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r

REPARTICION DE LAS FUERZAS HORIZONTALES

Las fuerzas de viento o de sismo serán tomadas por los elementos portantes

de acuerdo a su rigidez lateral, pues debido al monolitísmo o del edificio, un

nivel cualquiera se trasladará respecto del inferior de los elementos

conectados a él se moverán la misma magnitud, permanezcan o no dentro

del rango elástico, sin embargo si lIDO de los elementos portantes fluye y

trabaja en el rango inelástico la fuerza que absorberá hasta ese momento

permanecerá constante, y si las cargas horizontales aumentan, este

incremento será absorbida por el resto de los elementos que trabajen en el

rango elástico. En las deducciones que siguen se supondrá que el

comportamiento estructural del edifico permanece en el rango elástico y que

el conjunto formado por las losas y vigas de entrepiso es infinitamente rígido

en su plano, esto es, que se comporta como una diafragma que se traslada y

rota en su plano arrastrando los elementos estructurales portantes que se

conectan a él.

SIMlL O MODELO MATEMATICO

En el capitulo 6 se vió que un edifico es una estructura compleja

tridimensional pero que puede analizarse como plana con una exactitud que

depende del modelo que se escoja, el cual vale también, y con más razón,

para las cargas horizontales, pues si éstas se aplican al modelo plano del

edificio, automáticamente se estarían repartiendo a los diferentes pórticos de

la dirección considerada. Sin embargo, debido a la torsión en planta que

siempre existe por la no-coincidencia del plano de acción de las fuerzas

horizontales con el eje ideal que uniría los centros de rigideces de los

diferentes pisos, como se verá más adelante, dicho modelo no daría

resultados acordes a la realidad puesto que los pórticos situados más lejos

del centro de rigideces tomarán mayor fuerza cortante como también

veremos más adelante.

Debido a lo expresado en el párrafo anterior, se prefiere estudiar cada piso

como un diafragma conectado a los pisos inmediatos de tal forma que el

desplazamiento relativo del piso respecto del inmediato inferior depende de

la fuerza cortante que actúe en él, y su movimiento, de la distribución y

rigideces de los elementos resistentes.(fig. 11.6)


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Se puede entonces idealizar el piso i del edificio considerado, como una

lámina vinculada como se indica en la fig. 11.7 la cual se comporta como un

diafragma infinitamente rígido en su plano, los resortes tendrán una rigidez

axial equivalente a la rigidez traslacional del pórtico que sustituye en el piso

considerado. Estos resortes serán tales que sólo aparecerán fuerzas en ellos

cuando exista una deformación axial, vale decir, si la lamina es solicitada

por una fuerza en la dirección x - x de tal forma que ella pase por el centro

de rigidez o centro de gravedad de los resortes situados en esa misma

dirección ellos solos equilibrarán la fuerza actuantes, los situados en la

dirección y - y no trabajarán en absoluto y la laIDina se desplazará

paralelamente a si misma en la dirección de x, una cantidad que dependerá

de la magnitud de las fuerzas y de las rigideces de los resortes (fig. 11.8).

Las fuerzas que absorben los resortes serán proporcionales a sus rigideces.

Donde:

Vjixx

=

Fuerza que absorberá el resorte j de la dirección x en el piso i

cuando actua una fuerza centrada

en la dirección x.

Rjix

=

Rigidéz del resorte

j

de la dirección x en el piso i.

dix = Desplazamiento del nivel i respecto del i-l, de la dirección x.

Por equilibrio, la suma de las fuerzas en los resortes será igual a la fuerza

contraria aplicada en el piso i:

v

= R .. *d.

IX

J1X IX

Por lo que la fuerza en cada resorte será:

Rji.'(

V

jixx

=V

ix

*

L,¡R

jix

(Ec.1l.1)


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y en forma análoga, cuando la fuerza cortante actúe en las nnsmas

condiciones pero en la dirección

y-y:

R·.

V -V * JIY

jiyy- iy

~Rjiy

(Ec.11.2)

y

o

R.a

®

,

r=:):

r-----t-_--t__ .lh..

R

AI.;;¡ ..0

v . . .

I

~ x

F ig . 1 1. 1- MQ de lo o s im il a u tiliz ar.

F ig . 1 1. 8- T ra ns la ció n o ara le la a l e je x .

CENTRO DE RIGIDECES CENTRO DE CORTE O CENTRO

INSTANTAc~EO DE ROT CION

Es el punto por donde debe pasar la fuerza cortante del piso para que sólo

ocurra un desplazamiento paralelo a sí mismo, sin rotación en planta. Es

también llamado centro de torsión puesto que toda fuerza cortante que actúe

a cierta distancia de él dará como resultado un momento torsor en planta

igual a la fuerza por dicha distancia y el movimiento del piso será de

translación, más un giro o rotación en el plano de la lámina.

Para obtener el centro de torsión en plantas con elementos portantes

ortogonales entre sí, que es 1 0 usual o los únicos tipos de edificios tratados

en este curso, basta con tomar momentos estáticos de las fuerzas

resultantes en los resortes bajo la acción de un desplazamiento unitario en

cada una de las direcciones cartesianas, lo cual es equivalente a tomar

momentos estáticos de las rigideces de los resortes en las direcciones

correspondientes:


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(Ec.11.3a)

(Ec.ll.3b)

Xji e Yji son las distancias de los ejes de los pórticos en la dirección y-y y en

la dirección x x respectivamente, a lo s ejes cartesianos escogidos

previamente.

TORSION EN PL NT

Cuando la fuerza cortante actúa excéntricamente respecto del centro de

rigideces del

piso

considerado, éste se

trasladará

debido

a la

acción de

la

fuerza y además rotará debido a la acción del momento torsor equivalente a

la fuerza por la excentricidad(fig. 11.9).

~~

Fig · 11 9 T orsió n e n

planta

En este caso descomponerse en dos, uno de pura translación debido a la

fuerza actuando en el centro de

rotación

o de rigideces, y

el

cual fué ya


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--4--_. _. --

Fig.·11.9- T orsi6 n en p la nta


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estudiado, más el de pura rotación debido al momento de torsor, por lo que

. la fuerza total en cada resorte será igual a la superposición de los dos

efectos. El debido a la translación de denomina corte directo

el debido a

la pura rotación es llamado corte por torsión

(Fig.

11.10 .

Para la fuerza cortante actuando en el sentido y-y bajo una excentricidad

ex, el momento torsor resultante será:

y

los pórticos de la dirección X resultarán con una fuerza :

(Ec.11.4)

Donde:

VTjixy

=

corte por torsión en el pórtico j de la dirección

X

en el piso i

debido a una fuerza excéntrica en el sentido y.

dTjixy

=

desplazamiento por torsión del mismo pórtico.

y

los pórticos de la dirección

y:

(Ec.l1.5)

Donde:

VTjiyy= corte por torsión en el pórtico

j

de la dirección y en el piso y

debido a una fuerza excéntrica en el sentido y.

dTjiyy= desplazamiento por torsión del mismo pórtico y por la misma

condición.

La planta sufre una rotación

e

y los desplazamientos de los pórticos o

resortes equiva len tes,

vienen

d ado s p or:

dTjixy

=

tg (8)*Y.ii

dTjiyy= tg (8)*Xji


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¡

• • •

\ :.~

~

~

t :

-

~

. -

~

f o t

,

C

. ,~

.

- -

•

C;,

C

.-.

-

U

P 4

ea

)

. . . .

o.

. .

• • • • •

>-

c·

e·

..

U.

co

)

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. .

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e

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• • • •

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• • • •

- .

l)

o

• • •

u

el)

~

CI )

el)

~

o

e

~

P 4

el)

~

.E

~

el)

~

.

e

O

. .,

u

l)

o

CL

-

el)

CL

1

::l

.'

Cf.)

/ I

I

~

o

. -

-

>

.

~--t--

-

I

-

.

1

I

C7)

J

.-

LL

I

t

I

I

- . .

l ·

1 :

.

: 1

a .

r- ~_ ...•..~ 1.,.)

;

-,

-

~ 1

,.~

.

.;.

• •

: 0,

. .

. >


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ylos cortes totales en los ordenes de pórticos serán:

j

i 9

=

Tjixy

Vjiyy = VQiiyy VTjiyy

(Be. 11.10)

(Ec. 11.11)

De forma análoga se obtienen los cortes totales cuando actúa la fuerza

cortante en dirección de X:

Vjixx

=

VDjixx VTjixx

V

jiyx

= VTjixx.

(Ec. 1l.12)

(Ec.

¡

.13)

y en cuyas expresiones, las componentes por torsión son:

V

r

··

JIXX

M

T·

=R .. ~ y ..

JIX J )1

=

R.. * M

Tix

* X ..

JIY J

(Ec. 11.14)

V

T

··

JI) X

(Ec. 11.15)

POSICION DE LA FUERZA CORTANTE

La excentricidad de la fuerza cortante dependerá de si esta es providente del

viento o del sismo. En el primer cas9 la fuerza actuante en cada nivel estará

ubicada en el centro de gravedad de la fachada de la dirección normal a la

considerada, y en el segundo caso, en el centro de masas del piso, ésto es,

donde se puede se puede suponer concentrado el peso del piso considerado.

Si llamamos Xi e Y i a las coordenadas del centro de masas o las distancias

de los centros de gravedad de cada fachada a los ejes coordenados

escogidos al inicio del cálculo la fuerza cortante en cada piso vendrá situada

en un punto que llamaremos punto de acción del cortante y el cual se obtiene

por momento estático de las fuerzas si tuadas desde el ultimo piso al piso

considerado, como si el edifico fuera una viga en voladizo (fig. 11.11).

i-x n

~F *X

Z

iy i

X -

= i= = i

vi - V.

iy

(Ec. 11.16a)

y . = .. . . : . . :: i= :: . .. 1 _

V\

Vix

(Ec. 11.16b)


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F ig . 1 1.1 1- P osic ió n d el c orta nte .

En cuyas expresiones:

. Xvi

= distancia de la línea de acción de la fuerza cortante del piso i al eje

coordenada y - y del

s is te m a in icia lm e nte e sc og id o.

yvi=distancia de la línea de acción de la fuerza cortante del piso i al eje de

la s abcisa del sistema del coordenadas arbitrario inicialmente escogido.

Fiy =fuerza actuante en el nivel .i debido al viento o al sismo en la dirección

Y.

Fix

= fuerza actuante en el nivel i debido al viento o al sismo en la dirección

X.

Viy =LFiy =fuerza cortante en el piso i en la dirección Y

V« =¿Fix=u erza co rtante e n

el piso i

en la

dirección

X.


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Las excentricidades en cada piso se obtiene como distancia entre los

respectivos puntos de la aplicación del cortante

y

el centro de rigideces o

centro de torsión en la dirección normal a la que actúa el corte:

e

riy

=

y vi -

Y

cti

(Ec. 11.17a)

(Ec. 11.17b)

Las cuales son llamadas excentricidades reales por ser las realmente

obtenidas

bien sea por viento o por

sismo.

EXCENTRICID D DE C LCULO DE L S FUERZ S

CORT NTES SISMIC S

Como se vio en capitulos anteriores, la fuerza sísmica en cada piso depende

del peso de dicho piso

y

su punto de aplicación es el mismo donde se puede

considerar aplicado dicho peso (centro de masas). En el peso del piso se

debe

considerar

un

porcentaje

de

la

carga

viva

que depende

del

uso

del

edificio pero no menor que el 25 Debido a la simplificación que se hace

de considerar las cargas como uniformemente repartidas de toda la planta

del nivel estudiado, es de esperarse alguna excentricidad accidental por mas

que el

edificio sea

c om p le ta m en te s im é tr ic o

por la no

uniformidad

de la

carga viva en toda la planta del nivel considerado al momento de producirse

un sismo, por lo que la norma fija una excentricidad mínima igual al

5 0 / 0

del

ancho del piso en la dirección perpendicular a la dirección considerada

puesto

que

lóg ico suponer

que a

medida

que

el

ancho

del piso

sea mayor,

también será la probabilidad de una distribución no uniforme de la carga

viva u otras cargas del piso.

Un edificio simétrico deberá ser entonces analizado con dicha excentricidad

accidental la cual hará que aquellos pórticos no situados en el eje de simetría

resulten solicitados con fuerzas cortantes adicionales a las del directo como

vimos en el aparte anterior. Dicha excentricidad accidental podrá ser

negativa o positiva de tal manera que los pórticos situados simétricamente

respecto al eje de simetría resultarán con las mismas fuerzas cortantes, esto

es, sólo habrá que analizar y diseñar la mitad del edificio (fig. 11.12).

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