Funciones 1

Profesor: Javier Trigoso T. Matemática 1

1

¿Qué es una función?

Una función es, en matemáticas, el término usado para

indicar la relación de correspondencia o dependencia

entre dos o más cantidades. Como dependencia, se

entiende la conexión entre las características de las

cantidades. Así, un cambio de una generará un efecto

en las otras. Este es un elemento muy importante en la

noción de función.

Las funciones numéricas proporcionan una manera de

cuantificar y descubrir la dependencia entre variables

y también un modelo para el estudio del

comportamiento de la situación analizada. Una función,

que resulte de la modelación de un hecho, posibilita

hacer previsiones y tomar las precauciones necesarias

cuando la magnitud que se estudia se acerca a valores

que se consideran críticos. Es por eso que resulta muy

importante hacer un análisis de las características

globales de la función: dónde crece, dónde decrece,

cuán rápidamente lo hace, dónde toma valores

extremos, qué valor toma en cada punto, etc.

Así como los números surgen de la necesidad de contar,

las funciones surgen a partir de la observación de la

relación existente entre cantidades que varían, una en

dependencia de otras. Cuando realizamos mediciones de

magnitudes físicas observamos que existen muchas

situaciones en las que una cantidad depende de otra.

Por ejemplo: la estatura de una persona depende de su

edad, la temperatura depende de la fecha, el costo de

enviar un paquete por correo, de su peso. Todos estos

son ejemplos de funciones, decimos que la estatura es

una función de la edad y que el costo de enviar un

paquete por correo es una función de la masa del

paquete.

Est

atu

ra (

en m

etro

s)

1,8 1,5 1,2 0,9 0,6

0 5 10 15 20 25 Edad (en años)

La estatura es una función de la edad

Importante

El término “función” es

utilizado en obras de

matemáticos como

Leibnitz (en sus trabajos

durante los años 1673 a 1694)

y Leonhard Euler en Introductio

in Analysin Infinitorum.

Ambos coincidían en definirla

como: “Una función de

cantidad variable es una

expresión analítica en general

compuesta por esa cantidad

variable y por algunos

números o cantidades

constantes”.

50

Co

sto

(en

S/.

)

40 30 20 10

0 50 100 150 200 250 Masa (en g)

El costo es una función de la masa


2

Aunque no existe una regla simple que relacione la estatura con la edad, sí existe

una que relaciona el costo de enviar un paquete por correo con su masa (de hecho,

ésta es la que utiliza la oficina de correos).

Definición de términos básicos

Es importante que definamos de manera precisa cada

uno de los siguientes términos:

• Relación: es la correspondencia entre dos conjuntos,

de modo que a cada miembro del conjunto de partida

le correspondan uno o más miembros del conjunto de

llegada.

• Función: dados dos conjuntos no vacíos A y B, se

llama función de A en B a aquel conjunto de pares

ordenados (x; y) tales que a cada elemento x є A le

debe corresponder un único elemento y є B.

En términos formales:

Si (x;y) f (x;z) f y z

• Dominio: llamado también conjunto de pre imágenes,

está formado por todas las primeras componentes de

los pares ordenados pertenecientes a la función.

• Rango: llamado también conjunto de imágenes, está

formado por todas las segundas componentes de los

pares ordenados pertenecientes a la función.

• Variable independiente: se refiere a la variable que representa a los posibles

valores del dominio.

• Variable dependiente: se refiere a la variable que representa a los posibles

valores del rango.

Interesante

El matemático y filósofo francés

René Descartes (1596-1650) mostró

en sus trabajos de geometría que

tenía una idea muy clara de los

conceptos de “variable’’ y

“función’’, al realizar una

clasificación de las curvas

algebraicas según sus grados,

reconociendo que los puntos de

intersección de dos curvas se

obtienen resolviendo, en forma

simultánea, las ecuaciones que las

representan.


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Notación de una función

Si f es una función definida en A con valores en B, que a cualquier x A pone en

correspondencia un y B cualquiera, se simboliza por:

f : A B

x y f(x)

Donde la ecuación y = f(x) se denomina REGLA DE CORRESPONDENCIA entre x e

y, además:

A: Conjunto de partida

B: Conjunto de llegada

x: pre-imagen de y o variable independiente

y: imagen de x o variable dependiente:

Evaluación de una función

Dada la función f : A B/ y f(x)

Evaluar la función f significa obtener el valor de y mediante su regla de

correspondencia, luego de asignarle un cierto valor a x. Por ejemplo, para x = a, el

valor de la función llamado también IMAGEN, que le corresponde será f(a), con lo

cual se dice que el par (a; f(a)) pertenece a la función f.

En la definición de función la variable independiente x desempeña el papel de

“marcador de posición”. Por ejemplo la función 2f(x) 3x 2x 5 se puede

considerar como:

2f(....) 3(....) 2(....) 5

Es útil considerar una función como una máquina (ver figura). Así cuando se

introduce x en la máquina, es aceptada como una entrada y la máquina produce una

salida f(x) de acuerdo con la regla de la función.


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… PARA LA CLASE

01. Halla a - b, si F es una función

F 4;a 3 , 4;5 a , a;b , b;a

A. 1 B. 2

C. 3 D. 4

02. Halla la suma de los elementos

del dominio de la siguiente función:

2m;6,8;5,4;m,25;6F

A. -15 B. -10

C. -6 D. 4

03. Dada la siguiente función

2

f 2;5 , 1; 3 , 2;2a b , 1;b a ,

a b ;a

Halla la suma de los valores del rango

A. 2 B. 4

C. 6 D. 8

04. Dada la función

F 3a;5 , 11;b , c;10 con regla de

correspondencia F(x) = x – 2a.

Halla M = a + b + c

A. 5 B. 16

D. 19 E. 26

05. Dadas las funciones

F a; 19 , 1;b y G(x) = 7x – 3. Si

sabemos que G(h) = F(h) + 2 para todo

valor de h. Halla a + b

A. -2 B. -1

C. 1 D. 2


f (1,2);(3,6);(4,8);(5,7)

Hallar

f(1)f(3) f(4)

Ef(5)

A. 2 B. 4

C. 8 D. 9


x ; x 0f(x)

x ; x 0

Señala el valor de: E f( 2) f(3) f( 8 f(7))

A. 4 B. 6

C. 7 D. 8

08. Dadas las funciones: f(x) ax 3

y g(x) bx a . Si f(2) = g(1) = 13

Halla ab.

A. 5 B. 8

C. 13 D. 40

09. Sean dos funciones reales tales

que f(x) mx 1 y g(x) 4x b , si

además f(3) = g(-2) y f(-2) = g(3).

Halla P f(2) g(3)

A. -4 B. -3

C.-2 D. -1

10. Si f(x) es una función definida por

2f(x) ax bx c , tal que: f(0) = 3,

f(1) = 8 y f(–1) = 2. Calcular f(–2).

A 3 B. 4

C.5 D. 6

11. La función 2f(x) ax bx a b

tiene valores: f(0) = 12 y f(–1) = 14.

Calcular f(2)

A. 30 B. 40

C.50 D. 60


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… PARA LA CASA

01. Halla a/b, si f es una función

f 2;a 1 , 2;b 2 , 5;2a b , 5;a 2

A. -1/2 B. -1/5

C. 3/5 D. -5/2

02. El conjunto

f 2;3 , 5;a b , 2;a b , 5;7

es una función. Halla: 2 2a b

A. 25 B. 29

C. 34 D. 36

03. Halla a – b , siendo la función F

definida en por:

2F 2;5 ; 3;a ; 2;a b ; 3;4 ; b;5

A.-9 B. -6

C. 6 D. 9

04. Calcula xy para que el conjunto

de pares ordenados sea una función:

f 2;4 , 3;x y , 5;6 , 3;8 , 2;x y

A. 6 B. 8

C. 12 D. 14

05. Dada la siguiente función

2f 4;k , 2;5k , 7 ;2k 1 , 4;2k 1

Halla el valor de k

A. 1 B. 2

C. 3 D. 4

06. Halla la suma de los elementos del

rango de la siguiente función:

2f 1;5 , a;6 , 3;a , 3;2a 3

A. 8 B. 9

D. 12 E. 13


m mf 1;m , 2; m , 1;4 , m;3b a ,

1;a b

Calcula el valor de m mP a b

A. 8 B. 13

C. 18 D. 32

08. Sean f y g dos funciones definidas

en por: f 2;a , b;2 y g(x) = 3x +

1. Si se sabe que f(x) + 2 = g(x), halla el

valor de a + b

A. 4 B. 5

C. 6 D. 7

09. Dado el conjunto A 1; 2;3;4 ,

se definen las funciones F y G con

dominio en A, tales que:

F 1;k , 2;5 , 1;3 , p;k , 3;5 y

G(x) = kx + 2p. Halla la suma de todos los

elementos del rango de G

A. 46 B. 48

C. 60 D. 62

10. Si el conjunto de pares ordenados:

2 2 2a b cf 1;a , 2; , 3;a b ,

bc ac ab

3; c

representa una función, calcula el valor

de f (2)

A. 1 B. 2

C. 3 D. 4

11. Si f(x) ax b ; a < 0; f(0) = 2;

f(f(1)) = 5. Halla f(-2)


6

A. -8 B. -2

D. 2 D. 8

12. Si f(x + 1) = mx - 2 y además

f(1) + f(2) - f(-1) = 7. Halla f(5)

A. 6 B. 8

C.10 D. 12

13. Señala el valor de: E f( 3) f(2) f(f(0)) , si:

2x 3 ; x 1f(x)

4x 3 ; x 1

A. 5 B. 7

C. 9 D. 18

14. Si

32

2x 5 ; x 2

F(x) x 1 ; 2 x 5

x x ; x 5

Calcula: P F( 5) F(3) F(8)

A. 58 B.63

C. 65 D. 68

15. Dadas las funciones f(x) 3x 2

y 2g(x) x 2x 4 .

Halla « a », si f(a 1) g(a) 3

A. -4 B. -3

C.-2 D. -1

16. Dada una función f(x) mx b

definida mediante la siguiente tabla:

X 1 2 3

f(x) 8 11 14

Halla f(-4)

A.-9 B. -7

C. -5 D. -3

17. Sean f y g dos funciones reales

tales que 2f(x) ax 5 ; g(x) bx c.

Si (2; 17) pertenece a la función f y

además f(3) = g(-1).

Halla el valor de a - b + c.

A. -30 B.-29

C. -28 D.-27

18. Sean f y g dos funciones reales

tales que f(x) 2x 5 y g(x) 3x a Si

g f(x) f g(x) , ¿cuál es el valor de a?

A.-10 B.- 9

C. -8 D.-7

19. Sabiendo que 2f(x) x 2x 2 y

3 3g(x) 2x 3 x 3x 1 .

Halla « a », si f(a) g( 8)

A.-3 B. -2

D. 2 E. 3

20. Sean f y g dos funciones definidas

por: f(x) = 3x + b y g(x) = x - 1.

Si (2, y) pertenece a ambas funciones;

calcula f (-2)

A. -11 B. -5

C. 5 D. 11

21. Si 2f(x) ax b .

Además 4 2f(f(x)) 8x 24x c

Halla el valor de: E = a + b + c

A. 24 B.26

C. 28 D. 29

22. Sea f una función definida en R

con regla de correspondencia f(x) = x.

Si f(a - b) = 5 y además f(a + b) = 3;

entonces el valor de 2 2f(a b ) es:

A. 15 B. 16

C. 17 D. 18

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