Funcionamiento de las redes en el campo de la Frecuencia C. R. Lindo Carrión11 Unidad V Funcionamiento de las redes en el campo de la frecuencia Conferencia

Funcionamiento de las redes en el campo de la Funcionamiento de las redes en el campo de la FrecuenciaFrecuencia

C. R. Lindo CarriónC. R. Lindo Carrión 1111C. R. Lindo CarriónC. R. Lindo Carrión

Unidad VUnidad V

Funcionamiento de las redes en el Funcionamiento de las redes en el campo de la frecuenciacampo de la frecuencia

Conferencia 3Conferencia 3


C. R. Lindo CarriónC. R. Lindo Carrión 22

ObjetivosObjetivos

Definir el fenómeno de resonancia.Definir el fenómeno de resonancia. Utilizar adecuadamente las relaciones de: ancho de banda, Utilizar adecuadamente las relaciones de: ancho de banda,

frecuencia de media potencia, factor de calidad y frecuencia de media potencia, factor de calidad y frecuencia de resonancia, en la caracterización de las frecuencia de resonancia, en la caracterización de las redes eléctricas conectadas tanto en serie como en redes eléctricas conectadas tanto en serie como en paralelo.paralelo.

5.4 Circuitos resonantes5.4 Circuitos resonantes

ContenidoContenido



La Figura 17 muestra dos circuitos con características de La Figura 17 muestra dos circuitos con características de frecuencia extremadamente importante, el circuito resonante frecuencia extremadamente importante, el circuito resonante serie y el circuito resonante paralelo.serie y el circuito resonante paralelo.

5.4 Circuitos Resonantes5.4 Circuitos Resonantes

Para el circuito RLC serie, la impedancia de entrada es:Para el circuito RLC serie, la impedancia de entrada es:

CjLjR

1

)Z(j



Los términos imaginarios para ambas ecuaciones anteriores Los términos imaginarios para ambas ecuaciones anteriores serán cero si:serán cero si:

El valor de El valor de que satisface esta ecuación es: que satisface esta ecuación es:

Para el circuito RLC paralelo, la admitancia de entrada es:Para el circuito RLC paralelo, la admitancia de entrada es:

LjCjG

1

)Y(j

CL

1

LCo

1

Y en este valor de Y en este valor de la impedancia del circuito en serie es: la impedancia del circuito en serie es: ZZ(j(joo) = R) = R

Y en este valor de Y en este valor de la admitancia del circuito en paralelo es: la admitancia del circuito en paralelo es: YY(j(joo) = G) = G



Esta frecuencia Esta frecuencia oo, a la que la impedancia del circuito en serie , a la que la impedancia del circuito en serie o la admitancia del circuito en paralelo es puramente real, se o la admitancia del circuito en paralelo es puramente real, se llama llama frecuencia resonantefrecuencia resonante, y los circuitos mismos, en esta , y los circuitos mismos, en esta frecuencia, se dice que están en frecuencia, se dice que están en resonanciaresonancia. .

En la resonancia, el voltaje y la corriente están en fase y, por En la resonancia, el voltaje y la corriente están en fase y, por consiguiente, el ángulo de fase es cero y el factor de potencia consiguiente, el ángulo de fase es cero y el factor de potencia es unitario.es unitario.

En el caso en serie, en la resonancia la impedancia es un En el caso en serie, en la resonancia la impedancia es un mínimo y, por consiguiente, la corriente es máxima para un mínimo y, por consiguiente, la corriente es máxima para un voltaje dado.voltaje dado.

A bajas frecuencias, la impedancia del circuito en serie está A bajas frecuencias, la impedancia del circuito en serie está dominado por el término capacitivo y la admitancia del dominado por el término capacitivo y la admitancia del circuito en paralelo está dominada por el término inductivo.circuito en paralelo está dominada por el término inductivo.

La Figura 18 ilustra la respuesta de frecuencia de los circuitos La Figura 18 ilustra la respuesta de frecuencia de los circuitos RLC en serie y en paralelo.RLC en serie y en paralelo.



A altas frecuencias, la impedancia del circuito en serie está A altas frecuencias, la impedancia del circuito en serie está dominado por el término inductivo y la admitancia del circuito dominado por el término inductivo y la admitancia del circuito en paralelo está dominada por el término capacitivo.en paralelo está dominada por el término capacitivo.



La ganancia de corriente La ganancia de corriente IIsalsal//IIff del del circuito paralelo mostrado en la circuito paralelo mostrado en la Figura 19 esFigura 19 es

Resonancia ParaleloResonancia Paralelo

YI

IH

f

sal

R

1

donde Y es la admitancia de los tres elementos en paralelo. donde Y es la admitancia de los tres elementos en paralelo. Por tanto,Por tanto,

LCj

RLjCj

R

1111

LCR YYYY

sustituyendo sustituyendo YY en la ecuación de en la ecuación de HH,,

RLCj )/1(1

1

H



El término imaginario es igual a cero en la El término imaginario es igual a cero en la frecuencia de frecuencia de resonanciaresonancia, cuando , cuando C=1/C=1/L. La frecuencia de resonancia de L. La frecuencia de resonancia de un circuito resonante en paralelo se define como la un circuito resonante en paralelo se define como la frecuencia frecuencia oo a la cual la admitancia Y es no reactiva. a la cual la admitancia Y es no reactiva.

La frecuencia de resonancia es:La frecuencia de resonancia es:

Un Un circuito resonantecircuito resonante es una combinación de elementos es una combinación de elementos sensibles a la frecuencia, conectados para obtener una sensibles a la frecuencia, conectados para obtener una respuesta selectora de frecuencia.respuesta selectora de frecuencia.

LCo

1

Para el circuito RLC en paralelo se define otro parámetro Para el circuito RLC en paralelo se define otro parámetro llamado llamado factor de calidad Qfactor de calidad Q como como

L

CR

L

RCRQ

oo



donde Q es un coeficiente adimensional. En esencia Q es una donde Q es un coeficiente adimensional. En esencia Q es una medida de la capacidad de almacenamiento de energía de un medida de la capacidad de almacenamiento de energía de un circuito en relación con su capacidad de disipación de circuito en relación con su capacidad de disipación de energía. La definición de Q esenergía. La definición de Q es

Multiplicando Q=Multiplicando Q=ooCR por CR por //oo, se obtiene, se obtiene

Q = Q = 22 energía disipada por energía disipada por

ciclociclo

energía máxima energía máxima almacenadaalmacenada

CRQo

De igual forma se mDe igual forma se multiplica Q=R/ultiplica Q=R/ooL por L por oo// para obtener para obtenerL

RQo

Sustituyendo ambas ecuaciones en la ecuación de Sustituyendo ambas ecuaciones en la ecuación de HH, para , para obtenerla en términos de Q y obtenerla en términos de Q y oo como sigue como sigue

)//(1

1

oojQ H



Por lo tanto, la magnitud es:Por lo tanto, la magnitud es:

y la fase esy la fase es

La tabla siguiente muestra la magnitud y fase de La tabla siguiente muestra la magnitud y fase de HH a ciertas a ciertas frecuencias.frecuencias.

2/122 )//(1

1

ooQ |H|

o

o

Q1tan

0 1 o 2

|H| 0 1/2 1 1/2 0

90o 45o 0o -45o -90o



Hay dos frecuencia Hay dos frecuencia 11 y y 22, que corresponden a H=1/, que corresponden a H=1/2. 2. Examinando la ecuación de la magnitud H, se observa que Examinando la ecuación de la magnitud H, se observa que H=1/H=1/2 se presenta cuando2 se presenta cuando

La ecuación anterior se puede reordenar en forma de una La ecuación anterior se puede reordenar en forma de una ecuación de cuarto grado, en función de ecuación de cuarto grado, en función de . Despejando los . Despejando los valores de interés, se obtienevalores de interés, se obtiene

12

2

o

o

Q

QQo

o 22

11

2

1

QQo

o 22

11

2

2



El El ancho de banda (B)ancho de banda (B) del circuito se define como el intervalo del circuito se define como el intervalo que se encuentra entre las dos frecuencias donde la que se encuentra entre las dos frecuencias donde la magnitud de la ganancia es 1/magnitud de la ganancia es 1/2.2.

Un circuito con una Q alta tendrá un ancho de banda angosto. Un circuito con una Q alta tendrá un ancho de banda angosto. Por ejemplo, si Q=100 y Por ejemplo, si Q=100 y oo=100Krad/s, entonces B=1Krad/s.=100Krad/s, entonces B=1Krad/s.

El El ancho de banda ancho de banda de un circuito selectivo en frecuencia es el de un circuito selectivo en frecuencia es el intervalo entre las frecuencias donde la magnitud de la intervalo entre las frecuencias donde la magnitud de la ganancia cae a 1/ganancia cae a 1/2 veces el valor máximo. Por tanto,2 veces el valor máximo. Por tanto,

QB o

12

La ecuación anterior ilustra que el ancho de banda es La ecuación anterior ilustra que el ancho de banda es inversamente proporcional a Q. Por tanto, la selectividad de inversamente proporcional a Q. Por tanto, la selectividad de frecuencia del circuito esta determinada por el valor de Q. Un frecuencia del circuito esta determinada por el valor de Q. Un circuito de Q alta tiene un ancho de banda pequeño y, por circuito de Q alta tiene un ancho de banda pequeño y, por consiguiente, el circuito es muy selectivo.consiguiente, el circuito es muy selectivo.



La manera que Q afecta la selectividad de la frecuencia de la La manera que Q afecta la selectividad de la frecuencia de la red se muestra en la Figura 20.red se muestra en la Figura 20.

Puesto que los casos que interesan normalmente son aquellos Puesto que los casos que interesan normalmente son aquellos donde Q>10, entonces (1/2Q)2donde Q>10, entonces (1/2Q)2««1 y las ecuaciones de 1 y las ecuaciones de 11 y y 22, se reducen a, se reducen a

21

Bo

22

Bo



Cuando Q>10, la curva de Cuando Q>10, la curva de magnitud tiene una simetría magnitud tiene una simetría aritmética aproximada entorno aritmética aproximada entorno a a oo, como se aprecia en la , como se aprecia en la Figura 21. Independientemente Figura 21. Independientemente de Q, la respuesta es simétrica de Q, la respuesta es simétrica en una escala logarítmica de en una escala logarítmica de frecuencia.frecuencia.



Para pequeñas desviaciones de frecuencias con respecto a Para pequeñas desviaciones de frecuencias con respecto a oo Q es relativamente alta y definimos Q es relativamente alta y definimos como como

donde donde representa la cantidad proporcional por la que la representa la cantidad proporcional por la que la frecuencia se desvía de frecuencia se desvía de oo. Entonces podemos escribir el . Entonces podemos escribir el factor (factor (//oo - - oo//) en términos de ) en términos de como como

Usando Usando ««1 para pequeñas desviaciones de 1 para pequeñas desviaciones de oo,,

1

oo

o

1

2

1

1)1(

1

1)1(

22

o

o

2 o

o

Entonces Entonces HH es esQj21

1

H

que es una aproximación válida siempre queque es una aproximación válida siempre que ««1. 1.



La ganancia de voltaje La ganancia de voltaje VVsalsal//VVff del del circuito paralelo mostrado en la circuito paralelo mostrado en la Figura 22 esFigura 22 es

Resonancia SerieResonancia Serie

De nuevo se observa que la relación carece de término De nuevo se observa que la relación carece de término imaginario cuando imaginario cuando L=1/L=1/C y la frecuencia de resonancia esC y la frecuencia de resonancia es

CjLjR

R

/1

f

sal

V

VH

)/1/(11

HCRRLj

LCo

1

La frecuencia de resonancia de un circuito RLC en serie se La frecuencia de resonancia de un circuito RLC en serie se define como la frecuencia define como la frecuencia oo a la cual la impedancia total se a la cual la impedancia total se vuelve real (no reactiva).vuelve real (no reactiva).



Como antes, el ancho de banda del circuito esComo antes, el ancho de banda del circuito es

El factor de calidad Q para el circuito resonante en serie se El factor de calidad Q para el circuito resonante en serie se define comodefine como

C

L

RCRR

LQ

o

o 11

QB o

12

Multiplicando Q=Multiplicando Q=ooL/R por L/R por //oo, se obtiene, se obtieneR

LQ

o

De igual forma se De igual forma se multiplica Q=1/multiplica Q=1/ooRC por RC por oo// para obtener para obtenerCR

Qo

1

Sustituyendo ambas ecuaciones en la ecuación de Sustituyendo ambas ecuaciones en la ecuación de HH, para , para obtenerla en términos de Q y obtenerla en términos de Q y oo como sigue como sigue

)//(1

1

oojQ H



Note que esta ecuación es igual a la ecuación obtenida para Note que esta ecuación es igual a la ecuación obtenida para el circuito resonante en paralelo. Sin embargo, nótese que la el circuito resonante en paralelo. Sin embargo, nótese que la definición del factor de calidad para el circuito serie es definición del factor de calidad para el circuito serie es diferente de la del circuito resonante paralelo. No obstante diferente de la del circuito resonante paralelo. No obstante las demás relaciones para el ancho de banda, las demás relaciones para el ancho de banda, 22 , , 11 y y son son válidas para ambos circuitos.válidas para ambos circuitos.

EjemploEjemplo

Considere la red que se muestra en la Figura 23. Determine la Considere la red que se muestra en la Figura 23. Determine la frecuencia de resonancia, el voltaje a través de cada frecuencia de resonancia, el voltaje a través de cada elemento en resonancia y el valor del factor de calidad.elemento en resonancia y el valor del factor de calidad.



SoluciónSolución

La frecuencia de resonancia es:La frecuencia de resonancia es:

sradmLC

o /200010*25

11

A esta A esta frecuencia de resonancia la corriente serie es:frecuencia de resonancia la corriente serie es:

AR

oo

0|52

0|10

V

Z

VI

Por tanto los voltajes de cada elementoPor tanto los voltajes de cada elemento son: son:

Voo 0|102*)0|5( RV

VLj oo 90|250 IVL

VCj

o

o

90|250 I

VC



El factor de calidad es:El factor de calidad es:

Es interesante notar que los voltajes a través de la bobina y Es interesante notar que los voltajes a través de la bobina y del capacitor pueden escribirse en términos del Q como:del capacitor pueden escribirse en términos del Q como:

252

25*2000

m

R

LQ o

ffL VV|IV QR

LL oo

|||

ffC VV|I

V QCRC oo

1|

||



EjemploEjemplo

Un circuito resonante en serie tiene R=2Un circuito resonante en serie tiene R=2, L=1mH, C=0.1, L=1mH, C=0.1F. F. Calcular Calcular oo, B y Q y determinar la respuesta del circuito , B y Q y determinar la respuesta del circuito cuando cuando =1.02=1.02oo..

Primero determinamos la frecuencia de resonanciaPrimero determinamos la frecuencia de resonancia

El factor de calida esEl factor de calida es::

SoluciónSolución

sradmLC

o /101.0*1

11 5

502

1*105

m

R

LQ o

Por lo tanto el ancho de banda es:Por lo tanto el ancho de banda es:

sKradQ

B o /250

105



También se desea determinar la respuesta del circuito cuando También se desea determinar la respuesta del circuito cuando =1.02=1.02oo, es decir, es decir

Dado que Q=50, entonces QDado que Q=50, entonces Q=(50*0.02)=1, entonces H es:=(50*0.02)=1, entonces H es:

La fase es:La fase es:

02.0

o

o

45.021

1

QjH

f

sal

V

V

oQ 63)2(tan 1

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