Embed Size (px)
DESCRIPTION
Aplicaciones Comerciales
Citation preview
Profesor: Javier Trigoso T.
1
1
APLICACIONES COMERCIALES
OPERACIONES BANCARIAS
Cuando realizas una operación bancaria como, por ejemplo,
cuando solicitas algún préstamo para solucionar algunas de
tus necesidades (gastos médicos, adquirir artefactos, un
viaje, paquetes turísticos, etc.) o financiar la compra de
bienes y/o servicios (adquirir una vivienda, un automóvil,
gastos en educación, etc.) debes cumplir con ciertas
condiciones impuestas por la entidad bancaria. Una vez que
obtienes tu préstamo (capital) debes saber cuánto vas a
pagar mensualmente, es decir, qué cantidad amortizas del
capital mensualmente y cuánto pagas de interés mensual.
Esto está en función del capital que recibes y el tiempo en
que deseas pagarlo.
1 INTERÉS COMPUESTO
Llamado también proceso de capitalización, es decir,
cuando el interés que genera un capital prestado se
acumula al capital al final de cada intervalo de tiempo
previsto. Analicemos el siguiente ejemplo:
Ejemplo 1:
Préstamo Bancario
Javier se presta de una entidad bancaria la
cantidad de S/. 4 000 durante 3 años a una tasa
de interés del 10 % que se capitalizan al finalizar
cada año. Ayudemos a Javier a calcular el monto
que va a pagar en la fecha de vencimiento.
Solución:
Identificamos los datos del problema: C = S/. 4 000;
t = 3 años; tasa = 10%.
Por condición del problema, la capitalización es anual, esto
significa que a anualmente los intereses se acumulan al capital.
Como el préstamo es a 3 años, la tasa es 10 % anual y la expresamos como 0,1.
Recuerda
Capital (C): es el dinero que
se va a invertir.
Tiempo (t): es el periodo
durante el cual se va a ceder
el capital.
Interés (I): es la ganancia o
utilidad que produce el
capital.
Tasa de Interés (r %): es
el porcentaje que se aplica
al capital durante cierto
tiempo.
Monto (M): es la suma del
capital más los intereses.
Profesor: Javier Trigoso T.
2
2
Como: M C I M C C.r.t M C(1 r.t)
Calculamos los montos después de cada año, es decir: M1; M2; M3.
Como la capitalización es anual t = 1, luego, utilizaremos la fórmula M = C (1 + r t)
Reemplazando los datos tenemos:
Primer año: M1 = 4 000(1+ 0,1 (1)) M1 = 4 000 (1,1) M1 = 4 400
Segundo año: M2 = M1 (1+ 0,1 (1)) M2 = 4 400 (1,1) M2 = 4 840
Tercer año: M3= M2 (1+ 0,1 (1)) M3 = 4 840 (1,1) M3 = 5 324
Luego, Javier abona un monto de 5 324 nuevos soles.
2. MONTO COMPUESTO ANUALMENTE
Los procesos empleados en la resolución del problema nos permiten deducir
una fórmula para calcular el monto que se debe pagar al final del tiempo
previsto para el préstamo, es decir, una fórmula del interés compuesto, así:
Primer año: M1 = C0.(1 + r)
Segundo año: M2 = M1 (1 + r) M2 = C0.(1 + r) (1 + r) M2 = C0.(1 + r)2
Tercer año: M3 = M2 (1 + r) M3 = C0.(1 + r)2.(1 + r) M3 = C0.(1 + r)3 n-ésimo año: Mn = C0.(1 + r)
n
Este es el monto de un capital C0 impuesto al r % de interés compuesto anual.
Cuando el tiempo t, dado en años, no es un número natural utilizamos la
fórmula:
t
0M(t) C . 1 r
Donde: M(t): monto o capital futuro
C0: capital inicial
r: tasa de interés anual, expresada como número decimal.
t: tiempo (en años)
Si r y C0 permanecen constantes, entonces el monto M(t) es una función exponencial cuya variable es el tiempo t. Analicemos el siguiente ejemplo:
Ejemplo 2:
Si tienes ahorrado $500 en una entidad bancaria, esta cuenta de ahorro te
pagará un interés compuesto. Suponiendo que el banco paga una tasa de
interés del 6 por ciento anual, ¿cuánto dinero recibirás después de cinco años?
Solución:
Este es un problema que involucra el interés compuesto anualmente, por lo tanto,
apliquemos la fórmula del interés compuesto: M(t) = C0.(1 + r)t
Las calculadoras disponen de dos teclas para calcular los logaritmos, en base e (naturales) y en base 10. (decimales).
Profesor: Javier Trigoso T.
3
3
Paso 1: Sustituye Co, r, y t por los valores 500; 0,06 y 5, respectivamente.
M(5) = 500.(1 + 0.06)5 Paso 2: Utiliza una calculadora científica para operar:
M(5) = 669,11
Luego, al final del quinto año recibes $ 669,11
3. MONTO COMPUESTO CON PERIODOS FRACCIONARIOS
En la práctica, el interés suele componerse con más frecuencia, digamos n veces al
año. Entonces, en cada periodo de composición la tasa de interés es r/n y,
si existen n.t periodos de composición en t años, el nuevo monto después
de t años es: n.t
0
rM(t) C . 1
n
Donde: M(t): Monto o capital después de t años.
C0: Capital inicial.
r: Tasa de interés anual expresada como un número decimal.
n: Periodos de capitalización (en un año).
t: Tiempo (en años).
Resolvamos un problema que involucra el interés compuesto
durante el año.
Ejemplo 3:
Jaime realiza un depósito de $1 000 en una entidad bancaria a una tasa de
interés de 8 % con capitalización trimestral. ¿Cuánto dinero recibirá Jaime
después de dos años?
Solución:
Paso 1: Los datos son C0 = 1000; r = 0,08; n = 4 (trimestral) y t = 2
Paso 2: Sustituyendo los datos en la fórmula
n.t
0
rM(t) C . 1
n
tenemos:
Paso 3: Utilizando una calculadora científica obtenemos:
M(2) = 1000.(1,02)8 M(2) = $ 1 171,66
Después de los dos años de depósito, Jaime recibe 1 171.66 dólares americanos.
M
M(t) = C0(1 + r)t
C0
0 t
Modelo matemático del monto compuesto anualmente.
4.20,08
M(2) 1000. 14
Importante
Si la capitalización es:
Anual n = 1
Semestral n = 2 Trimestral n = 4
Bimestral n = 6
Mensual n = 12 Diario n = 360
Profesor: Javier Trigoso T.
4
4
… PARA LA CASA:
01. Una pareja de novios decide
colocar S/.10 000 al 8% anual.
Determina el capital acumulado al cabo
de 5 años. S/.14 693,281
02. Si S/. 2 000 se invierten a un
interés compuesto anual del 6%,
encuentra el monto acumulado después
de 12 años. S/.4 024,39
03. Suponga que se invirtió $1 000 a
una tasa de interés compuesto del 9%
mensual, calcula el monto final del
capital inicial después de:
A. 5 años $1 565,68
A. 10 años $2 451,36
A. 15 años $3 838,04
04. Si $1 000 se invierten al 12% anual
y el interés se
capitaliza
mensualmente,
encuentra el capital
al final de:
A. ¿1 mes? $1 010
B. ¿2 meses? $1 020,1
C. ¿6 meses? $1 061,52
D. ¿1 año? $1 126,83
05. Si $1 000 se invierten al 6% anual
y el interés se capitaliza
mensualmente, encuentra el capital al
final de:
A. ¿1 año? $1 061,68
B. ¿2 años? $1 127,16
C. ¿5 años? $1 348,85
D. ¿10 años? $1 819,40
06. Si $1 000 se invierten al 6% anual
y el interés se capitaliza
trimestralmente, encuentra el capital
al final de:
A. ¿1 año? $1 061,36
B. ¿2 años? $1 126,49
C. ¿5 años? $1 346,86
D. ¿10 años? $1 418,02
07. Si $10 000 se invierten al 9% anual
y el interés se capitaliza
semestralmente, encuentra el tiempo
requerido para que el capital exceda a:
A. $15 000 5 años (4,61)
B. $20 000 8 años (7,87)
C. $30 000 12,5 años (12,48)
08. Pepito deposita 500 nuevos soles
en una cuenta de ahorros que paga
interés a una tasa de 6% co mpuesto
anual capitalizado semanalmente.
¿Cuánto tendrá en la cuenta luego de
1 año? S/.530,90
09. José abre una cuenta con un
depósito inicial
de S/. 5 000 a
un 6% de interés
compuesto anual,
con una
capitalización trimestral. Dos años
después, si no se realizan depósitos ni
retiros adicionales, ¿cuánto gana o
pierde si coloca la misma cantidad a un
5% de de interés compuesto anual, con
una capitalización cuatrimestral?
S/. 111, 16
Profesor: Javier Trigoso T.
5
10. La señora Martínez invierte 6 000
€ en un depósito financiero al 5% anual
durante 3 años. No retira los
intereses al finalizar cada año, sino
que se añaden al capital y se vuelven a
reinvertir. ¿Cuál será el capital de la
señora Martínez al finalizar el tercer
año? 6 945,75 €
11. Un fondo de ahorro paga interés a
razón de 9% capitalizado di ariamente.
¿Cuánto se debe invertir para tener
$2 000 al final de 10 semanas?
12. ¿Cuántos años debe permanecer
en un banco un capital inicial de
S/.80 000 a una tasa del 3% a interés
anual compuesto para triplicar su
valor?
13. ¿Cuántos años deberán
mantenerse S/.20 000 en un banco al
9% anual, si se quiere ganar S/.600 de
interés?
14. Una familia hace un plan de
ahorros durante 4 años ingresando, al
principio de cada año, 3.000 € a un 5%
anual de interés compuesto. ¿Cuánto
dinero obtendrá al finalizar el plan?
15. La computadora
El padre de Carlitos Peña ha obtenido
un préstamo de
S/ 1 600 a 3 años
con interés del 7 %
capitalizable
anualmente, para
poder comprar una computadora.
Calcula el monto que debe pagar en la
fecha de vencimiento. S/. 1 960,06
16. La guitarra
Pedro Morales, un joven
músico deposita S/. 1
200 en una cuenta de
ahorros que paga el 11%
con capitalización anual.
Si él desea comprar, en
el futuro, una guitarra
profesional de S/. 1 500, ¿en qué
tiempo se tendrá el monto para hacer
la compra? 2 años
17. El cuarto de niños
La familia Pérez deposita S/. 15 000
en una cuenta de ahorros que paga el
8,5 % con capitalización trimestral,
para poder construir el dormitorio de
los niños, el cual se estima en
S/. 18 000. ¿En qué tiempo se tendrá
el monto que permita la construcción?
18. El segundo piso
La familia Paredes deposita S/. 7 500
en una cuenta de ahorros que paga el
9% con capitalización bimestral para
poder construir el segundo piso de la
casa, el cual se estima en S/. 10 500.
¿En qué tiempo se tendrá el monto
que permita la construcción?
3,77 años
19. La casa
Los Rodríguez planean comprar una
casa dentro de cinco años. Si se
espera que el costo de los inmuebles
aumentará a razón de 6% compuesto
continuamente, durante ese periodo,
¿cuánto tendrán que pagar los
Rodríguez por una casa que ahora
cuesta S/. 45 000?
Profesor: Javier Trigoso T.
6
20. El tractor
Juan Quispe es un
agricultor que ha
obtenido un
préstamo de S/. 30
000 a 5 años con interés del 8%
capitalizable semestralmente con el fi
n de comprar un tractor. Calcula el
monto que debe pagar en la fecha de
vencimiento. S/. 44 407,34
4. MONTO COMPUESTO CON CAPITALIZACIÓN CONTINUA
Cuando el número de periodos de capitalización (en un año) aumenta
considerablemente (es decir, cuando n se hace inmensamente grande), cada
periodo es un intento de tiempo más pequeño que cualquier cantidad
arbitrariamente escogida (es decir, tiende a cero).
El interés continuo consiste en acumular el interés al capital, instantáneamente.
En este caso, el monto compuesto es:
r.t
0M(t) C .e
Donde: M(t): monto en el instante t.
C0: Capital inicial.
r: Tasa instantánea, expresada como número decimal.
t: Tiempo (en años)
Ejemplo 4:
Javier invierte una suma de S/. 5 000 en 10 años, determina los montos
que recibe a:
A. La tasa efectiva del 6%.
B. La tasa del 6% con capitalización mensual.
C. La tasa del 6% instantánea (o continuo).
Solución:
A. Los datos son C0 = 5000; t = 10; r = 0,06
Reemplazamos los datos en t0M(t) C .(1 r)
10M(10) 5000.(1 0,06)
M(10) 8954,24
El monto que recibe Javier a la tasa efectiva del 6% es de S/. 8 954,24
B. Los datos son C0 = 5 000; t =10; n = 12; r = 0,06
Profesor: Javier Trigoso T.
7
7
Reemplazamos los datos en
n.t
0
rM(t) C . 1
n
12(10)0,06
M(10) 5000. 112
M(10) 9096,98
El monto que recibe Javier a la tasa del 6% con capitalización mensual es de
S/. 9096,98
C. Los datos son C0 = 5 000; t =10; r = 0,06
Reemplazando en: r.t0M(t) C .e
0,06(10)M(10) 5000.e
M(10) 9110,60
El monto que recibe Javier a la tasa del 6% con capitalización mensual es de
S/. 9110,60
Observemos que el monto es mayor cuando la capitalización es continua.
… PARA LA CASA:
21. Se invierte una suma de 1 000
dólares a una tasa de interés de 4%
anual. Encuentra el tiempo para que la
cantidad crezca a 4 000, si el interés
se capitaliza de forma continua.
34,66 años
22. Una persona pide prestada la
cantidad de $800. Cinco años después
devuelve $1 020. Determina la tasa de
interés nominal anual que se le aplicó,
si el interés es:
A. Simple 5,5%
B. Capitalizado anualmente 4,979%
C. Capitalizado trimestralmente
4,889%,
D. Compuesto mensualmente 4,869%
23. Un pagaré por $1 000 vence
dentro de un mes. Calcula su valor
presente al 8% compuesto
continuamente. $993,36
24. La herencia
Al recibir una significativa herencia,
los padres de Jacky quieren
establecer un fondo para la educación
superior de su hija. Si necesitan un
estimado de S/. 9 000 dentro de 10
años, ¿cuánto dinero deben separar si
lo invierten a 8,5% compuesto
continuamente? S/. 3 846,7341
25. La casa
Los Martínez
planean comprar
una casa dentro
de cuatro años.
Los expertos de
Profesor: Javier Trigoso T.
8
8
su área han estimado que el costo de
los inmuebles aumentará a razón de
5% compuesto continuamente; durante
ese periodo, ¿cuánto tendrán que
pagar los Martínez por una casa que
ahora cuesta S/. 65 000?
S/.79 401,21
26. Un padre, al nacimiento de su hijo,
deposita en una institución financiera
la cantidad de $5.000. La institución
le abona el 2% nominal anual
compuesto trimestralmente. Cinco
años más tarde, nace una niña y
entonces divide el monto del depósito
en dos partes: una de 3/10 para el hijo
y el resto para la hija. ¿Qué cantidad
tendrá cada uno cuando cumplan 21
años? 5.879,48 y 2.280,55
27. La máquina
Una máquina se compra en S/.10 000 y
se deprecia de manera continua desde
la fecha de compra. Su valor después
de t años está dado por la fórmula 0,2.tV(t) 10 000.e
Determina el valor de la máquina
después de 8 años. S/.2 018,97
28. La mejor opción
Don Jacinto quiere invertir una
cantidad de dinero; en el Banco de la
Familia le ofrecen una tasa de 7,5%
compuesto anualmente y en el Banco
del Progreso le ofrecen una tasa de
7,2 % compuesto semestralmente.
¿Cuál es la mejor opción para don
Jacinto?
29. Los Confeccionistas
Juan y Pedro son dos
confeccionistas de
prendas de vestir y
tienen sus talleres en
la Av. Gamarra. En una
ocasión, Juan le dice a Pedro: “Mi
banco ofrece una tasa de 8%
compuesto bimestralmente”, a lo
que Pedro responde: “el mío ofrece
una tasa del 7,5 % compuesto
semestralmente”. ¿Quién recibe más
por su dinero en un año? Juan
30. Compañía de seguros
Una compañía de seguros, al morir
uno de sus asegurados, y de acuerdo
con un contrato, tiene que pagar a las
hijas igual cantidad cuando lleguen a la
mayoría de edad. El importe de la
cantidad asegurada y que debe pagar
la compañía por la muerte de su
asegurado es de $100.000. El interés
que abona la empresa aseguradora el
tiempo que el dinero se encuentre en
su poder es del 2% nominal anual
compuesto semestralmente. A la
muerte del asegurado, sus hijas tienen
las edades de 16 y 18 años
respectivamente. Si cumplen la
mayoría de edad a los 21 años, ¿qué
cantidad ha de recibir cada una?
54.132,11
Profesor: Javier Trigoso T.
9
9
5 CRÉDITOS HIPOTECARIOS
¿Qué son las hipotecas y préstamos hipotecarios?
Cuando no se tiene todo el dinero que se necesita para comprar una vivienda, la solución es recurrir a un préstamo de un Banco o Caja de Ahorros y hacer una
hipoteca de la casa que compra.
El préstamo hipotecario tiene como característica
específica que toma como garantía real la vivienda
(casa, apartamento, edificio, terreno, etc.) a favor de
la entidad financiera que presta el dinero. Es decir, en
caso de no cumplir las condiciones acordadas en la
concesión del préstamo (por ejemplo: impago de los
recibos de amortización, de plazos, etc.), el inmueble
pasaría a ser propiedad del Banco. Por tanto, usted
hipoteca su casa en favor de la entidad financiera,
hasta que le haya devuelto la totalidad del préstamo.
Esta garantía, la propia vivienda, es lo que explica que el tipo de interés sea más
bajo que los préstamos generales o personales existentes en el mercado. Usted
hipoteca su casa y el banco, al obtener una garantía en la propia vivienda
hipotecada, disminuye sus riesgos y sus tipos de interés.
Amortización de préstamos
Amortización es el proceso financiero mediante el cual se puede extinguir una
deuda, por ejemplo, un préstamo hipotecario, gradualmente, por medio de un flujo
de pagos periódicos, que pueden ser iguales o diferentes, que sirve para pagar los
intereses y reducir el saldo insoluto.
Fórmula de amortización
El pago periódico R por un préstamo de P soles que se amortizará durante n
periodos a una tasa de interés i por periodo está dado por:
n
P.iR(n)
1 (1 i)
El denominador es una función exponencial si se considera a n como variable.
Ejemplo 5
La familia Chávez Gómez pide prestados S/. 60 000 de un banco para
financiar la compra de una casa. El banco cobra intereses con una tasa de
9% por año sobre el saldo insoluto y los intereses se calculan al final de
Profesor: Javier Trigoso T.
10
10
cada mes. La familia está de acuerdo en pagar el préstamo mediante
mensualidades iguales durante 20 años.
¿A cuánto debe ascender cada pago, si el préstamo debe amortizar al final
del término?
Solución:
Datos: P = 60 000; i = 0,09/12 = 0,0075; n = 20(12) = 240
Para calcular el pago periódico utilizamos:
in
PR(n)
1 (1 i)
Reemplazamos los datos:
240 240
(60000).(0,0075) 450 450R(20) R(20) 539,835573
1 0,1664181 (1 0,0075) 1 (1,0075)
Por lo tanto, cada pago es de S/. 539,83573
Ejemplo 6
La familia Rojas ha adquirido una casa de $ 50 000, ellos han pagado una
cuota inicial de $ 20 000 y solicitan una hipoteca con una tasa de interés de
7% por año sobre el saldo insoluto. Los intereses se calculan al final de cada
mes. Si el préstamo debe amortizarse en 30 años, ¿cuál será el monto de
cada una de las mensualidades que deben pagar los Rojas?
Solución:
Como se ha pagado una cuota inicial de $ 20 000 la deuda es de $ 30 000.
Datos: P = 30 000; i= 0,07/12 = 0,005833; n = 30(12)
Para calcular el monto de cada mensualidad utilizamos:
Reemplazamos los datos: i
n
PR(n)
1 (1 i)
360 360
(30000).(0,005833) 175 175R(30) R(30) 199,594
1 0,123221 (1 0,005833) 1 (1,005833)
Por lo tanto, la mensualidad que deben pagar los Rojas es de $ 199, 594
Profesor: Javier Trigoso T.
11
11
6 CRÉDITOS PERSONALES
Cuando una persona utiliza una tarjeta de crédito debe pagar una
cuota mensual fija durante el plazo acordado. Este es un caso
particular de amortización de un préstamo donde los periodos
son mensuales y en donde intervienen pagos adicionales que se
incluyen en la cuota mensual.
La cuota mensual (C.M.) que se tiene que cancelar para amortizar
la compra de un artículo cuyo costo es P y que se amortizará en n
meses a una tasa de interés de i% mensual es:
C.M R portes S.D
Donde
R: Amortización
Portes: pago fijo por gastos administrativos
S.D: seguro de desgravamen
Luego:
n
P.iC.M portes S.D
1 (1 i)
Ejemplo 7
Jorge ha decidido adquirir un minicomponente que cuesta
S/. 800. Para ello utiliza su tarjeta de crédito del Banco
Continental cuya tasa de interés mensual es de 3%, el pago
por porte es de S/. 7 y el seguro desgravamen es de S/. 0,8.
a. Calcula la cuota mensual que debe cancelar don Jorge si
debe liquidar la deuda en 12 meses.
b. Calcula el interés total.
Solución:
a. Datos: P = 800; i = 3% = 0,03; n = 12; portes = 7; S. D. = 0,8
Para calcular la cuota mensual utilizamos la fórmula:
n
P.iC.M portes S.D
1 (1 i)
reemplazando los datos tenemos
12
(800).(0,03)C.M 7 0,8 80,37 7 0,8 88,17
1 (1 0,03)
La cuota mensual será de 88,17 nuevos soles
Importante
El pago por portes es
independiente del precio P
y la tasa de interés i, la
determina la entidad que
emite la tarjeta de crédito.
El seguro de desgravamen sí
depende del precio P, pero no es un gasto significativo (menos del 0,1 % de P).
Profesor: Javier Trigoso T.
12
12
b. Para calcular el interés total por la compra del equipo de audio utilizamos la
fórmula: I = n (C.M.) – P
I = 12 (88,17) – 800 = 258,04
El interés total asciende a 258,04 nuevos soles
… PARA LA CASA:
31. La hipoteca:
La familia Velásquez ha adquirido una
casa de $ 35 000. Ellos han pagado
una cuota inicial de $. 17 000 y
solicitan una hipoteca con una tasa de
interés de 6% por año sobre el saldo
insoluto. Los intereses se calculan al
final de cada mes. Si el préstamo debe
amortizarse en 20 años, ¿cuál será el
monto de cada una de las
mensualidades que deben pagar los
Velásquez?
32. Máquina de coser
Miryan es una confeccionista de
prendas de vestir que desea comprar a
plazos una máquina de coser que
cuesta S/. 2 200. Para ello utiliza su
tarjeta de crédito del centro
comercial Maquicentro, cuya tasa de
interés mensual es de 2,7%, el cobro
por portes es de S/. 6 y el seguro de
desgravamen es de S/. 0,9.
a. Calcula la cuota mensual que deberá
cancelar para liquidar
la deuda en 20 meses.
b. Calcula el interés total que deberá
pagar por la máquina.
33. Cámara fotográfica
Ángela es una periodista gráfica que
desea comprar a plazos una cámara
fotográfica digital. Ella tiene las
tarjetas de crédito de los centros
comerciales Compucentro y
Cyberplaza. En Compucentro la cámara
cuesta S/. 1 200 y la tasa de interés
mensual es de 1,5%; en Cyberplaza la
misma cámara cuesta S/. 1 000 y la
tasa de interés es de 2,5%.
Considerando que el pago de portes,
seguros de desgravamen y el plazo de
10 meses es el mismo en ambos
centros comerciales, ¿con cuál tarjeta
de crédito Nora comprará la cámara?
34. La Refrigeradora
Nora tiene tarjetas de crédito de los
centros comerciales Ecónomas y
Metroplaza y desea adquirir una
refrigeradora. En Ecónomas la
refrigeradora cuesta S/. 1 400, la
tasa de interés mensual es de 2,5%.
En Metroplaza la refrigeradora cuesta
S/. 1 300 y la tasa de interés mensual
es de 4,2%. Considerando que el pago
de porte y seguro de desgravamen, y
el plazo de 10 meses es el mismo en
ambos centros comerciales, ¿con qué
tarjeta de crédito Nora comprará la
refrigeradora? Economás
http://issuu.com/sapini/docs
