.0m/sb) 0m/sc ) 2m/sd ) 1.5m/s
2. Unatletacorre400mhaciaelEsteyluego500mhaciaelOeste.Sieltiempototaldesurecorridofuede4minutos,consideraladirecciónhaciaelestecomopositivaycalcula:
400 m E
500 mO
a) Surapidezmediaenm/sa) 3.50m/sb) 3.25m/sc ) 3.75m/sd ) 4.00m/s
c) 3.75m/s
b) Suvelocidadmediaenm/sa) –0.417m/sb) 3.75m/sc ) 4.17m/sd ) –3.75m/s
a) -0.417m/s
LibertadDigital (2015)
Tema 1 Movimiento unidimensional 83
3. Unaflechaqueselanzaverticalmentehaciaarribaalcanzaunaalturamáximade29.4m.Siregresaasupuntodepartida6.0segundosdespués,calcula:
6.0 s
a) Larapidezmediadelaflecha.a) 4.9m/sb) 0m/sc ) 9.2m/sd ) 9.8m/s
d) 9.8m/s
b) Suvelocidadmediaa) 0.49m/sb) 0m/sc ) 0.92m/sd ) 0.98m/s
b) 0m/s
4. Raquelrecorreensubicicleta12kmen1.5h.Calculasurapidezmediaenm/s.
12 km
1.5 h
a) 3.0m/sb) 2.2m/sc ) 2.8m/sd ) 2.0m/s
b) 2.2m/s
5. Unpatinadorsedesliza30mhaciaelNorteyluego20mhaciaelSur.Sieltiempototaldesurecorridofuede5.0syseconsideraladirecciónhaciaelNortecomopositiva,determina:
30 m N
S
5.0 s
20 m
a) Surapidezmediaa) 12m/sb) 10m/sc ) 2.0m/sd ) 1.0m/s
b) Suvelocidadmediaa) –2.0m/sb) 2.0m/sc ) 3.0m/sd ) 4.0m/s
b) 2.0m/s
LibertadDigital (2015)
84 Física I
6. Uncorredordaunavueltacompletaalrededordeunapistacircularde60mdediámetro.Sieltiempodesurecorridofuede50s,calcula:
d = 60 m
50 s a) Surapidezmedia.a) 4.1m/sb) 3.5m/sc ) 3.8m/sd ) 4.5m/s
c) n=3.8m/s
b) Suvelocidadmedia.a) 3.8m/sb) 3.5m/sc ) 4.5m/sd ) 0m/s
7. Uncorredorda1.5vueltasalrededordeunapistacircularde30mderadio.Sieltiempototaldesurecorridofuede60segundos,calcula:
r = 30 m
60 s a) Surapidezmedia.a) 4.7m/sb) 5.4m/sc ) 4.0m/sd ) 3.9m/s
a) n=4.7m/s
b) Lamagnituddesuvelocidadmedia.a) 0.71m/sb) 1.0m/sc ) 4.7m/sd ) 1.6m/s
b) n=1.0m/s
8. Unamotoviajaconunarapidezpromediode72km/h.¿Quédistanciarecorreráen20s?Expresaladistanciaenmetros.
v = 72 km/h
20’
a) 4.0×102mb) 4.5×102mc ) 3.8×102md ) 3.5×102m
a) 4.0×102m
LibertadDigital (2015)
Tema 1 Movimiento unidimensional 85
9. Supongamosquealas8:00am,elautodetupapásaledelacocheradetucasa.Elodómetromarca8600km;después,alas6p.m.queregresa,elodómetromarca8690km.Conbaseenestosdatos,calcula:
6 pm7 am
a) Larapidezmediadelautoenkm/ha) 8.5km/hb) 10km/hc ) 9.5km/hd ) 9.0km/he) 0km/h
b) La velocidadmediadelauto.a) 8.5km/hb) 10km/hc ) 9.5km/hd ) 9.0km/he) 0km/h
ActividAdes de AprendizAje
1. Elaboraunlistadodeobjetosqueseencuentranensucasaoentornosocialoculturalquedemaneraperiódi-caoconstantemuestrenalgúntipodemovimiento.
2. Dibujaunmapaconlascallesy/ocallejonesdetuco-munidady localiza lacasadondevivesy laescuelaadondeasistes,ytrazaunalíneaolascurvasdelcaminoquesiguesparallegaralaescuela.
O
N
E
S
Escribeenelparéntesislaletraquecorrespondaalarespues-tacorrecta.
1. ( )Ramadelafísicaqueestudiaelmovimientomecáni-codeloscuerpos.a) acústicab) ópticac ) mecánicad ) electromagnetismoe) termodinámica
2. ( )Estudialadescripcióndelmovimientodeloscuer-possinatenderlascausasqueloproducenomodifican.a) dinámicab) estáticac ) acústicad ) cinemáticae) termodinámica
3. ( )Estudiaelmovimientodeloscuerposatendiendolascausasqueloproducenomodifican.a) cinemáticab) dinámicac ) acústicad ) ópticae) termodinámica
4. ( )Cantidadescalarquerepresentalalongituddelatra-yectoriaquedescribeunobjetoenmovimiento.a) tiempob) desplazamientoc ) distanciad ) rapideze) velocidad
5. ( )Cantidadvectorialquerepresentaelcambiodepo-sicióndeunmóvilrespectoaunmarcodereferencia.Su
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86 Física I
representacióngráfica es un segmentode rectadirigidoqueunelaposicióninicialconsentidohacialaposiciónfinal.a) distanciab) velocidadc ) aceleraciónd ) desplazamientoe) rapidez
6. ( )Cantidadescalarquesedefinecomoladistanciato-talquerecorreunmóvildivididaentreeltiempoquetardaenrecorrerla.a) rapidezmediab) velocidadmediac ) aceleraciónd ) desplazamientoe) trabajo
7. ( )Sedefinecomoeldesplazamientodividoentreelin-tervalo de tiempo durante el cual el desplazamiento sellevaacabo.a) rapidezmediab) aceleraciónc ) velocidadmediad ) potenciae) trabajo
8. ( )ValorlímitedelarapidezmediacuandoDttiendeacero.a) velocidaduniformeb) rapidezinstantáneac ) velocidadmediad ) velocidadinstantáneae) rapidezmedia
9. ( )Segmentoderectadirigidoqueuneelorigendeunsistemadereferenciaconlaposicióndeunapartículama-terial.a) distanciab) vectordesplazamientoc ) vectordeposiciónd ) vectorvelocidad
10. ( )Sedefinecomoelcambiodevelocidadqueexpe-rimentaunobjetodivididoentreelintervalodetiemporequeridoparaelcambio.a) rapidezmediab) velocidadmediac ) distanciad ) desplazamientoe) aceleraciónmedia
11. ( )Valorlímitedelave1ocidadmediacuandoDttiendeacero.a) aceleraciónmediab) rapidez
c ) velocidadinstantánead ) aceleracióninstantánea
Unapersonacamina200mhaciaelNorteyluego140mha-ciaelSur.Sieltiempototaldesurecorridofuede4minutos,contestalaspreguntas12y13.Determina
12. ( )Larapidezmediadelapersona.a) 1.42m/sb) 0.25m/sc ) 1.7m/sd ) 1.2m/s
13. ( )Lamagnituddelavelocidadmediadelapersona.(ConsideraladirecciónhaciaelNortecomopositiva.)a) 1.41m/sb) 0.250m/sc ) 1.7m/sd ) 1.2m/s
14. ( )¿Cuáleslamagnituddedesplazamientodeunau-tomóvilquedaunavueltacompletaenunapistacircularde400mdediámetro?a) 200mb) 100mc ) 400md ) 0me) 1256m
15. ( )¿Cuáleslamagnituddeldesplazamientodeunau-tomóvilquedaunavueltaymediaenunapistacircularde200mderadio?a) 200mb) 100mc ) 400md ) 0me) 1884m
Uncorredordaunavueltacompletaalrededordeunapistacircularde80.0mdediámetroen2minutos.Contesta laspreguntas16y17.
16. ( )Determinalarapidezmediadelcorredorenmetrosporsegundo.a) 1.70m/sb) 2.09m/sc ) 3m/sd ) 2.5m/s
17. ( )Determinalavelocidadmediadelcorredor.a) 2.1m/sb) 1.7m/sc ) 0m/sd ) 1.8m/s
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Tema 1 Movimiento unidimensional 87
velocidad constante
mru
pendiente de una recta
gráfica de posición contra tiempo
para un objeto que se mueve con
velocidad constante o uniforme
gráfica de velocidad contra
tiempo para mru
Movimiento rectilíneo
uniforme, mruTema 2
Definición y aplicacionesElmovimientodeunobjetoesrectilíneo uniformecuan-dolamagnitudyladireccióndesuvelocidadmediaper-manecenconstantes.Dichodeotramanera,recorredes-plazamientosigualesenintervalosdetiempoidénticos.
Porejemplo,siunapartículasemueveaunavelocidadconstantede8m/s, esto significaqueporcada segundotranscurrido,elobjetoexperimentaundesplazamientode8m.Supongamosahoraquesuvelocidaduniformeesde-8m/s. Esdecir, cada segundoque transcurra el objetoexperimentaundesplazamientode8menladirecciónne-gativadelmovimiento.
Como el movimiento rectilíneo uniforme es en lamismadirecciónysentido,entonces:
Distancia=Magnituddeldesplazamiento.
Magnitudderapidezmedia=Magnituddevelocidadmedia=Velocidadinstantáneaen
cualquierpunto
Lasrelacionesanterioresnosecumplensiseinvierteelsentidodelmovimiento.
Alresolverproblemasrelacionadosconelmovimien-torectilíneoesrecomendabledefinirunsistemaderefe-renciacuyoejedecoordenadascoincidaconlatrayectoriade la rectapor la cual sedesplaza elobjeto en cuestión.Deestamanera,ladireccióndedichoejecoincideconlade los vectores de posición, desplazamiento, velocidad yaceleración. Esta coincidencia permite utilizar fórmulasdeterminadasen funciónde lasproyeccionesde losvec-toressobreelejedecoordenadasestablecido,locualrindalaposibilidaddeoperaralgebraicamente,yaquecomosehaseñaladopreviamente,lasproyeccionessoncantidadesescalaresconsigno.
La magnitud de las proyecciones corresponde a lamagnituddel vector componente,mientras que el signoindicaladireccióndeesteúltimo.
Ejemplo 2.12 Unautosedesplazaaunavelocidaduniformede20m/s. Calculaladistanciaquerecorreen5minutos.
SoluciónDadoquelavelocidadesconstante,tenemos:
Distancia=DesplazamientoRapidezmedia=Velocidadmedia
=v dt
Luego:
d =nt
Luego:
d =20m/s(5min)
Donde5min=300s
Luego:d=(20m/s)(300s)=6000m
Comoelresultadodebetenerdoscifrassignificativas,entonces,d =6.0×103m
Gráfica de posición contra tiempo para un objeto con velocidad constante o uniformeOtraformadedescribirelmovimientoespormediodegráficas. Supongamos que un auto semueve a una ve-locidadconstantede20m/sdurante8segundos.Lasi-guientetablamuestralaposicióndelautoalfinaldecadasegundo.
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88 Física I
Tiempo en
segundos0 1 2 3 4 5 6 7 8
Posiciónenmetros
0 20 40 60 80 100 120 140 160
Lasiguientefigurailustralagráficadeposicióncontratiempodelauto.
1 2 3 4 5 6 7 8
16014012010080604020
t(s)
d(m)
La gráfica que se obtuvo es una recta no paralela aningunodelosejest od.
Veamosacontinuacióncómodeterminarlavelocidad,cuandoesconstante,apartirdelagráficadeposicióncon-tratiempo.
Enmatemáticas,alatangentetrigonométricadeunarectaenelplanocartesianoselellamapendienteysede-notaporlaliteralm.
Lapendiente(m)deunarectaeselcambioverticaloelevación(Dy)divididoentreelcambiohorizontaloavan-ce(Dx) entredospuntoscualesquieraquepertenezcanalarecta.
Siennuestroejemploconsideramoslospuntos(3,60)y(7,140),entonces:
=m 140 m - 60 m7 s - 3 s
Observaquem = dt;esdecir,es iguala lavelocidad
mediadelobjeto.
=m 80 m4 s
= 20 ms
Sielegimosotrosdospuntoscualesquiera,porejem-plo,(2,40)y(8,160),tenemosque:
m = yx
m = 160 m 40 m8 s 2 s
m = 120 m6 s
m = 20m s
¡Obtuvimoselmismoresultado!yasíserásiempresielegimosotrospuntos;loquenospermiteconcluirqueelvalordelapendienteesconstante.
Silagráficadeposicióncontratiempoesunarectanoparalelaaningunodelosejescoordenados,elmo-vimientodelobjetoesrectilíneouniformeylamag-nituddelavelocidad(uniformeoconstante)esigualalvalornuméricodelapendientedelarecta.
Ladirecciónde la velocidad ladeterminael signode lapendiente.Unapendientepositivaindicaqueelobjetoencuestiónsemueveendirecciónpositiva,mientrasqueunapendiente negativa indica que el objeto se desplaza convelocidaduniformeperoendirecciónnegativa.
La figura 2.21 ilustra la gráfica de posición contratiempoquedescribeelmovimientodeunobjetoque semueveaunavelocidadconstantede6m/senladirecciónnegativadelmovimiento.
d
t
30 m
5 s
Figura 2.21
=−
−−m 0 30 m
5 0 s= 6 m
s
La figura 2.22 ilustra la gráfica de posición contratiempodeunobjetoqueselocalizaa20mdelorigendelsistemadecoordenadasypermaneceenesaposicióndu-rante4s.
d
t
201510
5
25
1 2 3 4 5
Figura 2.22
Con base en la gráfica anterior podemos inducir losiguiente: el hecho de que la gráfica de posición contratiemposeaunarectaparalelaalejet significaqueelobjeto
LibertadDigital (2015)
Tema 2 Movimiento rectilíneo uniforme, mru 89
estáenreposoenelintervalodetiempoqueseindicaendichagráfica.Ennuestroejemplo,elobjetopermaneceenreposoenelintervalodesde0hasta4segundos.
Ejemplo 2.13 Lasiguientetablamuestralaposi-cióndeundeportistaquecorredesdeelpuntoA hastaelpuntoC,luegoseregresadesdeChastaelpuntoB. Observalafigura.
t (s) 0 1 2 3 4 5 6 7X (m) 0 5 10 15 20 25 30 35
t (s) 8 9 10 11 12 13 14 15x(m) 40 40 40 40 35 30 25 20
dirección positivaA B C
X0=0 20m 40m
Conbaseenlainformación,contestalassiguien-tespreguntas.a) Trazalagráficadeposicióncontratiempodelde-
portista.
Solución
40
2030
10
84 11
d (m)
15t (s)
b) Determinalavelocidaddeldeportistaenelinter-valode0a8segundos.
SoluciónDeacuerdo con los pares ordenados (0, 0) y (8, 40)tenemos:
=−
−=m m40m 0
8s 05m s
Lavelocidadenelintervalode0a8segundosesde5m/sendirecciónpositiva.c) ¿Enquéintervalodetiempoeldeportistaestáen
reposo?
SoluciónEnelintervalode8a11segundos,lapendientedelarectaesceroy,porende,suvelocidadtambién.Enesteintervalo,eldeportistaestáenreposo.
d) ¿Cuáleslavelocidaddeldeportistaenelintervalode11a15segundos?
SoluciónDeacuerdoconlosparesordenados(11,40)y(15,20)tenemosque:
=
=
m
m
20 m – 40 m15 s – 11 s
–5.0 m sLuego:
=V –5.0 m s
e) ¿Quénosindicaelsignonegativodelavelocidadanterior?
SoluciónQueelmovimientodeldeportistaesensentidocon-trarioaloriginal;esdecir,semueveenunadirecciónconsideradanegativa.
f ) ¿Cuáleslavelocidadmediaenelintervalode0a15segundos?
Solución
V = d tDonde:
d = 20m – 0m = 20m y t = 15 – 0( )s = 15s
Luego:
= =V 20 m15 s
1.3 m s
Gráfica de velocidad contra tiempo para el mru
Siguiendoconelejemploanterior,sabemosquelaveloci-daddeldeportistaenelintervalode0a8segundosesde5.0m/s.Comoestavelocidades constanteendicho in-tervalo,lagráficadevelocidadcontratiempoesunarectaparalelaalejet,comoloilustralafigura2.23.
v (m/s)
5m/s
8t (s)
Figura 2.23
Observaqueeláreadelaregiónsombreadaesigualaldesplazamientodelobjeto.Engeneral,eláreabajounacurvaenlagráficadevelocidadcontratiempoesigualaldesplazamiento.
LibertadDigital (2015)
90 Física I
En el intervalo de 8 a 11 segundos el deportista seencuentraenreposo;porconsiguiente,lagráficadevelo-cidadcontratiempoendichointervaloesunsegmentoderectaquecoincideconelejet de0a11segundos,comoseobservaenlafigura2.24.
v
8 119 10
Figura 2.24
Enel intervalode11a15segundos, lavelocidadesde-5m/s;porconsiguiente,lagráficaden contrat esunsegmentoderectaparaleloalejet,comoloilustralafigura2.25.
0
v(m/s)
t (s)
−5
11 15
Figura 2.25
Observaqueladistanciaquerecorreeldeportistaenelintervalode11a15segundosesigualaláreadelare-giónsombreada.
ActividAdes de AprendizAje
1. Unautosemueveaunavelocidaduniformede30.0m/s.¿Quédistanciarecorreráen20.0s?a) 600mb) 500mc ) 450md ) 800m
2. Alex juega con una pelota que se mueve uniforme-mentesobreelpisoaunavelocidadde3.0m/s.Calculaeltiempoquelapelotatardaráenrecorrer12m.
a) 4.0sb) 0.25sc) 0.250sd) 4s
v = 30 m/s
3. Unaviónsemueveaunavelocidadconstanteyrecorre270kmen30.0min.¿Quédistanciarecorreráen80.0minutos?a) 760kmb) 720kmc) 800kmd) 700km
b) 720km
4. Lasiguientefiguracorrespondealagráficadeposicióncontratiempodeunautomóvil.
-40
200300
100
d (m)
t (s)12 20 3632 4028
Conbaseenlagráfica,determina:
a) Lavelocidaddelautoenelintervalode0a12se-gundos.
b) Losintervalosdetiempoenlosqueelautoestáenreposo.
c) La velocidaddel auto en el intervalo de 20 a 28segundos.
LibertadDigital (2015)
Tema 2 Movimiento rectilíneo uniforme, mru 91
d) Enquéintervalosdetiempoelautosemueveensentidocontrarioaloriginal.
e) Lavelocidaddelautoenelintervalodesde32hasta36segundos.
f) ¿Despuésdecuántossegundoselautopasaporsupuntodepartida?
g) ¿Cuáleslaposicióndelautoalos40segundos?
h) Eldesplazamientoresultantedelauto.
i) Calculalavelocidadmediadelautomóvilenelin-tervalode0a40segundos.
j) Calculalarapidezmediadelauto.
k) Lavelocidaddelautoenelintervalo(36-40)s
5. LasiguientefiguracorrespondealagráficadeposicióncontratiempodelosobjetosA, B, C,DyE.
d
t
D
C
B
A
E
Conbaseenlagráficacontestalassiguientespregun-tas.
a) ¿Cuáldelosobjetosseencuentraenreposo?b) ¿Cuales de los objetos se mueven con velocidad
constante?c) ¿Quéobjetossemuevenenladirecciónconsidera-
dacomopositiva?d) ¿Quéobjetosemueveenladirecciónnegativa?e) ¿Quéobjetosemueveaunavelocidadvariable?
trABAjO en eQUipO
Realizar la siguienteactividadenequipo.Cada inte-grante del equipo deberá caminar 50mde distanciay recopilar información sobre tiempos empleados enrecorrerlasdistanciasde10,20,30,40y50m.Llenenla siguiente tabla y realicen las gráficas de desplaza-miento-tiempoyvelocidad-tiempo.
Integrante 1
Distancia (m) Tiempo empleado (s)
10
20
30
40
50
d
t
Demaneraindividual,analizalasgráficasdedesplaza-miento-tiempoobtenidasporcadaunodelosequiposydetermina,cualitativaycuantitativamente,quiénsemovióconmayorvelocidad.
Escribeenelparéntesislaletraquecorrespondaalarespuestacorrecta.1. ( )Nombredelmovimientoendondeuncuerposedes-
plazaconvelocidadconstante.a) movimientorectilíneouniformementeaceleradob) movimientocircularuniformec ) movimientorectilíneouniformed ) caídalibre
2. ( )Cuandounobjeto semueve con velocidad cons-tante,¿cuáles la relaciónentresurapidezysuveloci-dad?a) susmagnitudessonproporcionalesb) susmagnitudessondiferentesc ) susmagnitudessonigualesd ) nohayrelacióne) ambassoncantidadesvectoriales
LibertadDigital (2015)
92 Física I
3. ( ) La pendiente de la recta de la gráfica de posicióncontratiempocuandounobjetosemueveconvelocidadconstanterepresenta:a) laaceleracióndelobjetob) eldesplazamientodelobjetoc ) lavelocidaddelobjetod ) eltiempotranscurrido
Un corredordauna vuelta completa alrededordeunapis-tacircularde80.0mdediámetroen2minutos.Determina:(preguntas4y5)4. ( )Larapidezmediadelcorredorenm/s.
a) 1.70m/sb) 2.09m/sc ) 3.0m/sd ) 2.50m/s
5. ( )Lavelocidadmediadelcorredor.a) 2.1m/sb) 1.7m/sc ) 0m/sd ) 1.8m/s
6. ( )Larapidezmediadeunautomóvilesde27m/s. Cal-culaladistancia,enkilómetros,querecorreen50min.a) 60kmb) 88kmc ) 75kmd ) 81km
7. ( )Unautoconvelocidadconstanterecorre240men8.0segundos.¿Quédistanciarecorreráen15segundos?a) 4×102mb) 3.9×102mc ) 4.5×102md ) 5.0×102m
Deacuerdoconlasiguientegráficadeposicióncontratiempodeunapersona,contestalaspreguntas8a19.
28
20
12
4
4-4-8
8 16 24 28 42 46t (s)
d (m)
8. ( )Determinalavelocidaddelapersonaenelintervalode0a4segundos.a) 2m/sb) 3m/sc ) 4m/sd ) 1m/s
9. ( )¿Cuáleslavelocidaddelapersonaenelintervalode4a16segundos?a) 1m/sb) 2m/sc ) 0m/sd ) 0.5m/s
10. ( )Determinalavelocidaddelapersonaenelintervalode16a24segundos.a) 3.0m/sb) 4.0m/sc ) 1.0m/sd ) 2.0m/s
11. ( )Determinalavelocidaddelapersonaenelintervalode28a46segundos.a) -2m/sb) -3m/sc ) 3m/sd ) 2m/se) -4m/s
12. ( )¿Encuálesdelosintervaloslapersonaestáenreposo?a) de0a4segundossolamenteb) de16a24segundossolamentec ) de4a16segundossolamented ) de24a28segundossolamentee) cydsoncorrectas
13. ( )¿Enquéintervalodetiempolapersonasemueveenladirecciónnegativadelmovimiento?a) de0a4segundosb) de16a28segundosc ) de4a16segundosyde24a28segundosd ) de28a46segundos
14. ( )¿Aloscuántossegundospasalapersonaporsupun-todepartida?a) 46segundosb) 42segundosc ) 16segundosd ) 28segundos
15. ( )¿Cuáleseldesplazamientoresultantedelapersona?a) 64mb) 70mc ) 8md ) -8m
16. ( )Calculalarapidezmediadelapersonaenelinter-valode0a42segundos.a) 1.5m/sb) 1.3m/sc ) 1.2m/sd ) 1.4m/se) 0m/s
LibertadDigital (2015)
17. ( )Calculalavelocidadmediadelapersonaenelinter-valode0a42segundos.a) 1.5m/sb) 1.3m/sc ) 0m/sd ) 1.4m/s
18. ( )Calculalarapidezmediadelapersonaenelinter-valode0a46segundos.a) 1.5m/sb) 1.6m/sc ) 0m/sd ) 1.4m/s
19. ( )Calculalavelocidadmediadelapersonaenelinter-valode0a46segundos.a) 1.4m/sb) 0.17m/sc ) -0.17m/sd ) -0.3m/s
20. ( )Utilizalasiguientegráficadevelocidadcontratiem-podeunobjetoparacalcularladistanciaquerecorreenunintervalode3.0a8.0segundos.
3.0 8.05
10
t (s)
v ms
a) 25mb) 110mc ) 50md ) 45m
Tema 2 Movimiento rectilíneo uniforme, mru 93
LibertadDigital (2015)
aceleración
velocidad final
gráfico de velocidad contra tiempo
para aceleración constante
movimiento rectilíneo uniforme
acelerado
gráfica de aceleración contra
tiempo para el mrua
gráfica de posición contra tiempo
del mrua
fórmulas cinemáticas del mrua
Movimiento rectilíneo uniformemente
acelerado, mruaTema 3
Definición y aplicacionesEnestetemaestudiaremosladescripcióndelmovimientodeunapartículamaterialcuandosemueveconaceleraciónconstanteouniforme.
Sielcambiodevelocidaddeunobjetoenmovimientoesconstanteenmagnitudyendirecciónduranteciertoin-tervalodetiempo,suaceleraciónesuniformeoconstanteylatrayectoriadesumovimientodescribeunalínearecta.
Al tipo demovimiento en donde la aceleración deunobjetoesconstante,seledenominamovimiento rectilíneo uniformemente acelerado, mrua.
Fórmulas cinemáticas del mrua
Cuando un objeto se mueve con aceleración constante,laaceleraciónmediaencualquier intervalodetiempoes iguala laaceleración instantánea.Sienun instante t0 lavelocidaddeunapartículamaterialquesemueveconace-leraciónconstanteesV0yposteriormenteenuntiempotesV,entoncessuaceleración(a)ladeterminalaexpresión:
a = Vt
Luego:
=−
−a
t tV V0
0
Sit0=0,entonces:
=−
at
V V0
ObservaqueV0yt0representanlavelocidadyeltiem-poinicial,mientrasqueVytrepresentanlavelocidadyel
tiempoenuntiempofuturo.Generalmente,alavelocidadVseleconocetambiéncomovelocidad final.
Debidoaquecuandounobjetosemueveconacelera-ciónconstantesumovimientoesunidimensional(osea,sutrayectoriadescribeunalínearecta),podemosutilizarlaspro-yeccionesdelosvectoresdeaceleración,velocidadydespla-zamiento,respectivamente,sobreunejedelsistemadecoor-denadasenlasfórmulascinemáticasdelmruaparaefectuartodosloscálculosalgebraicosynolosvectoresmismos.
Recuerdaquelasproyeccionesdeloscomponentesdeunvectorsoncantidadesescalaresconsigno.Lamagnituddelaproyeccióndeuncomponentecorrespondealamag-nituddeéste,ysusignoindicasisudirecciónespositivaonegativa.
Siv0eslaproyeccióndev0sobreelejedecoordenadas,vdeVyadeatenemos:
=−
av vt
0
Ejemplo 2.14 Lavelocidaddeunautomóvilcam-biauniformementede8.0m/s a20m/s en2.0segun-dos.Calculasuaceleración.
SoluciónComoelcambiodevelocidadqueexperimentaelau-tomóvilesuniforme,suaceleraciónesconstante.
x0 = 0t0 = 0
V0 = 8.0 m/s
x
t = 6.0 sV = 20 m/s
av vt
a
a
a
20m s 8.0m s6.0s
12 m/s6.0 s
2.0m/s
0
2
=−
=−
=
=
LibertadDigital (2015)
Tema 3 Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, mrua 95
av vt
a
a
a
20m s 8.0m s6.0s
12 m/s6.0 s
2.0m/s
0
2
=−
=−
=
=
Ejemplo 2.15 Unautomóvilquepartedelreposoacelera uniformemente a razón de 4.0 m/s2 durante8.0segundos.Calcula lavelocidaddelautoa los8.0segundos.
Solución
x0 = 0v0 = 0t0 = 0
V = ?t = 8.0 s
x
Dadoqueelautoacelerauniformemente,suace-leraciónesconstante;porconsiguiente:
av vt t
0
0
=−
−
Comot0=0yn0=0,entonces:
=a vt
Almultiplicarport ambosmiembrosdelaecua-ciónanteriorresulta:
=a t vtt( )
Luego:
a t=n
Entonces:n =4.0m/s2 (8.0s)
n =32m/s
Fórmula para calcular la distancia y el desplazamiento de una partícula material con aceleración constante en función de la velocidad inicial, la velocidad final y el tiempoCuandounapartículamaterialsemueveconaceleraciónconstante,podemoscalcularsuvelocidadmediaenlafor-maacostumbrada; sinembargo,cuando laaceleraciónesconstante,lavelocidadmediaeselpromediodelaveloci-dadinicialylafinal;esdecir:
=+
vv v
20
Demostramos a continuación la siguiente fórmula.Dx = x = v0 + v
2tDt,dondeDxrepresentaeldesplazamientode
unobjeto.Silaposicióndeunobjetoconaceleraciónconstante
enel instantet0 estádeterminadaporlacoordenadax0ydespuésenelinstantetporx,suvelocidadmediasecalculaconlaexpresión:
v = xt
x0t0
V0
xtV
∆x = x − x0
Deacuerdoconloanterior:xt=v0 + v
2
Multiplicamosambosmiembrosdelaecuaciónante-riorporDt paraobtener:
xt• t =
v0 + v2
t
Luego:
x =v0 + v
2t
x x0 =v0 + v
2t t0( )
Six0yt0=0,laecuaciónanteriorsereducea:
x =v0 + v
2t
Observaquesix0 =0,elvalordelaposicióndex eselmismoqueeldesudesplazamiento.EstonosevitaescribirsiempreDx =x -x0.
Enelmovimientorectilíneouniformementeacelera-do,lamagnituddeldesplazamientoyladeladistan-ciasoniguales;luego,ladistanciadcuandot =0estádadaporlaecuaciónd=d =
v + v0
2tt
Ejemplo 2.16 Un avión cambia su velocidaduniformementede300km/ha492km/hen5.0se-gundos.Calcula ladistanciaqueavanzaduranteesetiempo.
LibertadDigital (2015)
96 Física I
Solución
∆x = x
v0 = 300 km/hx0 = 0t0 = 0
v = 492 km/hx = ?t = 5.0 s
Dadoqueenelmrua,lamagnituddeldesplazamientoesigualalamagnituddeladistancia,tenemos:
d = x =v0 + v
2t
d = 300km h + 492km h2
5.0s( )
d = (396km h) 5.0s
d = 396km h( ) 1000 m1 km
1 h3600 s
5.0s( )
d = (110m s)(5.0s) = 550m
d = 5.5 102 mAl expresar el resultado condos cifras significativas,queda:
d = x =v0 + v
2t
d = 300km h + 492km h2
5.0s( )
d = (396km h) 5.0s
d = 396km h( ) 1000 m1 km
1 h3600 s
5.0s( )
d = (110m s)(5.0s) = 550m
d = 5.5 102 m
Fórmula para el mrua que relaciona la velocidad final, la velocidad inicial, la aceleración y el desplazamientoDemostraremosacontinuaciónlafórmula
2aDx =n2 -n02
Si en la ecuacióna=a = v v0
t despejamosDt y sustitui-mos su expresión equivalente obtenida en la ecuaciónDx=x = v + v0
2tDttenemos:
a Dt = n - n0
Luego:
t =v v0
aSustituimos -v v
a0 porDtenlaecuación
x =v + v0
2t
x =v + v0
2v v0
a
x =v2 v0
2
2a
x =v + v0
2t
x =v + v0
2v v0
a
x =v2 v0
2
2a
Almultiplicarpor2aambosmiembrosdelaecuaciónanteriorresulta:
2a Dx=n2-n02
Six0=0,entonces:2a x =n2-n0
2,luego
2ad =n2–n02
(drepresentaladistanciaquerecorreelmóvil)
Ejemplo 2.17 Unhelicópteroquearrancadesdeelreposo,despegadespuésderecorrer1400malolargodeunapistarecta.Sisuvelocidaddedespeguefuede324km/h,determinasuaceleraciónsiesconstante.
Solución
x0 = 0t0 = 0v0 = 0
d = x = 1400 mt = ?v = 324 km/h = 90 m/s
= −a d v v2 202
dadoquen0=0,entonces:
=a d v2 2
Luego:
( )( )
=
=
=
a v
a
a
2d
90 m s
2 1400 m
2.9 m s
2
2
2
Fórmula para calcular el desplazamiento y la distancia en función de la aceleración, el tiempo y la velocidad inicial en el mrua
Otrafórmulautilizadaconregularidadenlasolucióndeproblemasdelmruaeslasiguiente:
LibertadDigital (2015)
Tema 3 Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, mrua 97
x = v0 t + 12a t2
Six0=0yt0=0,entonces:= +x v t at0
2
Luego:
= +d v t at0
Paraobtenerestafórmula,despejamosnena== −a
v vt
0 ydespuéssustituimossuexpresiónequivalenteobtenidaenlaecuación
x =v + v0
2t.
Ejemplo 2.18 Un tráiler que arranca del repo-somantieneunaaceleraciónconstantede0.20m/s2.¿Cuántotiempotardaráenrecorrer80m?
Solución
x0 = 0t0 = 0v0 = 0
x = 80 mt = ?v =
a = 0.20 m/s2
d = x = 80 m
Luego:
= +d v t a t12
02
Dadoquen0=0,entonces:
=d a t12
2
Aldespejart2resulta:
=t da
22
Luego:
t da
t
t
2
2 80 m
0.20 m s28.3s
28 s
2
( )
=
= =
=
t da
t
t
2
2 80 m
0.20 m s28.3s
28 s
2
( )
=
= =
=redondeandoa2cifrassignificativasqueda
t = 28s
Concluyendo:Sienelmruahacemoseltiempoinicialt0=0,yx0=0,tenemoslassiguientesfórmulas.
a =v v0
t
x = d =v + v0
2t
2ad = v f2 – v0
2
d = 12at2 + v0t
Ladistancia“d”yeldesplazamientoDx = x tienenlamismamagnitud.
Gráfica de velocidad contra tiempo para la aceleración constanteConsideremosqueunobjetoparteconunavelocidadde6m/s y queseacelerauniformementearazónde2m/s2.Lasiguientetablanosmuestrasuvelocidadalfinaldecadaunodelosprimeros4segundos.
t(s) 0 1 2 3 4v(m/s) 6 8 10 12 14
Lasiguientefiguracorrespondealagráficadeveloci-dadcontratiempodelobjeto.
t(s)
1412108642
2 41 3
v(m/s)
Comolagráficaesunarectanoparalelaalosejesdecoordenadas,supendienterepresentalarazóndecambioconstantedelavelocidadconrespectoaltiempo;osea,laaceleraciónconstantedelapartícula.
LibertadDigital (2015)
98 Física I
Silagráficavelocidadcontratiempo(n-t) esunarectanoparalelaalosejescoordenados,elmovimientodelapartículaesrectilíneouniformementeaceleradoylamagnituddesuaceleraciónesnuméricamenteigualalapendientedelarecta.
Si el valor de la pendiente es positivo, significa quelavelocidaddelapartículaaumentaconeltranscursodeltiempo,encasocontrario,disminuye.
Si lagráficavelocidad-tiempo(n-t) esunarectaho-rizontalparalelaaleje t, significaquenohaycambiodevelocidad;osea, laaceleraciónes igualacero.Ésteeselcasodelmovimientorectilíneouniforme.
t
v
Sabemosquelamagnituddeláreabajolarectadelagráfica de velocidad contra tiempodelmovimiento rec-tilíneo uniforme es numéricamente igual a la distanciarecorridaporelmóvil.Estotambiénsecumpleenelmo-vimientorectilíneouniformementeacelerado.
Analicemos la siguiente gráfica de velocidad contratiempoparalaaceleraciónconstante:
A2
A1
v
v
v0
0 t t
Deacuerdoconlagráfica,lamagnituddeláreaA1estádadaporlaexpresión:
A1 =n0 tAsimismo,lamagnituddeláreaA2sedeterminame-
diantelaexpresión:
A2 =t v
2
Luego:
A2 =v v0
2t
Deacuerdoconlaecuacióna== −a
v vt
0 ,tenemos:
at=n - n0
Alsustituirlaexpresiónequivalenteobtenidaden - n0 enA2 =A2 =
v v0
2t t, obtenemos:
=
=
A at t
A at
2
2
2
2
2
EláreatotalbajolacurvaeslasumadeA1yA2,luego:
= +A v t at12T 0
2
Deacuerdoconelresultadoobtenidotenemos:
AT=Dx=d
Enlagráficadevelocidadcontratiempoparalaace-leraciónconstante,eláreabajolacurva,estoes,bajola recta inclinada, es igual al desplazamiento y, porconsiguiente,aladistanciarecorridaporelobjetoencuestión.
Ejemplo 2.19 Lasiguientefiguracorrespondealagráficadevelocidadcontratiempodeunobjetoquesemueveconaceleraciónconstante.
18
10
5.0t(s)
v(m/s)
Determina:
a) Laaceleracióndelobjeto.
SoluciónDado que la aceleración es constante, el valor de lapendientedelarectaesigualalamagnituddelaace-leracióninstantáneaduranteelintervalodetiempo.
a = m,luego:
=−
−
=
=
a
a
a
18 105.0 0
m s
185.0
1.6m s
2
2
LibertadDigital (2015)
Tema 3 Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, mrua 99=−
−
=
=
a
a
a
18 105.0 0
m s
185.0
1.6m s
2
2
b) Ladistanciaquerecurrealos5segundos.
SoluciónLadistanciaquerecorreelobjetoesdelamismamag-nitudqueladeldesplazamiento;porconsiguiente:
vv(m/s)
v0
t(s)t
A1
A2v − v0
d = x = Área bajo la recta
ATOTAL = v0 t +v – v0
2t
ATOTAL = 10m s)(5.0s( ) + 18m s –10m s2
5
ATOTAL = 50m + 20m = 70m
Porlotanto,d=70m.
Gráfica de aceleración contra tiempo para el mrua
Silaaceleracióndeunapartículamaterialesconstante,lagráficadeaceleracióncontratiempoesunarectaparalelaaleje t, queestáporencimadelejet si laaceleraciónespositivaypordebajosiesnegativa.
Área = A
a
0 t t
a
Observa que el área bajo la recta en un intervalo detiempodeterminadoesigualalcambiodevelocidad;estoes:
A = at =v – v0
tt, luego
A = v – v0
Gráfica de posición contra tiempo del mrua
La siguiente parábola representa la gráfica de posicióncontratiempodeunapartículaquepartedelreposoconaceleraciónconstante.Matemáticamente,estonosindicaqueladistanciaoeldesplazamientoquerecorreunapartí-culaenelmovimientorectilíneouniformementeaceleradovaríademaneraproporcionalconelcuadradodeltiempo;estoes,larazón x
t2 esconstante.
10
6
20
14
18
22
d
t1 3 5 7 9
Figura 2.26
Observaqueenelmrua,elmóvilrecorreunadistan-ciamayorcadasegundo.
Enlagráficadeposicióncontratiempo,lavelocidadinstantáneaenuntiempot ladeterminalarectatangentealacurvaendichoinstante.Observalafigura2.27.
vP
OR
v
d(m)
0
v = 0
t0 t1 t2t
Figura 2.27 En el instante t0, la velocidad instantánea es positi-va, en t1 es cero y en t2 es negativa.
Deacuerdoconloanterior,siqueremoscalcularlave-locidadinstantáneaenunpuntodelaparábola,tenemosquetrazarunarectatangentea lacurvaendichopunto.Lapendientedelatangentenuméricamenteesigualalamagnituddelavelocidadinstantánea.Asimismo,laincli-nacióndedicharectadeterminasudirección.
Encursossuperioresdematemáticasaprenderásade-terminar la velocidad y la aceleración instantáneade unmóvilconlaayudadelcálculodiferencial.
LibertadDigital (2015)
100 Física I
ActividAdes de AprendizAje
1. Siunavióncambiasuvelocidaduniformementede80m/sa100m/sen10segundos,calcula:a) laaceleracióndelavión.
a) 3.0m/s2
b) 1.5m/s2
c ) 2.0m/s2
d ) 2.5m/s2
c ) 2.0m/s2
b) Ladistanciaquerecorreenlos10segundos.a) 9.0×102mb) 8.0×102mc ) 8.5×102md ) 9.5×102m
a) 9.0×102m
2. Siunavióncambiasuvelocidaduniformementede150m/sa60.0m/sen15.0segundos,calcula:a) Laaceleracióndelavión.
a) -5.0m/s2
b) 5.0m/s2
c ) -6.00m/s2
d ) 6.00m/s2
c ) -6.00m/s2
b) Ladistanciaquerecorreenlos15segundos.a) 1.57×103mb) 1.70×103mc ) 1.45×103md ) 1.65×103m
a) 1.70×103m
3. Unautoqueviajaa20m/sacelerauniformementearazónde1.8m/s2 durante10segundos.Calcula.a) Lavelocidadalos10.0segundos.
a) 40m/sb) 34m/sc ) 35m/sd ) 38m/s
d) 38m/s
b) Ladistanciaquerecorredurantelos10segundos.a) 3.4×102mb) 2.9×102mc ) 2.2×102md ) 4.0×102m
b) 2.9×102m
LibertadDigital (2015)
Tema 3 Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, mrua 101
4. Unautoviajaa72km/h.Sialaplicarlelosfrenoscambiasuvelocidaduniformementearazónde-4.0m/s2. ¿Cuántosmetrosrecorreantesdedetenerse?a) 50mb) 45mc ) 60md ) 40m
a) 50m
5. Siunaviónquepartedelrepososeacelerauniformementearazónde3.0m/s2 durante24segundos,calcula:a) Lavelocidaddedespegue.
a) 80m/sb) 70m/sc ) 72m/sd ) 76m/s
c) 72m/s
b) Ladistanciaquerecorreantesdedespegar.a) 8.6×102mb) 7.4×102mc ) 9.0×102md ) 8.0×102m
a) 8.6×102m
6. Unautodecarrerasquepartedelrepososeacelerauniformementeyrecorre350men10segundos.Calcula:a) Laaceleracióndelauto.
a) 6.0m/s2
b) 6.5m/s2
c ) 7.4m/s2
d ) 7.0m/s2
d) 7.0m/s2
b) Lavelocidadalos10segundos.a) 60m/sb) 70m/sc ) 58m/sd ) 62m/s
b) 70m/s
LibertadDigital (2015)
102 Física I
7. Unamotocambiasuvelocidaduniformementede15m/s a25m/s en4.0segundos.Calcula.a) Laaceleracióndelamoto.
a) 2.5m/s2
b) 2.0m/s2
c ) 3.0m/s2
d ) 2.1m/s2
a) 2.5m/s2
b) Ladistanciaquerecorreen4.0segundos.a) 75mb) 88mc ) 80md ) 70m
c) 80m
8. Unautodecarrerasviajaa216km/h.¿Quédistanciarecorreráantesdedetenersesialfrenarcambiasuvelocidaduniformementearazónde-10m/s2?a) 1.6×102mb) 1.8×102mc ) 1.9×102md ) 2.0×102m
b) 1.8×102m
9. Unamotoqueviajaa72km/hacelerauniformementearazónde1.5m/s2durante8.0segundos.Calcula:a) Lavelocidadalos8.0s.
a) 30m/sb) 28m/sc ) 26m/sd ) 32m/s
d) 32m/s
b) Ladistanciaquerecorrelamotoenlos8.0s.a) 2.4×102mb) 1.9×102mc ) 2.1×102md ) 2.5×102m
c) 2.1×102m
LibertadDigital (2015)
Tema 3 Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, mrua 103
10. Uncamiónconaceleraciónconstantearazónde2.0m/s2 cruzauntúnelde80mdelargoen4.0segundos.Calcula:a) Lavelocidaddelcamiónalprincipiodeltúnel.
a) 16m/sb) 15m/sc ) 10m/sd ) 12m/s
a) 16m/s
b) Lavelocidaddelcamiónalfinaldeltúnel.a) 20m/sb) 24m/sc ) 25m/sd ) 28m/s
b) 24m/s
11. Unautoqueviajaa25m/ssúbitamenteaplicalosfrenosyrecorre45mantesdedetenerse.Calcula:a) Laaceleracióndelautosiesconstante.
a) -6.9m/s2
b) 6.9m/s2
c ) -7.5m/s2
d ) 7.5m/s2
a) -6.9m/s2
b) Eltiempoquetardaendetenerseelauto.a) 3.0sb) 3.6sc ) 4.0sd ) 3.9s
b) 3.6s
12. Unpatinadorquepartedelreposomantieneunaaceleraciónconstantede0.60m/s2durante10segundos.Calcula:a) Lavelocidaddelpatinadoralos10segundos.
a) 8.0m/sb) 5.0m/sc ) 7.0m/sd ) 6.0m/s
d) 6.0m/s
b) Ladistanciaquerecorreenlos10s.a) 28mb) 30mc ) 60md ) 40m
b) 30m
LibertadDigital (2015)
104 Física I
13. Unautoquepartedelrepososeacelerauniformementeyrecorre80men5.0segundos.Calcula:a) Lavelocidaddelautoalos5.0segundos.
a) 32m/sb) 28m/sc ) 25m/sd ) 30m/s
a) 32m/s
b) Laaceleracióndelauto.a) 7.2m/s2
b) 7.0m/s2
c ) 6.4m/s2
d ) 6.0m/s2
c) 6.4m/s2
14. Siunaviónqueaterrizaa 216 km/hsedetienedespuésderecorrer1200m.Calcula:a) Laaceleracióndelaviónsiesconstante.
a) -1.8m/s2
b) 1.8m/s2
c ) 1.5m/s2
d ) -1.5m/s2
d) -1.5m/s2
b) Eltiempoquetardaendetenerseelavión.a) 50sb) 35sc ) 40sd ) 44s
c) 40s
15. Unautopartedelreposoyseacelerauniformementealcanzandounavelocidadde28m/s en10segundos.Calcula:a) Laaceleracióndelauto.
a) 2.8m/s2
b) 2.0m/s2
c ) 3.2m/s2
d ) 1.8m/s2
a) 2.8m/s2
b) Ladistanciaquerecorreelautoenlos10s.a) 1.6×102mb) 1.5×102mc ) 1.2×102md ) 1.4×102m
d) 1.4×102m
LibertadDigital (2015)
Tema 3 Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, mrua 105
16. Unamotocambiauniformementesuvelocidadde10m/s a18m/s en4.0segundos.Calcula:a) Laaceleracióndelamoto.
a) 1.5m/s2
b) 7.0m/s2
c ) 2.0m/s2
d ) 2.5m/s2
c) 2.0m/s2
b) Ladistanciaquerecorrelamotoenlos4.0s.a) 60mb) 56mc ) 50md ) 62m
b) 56m
17. Unautoqueviajaa108km/hfrenaysedetienedespuésde6.0segundos.Calcula:a) Laaceleracióndelautosiesconstante.
a) 6m/s2
b) -6m/s2
c ) 5.0m/s2
d ) -5.0m/s2
d) -5.0m/s2
b) Ladistanciaquerecorreelautoantesdedetenerse.a) 90mb) 95mc ) 80md ) 98m
a) 90m
18. Unautoqueviajaa20m/s frenaysedetienedespuésderecorrer40m.Calcula:a) Laaceleracióndelauto.
a) -4.0m/s2
b) -5.0m/s2
c ) 5.0m/s2
d ) 4.0m/s2
b) –5.0m/s2
b) Eltiempoquetardaendetenerse.a) 3.0sb) 5.0sc ) 4.0sd ) 2s
c) 4.0s
LibertadDigital (2015)
106 Física I
19. Unamotoconunavelocidadinicialde6.0m/s seacelerauniformementearazónde1.5m/s2durante8.0segundos.Calculaladistanciaquerecorrelamotoduranteesetiempo.a) 80mb) 90mc ) 96md ) 88m
c) 96m
20. Lavelocidaddedespeguedeunavióndebeserde80m/s.Calculalaaceleraciónconstantedelaviónsidebeelevarseenunapistade1000mdelongitud.a) 3.2m/s2
b) 2.6m/s2
c ) 3.8m/s2
d ) 2.9m/s2
a) 3.2m/s2
21. Lasiguientefiguracorrespondealagráficadevelocidadcontratiempodeunobjeto.
14
10
6
2
4 7 14t (s)
v (m/s)
LibertadDigital (2015)
Tema 3 Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, mrua 107
Determina:a) Laaceleraciónenelintervaloquevadesde0hasta
4segundos.a) 2m/s2
b) 1m/s2
c ) 3m/s2
d ) 4m/s2
a) 2m/s2
b) Laaceleraciónenelintervaloquevade4a7segundos.a) 1m/s2
b) 2m/s2
c ) 0.5m/s2
d ) 0m/s2
d) 0m/s2
c ) Laaceleraciónenelintervaloquevade7a14segundos.a) 2m/s2
b) -2m/s2
c ) -1m/s2
d ) 1m/s2
b) -2m/s2
d ) Laaceleraciónmediaenelintervaloquevade0a14segundos.a) -0.6m/s2
b) 0.6m/s2
c ) -0.4m/s2
d ) 0.4m/s2
c) -0.4m/s2
trABAjO cOlABOrAtivO
1. Realicenlasiguienteactividadenequipo.Cadaintegrantedelequipodeberácorrer 50metrosdedistanciayrecopilarinformaciónsobrelostiemposempleadosenrecorrerlasdistanciasde10,20,30,40y50metros,llenenlasiguientetablayrealicenlasgráficasdedesplazamiento-tiempo,velocidad-tiempo,aceleración-tiempo.
Integrante
Distancia (metros)
Tiempo empleado (segundos)
1020304050
LibertadDigital (2015)
108 Física I
d
t
v
t
a
t
Demaneraindividual,analizalasgráficasdedesplazamiento-tiempoobtenidasdecadaunodelosequipos,ydetermi-na,cualitativaycuantitativamente,quiénsemovióconmayoraceleración.
Escribeenelparéntesislaletraquecorrespondaalarespuestacorrecta.
1. ( )Tipodemovimientoenelqueuncuerposemueveconaceleraciónconstante.a) movimientouniformeb) movimientorectilíneoc ) movimientod ) movimientorectilíneouniformementeaceleradoe) movimientoacelerado
2. ( )ValorlímitedelaaceleraciónmediacuandoDttiendeacero.a) velocidadinstantáneab) velocidadmediac ) aceleracióncentrípetad ) aceleracióninstantánea
3. ( )Unobjetoexperimentaunaaceleracióncuando:a) cambiadeposiciónb) cambiasuvelocidadsolamentec ) cambialadireccióndesumovimientosolamente.d ) bycsoncorrectas
4. ( )Lapendientede la rectade lagráficadevelocidadcontratiempocuandounobjetosemueveconaceleraciónconstanterepresenta:a) laaceleracióndelobjetob) eldesplazamientodelobjetoc ) lavelocidaddelobjetod ) eltiempotranscurrido
5. ( )Silaaceleracióndeunobjetoesconstante,significaqueexperimentacambiosen:a) sumasab) supesoc ) suvelocidadd ) suaceleración
Conbaseenlassiguientesfiguras,contestalaspreguntas6-8.d I
III IV
V VI
II
tTiempo
Posic
ión
d
tTiempo
Posic
ión
a
tTiempo
Ace
lerac
ión
v
tTiempo
Velo
cidad
d
tTiempo
Posic
ión
v
tTiempo
Velo
cidad
LibertadDigital (2015)
d I
III IV
V VI
II
tTiempo
Posic
ión
d
tTiempo
Posic
ión
a
tTiempo
Ace
lerac
ión
v
tTiempo
Velo
cidad
d
tTiempo
Posic
ión
v
tTiempo
Velo
cidad
6. ( )¿Cuálesdelasgráficascorrespondenalmovimientodeunobjetoconaceleraciónconstante?a) iiib) vc ) Sóloiid ) iiyive) i
7. ( )¿Cuáldelasgráficascorrespondeaunobjetoqueseencuentraenreposo?a) vb) iic ) id ) vi
8. ( )¿Cuáldelasgráficascorrespondealmovimientodeunobjetoconvelocidadconstanteendirecciónnegativa?a) vb) ic ) iiid ) vie) iiyiv
Unautomóvilquepartedelreposoalcanzaunavelocidadde28m/salfinalde7.0segundos.Contestalaspreguntas9y10.
9. ( )Calculalaaceleracióndelautosiesconstante.a) 5.0m/s2
b) 4.0m/s2
c ) 3.0m/s2
d ) 6.0m/s2
10. ( )Calculaladistanciarecorridaenlos7.0s.a) 98mb) 102mc ) 90md ) 100m
Untrencambiauniformementesuvelocidadde54 km/ha90 km/hen10 segundos.Contestalaspreguntas11y12.
11. ( )Determinalaaceleracióndeltren.a) 2.0m/s2
b) 1.5m/s2
c ) 1.0m/s2
d ) 3.0m/s2
12. ( )Determinaladistanciaquerecorreenlos10s.a) 1.8×102mb) 2.1×102mc ) 2.2×102md ) 2.0×102m
Unautoqueviajaa20m/s frenaderepenteyalcanzaare-correr40mhastadetenerse.Contestalaspreguntas13y14.
13. ( )Hallalaaceleracióndelauto.a) -4.0m/s2
b) 4.0m/s2
c ) -5.0m/s2
d ) 6.0m/s2
e) 5.0m/s2
14. ( )Determinaeltiempoquetardaendetenerse.a) 4.0sb) 3.5sc ) 5.0sd ) 4.5s
Lavelocidaddeunaviónenelmomentodesuaterrizajeesde216km/hyalcanzaarecorrer900mantesdedetenerse.Contestalaspreguntas15y16.
15. ( )Determinasuaceleraciónsiesconstante.a) 2.0m/s2
b) -1.8m/s2
c ) -2.0m/s2
d ) 1.8m/s2
e) -1.6m/s2
16. ( )Determinaeltiempoquetardaendetenerse.a) 33sb) 29sc ) 37sd ) 30s
Unaviónparadespegarrecorre810men18segundos.Con-testalaspreguntas17y18.
17. ( )Determinalaaceleraciónconstantedelavión.a) 40m/s2
b) 6.5m/s2
c ) 5.0m/s2
d ) 5.5m/s2
18. ( )Determinalavelocidaddedespeguedelavión.a) 95m/sb) 90m/sc ) 80m/sd ) 5m/s
19. ( )Untráilerquepartedesdeelrepososemueveconaceleraciónconstantede0.40m/s2. ¿Cuántotiempotar-daráenrecorrer500m?a) 1minb) 40s
Tema 3 Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, mrua 109
LibertadDigital (2015)
110 Física I
c ) 80sd ) 50se) 45s
Lasiguientefiguracorrespondealagráficavelocidadcontratiempodeunobjeto.Deacuerdoconlainformaciónquepre-senta,determina:
20
16
1012
18
14
8
42
6
4 8 18t (s)
v (m/s)
20. ( )Elintervalodetiempoenelcualelmovimientodelobjetoesconvelocidadconstante.a) de0a4segundosb) de8a18segundosc ) de0a4yde8a18segundosd ) de4a8segundos
21. ( )Laaceleraciónmediaenelintervalode0a18se-gundos.a) -2.26m/s2
b) -0.4m/s2
c ) -0.55m/s2
d ) 0.4m/s2
22. ( )Calculalaaceleraciónenelintervalode0a4se-gundos.a) 3m/s2
b) 5m/s2
c ) 2.5m/s2
d ) 4m/s2
23. ( )Calculalaaceleraciónenelintervalode4a8se-gundos.a) 0m/s2
b) 5m/s2
c ) 3m/s2
d ) 4m/s2
24. ( )Calculalaaceleraciónenelintervalode8a18se-gundos.a) 2m/s2
b) 3m/s2
c ) -1.8m/s2
d ) -2m/s2
25. ( )Calculaeldesplazamientoenelintervalode0a4segundos.a) 32mb) 60mc ) 56md ) 50m
26. ( )Calculaeldesplazamientoenelintervalode4a8segundos.a) 40mb) 20mc ) 160md ) 80m
27. ( )Calculaeldesplazamientoenelintervalode8a18segundos.a) 50mb) 56mc ) 100md ) 80m
LibertadDigital (2015)
Definición y aplicacionesElmovimientodeunobjetoquecaelibrementealasu-perficie,obienquese lanzaverticalmentehaciaarribaohacia abajo son ejemplos comunes del movimiento conaceleración constante. Estetipodeaceleraciónseconocecomoaceleración de la gravedad ysedenotaconlaletrag. Suvaloraproximadocercadelasuperficieterrestreesde9.80m/s2 ysudirecciónsiempreesverticalhaciaabajoyhaciaelcentrodelaTierra.
Figura 2.28 Cuando los objetos se mueven libremente bajo la influencia exclusiva de la gravedad, decimos que están en caída libre.
Cuandolosobjetossemuevenlibrementebajolain-fluenciaexclusivade la gravedad,1 decimosqueestánen caída libre, término conque se alude almovimientodelosobjetosquesedejancaerdesdeelreposooqueselan-zanverticalmentehaciaabajoohaciaarribayquesólolagravedad influye en sumovimiento. Incluso cuando sonlanzadosverticalmentehaciaarriba,sedicequeestánace-lerandohaciaabajo;haciaelcentrodelaTierra.
1 La gravedad es la fuerza de atracción que ejerce un cuerpo de gran masa como la Tierra sobre los objetos.
Aristótelespensabaqueloscuerposmáspesadoscaíanmásrápidoquelosligeros.Estaideafueconsideradacomoverdaderapormásde2000años;sinembargo,enlaactua-lidadesfácilobservarquesisedejancaer,almismotiem-po,unamonedayunapluma,éstacaerámáslentamentedebidoasugransuperficie.Unaplumarevoloteahastaelsueloyladetieneelaire,quedebeserempujadoaunladoparadejarlapasar.Entremásanchoseaunobjeto,mástar-daraencaerporqueelefectodelafriccióndelairesobresumovimientoesmayor.Lafriccióndelaireretrasalacaídadelosobjetos,lacualaumentamientrasmayorsealaalturadesdedondecaeelobjeto.
Sinembargo,enausenciadelaire,esdecir,enelva-cío,lamonedaylaplumacaenconlamismaaceleraciónylleganalfondoalmismotiemposisedejancaerdesdelamismaaltura.
Figura 2.29 La fricción del aire es la razón por la que la pluma no cae al suelo al mismo tiempo que la moneda si se de-jan caer desde la misma altura.
Pluma Moneda
Figura 2.30 En el vacío, una pluma y una moneda caen al mismo tiempo si se dejan caer desde la misma altura.
Tema 4
movimiento con aceleración
constante
aceleración de la gravedad
fórmula cinemática para la caída
libre
gravedad
caída libre
Caída libre
LibertadDigital (2015)
112 Física I
En1971,elastronautaDavidScottdejócaerenlasu-perficiedelaLunaunaplumay unmartillodesdelamismaaltura.Ambosobjetoscayeronalmismotiempoporqueeneselugarnohayatmósferayporlotanto,nohayaire.
DavidScottconfirmóloqueGalileoestablecióen1590:“Enausenciadelafriccióndelaire,todoslosobjetoscaenlibrementeconlamismaaceleración”.CuentalahistoriaqueundíaGalileoconvocóatodosloshabitantesdelpuebloalatorredePisaydesdeallí,atravésdeunaarcadaabierta,dejócaersimultáneamentedospiedrasdediferentepesoytamaño.Estosobjetosgolpearonalmismotiempoelsueloy conestesencilloactodemostróqueAristótelesseequivoca-baacercadelmovimientodelosobjetosquecaenlibremente.
DadoquelacaídalibredelosobjetosesmuyrápidayenlaépocadeGalileolosrelojesnoerantansofisticadoscomolosdehoy,esteingeniosocientíficohizorodarvariaspelotas por diferentes planos inclinados. Pensaba que silaaceleracióneraconstanteparacadainclinación,conti-nuaríasiéndolosilainclinaciónfueraverticalylaspelotascayeranlibremente.
Figura 2.31 Galileo fue el primer físico en efectuar un expe-rimento para demostrar que la aceleración de la gravedad es constante.
Figura 2.32 Experimento de Galileo con pelotas rodando en diferentes planos inclinados.
Galileoobservóqueamedidaqueaumentabalaincli-nacióndelosplanosinclinados,laaceleraciónaumentaba,peroparacadaposicióneraconstante.Finalmente,descu-brióqueaunainclinaciónde90°losobjetoscaenconunaaceleraciónconstante.
ComoGalileonopodíamedirlavelocidadinstantá-neadelaspelotasquesemovíanporlosplanosinclinados,investigólarelaciónentreladistanciarecorridayeltiempoparacadapelotaquerodabadesdeelreposoporunplanoinclinado.Comoresultadodesusexperimentosconcluyólosiguiente:
Ladistanciarecorridavaríadirectamenteproporcio-nal al cuadrado del tiempo: d = kt 2, donde k es laconstantedeproporcionalidad.
Fórmulas cinemáticas para la caída libreDadoquelaaceleracióndelagravedadesconstante,po-demosutilizar lasmismas fórmulasque aplicamos en elmovimientounidimensionalhorizontal,sólotenemosquesustituirgporayasíestablecerunsistemadereferenciacuyoejedecoordenadasseavertical.
Elpuntodelanzamientoodecaídadeunobjetoenparticularsetomacomoorigendelejedecoordenadas;así,tambiénsesustituyeenlasfórmulasDyporDx;yporxyy0porx0.
Experimentalmente,sehaencontradoqueelvalordelaaceleracióndelagravedadvaríaconlalatitudyconlaaltura; sinembargo,comocercade lasuperficie terrestrelasvariacionessonmuypequeñasynoafectanlosresulta-dosenlamayoríadelosproblemasprácticos,enestetextotomaremoselvalordelaaceleracióndelagravedadcomo9.80m/s2.
Enlasolucióndeproblemasdecaídalibreesnecesarioconvenirladirecciónpositivadelmovimiento.Siconveni-mosqueladirecciónpositivaeshaciaarriba,elsignodegesnegativo(-)porqueladireccióndelvectoraceleracióneshaciaabajo.Asimismo,losdesplazamientosporencimadelorigensonpositivos,ypordebajo,negativos.
Del mismo modo, si convenimos que la direcciónpositiva delmovimiento es hacia abajo, el signodeg espositivo (+) porque el vector aceleración tiene lamismadirecciónquelaconvenidacomopositivadelmovimiento.
Porúltimo,consideraremosnulalafriccióndelaireenlasolucióndelosejerciciosdeestetexto.
Fórmulas de la caída libreMovimientoverticalhaciaabajo
LibertadDigital (2015)
Tema 4 Caída libre 113
1. =−
−g
v vt t
0
0
3. 2g y = v2 v02
2. y =+
y y0 =v v0
2t 4. y = v0t +
12g t2
y0
y
Si t0 = 0, y0 = 0, h = y y convenimos que la direc-ciónpositivadelmovimientoeshacia abajo, el signodegespositivoporqueelvectoraceleracióntienelamismadirecciónquelaconvenidacomopositivadelmovimiento,entoncestenemoslassiguientesfórmulas:
1. =−
gv vt
0 3. = −g h v v2 202
2. h =v + v0
2t 4. = +h v t g t1
202
Porúltimo,consideraremosnulalafriccióndelaireenlasolucióndelosejerciciosdeestetexto.
Ejemplo 2.20 Unalbañildejacaeruntabiquedes-delacimadeunedificiode40.0mdealtura.Calcula:
a) Eltiempoquetardaenllegaralasuperficie.
SoluciónConsideremoslacaídacomoladirecciónpositivadelmovimiento;entonces,g=9.80m/s2.
y0 = 0v0 = 0t0 = 0
y = 40 mv = ?t = ?
∆y = y − y0h = ∆y = 40 m
g = 9.80 m/s2
y0
y
= +h v t gt120
2
Dadoquen0=0,entonces:h==h gt1
22gt2,dondealdespejart 2resulta:
=t hg
22
Luego:
t hg
t
2
2 40.0m9.80m s
2.857 s2
( )
=
= =
Luego,alexpresarelresultadocontrescifrassignifi-cativas,queda:
t=2.86sb) Lavelocidadconquellegaalasuperficie.
SoluciónAldespejarndelaecuación =
−g
v vt
0 ,dondeV0 = 0,resulta:n = gt;luego
v
v
(9.80m s )(2.86s)
28.03m s
2=
=
Alredondearatrescifrassignificativasqueda:
=v 28.0m s
Ejemplo 2.21 Ernesto lanzasupelotadebeisbolverticalmentehaciaabajoaunavelocidad6.0m/sdes-delacimadeunedificiode30mdealtura.Calcula:
a) Lavelocidadconquelapelotachocaconlasuperficie.
Solución
v0 = 6.0 m/st0 = 0y0 = 0
v = ?y = 30 mt = ?
h = ∆y = 30 – 0h = 30 m
y0
y
g = 9.80 m/s2
LibertadDigital (2015)
114 Física I
Consideraremos como ladirecciónpositiva elmovi-mientohaciaabajo.
= −gh v v2 202
Aldespejarn2enlaecuaciónanterior,resulta:
( )( ) ( )
= +
= +
= =
v v g h
v
v
2
6.0m s 2 9.80m s 30m
624m s 24.98m s
202
2 2 2
2 2
Alexpresarelresultadocondoscifrassignificati-vasqueda: n=25m/s
b) Eltiempoquetardaenllegaralasuperficie.
SoluciónAldespejartenlaecuación =
−g
v vt
0 resulta:= −
=−
=−
=
gt v v
tv vg
t 25 m s 6.0 m s9.80 m/s
1.938s
0
0
Alexpresarel resultadocondoscifras significa-tivasqueda:
=t 1.9s
Ejemplo 2.22 Enrique deja caer un desarmadordesdelaventanadelpisomásaltodesucasa.Sieldes-armadorllegaalsuelodespuésde2.0segundos,calcula:
a) LaalturadelacasadeEnrique.
Solución
V0 = 0t0 = 0y0 = 0
h = y – 0h = y = ?
V = ?t0 = 2.0 sy = ?
y0
y
g = 9.80 m/s2
Consideraremos como ladirecciónpositiva elmovi-mientohaciaabajo.
= +h v t g t120
2
Dadoquen0=0,tenemos:
( )( )
=
=
=
h gt
h
h
12
12
9.80m s 2.0s
19.6m
2
2 2
Redondeamosadoscifrassignificativasparaobtener:
h=20m
Tiro vertical hacia arribaCon el siguiente ejemplo analicemos el tiro verticalhaciaarriba.
Ejemplo 2.23 El jefe de una tribu apache lanzaunaflechaverticalmentehaciaarribaaunavelocidadde39.2m/s.Contestalassiguientespreguntas:a) Determinaeltiempoquetardalaflechaenalcan-zarsualturamáxima.
SoluciónConsideremos la dirección positiva del movimientohaciaarriba,porconsiguientey=9.80m/s2
Dirección positivadel movimiento
v = 0t = ?y = ?
y0 = 0t0 = 0v0 = 39.2 m/s g = 9.80 m/s2
h = y – y0h = y
y
y0
g = 9.80 m/s2
Cuandounobjetoselanzaverticalmentehaciaarriba,suvelocidaddisminuyedemanerauniformea razónde9.80m/s porsegundoporque laaceleraciónde la
LibertadDigital (2015)
Tema 4 Caída libre 115
gravedadsiempreactúahaciaabajo;suefectoesdismi-nuirlavelocidaddelosobjetosquesubenyaumentarlade losquecaenlibremente.
Cuandounobjetosubelibremente,semuevecadavezconmenorvelocidadhastaquesedetieneunins-tanteydespuéscaeconmayorvelocidad.Laalturaquealcanzaelobjetocuandosuvelocidadesceroeslaal-turamáximaquealcanza.
Enlacimadelatrayectoriadeunobjetoqueselanza verticalmente hacia arriba, la aceleración de lagravedadsiguesiendode9.80m/s2condirecciónha-ciaabajo.Sig fueraigualacero,significaríaquelagra-vedadhabríadejadodeactuarsobreelobjeto.
Deacuerdoconloanterior,enelpuntomásaltodelatrayectoriadelaflechasuvelocidadesceroysuaceleraciónesg.
Así,considerandoladirecciónpositivadelmovi-mientohaciaarriba,tenemos:
=−
−g
v vt t
0
0
Dadoquen = 0yt0=0,entonces:
gvt
gt v
tvg
t
–
39.2m s
9.80m s4.00s
0
0
0
2
( )
=
= −
=−
=−
−=
t=4.00s
b) Calculalaalturamáximaquealcanzalaflecha.
SoluciónLaalturaquealcanzalaflechaesmáximacuandosuvelocidadesigualacero,osea,
hmáx =v + v0
2t
hmáx =0+ 39.2m s
24.00s
hmáx = 78.4m
c) Calculaeltiempoquetardalaflechaenllegarasupuntodepartida.
SoluciónCuandolaflecharegresaasupuntodepartida,eldes-plazamientoresultanteescero,esdecir,h=0.
h v t gt
v t gt
t t
t t
t t
12
12
0
39.2 m s 12
9.80m s 0
39.2 m s 4.90m s 0
39.2 m s 4.90m s 0
02
02
2 2
2 2
2 2
( )( )( )
( )
( )
( )
= +
+ =
+ − =
+ − =
− =
Alextraer t como factor comúnen la expresiónanterior,resulta:
t (39.2m/s-4.90m/s2t ) =0
De acuerdo con la propiedad multiplicativa delcero:
t = 0y39.2 m/s-4.90m/s2 t = 0
39.2m/s =4.90m/s2 t, luego
t 39.2 m s4.90 m s
8.00 s2= =
Alexpresarel resultadocondoscifras significa-tivasqueda:
t=8.00s
Observaqueeltiempoquetardaenascenderlaflechaeselmismoquetardaencaer.
Tiempodesubida=Tiempodebajada
d) Calcula la velocidad con que la flecha llega a supuntodepartida.
Solución
=−
gv vt
0
Donde
v t
g v
v
v
v
v
v
39.2m s, y 8.0s
39.2m s8.0s
9.80m s 39.2m s8.0s
9.80m s 8.0s 39.2m s
9.80m s 8.0s 39.2m s
9.80m s 8.0s 39.2m s
39.2m s
0
2
2
2
2
( )( )
( )
( )
( )
( )
= =
=−
− =−
− = −
− + =
= − +
= −
LibertadDigital (2015)
116 Física I
v t
g v
v
v
v
v
v
39.2m s, y 8.0s
39.2m s8.0s
9.80m s 39.2m s8.0s
9.80m s 8.0s 39.2m s
9.80m s 8.0s 39.2m s
9.80m s 8.0s 39.2m s
39.2m s
0
2
2
2
2
( )( )
( )
( )
( )
( )
= =
=−
− =−
− = −
− + =
= − +
= −
Observaquelavelocidadconquellegalaflechaasupuntodepartidaesdeigualmagnitudqueladesulanzamiento,peroobviamentesudireccióneshaciaabajo,o sea, el signonegativode la velocidad indicaqueelmovimientodelaflechaeshaciaabajo.
Analizando nuestro ejemplo anterior, podemosdecir que cuando un objeto se lanza verticalmentehaciaarriba,sumovimientodeascensoy descensoessimétrico,esdecir:
• Tiempodeascenso=Tiempodedescenso• Las velocidades son de igual magnitud para cadatiempo(antesydespuésdealcanzarsualturamáxima),perodedireccióncontraria.Porlotanto,lamagnituddelavelocidaddelanzamientoesiguallamagnituddelavelocidaddellegadaasupuntodepartida.
Lafigura2.33muestraelcomportamientodelaflechaqueestudiamosenelejemploanterior.
v(↑)(m/s)
v(↓)(m/s)t (s) t (s)
−19.619.6
−9.809.8000
−29.429.4
−39.239.2
2
34
1
0
6s
5s
7s
8s
Figura 2.33
Lasiguientefiguracorrespondealagráficadeveloci-dadcontratiempodenuestroejemplo:
39.2
–39.2
29.4
–29.4
19.6
–19.6
9.8
–9.8t (s)
4 5 6 7
8
v ms
Ejemplo 2.24 Calcula la velocidad con laque sedebelanzarverticalmentehaciaarribaunapelotaparaquealcanceunaalturamáximade20m.
Solución
g = −9.80 m/s2
v = 0y = hmáx = 20 m
y0 = 0v0 = ?
y
y0
Direcciónpositiva
= −g h v v2 202
Dadoquey0 =0yn=0,entonces:
( )
= −
− = −
g h v
v
2
2 9.80m s 20m
02
202
Multiplicamos por -1 ambos miembros de laecuaciónanterior:
( )( )
( )( )
=
=
=
v
v
v
2 9.80 20 m s
2 9.80 20 m s
19.79m s
02 2
2 2
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Tema 4 Caída libre 117
Redondeamosadoscifrassignificativasparaob-tener:
n=20m/s
Ejemplo 2.25 Desdelacimadeunedificiode60mdealtura,unacatapulta lanzaunapiedravertical-mentehacia arriba a una velocidadde 30m/s. Si lapiedraapenaslograpasareledificiodurantesucaída,contestalassiguientespreguntas.
a) Calculael tiempoquetarda lapiedraenalcanzarsualturamáxima.
Solución
Direcciónpositiva
v = 0t = ?y = ?
y0 = 0t0 = 0v0 = 30 m/s
60 m
0
h = y – y0 = y – 0 = yh
g = −9.80 m/s2
= +h h60mmáx
La figura de arribamuestra el sistema de referenciaconorigenenelpuntodesdedondeselanzalapiedraverticalmente hacia arriba. Consideraremos como ladirecciónpositivadelmovimientohacíaarriba.
=−
gv vt
0
Dadoque:v
g vt
v gt
t vg
t
t
0
30m s
9.80m s
3.06s
2
( )
=
=−
− =
=−
=−
−
=
v
g vt
v gt
t vg
t
t
0
30m s
9.80m s
3.06s
2
( )
=
=−
− =
=−
=−
−
=
Redondeamosadoscifrassignificativasparaobtener:
t=3.1s
b) Calculalaalturamáximaquealcanzalapiedraconrespectoalabasedeledificio.
SoluciónPrimerocalculemoslaalturamáxima(h)quealcanzalapiedraconrespectoasupuntodepartida.
h =v + v0
2t
Donde:
n=0,
Luego:
h =v0
2t,
Luego:
h = 302
m s 3.1s( )
h = 46.5m
Redondeamosadoscifrassignificativasparaobtener:
h=46m
Nota:tambiénpuedeserh =47m.
Calculemosacontinuaciónlaalturamáximadelapie-draconrespectoalabasedeledificio:
= +
=
h m m
h m
46 60
106
máx
máx
c) Calculalovelocidaddelapiedracuandochocaconelsuelo.
SoluciónEstablezcamos un sistemade referencia cuyo origenseaelpuntodesdedondeempiezaacaer lapiedrayconsideremos la dirección positiva del movimientohaciaabajo.
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118 Física I
Direcciónpositiva
g = 9.80 m/s2
v = ?y = 106 m
v0 = 0t0 = 0y0 = 0
H = y = 106 m
H = y − y0 = y − 0
H
= −g H v v2 202
Dadoque =v 00 ,entonces:
( )( )
( )( )
( )( )
=
=
=
= =
v gH
v
v
v
2
2 9.80m s 106m
2 9.80 106 m s
2 9.80 106 m s 45.58m s
2
2 2
2 2 2
2 2 2
Alexpresarelresultadocondoscifrassignificati-vasqueda 46m/s .
d) Calculaeltiempototaldevuelodelapiedra.
Solución
= +
= +
t t t
t t3.1s
TOTAL ASCENSO DESCENSO
TOTAL DESCENSO
Calculemosacontinuacióneltiempodedescensodelapiedra.Parahacerlo,utilizaremoselsistemaderefe-renciadelincisoanterior.
=−
gv vt
0
Donde:
=v 00
Luego:
=g vt
Aldespejartdelaecuaciónanteriorresulta:
gt v
t vg
t
t
t
46m s9.80m s
4.65s 4.7s
4.7sDESCENSO
=
=
=
= ≅
=
Entonceseltiempototales:= +
=
t
t
3.1 4.7s
7.8s
t
t
Concluyendo: si un objeto es lanzado verticalmentehaciaarriba,tenemoslassiguientesfórmulas.
1. =−
gv vt
0
Cuandoelobjetoalcanzasualturamáximan = 0.
2. h = v + v0
2t
3. = +h v t g t120
2
4. = −gh v v2 202
Siconsideramosladirecciónpositivahaciaarriba,entonceselvalordeges
g –9.80 m s2=
ActividAdes de AprendizAje Enlasolucióndelossiguientesejercicios,consideraremosg =9.80m/s2.Consideraremostambiéncomodirecciónpositivahaciaabajocuandolosobjetoscaen.Siunobjetoselanzahaciaarriba,consideremosladirecciónpositivahaciaarriba.
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Tema 4 Caída libre 119
1. Sedejacaerunapiedradesdeelbordedeunbarranco.Silapiedratarda3.60segundosenllegaralasuperficie,determina:a) Lavelocidadconlacualchocalapiedracontrael
suelo:a) 38.5m/sb) 30m/sc ) 35.3m/sd ) 41.2m/s
c) 35.3m/s
b) Laprofundidaddelbarranco:a) 70.4mb) 63.5mc ) 69.4md ) 72.6m
b) 63.5m
2. Luisdejacaerdesdeelbalcóndesuventanaunbalóndefutbol.Silaalturadelbalcónesde11metros,respondelassiguientespreguntas:a) Eltiempoquetardaelbalónenllegaralsuelo.
a) 1.5sb) 1.2sc ) 1.9sd ) 2.0s
a) 1.5s
b) Lavelocidadconlacualelbalónchocacontraelsuelo.a) 15.8m/sb) 12.5m/sc ) 13.5m/sd ) 14.7m/s
d) 14.7m/s
3. Unapiedraquesedejacaerdesdelacimadeunpuente,chocaconelagua2.40segundosdespués.Determina:a) Lavelocidadconquelapiedrachocaconelagua.
a) 23.5m/sb) 24.8m/sc ) 20.0m/sd ) 27.2m/s
a) 23.5m/s
b) Laalturadelpuente.a) 34.6mb) 24.0mc ) 28.2md ) 26.8m
c) 28.2m
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120 Física I
4. Desdeungloboaerostáticoselanzaverticalmentehaciaabajounsacodearenaconunavelocidadde4.00m/s.Sielsacollegaalsuelo3.40segundosdespués,calcula:a) Lavelocidadalacualelsacodearenachocacon
elsuelo.a) 43.5m/sb) 40.0m/sc ) 37.3m/sd ) 32.8m/s
c) 37.3m/s
b) Laalturaalaqueseencuentraelgloboconrespectoalsuelo.a) 70.2mb) 65.1mc ) 74.6md ) 64.5m
a) 70.2m
5. Unapiedraselanzaverticalmentehaciaelfondodeunpozoconunavelocidadde4.00m/s.Silapiedrallegaalsueloen1.80segundos,respondelassiguientespreguntas:a) Calculalavelocidadconquelapiedrachocacon
elsuelo.a) 18.4m/sb) 27.1m/sc ) 19.4m/sd ) 21.6m/s
d) 21.6m/s
b) ¿Cuáleslaprofundidaddelpozo?a) 26.0mb) 23.0mc ) 20.9md ) 25.6m
b) 23.0m
6. Sisedejacaerunobjetodesdeloaltodeunedificiode80.0mdealtura,determina:a) Eltiempoquetardaelobjetoenllegaralsuelo.
a) 3.60sb) 4.04sc ) 4.50sd ) 5.00s
b) 4.04s
b) Lavelocidadconlaqueelobjetollegaalsuelo.a) 32.4m/sb) 39.6m/sc ) 44.5m/sd ) 35.2m/s
b) 39.6m/s
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Tema 4 Caída libre 121
7. Nadiadejacaerunapiedradesdeunpuentede60.0mdealturaconrespectoalrío.Determina:a) Eltiempoquetardalapiedraenllegaralagua.
a) 3.0sb) 4.0sc ) 4.5sd ) 3.50s
d) 3.50s
b) Lavelocidadconquelapiedrachocaconelagua.a) 34.3m/sb) 30.5m/sc ) 38.0m/sd ) 36.1m/s
a) 34.3m/s
8. Desdelaazoteadeunedificio,se lanzaverticalmentehaciaabajounapelotaconunavelocidadde6.00m/s. Silape-lotallegaalasuperficie2.40segundosdespués,calcula:a) Lavelocidadconlacuallapelotachocacon
lasuperficie.a) 29.5m/sb) 20.7m/sc ) 24.8m/sd ) 32.8m/s
a) 29.5m/s
b) Laalturadeledificio.a) 48.0mb) 36.0mc ) 42.6md ) 40.5m
c) 42.6m
9. Cynthialanzaunapelotaverticalmentehaciaarribaconunavelocidadde20.0m/s.Determina:a) Eltiempoquetardalapelotaenalcanzarsualtura
máxima.a) 1.5sb) 2.04sc ) 1.8sd ) 2.40s
b) 2.04s
b) Laalturamáximaquealcanzalapelotasobresupuntodepartida.a) 20.4mb) 16.0mc ) 24.1md) 18.5m
a) 20.4mc) Eltiempototaldevuelodela
pelota.d) Lavelocidadconlaquelapelota
llegaasupuntodepartida.e) Laaceleraciónenelpuntomásalto
desutrayectoria.
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122 Física I
10. ¿Conquévelocidadsedebelanzarverticalmentehaciaarribaunobjetoparaquealcanceunaalturade16.0msobresupuntodepartida?a) 24.0m/sb) 16.0m/sc ) 15.0m/sd ) 17.7m/s
d) 17.7m/s
11. ¿Conquévelocidadsedebeproyectarverticalmentehaciaarribaunapelotadebeisbolparaquealcanceunaalturamáximade30.0msobresupuntodepartida?a) 20.0m/sb) 18.4m/sc ) 24.2m/sd ) 22.0m/s
c) 24.2m/s
12. CuandoAntoniobateaunapelotadebeisbol,éstaseproyectaverticalmentehaciaarribaaunavelocidadde40m/s.Determina:(consideracomopositivoladireccióndelmovimientohaciaarriba).a) Eltiempoquetardaenalcanzarsualturamáxima.
a) 4.1sb) 3.6sc ) 4.5sd ) 3.8s
a) 4.1s
b) Laalturamáximaquealcanzalapelotasobresupuntodeproyeccióninicial.a) 76mb) 90mc ) 82md ) 88m
c) 82m
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Tema 4 Caída libre 123
c ) Eltiempototaldevuelodelapelota.a) 6.4sb) 9.4sc ) 10sd ) 8.2s
d) 8.2s
d ) Laaceleracióndelapelotaenelpuntomásaltodesutra-yectoria.a) 9.80m/s2
b) 0m/s2
c ) -9.80m/s2
c) -9.80m/s2
e) Lavelocidaddelapelotaalos6.0segundos.a) -14m/sb) -15m/sc ) -19m/sd ) -20m/s
c) -19m/s
f ) Lavelocidaddelapelotaalos7s.a) -29m/sb) -26m/sc ) -30m/sd ) -35m/s
a) -29m/s
g) Lavelocidaddelapelotacuandoregresaasupuntodeproyeccióninicial.a) –45m/sb) –35m/sc ) –38m/sd ) –40m/s
d) -40m/s
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124 Física I
13. Unapiedraqueselanzaverticalmentehaciaarribaalcanzaunaalturamáximade18.0msobresupuntodepartida.Determina:(consideracomopositivoladireccióndelmovimientohaciaarriba).a) Suvelocidaddelanzamiento.
a) 18.8m/sb) 21.0m/sc ) 20.0m/sd ) 16.0m/s
a) 18.8m/s
b) Eltiempoquetardaenregresarasupuntodepartida.a) 3.83sb) 4.20sc ) 3.40sd ) 4.50s
a) 3.83s
c ) Laaceleracióndelapiedraenelpuntomásaltodesutrayectoria.a) 0m/s2
b) 9.80m/s2
c ) -9.80m/s2
c) -9.80m/s2
d ) Lavelocidaddelapiedracuandoregresaasupuntodepartida.a) -15.0m/sb) -20.0m/sc ) -18.8m/sd ) -28m/s
c) -18.8m/s
14. Raúllanzaunbalóndebasquetbolverticalmentehaciaarribayregresaasupuntodepartida3.20segundosdespués.Contestalassiguientespreguntas:(consideracomopositivoladireccióndelmovimientohaciaarriba).
a) Lavelocidaddellanzamiento.a) 20.0m/sb) 15.7m/sc ) 14.5m/sd ) 21.0m/s
b) 15.7m/s
b) Laalturamáximaquealcanzalapelotasobresupuntodepartida.a) 12.5mb) 14.0mc ) 10.0md ) 16.0m
a) 12.5m
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Tema 4 Caída libre 125
15. Unapiedrasearrojaverticalmentehaciaarribadesdelacimadeunbarrancode40.0mdeprofundidad.Silavelocidaddellanzamientoesde16.2m/syenlacaídalapiedraapenaslograpasarelbarranco,calcula:a) Eltiempoquetardalapiedraenalcanzarsualtura
máxima.a) 1.65s
h
h máx
40 m
b) 2.4sc ) 1.4sd ) 2.0s
a) 1.65s
b) Laalturamáxima(h máx)quealcanzalapiedrarespectoalacimadelbarranco.a) 15.6mb) 12.0mc ) 13.4md ) 17.0m
c) 13.4m
c ) Laalturamáxima(h máx)quealcanzalapiedrares-pectoalfondodelbarranco.a) 52.0mb) 57.0mc ) 49.0md ) 53.4m
d) 53.4m
d ) Eltiempoquetardalapiedraenllegaralfondodelbarranco.(tiempototaldevuelo)a) 4.95sb) 5.50sc ) 4.00sd ) 4.60s
a) 4.95s
e) Lamagnituddelavelocidadconlaquelapiedrallegaalfondodelbarranco.a) 30.5m/sb) 32.3m/sc ) 38.0m/sd ) 26.0m/s
b) 32.3m/s
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126 Física I
16. Elaborauncuadrodesemejanzasydiferenciasentreelmrua(Elcuadrocomparativoconstituyeunaformaprácticadesintetizarlainformación,yfacilitaelcompararloselementosdeuntema,yaseaconsiderandosussemejanzasosusdiferencias.Elcuadrocomparativoestáconstituidoporcolumnasenlasqueseleelainformación en forma vertical y se establece la comparación entre los elementos de una y otra columna.)
Cuadro de semejanzas y diferencias entre el mrua
Horizontal Caída libre Tiro vertical
17. Llenalossiguientescuadrosdesemejanzasydiferenciasenelmovimiento.
Semejanzas en el movimientoTipo de
movimiento Ventilador Automóvil Brincar Hojas secas
mrua
Caída libre
Tiro vertical
Circular
Diferencia en el movimientoTipo de
movimiento Ventilador Automóvil Brincar Hojas secas
mrua
Caída libre
Tiro vertical
Circular
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Tema 4 Caída libre 127
Escribeenelparéntesislaletraquecorrespondaalarespuestacorrecta.
1. ( )Nombredelaaceleraciónqueexperimentanlosob-jetosenlacaídalibre.a) Pesob) Aceleracióncentrípetac ) Aceleracióncentrífugad ) Aceleracióndelagravedad
2. ( )SedejacaerunobjetoAdesdeunaalturah. Unse-gundodespuéssedejacaerdelmismolugarunobjetoB. Sisedesprecialafriccióndelaire,¿cuáldelassiguientesafirmacionesesverdadera?a) Ladistanciaentre losobjetospermaneceráconstante
durantelacaídadeambos.b) Ladistanciaentrelosobjetosmientrascaencadavezes
menor.c ) LadistanciadisminuirásielobjetoB pesamásqueA.d ) Ladistanciaentreellosserácadavezmayormientras
ambosesténcayendo.
3. SupongamosqueunobjetoMsedejacaerenelplanetaMartedesdeunaalturah. Otroobjeto (T ) sedeja caerdesdelamismaalturaperoenelplanetaTierra.Conside-ranulalaresistenciadelaireenlaTierraysabiendoquelagravedadenelplanetaMarteesde3.8m/s2.
Determinacuálesdelassiguientesproposicionessonverda-derasofalsas.
a) ( )ElobjetoT tardamástiempoenllegaralasuper-ficie.
b) ( )ElobjetoMllegaconmenorvelocidadalasuper-ficie.
c ) ( )LavelocidadconquellegaalasuperficieelobjetoT es2.6vecesmayorquelavelocidadconlaquellegaelobjetoM.
d ) ( )Lavelocidadconlaquellegaalasuperficieelob-jetoT es 1.6vecesmayorquelavelocidadconlaquellegaelobjetoM.
4. ( )Dosobjetosde4y10kg,respectivamente,sedejancaerdesdeeltechodeunacasaalmismotiempo.
Determinacuálesdelassiguientesproposicionessonverda-derasofalsas.Consideranulalafriccióndelaire.
a) ( )Elcuerpode10kgcaeprimeroalsuelo.b) ( )Lavelocidadconque llegaelobjetode4kges
menorqueconlaquellegaelde10kg.c ) ( )Ambosobjetoscaenalsueloalmismotiempo.d ) ( )Ambosobjetoschocanconelsueloconlamisma
velocidad.
e ) ( )Laaceleraciónqueexperimentaelcuerpode10kgesmayorqueladelcuerpode4kg.
f ) ( )Laaceleracióndelagravedadqueexperimentanloscuerposesde9.80m/s2yestádirigidaverticalmen-tehaciaarriba.
g) ( )Lagravedadqueexperimentanloscuerposesde9.80m/s2 yestádirigidaverticalmentehaciaabajo.
h) ( )Lavelocidadconlaquelleganalsuelodependedelaalturadesdelaquecaen.
i) ( )Eltiempoquetardanenllegardependedelaal-turadesdelaquecaen.
5. Si desde la superficie terrestre se lanza un objeto verti-calmentehaciaarriba,determinacuálesdelassiguientesproposicionessonverdaderasofalsas.Consideranula lafriccióndelaire.a) ( )Laaceleracióndelobjetoesde9.80m/s2yestá
dirigidahaciaarriba.b) ( )Laaceleracióndelobjetoesde9.80m/s2yestá
dirigidahaciaelcentrodelaTierra(haciaabajo).c ) ( )Lavelocidaddelobjetoenelpuntomásaltodesu
trayectoriaescero.d ) ( )Laaceleracióndelobjetoenelpuntomásaltoes
cero.e) ( )Eltiempodeasensodelobjetoesigualalamitad
deloquetardaencaer.f ) ( )Eltiempodeascensoesigualaltiempodedes-
censo.g) ( )Laaceleraciónenelpuntomásaltoes9.80m/s2y
sudirecciónesverticalhaciaarriba.h) ( )Laaceleraciónenelpuntomásaltoes9.80m/s2y
sudirecciónesverticalhaciaabajo.i) ( )Amayor velocidadde lanzamiento,mayor es la
alturaquealcanzaelobjeto.j ) ( )Sitardatsegundosenregresaralpuntodeparti-
da,entonceseltiempoquetardaenalcanzarsualturamáximaes2t segundos.
k) ( )Silavelocidaddelanzamientodelobjetoes+50 m/s, entoncescuandoregreseasupuntodepartidasuvelocidadseriade-50m/s.
Sedejacaerunapiedradesdeloaltodeunedificioyelobje-totarda2.40segundosenchocarconelsuelo.Respondelaspreguntas6y7.
6. ( )Determinalavelocidaddelapiedraalchocarconelsuelo.a) 23.5m/sb) 25.5m/sc ) 20.5m/sd ) 26m/s
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128 Física I
7. ( )Calculalaalturadeledificio.a) 28.2mb) 34.5mc ) 24.6md ) 21.4m
Poraccidente,untrabajadordejacaerdesdeunedificiode70mdealturaunmartillo.Contestalaspreguntas8y9.
8. ( )Determinaeltiempoquetardaelmartilloenllegaralsuelo.a) 3.8sb) 3.2sc ) 4.5sd ) 4.8s
9. ( )Determinalavelocidaddelmartillojustocuandolle-gaalsuelo.a) 43m/sb) 32m/sc ) 40m/sd ) 37m/s
Selanzaunapelotaverticalmentehaciaarribaconunavelo-cidadde49.0m/s.Contestalaspreguntas10a16.Consideracomodirecciónpositivahaciaarriba.
10. ( )¿Cuáles lavelocidadde lapelotaenelpuntomásaltodesutrayectoria?a) 9.8m/sb) 19.6m/sc ) 0m/sd ) 49m/s
11. ( )¿Cuáleslaaceleracióndelapelotaenelpuntomásaltodesutrayectoria?a) 9.80m/s2haciaarribab) 0m/s2
c ) 9.80m/s2haciaabajod ) 4.90m/s2haciaabajo
12. ( )Determinalaalturamáximaquealcanzalapelotaapartirdesupuntodepartida.a) 123mb) 122mc ) 129md ) a yb sonrespuestascorrectas
13. ( )Determinaeltiempoquetardalapelotaenalcanzarsualturamáxima.a) 10.0sb) 4.00sc ) 5.00sd ) 6.00s
14. ( )Determinaeltiempoquetardalapelotaenregresarasupuntodepartida.a) 10.0sb) 12.0sc ) 8.00Sd ) 14.0s
15. ( )Determinalavelocidaddelobjetoalos3.20segun-dos.a) 27m/sb) 40m/sc ) 31.4m/sd ) 28m/se) 17.6m/s
16. ( )Determinalavelocidaddelobjetoalos6.40segun-dos.a) -13.7m/sb) -18.0 m/sc ) 18 m/sd ) -15.4m/se) 13.7m/s
17. ( ) ¿Con qué velocidad tiene que lanzarse un objetoverticalmente hacia arriba para que alcance una alturamáximade13.7mrespetoasupuntodepartida?a) 16.4m/sb) 13.2m/sc ) 18.4m/sd ) 15.2m/s
LibertadDigital (2015)
Tema 1 Movimiento unidimensional 129
proyectil
tiro horizontal
parábola
movimiento de proyectiles que son
lanzados hacia arriba con un ángulo
con respecto a la horizontal.
solución de problemas
Movimiento en dos
dimensionesTema 5
Defi nición y aplicacionesUnproyectil escualquierobjetoqueselanzaalaire.
Eneste temaestudiaremos ladescripcióndelmovi-mientoendosdimensionescuando:
1. Se lanzaosearrojahorizontalmenteunobjeto(tirohorizontal).
2. Cuandoselanzaunobjetoconunánguloporencimadelahorizontal.
Figura 2.34 Tiro horizontal.
Figura 2.35 Lanzamiento con un ángulo.
Enestelibronoconsideraremoslosefectosdelare-sistencia del aire.Aunque esto no corresponde a larealidad,confrecuenciaesunabuenaaproximaciónaladescripciónrealdelmovimientodelosproyectiles.
Movimiento horizontal de un proyectil (tiro horizontal)En la obra Discurso sobre dos ciencias, Galileo establecióqueelmovimientoendosdimensionesdeunproyectilsepuedeconsiderarcomodosmovimientosindependientesyqueambosocurrensimultáneamente:unoeshorizontalconvelocidadconstanteyelotroesverticalconacelera-ciónconstante(laaceleracióndelagravedad).
Cuandounproyectilsearrojaolanzahorizontalmen-te,unavezqueestáenelairenoexperimentaaceleraciónen ladirecciónhorizontal, ypor lo tanto sedesplazaendichadirecciónaunavelocidadconstante.Sinembargo,unavezenelaire,elproyectilexperimentalaaceleracióndelagravedad.Porestarazón,mientrassedesplazahori-zontalmente,elproyectilestáencaídalibreenunadirec-ciónvertical.Estehechosepuedecomprobardejandocaerotroobjetoalmismotiempoyalamismaaltura.Losdosproyectileslleganalsuelosimultáneamente;porlotanto,losmovimientosverticalessonidénticos.
x
vy0 = 0
vx0
Figura 2.36 Lanzamiento de dos objetos al mismo tiempo.
Lasiguientefiguradedosesferasiluminadasconluzestroboscópicanosmuestrasustrayectorias:unaesferaselanzahorizontalmentey laotrasólosedejacaer.
LibertadDigital (2015)
130 Física I
Figura 2.37 Imagen de la trayectoria de dos esferas iluminadas con luz estroboscópica.
Sianalizamosdetalladamentelaimagenpodemosob-servarlosiguiente:
1. Laesferaqueselanzahorizontalmentesedesplazalamismadistanciahorizontaldurantelosintervalosdetiempoigualesquetranscurrenentredestellos.Estosignificaquelavelocidaddelaesferaenladirecciónhorizontalesconstante.
2. Lasdosesferastienenlamismaposiciónverticalencada iluminaciónde la luzestroboscópica.Estosignificaqueencadaposiciónverticallaalturadelproyectilquesedejacaeresigualalaalturadelqueselanzahorizontal-mente;demodoqueambosproyectilesllegarándemane-rasimultáneaalsuelo.Porlotanto,laesferaqueselanzahorizontalmenteexperimentalamismaaceleraciónhaciaabajoquelaquesedejacaer;esdecir,elmovimientoverti-caldelaesferaqueselanzahorizontalmenteesidénticoalmovimientodelaesferaquesedejacaer.
Enlasiguientefigurasemuestrandiagramassepara-dosparaelmovimientoverticalyelmovimientohorizon-taldelaesferaqueselanzahorizontalmente.
Inicio
Final
Final
vy ay = g
+y
+x
ax = 0vx
Figura 2.38
La suma vectorial de los componentes horizontal yverticalparaformarelvectorvelocidaddelproyectilqueselanzahorizontalmentesemuestraenlafigura2.39.
Inicio
vyvy
vy
vy
vx
vx
vx
vx
Final
Figura 2.39
Observa que la velocidad horizontal constante y laaceleraciónde la gravedadproducen la trayectoria curvadelproyectil.
Por sus características geométricas, en matemáticasdichacurvarecibeelnombredeparábola.
Pararesolverproblemasdetirohorizontal,deacuer-doconloanterior,podemosconsiderarelmovimientodelproyectilcomodosmovimientosindependientesentresí:unohorizontalconvelocidadconstanteyelotroverticalencaídalibre.
Ejemplo 2.26 Desdeunedificioa80mdealturaselanzahorizontalmenteunproyectilconunaveloci-dadde30m/s.Contestalassiguientespreguntas.
a) Calculael tiempoque tardaelproyectil en llegaralsuelo.
Solución
v0x
h = 80 m
x
y
LibertadDigital (2015)
Tema 5 Movimiento en dos dimensiones 131
Paradeterminareltiempodevueloconsideramosporseparadoelmovimientoverticaldelproyectilytome-mos comoorigendel sistemade referencia el puntodesdedondeelproyectilselanzaalaire.
h = Δy = 80 m
g = 9.80 m/s2
direcciónpositiva
y0 = 0t0 = 0v0y = 0
y = 80 mt = ?vy = ?y
y0
y = v0 y t + 12g t2
h = v0 yt +12g t2
Dadoque =v 0y0 ,entonces:
=h g t12
2
Despejemost 2enlaecuaciónanteriorparaobtener:
= =
=
t hg
t
2 2(80 m)
9.80 m s
4.0s
22
b) Calculaaquédistanciadelabasedeledificiocaeelproyectil.
Solución
d = x = v0tx
y
h = 80 m
Paracalcularestadistanciaconsideraremosporsepa-rado el movimiento horizontal del proyectil. Comolavelocidadhorizontalesconstante;esdecir, =v vx x0 ,entonces:
( )( )
=
=
=
x v t
x
x
30m s 4.0s
120
x
Alexpresarel resultadocondoscifras significa-tivasqueda:
x=1.2×102m
c) Calculalamagnituddelavelocidadcuandoelpro-yectilchocaconelsuelo.
SoluciónComoloscomponentesdelvectorvelocidadsonper-pendiculares,tenemos:
( )
= +
= +
v v v
v v30m s
x y
y
2 2 2
2 2 2
Donde:v gt
v
v
v
v
9.80m s 4.0s 39.2m s
39m s , luego:
30m s 39m s 49.2m s, luego
49m s
y
y
y
2
2 2 2
( )( )
( )
( ) ( )
=
= =
=
= + =
=
Alexpresarel resultadocondoscifras significa-tivasqueda:
v gt
v
v
v
v
9.80m s 4.0s 39.2m s
39m s , luego:
30m s 39m s 49.2m s, luego
49m s
y
y
y
2
2 2 2
( )( )
( )
( ) ( )
=
= =
=
= + =
=
Ejemplo 2.27 Sedejacaerunbotiquíndesdeunaviónque vuelahorizontalmente auna velocidadde198km/hy aunaalturade312m.Contesta las si-guientespreguntas.a) Calculaeltiempoquetardaencaerelbotiquín.
Solución
312 m
Paracalculareltiempoquetardaenllegarelbotiquínalsuelo,consideraremosporseparadoelmovimientoverticaldelproyectil.
LibertadDigital (2015)
132 Física I
h = Δy = 312 m
g = 9.80 m/s2
direcciónpositiva
Oy0 = 0t0 = 0v0y = 0
y = 312 mt = vy = y
y0
= +h v t g t12y0
2
Dadoque =v 0y0 ,entonces:
=h g t12
2
Luego:
( )
=
= =
t hg
t
2
2 312m
9.80m s63.7s
2
22
2
Luego:t=7.98s
b) Determinaladistanciaquerecorreelavióndesdeel instanteenque sedejacaerelbotiquínhastaquechocaconelsuelo.
SoluciónEnlaproyecciónhorizontaldelmovimientolaveloci-dadesconstante.Porlotanto:
x v t
x
x
x
198km h 7.98s
55.0m s 7.98s
439m
x
( )( )( )( )
=
=
=
=
c) Calcula lamagnitud de la velocidad del botiquíncuandochocaconelsuelo.
Solución
y
x
n
nx
ny
( )
= +
= +
v v v
v v55.0m s
x y
y
2 2 2
2 2 2
Donde,v g t
v
v
9.80m s 7.98s
78.2m s
y
y
y
2( )( )
=
=
=
Porconsiguiente:v
v
55.0m s 78.2m s
95.6m s
2 2 2( ) ( )= +
=
ActividAdes de AprendizAje
1. Unaeroplanodeabastecimientoquevuelaa80.0m/sydesciendea120mdeelevación,donde,envuelohorizontalliberaunbultodemedicamentosparaquecaigaenunaseñal.Halla:
h = 120 m
LibertadDigital (2015)
Tema 5 Movimiento en dos dimensiones 133
a) Eltiempoquetardaenllegarelbultoalsuelo.a) 6.00sb) 3.50sc ) 4.95sd ) 4.25s
c) 4.95s
b) ¿Aquédistanciadelcampamentoelpilotodebesoltarelbulto?a) 396mb) 415mc ) 380md ) 410m
a) 396m
2. Desdeunaviónquevuelahorizontalmentea1400mconunavelocidadde140m/ssedejacaerunbultodealimen-tos.Hallar:a) Eltiempoquetardaelbultoenllegaralsuelo.
a) 16.9sb) 14.0sc ) 18.5sd ) 20.0s
a) 16.9s
b) Elalcancedelbulto.a) 2.90×103mb) 2.65×103mc ) 2.37×103md ) 2.00×103m
c) 2.37×103m
LibertadDigital (2015)
134 Física I
c) Lamagnituddelavelocidadconquellegaelbultoalsuelo.a) 200m/sb) 225m/sc ) 220m/sd ) 217m/s
d) 217m/s
3. Unabalasedisparahorizontalmenteconunavelocidadde200m/sdesdeunaalturade1.60msobreelsuelo.Determina:a) Eltiempoquelabalapermaneceenelaire.
a) 0.571sb) 1.45sc ) 0.862sd ) 0.350s
a) 0.571s
b) Elalcancehorizontaldelabala.a) 120mb) 108mc ) 114md ) 100m
c) 114m
4. Desdeunhelicópteroquevuelahorizontalmenteconunavelocidadde40.0m/s sedejacaerunproyectildesdeunaalturade200m.Encuentra:a) Eltiempoquetardaelproyectilenchocarconelsuelo.
a) 7.50sb) 6.39sc ) 6.00sd ) 7.00s
b) 6.39s
LibertadDigital (2015)
Tema 5 Movimiento en dos dimensiones 135
b) Ladistanciahorizontalquerecorreelproyectil.a) 270mb) 240mc ) 248md ) 256m
d) 256m
c ) Lamagnituddelavelocidadconqueelproyectilllegaalasuperficie.a) 68.5m/sb) 80.0m/sc ) 65.0m/sd ) 74.3m/s
d) 74.3m/s
5. Desdeunatorrede75.0mdealturasedisparahorizontalmenteunaflechaconunavelocidadde30.0m/s.Encuentra:a) Eltiempoquetardalaflechaenchocarconelsuelo.
a) 4.50sb) 3.91sc ) 3.50sd ) 3.00s
b) 3.91s
b) Elalcancehorizontaldelaflecha.a) 117mb) 120mc ) 110md ) 114m
a) 117m
LibertadDigital (2015)
136 Física I
c ) Lamagnituddelavelocidadconlaquelaflechachocaconelsuelo.a) 48.7m/sb) 54.5m/sc ) 41.6m/sd ) 45.0m/s
a) 48.7m/s
6. Desdeunedificio,a20mdealturasobreelsuelo,selanzaunproyectilhorizontalmentequecaea24mdelabasedeledificio.Determinalavelocidaddelanzamiento.
vy = 0
x = 24 m
y
x
h = 20 m
a) 8m/sb) 14m/sc ) 12m/sd ) 18m/s
c) 12m/s
7. Carlosarrojaunproyectilhorizontalmentedesdeunacantiladode100mdealtura.Sichocaa90mdedistanciadelabasedelbarranco,calculalavelocidaddelanzamiento.
x = 90 m
100 m
a) 16m/sb) 24m/sc ) 18m/sd ) 20m/s
d) 20m/s
LibertadDigital (2015)
Tema 5 Movimiento en dos dimensiones 137
Movimiento de proyectiles que son lanzados hacia arriba con un ángulo con respecto a la horizontalCuandounproyectilselanzahaciaarribaconunángulo(q) respectoalahorizontal,elvectordelavelocidadinicialtieneunacomponentehorizontaldesignadaporv x0 yunacomponenteverticaldesignadaporv y0 donde:
θ
θ
=
=
v v
v v
cos
sen
x
y
0 0
0 0
x
vy
Vx0
Figura 2.40
Estetipodemovimientotambiénsepuedeconsiderarcomolacombinacióndedosmovimientos:unohorizontalconvelocidadconstanteyelotrocomountiroverticalconaceleraciónconstante(laaceleracióndelagravedad).
La figura 2.41 nos muestra que el movimiento deunproyectilqueselanzahaciaarribaconunánguloeslacombinacióndedosmovimientosindependientesunodelotro:unohorizontalconvelocidadconstante,yotroverti-calconaceleraciónconstante(tirovertical).y y y
+
x x x
=
vy = 0
v0
y v0x
Figura 2.41
La curva quedescribe la trayectoria de unproyectillanzado hacia arriba con un ángulo también es unaparábola.
Lafigura 2.42muestra diagramas separadospara elmovimientoverticalyhorizontal.Encadapuntodeladi-recciónvertical,lavelocidaddelproyectilcuandosemuevehaciaabajotienelamismamagnitudquecuandosemueve hacia arriba, pero en sentido contrario.El diagrama delmovimientohorizontalmuestraquelavelocidaddelpro-yectilesconstanteendichadirección.
vxay = 0
+y
+x
vy
g = ay
Figura 2.42
Enlafigura2.43sesumanloscomponentesverticaly horizontal para formar el vector velocidad. Se puedeobservar que la combinación de la velocidad horizontalconstanteylaaceleracióndelagravedadproducenlatra-yectoriadelproyectil,lacualesunaparábola.
Inicio
ay
Finalθ0
Figura 2.43
Observaquelaresultantedelasumadeloscompo-nentesvx yvyencadaposiciónapuntaenladireccióndelvuelodelproyectil.
Solución de problemasAligualqueeneltirohorizontal,pararesolverproblemasdeproyectileslanzadosconunángulo,podemosconside-rarelmovimientodelproyectilcomolacombinacióndedosmovimientos:unohorizontalconvelocidadconstanteyelotrocomountirovertical.
SiTrepresentaeltiempoquetranscurreparaqueunproyectilqueselanzahaciaarribaconunánguloregresealmismonivel desdedonde fueproyectado,H la alturamáxima(queeslaalturadelproyectilcuandolacompo-nenteverticalde lavelocidadescero),yR elalcance(ladistanciahorizontaldel recorridodelproyectil, desde supunto de proyección hasta el otro punto de la parábolaqueestáasumismonivel),demostraremoslassiguientesfórmulascinemáticas.
LibertadDigital (2015)
138 Física I
1. Tiempototaldevuelo.θ
=Tvg
2 sen0
2. Alturamáximaquealcanzaelproyectil.
θ θ( )= =Hv
gv
gsen2
sen2
0
2
02 2
3. Alcancedelproyectil.θ
=Rvg
sen202
v0 representa lamagnitud de la velocidad inicial, y q, el ángulodelanzamientoconrespectoalahorizontal.
vy = 0
y
v0
R
H
x
vx
θ
Primerodemostraremoslafórmula:
θ=Tvg
2 sen0
Comoeltiempodeascensoesigualaldedescenso,anali-cemoslaproyeccióndelmovimientodelacaídalibre.
direcciónpositiva
t = ?
y = vy = ?
y0 = 0t0 = 0v0 = 0
y
y0
H = Δy = y − y0 = y
vy = v0 y + g t
Dadoque:vy = v0 y + g t
v0 y = 0 y t0 = 0
Entonces:=v gty
Luego,
θ
=
=
tvg
tvg
sen
y
0
Comoeltiempodeascensoesigualaldedescenso,eltiempototaldevuelo(T )estádadoporlaexpresión:
θ=Tvg
2 sen0
Demostraremosahoralafórmula.
θ=Rvg
sen202
Debidoaqueenlaproyecciónhorizontaldelmovimientolavelocidadesconstante,tenemos:
=x v tx0
Luego:
x = v0 cos2v0 seng
x =v0
2 2sen cos( )g
De acuerdoconlaidentidadtrigonométrica2senq cos q = sen 2q obtenemos:
θ=Rvg
sen202
Enlaexpresiónanterior,observaquesiq=45°,entonces:R=n0
2sen90°
=°
Rv
gsen900
2
Porconsiguiente:
=Rvg02
Deacuerdoconloanterior:
LibertadDigital (2015)
Tema 5 Movimiento en dos dimensiones 139
Paraunavelocidadinicialv0,elalcancemáximodeunproyectilseproducecuandoq =45°.
Lafigura2.44ilustralastrayectoriasdeunobjetolan-zadohaciaarribaconlamismamagnituddelavelocidadinicialperocondiferentesángulos.Enellaseobservaqueelalcanceesmáximocuandoelángulomide45°.
10
8
6
4
20 2 4 6 8 10
y
12 14 16 18 20x
75°
45°
15°45°
30°
60°
Alcance
Figura 2.44 Trayectorias de un objeto lanzado hacia arriba con la misma magnitud de la velocidad inicial pero con diferentes ángulos.
Otrohechoimportantedelmovimientoparabólicoeselsiguiente:
PortrigonometríasabemosquesidosángulosA y B soncomplementarios (A +B =90°), entonces: sen2A=sen2B
Porejemplo,si<A =40°y<B =50°,entonces:sen80°=sen100°
Conbaseenlainformaciónanterior,deducimosquesiselanzaunproyectilconunavelocidadinicialv0,elalcancedelproyectilesigualsiselanzaconunánguloq queconánguloa siysólosiq +a =90°.
30°60°
y
Alcancex
v
Alatrayectoriarealdelosproyectileslaafectandiver-sosfactores,comoelgiroylaresistenciadelaire.Sitoma-mosencuentalaresistenciadelaire,disminuyenlaalturayelalcancemáximosdelproyectily,porconsecuencia,sutrayectoriayanodescribiráunaparábola.
Trayectoriareal en elaire
y
0
Trayectoriaparabólicaen el vacío
R x
Figura 2.45 Efecto de la resistencia del aire en el movimiento de un proyectil.
Demostremos,porúltimo,lafórmulaparacalcularlaalturamáximaH:
θ θ( )= =Hv
gv
gsen2
sen2
0
2
02 2
Laalturadelproyectilesmáximacuandolacompo-nenteverticaldelavelocidadescero;luego:
direcciónpositiva
v0y = v0 sent0 = 0y0 = 0
vy = 0y = H
θ
y0
y
H = y − y0 = y
2g y = vy2 v0 y
2
Dadoque:
= = = −v y a g0, 0 yy y0
Tenemos:
g y v
g H v
Hvg
Hvg
Hv
gv
g
2 0
2
2
2
sen2
sen2
y
y
y
y
02
02
02
02
0
2
02 2θ θ
( )
( )
− = −
− = −
=−
−
=
= =
LibertadDigital (2015)
140 Física I
g y v
g H v
Hvg
Hvg
Hv
gv
g
2 0
2
2
2
sen2
sen2
y
y
y
y
02
02
02
02
0
2
02 2θ θ
( )
( )
− = −
− = −
=−
−
=
= =
Ejemplo 2.28 Luislanzaunapelotadebéisbolconuna velocidad de 20m/s a un ángulo de 50° con lahorizontal.Calcula:
v = 20 m/s
y
v
R
Hx
vx
50°
a) Eltiempototaldevuelo.
Solución
θ
( )
=
=°
=
Tvg
T
T
2 sen
2 20m s sen50
9.80m s
3.1s
0
2
b) Laalturamáximaquealcanzalapelota.
Solución
H =v0 sen( )2
2g
H =20m s( ) sen50°( ) 2
2 9.80m s2( )H = 11.97m 12m
c) Elalcancedelapelota.
Solución
Rvg
R
R
sen 2
20m s sen100
9.80m s
40.2m 40m
02
2
2
θ
( )( )
=
=°
= ≈
d) El alcance de la pelota si se lanza con lamismavelocidada40°conlahorizontal.
SoluciónComo40°y50°sonánguloscomplementarios,elal-cancees igualenambascondiciones.¡Verifícalo!
ActividAdes de AprendizAje
1. Unproyectilselanzaconunavelocidadde20m/s conunángulode50°conlahorizontal.Calcula.a) Eltiempoqueelproyectilpermaneceenelaire.
a) 2.5sb) 3.1sc ) 3.5sd ) 4.0s
b) 3.1s
LibertadDigital (2015)
Tema 5 Movimiento en dos dimensiones 141
b) Laalturamáximaquealcanzaelproyectil.a) 12mb) 15mc ) 10md ) 9.0m
a) 12m
c) Elalcancehorizontal.a) 50mb) 45mc ) 36md ) 40m
d) 40m
d) Elalcancehorizontalsielproyectilselanzaconlamismavelocidada40°conlahorizontal.a) 50mb) 45mc ) 36md ) 40m
d) 40m
LibertadDigital (2015)
142 Física I
2. Sedisparaunproyectilconunavelocidadde30m/sconunángulode40°conlahorizontal.Determina:a) Eltiempototaldevuelodelproyectil.
a) 3.0sb) 4.8sc ) 5.0sd ) 3.9s
d) 3.9s
b) Eltiempoquetardaelproyectilenalcanzarsualturamáxima.a) 1.8sb) 1.9sc ) 2.0sd ) bycsonrespuestascorrectas
c) 2.0s
c) Laalturamáximaquealcanzaelproyectil.a) 2.5mb) 19mc ) 15md ) 30m
b) 19m
d ) Elalcancehorizontal.a) 90mb) 80mc ) 85md ) 95m
a) 90m
e) Elalcancehorizontaldelproyectilsiselanzaconlamismavelocidada50°conlahorizontal.a) 90mb) 80mc ) 85md ) 95m
a) 90m
LibertadDigital (2015)
Tema 5 Movimiento en dos dimensiones 143
3. Selanzaunapelotadegolfconunavelocidadde40m/s conunángulode45°.Determina:a) Eltiempoquelapelotapermaneceenelaire.
a) 4.0sb) 5.0sc ) 5.8sd ) 6.5s
c) 5.8s
b) Laalturamáximaquealcanzalapelota.a) 36mb) 39mc ) 41md ) 47m
c) 41m
c) Sualcancehorizontal.a) 1.4×102mb) 1.6×102mc ) 1.5×102md ) 1.3×102m
b) 1.6×102m
d ) Elalcancedelproyectilsiselanzaconlamismavelocidada30°conlahorizontal.a) 1.6×102mb) 1.5×102mc ) 1.3×102md ) 1.4×102m
d) 1.4×102m
e) Elalcancesiselanzaconlamismavelocidadde60°conlahorizontal.a) 1.6×102mb) 1.5×102mc ) 1.3×102md ) 1.4×102m
d) 1.4×102m
LibertadDigital (2015)
144 Física I
4. Si unbalóndefutbolamericanoselanzaconunavelocidadde24m/s conunángulodeelevaciónde60°.Calcula:a) Eltiempoqueduraenelaire.
a) 4.2sb) 3.4sc ) 5.0sd ) 5.5s
a) 4.2s
b) Laalturamáximaquealcanzaelbalón.a) 18mb) 20mc ) 25md ) 22m
d) 22m
c) Elalcancehorizontal.a) 56mb) 51mc ) 40md ) 49m
b) 51m
Realizaunaactividaddondesepuedaobservarelmovimientoparabólico.
LibertadDigital (2015)
Tema 5 Movimiento en dos dimensiones 145
Escribeenelparéntesislaletraquecorrespondaalarespuestacorrecta.1. ( )¿Quétipodetrayectoriasigueunapelotadebéisbol
alserbateadaoblicuamenteantesdecaeralsuelo?a) Unaelipseb) Unalínearectac ) Unalínearectaverticald ) Uncírculoe) Unaparábola
2. ( )Enlaproyecciónverticaldeltirohorizontalseconsi-deraque:a) Lavelocidadinicialescero.b) Lavelocidadinicialesconstante.c ) Laaceleraciónescero.d ) Lavelocidadinicialesde9.8m/s2.e) Lamagnitudde la velocidad vadisminuyendohasta
llegaralpuntomásaltodesutrayectoria.3. ( )UnobjetoA se lanzahorizontalmente y almismo
tiemposedejacaerlibrementeotroobjetoB.Enausenciadelafriccióndelairesepuedeafirmarque:a) EltiempoquetardaencaerelobjetoAesmayorque
eltiempoquetardaencaerelobjetoB.b) EltiempoquetardaencaerelobjetoBesmayorque
eltiempoquetardaencaerelobjetoA.c ) EltiempoquetardaencaerelobjetoAeseldobledel
quetardaencaerelobjetoB.d ) EltiempoquetardaencaerelobjetoBeseldobledel
quetardaencaerelobjetoA.e) El tiempo que tarda en caer el objetoA es igual al
tiempoquetardaencaerelobjetoB.4. ( )Elmovimientoparabólicodeunproyectil,enausen-
ciadelaire,sepuedeconsiderarcomolacombinacióndedosmovimientosindependientesentresí:a) Unohorizontalavelocidadconstanteyotroverticala
velocidadconstante.b) Unohorizontal a velocidad constante y otro vertical
conaceleraciónconstanteeigualag.c ) Unmovimientohorizontalconaceleraciónconstantey
otroverticalconvelocidadconstanted ) Tantoenelejexcomoenelejeyelmovimientoescon
aceleraciónconstanteeigualag.e) Solamentehaymovimientoenelejeyconaceleración
constanteeigualag.5. ( )Enel tirohorizontal,alanalizarelmovimientode
unproyectil(enausenciadelaire)laproyeccióndelmovi-mientohorizontales:a) Conaceleraciónconstante.b) Convelocidadigualacero.c ) Convelocidadconstante.
d ) Conaceleraciónigualag.e) Uniformementeretardado.
6. ( )Cuandounproyectileslanzadohaciaarribaconunánguloconlahorizontal,¿cuáldelassiguientesafirmacio-nesesverdadera?a) Lamagnituddelavelocidadenelpuntomásaltodela
trayectoriadelproyectilesigualacero.b) Lamagnituddelaaceleracióndelproyectilenelpunto
másaltodesutrayectoriaesigualacero.c ) Enelpuntomásaltodelatrayectoriadelproyectil,la
componenteverticaldelavelocidadesigualacero.d ) Lacomponentehorizontaldelavelocidadenelpunto
másaltoescero.7. ( )Elmáximoalcancehorizontaldeunproyectilseob-
tienecuandoelánguloconrespectoalahorizontal:a) Mide30°b) Mide90°c ) Mide45°d ) Sumedidaesmayorque45°
8. ( )Unapelotadebéisbolviajahaciaeljardínderechoalserbateada.Duranteelvuelo,lamagnituddelaacelera-cióndelaproyecciónverticaldesumovimientoes:a) Lamismadurantetodoeltrayecto.b) Dependedesilapelotavaenascensooendescenso.c ) Máximaenelpuntomásaltodesutrayectoria.d ) Escero.e) Esmáximaalfinaldesutrayectoria.
Lasiguientefiguramuestralatrayectoriadeunapelota.Conbaseenella,contestalaspreguntas9,10,11,12y13.
t = Vy/g
h
VxVy A
E
DB
C
9. ( )EnelpuntoCdondelaalturaesmáxima,lapelota:a) Tienevelocidadresultantecero,perosuaceleraciónes
diferentedecero.b) Suvelocidadresultantenoescero,perolaaceleración
síescero.c ) Lamagnituddelavelocidadresultanteescero.d ) Lamagnituddelavelocidadresultanteesigualquela
delcomponentehorizontaldelavelocidadinicial.
LibertadDigital (2015)
146 Física I
10. ( )¿Enquépunto(s)lavelocidaddelapelotatienema-yormagnitud?a) EnelpuntoBb) EnelpuntoCc ) EnelpuntoDd ) EnlospuntosAyEe) EnlospuntosByD
11. ( )¿Enquépuntolavelocidadhorizontalesmayor?a) EnlopuntosAyEb) EnelpuntoBc ) EnelpuntoCd ) EnelpuntoDe) Entodoslospuntoseslamisma.
12. ( )¿Enquépuntolamagnituddesuvelocidadverticalesmenor?a) EnelpuntoAb) EnelpuntoBc ) EnelpuntoCd ) EnelpuntoDe) EnelpuntoE
13. ( )¿Enquépuntolamagnituddelavelocidaddelpro-yectilesigualqueladesuvectorcomponentehorizontal.a) Ab) Bc ) Cd ) De) E
Martín lanza horizontalmente una piedra desde lo alto deunacantiladode130mdealturaconvelocidadde20.0m/s.Determina(preguntas14,15y16):14. ( )Eltiempoquetardaenllegaralasuperficie:
a) 10.3sb) 4.00sc ) 3.81sd ) 5.15se) 6.48s
15. ( )Elalcancehorizontal.a) 98mb) 103mc ) 70md ) 86me) 110m
16. ( )Lamagnituddelavelocidadconquelapiedrachocaconelsuelo:a) 58.2m/sb) 46.9m/sc ) 54.3m/sd ) 60.1m/se) 50.8m/s
Un jugadordegolfgolpeaunapelotaconunavelocidadde36.0m/s a40°conlahorizontal.Respondelaspreguntas17,18y19.
17. ( )Determinael tiempoquepermanece enel aire lapelota.a) 7.04sb) 6.41sc ) 2.36sd ) 4.72se) 5.20s
18. ( )Determinalaalturamáximaquealcanzalapelota.a) 24.6mb) 27.3mc ) 35.1md ) 42me) 31.6m
19. ( )Elalcancehorizontal.a) 140mb) 127mc ) 130md ) 135me) 117m
Sedisparaunaflechaa50.0m/sformandounánguloqconlahorizontal.Silaalturamáximaquealcanzófuede120m,contestalaspreguntas20,21y22.
y
H = 120 m
v
θ
20. ( )Determinaelángulodeelevaciónalaquefuepro-yectadalaflecha.a) 56.2ob) 48.5o
c ) 64.6o
d ) 75.9o
e) 80.0o
21. ( )Calculaeltiempototalquelaflechapermaneceenelaire.a) 9.90sb) 8.6sc ) 14sd ) 5se) 12s
22. ( )Hallaelalcancehorizontal.a) 120.5mb) 116.4mc ) 120md ) 124me) 121m
LibertadDigital (2015)
Tema 1 Movimiento unidimensional 147
desplazamiento angular
velocidad angular media
aceleración angular
media
grados sexagesimales
radián
movimiento circular
uniforme
velocidad lineal
velocidad tangencial
frecuencia
hertz
periodo
aceleración centrípeta
aceleración angular
aceleración tangencial
fórmulas del movimiento
circular uniforme
fórmulas del
movimiento circular
uniformemente
acelerado
Movimiento circularTema 6
Definición y aplicacionesElmovimientodeunapartículamaterialquedescribeunatrayectoriacircularesunmovimientoendosdimensiones,yporlotantosepuededescribirmediantesuscomponen-tesrectangulares,comoenelmovimientoparabólico.
x
y
r
P (x, y)
Figura 2.46
Observaenlafigura2.46quelamagnituddelvectordeposiciónr esigualalvalordelradiodelacircunferencia.
Paradeterminarlaposicióndeunapartículamaterialenelmovimientocircular,tambiénsepuedenutilizarlascoordenadaspolaresP r( , )θ ,donde:
x ry r
cossen
θθ
==
r
x
P (r, )
q
q
Figura 2.47
Sinembargo,resultamásconvenientedescribirelmo-vimientocircularenfuncióndelasmagnitudesangulares.Ladescripcióndelmovimientoangularesanálogaaladelmovimientorectilíneo,peroseutilizansímbolosdiferentesparaseñalarquelascantidadesfísicastienensignificadosdiferentes.
Acontinuacióndefiniremoslosconceptosdedespla-zamiento angular, velocidad angular media y acelera-ción angular media.
Desplazamiento angularSupongamosqueunapartículamaterial semuevedescri-biendounatrayectoriacircularrespectoaunsistemadeco-ordenadascuyoorigencoincideconelcentrodelacircunfe-rencia.Así,porejemplo,sienelinstantet0=0unobjetoselocalizaenelpuntoAyuntiempo(t )despuésenelpuntoB,entonceselvectordeposiciónrgiraunángulo,alcualseledenominadesplazamientoangularysedenotaporDq.
r ∆
B
Ax
y
0q
q
q 0r
r0=vectordeposicióninicial r=vectordeposiciónfinalObservaque:
0 + =
Luego:= 0
Si 0 = 0
LibertadDigital (2015)
148 Física I
Entonces:=
B
Aq
r0
r
Elánguloquegiraelvectordeposicióndeunobjetoquesemueveconmovimientocircularsellamades-plazamientoangular.
Eldesplazamientoangularsepuedemedirengrados sexagesimales;sinembargo,esmásrecomendableutilizarcomocantidaddemedidaangularelradián.
Elradiánsedefinecomolamedidadelángulocentralquesubtiendeunarcodeiguallongitudqueelradiodelacircunferencia.
B
S
Ar
r
qO
Figura 2.48
Sila longituddelarcoABdelacircunferenciadelafigura2.48 esde igualmagnitudque el radio, entonces:q=1radián.
Ejemplo 2.29 Consideremos que el vector deposicióndeunobjetoque semueve conmovimien-tocirculargira360°(1revolución).Dadoqueenunacircunferenciahay2 r
rradianes,tenemos:
=1 radián
B
A6 cm
6 cm S = 6 cmq
2 rad= 360°
1rad = 360°2
1rad = 57.3°
Asimismo,elnúmeroderadianes(q)subtendidosporunarcodelongitudsesigualalnúmeroderadiosquecabenens,esdecir:
θ =sr
rad
Observaquesr eslarazóndedoslongitudes.Estosignificaqueunamedicióndeqenradianesesadimen-sional,osea,notieneunidadesyporlotantoessólounnúmero.
Velocidad angularLavelocidadangular(w)indicaquétanrápidamentegirael vector de posición de un objeto que se desplaza conmovimiento circular.La velocidad angularmedia (ω) sedefinecomoeldesplazamientoangulardivididoentreeltiempototalparagirardichoángulo.
=t= 0
t t0
Siθ= =t 0 y 00 0
Entonces:
tω
θ=
Aceleración angular mediaLaaceleraciónangularmediaesanálogaa laaceleraciónmediaenelmovimientorectilíneo.Correspondealcam-bio de velocidad angular dividido entre el intervalo detiempoquetardaenefectuarseesecambio.Siαrepresentalaaceleraciónangularmedia,wlavelocidadangularfinal,w0 lavelocidadangular inicialyDtel intervalode tiem-poquetardaenefectuarseelcambiodevelocidadangular,entonces:
=t
= 0
t t0
Si
=t 00 ,
LibertadDigital (2015)
Tema 6 Movimiento circular 149
Tenemos:
t0α
ω ω=
−
Movimiento circular uniformeCuando una partícula material describe una trayectoriacircular respecto a un punto y además desplazamientosangularesigualesenintervalosdetiempoiguales,esdecir,suvelocidadangularesconstante,decimosquesedespla-zaconunmovimiento circular uniforme.Esimportanteprecisarquelarapidezdelobjetotambiénesconstante.
Relación entre la velocidad lineal y la velocidad angular en el movimiento circular uniformeEn el estudio de la descripción del movimiento circularuniforme, además de considerar la velocidad angular delobjetoopartículamaterial,sedebetomarencuentalavelo-cidadconquesedesplazadeunpuntoaotrodesutrayec-toria.Aestavelocidadseleconocecomovelocidad linealyexpresaelcambiodeposición(desplazamiento)quedes-cribeelobjetoopartículamaterialporunidaddetiempo.
Consideremosqueunapartículamaterialconmovi-mientocircularuniformeenelinstantet0=0selocalizaenelpuntoAyuntiempo(t)después,enelpuntoB,comoloilustralafigura2.49.
∆
B
Aq q=
r0
r
Figura 2.49
Deacuerdoconlafigura,r0representaelvectordepo-sicióninicialyrelvectordeposiciónfinal.Dadoqueq0=0,entoncesDq=q.Asimismo,t0= 0.
Enconsecuencia,lavelocidadangularconstantedelapartículamaterialestádadapor:
ωθ
=t
Lafigura 2.50muestra el cambiode posiciónde lapartículamaterial,osea,sudesplazamiento.Estecambiodeposiciónlodenotamos r.
∆r
B
S
Ar0
r
q
Figura 2.50
Dondes=longituddelarcoAByporgeometríasabemosque:
s=r qObservaenlafigura2.50que:
r0 + r = r
Luego:r = r1 r0
La magnitud de la velocidad media de la partículamaterialestádadapor:
v = r/ t = r / t
Ahoraconsideremoslosiguiente:Sielvectordeposicióncambiader0arenunintervalodetiempo(Dt) muypequeño;esdecir,siDt tiendeacero,entonces el desplazamiento angular (q) también esmuypequeño,aligualquelalongituds delarcoAB esaproxi-madamenteigualalamagnituddeDr,esdecir:Si
r 0
Entonces:r s
Luego,=st
V
Peroθ=s r
Porlotanto:θ= tV r /
Luego,debidoaque:
ωθ
=t
Entonces:ωv = r
LibertadDigital (2015)
150 Física I
Lafórmulaanteriorsóloesválidasieldesplazamientoangularsehamedidoenradianes.Observaquetodaslaspartículasdeunobjetoenrotaciónangularconmovimien-to circular uniforme tienen la misma velocidad angular,pero lamagnitudde lavelocidadlinealesdiferenteparadistanciasdiferentesdelejederotación.
v2
v1
= wtr
w
s
d1
d2
Oq
v d
v d d
=
=
1 1
2 1 2
ω
ω( )+
Observaquen1≠n2.Comolohemosseñalado,enelmovimientocircular
uniformelamagnituddelavelocidadlinealdelobjetoesconstante;sinembargo,sudirecciónvaríacontinuamentede punto a punto de la trayectoria.CuandoDt tiende acero,elánguloquegiraelvectordeposiciónesmuype-queño;por lo tanto,prácticamente el segmentode rectacorrespondientealvectordeldesplazamientocoincideconelarcoquedescribeelobjeto.Porconsiguiente,podemosestablecerqueladireccióndelvectordelavelocidadlinealencualquierpuntoenparticulares tangentea la trayec-toriaendichopunto,esdecir,esperpendicularalvectordeposiciónendichopunto(perpendicularalradioenesepunto). Por esta razón, a la velocidad lineal se le llamatambiénvelocidad tangencial.
v2v1
∆v
v
O
Frecuencia y periodoEnelmovimientocircularescomúnexpresarlavelocidadangular en funciónde la frecuenciade rotación.La fre-cuencia,f,eselnúmerodevueltascompletasorevolucio-
nesqueelobjetorealizaporunidaddetiempo.Sienuntiempot elobjetoefectúanrevoluciones,lafrecuencia,f,estádadaporlaexpresión:
=f nt
Porejemplo,sif=60rpm,estosignificaqueelobjetogira60revolucionesporminuto,esdecir,queenunmi-nutoelobjetoda60vueltascompletas.Enelsistemasi,launidaddelafrecuenciaeselhertz(Hz).Unafrecuenciade1hertzcorrespondeaunarevoluciónporsegundoydebeexpresarsecomos–1.
Elperiodo,P, deunobjetoconmovimientocircularuniforme es el tiempo que tarda en efectuar una vueltacompleta o revolución. Si en un tiempo t una partículamaterialefectúanrevoluciones,elperiodoP estádadoporlaexpresión:
=P tn
Elperiodoylafrecuenciasonrecíprocos,estoes:
=
=
=
Pf
fp
Pf
1
1
1
Losconceptosperiodoyfrecuenciaseaplicanalospro-cesosqueocurrenperiódicaocíclicamente.Porejemplo,elmovimientodelaLunaalrededordelaTierra,odeéstaal-rededordelSolnoescircularuniforme,perosí periódicoenunamuybuenaaproximación.Porconsiguiente,elperiodoeseltiempoquetardaunprocesoencompletaruncicloylafrecuenciaenhertzeselnúmerodeciclosporsegundo.
Cálculo de la velocidad angular (w) cuando se conoce la frecuencia (f )Cadavezqueunapartículamaterialenmovimientocircu-lardaunavueltacompleta,suvectordeposicióngira360°,osea,2prad.Estosignificaquesigiranrevolucionesentunidadesdetiempo,tendremos:
= 2 nrad
=t
luego
= 2 nt
, donde
= 2 f
LibertadDigital (2015)
Tema 6 Movimiento circular 151
Silaunidaddetiempoeselsegundo,entonceslauni-daddelavelocidadangularserárad/s.
Cálculo de la velocidad angular cuando se conoce el periodoComof=ƒ =
P1 ,entonces:
ωπ
=P
2
Ejemplo 2.30 Undiscode20.0 cmdediámetrogira con movimiento circular uniforme a 150 rpm(150revolucionesporminuto).Contestalassiguientespreguntas.
a) DeterminalafrecuenciadeldiscoenHertz.
Solución
= ×
=
= = = =−
f
f
f
150 revmin
1min60s
2.50 revs
2.50rps 2.50 revs
2.50 2.50hz1
b) Determinalavelocidadangulardeldiscoenrad/s.
Solución
ω π
ω π
ω
( )
=
=
=
f2
2 2.50 rad s
15.7 rad s
c) Calculalavelocidadlinealotangencialdeunpuntoqueselocalizaa5.00cmdelcentrodeldisco.
5 cmwr0
Solución
ω
( )( )
=
=
=
v r
v
v
5.00cm 15.7 rad s
78.5cm s
ω
( )( )
=
=
=
v r
v
v
5.00cm 15.7 rad s
78.5cm s
d) Determinalavelocidadlinealdeunpuntosituadoenlaperiferiadeldisco.
Solución
ω
( )( )
=
=
=
v r
v
v
10.0cm 15.7 rad s
157cm s
e) Calculaelperiododeldisco.
=
=
=
Pf
P
P
1
12.50
s
0.40s
Ejemplo 2.31 Unautosemueveconunaveloci-dadconstantede30m/s.Siel radiodecadaunadesusllantasesde0.40m,calculalavelocidadangulardecadallantaenrad/s.
ω
ω
ω
ω
=
=
=
=
v r
vr
luego;
30m s0.40m
75rad s
Ejemplo 2.32 Con respecto al movimiento derotación de laTierra sobre su propio eje, calcula lavelocidadlinealdeunobjetoqueestáenelEcuador.ConsideraqueelradiodelaTierraesde6.37×106myquesuperiodoesde24horas.
Soluciónω=v r
Donde
ω ππ
π
π
π ( )
( )
= =
=
=
=×
fP
vrP
v rP
v
2 2
2
2
2 6.37 10 m24 h
6LibertadDigital (2015)
152 Física I
ω ππ
π
π
π ( )
( )
= =
=
=
=×
fP
vrP
v rP
v
2 2
2
2
2 6.37 10 m24 h
6
Expresemosahora24hensegundos:
× = ×24h 3600s1h
8.64 10 s4
Deacuerdoconloanterior:
π ( )=
×
×
=
v
v
2 6.37 10 m
8.64 10 s
463m s
6
4
Ejemplo 2.33 En relación conelproblema2.32,calculalavelocidadangulardelobjeto.
ω
ω
ω
ω
ω
=
=
=×
= ×
= ×
−
−
v rvr
463m s6.37 10 m
72.7 10 rad s
7.27 10 rad s
6
6
5
Aceleración centrípetaComoseexplicó,lamagnituddelavelocidadlinealdeunobjetoconmovimientocircularuniformeesconstante.Sinembargo,sudireccióncambiacontinuamentedepuntoapuntode su trayectoria y, por consiguiente, experimentauna aceleración. Ésta se conoce como aceleración cen-trípetaporque ladireccióndesuvectorcorrespondientesiempreapuntahaciaelcentrodelacircunferencia.
Lafigura2.51muestralosvectoresdevelocidadV1yV2deunapartículamaterialquesemueveconmovimientocircularuniformealprincipioyalfinaldeunintervalodetiempo.
R1
R2
B
Av1
v2O
Figura 2.51
El cambio de velocidad lineal,DV se obtiene gráfi-camentealrestarV1deV2,comoloilustralafigura2.52.
C
R
A V1
V1B
V2 V
2
(a)
FD
E
(b)
∆v
Figura 2.52
Observaqueelsentidode Veshaciaelcentrodelacircunferencia.
Paraobtenerunafórmulaquenospermitadeterminarlamagnitudde laaceleracióncentrípeta, comparemoseltriánguloqueseformaconlosvectoresdeposiciónR1yR2,yeldesplazamientoDRconeltriánguloqueseformaconlosvectoresdevelocidadV1,V2yelcambiodeveloci-dadDV,loscualesseilustranenlafigura2.53.
C
R1
R2
A V1
V1B
V2 V2
FD
E
∆R(a) (b)
∆v
Figura 2.53
DadoqueV1esperpendicularaR1y V2aR2,deduci-mosporgeometríaquelostriángulossonsemejantes,porserambostriángulosisóscelesy portenerigualmedidalosánguloscomprendidosporlosladosdeiguallongitud.Porlo tanto, las razones entre las longitudesde losparesdeladoscorrespondientessoniguales,esdecir:
VR=
V1
R1
=V2
R2
Dadoquev1=v2y r1=r2,consideraremoslapropor-ción:
Dv/Dr = v/r
AldespejarDvenlaecuaciónanteriorresulta:
Dv = vDr/r
Dividimos a continuación ambos miembros de laecuaciónanteriorentreDt, luego:
LibertadDigital (2015)
Tema 6 Movimiento circular 153
Vt=
V RtR
Como:Vt= a y R
t= V
Entonces:( )
=
=
a
a
V VR
VRc
2
La fórmula anteriornospermite calcular la acelera-cióncentrípetacuandoseconocelamagnituddelarapi-dezyelradiodelacircunferencia.
Mientrasunobjetogiraconmovimientocircularuni-forme,ladirecciónyelsentidodelvectordelaaceleracióncentrípetacambian,perosumagnitudesconstante.Comoelvectordelaaceleracióncentrípetasiempreapuntahaciaelcentrode la circunferencia, entonces, enunpuntodado,elvectordelaaceleraciónyeldelavelocidadsiempresonperpendicularesentresí.Observalafigura2.54.
Oac
ac
ac
v
v
v1
Velocidad instantánea
m
m
m
Figura 2.54
Ejemplo 2.34 Unobjetounidoalextremodeunacuerdade0.60mdelargogira10revolucionesen20segundosconrapidezconstante.Realizalosolicitadoencadaunodelossiguientesincisos.
a) Calculalavelocidadangulardelobjetoenrad/s.
Solución
ωθ
ωπ
ω
( )
=
=
=
t
10 2 rad20s
3.1rad s
b) Calculalavelocidadlinealdelobjeto.
Soluciónω
( )( )
=
=
=
rv
v 0.60m 3.1rad s
v 1.86m sRedondeamoselresultadocondoscifrassignificativasparaobtener:
=v 1.9m s
c) Calculalamagnituddelaaceleracióncentrípeta.
Solución
( )
=
=
=
a
a
a
vr
1.9m s0.60m
6.0m s
c
c
c
2
2
2
Ejemplo 2.35 Unautosedesplazaconunarapidezconstantede10.0m/sporunacurvade50mderadio.Calculasuaceleracióncentrípeta.
Solución
( )
=
=
=
a
a
a
vr
10.0m s50m
2.0m s
c
c
c
2
2
2
Ejemplo 2.36 LadistanciapromediodelaTierraalaLunaesde3.84×108m.SielperiododelaLunacuandogiraalrededordenuestroplanetaesde28días,respondelosolicitadoenlossiguientesincisos.Consi-deraelmovimientodelaLunaalrededordelaTierracomocircularuniforme.
a) CalculalavelocidadangulardelaLunaenrad/s.
Solución
ω π= f2
Donde:
=fP1
Luego:
ωπ
=P
2
LibertadDigital (2015)
154 Física I
Expresemosahoraelperiodoensegundos:
h
n
28 días 241día
3600s1h
2.4 10 s
22.4 10
rad s
2.62 10 rad s
6
6
6
ωπ
ω
× × = ×
=×
= × −
b) CalculalavelocidadlinealdelaLuna.
Solución
ω
( )( )=
= × ×
= ×
= ×
− −
v r
v
v
v
3.84 10 m 2.62 10 s
10.06 10 m s
10.1 10 m s
8 6 1
2
2
c) CalculalaaceleracióncentrípetadelaLuna.
Solución
( )
=
=×
×
= × −
a vr
a
a
10.1 10 m s
3.84 10 m
2.66 10 m s
c
c
c
2
2 2
8
3 2
Resumen de fórmulas del mcu
1.ω θ=
t
w=velocidadangularq=desplazamientoangularenradianest=tiempo
2. =f nt
f=frecuencian=númeroderevolucionest=tiempo
3. f P 1=f=frecuenciaP=periodo
4.ω π= f2
f=frecuenciaenHertz revolucionessegundo
w=velocidadangularen radianessegundo
5.ω π= P2 w=velocidadangularP=periodo
6. ω=v rn=velocidadlinealr=radiow=velocidadangular
7. =a vrc
2 ac=aceleracióncentrípetan=velocidadlinealr=radio
8. 1radián=57.3°9. 1revolución=2pradianes=6.28radianes.10. Paraconvertirderpm(revoluciones/min)aradianesporsegundosemultiplicapor6.28ysedividepor60comoseobservaacontinuación:
π( )= × ×
=
1rpm 1 revmin
1min60s
6.28rad1rev
2
1rpm 6.2860
rad seg
ActividAdes de AprendizAje
1. Seatauntapónaunacuerdade0.80mdelargoysehacegirarconrapidezconstante.Sidaseisvueltascompletasen4.0segundos,determina:
LibertadDigital (2015)
Tema 6 Movimiento circular 155
a) Lafrecuenciadelobjeto(tapón)enhertz(rev/s).a) 1.2Hzb) 0.67Hzc ) 1.5Hzd ) 1.8Hz
c) 1.5Hz
b) Elperiododeltapón.a) 4.0sb) 0.50sc ) 0.90sd ) 0.67s
d) 0.67s
c) Lavelocidadangularenrad/s.a) 9.4rad/sb) 8.6rad/sc ) 9.8rad/sd ) 8.0rad/s
a) 9.4rad/s
d ) Lavelocidadlinealdeltapónenm/s.a) 7.5m/sb) 7.0m/sc ) 8.0m/sd ) 6.7m/s
a) 7.5m/s
e) Laaceleracióncentrípetadeltapónenm/s2.a) 60m/s2
b) 75m/s2
c ) 65m/s2
d ) 70m/s2
d) 70m/s2
LibertadDigital (2015)
156 Física I
2. Unapiedraatadaalextremodeunacuerdade0.30mdelargosehacegirarconrapidezconstante.Sielperiododelapiedraesde4.0s.Determina.a) Lafrecuenciadelapiedra.
a) 0.25Hzb) 0.30Hzc ) 4.0Hzd ) 0.20Hz
a) 0.25Hz
b) Lavelocidadangularenrad/s.a) 2.0rad/sb) 1.4rad/sc ) 1.6rad/sd ) 1.9rad/s
c) 1.6rad/s
c) Lavelocidadlinealdelapiedraenm/s.a) 0.72m/sb) 0.48m/sc ) 0.25m/s2
d ) 0.35m/s2
b) 0.48m/s
d ) Laaceleracióncentrípetadelapiedraenm/s2.a) 0.77m/s2
b) 0.85m/s2
c ) 0.70m/s2
d ) 0.65m/s2
a) 0.77m/s2
3. Unaruedade0.30mderadiogiraa600rpm(revolucionesporminuto)conrapidezconstante.Determina:a) LafrecuenciadelaruedaenHertz.
a) 12Hzb) 9.0Hzc ) 13Hzd ) 10Hz
d) 10Hz
b) Elperiododelarueda.a) 0.10sb) 0.20sc ) 0.30sd ) 0.40s
a) 0.10s
LibertadDigital (2015)
Tema 6 Movimiento circular 157
c) Lavelocidadangulardelaruedaenrad/s.a) 60rad/sb) 63rad/sc ) 58rad/sd ) 65rad/s
b) 63rad/s
d ) Lavelocidadlinealdeunpuntosituadoenlaperiferiadelaruedaenm/s.a) 19m/sb) 16m/sc ) 21m/sd ) 18m/s
a) 19m/s
e) Lavelocidadlinealdeunpuntosituadoa10cmdelcentrodelaruedaenm/s.a) 6.0m/sb) 5.8m/sc ) 6.7m/sd ) 6.3m/s
d) 6.3m/s
f ) Lavelocidadlinealdeunpuntosituadoa24cmdelcentrodelaruedaenm/s.a) 12m/sb) 20m/sc ) 15m/sd ) 19m/s
c) 15m/s
g) Lavelocidadlinealdeunpuntosituadoenelcen-trodelarueda.a) 19m/sb) 21m/sc ) 18m/sd ) 0m/s
d) 0m/s
h) Laaceleracióncentrípetadeunpuntosituadoenlaperife-riadelaruedaenm/s2.a) 1.2×103m/s2
b) 1.4×103m/s2
c ) 1.0×103m/s2
d ) 1.5×103m/s2
a) 1.2×103m/s2
LibertadDigital (2015)
158 Física I
4. Unautosemueveporunapistacircularde50.0mderadioconrapidezconstante.Sielautotarda10.0sendarunavueltacompleta,determina:a) Lavelocidadangulardelautoenrad/s.
a) 0.740rad/sb) 0.800rad/sc ) 0.710rad/sd ) 0.628rad/s
d) 0.628rad/s
b) Lavelocidadlinealdelautoenm/s.a) 31.4m/sb) 24.6m/sc ) 35.5m/sd ) 30.5m/s
a) 31.4m/s
c) Laaceleracióncentrípetadelautoenm/s2.a) 21.5m/s2
b) 16.8m/s2
c ) 19.7m/s2
d ) 23.0m/s2
c) 19.7m/s2
5. Unvolantegiraa120rpm(revolucionesporminuto)conrapidezconstante.Calculasudesplazamientoangularalcabode4.00s.Expresaelresultadoenradianes.a) 45.6radb) 50.2radc ) 60.4radd ) 54.4rad
b) 50.2rad
LibertadDigital (2015)
Tema 6 Movimiento circular 159
6. Undiscode20cmderadioconmovimientocircularuniformegira15.0raden6.0s.Determina:a) Lavelocidadangulardeldiscoenradianesporse-
gundoa) w=3.0rad/sb) w=2.9rad/sc ) w=2.0rad/sd ) w=2.5rad/s
d) w=2.5rad/s
b) Lafrecuenciadeldiscoenhertz.a) 0.20Hzb) 0.40Hzc ) 0.30Hzd ) 0.50Hz
b) 0.40Hz
c) Elperiododeldisco.a) 2.5sb) 2.0sc ) 3.0sd ) 3.5s
a) 2.5s
d ) Eltiempoquetardaeldiscoengirar40radianes.a) 16sb) 14sc ) 20sd ) 18s
a) 16s
e) Eltiempoquetardaeldiscoengirarunángulode16radianes.a) 5.4sb) 5.0sc ) 6.4sd ) 6.8s
c) 6.4s
f ) Eltiempoquetardaeldiscoendar20vueltascompletas(1vuelta=6.28radianes).a) 50sb) 60sc ) 48sd ) 45s
a) 50s
LibertadDigital (2015)
160 Física I
g) Lavelocidadlinealdeunpuntoqueestáenlaperi-feriadeldisco.a) 0.50m/sb) 0.45m/sc ) 0.58m/sd ) 0.40m/s
a) 0.50m/s
h) Lavelocidadlinealdeunpuntoqueestáa10cmdelcentrodeldisco.a) 0.50m/sb) 0.45m/sc ) 0.40m/sd ) 0.25m/s
d) 0.25m/s
i) Lavelocidaddeunpuntoqueestáenelcentrodeldisco.a) 0.50m/sb) 0.25m/sc ) 0.16m/sd ) 0m/s
d) 0m/s
j) Laaceleracióncentrípetadeunpuntoqueestáenlaperi-feriadeldisco.a) 1.2m/s2
b) 1.3m/s2
c ) 1.4m/s2
d ) aybsonrespuestascorrectas
Movimiento angular uniformemente aceleradoCuandolavelocidadangulardeunapartículamaterialquedescribe una trayectoria circular no es constante, dichapartículaexperimentaunaaceleración angular.
Comoyahemosseñalado,laaceleraciónangularme-dia( )α estádadaporlaexpresión:
αω ω
=−
−t tf 0
0
Osea,
=t
Silaaceleraciónangularesconstante,decimosqueelmovimientodelapartículamaterialescircularuniforme-menteacelerado.
Las fórmulas que describen el movimiento circularuniformementeaceleradosonanálogasalasqueseaplicanenelmovimientorectilíneo.
1. αω ω
=−
−t t0
0
,sit0=0,entonces:
αω ω
=−
t0
LibertadDigital (2015)
Tema 6 Movimiento circular 161
2. =+ 0
2t,sit0=0yq0=0,entonces:
=+ 0
2t
3. = 0 t +12
t2,sit0=0yq0=0,entonces:
θ ω α= +t t120
2
4. 2 = 2 – 20,siq0=0,entonces
αθ ω ω=2 –2 20
Ejemplo 2.37 Lapoleadeunmotorquepartedelrepososeacelerauniformementeyalcanzaunavelo-cidadangularde1440rpmdespuésde6.0s.Calcula:
a) Laaceleraciónangularenrad/s2.
Solución
αω ω
α
=
=
t–
1440 rpm – 06.0 s
0
Expresemos1440rpmenrad/s:
α
α
× × =
=
=
1440 revmin
1 min60 s
6.28 rad1 rev
150.72 rad s = 151rad s
151 rad/s – 06.0 s
25.1rad s2
b) Eldesplazamientoangularenradianes.
Solución
=151 rad/s + 0
26.0s
= 453 rad
ActividAdes de AprendizAje
1. Unmotorcambiauniformementesuvelocidadangularde480rpma1200rpmen5.0segundos.Determina:a) Laaceleraciónangularenrad/s2.
a) 10rad/s2
b) 20rad/s2
c ) 15rad/s2
d ) 14rad/s2
c) 15rad/s2
b) Eldesplazamientoangular.a) 70rev≈ 440radb) 65rev≈ 408radc ) 72rev≈ 452radd ) 75rev≈ 471rad
a) 440rad
LibertadDigital (2015)
162 Física I
2. Unmotorquegiraa1800rpm,tarda40.0segundosparadetenerse.Determina:
a) Laaceleraciónangularsiesconstante.a) -3.50rad/s2
b) -4.75rad/s2
c ) -4.70rad/s2
d ) -4.71rad/s2
d) -4.71rad/s2
b) Eldesplazamientoangular.a) 605rev= 3799.4radb) 600rev= 3768radc ) 620rev= 3893.6radd ) 610rev= 3831rad
b) 3768rad
3. Unrotoracelerauniformementedesdeelreposo.Sidespuésde50segundossuvelocidadangularesde1800rpm,determina:a) Laaceleraciónangular.
a) 3.5rad/s2
b) 3.8rad/s2
c ) 2.5rad/s2
d ) 3.6rad/s2
b) 3.8rad/s2
b) Eldesplazamientoangular.a) 4.5×103radb) 4.3×103radc ) 4.8×103radd ) 4.7×103rad
d) 4.7×103rad
4. Lavelocidadangulardeunmotordisminuyeuniformementede900rpma300rpmen10.0segundos.Determina:a) Laaceleraciónangular.
a) -6.28rad/s2
b) -5.80rad/s2
c ) -4.60rad/s2
d ) -5.90rad/s2
a) -6.28rad/s2
b) Eldesplazamientoangularquegira laruedaelmotorenlos10.0segundosa) 650radb) 590radc ) 550radd ) 628rad
d) 628rad
LibertadDigital (2015)
Tema 6 Movimiento circular 163
5. Unaruedaquepartedelrepososeacelerauniformementearazónde0.60rad/s2.Determina:a) Lavelocidadangulardelaruedaalos50segundos.
a) 28rad/sb) 30rad/sc ) 25rad/sd ) 34rad/s
b) 30rad/s
b) Eldesplazamientoangularquegiralaruedaenlos50se-gundosenradianes.a) 7.2×102radb) 7.5×102radc ) 7.4×102radd ) 6.9×102rad
b) 7.5×102rad
6. Unaruedaquegiraa1500rpmdisminuyeuniformementesuvelocidadangularhastadetenersedespuésde30segun-dos.Determina:a) Laaceleraciónangularenrad/s2.
a) -5.2rad/s2
b) -4.8rad/s2
c ) -5.5rad/s2
d ) -5.0rad/s2
a) -5.2rad/s
b) Eldesplazamientoangularquegiralaruedaenlos30s.a) 2263rad=2.3×103radb) 2400rad=2.6×103radc ) 2134rad=2.13×103radd ) 2355rad=2.3×103rad
d) 2355rad=2.3×103rad
ActividAdes de AprendizAje
características de cuerpos en movimiento1. Conbaseenlascaracterísticasdeloscuerposenmovimientoquesemencionanrealizalasiguienteactividad;marca
enlasegundacolumnaelolostiposdemovimientoalquecorresponde.
Cuerpo Tipo de movimiento
Ventilador
•Movimientoenlínearecta•Movimientocircular•Movimientocurvo•Movimientorápido•Movimientodecaída•Tirovertical•Tiroparabólico•Tirohorizontal•Movimientolento
LibertadDigital (2015)
164 Física I
Cuerpo Tipo de movimiento
Automóvil
•Movimientoenlínearecta•Movimientocircular•Movimientocurvo•Movimientorápido•Movimientodecaída•Tirovertical•Tiroparabólico•Tirohorizontal•Movimientolento
Hojassecasdelosárboles
•Movimientoenlínearecta•Movimientocircular•Movimientocurvo•Movimientorápido•Movimientodecaída•Tirovertical•Tiroparabólico•Tirohorizontal•Movimientolento
Lapiedraatadaaunacuerdagirando
•Movimientoenlínearecta•Movimientocircular•Movimientocurvo•Movimientorápido•Movimientodecaída•Tirovertical•Tiroparabólico•Tirohorizontal•Movimientolento
Unaflechalanzadahaciaarribaverticalmente
•Movimientoenlínearecta•Movimientocircular•Movimientocurvo•Movimientorápido•Movimientodecaída•Tirovertical•Tiroparabólico•Tirohorizontal•Movimientolento
Unaflechalanzadaverticalmenteconunángulo
•Movimientoenlínearecta•Movimientocircular•Movimientocurvo•Movimientorápido•Movimientodecaída•Tirovertical•Tiroparabólico•Tirohorizontal•Movimientolento
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Tema 6 Movimiento circular 165
Cuerpo Tipo de movimiento
Unsacodearenalanzadodesdeunaviónquevuelahorizontalmente
•Movimientoenlínearecta•Movimientocircular•Movimientocurvo•Movimientorápido•Movimientodecaída•Tirovertical•Tiroparabólico•Tirohorizontal•Movimientolento
2. Investigainformaciónsobreaparatoscaserosoindustrialesdondesepresenteunmovimientocircularybuscarenellosinformaciónreferentealasrevolucionesporminuto(rpm)ydiámetrooradiodelobjetoquegirayllenalasi-guientetabla.
Aparatos revoluciones por minuto (rpm) Diámetro o radio
Caseros
Industriales
Circulalaletraquecorrespondaalarespuestacorrecta.
1. Ángulocentralquesubtiendeunarcode igual longitudqueelradiodelacircunferencia.a) Gradosexagesimalb) Revoluciónc ) Radiánd ) Ningunodelosanteriores
2. Eselánguloquegiraelvectordeposicióndeunobjetoquesemueveconmovimientocircular.a) Desplazamientolinealb) Desplazamientoangularc ) Frecuenciad ) Periodo
3. Eseldesplazamientoangulardivididoentreeltiempoquesetardaengirardichoángulo.a) Velocidadtangencialb) Aceleracióncentrípetac ) Frecuenciad ) Velocidadangularmediae) Aceleraciónangularmedia
4. Eselcambiodevelocidadangulardivididoentreelinter-valodetiempoquetardaenefectuarseesecambio.
a) Aceleracióncentrípetab) Aceleracióntangencialc ) Aceleraciónangularmediad ) Desplazamientoangulare) Velocidadangularmedia
5. ¿Acuántosradianesequivalen240°?a) 4.19radb) 5.24radc ) 2.89radd ) 4.72rad
6. ¿Acuántosgradossexagesimalesequivalen3.41radianes?a) 186.2°b) 129°c ) 195.4°d ) 208.3°
7. Cuando un objeto da una vuelta completa en elmovi-miento circular, ¿cuál es su desplazamiento angular enradianes?a) 3.14radb) 5.0radc ) 6.28radd ) 12.56rad
LibertadDigital (2015)
166 Física I
8. Es el número de vueltas completas o revoluciones queefectúaunobjetoporunidaddetiempoenelmovimientocircularuniforme.a) Desplazamientoangularb) Periodoc ) Frecuenciad ) Velocidadlineal
9. UnidaddelafrecuenciaenelSI.a) Hertzb) rad/sc ) rad/mind ) rad/s2
10. UnHzequivalea:a) 1rad/sb) 1rev/sc ) 1rev/mind ) 1rad/min
11. Esel tiempoquetardaunobjetoenefectuarunavueltacompletaorevoluciónenelmovimientocircularuniforme.a) Periodob) Frecuenciac ) Desplazamientoangulard ) Velocidadangular
12. Expresiónmatemática que relaciona la frecuencia y elperiodoenelmovimientocircularuniforme.a) =
Pf
1=1b) P f=1c ) P+f =1d ) f - P =l
13. Aceleraciónqueexperimentaunobjetoenelmovimien-tocircularuniforme.a) Aceleracióntangencialb) Gravedadc ) Aceleracióncentrífugad ) Aceleracióncentrípeta
14. Unaruedaconmovimientocircularuniformegira80re-volucionesen20s.¿Cuántasvueltascompletasdaen35s?a) 1.5×102
b) 1.4×102
c ) 1.3×102
d ) 1.6×102
Undiscode20 cmde radio conmovimiento circularuni-formegira16raden5.0segundos.Respondelaspreguntas15-25.
15. Determinalavelocidadangulardeldisco.a) 4.1rad/sb) 3.2rad/sc ) 0.3rad/sd ) 3.8rad/s
16. Determinalafrecuenciadeldisco.a) 2Hzb) 4Hzc ) 1Hzd ) 0.51Hz
17. Determinaelperiododeldisco.a) 0.5sb) 0.25sc ) 1.96s≈2.0sd ) 1s
18. Calculaeltiempoquetardaeldiscoengirar48radianes.a) 15sb) 18sc ) 20sd ) 12s
19. Calculaeltiempoquetardaeldiscoengirar4590°a) 30sb) 18sc ) 25sd ) 28s
20. Calcula el tiempoque tardaeldiscoendar22vueltascompletas.a) 50sb) 35sc ) 40sd ) 43s
21. Calculaeldesplazamientoangularquegiraeldiscoen50segundos.a) 1.6×102radb) 1.5×102radc ) 1.8×102radd ) 1.4×102rad
22. Calcula la velocidad lineal de unpuntoque está en laperiferiadeldisco.Expresaelresultadoenm/s.a) 0.80m/sb) 0.54m/sc ) 0.64m/sd ) 0.70m/s
23. Calculalavelocidadlinealdeunpuntoqueestáa10cmdelcentrodeldisco.Expresaelresultadoenm/s.a) 0.32m/sb) 0.64m/sc ) 0m/sd ) 0.70m/s
24. Calcula la velocidad lineal de un punto ubicado en elcentrodeldisco.a) 0.32m/sb) 0.64m/sc ) 0m/sd ) 0.70m/s
LibertadDigital (2015)
25. Calculalaaceleracióncentrípetadeunpuntoqueestáenlaperiferiadeldisco.a) 2.048m/s2≈2.0m/s2
b) 1.8m/s2
c ) 1.5m/s2
d ) 2.4m/s2
Unapoleade12.0cmderadiogiraconunarapidezconstantede540rpm.Respondelaspreguntas26-31.Determina:
26. LafrecuenciadelapoleaenHertz(rps).a) 7.0Hzb) 8.0Hzc ) 10Hzd ) 9.0Hz
27. Lavelocidadangulardelapoleaenrad/s.a) 56.5rad/sb) 62.4rad/sc ) 42.8rad/sd ) 60rad/s
28. Lavelocidadlinealdeunpuntosituadoenlaperiferiadelapolea.a) 6.1m/sb) 5.4m/sc ) 6.8m/sd ) 7.6m/s
29. Lavelocidad linealdeunpuntoqueestáa5.0cmdelcentrodelapolea.a) 2.8m/sb) 1.6m/sc ) 2.4m/sd ) 3.0m/s
30. Lavelocidadlinealdeunpuntosituadoenelcentrodelapolea.a) 0m/sb) 1.2m/sc ) 6.8m/sd ) 1.4m/s
31. Laaceleracióncentrípetadeunpuntoqueestáenlape-riferiadelapolea.a) 385m/s2
b) 340m/s2
c ) 400m/s2
d ) 316m/s2
32. Unapiedraatadaaunacuerdade0.80mdelargogiraconrapidezconstantea90rpm.Calcula laaceleracióncentrípetadelapiedra.a) 100m/s2
b) 96m/s2
c ) 71m/s2
d ) 70m/s2
Unapoleaquepartedelrepososeacelerauniformementeyalcanzaunavelocidadangularde1560rpmdespuésde15.0segundos.Determinalosolicitadoenlaspreguntas33y34.
33. Laaceleraciónangular.a) 12.5rad/s2
b) 10.9rad/s2
c ) 13.4rad/s2
d ) 9.2rad/s2
34. Eldesplazamientoangular.a) 1840radb) 1224.6radc ) 1205.1radd ) 1250.0rad
Unventiladorquegiraa360rpmseapagaytardaendetener-se15segundos.Respondelaspreguntas35y36.
35. Determina la aceleración angular del ventilador si esconstante.Expresaelresultadoenrad/s2.a) -3.0rad/s2
b) -2.5rad/s2
c ) -4.0rad/s2
d ) -3.8rad/s2
e) -1.9rad/s2
36. Determinaeldesplazamientoangulardelventiladordes-dequeseapagahastaquesedetiene.Expresaelresultadoenradianes.a) 290radb) 305radc ) 282.6radd ) 275rad
Unmotorquegira conuna velocidad angularde240 rpmseacelerauniformementea razónde3.0 rad/s2durante10segundos.Respondelaspreguntas37y38.
37. Determinalavelocidadangulardelmotoralos10s.a) 22rad/sb) 55rad/sc ) 25rad/sd ) 38rad/se) 16rad/s2
38. Determinaeldesplazamientoangularquegiraenlos10s.a) 350radb) 420radc ) 380radd ) 400.6rad
Tema 6 Movimiento circular 167
LibertadDigital (2015)
168 Física I
Autoevaluación
Indicadores de desempeño
Nivel
Exc
elen
te
Bue
no
Ele
men
tal
Insu
ficie
nte
tema i
1. Defineelmovimientomecánico.
2. Comprendeelconceptodepartículamaterial.
3. Identificalacinemáticayladinámicacomolasramasdelamecánicaqueestudianelmovimientodeloscuerpos.
4. Diferencialacinemáticadeladinámica.
5. Distingueentrerapidezyvelocidad.
6. Diferenciaentredesplazamientoydistancia.
7. Definelossiguientesconceptos:• Distancia• Desplazamiento• Velocidadmedia• Rapidezmedia• Aceleraciónmedia• Velocidadinstantánea• Aceleracióninstantánea
8. Resuelveproblemasderapidezmediayvelocidadmedia.
tema ii
9. Identificalascaracterísticasdelmovimientorectilíneouniforme(mru).
10. Describeelmrumedianteunagráficadeposicióncontratiempo.
11. Describeelmrumedianteunagráficadevelocidadcontratiempo.
12. Analizalasgráficasdeposicióncontratiempoydevelocidadcontratiempodelmru.
13. Resuelveproblemasreferentesalmru.
tema iii
14. Identificalascaracterísticasdelmovimientorectilíneouniformementeacelerado.
15. Describeelmruamedianteunagráficadevelocidadcontratiempo.
16. Describeelmruamedianteunagráficadeposicióncontratiempo.
17. Describeelmruamedianteunagráficadeaceleracióncontratiempo.
18. Aplicalasfórmulasdelmruaenlasolucióndeproblemas.
LibertadDigital (2015)
Indicadores de desempeño
Nivel
Exc
elen
te
Bue
no
Ele
men
tal
Insu
ficie
nte
tema iv
19. Identificalascaracterísticasdelacaídalibre.
20. Identificalascaracterísticasdeltiroverticalhaciaarribayhaciaabajo.
21. Aplicalasfórmulasdelacaídalibreenlasolucióndeproblemas.
tema v
22. Identificalascaracterísticasdeltirohorizontaldeunproyectil.
23. Identificalascaracterísticasdelmovimientodeunproyectilqueeslanzadohaciaarribaconunánguloconrespectoalahorizontal.
24. Resuelveproblemasdeltirohorizontal.
25. Resuelveproblemasdelmovimientodeunproyectilqueeslanzadohaciaarribaconunánguloconrespectoalahorizontal.
tema vi
26. Identificalascaracterísticasdelmovimientocircular.
27. Defineelconceptodedesplazamientoangular.
28. Defineelconceptodevelocidadangularmedia.
29. Defineelconceptodeaceleraciónangularmedia.
30. Identificalascaracterísticasdelmovimientocircularuniforme.
31. Defineelconceptodeperiodo.
32. Defineelconceptodefrecuencia.
33. Aplicalasfórmulasdelmovimientocircularuniformeenlasolucióndeproblemas.
34. Identificalascaracterísticasdelmovimientoangularuniformementeacelerado.
35. Aplicalasfórmulasdelmovimientoangularuniformementeaceleradoenlaresolucióndeproblemas.
Tema 6 Movimiento circular 169
LibertadDigital (2015)
LibertadDigital (2015)
Bloque 3Leyes de Newton
y de la gravitación
universal
Conocimientos
• Leyesdeladinámica• LeyesdeKepler• Leydelagravitaciónuniversal
Desempeños• Comprendeselmovimientodeloscuerposapartirde
lasleyesdeladinámicadeNewton.• Identificasenlosdiferentestiposdemovimientolas
fuerzasinvolucradasenelmovimientodeloscuerpos.• AplicaslasleyesdeladinámicadeNewton,enlaso-
luciónyexplicacióndelmovimientodeloscuerpos,obser-vablesensuentornoinmediato.
• Utilizaslaleydelagravitaciónuniversalparaentenderelcomportamientodeloscuerposbajolaaccióndefuerzasgravitatorias.
• ExplicaselmovimientodelosplanetasenelSistemaSolarutilizandolasleyesdeKepler.
Competencias que se busca desarrollar• Establece la interrelación entre la ciencia, la tecno-
logía,lasociedadyelambienteencontextoshistóricosysocialesespecíficos.
• Fundamentaopinionessobrelosimpactosdelacien-ciaylatecnologíaensuvidacotidianaasumiendoconsi-deracioneséticas.
• Identifica problemas, formula preguntas de caráctercientífico y plantea las hipótesis necesarias para respon-derlas.
• Obtiene, registra y sistematiza la información pararesponderpreguntasdecaráctercientífico,portanto,con-sultafuentesrelevantesyrealizaexperimentospertinentes.
• Valoralaspreconcepcionespersonalesocomunesso-bre diversos fenómenos naturales a partir de evidenciascientíficas.
• Exponeenformaexplícitalasnocionescientíficasquesustentanlosprocesosparalasolucióndeproblemasco-tidianos.
• Explicaelfuncionamientodemáquinasdeusocomúnapartirdenocionescientíficas.
• Diseñamodelosoprototipospararesolverproblemaslocales,satisfacernecesidadesodemostrarprincipioscien-tíficos.
• Relacionalasexpresionessimbólicasdeunfenómenodelanaturalezaylosrasgosobservablesasimplevistaomedianteinstrumentosomodeloscientíficos.
• Analizalasleyesgeneralesquerigenelfuncionamien-todelmediofísico.
• Proponemanerasdesolucionarunproblemaodesa-rrollarunproyectoenequipoaldefiniruncursodeacciónconpasosespecíficos.
• Aportapuntosdevistaconaperturayconsideralosdeotraspersonasdemanerareflexiva.
• Dialogayaprendedepersonascondistintospuntosdevistaytradicionesculturalesmediantelaubicacióndesuspropiascircunstanciasenuncontextomásamplio.
• Asumequeelrespetodelasdiferenciaseselprincipiodeintegraciónyconvivenciaenloscontextoslocal,nacio-naleinternacional.
LibertadDigital (2015)
Respondelassiguientespreguntasconbaseenloqueaprendistedefísicaenlasecundariayenloquetuexperienciacotidianatehamostrado.
1. Escribequésabesrespectoalossiguientespersonajeshistóricos.
a) IsaacNewton
b) JohannesKepler
c) TychoBrahe
d )GalileoGalilei
2. ¿Creesquemasaypesosignificanlomismo?;sinoesasí,¿cuálesladiferencia?
3. Segúntuexperienciacotidiana,sidosobjetosdediferentemasagolpeanunapared,¿cuálpegarámásfuerte,eldemayoroeldemenormasa?
4. Sidosobjetosdelamismamasaperoquesemuevencondiferenteaceleracióngolpeanunapared,¿cuálgolpearámásfuerte,eldemayoroeldemenoraceleración?
5. ¿Quéentiendesporfuerza?
6. ¿Quéeslagravedad?
7. ¿Porquécualquierobjetoinanimadoquesesueltaenelairecae?
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fuerza
masa
dinámica
fuerza gravitacional
fuerza electromagnética
fuerza eléctrica
fuerza magnética
fuerza nuclear fuerte
fuerza nuclear débil
fuerza neta
fuerza equilibrada
fuerza no equilibrada
inercia
fuerza de acción
fuerza de reacción
peso
fuerza normal
fricción
fricción estática
fricción cinética
coeficiente de fricción
estático
coeficiente de fricción
cinético
diagrama de cuerpo libre
ángulo de reposo
peso aparente
Leyes de NewtonTema I
IntroducciónLos cambiosque experimentan los objetos en sumovi-mientosonresultadodeciertascondiciones.Asuvez,es-tos cambios provocan ciertos efectos secundarios; dichodeotramanera,laaceleraciónconquesemuevenlosob-jetoslaproducelaaccióndeunafuerzaolaconjugacióndevariasfuerzas.
Entodomovimientoexistendostendenciasopuestas:laacción,denominadafuerza,ylareacción,oresistencia,llamadamasa.Por lo tanto,elmovimientoconsiste jus-toenelconflictoentrelaacciónylareacción;inclusoelreposorelativologeneraelequilibriotransitorioentrelaacciónylareacción.
En consecuencia, aunque siempre manteniendo laabstracciónde su carenciadedimensiones espaciales, alanocióndepartículamaterialseleagregalapropiedadde tenermasaque se contraponea las fuerzas externasquetratanotiendenaproduciruncambioensuestadodemovimiento.
Laconsideracióndelasfuerzasqueproducenelcam-biodelestadodelmovimientodeunobjetooqueseopo-nenaelloconstituyeeldominiodeestudiodeladinámica.
Ladinámicaeslaramadelafísicaclásicaqueestudiaelmovimientodelosobjetosconsiderandolascausasqueloproducenomodifican.
¿Qué es una fuerza?Intuitivamente,tenemosunaideadequéesunafuerzaentérminos de la acciónde empujar, jalar o tirar de algún
objeto.Laexperienciacotidianaenseñaqueelmovimientodeunobjeto es resultadode sus interacciones conotrosobjetoscircundantes.Cuandounjugadorgolpeaunape-lotaexisteunainteracciónconéstaquemodificasumovi-miento.LaLunasemuevealrededordelaTierradebidoa la interaccióngravitacionalqueexisteentreambos,delmismomodoquelaTierraylosplanetasgiranalrededordelSol.Latrayectoriadeunproyectilen lasproximida-desdelasuperficieterrestreesresultadodesuinteraccióngravitacionalcon laTierra.Losprotonesyneutronesdeunátomosemantienenunidosensunúcleodebidoasuinteracciónnuclear.Enfísica, las interaccionesentredosobjetos se expresan cuantitativamente en términos delconceptollamadofuerza.
Unafuerzanopuedeobservarsedirectamente;enrea-lidad,sólosepercibeelefecto.Lacausadecualquierinte-racciónentredosobjetosessiempreunafuerza.
Una fuerza causa que un balón en reposo se pongaenmovimientocuandoalguienlopatea,queunobjetoseacelere,yaseaporqueproduceuncambioenlamagnituddelavelocidadoensudirección.Todosloscambiosenelestadodemovimientodelosobjetossedebenaquesobreellosseejerceunafuerza.
Sinembargo,es importanteconsiderarque las fuer-zasnosiempreproducenelmovimientodeunobjeto.Porejemplo,sepuedeempujarunautomóvilynomoverlo.Enalgunoscasos,sedeformaunobjetosobreelcualseejerceunafuerza,estoes,cambiasuformaotamaño,comocuan-doapretamosunapelotadeesponja.Silasfuerzassonsu-ficientementegrandes,lasdeformacionespuedenserper-manentes,comosucedecuandodosautomóvileschocan.
Unadefiniciónoperacionaldelconceptofuerzabasa-daenlosefectosqueseobservanenlasinteraccionesentre
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174 Física I
dos objetos es la siguiente: una fuerza es algo capaz decambiarelestadodemovimientodeunobjetoodedefor-marlo;noobstante,esimportanteaclararqueeltérminocapaznonecesariamente se refiereaque siempreque seejerzaunafuerzasobreunobjetoéstecambiesuestadodemovimiento,obien,sedeforme.
Fuerzas fundamentales en el universoLasfuerzaseneluniversosepuedenexplicarenfuncióndecuatrointeraccionesbásicasqueocurrenentrelosobjetos:
1. Lafuerzagravitacional.2. Lafuerzaelectromagnética.3. Lafuerzanuclearfuerte.4. Lafuerzanucleardébil.
Lafuerza gravitacionaleslafuerzadeatracciónmu-tuaentredosobjetosporelsimplehechodetenermasa.Es la causa de que los planetas semantengan en órbitaalrededordelSolylaLunaentornoalaTierra.Lafuer-zagravitacionalqueseejerceentre laTierrayunobjetopróximoalasuperficieterrestreeselpesodelobjeto.LasfuerzasgravitatoriasdelaLunayelSolsobrelosocéanosdelaTierracausanlasmareas.
Figura 3.1 Las fuerzas gravitatorias que la Luna y el Sol ejercen sobre los océanos de la Tierra causan las mareas.
Lafuerza electromagnéticaes lafuerzaentrecar-gaseléctricaseincluyelasfuerzaseléctricasylasfuerzasmagnéticas.Las fuerzas eléctricas existen entre cargaseléctricas que están en reposo y las fuerzas magnéti-cas se producen por la interacción de cargas eléctricasenmovimiento.Unejemplode las fuerzaseléctricaseslaatracciónentreunpeineypequeños trozosdepapelcuandoelpeinesehaelectrificadoalpasarloporelca-bello.Losrelámpagossonresultadodelafuerzaelectro-magnética.
Figura 3.2 Los relámpagos son resultado de la fuerza electro-magnética.
Lafuerza nuclear fuerteresultadelainteracciónen-trepartículassubatómicasyeslaresponsabledemantenerunidaslaspartículasenlosnúcleosatómicos.Laexplosióndelabombadehidrógenoesunejemplodelapotenciadeestafuerza.
Lafuerza nuclear débiles laqueresultadela inte-racciónentre laspartículas subatómicasdurante algunosprocesosdedecaimientoradiactivo.
Fuerzas de acción a distancia y de contactoCuandonoexistecontactofísicoentrelosobjetosquein-teractúan,sedicequelafuerzaesdeacciónadistancia.Porejemplo,lafuerzagravitacionalentredosobjetos.Paraquetengasunamejorideadeestetipodefuerza,consideraunimán.Apesardequelocoloqueslejosdeunobjetometá-lico,escapazdeatraerlo.
Lamayorpartedelasfuerzasqueobservamossobrelosobjetosqueinteractúanseejercenporcontactodirecto,yporlotantolasdenominamosfuerzasdecontacto.Estasfuerzas seejercenentre lasmoléculasde la superficiedecadaobjeto.
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Tema 1 Leyes de Newton 175
Figura 3.3 Fuerzas de contacto.
Fuerza gravitacional
Fuerza electroestática
m1 m2
Q2q1
N SN S
Figura 3.4 Fuerzas a distancia.
La fuerza es una cantidad vectorialCuandounafuerzaseejercesobreunobjeto,susefectosdependendesumagnitud,asícomodesudirecciónysen-tido.Porejemplo,siseaplicasobreunobjetounafuerzahorizontalmente hacia la derecha, no produce elmismoefectoque si seaplicase la fuerzaen lamismadirecciónperohacialaizquierda.Asimismo,losefectosvaríansegúnlamagnituddelafuerza.Porestarazón,lafuerzaesunacantidadfísicaquequedaperfectamentedefinidacuandoseconocensumagnitud,direccióny sentido;esdecir, lafuerzarepresentaunacantidadvectorial.
Fuerza netaSivarias fuerzasactúansimultáneamentesobreunobje-to,elefectoresultantedecombinarlaseselmismoquesiseejercieraúnicamentelafuerzaconsecuenciadelasumavectorialdetodasellassobreelobjeto.Alafuerzaresul-tantedeunsistemade fuerzasque interactúansobreunmismoobjetotambiénselellamafuerza neta.
Cuandolamagnituddelafuerzanetaescero,sedicequelasfuerzasqueinteractúanconelobjetosonfuerzas equilibradas.Unafuerzanetacuyamagnitudnoescero,serefiereaunafuerza no equilibrada.
InerciaAntesdeGalileo,secreíanecesarialaaccióndeunafuerzapara que un objeto semoviera con velocidad constante.Sinembargo,Galileoformulólasiguienteidea:“Unobje-to,unavezenmovimientoysinperturbarloenadelante,continuaráconvelocidadconstanteporsímismo”.Con-cretamente,GalileoyluegoNewton,reconocieronquesiunobjeto,inicialmenteenreposo,seponeenmovimientomediantelaaccióndeunafuerzaydespuésyanoseejercefuerzaalguna,elobjetosedetienedebidoa la fricciónorozamientoentrelassuperficies.
Para llegar a esta conclusión, Galileo recurrió a unexperimento con dos planos inclinados colocados uno acontinuacióndelotro,comoloilustralafigura3.5.
Figura 3.5
Desdeloaltodeunodelosplanos,hizorodarunaes-fera,desdeelreposo,porunodelosplanosinclinados.La
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176 Física I
esferapasabaporelfondoysubíaporelotroplanoincli-nado.Independientementedelainclinacióndelsegundoplano,Galileoobservóquelaesferaalcanzabaunaalturaverticalunpocomenorquelaesferaubicadainicialmenteenelotroplano.
Figura 3.6
Galileoinvestigóafondolacausadeladiferenciadealturas.Pulió laesferayalisó la superficiede losplanos.Así, observó que la diferencia de las alturas disminuía.Despuésdevariosexperimentos,concluyóquelacausaeralafricciónorozamientoentrelassuperficiesdelosplanosinclinadosydelaesfera.
Acontinuación,Galileo redujogradualmente el án-gulo de inclinación de uno de los planos inclinados, demanera que la esfera rodara cada vez más lejos antesde llegar al reposo. Se cuestionó, ¿qué pasaría si las su-perficiesde losplanosinclinadosy lade laesferafuerancomplementelisas,osea,quenoexistieralafricciónyelsegundo plano fuera horizontal? Intuyó e indujo la si-guiente idea: en ausencia de la fricción entre las super-ficies, la esfera semovería perpetuamente con velocidadconstante.Dichodeotromodo,unavezqueunobjetosepusieraenmovimiento,nopodríadetenerse.Sunaturalezaseríaresistirseaseracelerado.
Galileofinalmenteestablecióquetodoobjetoseresis-teacambiarsuestadodemovimientoyaestaresistencialellamóinercia.
Figura 3.7 Galileo afirmó que si no existiera la fricción y el se-gundo plano fuera horizontal, la esfera se movería permanente-mente con velocidad constante.
Estapropiedadsecompruebaensituacionescotidia-nas;porejemplo,alviajardepieenunautobúsdepasajeros,cuandoéstearrancasesientequenuestrocuerposemue-vehaciaatrástratandodepermanecerenreposo.Siporelcontrario,elautobúsestáenmovimientoconunavelocidad
constanteyderepentefrena,nuestrocuerposemueveha-ciadelantetratandodepermanecerconlamismavelocidadqueteníacuandoelcamiónestabaenmovimiento.
Figura 3.8
Figura 3.9
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Tema 1 Leyes de Newton 177
Elusodelcinturóndeseguridadenelautomóvilevitaque, en casodeun accidenteoun frenazo repentino, sesalgadisparadoporelparabrisas.Elcinturóndeseguridadhaevitadolamuertedemuchaspersonas.
Figura 3.10 El uso del cinturón de seguridad ha evitado la muer-te de miles de personas que sufren un accidente automovilístico.
La masa como medida de la inerciaSiintentamoscambiarelestadodemovimientodeunob-jeto,ésteseresistiráadichocambio.
Esmásfácilmoverunobjetocuyamasaesde20kgqueotrode60kg.Delmismomodo,unavezqueambosestánenmovimiento,serequeriríademayoresfuerzoparadetenerelobjetodemayormasaqueeldemenor.Porlotanto,sedicequeelobjetode60kgtienemásinerciaqueelde20kg.
Cuantamásmasatengaunobjeto,tantomayorserálaresistenciadeunobjetoaseracelerado;porestarazón,sediceque:
Lamasaesunamedidacuantitativadelainercia.
Leyes del movimientoLas leyesdelmovimientoque se estudiarána continua-ción son generalizaciones que surgen del análisis de losmovimientosqueseobservanennuestrorededor.Lasob-servacionesseextrapolanaciertosexperimentosidealesosimplificados.
Las leyesdelmovimientolasformulóIsaacNewton(1642-1727),aunqueGalileoyalashabíaplanteadodesdemuchoantes,perodeunamaneradiferente.
Estasleyessonválidasparadeterminarelmovimientodelosobjetoscuandoéstossemuevenconvelocidadesdemagnitudpequeñaencomparaciónconladelaluz.
Figura 3.11 A pesar de que Isaac Newton fue quien realizó un planteamiento formal de las leyes del movimiento, Galileo fue el primero en trabajar la teoría de estas leyes.
Primera ley de Newton o de la inerciaLa primera ley de Newton es un enunciado de causa-efectoquerelacionalafuerzayelmovimiento.Unafuerzanetanoequilibradaqueactúasobreunobjetoeslacausadeuncambioenelestadodemovimientodelobjeto.Suenunciadoeselsiguiente:
Unobjetoenreposooenmovimientorectilíneoconve-locidadconstantepermaneceráen reposooenmovi-mientoconvelocidadconstante,amenosquesobreélactúeunafuerzanetanoequilibrada.
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178 Física I
Segunda ley de NewtonEstaleyserefierealarelaciónmatemáticaentrelafuerzanetaqueseejercesobreunobjeto,sumasaylaaceleraciónqueexperimenta.
Elenunciadodeestaleyeselsiguiente:
Cuando una fuerza neta no equilibrada actúa sobreun objeto, la aceleración del objeto es directamenteproporcionalalamagnituddelafuerzanetaeinver-samenteproporcionalasumasa.
Tomaencuentaquesilamagnituddelafuerzanetaescero,entoncesladelaaceleracióntambiénloes.
Laexpresiónmatemáticadeestaleyes:
=a Fm
Obien,
=F ma
Deacuerdoconestaley,siunafuerzanetaFocasionaqueunobjeto semuevaconunaaceleracióna, entoncesunafuerzademagnitud2Fproduciráunaaceleración2a,yasísucesivamente.
m m m F a 2a 3a
2F 3F
Porotraparte,siunafuerzanetaFocasionaqueunobjetodemasamsemuevaconunaaceleracióna,enton-cessiseejercesobreunobjetodemasa2m,leproduciríauna aceleración de magnitud a
2, y así sucesivamente. La
masaseresisteaseracelerada.
m 2m 3ma
F F Fa/2 a/3
Dadoquelafuerzaesunacantidadvectorial,laecua-ciónFn =ma(dondeFneslafuerzaresultanteonetadelconjuntodefuerzasqueactúansimultáneamentesobreunobjeto)puedeexpresarseentérminosdesuscomponentesrectangularesenelplano;estoes:
Σ = Σ =
= Σ + Σ
F ma F ma
F S F
y
( ) ( )
x x y y
n x y2 2 2
Unidad de fuerza en el siLaunidaddefuerzaenelsieselnewton,elcualdenota-mosconlaletraN.
Unnewton sedefine como la fuerzaqueaplicadaaunamasade1kgproduceunaaceleraciónde1m/s2.
=
→ =
a
kg F
1 m s
1 1N
2 F = ma
F = 1kg 1ms2
F =1N
Tercera ley de NewtonEstaleyestablecequesiuncuerpoAejerceciertafuerzaFasobrecualquierB,entoncestambiénelcuerpoB ejercesobreelcuerpoAunafuerzaFbdeigualmagnitud,perodesentidocontrario;osea,Fb=-Fa.Deestamanera,puedeverseque esposible aplicar fuerzas iguales a cuerposdemasasdiferentes.
Generalmente,aunadelasfuerzasselellamafuerza de acción, y a laotra, fuerza de reacción.Estas fuerzassonresultadodeunasolainteracciónqueactúasobrecuer-posdiferentesalmismotiempo.
Estaleysepuedeenunciardelasiguientemanera:
Atodofuerzadeacciónlecorrespondeotrareaccióndeigualmagnitud,peroensentidocontrario.
Fa
Fb
Figura 3.12 Si golpeas un objeto con una determinada fuerza, éste te golpeará con la misma fuerza.
El pesoCuandouncuerpocae librementehacia lasuperficie te-rrestre, experimenta la aceleración de la gravedad. De
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Tema 1 Leyes de Newton 179
acuerdo con la primera ley deNewton, debe haber unafuerzaqueprovoquedichaaceleración.Esta fuerzaes laatracción gravitacional que ejerce la Tierra sobe dichocuerpo.
El peso de un objeto es la fuerza gravitacional queejerceuncuerpodegrandesdimensiones(comolaTierraolaLuna)sobreél.Dadoqueelpesorepresentaunafuer-za, se consideraunacantidadvectorial cuyadirecciónesladelafuerzagravitacional,esdecir,estádirigidahaciaelcentrodelcuerpodemayoresdimensiones.
Su magnitud, de acuerdo con la segunda ley deNewton,estádadaporlaexpresión:
ω = mg
Donde:w =Magnituddelpesodelobjeto.m=Masadelobjeto.g=Aceleracióndelagravedad.
Ejemplo 3.1 Calculaelpesodeunobjetode50.0kgsiestásituado:
a) EnlaTierra
Solución
50.0 kg
w
w =mgw =50.0kg(9.80m/s2)w =490N
b) EnlaLuna.
SoluciónDadoqueenlaLunaelvalordelaaceleracióndelagravedadesde1.6m/s2,tenemos:
w =50.0kg(1.60m/s2)w =80.0N
Deacuerdoconlaexpresiónw =mg,observaqueel pesodeunobjeto es proporcional a sumasa.Porello,enellenguajecotidianoseusangeneralmentelasunidadesdemasaparaexpresarelpesodeuncuerpo;sinembargo,dichosconceptosnosignificanlomismo.Lamasa de un objeto es una propiedad física únicayexclusivadelobjeto;asimismo,sumagnitudserálamismaencualquierlugar.Porejemplo,sienlaTierra
unarocatieneunamasade2kg,enlaLunanohabríaningúncambioensumagnitud.
Porelcontrario,elpesodeunobjetonoescons-tante,dependedelvalordeg. Enpárrafosposterioresaprenderás que el valor de la gravedad (g) dependeprincipalmentedelossiguientesfactores:
• Ladistanciaquehaydesdeelcentrodelcuerpodegranmasahastadondeselocalizaelobjeto.
• Lamasadelcuerpo.
Tomandoencuentaestosfactores,elpesodeunmismoobjetoesdiferenteenlaLunaqueenlaTierra.Inclusocomoel valordeg varíadeunpuntoaotroendiferenteplaneta,elpesodeunobjetodemasam cambiaendiversoslugares.
Elsiguientecuadromuestralavariacióndelagra-vedadconlalatitudalniveldelmar.
Latitud 0° 10° 20° 30° 40°
g (m/s2) 9.78 9.781 9.786 9.793 9.80
Latitud 50° 60° 70° 80° 90°
g (m/s2) 9.81 9.82 9.826 9.830 9.832
La fuerza normalConsideremosqueunobjetoestáenrepososobreunasu-perficie horizontal. Sabemos que la fuerza gravitacionalactúasobreélatrayéndolohaciaelcentrode laTierra,apesardequesuaceleraciónescero.
m
w = Peso
DeacuerdoconlasegundaleydeNewton,lafuerzanetaqueactúasobreelobjetoescero;porlotanto,debeexistirotrafuerzaqueactúesobreelobjetoeimpidaqueéste sehunda en la superficie; es decir, debe existir otrafuerzaqueseopongaalafuerzagravitacional.Estafuerzala produce la superficie y actúaperpendicularmente a lasuperficiedecontacto;porestarazón,se le llamafuerzanormal.
La fuerzanormales la resistenciade la superficiealmovimientodelobjetoporlaaccióndelafuerzagravita-cional.Estafuerzasiempreactúaperpendicularmenteconlasuperficiedecontacto.
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180 Física I
wN
N
w
90°
DeacuerdoconlasegundaleydeNewton,tenemos:S Fy =0N-w=0 o w-N=0N=wN=mg
Cuandounobjetodescansasobreunasuperficieho-rizontalyenelejevertical,únicamenteactúansobreéllafuerzanormalyelpeso.Porlotanto,siempresecumpleque
N=w
Ejemplo 3.2 Unobjetode10.0kgestáenrepososobreunasuperficiehorizontal.Determinalamagni-tuddelafuerzanormalqueejercelasuperficiesobreelobjeto.
Solución
10.0 kg
N
w
DeacuerdoconlasegundaleydeNewton,tenemos:SFy=mayN-w=0N=wN=mgN=10.0kg(9.80m/s2
N=98.0N
Magnitud de la fuerza normal en el plano inclinadoSupongamosqueunobjetodescansa sobreuna superficieinclinadayquesobreélúnicamenteactúanlafuerzagravita-cional(elpeso)ylanormal,comoseilustraacontinuación:
w
N
90°
θ
Siseestableceunsistemadecoordenadasdondeelejexseaparaleloalasuperficieinclinada,yelejeyperpendi-cularaésta,esposibledescomponerelvectordelpesoensus componentes rectangulares wx y wy , respectivamente,comosemuestraacontinuación:
N
w
x
θ
wy
wx
N
w
α
wy
wx
θ
Por geometría podemos demostrar que θ α=m m θ α=m m .Deacuerdoconlafracciónanterior,tenemosque:
α
αω
ω
=
=
lado adyacentehipotenusa
cos
cos y
Luego:ω ω α= cosy
Dadoquew =mgy ω α θ= =mg m mDadoque y ,entonces:,entonces:
ω θ= mg cosy
Delmismomodo:
αω
ω=sen x
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Tema 1 Leyes de Newton 181
Luego:ω α ω=sen x
ω θ=mg senx
Paradeterminarlaexpresiónmatemáticadelamagni-tuddelafuerzanormal,seaplicalasegundaleydeNewtonenelejey.
∑ =F may y
Comonohaymovimientoenladirecciónperpendi-cularalasuperficie,ay =0;luego:
ω− =N 0y
Luego:ω
θ
=
=
N
N mg cos
y
wy
900
N
θ
La fricciónSilanzamosunaboladebolichedemaneraqueunavezsueltaruedesobreunasuperficiehorizontal,laexperiencianosindicaquedespuésdesoltarla,suvelocidaddisminuyehastaquesedetiene.Estadesaceleración,deacuerdoconlaprimeraleydeNewton,indicalaexistenciadeunafuer-zaqueseoponealmovimiento.Estafuerzarecibeelnom-bredefricciónorozamiento.Cuandolafricciónimpidequeunobjetoenrepososepongaenmovimientoporlaaccióndeunafuerzasellamafricción estática,ycuandoseoponeaunmovimientoenacciónsedenominafricción cinética.
Lafricciónofrecemuchasventajas.Sinella,seríaim-posiblecaminaromanejarunautomóvil.Dehecho,cuan-dounautomóvilsemuevesobreunacarreteraconcurvas,lafuerzaderozamientoqueejercelasuperficiesobrelasllantas es loque impideque el autopierda el control altomarlascurvas.Sinlafricción,losclavosylostornillosresultaríaninútilesporquenopodríanmantenerseunidosalamaderaoalconcreto;inclusonosepodríansostenerlascosasconlasmanos.
Sin embargo, no siempre es ventaja la existencia dela fricción. Intuitivamente se sabe que esmuy peligrosotratardecaminarsobreunpisollenodeaceite.Tambiénqueloslubricantes,comoelaceiteenelmotordeunau-tomóvil, reducen el rozamiento entre sus partesmóvilesconelfindedisminuireldesgasteyreducirelconsumodeenergía.Unmotorsinaceitenopuedefuncionar.
Figura 3.13 Sin el efecto de la fricción, los autos perderían el control.
Fricción estáticaConsideremos un bloque (en reposo) sobre la superficiehorizontaldeunamesa,comoloilustralafigura3.14.
Figura 3.14
Lasúnicasfuerzasqueactúansobreelobjetosonlagravitacionalylanormal.Siseaplicaunapequeñafuer-zahorizontal, como lo ilustra lafigura3.15,y elobjetonosedesliza,deacuerdoconlasegundaleydeNewton,debe estar actuando sobre él otra fuerza de igualmag-nitud y dirección pero en sentido contrario, demaneraquelafuerzanetaescero.Lafuerzadefricciónestáticaqueejercelasuperficiesobreelobjetoesloqueimpidesumovimiento.
Así,tenemosque:
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182 Física I
v = 0F
Wf sr
N
Figura 3.15
SialaplicarlafuerzaF elobjetonosemueve,entonces:
=F fsSilamagnituddelafuerzaaplicadasobreelobjeto
aumentaytampocosemueve,significaquelamagnitudde la fricciónestáticaaumentaen lamismamedida,demanera que también la magnitud de la fuerza neta escero.Sisesigueincrementandolamagnituddelafuerzaenalgúnmomento,elobjetoestaráapuntodedeslizar-se.Eneseinstante,lamagnituddelafricciónestáticaesmáxima.
Medianteexperimentossehanverificadolassiguien-tesleyesdelafricciónestática:
1. La fuerzade fricciónestática,denotadapor fs, entresuperficiesparalelasencontactoactúaenladireccióndelafuerzaaplicada,peroensentidocontrario.
2. Lamagnituddelafricciónestáticamáximaesdirec-tamenteproporcionalalafuerzanormal.Laconstantedeproporcionalidadsellamacoefi ciente de fricción estáticoyserepresentaporms.Estoes:
fsmáx = μsN
3. Lamagnituddelafuerzadefricciónestáticatomava-loresdelintervalo0≤fs≤fsmáx
.4. Lamagnituddelafricciónestáticaescero,esdecir,no
existecuandonoseaplicaunafuerzaexternaquepretendaponerelobjetoenmovimiento.
5. Lamagnituddelafuerzadefricciónestáticaesmáxi-macuando,pormediodelaaccióndeunafuerzaparalelaalassuperficiesencontacto,unobjetoestáapuntodeini-ciarsumovimiento.
Fricción cinéticaUnavezqueelobjetoestáenmovimientoysedeslizaso-breunasuperficie,actúalafuerzadefriccióncinéticare-presentadaporfk.Estafuerzaactúaenlamismadirecciónqueelmovimiento,peroen sentidocontrarioy conunamagnituddadapor:
fk = μs N
dondemkeselcoeficientedefricción cinética.Siunobjetosedeslizasobreunasuperficieyseleapli-
caunafuerzaF paralelaalasuperficiesepuedenpresentarlassiguientessituaciones.
1. =F frkEnestecaso,elobjetosedeslizaconvelocidadcons-
tante.2. >F frk
Enestecaso,elobjetoseacelera.3. <F frk
Enestecaso,elobjetosedesacelerahastaquesede-tiene.
4. Si se deja de aplicar la fuerza, la fuerza de friccióncinéticadesaceleraríaelobjetoy,finalmente, lo llevaráalreposo.
5. Elcoeficientedefricciónestáticaesmayorqueelco-eficientedefriccióncinético;estoes:
ms>mk
Aplicaciones de las leyes de NewtonAcontinuaciónanalizaremosalgunosejemplosdeaplica-ciónde las leyesdeNewton.Lasestrategiasdesoluciónqueusaremosteservirándemodelopararesolverlospro-blemaspropuestosenestetexto.
El siguientemétodote facilitaráelprocesodesolu-cióndeproblemasrelacionadosconladinámica.
1. Identificaelobjetodelproblemacuyoestadodemo-vimientosequiereanalizar.
2. Identificatodaslasfuerzasqueactúansobreelobjeto.3. Utilizaelmodelodepartículamaterial,demodoque
puedassuponerquetodaslasfuerzasqueactúansobreelobjetolohacenenunpunto.
4. Estableceunsistemadereferenciacuyoorigenseaelpunto que representa la partículamaterial (objeto). Losejesdebenorientarsedemaneraquelasolucióndelpro-blemaresultemássencilla.
5. Muestraenelsistemadereferenciatodaslasfuerzasqueactúan sobreelobjeto.Esta representación recibeelnombredediagrama de cuerpo libreoaislado.Parapro-blemasdondeseinvolucramásdeunobjeto,sedebetrazarundiagramadecuerpolibreparacadaunodeellos.
6. AplicalasegundaleydeNewton,SF=ma,enlafor-madecomponentesyresuelvelasecuacionesqueresulten;estoes:
∑ = ∑ =F ma F ma;x x y y
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Tema 1 Leyes de Newton 183
Fuerza Símbolo Definición Dirección y sentido
Peso wFuerzadelargoalcanceproducidaporlaatraccióngravitacionalentredosobjetos,unodeellosdegran
masa;porloregular,laTierrayunobjeto.
VerticalhaciaabajoyhaciaelcentrodelaTierra.
a)
w
m
b)
w
w
c)
Normal N Fuerzadecontactoqueejercelasuperficiesobreunobjeto.
Perpendicularyhaciafueradelasuperficie
a)
b)
N
N900
Fricción cinética fk
Fuerzadecontactoqueseoponealdeslizamientodeunobjetosobreunasuperficie.
Paralelaalasuperficieyopuestaalmovimiento.
Movimiento
Movimientoa)fk
Movimiento
Movimiento
frk
f rk
f rk
b)
c)
d )
Debidoaquelaaceleraciónqueexperimentaunob-jetosedebealafuerzanetadelconjuntodefuerzasqueseejercensobreél,esimportantesabercómodeterminarla
fuerzaneta.Elsiguientecuadrotepermitiráidentificarlostiposdefuerzasmáscomunes:
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184 Física I
Fuerza Símbolo Definición Dirección y sentido
Tensión T Tirónejercidoporunresorte,cuerdaocablecuandoestáunidooatadoaunobjetoysetensiona.
Haciafueradelobjetoyparalelaalresorte,cuerdaocableenel
puntodeunión.
a) b)
TT T
w
T1 T2
c)
Empuje F Términogeneralquesedaalasfuerzasquemuevenobjetos,talescomoautos,avionesypersonas.
Enlamismadirecciónysentidodelobjetocontracualquierfuera
resultante.
Ejemplo 3.3 (Movimiento horizontal) Cal-culalamagnituddelafuerzanetaquesedebeaplicarsobreunobjetode10kgparaquesemuevaconunaaceleraciónde1.4m/s2.
Solución
Fn=maFn =10kg(1.4m/s2)Fn=14N
m Fn
Movimiento
Ejemplo 3.4 Calculalamagnituddelafuerzaho-rizontalquesedebeaplicarsobreunobjetode10kgparaquesedesliceconvelocidadconstantesobreunasuperficiehorizontal.Elcoeficientedefriccióncinéti-coes0.20.
SoluciónPrimerodebemostrazareldiagramadecuerpolibre.
fk
N
w
F
fk F
N
w
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Tema 1 Leyes de Newton 185
DeacuerdoconlasegundaleydeNewton,enelejey:
SFy =may
SFy=0
N - w=0
N = w
N =mg
N =10kg(9.80m/s2)
N =98.0N
Redondeamosadoscifrassignificativasparaobtener:
N=98N
DeacuerdoconlasegundaleydeNewton,eneleje x:
SFx=max
F-fk=ma
Luego:
F=0+ fk
F=fk
F=mkN
F=0.20(98N)
F=19.6 N
Redondeamosadoscifrassignificativasparaobtener:
F=20 N
Ejemplo 3.5 Sobre un objeto de 18.0 kg que sedesliza sobre una superficie horizontal se aplica unafuerzade40.0Na30° con lahorizontal.Calcula laaceleracióndelobjetosielcoeficientedefricciónci-néticoesde0.10.
SoluciónDiagramadecuerpolibre.
fk
fk
N
N
w
w
F
Fx
Fy
30°
fk
fk
N
N
w
w
F
Fx
Fy
30°
DeacuerdoconlasegundaleydeNewton,enelejey:SFy=0
N + Fy - w=0Luego:
N=w - Fy
Donde:Fy=Fsenq
Porlotanto:N=mg-Fsenq,N =18.0kg(9.80m/s2)-40.0sen30°N=156.4
Redondeamostrescifrassignificativasparaobtener:
N=156N
DeacuerdoconlasegundaleydeNewton,paraelejex:SFx=max
Fx-fk=ma
Luego:
=−
aF fmx k
Donde:
Fx =F cosq y fk =mkN
Porlotanto:
a =F cos μkN
m
a = 40.0N(cos30o ) 0.10(156N)18.0 kg
a = 1.05m s2
Redondeamosadoscifrassignificativasparaobtener:
a=1.0m/s2,otambién:a=1.1m/s2
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186 Física I
ActividAdes de AprendizAjeEnlossiguientesejercicios,consideraqueg=9.80m/s2
1. Unafuerzanetade120Nactúasobreunobjetode30kg.Calculalamagnituddelaaceleracióndelobjeto.a) 0.25m/s2
b) 4.0m/s2
c ) 4.5m/s2
d ) 5.0m/s2
b) 4.0m/s2
2. CalculalafuerzadeatraccióngravitacionalqueejercelaTierrasobreunobjetode15.0kg.a) 145Nb) 140Nc) 138Nd) 147N
d) 147N
3. Calculaelpesodeunapersonade20.0kg.a) 150Nb) 185Nc ) 196Nd ) 190N
c) 196N
4. Calculaelpesodeunobjetode40.0kg.a) 392Nb) 390Nc ) 295Nd ) 400N
a) 392N
5. Elpesodeunapersonaesde687N.CalculasumasasiestuvieraenlaLuna(gL=1.62m/s2).a) 75.6kgb) 424kgc ) 68.5kgd ) 70.1kg
d) 70.1kg
6. Unafuerzaneta30Naceleraunobjetoarazónde5.0m/s2.Determinasupeso.a) 55Nb) 60Nc ) 54Nd ) 59N
d) 59N
LibertadDigital (2015)
Tema 1 Leyes de Newton 187
7. Unafuerzanetade16.0Naceleraunobjetoarazónde1.6m/s2. Calculalafuerzaquesedebeaplicarparaqueseacelerearazónde2.0m/s2.a) 15Nb) 20Nc ) 19Nd ) 25N
b) 20N
8. Unobjetode10kgseencuentraenrepososobreunasuperficiehorizontal.a) Siseleaplicaunafuerzahorizontalde30Nyno
semueve,determinalamagnituddelafricciónestática.a) 0Nb) 98Nc ) 30Nd ) 40N
c) 30N
b) Siseleaplicaunafuerzahorizontalde75N,determinasielobjetosemueve.ms=0.82.a) Nosemueveb) Sísemueve
9. Seejerceunafuerzahorizontalde30.0Nsobreunacajade12.0kgyéstasedeslizaconvelocidadconstantesobreunasuperficiehorizontal.Determinaelcoeficientedefriccióncinético.a) 0.201
F = 30 N12.0 kgb) 0.304c ) 0.283d ) 0.255
d) mk=0.255
LibertadDigital (2015)
188 Física I
10. Sobreunbloquede20.0kgquesedeslizasobreunasuperficiehorizontal,seleaplicaunafuerzaparalelaalasuperficiede100N.Calculalaaceleracióndelbloquesielcoeficientedefriccióncinéticoesde0.350.
20.0 kg F = 100 N
10.0 kg F = ?
a) 1.57m/s2
b) 1.40m/s2
c ) 1.65m/s2
d ) 2.00m/s2
a) 1.57m/s2
11. Unacajade10.0kgsedeslizasobreunasuperficiehorizontalconunaaceleraciónde1.20m/s2porlaaccióndeunafuerzaparalelaalasuperficie.Sielcoeficientedefriccióncinéticoesde0.320,determinalamagnituddelafuerza.
20.0 kg F = 100 N
10.0 kg F = ?a) 52.3Nb) 48.5Nc ) 43.4Nd ) 40.8N
c) 43.4N
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Tema 1 Leyes de Newton 189
12. Unbloquede7.0kgsedeslizahorizontalmenteconvelocidadconstanteporlaaccióndeunafuerzaparalelaalasuper-ficiede26N.Calculaelcoeficientedefriccióncinético.
F7.0 kg
10.0 kg
F
30°
a) mk=0.38b) mk=0.27c ) mk=0.32d ) mk=0.30
a) mk=0.38
13. Unaboladebolicheselanzaconunavelocidadinicialde6.0m/syrueda30msobreunasuperficiehorizontalantesdedetenerse.Determinaelcoeficientedefricciónporrodadura.
Movimiento
fk
a) 0.025b) 0.032c ) 0.061d ) 0.042
c) 0.061
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190 Física I
14. Unbloquede10.0kgsedeslizasobreunasuperficiehorizontalporlaaccióndeunafuerzade50.0Ninclinada20°conlahorizontal.Sielcoeficientedefriccióncinéticaes0.400,calculalaaceleracióndelbloque.
m = 10.0 kg
F = 50.0 N
20°
a) 1.46m/s2
b) 1.2m/s2
c ) 1.40m/s2
d ) 1.90m/s2
a) 1.46m/s2
15. Unbloquede10.0kgsedeslizasobreunasuperficiehorizontalporlaaccióndeunafuerzade40.0Na30°conrespectoalahorizontal.Sielcoeficientedefriccióncinéticoes0.200,calculalaaceleración.
F7.0 kg
10.0 kg
F
30°
a) 1.90m/s2
b) 1.75m/s2
c ) 1.80m/s2
d ) 1.98m/s2
a) 1.90m/s2
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Tema 1 Leyes de Newton 191
Ejemplo 3.6 (Plano inclinado) Unbloquede8.0kgsemuevehaciaarribasobreunplanoinclinado30°conrespectoalahorizontaldebidoalaaccióndeunafuerzaparalelaalplano.Sielcoeficientedefric-cióncinéticoes0.35,resuelvelossiguientesproblemas:
a) Calculalamagnituddelacomponentewxdelpeso.
Solución
wy
N
wx
α
θ
wx
w
Comoq=a,entonces:
θω
ω=sen x
Luego:
ω θ ω
ω θ
ω
ω
( )
=
=
= °
=
mg
sen
sen
8.0 9.80m s sen30
39.2N
x
x
x
x
2
Redondeamosadoscifrassignificativasparaobtener:
ω = 39Nx
b) Calculalamagnituddelacomponentewydelpeso.
SoluciónDeacuerdoconlafiguraanterior:
θω
ω=cos y
Luego:
ω ω θ
ω θ
ω
ω
( )
=
=
= °
=
mg
cos
cos
8.0kg 9.80m s cos30
67.9N
y
y
y
y
2
Redondeamosadoscifrassignificativasparaobtener:
ω = 68Ny
c) Calculalamagnituddelafuerzanormal.
SoluciónDeacuerdoconlafiguraanterioryconlasegundaleydeNewtonenelejey,tenemos:
N x
wy
ω
ω
∑ =
− =
=
F
N
N
0
0
y
y
y
ω
ω
∑ =
− =
=
F
N
N
0
0
y
y
y
N=68N
d) Calculalamagnituddelafuerzadefriccióncinética.
Soluciónfk = μkN
fk = 0.35 68 N( )fk = 23.8 N
Redondeamosadoscifrassignificativasparaobtener:
fk=24N
e) Calculalamagnituddelafuerzaparalelaalplanoquehaciaarribasedebeejercersobreelbloqueparquesedesliceconunaaceleraciónde1.0m/s2
.
SoluciónDiagramadecuerpolibre:
N
wx
fk
Fx wy
wy
w
N
Fk
wx
θ
θ
Fk
900
LibertadDigital (2015)
192 Física I
N
wx
fk
Fx wy
wy
w
N
Fk
wx
θ
θ
Fk
900
DeacuerdoconlasegundaleydeNewton,paraelejex:
∑ =
=
= + +
= + +
F ma
F w f ma
F ma w f
F kg
– –
8.0 (1.0m s ) 39 N 24 N
x x
k k
x k
2
F=71N
Ángulo de reposo y deslizamiento uniformeCuando un objeto sobre un plano inclinado empieza adeslizarsehaciaabajoporlaaccióndesupeso,elánguloqueseformaporelplanoylahorizontalseconocecomoángulo de reposo.
Esteánguloserelacionaconelcoeficientedefricciónestáticocomosedemostraráacontinuación.
fs máx
N
wx = mg sen wy = mg cos
w = mg
θ
θ
θθ
Figura 3.16
Cuandoelbloqueempiezaadeslizarse, lamagnituddelacomponentedelpesoparalelaalplano,oseawx,debeser igual que la fuerza de fricción estática máxima, demodoque:
wx = fsMÁX
mg sen = μsN
mg sen = μsmg cos
Aldespejarmsresulta:
μs =sen cos
Portrigonometríasabemosque:
θθ
θ=sen cos
tan
Entonces:
ms=tanq
En lo sucesivo, al ángulo de reposo lo denotaremosporqr.
Delmismomodo,siparaunánguloquunobjetosobreun plano inclinado se desliza hacia abajo con velocidadconstante,podemosdemostrarque:
mk=tanqu
qusedenominaángulo de deslizamiento uniforme.
Ejemplo 3.7 Elángulodedeslizamientouniformedeunacaja colocada sobre la superficiedeunplanoinclinadoesde20°.Determinaelcoeficientedefric-cióncinético.
Solución
mk=tanqm
mk=tan20°
mk=0.3639
Redondeamosatrescifrassignificativasparaobtener:
mk=0.364
Ejemplo 3.8 Elángulodereposodeunobjetoco-locadosobrelasuperficiedeunplanoinclinadoesde30°.Determinaelcoeficientedefricciónestático.
Solución
ms=tanqr
ms=tan30°
ms=0.577
LibertadDigital (2015)
Tema 1 Leyes de Newton 193
ActividAdes de AprendizAje
1. Unacajade5.0kgsedeslizahaciaabajoporlaaccióndesupropiopesoporunplanoinclinadoa50°conlahorizon-tal.Sisuaceleraciónesde5.6m/s2,calculaelcoeficientedefriccióncinético.
5.0 kg
50°
a) 0.20b) 0.18c ) 0.30d ) 0.40
c) mk=0.30
2. Elángulodereposodeunobjetocolocadosobreunatablaesde38°.Determinaelcoeficientedefricciónestáticoentrelassuperficiesencontacto.
20.0 k
g
40°
a) ms=0.45b) ms=0.78c ) ms=0.60d ) ms=0.65
b) ms=0.78
3. Unesquiadorde70.0kgsedeslizahaciaabajoporlaaccióndesupropiopesoporunapendientede36°.Sielcoefi-cientedefriccióncinéticoes0.140,determinalaaceleracióndelesquiador.
a) 4.65m/s2
b) 4.04m/s2
c ) 3.85m/s2
d ) 5.00m/s2
a) 4.65m/s2
LibertadDigital (2015)
194 Física I
4. Elángulodedeslizamientouniformedeunacajademetalsobreunatabladerobleesde26°.Determinaelcoeficien-tedefriccióncinéticoentrelassuperficies.a) 0.40b) 0.29c ) 0.49d ) 0.42
c) 0.49
5. Unobjetode20.0kgsedeslizahaciaabajoporlaaccióndesupropiopesoporunplanoinclinadoa40°conlahori-zontal.Determinalaaceleracióndelbloquesielcoeficientedefriccióncinéticoes0.240.
20.0 k
g
400
a) 5.20m/s2
b) 4.50m/s2
c ) 4.00m/s2
d ) 5.42m/s2
b) 4.50m/s2
6. Unbloquede30.0kgestásobreunplanoinclinadode28°conlahorizontal.Sielcoeficientedefriccióncinéticoentrelassuperficiesencontactoesde0.200,calculalamagnituddelafuerzaparalelaalplanoqueserequiereaplicarsobreelbloqueparaque:a) Elbloquesubaconvelocidadconstante.
F
28°
a) 200Nb) 190Nc ) 182Nd ) 205N
b) 190N
LibertadDigital (2015)
Tema 1 Leyes de Newton 195
b) Elbloquesubaconunaaceleraciónde1.60m/s2.a) 238Nb) 250Nc ) 225Nd ) 220N
a) 238N
7. Unobjetode10.0kgestásobreunplanoinclinadoa15°conrespectoalahorizontal.Sielcoeficientedefriccióncinéticoes0.200,determinalafuerzaparalelaalplanoquesedebeaplicarsobreelobjetoparaque:a) Elobjetosubaconvelocidadconstante.
a) 44.3Nb) 40.0Nc ) 49.5Nd ) 50.0N
a) 44.3Nb) Elobjetosubaconunaaceleraciónde2.00m/s2.
a) 60.0Nb) 69.5Nc ) 64.3Nd ) 70.0N
c) 64.3N
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196 Física I
Movimiento de objetos que cuelgan del extremo de una cuerda o cable
Ejemplo 3.9 Siunobjetode4.0kgcuelgadelex-tremodeunacuerda,calcula:
a) Latensiónenlacuerdasielobjetosubeconunaaceleraciónde0.80m/s2.
Solución
4 kg
Sise jalauncuerpopormediodeuncableocuerdaatadaounidaaél,éstaejerceunafuerzasobredichocuerpoque actúahacia fuerade él y esparalela a lacuerdaenelpuntodeunión.Lamagnituddeestetipodefuerzassellamatensiónyserepresentageneralmen-teporlaletraT.Diagramadecuerpolibre:
T
w
T
w
Siconsideramosladirecciónpositivahaciaarriba,deacuerdoconlasegundaleydeNewtonresulta:
SFy=may
T–w = maT = ma + wT = ma + mgT=m(a + g)T =4.0kg(0.80m/s2+9.80m/s2)T =42.4N≈42N
b) Calculalatensiónenlacuerdasisubeconveloci-dadconstante.
T
w
SFy=may
SFy=0T-w = 0T=wT=mgT=4.0kg(9.80m/s2)T=39.2N≈39N
c) Latensiónenlacuerdasibajaconunaaceleraciónde0.80m/s2.
Solución
direcciónpositiva delmovimiento
T
w
SiconsideramosladirecciónpositivadelmovimientohaciaabajoydeacuerdoconlasegundaleydeNewtontenemos:
SFy=may
w–T= ma
Luego:w –ma =T
T=mg-maT=m(g–a)T=4.0kg(9.80m/s2–0.80m/s2)T=36N
Ejemplo 3.10 Jorgepesa50.0kgyestáparadoso-breunabalanzaderesorte.Determinalalecturadelabalanza.
LibertadDigital (2015)
Tema 1 Leyes de Newton 197
SoluciónLasiguientefiguranosmuestralasfuerzasqueactúansobreJorge.
N = Fr
x
w
N = Fr
w
La fuerzahaciaarribaqueejerce labalanza so-breJorgeeslafuerzadelresortey,dadoqueestáenreposo,deacuerdoconlasegundaleydeNewton,te-nemos:
Fres–w=0
Fres=w
Fres = mg
Fres =50.0kg(9.80m/s2)
Fres=490N
HemosdeterminadoquelamagnituddelafuerzadelresorteesigualalpesodeJorge;estosignificaqueunabalanzaderesortesmideelpesoynolamasa.SiJorgeestuvieraenlaLuna, lacompresióndelresorteseríadiferenteylalecturadelabalanzasería:
Fres=mgL
Fres =50.0kg(1.6m/s2)
Fres=80N
Nota:LaaceleracióndelagravedadenlaLunaesde1.6m/s2.
Peso aparenteImaginaqueestásparadosobreunabalanzaderesortesenunascensor.Mientraselascensorestéenreposootengauna velocidad constante, la lecturade la balanza corres-pondealamagnituddetupeso.
Si el ascensor se acelera, la lecturade labalanzanorepresentarátupesoreal.Estehecholodemostraremosacontinuación.
Primero supongamos que el ascensor sube con unaaceleraciónconstantea.
DeacuerdoconlasegundaleydeNewton,tenemos:
Fr
w
direcciónpositiva delmovimiento
SFy=ma
Fres-w=ma
Fres=ma+w
Fres = ma +mg
Fres =m(a+g)
Deacuerdoconlaexpresiónanterior,lalecturadelabalanzaindicaríaunafuerzamayorqueladetupeso;estosignificaqueelpesopresionamásfuertesobretuspies,osea,tesientesmáspesado.
Veamosquésucedesielascensorseacelerauniforme-mentehaciaabajo.
DeacuerdoconlasegundaleydeNewton,tenemos:
direcciónpositiva delmovimiento
Fr
w
SFy=ma
w - Fres=ma
w - ma =Fres
Fres = mg -ma
Fres =m(g-a)
Deacuerdoconlaexpresiónanterior,lalecturadelabalanzaesmenorquelamagnituddetupeso,porloquetesentirásmásligero.
Alafuerzaejercidaporunabalanzaderesortessobreunapersonauobjetocuandoelascensorestáacelera-doselellamapeso aparente.
Imagina ahoraque el cableque sostiene el ascensorserompe.Enestasituación,labalanzacontigosobreella
LibertadDigital (2015)
198 Física I
aceleraríacona=-g.Deacuerdoconlasoluciónobtenidacuandoelascensorsube,tenemos:
Fres =m(g+a)
Fres = 0
Cuandoelcabledelascensorserompe,lalecturadelabalanzaindicaríacero;osea,tupesoaparenteseríaceroypo-dríamosdecirqueestásingrávido,estosignificaquenoexis-tenfuerzasdecontactoempujandosobreti;sinembargo,deningunamanerasignificaquetupesoseademagnitudcero.
AcontinuaciónresolveremosproblemasdeaplicacióndelasegundaleydeNewtoncondosobjetos.Estetipodeproblemas se resuelven trazandoundiagramadecuerpolibreparacadaobjetoydespuésseaplicalasegundaleydeNewtonparacadaunodeellos.
Ejemplo 3.11 En el sistema que se ilustra en lasiguientefigura,consideraquelamasadelacuerdaydelapoleasondespreciablesyquelasuperficiedelapoleasinotienefricción.
Si m1 = 20.0 kg, m2 = 10.0 kg y el coeficientede friccióncinéticoentreelbloquey la superficiees0.200,determinalaaceleracióndelsistemaylatensiónenlacuerda.
Si no se consideran los efectos de la polea, lasmagnitudes de las tensiones en cada extremo de lacuerdasonigualesydadoquelosobjetosestánunidosporlamismacuerda,susaceleraciones,respectivamen-te,sondeigualmagnitud.
Diagramadecuerpolibreparalamasam1.
N
w
fk T
w20N
N
m1T
DeacuerdoconlasegundaleydeNewton,enelejey:
SFy=0
N – w1=0
N = w1
N = m1g
DeacuerdoconlasegundaleydeNewton,enelejex:
SFx=max
T-fk = ma
T - mkN=ma
T - mkmg=ma
T -0.200(20.0kg)(9.80m/s2)=(20.0kg)a
T-39.2N=20.0kga
DadoquedesconocemoslamagnituddeTydea,necesitamosotraecuaciónparacalcularsusvalores.
Apliquemos la segunda ley de Newton para elbloquedemasam2.
Diagramadecuerpolibreparam2.
T
w2
T
w2
m2
direcciónpositiva delmovimiento
SFy=ma
wk -T= ma
m2g -T =ma
10.0kg (9.80m/s2)- T =(10.0kg)a9.80N-T =10.0kga
Resolvamoselsistemadeecuacionesqueobtuvi-mosalaplicarlasleyesdeNewtonparaambasmasas.
T-39.2=20.0a–T+9.80=10.0a
Sumamosmiembroamiembroambasecuaciones:58.0N=30.0kga
LibertadDigital (2015)
Tema 1 Leyes de Newton 199
=a 58.0 N300 kg
a =1.96m/s2
Calculemosahoralamagnituddelatensión:T–39.2N=20.0aT =20.0kg(1.96m/s2)+39.2NT=78.4N
Ejemplo 3.12 Dosobjetosde4.0y5.0kg,respec-tivamente,estánatadosalosextremosdeunacuerdayéstasedeslizaporunapoleasinfricción.Silasmasasdelacuerdaydelapoleasondespreciables,determinalaaceleracióndelosobjetosylatensiónenlacuerda.
5.0kg
4.0kg
SoluciónSinoseconsideranlosefectosdelapolea,latensiónencadaextremodelacuerdaeslamisma,ycomolosobjetosestánunidosporlamismacuerda,lasmagni-tudesdesusaceleracionessondeigualmagnitud.
Debidoaladiferenciadelamagnituddelasma-sas,esobvioqueelobjetode5.0kgsemuevehaciaabajo,mientrasqueelde4.0kghaciaarriba.Aplique-moslasegundaleydeNewtonparacadaobjeto.
Diagramadecuerpolibreporelobjetode4.0kg.Seam1=4.0kg.
T1
w1
dirección positiva del
movimiento
m1=4.0 kg
w1
T1
Direcciónpositivadelmovimiento.
SFy=0T1 –w1= m1a
T1 –m1g = m1aT1 –m1a + m1g
Diagramadecuerpolibreparaelobjetode5.0kg.
T2
w2
dirección positiva del movimiento
5.0 kg
w2
T2
m2=
SFy=maw2 -T2= m2aw2 -m2a = T
T2 =m2g - m2a
DadoqueT1=T2,entonces:
m1a + m1g =m2g - m2a
m1a + m2a =m2g - m1g
a(m1 + m2) =g(m2 - m1)
( )=
−
+a
g m mm m
2 1
1 2
Porlotanto:
( )=
−
+a
9.80m s 5.0kg 4.0kg5.0kg 4.0kg
2
a=1.09m/s2
Redondeamosadoscifrassignificativasparaobtener:
a=1.1m/s2
Calculemosahoralatensiónenlacuerda.
T =m1a + m1g
T =4.0kg(1.1m/s2)+4.0kg(9.80m/s2)
T=43.6N
Redondeamosadoscifrassignificativasparaobtener:
T=44N
LibertadDigital (2015)
200 Física I
Ejemplo 3.13 Dos objetos están conectados porunacuerdademasadespreciablequecorresobreunapolea también de masa despreciable y sin fricción,comoloilustralafigura.
Sim1=6.00kg,m2=10.0kgyelcoeficientedefriccióncinéticoentreelobjetodemasam1ylasuper-ficieesde0.400,calculalaaceleracióndelsistema.
m1m2
Diagrama de cuerpo libre para el objeto de masa m1=6.00kg.
NT
wxwy
frk
300
T
w x
f r k
N
w yw
Calculemoslamagnituddewx, wy, N yfk.
wx=mgsenq
wx=6.00kg(9.80m/s2)sen30°
wx=29.4N
wy=mgcosq
wy=6.00kg(9.80m/s2)cos30°
w7=50.9N
DeacuerdoconlasegundaleydeNewton,enelejey:
SFy=0N-wy = 0N =wy
N=50.9N
Calculemosahora lamagnitudde la fricciónci-nética:
fk=mkNfk=0.400(50.9N)
fk=20.4N
Calculemos la magnitud de la aceleración. DeacuerdoconlasegundaleydeNewtonparaelejex:
SFx=maT-fk - wx = m1aT -20.4N-50.9N=6.00kgaT - 71.3N=6.00kga
T-71.3N=6.00kga
Dadoquedesconocemos lamagnituddeT ya,necesitamosotraecuaciónparacalculardichosvalores.Analicemoseldiagramadecuerpolibreparaelobjetode10.0kg.
DeacuerdoconlasegundaleydeNewton,paraelobjetodemasam2tenemos:
T
w2
direcciónpositiva
T
w2
m2
Comoelbloquesemuevehaciaabajo,entonces:w2-T=m2am2g - T= m2a10.0kg(9.80m/s2) - T =10.0kga98.0N- T =10.0kga
Resolvamosacontinuaciónelsistemadecaucio-nesobtenido.
T -71.3N=6.00kga-T +98.0N=10.0kga
Sumamosmiembroamiembroambasecuaciones:26.7N=16.0a
=a 26.7 N16.0 kg
a=1.67m/s2
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Tema 1 Leyes de Newton 201
ActividAdes de AprendizAje1. Calculalatensiónenelcabledeunelevadorde500kg,si:
a) Subeconunaaceleraciónde0.60m/s2.a) 5.2×103Nb) 4.9×103Nc ) 5.6×103Nd ) 4.6×103N
a) 5.2×103N
b) Bajeconunaaceleraciónde0.60m/s2.a) 5.2×103Nb) 4.9×103Nc ) 4.0×103Nd ) 4.6×103N
d) 4.6×103N
2. Calculalatensióndelcablequesostieneunelevadorde600kgsi:a) Subeconunaaceleraciónde0.800m/s2.
a) 5.35×103Nb) 6.45×103Nc ) 6.36×103Nd ) 7.05×103N
c) 6.36×103N
b) Bajaconunaaceleraciónde0.800m/s2.a) 5.40×103Nb) 5.25×103Nc ) 6.05×103Nd ) 5.05×103N
a) 5.40×103N
3. Unapersonade60.0kgestáparadasobreunabásculaderesorteenunascensor.Determinalalecturadelabásculacuando:a) Elascensorestáenreposo.
a) 600Nb) 570Nc ) 596Nd ) 588Ne) 0N
d) 588N
b) Elascensorsubeobajaconvelocidadconstante.a) 600Nb) 570Nc ) 596Nd ) 588Ne) 0N
d) 588N
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202 Física I
c ) Elascensorsubeconunaaceleraciónde1.00m/s2.a) 648Nb) 600Nc ) 528Nd ) 588N
a) 648N
d ) Elascensorbajaconunaaceleraciónde1.00m/s2.a) 648Nb) 600Nc ) 528Nd ) 588N
c) 528Ne) Elcablequesostieneelascensorserompe.
a) 600Nb) 570Nc ) 596Nd ) 588Ne) 0N
e) 0N
4. Unniñode20.0kgestáparadosobreunabásculaderesorteenunelevador.Determinasupesoaparentesi:a) Elelevadorsubeconunaaceleraciónde2.00m/s2.
a) 196Nb) 236Nc ) 250Nd ) 200N
b) 236N
b) Elelevadorbajaconunaaceleraciónde2.00m/s2.a) 151Nb) 149Nc ) 165Nd ) 156N
d) 156N
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Tema 1 Leyes de Newton 203
c ) Elcablequesostieneelelevadorserompe.a) 196Nb) 156Nc ) 0Nd ) 236N
c) 0N
d ) Elelevadorsubeobajaconvelocidadconstante,oestáenreposo.a) 156Nb) 0Nc ) 196Nd ) 204N
c) 196N5. Dosmasasde4.0y9.0kg,respectivamente,estánatadasauncabledemasadespreciablequesedeslizaporunapolea
tambiéndemasadespreciableysinfricción.Determina:
9.0 kg4.0 kg
mov
a) Laaceleracióndelasmasas.a) 3.8m/s2
b) 3.0m/s2
c ) 4.5m/s2
d ) 3.2m/s2
a) 3.8m/s2
b) Latensiónenlacuerda.a) 54Nb) 50Nc ) 60Nd ) 58N
a) 54N6. Dosmasasde8.0y10.0kg,respectivamente,estánatadasauncabledemasadespreciablequesedeslizaporunapo-
leatambiéndemasadespreciableysinfricción.Determina:
10.0 kg
8.0 kg
a) Laaceleracióndelsistema.a) 1.1m/s2
b) 1.4m/s2
c ) 1.5m/s2
d ) 1.6m/s2
a) 1.1m/s2
b) Latensiónenelcable.a) 90Nb) 80Nc ) 87Nd ) 93N
c) 87N
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204 Física I
7. Dosmasasde10.0y12.0kg,respectivamente,estánatadasauncabledemasadespreciablequesedeslizaporunapoleatambiéndemasadespreciableysinfricción.Determina:
12.0kg
10.0kg
a) Laaceleracióndelosobjetos.a) 0.750m/s2
b) 1.05m/s2
c ) 0.891m/s2
d ) 0.96m/s2
c) 0.891m/s2
b) Latensiónenelcable.a) 115Nb) 107Nc ) 112Nd ) 95N
b) 107N
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Tema 1 Leyes de Newton 205
8. Dosobjetosestánatadosauncabledemasadespreciablequesedeslizaporunapoleatambiéndemasadespreciableysinfricción.Sim1=14.0kg,m2=10.0kg,q=20°yelcoeficientedefriccióncinéticoentrelassuperficieses0.200,determinalaaceleracióndelosobjetosylatensiónenlacuerda.
m1 m2
1m
a) Aceleracióna) 1.20m/sb) 1.30m/sc ) 1.05m/sd ) 1.35m/s
c) 1.05m/s
b) Tensiónenlacuerdaa) 90.0Nb) 82.3Nc ) 87.5Nd ) 80.0N
c) 87.5N
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206 Física I
9. Enelsistemaqueilustralafigura,consideradespreciableslamasadelapoleaydelacuerda.Asimismo,tomaencuentaquelasuperficiedelapoleaessinfricción.Sim1=16.0kg,m2=12.0kgyelcoeficientedefriccióncinéticoentreelobjetodemasam1ylasuperficiees0.400,determinalaaceleracióndelosobjetosylatensiónenlacuerda.
m1
m2
a) Aceleracióna) 1.96m/s2
b) 2.40m/s2
c ) 1.50m/s2
d ) 2.60m/s2
a) 1.96m/s2
b) Tensiónenlacuerdaa) 90.0Nb) 88.0Nc ) 98.5Nd ) 94.1N
d) 94.1N
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Tema 1 Leyes de Newton 207
La fuerza centrípeta en el movimiento circular uniformeCuandouncuerposemueveconmovimientocircularuni-forme,experimentauncambioenladireccióndesuvelo-cidad,osea,unaaceleracióndirigidahaciaelcentrodeuncírculo.Porestarazón,debehaberunafuerzaquelopro-duzcayprovoquequeelmóvilsigaunatrayectoriacircular.Estafuerzaesladenominadafuerza centrípeta,lacualestádirigidaalcentrodelcírculo.DeacuerdoconlasegundaleydeNewton,sumagnitudestádadaporlaexpresión:
F=mac
=F mvr
2
Cuandounobjetosedesplazaenmovimientocircular,esimportanteidentificarelagentequeproducelafuerzacentrípeta.Porejemplo,lafuerzaquemantienealaLunayaunsatéliteenórbitaalrededordelaTierraeslafuerzagravitacionalqueejercenuestroplanetasobreellos.Siunobjeto atado a un extremodeuna cuerda semueve conmovimiento circular uniforme, la fuerza centrípeta es laqueejercedichacuerdasobreelobjeto.
Silafuerzacentrípetaqueactúasobreunobjetodes-aparece, ésta ya no semoverá siguiendo una trayectoriacircular,sinoalolargodeunalínearectatangentealcírcu-loenelpuntodondesedejódeejercerlafuerza.
Ejemplo 3.14 Unobjetode0.200kgseataalex-tremode una cuerda de 0.60mde largo y se hacegirarcon rapidezconstante.Sigira20 revolucionesen10segundos,calculalamagnituddelafuerzacen-trípeta.
Solución
F=mac
=F mvr
2
Dadoquen=r w,entonces:
ω
ω
ω
π
( )=
=
=
=
Fm rr
F mrr
F mr
F mr f(2 )
c
c
c
2
2 2
2
2
Dondelafrecuenciafestádadapor
f r2010s
2.0 Hzω= =
Luego,
Fc = 0.200kg .60( ) 2 2.0Hz( ) 2= 18.9
Al expresar el resultado con dos cifras significativasqueda:Fc=19N.
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208 Física I
ActividAdes de AprendizAje
1. Seataunobjetode1.40kgaunacuerdade0.800mdelargoysehacegirarenuncírculohorizontalconrapidezconstante.Sigira6revolucionesen4.0segundos,calculalamagnituddelafuerzacentrípeta.a) 90Nb) 85Nc ) 89Nd ) 99N
d) 99N
2. Seataunobjetode0.20kgaunacuerdade0.60mdelargoysehacegirarenuncirculohorizontalconrapidezcons-tante.Sigiraarazónde240rpm(revolucionesporminuto),determinalamagnituddelafuerzacentrípeta.a) 80Nb) 76Nc ) 70Nd ) 82N
b) 76N
3. Determinalamagnituddelafuerzacentrípetaparamantenerunaesferade4.0kgmoviéndoseenuncírculohorizon-talde1.8mderadioconunarapidezconstantede6.0m/s.a) 75Nb) 80Nc ) 88Nd ) 85N
b) 80N
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Tema 1 Leyes de Newton 209
4. Unapiedrade0.40kgseataalextremodeunacuerdade0.80mdelargoysehacegirarconrapidezconstante.Sigiraarazónde72rpm(72revolucionesporminuto) determinalamagnituddelafuerzacentrípeta.a) 23Nb) 16Nc ) 21Nd ) 18N
d) 18N
5. Determinalamagnituddelafuerzacentrípetanecesariaparamanteneraunpatinadorde80.0kgmoviéndoseconunarapidezconstantede4.00m/ssobreunapistacircularde8.00mderadio.a) 160Nb) 180Nc ) 150Nd ) 170N
a) 160N
6. Elaboraunlistadodeobjetosqueseencuentranenreposooenmovimientodemanerapermanenteotemporalentuentorno.
Objetos en reposo Objetos en movimiento
7. Elaboraunreportequecontengalasvariablesconsideradasimportantesparacomprenderyanalizarelestudiodelascausasqueoriginanelreposoyelmovimientodeloscuerpos.
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210 Física I
8. Dibujaeldiagramadecuerpolibredelossiguientescuerposenmovimiento.
a) Fm
Sin considerar la fricción. Diagramadecuerpolibre
Considera la fricción.Diagramadecuerpolibre
b)
F
m θ
Sin considerar la fricción. Diagramadecuerpolibre
Considera la fricción.Diagramadecuerpolibre
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Tema 1 Leyes de Newton 211
9. Dibujaeldiagramadecuerpolibredelasmasasquesemuestranenlassiguientesfiguras.a) Elobjetosedeslizaporlaaccióndesupropiopesohaciaabajo.
m
θ
Sin considerar la fricción. Diagramadecuerpolibre
Considera la fricción.Diagramadecuerpolibre
b) ElobjetosubeporunplanoinclinadoporlaaccióndeunafuerzaFparalelaatalplano.
m
F
θ
Sin considerar la fricción. Diagramadecuerpolibre
Considera la fricción.Diagramadecuerpolibre
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212 Física I
10. Dibuja,considerandolafricción,eldiagramadecuerpolibreparalasmasasdelassiguientesfiguras.
a)
m1m1 m2
Diagramadecuerpolibredelcuerpodemasam1
Diagramadecuerpolibredelobjetodemasam2
b)
m
Diagramadecuerpolibre
c)
m2
m1
m >2 m1
Diagramadecuerpolibredelcuerpodemasam1
Diagramadecuerpolibredelobjetodemasam2
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Tema 1 Leyes de Newton 213
d) m1
m2
(consideralafricción).Diagramadecuerpolibredelobjetodemasam1 Diagramadecuerpolibredelobjetodemasam2
11. Realizaunaactividaddondesepuedanobservarydemostrarlasleyesdeladinámica.
Escribelaletraquecorrespondaalarespuestacorrecta.
1. ( )Estudiaelmovimientodeloscuerposatendiendolascausasqueloproducenomodifican.a) Estadísticab) Cinemáticac ) Dinámicad ) Termodinámica
2. ( )Estodoaquellocapazdecambiarelestadodemovi-mientodeunobjetoodedeformarlo.a) Aceleraciónb) Masac ) Inerciad ) Fuerza
3. ( )Fuerzadeatracciónqueexisteentredosobjetosporelsimplehechodetenermasa.
a) Fuerzanuclearfuerteb) Fuerzagravitacionalc ) Fuerzaelectromagnéticad ) Fuerzanucleardébil
4. ( )Propiedadque tienen losobjetosde resistirse auncambioensuestadodereposoodemovimientoconvelo-cidadconstante.a) Pesob) Inerciac ) Fricciónd ) Ingravidez
5. ( )Eslamedidacuantitativadelainercia.a) Masab) Pesoc ) Aceleraciónd ) Fuerza
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214 Física I
6. ( ) “Un objeto en reposo o en movimiento con velo-cidadconstantepermaneceráenreposooconvelocidadconstanteamenosquesobreélactúeunafuerzanetanoequilibrada.”Eselenunciadode:a) Laleydelagravitaciónuniversal.b LaterceraleydeNewton.c ) LaprimeraleydeNewton.d ) LasegundaleydeNewton.
7. ( )“Cuandounafuerzanetanoequilibradaactúasobreunobjeto,laaceleracióndelobjetoesdirectamentepro-porcionalalafuerzanetaeinversamenteproporcionalalamasa.”Eselenunciadode:a) Laleydelagravitaciónuniversal.b) LaprimeraleydeNewton.c ) LasegundaleydeNewton.d ) LaterceraleydeNewton.
8. ( )Unidaddefuerzaquesedefinecomolafuerzaqueaplicadasobreunamasade1kgleproduceunaacelera-ciónde1m/s2.a) Jouleb) Ergioc ) Dinad ) Newton
9. ( )Nombredelafuerzadeatraccióngravitacionalqueejercesobreunobjetootrodegranmasa,comolaTierra.a) Fuerzanormalb) Fuerzacentrípetac ) Masad ) Peso
10. ( )“Atodafuerzadeacciónlecorrespondeotradere-accióndeigualmagnitudperoensentidocontrario.”Eselenunciadode:a) Laleydelagravitaciónuniversal.b) LaprimeraleydeNewton.c ) LaterceraleydeNewton.d ) LasegundaleydeNewton.
11. ( )Fuerzaqueejerceunasuperficiesobreunobjetoqueestá sobreella.Actúa siempreperpendicularmentea lasuperficiequelaproduce.a) Pesob) Centrípetac ) Normald ) Fricción
12. ( )Lasfuerzasdeacciónyreacciónactúan:a) Sobreunmismoobjeto.b) Sobreobjetosdiferentes.Tienenlamismamagnitud,
direcciónysentido.c ) Sobreobjetosdiferentes.Tienenlamismamagnitud,
direcciónysentidocontrarios.
13. ( )LamasadeunastronautaqueestáenlaTierraesde80kg.¿CuálseríasumasasiestuvieraenlaLuna?LaaceleracióndelagravedadenlaLunaes 1
6 delaacelera-cióndelagravedadenlaTierra.a) 785Nb) 80kgc ) 131Nd ) 480N
14. ( )LamasadeunapiedraqueestáenlaTierraesde15.0kg.¿CuálseríasupesosiestuvieraenlaLuna?Re-cuerdaquegL= 1
6gT .
a) 15.0kgb) 147Nc ) 24.5Nd ) 882N
15. ( )Fuerzadefricciónqueimpideelmovimientorelati-voentrelassuperficies.a) Fricciónrotacionalb) Viscosidadc ) Friccióncinéticad ) Fricciónestática
16. ( )Fuerzadefricciónqueseoponealdesplazamientoentrelassuperficiesencontacto.Actúaenlamismadi-recciónqueelmovimientoperoensentidocontrario.a) Fricciónestáticab) Friccióncinéticac ) Fricciónrotacional
17. ( )Es la razónde lamagnitudde la fricciónestáticamáximayladelafuerzanormal.a) Coeficientedefriccióncinético.b) Coeficientedefricciónestático.c ) Coeficientederotación.
18. ( )Eslarazóndelamagnituddelafuerzadefricciónporeldeslizamientoylafuerzanormal.a) Coeficientedefricciónestática.b) Coeficientedefriccióncinético.c ) Coeficientederotación.
19. ( )Unobjetoestáenestadodeingravidezcuando:a) Supesoaparenteesmayorquesupesoreal.b) Supesoaparenteesmenorquesupesoreal.c ) Supesoaparenteesceroporqueestáencaídalibre.
20. ( )Sobreunbloquede8.0kgseejerceunafuerzanetade20N.Calculalaaceleracióndelobjeto.a) 160m/s2
b) 0.4m/s2
c ) 2.0m/s2
d ) 2.5m/s2
21. ( )Unobjetoseaceleraarazónde6.0m/s2porlaac-cióndeunafuerzanetade30N.Calculalamagnitudde
LibertadDigital (2015)
Tema 1 Leyes de Newton 215
lafuerzanetaqueseejercesobreelobjetosisuacelera-ciónesde4.0m/s2.a) 18Nb) 16Nc ) 20Nd ) 24N
22. ( )Unobjetode20kgsemuevesobreunasuperficiehorizontalconunaaceleraciónde0.75m/s2porlaacciónde una fuerza paralela a la superficie. Si el coeficientedefriccióncinéticaes0.20,determinalamagnituddelafuerza.a) 54Nb) 39.2Nc ) 46Nd ) 60N
23. ( )Sobreunobjetode5.0kgseaplicaunafuerzade20Ninclinada20°respectoalahorizontal.Sielobjetosemuevesobreunasuperficiehorizontalconvelocidadconstante,determinaelcoeficientedefriccióncinético.a) 0.30b) 0.21c ) 0.44d ) 0.50
24. ( )Unobjetode40.0kgsemuevesobreunasuperficiehorizontalporlaaccióndeunafuerzade100Ninclinada30°respectoalahorizontal.Sielcoeficientedefriccióncinéticoes0.120,determinalaaceleracióndelobjeto.
F = 100 N
40.0 kg30º
a) 1.50m/s2
b) 2.10m/s2
c ) 1.35m/s2
d ) 1.14m/s2
Unbloque de 20.0 kg se desliza hacia abajo por un planoinclinadode28° con respecto a lahorizontal.Contesta laspreguntas25y26.
20.0 kg
28°
25. ()Calculalaaceleracióndelbloquesiseconsideranulalafricción.
a) 3.0m/s2
b) 4.60m/s2
c ) 4.05m/s2
d ) 5.20m/s2
26. ( )Calculalaaceleracióndelbloquesielcoeficientedefriccióncinéticoes0.28.a) 1.70m/s2
b) 2.18m/s2
c ) 3.40m/s2
d ) 1.96m/s2
Unacajade8.00kgseencuentrasobreunplanoinclinado40°respectoalahorizontal.Contestalaspreguntas27y28.
27. ( )Calcula lamagnituddelafuerzaparalelaalplanoquesedebeejercersobrelacajaparaquesubaconve-locidadconstante.Elcoeficientedefriccióncinéticaes0.400.a) 61.6Nb) 50.4Nc ) 74.4Nd ) 85.6N
28. ( )Calcula lamagnituddelafuerzaparalelaalplanoquesedebeejercersobrelacajaparaquesubaconunaaceleraciónconstantede1.40m/s2.a) 89.6Nb) 50.4Nc ) 74.4Nd ) 85.6N
Calculalatensióndelcabledeunelevadorde500kgsi:
29. ( )Elelevadorsubeconunaaceleraciónde0.60m/s2.a) 4.9×103
b) 5.2×103Nc ) 4.6×103Nd ) 5.8×103N
30. ( )Elelevadordesciendeconunaaceleraciónde0.60m/s2.a) 4.9×103Nb) 5.2×103Nc ) 4.6×103Nd ) 5.8×103N
31. ( )Elelevadorsubeobajaconvelocidadconstanteoestáenreposo.a) 4.90×103Nb) 5.20×103Nc ) 5.80×103Nd ) 6.40×103N
Dosmasasde4.0y7.0kg,respectivamente,estánatadasalosextremosdeunacuerdaquesedeslizaporunapoleasinfric-ción.Silasmasasdelapoleaydelacuerdasondespreciables,contestalaspreguntas32y33.
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216 Física I
32. ( )Determinalaaceleracióndelosobjetos.a) 1.4m/s2
7.0 kg
4.0 kg
b) 1.9m/s2
c ) 2.7m/s2
d ) 3.0m/s2
33. ( )Calculalatensiónenelcable.a) 50Nb) 46Nc ) 58Nd ) 62N
Unobjetode5.0kgestásobreunabásculaderesorteenunelevador.Contestalaspreguntas34-37.
34. ( )Determinalalecturadelabalanzacuandoeleleva-dorestáenreposoosemueveconvelocidadconstante.a) 0Nb) 49Nc ) 60Nd ) 40N
35. ( )Determinalalecturadelabalanzacuandoeleleva-dorsubeconunaaceleraciónde2.0m/s2(pesoaparentedelobjeto).a) 49Nb) 50Nc ) 59Nd ) 39N
36. ( )Determinalalecturadelabalanzacuandoelobjetobajaconunaaceleraciónde2.0m/s2(pesoaparentedelobjeto).a) 49Nb) 50Nc ) 59Nd ) 39N
37. ( )Determina el peso aparente del objeto si el cablequesostienealelevadorserompe.a) 49Nb) 0Nc ) 33Nd ) 59N
Dos objetos están atados por una cuerda de masa des-preciable que se desliza por una polea también de masadespreciableysinfricción,comoseilustraenlasiguientefigura.
Sim1=18kg,m2=20kg,q=50°yelcoeficientedefric-cióncinéticoentreelobjetodemasam1ylasuperficiees0.44,contestalaspreguntas38y39.
m1
= 18 kgm1
= 20 kgm2
38. ( )Calculalaaceleracióndelosobjetos.a) 0.29m/s2
b) 1.20m/s2
c ) 0.750m/s2
d ) 2.1m/s2
39. ( )Calculalatensiónenlacuerda.a) 1.8×102Nb) 1.7×102Nc ) 1.9×102Nd ) 2.1×102N
En el sistema que ilustra en la siguiente figura, consideraquelasmasasdelapoleaydelacuerdasondespreciables,asícomoquelasuperficiedelapoleasinopresentafricción.Sim1=20.0kg,m2=15.0kgyelcoeficientedefriccióncinéticoentrelassuperficieses0.250,contestalaspreguntas40y41.
m1
m2
40. Calculalaaceleracióndelosobjetos.a) 3.50m/s2
b) 2.80m/s2
c ) 3.65m/s2
d ) 1.90m/s2
41. Calculalatensiónenlacuerda.a) 105Nb) 120Nc ) 140Nd ) 125N
42. Una piedra de 0.400 kg se amarra al extremo de unacuerdade0.800mdelargoysehacegirarconrapidezconstante.Silapiedragira12.0revolucionesen8.00se-gundos,determinalamagnituddelafuerzacentrípeta.a) 28.4Nb) 36.5Nc) 20.8Nd) 40.4N
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Tema 1 Leyes de Newton 217
leyes de Kepler
fuerza de gravedad
ley de la gravitación universal
velocidad orbital
constante de gravitación universalLey de la gravitación universal
Tema 2
Leyes de KeplerHaciafinalesdelsigloxvi,elastrónomoTychoBraherea-lizó diversas investigaciones sobre elmovimiento de losplanetas.Tomando como referencia los resultados obte-nidos de sumaestro, JohannesKepler descubrió que lastrayectoriasdelosplanetasalrededordelSoleranelipses.Asimismo,demostróque losplanetasnosemuevenconuna rapidez constante, sino que tienen mayor rapidezcuandoestánmáscercadelSolquecuandoseubicanlejos.Finalmente, Kepler estableció una relación matemáticaentreelperiododeunplanetaysudistanciapromediores-pectoalSol.Keplerformulósusconclusionesentresleyesempíricasqueseenuncianacontinuación.
Figura 3.17 Tycho Brahe desarrolló instrumentos astronómicos que le permitieron crear un catálogo de más de 1000 estrellas. Johannes Kepler (en la ilustración) descubrió que las trayectorias de los planetas alrededor del Sol eran elipses.
Primera ley de KeplerTodoslosplanetassemuevenenórbitaelípticaconelSolsituadoenunodesusfocos.
Planeta
rp ra
rt2
P ASol
Figura 3.18 El punto P, donde el planeta está más cerca del Sol, se llama perihelio, y el A, donde el planeta está más lejos, afelio.
Segunda ley de KeplerLarectaimaginariaqueunecualquierplanetaconelSolbarreáreasigualesentiemposiguales.
∆t
∆tSol
Planeta
A1 = A2
Figura 3.19 Representación de la segunda ley de Kepler.
Tercera ley de KeplerElcuadradodelperiododecualquierplanetavaríaenfor-madirectamenteproporcionalconelcubodelradiodesuórbita,osea,conelcubodeladistanciapromedioquehaydeunplanetaalSol.
LaexpresiónmatemáticadelaterceraleydeKepleres:T 2=kr 3
Donde la constante de proporcionalidad k tiene elmismovalorparatodoslosplanetas.
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218 Física I
Ley de gravitación universalSibienlasleyesdeKeplerconstituyenunpasoimportanteenlacomprensióndelmovimientoplanetario,fueNewtonquiendescubriólanaturalezadelasfuerzasqueactúanenelmovimientodelosplanetas.Deacuerdoconlaleydelainercia,unobjetoenmovimientocontinuarámoviéndoseconmovimientorectilíneouniforme,amenosquesobreélactúeunafuerzanetaexternanoequilibrada.
Newtonsabíaquelosplanetassólosemoveríanenór-bitascasicircularessiexistiesealgunafuerzaqueprodujerasuaceleracióncentrípeta.
Lahistoriacuentaqueenciertaocasión,Newtonob-servócaerunamanzanadeunárboly sepreguntósi sucaídalibresedebíaalmismotipodefuerzaadistanciaquelaqueproducelaaceleracióncentrípetadelaLunaensuórbitaalrededordelaTierra.
Conbaseenestaidea,NewtoncalculólamagnituddelaaceleracióncentrípetadelaLunaensuórbitaalrededordelaTierra,considerandounaórbitaconmovimientocir-cularuniforme.
Newtonconocíalasiguienteinformación:
r=distanciapromediodelaTierraalaLuna=3.84×108m
T=periododelaLuna=27.3días= 2.36×106s.
Conbaseenestosdatos,calculólaaceleracióncentrí-petadelaLuna,representadapor:
=a vrc
2
Donde:
ac =2 rT
21r
ac =4 2r 2
rT 2
ac =4 2r 2
T 2
ac =4 3.14( )2
3.84 108m( )2.36 106s( )2
ac = 2.71 10 3 m s2
ac = 0.00271m s2
Después,Newtoncomparólamagnituddelaacelera-cióndelagravedadenlaTierraconlaaceleracióncentrí-petadelaLuna;estoes:
ga
ga
9.80 m s0.00271
3619
cL
cL
2
=
=
Observóqueg@(60)2veceslaaceleracióncentrípetadelaLuna;esdecir:
( )≅g a60 cL
2
ComparóademáselradiodelaTierraconelradiodelaórbitalunar;osea,ladistanciapromediodelaTierraalaLuna:
rT =radiodelaTierra
r =radiodelaórbitalunar
=×
×
=
=
rr
rr
r r
3.84 106.37 10
60
60
T
T
T
8
6
Conlosresultadosqueobtuvopensó:SilaaceleracióncentrípetadelaLunaes 1
60
2
vecesmenorquelaacelera-cióndelagravedaddelaTierrayladistanciadenuestroplaneta a laLuna es 60 vecesmayor que el radio de laTierra,entonceslaaceleracióncentrípetadelaLunaensuórbitaalrededordelaTierraydelosplanetasalrededordelSolesinversamenteproporcionalalcuadradodeladistan-ciaquelossepara;estoes:
αar1
c 2
NewtonatribuyólaaceleracióncentrípetadelaLunaensuórbitaalrededordelaTierraaunafuerzadeatracción(fuerzaadistancia)ejercidaporlaTierrasobrelaLuna.
EstafuerzaquelaTierraejercesobre laLunaesunejemplode la fuerzauniversal conocidacomo fuerza de gravedad.
Después,enlabúsquedadeunaexpresiónmatemáti-caquedeterminaralamagnituddelafuerzadegravedad,Newtonrelacionólaexpresiónacaαa d
1c 2consusegundaleydel
movimiento:FgamL Fg mL1d 2 .
Newton razonóque si la fuerza entre laTierra y laLunadependedelamasadeésta,entonces,deacuerdocon
LibertadDigital (2015)
Tema 2 Ley de la gravitación universal 219
su tercera leydelmovimiento, laLuna tienequeejerceruna fuerzade igualmagnitudydirecciónperoensenti-do contrario sobre laTierra.Por lo tanto, si lamasa delaLunaseduplicara,lafuerzagravitacionalentrelaTie-rra y laLuna se duplicaría. Si por el contrario, lamasade laTierraseduplicara, lafuerzagravitacionaltambiénseduplicaría.Silamasadeambosseduplicara,lafuerzagravitacional entreambos se cuadriplicaría.Por lo tanto,concluyóquelafuerzagravitacionalesdirectamentepro-porcionalalproductodesusmasas:
αFm mdgT L
2
NewtonasumióquelafuerzagravitacionalentredosobjetosactúasiempredelamismaformaqueentrelaTie-rraylaLuna.Apartirdeestesupuesto,finalmenteformu-lóelenunciandodelaleydelagravitaciónuniversal:
Ley de la Gravitación Universal
Todoobjetoeneluniversoatraeaotroconunafuer-zaqueesdirectamenteproporcionalalproductodesusmasaseinversamenteconelcuadradodeladis-tanciaentreloscentrosdesusmasas.
La expresiónmatemáticade la leyde la gravitaciónuniversales:
=F Gm md1 2
2
DondeGeslaconstantedeproporcionalidadyrecibeelnombredeconstante de gravitación universal.
CienañosdespuésdequeNewtonpublicarasutra-bajo,HenryCavendishencontró,pormediode la expe-rimentación, que el valor de la constante de gravitaciónuniversales:
G=6.67×10-11Nm2/kg2
AlconocerelvalordeGsepuedecuantificarlafuerzadeatraccióngravitacionalentredosobjetos.
Ejemplo 3.15 Determina la fuerza gravitacionalentredospersonasde60.0y90.0kg,respectivamente,siestánseparados20.0m.
Solución
FGmmd
F
F
F
6.67 10 N m kg (60.0kg)(90.0kg)(20.0m)
90.0 10 N
9.00 10 N
g
g
g
g
1 22
11 2 2
2
11
10
=
=×
= ×
= ×
−
−
−
FGmmd
F
F
F
6.67 10 N m kg (60.0kg)(90.0kg)(20.0m)
90.0 10 N
9.00 10 N
g
g
g
g
1 22
11 2 2
2
11
10
=
=×
= ×
= ×
−
−
−
Ejemplo 3.16 La fuerza gravitacional entre dosautomóvilesde800y1200kg,respectivamente,esde1.60×10-7N.Calculaladistanciaqueestánseparadossuscentros.
Solución
=FGm mdg
1 22
Al multiplicar ambos miembros de la ecuaciónanteriorpord 2obtenemos:
=F d Gm mg2
1 2Luego,
dGm mF
d
d
d
d
6.67 10 N m kg (800 kg)(1200 kg)1.60 10 N
400 m
400 m
20.0 m
g
2 1 2
211 2 2
7
2 2
2
=
=×
×
=
=
=
−
−
Cálculo de la masa de la TierraAlconocerel valorde la constantedegravitación,G, sepuedecalcularlamasadelaTierra,comoveremosacon-tinuación.
LafuerzaqueproducelacaídalibredeunobjetohacialaTierra es la fuerza de atracción gravitacional entre laTierrayelobjeto;estoes,elpeso.Dadoqueestafuerzaobedecelaleydegravitaciónuniversal,tenemos:
=
=
F w
G m mr
mg
g
T
T2
Donde:m=masadeunobjetocualquieramT=masadelaTierrarT=radiodelaTierrag=aceleracióndelagravedadenlaTierra
LibertadDigital (2015)
220 Física I
AldespejarmTenlaecuaciónanteriorresulta:
=mgrGm
mTT2
Luego:
=mgrGT
T
2
Sabemosquecercadelasuperficieterrestreelvalordelaaceleracióndelagravedades9.80m/s2;mientrasqueelra-diodelaTierraes(rT)=6.38×106m;porlotanto,
=×
×m 9.80 m s (6.38 10 m)
6.67 10 N m kgT
2 6 2
-11 2 2
Luego:= ×m 5.98 10 kgT
24
LamasadelaTierraes5.98×1024kg
AlconocerlamasadelaTierrasepuededeterminarlamagnituddelaaceleracióndelagravedad,yenconse-cuencia,elpesodeunobjetoencualquier lugarsobre lasuperficieterrestre.
Siunobjetodemasamselocalizaaunaalturahsobrelasuperficieterrestre,entonces:
hm
r
w = Fg
mg =G m mT(r + h)2
Al dividir ambos miembros de la ecuación anteriorentremresulta:
=+
gGmr h( )
T2
Ejemplo 3.17 Determina lamagnitudde la ace-leracióndelagravedada200.0kmsobrelasuperficieterrestre.
rT=6370kmmT=5.98×1024km
Solución
g =GmT
(r + h)2
Donde:r+h=6370km+200.0kmr+h=6570kmr+h=6570000mr+h=6.570×106km
=× ×
×
−
g 6.67 10 N m kg (5.98 10 kg)(6.570 10 m)
11 2 2 24
6 2
g=9.24m/s2
Ejemplo 3.18 Calculaelpesodeunobjetode20.0kgqueselocalizaa1000kmsobrelasuperficieterrestre.
Solución
=w mg
Donde:
g =GmTr + h( )2
g = 6.67 10 11N m2 kg2 (5.98 1024 kg)
(6370+1000) 1000 m2
g = 6.67 10 11N m2 kg2 (5.98 1024 kg)(7.37 106 m)2
g = 7.34 m s2
w = mg '
w = 20.0 kg 7.34 m s2( )w = 146.8 N
Redondeamosatrescifrassignificativasparaobtener:
w=147N
Velocidad orbitalAprenderemosahoraadeterminarlavelocidadorbitaldeunsatélite.
Ejemplo 3.19 Siun satélite está enórbita a250kmsobrelasuperficieterrestre,determina:
a) Suvelocidadorbital.
b) Superiodo.
LibertadDigital (2015)
Tema 2 Ley de la gravitación universal 221
SoluciónUnsatélitedelaTierraescualquierproyectilquegiraconmovimiento circular uniforme alrededor de ella.LafuerzagravitacionalqueejercelaTierrasobreelsa-téliteeslafuerzacentrípetaqueproducelaaceleracióncentrípetadelsatélite.
h m
h
v
Fg
FtFg
( )
( )
( )
( )
=
+=
+
=+
+
=+
=+
F F
mvr h
Gmm
r h
vGmm r h
r h m
vGmmm r h
vGmr h
( )
c g
T
T
T
T T
T
T
T
T
T
2
2
22
2
2
( )
( )
( )
( )
=
+=
+
=+
+
=+
=+
F F
mvr h
Gmm
r h
vGmm r h
r h m
vGmmm r h
vGmr h
( )
c g
T
T
T
T T
T
T
T
T
T
2
2
22
2
2
Donde:
( )+ = +
+ = = ×
= ×
=× ×
×
=×
= ×
=
−
− −
r h
r h
m
v
v
v
v
6370 250 km
6620 km 6.62 10 m
5.98 10 kg
6.67 10 N m kg (5.98 10 kg)(6.62 10 m)
6.67(5.98) 10(6.62)
m s
6.02 10 m s
7758.9 m s
T
T
T
6
24
211 2 2 24
6
224 11 6
2 2
2 7 2 2
Redondeamosatrescifrassignificativasparaob-tener:
n=7.76×103m/s
ActividAdes de AprendizAje
1. DeterminalafuerzagravitacionalentrelaTierraylaLuna.
mT=5.98×1024kgmL=7.35×1022kgd=3.8×108m
a) 2.0×1020Nb) 2.50×1020Nc ) 1.80×1020Nd ) 1.85×1020N
a) 2.0×1020N
LibertadDigital (2015)
222 Física I
2. Determinalafuerzagravitacionalentedosobjetosde80y60kg,respectivamente,ycuyoscentrosestánseparados4.0m.a) 1.5×10-8Nb) 1.7×10-8Nc ) 2.4×10-8Nd ) 2.0×10-8N
d) 2.0×10-8N
3. LafuerzagravitacionalentreelSolylaTierraes3.6×1022N.Calculaladistanciapromedioentreellos.
mT=5.98×1024kgms=2.0×1030kg
a) 1.3×1011mb) 1.7×1011mc ) 1.5×1011md ) 1.8×1011m
c) 1.5×1011N
LibertadDigital (2015)
Tema 2 Ley de la gravitación universal 223
4. Lafuerzagravitacionalentredosautosdeigualmasaes8.7×10-6Ncuandosuscentrosestánseparados5.0m.De-terminalamasadecadaauto.a) 1.6×103kgb) 1.8×103kgc ) 1.5×103kgd ) 1.9×103kg
b) 1.8×103N
5. Determinaelpesodeunobjetode100kgsi:a) EstáenlaTierra.
a) 1000Nb) 490Nc ) 980Nd ) 900N
c) 980N
b) EstáaunadistanciadelcentrodelaTierraigualadosve-ceselradiodeésta.a) 240Nb) 245Nc ) 238Nd ) 250N
b) 245N
LibertadDigital (2015)
224 Física I
c ) EstáaunadistanciadelcentrodelaTierraigualatresveceselradioésta.a) 109Nb) 120Nc ) 100Nd ) 116N
a) 109N
6. Siuntransbordadorespacialestáa600kmsobrelasuperficieterrestre,determina:a) Laaceleracióndelagravedadenellugardondese
localizaeltransbordador.
rT=6370;mT=5.98×1024kg
a) 8.00m/s2
b) 7.80m/s2
c ) 8.9m/s2
d ) 8.21m/s2
d) 8.21m/s2
b) Elpesodeunastronautade80.0kgqueestáeneltrans-bordador.a) 665Nb) 670Nc ) 657Nd ) 650N
c) 657N
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Tema 2 Ley de la gravitación universal 225
7. Unobjetode70.0kgestáa100kmsobrelasuperficieterrestre.Determina:a) Laaceleracióndelagravedadenellugardonde
estáelobjeto.
rT=6370kmmT=5.98×1024kg
a) 9.53m/s2
b) 9.00m/s2
c ) 9.70m/s2
d ) 9.40m/s2
a) 9.53m/s2
b) Elpesodelobjetoenellugardondeseencuentra.a) 686Nb) 667Nc ) 685Nd ) 660N
b) 667Nc ) LamasadelobjetosiestuvieraenlaTierra.
a) 65kgb) 80kgc ) 67kgd ) 70kg
d) 70kg
LibertadDigital (2015)
226 Física I
8. Siunsatéliteestáenórbitacirculara1000kmsobrelasuperficieterrestre,calculasuvelocidadorbital.
rT=6370kmmT=5.98×1024kgG=6.67×10-11Nm2/kg2
a) 8.24×103m/sb) 7.02×103m/sc ) 9.25×103m/sd ) 7.36×103m/s
d) 7.36×103m/s
9. LanaveespacialApoloVIIIdescribióunaórbitacirculara110kmsobrelasuperficielunar.Calculalavelocidadorbi-talconquegirólanave.
rL=1740kmmL=7.35×1022kgG=6.67×10-11Nm2/kg2
a) 1.63×103m/sb) 1.92×103m/sc ) 1.42×103m/sd ) 1.80×103m/s
a) 1.63×103m/s
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Tema 2 Ley de la gravitación universal 227
10. Untransbordadorespacialestáenórbitacirculara500kmsobrelasuperficieterrestre.Encuentrasuvelocidadorbital.
rT=6370kmmT=5.98×1024kgG=6.67×10-11Nm2/kg2
a) 8.10×103m/sb) 7.10×103m/sc ) 7.62×103m/sd ) 7.95×103m/s
c) 7.62×103m/s
ActividAdes de AprendizAje
Ley de la gravitación universal1. Elaboraunalíneadeltiempodelossucesoshistóricosmássobresalientesdelpensamientofilosóficoquesentólas
basesdelafísicaclásica.
2. ElaboraunanálisissobrelaconcepcióndelmovimientodeloscuerposquepropusieronAristóteles,CopérnicoyGa-lileoGalilei,ycomparaestasconcepcionesconlasprecolombinas.
LibertadDigital (2015)
228 Física I
3. RealizaunlistadodeconceptosylasconsideracionesmásimportantesparapoderentenderlaaplicabilidaddelaleydelaGravitaciónUniversal.
Aplicación de la Ley de la Gravitación Universal Explicación
•CalcularlamasadelaTierra.
•Calcularlavelocidadorbitaldeunsatélite.
•Calcularlaaceleracióndeunobjetodemasamqueselocalizaaunaalturahsobrelasuperficieterrestre.
4. Elaboraunreportequeincluyaunresumendelosconceptosbásicos.
LibertadDigital (2015)
Tema 2 Ley de la gravitación universal 229
5. Realizaunanálisisquesustenteelcálculodelafuerzadeatracciónentrelosplanetasy,engeneral,doscuerposfísicosentresí.
6. LlenalasiguientetablaconsiderandolasleyesdeKepler
Explica las leyes de Kepler
Primera ley de Kepler
Segunda ley de Kepler
Tercera ley de Kepler
7. InvestigaenInternetelmovimientoplanetarioenelsistemasolaryentregauninformeescritoatuprofesor.
8. InvestigaenInternetelprocesoquesiguióNewtonparaformularlaLeydelaGravitaciónUniversalyentregauninformeescritoatuprofesor.
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230 Física I
Escribeenelparéntesislaletraquecorrespondaalarespuestacorrecta.
1. ( )CalculalafuerzagravitacionalentreelSolylaTierra.
mT=5.98×1024kgmS=2.00×1030kgd =1.50×1011m
a) 4.60×1025Nb) 3.82×1022Nc ) 3.46×1022Nd ) 3.54×1022N
2. ( )Silafuerzagravitacionalentreunamujerde60.0kgysuesposoesde3.20×10-9Ncuandosuscentrosestánseparados10.0metros,calculalamasadelesposo.a) 85.0kgb) 80.0kgc ) 74.0kgd ) 76.5kg
3. ( )DeterminalaaceleracióndelagravedadenlaLuna
mL=7.35×1022kgrL=1740km
a) 1.62m/s2
b) 1.54m/s2
c ) 1.85m/s2
d ) 2.0m/s2
4. ( )Determina laaceleraciónde lagravedada100kmsobrelasuperficieterrestre.
rT=6370kmmT=5.98×1024kg
a) 8.5m/s2
b) 6.9m/s2
c ) 7.34m/s2
d ) 9.53m/s2
ElpesodeunobjetoenlaTierraesde720N.Contestalaspreguntas5-7.
5. ( )Determinaelpesodelobjetosisetrasladaaunaal-turasobrelasuperficieterrestrequeesigualalradiodelaTierra.
r
r
a) 360Nb) 400Nc ) 180Nd ) 200N
6. ( )DeterminaelpesodelobjetosisetrasladaaunpuntoqueestáatresveceselradiodelaTierradelcentrodeésta.
r
2r
a) 80.0Nb) 100Nc ) 60.0Nd ) 95.0N
7. ( )Determinaelpesodelobjetosisetrasladaa830kmsobrelasuperficieterrestre.
rt=6370km
a) 564Nb) 625Nc ) 506Nd ) 93.4N
8. ( )Untransbordadorestáenórbitacirculara80kmso-brelasuperficieterrestre.Determinalavelocidadorbitaldelanave.
rt=6370kmmt=5.98×1024kg
a) 7.20×103m/sb) 7.86×103m/sc ) 7.46×103m/sd ) 6.59×103m/s
LibertadDigital (2015)
Tema 1 Leyes de Newton 231
Rúbrica
Indicadores de desempeño
Nivel
Exc
elen
te
Bue
no
Ele
men
tal
Insu
ficie
nte
1. Desdeelpuntodevistaoperacional,defineelconceptofuerza.
2. Identificalascuatrofuerzasfundamentaleseneluniversoysuscaracterísticas.
3. Identificalafuerzacomounacantidadvectorial.
4. Defineelconceptofuerzaneta.
5. Deacuerdoconlamagnituddelafuerzaneta,identificacuandolasfuerzasqueactúanconunobjetosonfuerzasequilibradasono.
6. Defineelconceptodeinercia.
7. Identificalamasacomolamedidadelainercia.
8. EnuncialasleyesdeNewton.
9. Definelaunidaddefuerzanewton.
10. Definelaunidaddefuerzaergio.
11. Defineelconceptopeso.
12. Diferenciaentrepesoymasadeunobjeto.
13. Identificalascaracterísticasdelpesodeunobjeto.
14. Identificalascaracterísticasdelafuerzanormal.
15. Reconocelafriccióncomounafuerzaqueseoponealmovimiento.
16. Diferenciaentrefricciónestáticaycinética.
17. Calculalamagnituddelafricciónestáticamáxima.
18. Calculalamagnituddelafriccióncinética.
19. AplicalasleyesdeNewton.
20. EnuncialasleyesdeKepler.
21. Identificaquelatrayectoriadeunplanetaeselíptica.
22. Enuncialaleydegravitaciónuniversal.
23. Aplicalaleydelagravitaciónuniversalpara:• Calcularlafuerzadeatracciónentredoscuerpos.• CalcularlamasadelaTierra.• Calcularelvalordelagravedadyelpesodeunobjetoqueseencuentraaunaalturah
sobrelasuperficieterrestre.• Calcularlavelocidadorbitaldeunsatélite.
LibertadDigital (2015)
LibertadDigital (2015)
Bloque 4Relaciona el trabajo
con la energía
Conocimientos
• Trabajo• Energía cinética y energía potencial• Ley de la conservación de la energía mecánica• Ley de la conservación de la energía• Potencia
Desempeños• Defines el concepto de trabajo en física, realizado
por o sobre un cuerpo como un cambio en su posición o su deformación por efecto de una fuerza.
• Relacionas los cambios de la energía cinética y po-tencial que posee un cuerpo con el trabajo en física.
• Utilizas la ley de la conservación de la energía me-cánica en la explicación de fenómenos naturales de tu entorno social, ambiental y cultural.
• Aplicas, en situaciones de la vida cotidiana, el con-cepto de potencia como la rapidez con la que se con-sume energía.
Competencias que se busca desarrollar• Establece la interrelación entre la ciencia, la tecno-
logía,lasociedadyelambienteencontextoshistóricosysocialesespecíficos.
• Fundamentaopinionessobrelosimpactosdelacien-ciaylatecnologíaensuvidacotidianaalasumirconside-racioneséticas.
• Identifica problemas, formula preguntas de caráctercientíficoyplantealashipótesisnecesariaspararesponderlas.
• Obtiene,registraysistematizalainformaciónparares-ponderpreguntasdecaráctercientífico,lolograalconsultarfuentesrelevantesyrealizandoexperimentospertinentes.
• Contrastalosresultadosobtenidosenunainvestiga-ciónoexperimentoconhipótesispreviasycomunicasusconclusionesenequiposdiversosrespetandolapluralidaddevalores,ideasyprácticassociales.
• Valoralaspreconcepcionespersonalesocomunesso-bre diversos fenómenos naturales basado en evidenciascientíficas.
• Evidenciaconclaridadlasnocionescientíficasquesus-tentanlosprocesosparasolucionarproblemascotidianos.
• Explicaelfuncionamientodemáquinasdeusocomúnapartirdenocionescientíficas.
• Diseñamodelosoprototipospararesolverproblemaslocales,satisfacernecesidadesodemostrarprincipioscien-tíficos.
• Relacionalasexpresionessimbólicasdeunfenómenodelanaturalezaylosrasgosobservablesasimplevistaomedianteinstrumentosomodeloscientíficos.
• Proponemanerasdesolucionarunproblemaodesa-rrollarunproyectoenequipoaldefiniruncursodeacciónconpasosespecíficos.
• Aporta puntos de vista con apertura y considera demanerareflexivalosdeotraspersonas.
• Dialogayaprendedepersonascondistintospuntosdevistaytradicionesculturalesmediantelaubicacióndesuspropiascircunstanciasenuncontextomásamplio.
• Asumequeelrespetodelasdiferenciaseselprincipiodeintegraciónyconvivenciaenloscontextoslocal,nacio-naleinternacional.
LibertadDigital (2015)
Respondelassiguientespreguntasconbaseenloqueaprendistedefísicaenlasecundariayenloquetuexperienciacotidianatehamostrado.
1. ¿Quéentiendesportrabajodesdeelpuntodevistadelafísica?
2. ¿Quéentiendesporenergía?
3. ¿Quéentiendesporpotenciadesdeelpuntodevistadelafísica?
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trabajo
energía
energía mecánica
energía cinética
energía potencial
ley de la conservación de
la energía mecánica
teorema del trabajo y la energía
potencia
Trabajo, energía y potencia
Tema I
Definición de conceptosEnnuestravidacotidianautilizamoslapalabratrabajoconmuchossignificados;porejemplo,unapersonadiráquehatrabajadointensamentealtratardelevantarunobjetosinlograrloapesardeungranesfuerzo.Unfísicoafirmaríaquenorealizópropiamenteuntrabajo,porqueparalafí-sica,elconceptotrabajomidecuantitativamenteelefectoespacialdeunafuerzasobreunproceso.
Cuando levantamos a un niño en nuestros brazos,empujamos un carrito del supermercado, un cuerpo caelibrementedesdeunaaltura,extraemosaguadeunpozooaceleramosunautomóvil,ejercemosunafuerzaalolargodeunadistancia.
Consideremoselcasoenelqueunasolafuerzacons-tanteactúasobreuncuerpoquesemuevesobreunalínearectaenlamismadirecciónysentidoqueella.Sediceen-toncesqueeltrabajoefectuadosedefinecomoelproductodelafuerzaporeldesplazamiento.
FBA
Movimiento
dT = Fd
Sielpuntodeaplicacióndelafuerzanosedesplaza,seconsideraquelafuerzahaefectuadounapresiónounatracción,esdecir,unesfuerzo,peroesimposiblehablardetrabajo.Porejemplo,siunhombreempujaunaparedsinquelogredesplazarla,lamagnituddeltrabajoescero.
Figura 4.1 Si el punto de aplicación de la fuerza no se mueve, no ejerce trabajo.
Launidadconquesemideeltrabajo(T )dentrodelsieseljoule,elcualsedefinecomoeltrabajorealizadoporunafuerzade1Ncuandoelobjetosobreelcualseejercesedesplaza1menlamismadirecciónysentidoqueella.
Silafuerzaquerealizauntrabajoactúaformandounángulo(q)conladireccióndeldesplazamiento,eltrabajoefectuadoporlafuerzasobreelobjetosedefinecomoelproducto de la componente de la fuerza en la direccióndelmovimientoporeldesplazamientoodistanciaquelapartícularecorrealolargodedichadirección.
F
BA
Movimiento
d
Fx
θ
T = Fd cos q
Deacuerdoconlaexpresiónanterior,silafuerzaactúaperpendicularmenteconeldesplazamiento,oseaq=90°,eltrabajodelafuerzaescero.Estosedebeaquecos90°=0.Éstees,porejemplo,elcasodelafuerzanormalqueunasuperficie ejerce sobre un objeto colocado sobre ella, elpesodeuncuerpocuandosemueveenunasuperficieho-rizontalydelafuerzacentrípetaenelmovimientocircular.
FC
V
C
Figura 4.2 La fuerza centrípeta no realiza trabajo sobre una par-tícula con movimiento circular uniforme.
LibertadDigital (2015)
236 Física I
F
N
w
Figura 4.3 Cuando un objeto se mueve por la acción de una fuerza horizontal, la fuerza normal y la gravitacional no realizan trabajo.
Sielánguloqesmayorque90°,entoncescosqesne-gativoyporconsiguientetambiéneltrabajo.Ésteeselcasodeltrabajoquerealizalafricción;recuerdaqueestafuerzasiempreactúaensentidocontrarioaldelmovimiento.Enlacaídalibre,elpesorealizauntrabajopositivoporqueladireccióndeldesplazamientoyladelpesocoinciden.Enel tiro vertical, el trabajoque realiza el peso esnegativoporqueactúaensentidocontrarioaldelmovimiento.
Trabajo neto o resultanteCuando sobre una partícula material actúan dos o másfuerzas,eltrabajonetosobreellaeslasumaalgebraicadelostrabajosdecadaunadelasfuerzas.
El trabajo es un escalarEnmatemáticas,elproductoescalardedosvectoresA • B sedefinecomolacantidadescalarqueresultademultipli-carlamagnituddeunodelosvectoresporlacomponentedelotroenladireccióndelprimero.
A • B=ABcosq
LaexpresiónFdcosqsepuedeescribircomoelpro-ductoescalarF•d,loquedemuestraqueeltrabajo(T )esunescalar.
Ejemplo 4.1 Unafuerzade40.0Nactúasobreunobjetoalolargodeunadistanciade6.0m.Silafuerzaactúaenlamismadirecciónysentidoqueeldesplaza-miento,calculaeltrabajorealizadoporlafuerza.
Solución
Fd = 6.0 m
F
T =FdT =40.0N(6.0m)T=240J
Redondeamosadoscifrassignificativasparaob-tener:
T=2.4×102J
Ejemplo 4.2 Un escritorio se desliza horizontal-menteporlaaccióndeunafuerzade80.0Ninclinada60°conrespectoalahorizontal.Calculaeltrabajodelafuerzasielescritoriosedesliza20.0m.
Solución
FF
BAd = 20.0 m
60° 60°
T =Fd cosq
T =80.0N(20.0m)cos60°
T=800J
Ejemplo 4.3 Unobjetode20.0kgsearrastrasobreunasuperficiehorizontalporunafuerza100Nincli-nada30°conrespectoalahorizontal.Sielcoeficientede fricción cinético entre las superficies en contactoes0.250yelobjetosedesliza10.0m,contestalassi-guientespreguntas.
a) Determinaeltrabajodelafuerzadegravedadsobreelobjeto.
Solución
d = 10.0 m
F
20.0 kg
F
30°30°
Como el peso actúa perpendicularmente con el desplaza-miento del objeto, no realiza trabajo sobre éste.Delmis-mo modo, la fuerza normal y la componente Fy norealizantrabajosobreelobjeto.
Fy
Fx
N
w
fk
F
b) Calculaeltrabajonetorealizadosobreelobjeto.
LibertadDigital (2015)
Tema 1 Trabajo, energía y potencia 237
SoluciónLasúnicasfuerzasquerealizantrabajosobreelobjetoson lacomponenteFx (trabajopositivo)y la fricción(trabajonegativo).
Luego:
Tn =(Fx - fk )d
Donde:
Fx =F cosq fk=mkN
Donde:
N =w - Fy =mg - F sen q
Deacuerdoconloanterior:
Tn =[F cos q - mk(mg - F senq)]d
Tn =[100N cos 30° - 0.250[20.0kg(9.80m/s2)
-100Nsen30°]]10.0m
Tn =[86.6N- 0.250(146N)]10.0m
Tn =[86.6N- 36.5N]10.0m
Tn =501J
Ejemplo 4.4 Unapersonalevantaunacajade4.0kga1.2msobreelpiso.Sielobjetoselevantaconrapi-dezconstante,calculaeltrabajodelapersona.
SoluciónAllevantarunobjetoserealizatrabajoencontradelafuerzadegravedad.Sielobjetosemueveconrapidezconstante, la fuerzaascendenteesde igualmagnitudqueelpesodelobjeto;porlotanto:
T =wh
h
m
w
E
T =mgh
T =4.0kg(9.80m/s2)(1.2m)
T=47J
Observación:Conrespectoalproblemaanterior, eltrabajodelafuerzagravitacionalsobreelobjetoesdeigualmagnitudqueelrealizadopor lafuerzaascen-dente,peroesnegativoyaqueeldesplazamientoylafuerzagravitacionalactúanensentidocontrario.
Ejemplo 4.5 Calcula el trabajo realizado por lafuerzagravitacionalsobreunobjetode2.0kgquecaelibremente5.0m.
Solución
m
h
T =wh
T =mgh
T =2.0kg(9.80m/s2)5.0m
T=98J
Ejemplo 4.6 Unempleadobajaalsuelounacajade5.0kgdesdeunaalturade0.80m.Calculaeltrabajodelafuerzadesoportesielobjetosebajaconrapidezconstante.
5 kg
5 kg
0.80 m
SoluciónComoelobjetosebajaconrapidezconstante,lafuerzadesoporteesdeigualmagnitudqueelpesodelobjeto.Debidoaquelafuerzadesoporteactúahaciaarriba,mientrasqueeldesplazamientohaciaabajo,eltrabajodelafuerzadesoporteesnegativo.
T =-wh
T =-mgh
T =-5.0kg(9.80m/s2)(0.80m)
T=-39.2J
LibertadDigital (2015)
238 Física I
Redondeamosadoscifrassignificativasparaob-tener:
T = -39J
Ejemplo 4.7 Unniñode 40.0 kg subeun tramode28escalones,cadaunode0.20mdealtura;sisubeconrapidezconstante,calculaeltrabajoquerealizaencontradelafuerzadegravedad.
0.20 m
40 kg
SoluciónEl trabajo realizado depende de la distancia verticalnetarecorrida,independientementedeloquesucedeenladirecciónhorizontal,porlotanto:
T =mgh
T =40.0kg(9.80m/s2)(0.20)28
Observaqueh=28(0.20m)
T=2195.2J
Redondeamosadoscifrassignificativasparaob-tener:
T=2.2×103J
PotenciaEnladefinicióndeltrabajorealizadoporunafuerza,noseconsideraeltiempoduranteelcualsupuntodeaplicaciónsemueve;siunautorecorre100men8s,serealizaelmis-motrabajoquesilohaceen10s;sinembargo,másquelamagnituddeltrabajo,nosinteresalarapidez.Conestefinseintrodujoelconceptodepotencia.
Lapotenciasedefinecomolarapidezconlaqueserealizauntrabajo
SiunafuerzarealizauntrabajoTenunintervalodetiempoDt,entoncesa la razónentreel trabajorealizado
yel intervalode tiempoenelqueseefectúase le llamapotencia promedio,lacualdenotaremosporP.
P = Tt
ComoT=FDd,entonces:
P = F dt
Donde:dt= v (velocidadmedia)
Luego:P Fv=Silarapidezesconstante,entoncesP=Fn
Unidades de potenciaLaunidadde potencia en el si es el joule por segundo,tambiénllamadowatt(W),enhonordeJamesWatt.
Unwattsedefinecomolapotenciaquesedesarrollaalefectuaruntrabajodeunjouleenunsegundo.
1watt=1j/s=1kg·m2/s3
Otrasunidadesdelapotenciason:
1kilowatt(kW)=1000watts1caballodepotencia(hp)=746watts
Figura 4.4 James Watt nació en Escocia en 1736 y ayudó en el desarrollo y perfeccionamiento de la máquina de vapor. Muchos de sus escritos se conservan en la Birmingham Central Library, en el Reino Unido.
Ejemplo 4.8 Calcula la potencia de una bombaqueen60.0sdescarga800litrosdeaguadentrodeuntanqueseencuentraa30.0mporencimadelabomba.Recuerdaque1litrodeagua=1kg.
LibertadDigital (2015)
Tema 1 Trabajo, energía y potencia 239
Solución
=
=
=
=
P Tt
P mg ht
P
P watts
800 kg(9.80 m/s )30.0 m60.0 s
3920
2
=
=
=
=
P Tt
P mg ht
P
P watts
800 kg(9.80 m/s )30.0 m60.0 s
3920
2
Redondeamosatrescifrassignificativasparaob-tener:
P =3.92kw
ActividAdes de AprendizAje
1. Seejerceunafuerzahorizontalde40Nsobreunacajaalolargodeunamesa.Calculaeltrabajorealizadoporlafuer-zasitiradelacaja0.60m.a) 20Jb) 66Jc ) 24Jd ) 30J
c) 24J
2. Unapersonaejerceunafuerzahorizontalde200Nparadeslizarunescritorio18msobreelpiso.Calculaeltrabajorealizadoporlafuerza.a) 3.0×103Jb) 4.0×103Jc ) 3.6×103Jd ) 3.2×103J
c) 3.6×103J
LibertadDigital (2015)
240 Física I
3. Sejalaunobjetoconunafuerzade60.0Ninclinada40°conrespectolahorizontal.Calculaeltrabajorealizadoporlafuerzasitiradelobjeto4.80m.
F
F = 60.0 N
40°
a) 221Jb) 215Jc ) 230Jd ) 228J
a) 221J
4. Unobjetosedesliza20.0msobreelpisoporlaaccióndeunafuerzade160Ninclinada60°conlahorizontal.Calcu-laeltrabajorealizadoporlafuerza.a) 1.5×103Jb) 1.7×103Jc ) 2.7×103Jd ) 1.60×103J
d) 1.60×103J
5. Unafuerzahorizontalde100Nempujaunacajade12.0kgsobrelasuperficie.Sielcoeficientedefriccióncinéticoentrelassuperficiesencontactoes0.450,calculaeltrabajonetosobrelacajasiéstasedesliza10.0m.a) 480Jb) 465Jc ) 450Jd ) 471J
d) 471J
LibertadDigital (2015)
Tema 1 Trabajo, energía y potencia 241
6. Unobjetode20.0kgsedeslizahorizontalmente12.0mporlaaccióndeunafuerzade100Ninclinada40°conrespectoalahorizontal.Sielcoeficientedefriccióncinéticoes0.180,determinaeltrabajonetorealizadosobreelbloque.
F = 100 N
40°
a) 635Jb) 620Jc ) 646Jd ) 600J
a) 635J
LibertadDigital (2015)
242 Física I
7. Unacajade40.0kgsedesliza4.00mhaciaarribaporunplanoinclinadode26°conrespectoalahorizontalporlaaccióndeunafuerzade340Nparalelaalplano.Sielcoeficientedefriccióncinéticoentrelassuperficiesencontactoes0.250,calculaeltrabajonetorealizadosobreelobjeto.
F
m
26°
a) 320Jb) 340Jc ) 398Jd ) 300J
a) 320J
8. Cuántotrabajoserealizasobreunobjetode6.50kgcuando:a) Selevantaconrapidezconstanteaunaalturade
1.20msobreelsuelo.a) 70.0Jb) 71.2Jc ) 76.4Jd ) 80.0J
c) 76.4J
b) Sebajaalamismadistanciaverticalconrapidezconstante.a) -76.4Jb) 71.2Jc ) 76.4Jd ) -71.2J
a) -76.4J
LibertadDigital (2015)
Tema 1 Trabajo, energía y potencia 243
9. Joaquíntieneunamasade30.0kgysube20escalonescuyaalturaesde0.150mcadauno.Determinaeltrabajoreali-zadoencontradelafuerzadegravedadsisubeconrapidezconstante.a) 840Jb) 860Jc ) 882Jd ) 900J
c) 882J
10. Unatletasostienea2.0msobreelsuelounapesade80kgdurante4.0s.Determinaeltrabajodesarrolladoporelatleta.a) 1.6×103Jb) 1.2×103Jc ) 0Jd ) 1.4×103J
c) 0J
11. Siunobjetode5.0kgseelevaa2.0m,calcula:a) Eltrabajoqueserealizaencontradelafuerzade
gravedadsielobjetosubeconrapidezconstante.a) 98Jb) 90Jc ) 85Jd ) 80J
a) 98J
b) Eltrabajoqueserealizasobreelobjetosisebajavertical-menteconrapidezconstante.a) -90Jb) 98Jc ) 90Jd ) -98J
d) -98J
LibertadDigital (2015)
244 Física I
12. Calculalapotenciaqueserequieredesarrollarparaelevarunobjetode80.0kgaunaalturade2.50men10.0s.a) 200wattsb) 188wattsc ) 196wattsd ) 190watts
c) 196watts
13. Unagrúalevantaunautomóvilde1400kgconrapidezconstante.Sielautoseelevaa1.20men4.0segundos,calculalapotenciadesarrolladaporlagrúa.Expresaelresultadoenkilowatts.a) 4.1Kwb) 3.8Kwc ) 4.5Kwd ) 3.5Kw
a) 4.1Kw
14. ¿Quépotenciadebedesarrollarunabombaparaelevar4000litrosdeaguaaunaalturade50men40s?Expresaelresultadoenkilowattsa) 40Kwb) 45Kwc ) 54Kwd ) 49Kw
d) 49Kw
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Tema 1 Trabajo, energía y potencia 245
ActividAdes de AprendizAje
1. Anotaenlatablaalgunasactividadesdiariasenlascualesserealizatrabajomecánicoyotrasenlasquesedesarrollepotenciamecánica.
Trabajo mecánico y potencia mecánicaTrabajo Potencia
2. Llenalasiguientetabladondeespecifiquesenquéactividadesserealizatrabajomecánicoyencuálesnoydaexplica-cióndeporqué.
Situación Existe o no trabajo mecánico
Existe o no potencia mecánica Explicación
Deslizaruncuerpo2m
Levantarunabolsademano.
Uncuerpoenreposo.
Unhombrequeempujaunaparedsindesplazarla.
Unapersonaquebajaunacajaalsuelo.
Unjardineroqueempujaunapodadora.
Unniñoquesubeporunaescalera.
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246 Física I
Energía mecánicaEnergía es otra palabra que utilizamos en nuestra vidadiariayleatribuimosmuchossignificados:hablamosdelnivel energéticode los alimentos, de la energía solar, delaenergíaquímicadelagasolina,delaenergíaeléctricaeinclusodelaenergíadelaspersonaspararealizarciertasactividades.
Figura 4.5 En nuestra vida diaria utilizamos el término energía incluso para expresar la manera en la que algunas personas rea-lizan ciertas actividades.
En determinadas circunstancias, los objetos puedenrealizaruntipodetrabajo.Considera,porejemplo,cuandoel viento hace que las aspas de unmolino comiencen amoverse,obien, cuandounabala traspasaunbloquedemadera.Labalarealizauntrabajoalvencerlaresistenciaqueoponelamaderaalapenetración.
Lacapacidadquetienenlosobjetosderealizaruntipodetrabajosellamaenergía. Lamagnituddeestacan-tidadfísicasemideporeltrabajoquepuederealizarysuunidaddemedidaenelsieseljoule.
Cuando una persona efectúa trabajo al levantar uncuerpo,ésteadquierelacapacidadderealizaridénticacan-tidadde trabajo sobre el objetoquegolpea al caer.Asi-mismo, cuando se realiza trabajo al tender un arco, ésteadquierelacapacidaddeejercerlamismacantidaddetra-bajosobrelaflecha.Entodosestoscasos,losobjetoshanadquirido trabajo acumulado ydel que, teóricamente, sepuededisponer.Podemosdecirentoncesque:
Laenergíaeslacapacidadderealizartrabajo.Dichodeotramanera,siemprequealgotienelafacultadderealizartrabajosedicequetieneenergía.
La energía existente en el universo es constante, esdecir,sucantidadtotalnoaumentanidisminuye;sinem-bargo,sepresentaenvariasformas(energíatérmica,mecá-nica,química,nuclear,atómicayeléctrica)yessusceptibledetransformarsemutuamenteentretodasellas.
Principio de la conservación de la energíaLa energía existente en el universono se creani sedestruye,sólosetransforma.
Figura 4.6 La energía que hay en el universo no se crea ni se destruye, sólo se transforma.
A continuación estudiaremos el tema de la energíamecánica,lacualpuedeestarenformadeenergíacinéticaoenergíapotencial.
Energía cinéticaLaenergíamecánicaqueposeeunobjetoenvirtuddesumovimientosedenominaenergía cinética,lacualseiden-tificaconlaexpresiónEk.
LacantidaddeenergíacinéticaqueposeeunobjetoenmovimientoesigualaltrabajorealizadoporlafuerzanetaqueseejercesobreunobjetodemasamalponerloenmovimientoconunavelocidadV.
DeacuerdoconlasegundaleydeNewton,yretoman-doladefinicióndelconceptotrabajo,tenemos:
Fn =ma
T =Fnd
Luego:
LibertadDigital (2015)
Tema 1 Trabajo, energía y potencia 247
T =mad
T = mV V0
tV +V0
2
T =m V2 V0
2( )2
T = mV2
2mV0
2
2
SiV0=0,entonces:
=T m12
V2
Lacantidad=E m12
Vk2mV2eslamagnituddeltrabajorealizado
sobre el objeto demasam para llevarlo desde el reposohastalavelocidadV;porlotanto,dichaexpresióndeter-mina laenergíacinéticadeunobjetodemasamque sedesplazaconvelocidadV.
=E m12
Vk2
Teorema del trabajo y la energíaCuandoporlaaccióndeunafuerzanetasobreunobjetoéste se acelera, el trabajo realizadopor la fuerzaneta esigualalcambiodelaenergíacinéticadelobjeto.Estaafir-macióneslabasefundamentaldelteorema del trabajo y la energía.
T =Ek final - Ekinicial
= −T m m12
V 12
V202
Ejemplo 4.9 Calculalaenergíacinéticadeunobjetode5.0kgquesemueveconunavelocidadde4.0m/s.
Solución
( )( )
=
=
=
E m
E
E
12
V
12
5.0 kg 4.0m s
40 J
k
k
k
2
2
Ejemplo 4.10 Porlaaccióndeunafuerzaconstan-te,unobjetode8.0kgcambiasuvelocidadde4.0m/sa 6.0m/s.Calcula el trabajo realizado por la fuerzaneta.
SoluciónDeacuerdoconelteoremadeltrabajoylaenergía:
T =Ekf - EkiLuego:
T = 12m Vf
2 12m Vi
2
T = 12m Vf
2 Vi2( )
T = 12
8.0 kg( ) 6.0 m s( )2– 4.0 m s( )2
T = 4.0 kg( ) 36 m2 s2 – 16 m2 s2
T = 80J
Energía potencialLaenergíaqueposeeunobjetoenvirtuddesuposiciónocondiciónsedenominaenergía potencial.Porejemplo,unarcoentensiónposeeenergíapotencialquesetransformaenenergíacinéticaporelmovimientodelaflechacuandoéstasedispara.Lasmateriasexplosivas,comoladinamitaestándotadasdegrancantidaddeenergíapotencial.Unresorteestiradoocomprimido tieneenergíapotencial aligualquelasbateríaseléctricas,losalimentosqueingeri-mos,entreotrascosasmás.
Figura 4.7 La energía que posee un objeto en virtud de su posi-ción o condición se denomina energía potencial.
Energía potencial gravitacionalUnobjetoqueseubicaaunadeterminadaalturasobreunniveldereferenciaestablecido,tienelacapacidadpararea-lizartrabajo,esdecir,poseeenergía.Estaenergíaseconocecomo energía potencial gravitacionalyseidentificaconlaexpresiónEpg.
LibertadDigital (2015)
248 Física I
Laenergíapotencialgravitacionalqueposeeunobje-tosituadoaunaalturahsobreunniveldereferenciaes-tablecidoesigualalacantidaddetrabajoqueserealizaalelevardichoobjeto con rapidez constantedesdeelniveldereferenciaestablecidohastalamismaalturah;esdecir:
m
h
Esimportanteprecisarquelaenergíapotencialgravi-tacionalqueposeeunobjetonodependedelatrayectoriaquesesigueparallevarlodesdeelniveldereferenciahastadondeestá.dondeestá.
10 kg 10 kg
Ep = 10(9.80)(3) J
10 kga b c
3 m 3 m 3 m6 m
60°
Figura 4.8 En estas fi guras observamos que la energía potencial del objeto no depende de la trayectoria que se sigue para llevar-lo hasta una altura de 3 m.
Ejemplo 4.11 Determinalaenergíapotencialqueposeeuna cajade3.0kgubicada2.0mpor encimadelsuelo.
Solución
3.0 kg
h = 2.0 m
Conrespectoalsuelotenemosque:Ep =mghEp =3.0kg(9.80m/s2)(2.0m)Ep=58.8J
Redondeamosadoscifrassignificativasparaobtener:Ep =59J
Ejemplo 4.12 Unobjetode10kgposeeunaener-gíapotencialde589Jconrespectoalpiso.¿Aquéal-turasobreelpisoestáelobjeto?
Solución
10 kg
h
Ep = 589 J
Ep =mgh
Luego:
h Epmg
h
h
589 J10 kg(9.80 m/s )
6.0 m
2
=
=
=
Conservación de la energía mecánicaCuando un objeto se encuentra a cierta altura sobre unniveldereferencia,porejemplo,elsuelo,tieneenergíapo-tencialgravitacional.Sisedejacaer,enlamedidaquepier-dealturapierdeenergíapotencialgravitacional,yamedidaquecaeaumentasuvelocidad,por lotantoganaenergíacinética.
Laenergíamecánicadelsistemaesconstante,osea,Epg + Ek =constante.Porlotanto,enlacaídalibrelaener-gíapotencialquepierdeelobjetoalperderalturasetrans-formaenenergíacinética.
Todoprocesoenelquesetransformalaenergíaciné-ticaenenergíapotencialgravitacionaloviceversa,sedicequeesunsistema conservativo.
Ejemplo 4.13 Unobjetode5.00kg sedeja caerdesdelacimadeunedificiode12.0mdealtura.De-termina:
a) La energíamecánica del objeto en el puntomásaltodesutrayectoriaconrespectoalpiso.
LibertadDigital (2015)
Tema 1 Trabajo, energía y potencia 249
Solución
m
h = 12.0 m
Consideremos lapartemás altadel edificio como laposición1delobjeto.
( )( )
= +
= +
= +
=
=
=
E E Ep
E m mgh
E m mgh
E mgh
E
E
12
V
12
(0)
5.00 kg 9.80 m s 12.0 m
588 J
mec k
mec
mec
mec
mec
mec
1 1 1
12
12
1
12
1
b) Calculalaenergíapotencialdelobjetocuandoestáa4.00msobreelpiso.
Solución
4.00 m
5.00 kg
h2
1
2 2 m4 m6 m8 m
10 m12 m
Consideremos como posición 2 la altura de 4.00msobreelpiso.
Ep2 =mgh2
Ep2 =5.00kg(9.80m/s2)4.00mEp2 =196J
c) Calculalaenergíacinéticadelobjetocuandoestáa4.00msobreelpiso.
SoluciónComolaenergíamecánicaseconserva,entonces:
Em1 =Em2
588J= Ep2 + Ek2
588J= 196J+ Ek2
Ek2 =588J-196JEk2 =392J
d) Calculalavelocidaddelobjetocuandoestáa4.00msobreelpiso.
Solución
E mV
V
V
12
12
5.00 kg 392 J
392J 25.00kg
156m s
157 m s
k2 22
22 2 2
22 2 2
( )
( )
=
=
= =
=
=V 12.5m s2
e) Calculalavelocidaddelobjetojustoantesdellegaralsuelo.
SoluciónConsideremoscomoposición3delobjetoelniveldelsuelo.
m1
3
E E
m mgh
h
588 J 12
V
0
m m1 3
32
3
3
=
= +
=
Luego:
mV mg
mV
V V
588 J 12
0 7
588 J 12
12
5.00 kg 588 J 588 J 25.00 kg
32
32
32
32
( )
( ) ( )
= +
=
= =
LibertadDigital (2015)
250 Física I
Alefectuarlasoperacionesnecesariasyextraerlaraízcuadradatenemos:
V3 =15.3m/s
Ejemplo 4.14 Lasiguientefiguranosmuestraunpéndulo con una cuerda de 1.0mde longitud y unobjetode0.30kgsuspendidoensuextremo.
0.30 kg
Sielobjetosellevahacialaderechahastaelpuntoenelcualelpénduloformaunángulode20°conlaverticalysesueltaparaqueoscile,determinalaveloci-daddelobjetoenelpuntomásbajodesutrayectoria.
Solución
Lx = L - h1
h1
θ
x
1
2
Teniendoencuentaquelaenergíamecánicadelamasapermanececonstante,resolvamosnuestroejem-plo.Consideremos como la posición 1 del objeto elpuntodondesesueltayempiezaaoscilar,ycomopo-sición2elpuntomásbajodelatrayectoriadelobjeto.
=
+ = +
Em Em
m mgh m mgh12
V 12
V
2 1
22
2 12
1
Lavelocidaddelobjetoenlaposición1escero,luego:
+ = +m mgh mgh12
V 022
2 1
Sitomamoselpunto2comoniveldereferenciaparalaenergíapotencialgravitacional,entoncesh2=0;porlotanto,mgh2=0.Así,resultaque:
=m mgh12
V22
1
AldespejarV2delaecuaciónanteriorresulta.
=
=
=
Vmghm
V gh
V gh
2
2
2
22 1
22
1
2 1
Determinemosahoralalongituddeh1.Deacuerdocon la siguientefiguray la trigono-
metríatenemos:
L
q
L - h1
θ =−L hL
cos 1
Luego:
Lcosq =L –h1
h1+Lcosq =L
h1=L–L cosq
h1=L(1–cosq)
h1=1.0m(1–cos20°)
h1=0.06m
Porúltimo,calculemoslavelocidaddelobjetoenlaposición2.
V gh
V
V
2
2 9.80m s 0.06 m
1.084 m s
2 1
22
2
( )( )
=
=
=
Redondeamosadoscifrassignificativasparaob-tener:
V2=1.1m/s
LibertadDigital (2015)
Tema 1 Trabajo, energía y potencia 251
Ejemplo 4.15 Unobjetode2.0kgsedeslizahaciaabajodesdeloaltodeunplanoinclinado25°conres-pectoalahorizontal.Silalongituddelplanoinclinadoesde8.0m,determinalavelocidaddelobjetoalpiedelplano.Consideradespreciablelafricción.
SoluciónSinosetomaencuentalafricciónelsistemaescon-servativo,ysiconsideramoscomopunto1laposicióndelobjetoenlacimadelplanoinclinadoycomopunto2elobjetoalpiedelmismoplano,entonces:
L
h
1
2
posición
posiciónθ
=
+ = +
Em Em
mV mgh mV mgh12
12
2 1
22
2 12
1
Si tomamos la horizontal como referencia paradeterminarlaalturadelbloque,entoncesh2=0yh1=h.Comoenlapartesuperiordelplanoinclinadolavelo-cidaddelobjetoescero,entonces:
mV mgh
mV mgh
12
0 0
12
22
22
+ = +
=
AldespejarV2,resulta:
V gh22 =
Calculemos a continuación el valor de h parapoderdeterminarlamagnituddelavelocidadV2.Deacuerdoconlafigurayportrigonometríatenemos:
Lh
25°
sen25°= hL;luego
h =Lsen25°
h =8.0msen 35°
h =3.4m
Luego:
( )( )
=
=
=
V gh
V
V
2
2 9.80m s 3.4m
8.16 m s
2
22
2
Redondeamosadoscifrassignificativasparaob-tener:
V2=8.2m/s
Energía mecánica y fricciónAlconsiderarlafricción,laenergíamecánicatotaldelsis-temanoseconserva.Eltrabajorealizadocontralafricciónseconvierteenenergía calorífica.Sinembargo,laenergíatotaldelsistemasíseconserva;porlotanto,alconsiderarlaspérdidasdelaenergíamecánicaquelafriccióngenera,tenemos:
Eminicial=Emfinal+fkd
Ejemplo 4.16 Un objeto de 8.0 kg inicialmenteenrepososedeslizahaciaabajodesdelacimadeunplanoinclinadode20.0mdelongitudy50°deincli-naciónconrespectoalahorizontal.Sielcoeficientedefriccióncinéticoes0.420,determinalavelocidaddelobjetoalpiedelplano.
Solución
2
1
20.0
m
f k
m
h
N
w
50°
w
y
N
wy
fk
wx 50°
Eminicial = Emfinal + fkd
Ek1 + Ep1= Ek2
+ Ep2+ μkNd
12mV1
2 +mgh1 =12mV2
2 +mgh2 + μkNd
Dadoque:
V h 0 y 01 2= =
LibertadDigital (2015)
252 Física I
Entonces:
0+mgh1 =12mV2
2 + 0+ μkNd
mgh1 =12mV2
2 + μkNd
Donde,deacuerdoconlasegundaleydeNewtonyconeldiagramadecuerpolibre,tenemos:
N =wy =mgcosq
Luego:
mgh1 =12mV2
2 + μkmg cos d
Aldividirambosmiembrosdelaecuaciónante-riorentremqueda:
gh1 =12V2
2 + μk g cos d
Al multiplicar ambos miembros de la ecuaciónanteriorpor2queda:
2gh1 =V22 + 2μk g cos d
DespejamosacontinuaciónV2enlaecuaciónan-terior:
V22 = 2gh1 2μk g cos d
V2 = 2g h1 μcosd( )
Calculemosacontinuaciónlalongituddeh1:
20.0
m
h1
50°
° =
=
=
h
h
h
sen5020.0
20.0 sen 50º
15.3 m
1
1
1
Conelvalordeh1 queobtuvimosesposiblecalcu-larlavelocidadalpiedelplano.
Dado que g= 9.80m/s2, h1= 15.3m, q = 50°,d =20.0mymk=0.420,entonces:
V2 = 2 9.80m s2( ) 15.3m 0.420 cos50°( ) 20.0( )
V22 = 194m2 s2
V2 = 194m2 s2 = 13.9m s
ActividAdes de AprendizAje
1. Calculalaenergíacinéticadeunautomóvilde1600kgyqueviajaaunavelocidadde20m/s.a) 1.6×104Jb) 3.0×105Jc ) 3.2×105Jd ) 3.8×105J
c) 3.2×105J
LibertadDigital (2015)
Tema 1 Trabajo, energía y potencia 253
2. Calculalaenergíacinéticadeunniñode30kgquepatinaaunavelocidadde6.0m/s.a) 5.4×102Jb) 4.8×102Jc ) 5.0×102Jd ) 4.5×102J
a) 5.4×102J
3. Siunobjetode10kgposeeunaenergíacinéticade2000J,¿cuáleslavelocidaddelobjeto?a) 15m/sb) 20m/sc ) 10m/sd ) 5m/s
b) 20m/s
4. Unautomóvilde1400kgcambiasuvelocidadde12.0m/sa20.0m/s.Siconsideramosnulalafricción,aplicaelteo-remadeltrabajoylaenergíaparadeterminareltrabajodesarrolladoporelmotor.a) 1.90×105Jb) 1.80×105Jc ) 1.84×105Jd ) 1.79×105J
d) 1.79×105J
5. Aplicaelteoremadeltrabajoylaenergíaparadeterminarlapotenciadelmotordeunautomóvilde1200kgquecambiasuvelocidadde10.0m/sa16.0m/sen3.00s.Expresaelresultadoencaballosdefuerzayconsideranulalafricción.a) 41.8hpb) 40.6hpc ) 38.2hpd ) 44.2hp
a) 41.8hp
LibertadDigital (2015)
254 Física I
6. Calculalaenergíapotencialgravitacionalqueposeeunhombrede70.0kgqueseubicaa3.5msobreelpiso.a) 2.0×103Jb) 2.9×103Jc ) 2.4×103Jd ) 1.9×103J
c) 2.4×103J
7. Unaboladebolichede4.0kgselevantadelpisohastaunaalturade1.4m.Calculaelincrementodesuenergíapo-tencialgravitacional.RecuerdaqueEpfinal-Epinicial = DEpg.a) 50Jb) 48Jc ) 55Jd ) 45J
c) 55J
8. Laenergíapotencialgravitacionaldeunelevadorsituadoa25.0msobreelpisoes147,000J.Calculalamasadelele-vador.a) 550kgb) 600kgc ) 500kgd ) 450kg
b) 600kg
9. ¿Aquéalturasobreelpisoestáunacajade4.0kgqueposeeunaenergíapotencialgravitacionalde196J?a) 4.5mb) 4.0mc ) 5.5md ) 5.0m
d) 5.0m
LibertadDigital (2015)
Tema 1 Trabajo, energía y potencia 255
10. Calculalavelocidaddeunniñode30kgqueposeeunaenergíacinéticade240J.a) 4.0m/sb) 3.5m/sc ) 3.0m/sd ) 4.5m/s
a) 4.0m/s
11. Unaviónvuelaa1000mdealturasobreelsueloconunavelocidadde80m/s.Determinalaenergíamecánicaqueposeeunacajade6.0kgubicadaenelavión.a) 7.8×104Jb) 7.5×104Jc ) 6.9×104Jd ) 8.0×104J
a) 7.8×104J
12. Unapiedrade5.00kgcaedesdeloaltodeunedificiode30.0mdealtura.Determina:a) Laenergíapotencialgravitacionaldelapiedraantesdecaer.
a) 1.56×103Jb) 1.40×103Jc ) 1.54×103Jd ) 1.47×103J
d) 1.47×103Jb) Laenergíacinéticadelapiedrajustoantesdellegaralsuelo.
a) 1.46×103Jb) 1.53×103Jc ) 1.50×103Jd ) 1.47×103J
d) 1.47×103J
LibertadDigital (2015)
256 Física I
c ) Lavelocidaddelapiedrajustoantesdellegaralsuelo.a) 20.3m/sb) 24.2m/sc ) 25.0m/sd ) 26.4m/s
b) 24.2m/s
13. Octaviodejadecaerunobjetode6.00kgdesdeloaltodeunedificiode50.0mdealtura.Determina:a) Laenergíapotencialgravitacionaldelobjetoantesdesucaída.
a) 2.99×103Jb) 2.94×103Jc ) 1.98×103Jd ) 2.54×103J
b) 2.94×103Jb) Laenergíacinéticadelobjetoalllegaralsuelo.
a) 2.90×103Jb) 2.94×103Jc) 2.89×103Jd) 1.97×103J
b) 2.94×103Jc) Lavelocidadconquellegaelobjetoalsuelo.
a) 30.2m/sb) 25.5m/sc) 28.0m/sd) 31.3m/s
d) 31.3m/s
LibertadDigital (2015)
Tema 1 Trabajo, energía y potencia 257
14. Unapiedrade0.200kgselanzaverticalmentehaciaarribaconunavelocidadde14.0m/s.Calcula:a) Laenergíapotencialgravitacionaldelapiedracuandoalcanzasualturamáxima.
a) 19.6Jb) 15.4Jc) 20.6Jd) 18.5J
a) 19.6Jb) Laalturamáximaquealcanzalapiedra.
a) 10.0mb) 8.7mc) 5.5md) 12.0m
a) 10.0m
15. Unbloquede10.0kgsedeslizaporunplanoinclinadode30°conrespectoalahorizontaly8.20mdelongitud.Sielcoeficientedefriccióncinéticoes0.400,determina:
2
1L = 8.20 m10.0 kg
h1
30° 90°
a) Laenergíapotencialgravitacionalenlacimadelplanoinclinado.a) 401Jb) 405Jc) 402Jd) 308J
c) 402J
LibertadDigital (2015)
258 Física I
b) Lacantidaddeenergíamecánicatransformadaencalor.a) 278Jb) 275Jc) 270Jd) 280J
a) 278Jc) Laenergíacinéticaenlabasedelplanoinclinado.
a) 124Jb) 120Jc) 125Jd) 130J
a) 124Jd) Lavelocidaddelbloqueenlabasedelplanoinclinado.
a) 5.40m/sb) 4.50m/sc) 4.80m/sd) 4.98m/s
d) 4.98m/s
16. Unacajade25.0kgsedeslizaporunplanoinclinado20°conrespectoalahorizontalyde10.0mdelongitud.Sielcoeficientedefriccióncinéticoes0.200,calcula:a) Laenergíapotencialgravitacionaldelacajaenlacimadelplanoinclinado.
10.0 m
2
1
mh
20°
a) 838Jb) 900Jc) 801Jd) 920J
a) 838J
LibertadDigital (2015)
Tema 1 Trabajo, energía y potencia 259
b) Lacantidaddeenergíamecánicaquesetransformaencaloralllegaralabasedelplanoinclinado.a) 430Jb) 460Jc) 450Jd) 480J
b) 460Jc) Laenergíacinéticadelacajaenlabasedelplanoinclinado.
a) 365Jb) 378Jc) 375Jd) 400J
b) 378Jd) Lavelocidaddelacajaenlabasedelplanoinclinado.
a) 4.80m/sb) 5.25m/sc) 5.50m/sd) 6.20m/s
c) 5.50m/s
LibertadDigital (2015)
260 Física I
17. Unesquiadorde80.0kginicialmenteenrepososedesliza100metrosporlaaccióndesupropiopesodesdeelpuntomásaltodeunapendientede18°conrespectoalahorizontal.Sielcoeficientedefriccióncinéticoentrelassuperficiesencontactoes0.100,determinalavelocidaddelesquiadoralpiedelapendiente.
100 m
18°h
a) 20.5m/sb) 21.9m/sc) 25.0m/sd) 22.4m/s
a) 20.5m/s
18. Unaesferade0.40kgsujetaalextremodeunacuerdade0.80mdelargosesueltacuandoformaunángulode40°respectoalavertical.Determinalavelocidaddelaesferaenelpuntomásbajodesutrayectoria.
Lθ
Lθ
x = L - h1
x
h1
a) 1.5m/sb) 2.0m/sc) 1.7m/sd) 1.9m/s
d) 1.9m/s
LibertadDigital (2015)
Tema 1 Trabajo, energía y potencia 261
19. Unaesferade0.60kgsujetaalextremodeunacuerdade0.70mdelargosesueltacuandoformaunángulode35°respectoalavertical.Determinalavelocidaddelaesferaenelpuntomásbajodesutrayectoria.
Lθ
Lθ
x = L - h1
x
h1
a) 1.4m/sb) 1.0m/sc) 1.6m/sd) 1.7m/s
c) 1.6m/s
20. Unbalínseresbalaporunalambrecomoseilustraenlasiguientefigura.SilavelocidaddelbalínenelpuntoAes4.0m/s,determina:
h1 = 1.2 m
CA
B
h2 = 0.90 m
a) LavelocidaddelbalínenelpuntoB.Consideradespreciablelafricción.a) 5.9m/sb) 6.3m/sc) 6.9m/sd) 6.5m/s
b) 6.3m/s
LibertadDigital (2015)
262 Física I
b) LavelocidaddelbalínenelpuntoC.Consideradespreciablelafricción.a) 4.7m/sb) 4.5m/sc) 3.8m/sd) 4.2m/s
a) 4.7m/s
ActividAdes de AprendizAje
1. Completalasiguientetablareferentealasunidadesyequivalenciadeltrabajomecánico,delapotenciamecánicaydelaenergía.
Unidades y equivalencias del trabajo mecánico, de la potencia mecánica y de la Energía
Magnitud Unidad Equivalencia
Trabajo
Energía
Potencia
LibertadDigital (2015)
Tema 1 Trabajo, energía y potencia 263
2. Investigacómoseaprovechanlosdistintostiposdeenergíamencionadosenlatabla.
Tipo de energía Aprovechamiento
Mecánica
Cinética
Potencial
Radiante
Luminosa
Química
Eléctrica
Eólica
Sonora
Nuclear
Térmica
Hidráulica
Solar
LibertadDigital (2015)
264 Física I
3. Investigayllenalasiguientetabla.Buscadiversosobjetosdeusocotidianodondeseespecifiquequétipodeenergíautilizaparafuncionar.Tambiénexplicaporquélaposeeycómoseutilizapararealizareltrabajo.
Objetos de uso cotidiano Tipo de energía que utiliza para funcionar
Explica por qué poseen energía ¿Cómo realiza el trabajo?
4. Calculaelconsumodeenergíaentuhogar.Emplealainformacióndepotenciamecánicaquepresentanlosaparatoseléctricosomecánicosqueutilizasnormalmente(focos,refrigerador,tostadorasdepan,microondasuotrosaparatos)yeltiempodeoperacióndecadaunoduranteeldía.
Aparato Consumo de energía Tiempo de operación Costo
5. Realizaunaactividadquepermitaobservarlaconservacióndelaenergíamecánicayentregauninformeescritoatuprofesor.
6. Realizaunaactividaddondepuedasdemostrarlaexistenciadefuerzasquedisipanlaenergíamecánicaenformadecalor.
7. Investigasituacionesdelavidacotidianadondeobserveslasmedidasconlascualesseevitaquelaenergíamecánicasedisipeenformadecaloryentregaunescritoatuprofesor.
8. Elaboraunálbumconfotografíaseimágenesquemuestreneltrabajoylaapotenciamecánica,asícomolosdiferentestiposdeenergía,incluyendolasenergíasalternativas.
Rúbrica
Indicadores de desempeño
Nivel
Exc
elen
te
Buen
o
Ele
men
tal
Insu
ficie
nte
1. Defineelconceptodetrabajoenfísica.
2. IdentificaeljoulecomolaunidaddeltrabajoenelSistemaInternacionaldeMedidas(si).
3. Definelaunidaddetrabajo,eljoule.
LibertadDigital (2015)
Tema 1 Trabajo, energía y potencia 265
Indicadores de desempeño
Nivel
Exc
elen
te
Bue
no
Ele
men
tal
Insu
ficie
nte
4. Identificaeltrabajocomounacantidadescalar.
5. Comprendequesielpuntodeaplicacióndeunafuerzanosemueve,entoncesnoejercetrabajo.
6. Comprendequesiunafuerzaactúaperpendicularmenteconeldesplazamiento,entoncesnoejercetrabajo.
7. Resuelveproblemasrelacionadosconeltrabajo.
8. Defineelconceptodepotencia.
9. Identificaelwattcomolaunidaddepotenciaenelsi.
10. Definelaunidaddepotencia,elwatt.
11. Establecelaequivalenciaentreelkilowattyelwatt.
12. Establecelaequivalenciaentreelcaballodepotencia(hp)yelwatt.
13. Resuelveproblemasrelacionadosconlapotencia.
14. Defineelconceptodeenergía.
15. IdentificadiversasformasdeenergíaquesemanifiestanenelUniverso.
16. ReconocequelaenergíaexistenteenelUniversoesconstante,esdecir,quesucantidadtotalnoaumentanidisminuye,sólosetransforma.
17. Identificalosdostiposdeenergíamecánica.
18. Reconocelaenergíacinéticacomoaquelloqueposeeunobjetoenvirtuddesumovimiento.
19. Reconocelaenergíapotencialcomoaquellaqueposeeunobjetoenvirtuddesuposiciónocondición.
20. Identificalaenergíapotencialgravitacional(Epg)
21. Reconocelaenergíapotencialgravitacionalcomolacapacidaddeunobjetoderealizartrabajoenvirtuddelaalturaalaqueseencuentraconrespectoaunniveldereferenciaestablecido.
22. Calculalaenergíacinéticadeunobjeto.
23. Calculalaenergíapotencialgravitacionaldeuncuerpo.
24. Enunciaelprincipiodelaconservacióndelaenergía.
25. Enunciaelprincipiodelaconservacióndelaenergíamecánica.
26. Utilizaelteoremadeltrabajoylaenergíapararesolverproblemas.
27. Utilizaelprincipiodelaconservacióndelaenergíamecánicapararesolverproblemas.
28. Reconocequeeltrabajorealizadocontralafricciónseconvierteenenergíacalorífica.
LibertadDigital (2015)
analíticoÍndice
Aaceleración, 73, 81-82, 94-99, 111-112, 112f,
147-148, 152-153, 154t, 178, 179, 218angular, 147, 148, 160angular media, 147, 148, 160centrípeta, 152-154, 154t, 218de la gravedad, 111-112, 111f, 112f, 129,
137, 178-179, 197, 218, 219instantánea, 78, 81-82
afelio, 217facústica, 7, 8ampere, 15, 15tángulo de reposo, 192
BBrahe, Tycho, 217, 217f
Ccaída libre, 111-118, 111f, 219candela, 15, 15tcantidad escalar, 45, 45f, 46, 76, 236cantidad física, 13, 15, 15t, 17, 17t, 28, 29,
79fundamentales y derivadas, SI, 15, 16, 16t
cgs. Véase Sistema cegesimalciencia, 3-5
clasificación de la, 7ciencias factuales, 7, 8ciencias formales, 7, 8cifras significativas, 30-32
multiplicación y división, 32 operaciones con, 32suma y resta, 32
cinemática, 8, 73-74coeficiente de fricción
cinético, 184-190estático, 192
componentes (vectores), 56-57conocimiento, 3-4
científico, 3, 4cotidianos, 3elementales, 3
conservación de la energía, 246, 246f mecánica, 235, 250-251principio de conservación de la, 246
constante de gravitación universal, 219contar, 27conversión de unidades, 17-18
Ddeducción, 6, 7desaceleración, 81, 181desplazamiento angular, 147-148, 154tdiagrama de cuerpo libre, 182dinámica, 8, 73, 74, 173, 182
Eeje de rotación, 73, 150electromagnetismo, 8energía, 8, 16t, 17t, 233, 235-251, 246f,
246-248calorífica, 251cinética, 246-247, 248mecánica, 246, 248-249, 251-252potencial, 247, 247fpotencial gravitacional, 247-248, 248fteorema del trabajo y la, 247 error, 28-31absoluto, 29-30errores aleatorios o circunstanciales, 28,
29f relativo y exactitud, 30, 31
estática, 8
Ffísica, 1, 7-9
aplicaciones de la, 9f atómica, 8clásica, 73clasificación de la, 7de las partículas elementales, 7, 8del estado sólido, 8del plasma, 8moderna, 7nuclear, 7, 8relativista, 8
fórmulas cinemáticas, 94-97 de la caída libre, 112del mrua, 94-97
fórmulasde la caída libre, 112-113del mcu, 154tdel movimiento angular uniformemente
acelerado, 160-161del movimiento rectilíneo uniforme-
mente acelerado, 7rapidez media, 78para el mrua que relaciona la velocidad
final, la velocidad inicial, la acelera-ción y el desplazamiento, 96
para calcular el desplazamiento y la dis-tancia en función de la aceleración, el tiempo y la velocidad inicial en el mrua, 96-97
para calcular la distancia y el desplaza-miento de una partícula material con aceleración constante, 95-96
frecuencia, 150-154, 154tfricción, 111, 111f, 175-176, 176f, 181,
181fcinética, 181, 182coeficiente de fricción, 184-190, 192estática, 181-182y energía mecánica, 251-252
fuerza nuclear, 174 débil, 174fuerte, 174
fuerza, 173-177centrípeta, mcu, 207, 235fde acción, 178de gravedad, 218de reacción, 178electromagnética, 174, 174fequilibrada, 175gravitacional, 174-175, 175f, 179, 236fmagnética, 174neta, 175no equilibrada, 175, 177, 178normal, 179-180, 236f
GGalileo, 112, 112f, 175-176Gauss, Karl Friedrich, 14, 14fgrados sexagesimales, 148
LibertadDigital (2015)
gráficas, 87-90, 97-99aceleración contra tiempo, mrua, 99posición contra tiempo, mrua, 99posición contra tiempo para un objeto
que se mueve con velocidad cons-tante, 87-89, 88f
velocidad contra tiempo, mru, 89-90velocidad contra tiempo para aceleración
constante, 97-99gravedad, 218
aceleración de la, 11-112, 111f, 112f, 129, 137, 178-179, 197, 218, 219
Hhertz, 150
Iincertidumbre
en el proceso de medición, 28o error absoluto, 29-30
inercia, 175-177masa como medida de la, 177primera ley de newton, 178
Jjoule, 16t, 235, 238, 246
Kkelvin, 15, 15t, 16tKepler, 6, 217, 217f
primera ley, 217segunda ley, 217, 217ftercera ley, 217
kilogramo, 13, 14, 14f, 15, 15f, 15t, 16, 17
Lley científica, 4ley de la conservación de la energía mecá-
nica, 246ley de la gravitación universal, 217-221leyes
de Kepler, 217de Newton, 173-185del movimiento, 177
Mmagnitud, 13-18, 13tmarco de referencia, 74, 74fmasa, 13, 14, 15, 15t, 16, 16t, 173, 177
de la Tierra, cálculo de, 219-220materia, 4, 4f, 8
mcu. Véase Movimiento circular uniformemecánica, 8, 73-74medición, 13-18, 27-32, 27f
directa, 27error de la, 28-31incertidumbre en el proceso de, 28indirecta, 27, 27f teoría de la, 27
medida, precisión y exactitud de una, 29medidas aproximadas, 28método científico, 5-7
etapas del, 5inducción, 6, 7inferencia por analogía, 6
método de los componentes, suma de vec-tores, 58-60
método del paralelogramo, suma de vecto-res, 53-55
método gráfico, suma de vectores, 49-53, 51f
metro, 14, 14f, 15, 15t, 16mol, 15, 15tmovimiento, 71-165
con aceleración constante, 94-95de proyectiles lanzados hacia arriba con
un ángulo con respecto a la hori-zontal, 137-140
en dos dimensiones, 129-132, 137-140horizontal de un proyectil. Véase Tiro ho-
rizontalmecánico, 73rectilíneo uniforme, mru, 87-90rectilíneo uniformemente acelerado, mrua,
7, 94-99unidimensional (rectilíneo), 73-85
movimiento angular uniformemente acele-rado, 160-161
movimiento circular uniforme, mcu, 149-150
fuerza centrípeta en el, 207, 235frelación entre velocidad lineal y veloci-
dad angular en mcu. Véase Movi-miento circular uniforme
mru. Véase Movimiento rectilíneo uniformemrua. Véase Movimiento rectilíneo unifor-
memente acelerado
Nnewton (unidad de fuerza), 51, 178Newton, leyes de, 171, 173-194
aplicaciones, 182-283
primera ley (inercia), 177segunda ley, 4, 178, 246tercera ley, 178-179
Newton, Isaac, 9, 175, 177, 177fnotación científica, 16t, 21-23
división, 22 multiplicación, 22 operaciones en, 22-23suma y resta, 23
Oóptica, 8
Pparábola, 130, 137partícula, 8
material, 73, 77-81, 95-96pendiente, 88perihelio, 217fperiodo, 150-154, 217-218peso, 17, 17t, 178-179
aparente, 197-200potencia, 238-239
promedio, 239unidades de, 238
prefijos del si, 15-16, 16tpresión, 16t, 17tprincipio de la conservación de la energía
mecánica, 246primera ley de Kepler, 217primera ley de Newton (inercia), 178proyectil, 129-132
Rradián, 148, 154trapidez, 78-82
constante, 79instantánea, 81-82promedio o media, 78-79y velocidad, 78-80
rotación, 149-150rozamiento, Véase Fricción
Ssegunda ley de Kepler, 217segunda ley de Newton, 178segundo, 14, 15, 15t, 17tSI. Véase Sistema internacional de unidadessistema británico gravitacional o sistema
inglés, 17unidades fundamentales, 17t
Índice analítico 267
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268 Física I
sistema cegesimal (cgs), 14-15sistema conservativo, 248sistema de referencia, 46f, 74, 75-76, 75f,
76f absoluto, 75, 75fbidimensionales, 76 relativo, 75, 75funidimensionales, 76, 76f
sistema de vectores, 48-49clasificación de los, 48-49
sistema internacional de unidades (si), 15-17, 15t
prefijos del, 15-16, 16tunidades fundamentales, 15, 15t unidades derivadas, 16, 16t
sistema métrico decimal, 14-15sistemas inerciales, 75suma de vectores, 49-60
por métodos analíticos (matemáticos), 53-56
método de los componentes, 58-60método gráfico, 49-53, 51f método del paralelogramo, 53
Ttecnología, 8tensión, 184, 196
teorema del trabajo y la energía, 247tercera ley de Kepler, 217tercera ley de Newton, 178-179termodinámica, 8tiro horizontal, 114, 126, 129, 129ftrabajo, 235-238, 235f, 236f
neto o resultante, 236y energía, 247
tracción, 235traslación, 73
Uunidades
de fuerza (newton), 178de trabajo (joule), 235del cgs, 14-15del si, 15, 16del sistema inglés, 17patrón o estándar, 13
universo, 3, 4, 174, 246, 246f
Vvector,
componentes perpendiculares, 56-58componentes rectangulares, 56-58de posición, 76-78, 76f desplazamiento, 76-78
dirección de un, 46-47representación gráfica de un, 46-47
vectores, 45-60deslizantes, 48diferencia de, 66libres, 48 propiedades de los, 48sistema de, 48-49suma de, 49-60
velocidad, 73-75, 78-80, 81, 82angular, 148-150angular media, 148 constante mru, 89-90final, 94, 95, 96instantánea, 82lineal, 149-150, 154tmedia o promedio, 79-80orbital, 220-221tangencial, 150
Wwatt (W), 238Watt, James, 238, 238f
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