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Universidad de Santiago de Chile Autores: Miguel Martínez ConchaFacultad de Ciencia Carlos Silva Cornejo
Departamento de Matemática y CC Emilio Villalobos Marín
Part I
Funciones Vectoriales de una variable real
(ejemplar de prueba)
Introducción
La recta de R3 que pasa por el punto�!P o = (x0; y0; z0) y es paralela
a un vector �!a = (a1;a2;a3) se de�ne como el conjunton�!P 0 + t
�!a j t 2 Ro:En
esta de�nición de recta a cada número real t corresponde el punto�!P 0+ t
�!a deR3; es decir a cada valor t de R le asocia el punto (x0+ ta1;y0+ ta2;z0+ ta3)de R3:Tal correspondencia o asociación genera lo que llamaremos una funciónvectorial de una variable real que en este caso es de R en R3. Si denotamospor
�!f a tal función entonces su regla de correspondencia es
�!f (t) = (x0 + ta1;y0 + ta2;z0 + ta3)
El dominio de�!f es el conjunto de todos los números reales y el rango
de�!f es la recta que pasa por el punto
�!P o y es paralela al vector �!a . Este
es un ejemplo del tipo de funciones que estudiaremos en este módulo; paratales funciones consideraremos los conceptos de límite, continuidad, derivada eintegral. Desde el punto de vista conceptual no hallaremos ideas nuevas y en lamayor parte de los casos las técnicas usadas son las mismas desarrolladas en elcálculo de funciones real de una variable real.
1 Funciones Vectoriales
1.1 De�nición.-
Una función vectorial de una variable real es una función cuyo dominio es unconjunto de números reales y el rango es un conjunto de vectores o puntos deRn
1
Notación�!f : D � R! Rn tal que 8 t 2 D, �!f (t) = (f1(t); f2(t); : : : ; fn(t));
donde fk : D � R ! R para cada k = 1; 2; ::; n es una función real de variablereal. Cada fk es la k-esima componente del vector
�!f (t):
Si la función�!f describe el movimiento de una partícula, el vector
�!f (t) =
(f1(t); f2(t); : : : ; fn(t)) señala la posición en el instante t, es decir en estos casost representa la variable tiempo.
Ejemplo 1Sea
�!f : I � R! R3 tal que
�!f (t) = (cos t; sin t; t); I = [0; 2�] Hacer
un esquema del rango de�!f
Solución:Propongamos
�!f (t) = (x(t); y(t); z(t)) donde x = cos t; y = sin t; z = t. En
este caso para cualquier valor de t se cumple x2+y2 = 1 que es la proyecciónen el plano XY de cualquier punto
�!f (t) de la curva que está sobre el manto
de un cilindro de radio unitario x2 + y2 = 1; y z = t señala la distancia de�!f (t) al plano XY.El rango de
�!f es entonces una curva que partiendo de (1; 0; 0) describe
un arco completo de una helicoidal en el manto del cilindro x2 + y2 = 1 de R3:
x
y
z
Ejemplo 2Sea
�!f : I � R! R3 tal que
�!f (t) = (t; t; t); describa el rango de
�!f :
Solución:Las imagenes
�!f(t) = (t; t; t) las podemos escribir vectorialmente de la
forma�!f (t) = (0; 0; 0) + t(1; 1; 1) lo que nos permite reconocer que se trata de
una recta que pasa por el origen (0; 0; 0) en la dirección del vector �!v = (1; 1; 1):
2
Ejemplo 3Sea
�!f : I � R ! R3 tal que
�!f = (t; t; 2t2); I = [�3; 3];describa el rango
de�!f:Solución:Ponemos
�!f (t) = t(1; 1; 0)+t2(0; 0; 2); de esta expresión se puede a�rmar que
�!f (t) es la suma de un vector a lo largo de la recta y = x en el plano XY y unvector perpendicular al plano XY. Quiere decir entonces que el rango de
�!f se
encuentra en el plano que contiene los vectores (1; 1; 0); (0; 0; 2) perpendicularal plano XY.Si se considera en un punto (t; t; 0) en el plano XY y u distancia al origen,
u =pt2 + t2 =
p2t, resulta que z = 2t2 = u2. Por lo tanto, el rango de
�!f es
una porción de la parábola z = u2 que esta en el plano y = x perpendicular alplano XY y que contiene al eje z.
x
y
z
2 Límite de una función vectorial.
Previamente aclaremos o recordemos algunos conceptos en cuanto a la métricaque usaremosSi �!a y �!b son una par de elementos (puntos) de Rn , pongamos�!a = (a1; a2; a3; : : : ; an)�!b = (b1; b2; b3; : : : ; bn)
las distancia desde �!a hasta �!b es �!b ��!a se de�ne por por �!b ��!a =�
nPi=1
(bi � ai)2� 12
que en R2 y R3 viene a corresponder a lo que de�nimos como
distancias entre dos puntos..De�nición:
3
Se dice que el vector�!l = (l1; l2; l3; : : : ; ln) es el límite de la función vectorial�!
f : I � R ! Rn en t0 2 I , si para cada � > 0 existe un número � > 0
tal que siempre que t esta en el dominio de�!f y 0 < jt� t0j < � entonces �!f (t)��!l < �:
2.1 Teorema del límite
Sea�!f : I � R! Rn función vectorial. Entonces
limt!t0
�!f (t) = l = (l1; l2; l3; : : : ; ln)() lim
t!t0fk(t) = lk; k = 1; 2; :::; n
donde�!f (t) = (f1(t); f2(t); : : : ; fn(t))
Demostración.- i) (() Suponemos que limt!t0
fk(t) = lk; k = 1; 2; :::; n
Sea � > 0 dado
�!f (t)��!l = k(f1(t)� l1; f2(t)� l2; :::; fn(t)� ln)k
= k(f1(t)� l1; 0; 0; :::; 0) + (0; f2(t)� l2; 0; :::; 0) + (0; 0; 0; :::; fn(t)� ln)k� k(f1(t)� l; 0; :::; 0)k+ k(0; f2(t)� l2; 0; :::0)k+ :::+ k(0; :::; 0; fn(t)� ln)k� jf1(t)� lj+ jf2(t)� l2j+ :::+ jfn(t)� lnj
Si limt!t0
fk(t) = lk =)Si �n > 0 existe �k > 0 tal que 0 < jt� t0j < �k =)
jfk(t)� lkj < �n ; k = 1; 2; :::; n
tomando � = min f�kg ; k = 1; 2; :::; n se tiene que 0 < jt� t0j < � =)jfk(t)� lkj < �
n para todo k = 1; 2; ::; n:De la desigualdad anterior, mayorando por �
n : �!f (t)��!l < �
n+ :::+
�
n=
nXi=1
�
n=�
nn = �
8 t 2 (t0 � �; t0 + �);lo que prueba esta parte del teorema.ii) ()) Suponemos que lim
t!t0
�!f (t) =
�!l
Sea � > 0 dado
limt!t0
�!f (t) =
�!l = (l1; l2; l3; : : : ; ln) y
�!f (t) = (f1(t); f2(t); : : : ; fn(t))
implica que existe � > 0 talque
4
�!f (t)��!l < � todo t en el dominio de �!f tal que 0 < jt� t0j < �
pero jfk(t)� lkj < kf(t)� lk todo k. entonces jfk(t)� lkj < � todo t en eldominio de
�!f tal que 0 < jt� t0j < �
Por lo tanto limt!t0
fk(t) = lk; todo k = 1; 2; :::; n:
Se ha establecido entonces que:limt!to
�!f (t) =
�!l = (l1; l2; l3; ::::; ln), lim
t!tofk(t) = lk; k = 1; 2; 3; ::::; n:
Ejemplo 4
Si�!f (t) = (cos t; sin t) ; calcule lim
t!�2
�!f (t)
Solución:
limt!�
2
�!f (t) =
�limt!�
2
cos t; limt!�
2
sin t
�= (0; 1)
Ejemplo 5
La trayectoria de una partícula en el espacio R3 está dada por la funciónvectorial �!c (t) = (cos 2t; sin t; 2t� ): Calcule: limt!�
2
�!c (t); limt!�
�!c (t) y limt!��
2
�!c (t).Solución.-limt!�
2
(cos 2t; sin t; 2t� ) = ( limt!�2
cos 2t; limt!�
2
sin t; limt!�
2
2t� ) =(�1; 1; 1)
limt!�(cos 2t; sin t;2t� ) = (limt!�
cos 2t; limt!�
sin t; limt!�
2t� ) = (1; 0; 2)
limt!��
2
(cos 2t; sin t; 2t� ) = ( limt!��2
cos 2t; limt!��
2
sin t; limt!��
2
2t� ) = (�1;�1;�1)
2.2 Operaciones con funciones vectoriales
De�nición.- Sean�!f ;�!g : I � R! Rn funciones vectoriales, entonces, para
cada t 2 I se de�ne �!f +�!g ; �!f ��!g ; �!f ��!g ; �!f ��!g de la forma siguiente:
a) (�!f +�!g )(t) =
�!f (t) +�!g (t) = ((f1 + g1)(t); (f2 + g2)(t); :::; (fn + gn)(t))
b) (�!f ��!g )(t) =
�!f (t)��!g (t) = ((f1 � g1)(t); (f2 � g2)(t); :::; (fn � gn)(t))
c) (�!f � �!g )(t) =
�!f (t) � �!g (t) = f1(t)g1(t) + f2(t)g2(t) + :::+ fn(t)gn(t)
=nXi=1
fi(t) � gi(t)
5
d) (�!f ��!g )(t) =
�!f (t)��!g (t)
= ((f2g3)(t)� (f3g2)(t)); (f3g1)(t)� (f1g3)(t); (f1g2)(t)� (f2g1)(t)):
en este caso n = 3:De�nición.- Si : I ! R y
�!f : I ! Rn es función vectorial, de�nimos:
�!f : I ! Rn tal que (
�!f )(t) = (t)
�!f (t) = ( (t)f1(t); (t)f2(t); :::; (t)fn(t))
Estas de�niciones nos llevan al siguiente teorema
2.3 Teoremas del algebra de límites
De�nición.- Sean�!f ;�!g : I � R ! Rn funciones vectoriales, to 2 I , si
limt!to
�!f (t) = �!a y lim
t!to
�!g (t) = �!b ; �!a ;�!b 2 Rn;entonces:
a) limt!to
h�!f +�!g
i(t) = lim
t!to
�!f (t) + lim
t!to
�!g (t) = �!a +�!b
b) limt!to
h�!f ��!g
i(t) = lim
t!to
�!f (t)� lim
t!to
�!g (t) = �!a ��!b
c) limt!to
h�!f � �!g
i(t) = lim
t!to
�!f (t) � lim
t!to
�!g (t) = �!a � �!b
d) limt!to
h�!f ��!g
i(t) = lim
t!to
�!f (t)� lim
t!to
�!g (t) = �!a ��!b ; con n = 3 en estecaso.
Demostración:Es consecuencia directa de aplicación del Teorema del Limite y la de�niciónde las operaciones. Se deja como ejercicio al lector.
2.4 Teorema:del producto de función escalar porvectorial
Sean : I � R! R y�!f : I � R! Rn, to 2 I tal que:
limt!to
(t) = � ; y limt!to
�!f (t) = �!a ; � 2 R y �!a 2 Rn, entonces:
limt!to
h �!fi(t) = lim
t!to (t) lim
t!to
�!f (t) = ��!a
Demostración: Se deja como ejercicio al lector.
6
3 Continuidad
De�nición.- Sea�!f : I! Rn y to 2 I , diremos que
�!f es continua en to si para
cada " > 0;existe � > 0 tal que 8 t 2 I : jt� toj < �;entonces �!f (t)��!f (to) <
"Note que: si
�!f = (f1; f2; f3; :::; fn) tal que
�!f : I ! Rn y fi : I ! R,
i = 1; 2; 3; :::; n:
Entonces�!f es continua en to ssi fi es,contínua en to para todo i =
1; 2; 3; :::; n:
En efecto, vea que jfi(t)� fi(to)j �"
nXi=1
((fi(t)� fi(to))2# 12
=) si�!f es continua, entonces fi es continua. Reciprocamente como �!f (t)��!f (to) �
nXi=1
jfi(t)� fi(toj podemos inferir que si fi es continua,
i = 1; 2; 3; :::; n;entonces�!f es continua.
Por lo tanto, decimos que una función vectorial es continua ,si y solo si, loson cada una de sus funciones componentesObs: Los teoremas de continuidad que obviaremos en este caso y que son
una replica de los teoremas de límites se pueden probar facilmente.
4 La Derivada
4.1 De�nición:
Sea�!f : I � R! Rn función vectorial y to 2 I:Se de�ne la derivada de
�!f en to,
denotada d�!fdt (t0) o
�!f�(to) por el límite:
�!f�(to) = lim
h!0
�!f (to+h)�
�!f (to)
h , cuando este límite existe.
Geométricamente �!c 0(to) es un vector tangente a la curva C descrita por latrayectoria �!c (t) en el punto �!c (t0) y apunta en la dirección que es descrita lacurva C por �!c (t)
7
C(t))
C(t+h)C’(t)
x
y
z
�gura2
De la de�nición del límite se deduce que:
4.2 Teorema:�!f : I � R ! Rn; to 2 I y
�!f = (f1; f2; f3; :::; fn) entonces
�!f es derivable en to
si y solo si cada fi es derivable en to:Demostración
�!f `(to) = lim
h!0
�!f (to+h)�
�!f (to)
h
= limh!0
1h [f1(to + h)� f1(to); f2(to + h)� f2(to); :::; fn(to + h)� fn(to)]
=
�limh!0
f1(to+h)�f1(to)h ; lim
h!0
f2(to+h)�f2(to)h ; :::; lim
h!0
fn(to+h)�fn(to)h
�=hf0
1(to); f02(to); :::; f
0n(to)
iPor lo tanto
�!f 0(to) existe si y solo si f 0k(to) existe para k = 1; 2; 3; :::; n
Si suponemos que �!c (t) describe una trayectoria seguida por una partículapodemos de�nir al vector �!c�(t) como el vector velocidad en la trayectoria �!c enel punto �!c (t):Asimismo , de�niremos la rapidez en ese punto como
���!c�(t)��Ejemplo 6Sea �!c (t) = (r cos(t); r sin(t)), trayectoria cuyo camino corresponde a una
circunferencia de radio r:�!c (t) es derivable y �!c 0(t) = (�r sin t; r cos t)�!c (t) � �!c 0(t) = (r cos(t); r sin(t)) � (�r sin t; r cos t)
= r (sin t) r cos (t)� r (cos t) r sin (t) = 0
) �!c (t) y �!c 0(t) son ortogonales 8 t:
8
5 Regularidad de una curva
Una diferencia signi�cativa de la derivada de funciones vectoriales respecto dela suavidad o regularidad de la curva en el aspecto geométrico es que en estecaso la derivabilidad no detecta picos en la curva. Para describir este hechoconsideramos el siguiente ejemplo:
Ejemplo 7Sea
�!f : R ! R2 de�nida por
�!f (t) = (t3; t2 jtj):Su grá�co es similar al
grá�co de y = jxj en R2 y sabemos que la función f (x) = jxj no es derivableen x = 0:Aqui:�!f (t) = (t3; t2 jtj)) x(t) = t3 , y(t) = t2 jtj
x(t) = t3 ) x0(t) = 3t2;8 t;
y(t) = t2 jtj ) y0(t) =�3t2; t > 0
�3t2; t < 0
�
Además si t = 0) y0(0) = limh!0
y(h)�y(0)h = lim
h!0
h2jhjh = lim
h!0h jhj = 0
) �!f�(0) = (0; 0)Lo que prueba que esta función es derivable en todo R y que hay puntos en
los cuales la derivada es cero, esto geometricamente signi�ca que la curva no essuave en ese punto, cambia violentamente de direccion, presenta un peak.
Con el objeto de advertir este comportamiento geométrico en una curva ysu relación con la derivada demos la siguiente de�nición.
5.1 Camino regular
De�nición.- Sea�!f : I � R! Rn una función de clase C1(I):Se dice que
�!f (t)
describe un camino regular si�!f 0(t) 6= �!0 8 t 2 I:
Consideremos el siguiente ejemplo para aclarar aún más este concepto: lacurva C es descrita por
9
�!c (t) = (cos3 t; sin3 t); 0 � t � 2�
�gura 3: AstroideEsta trayectoria regular no es regular, pues en t = 0; �2 ; �; y
3�2 la derivada
se anula como podemos veri�car en el siguiente cálculo.�!c�(t) = (3 cos2 t(� sin t); 3 sin2 t cos3 t) = (�3 cos2 t sin t; 3 sin2 t cos3 t)�!c�(0) = (0; 0) ; �!c�(�2 ) = (0; 0) ;
�!c�(�) = (0; 0) ; y �!c�( 3�2 ) = (0; 0)
5.2 Propiedades de la Derivada
Teorema.- Sean�!f ;�!g : I � R! Rn funciones derivables y � : I � R! R una
función derivable, entonces:i) (k
�!f )0(t) = k
�!f�(t)
ii) (�!f +�!g )0(t) = �!f 0(t) +�!g 0(t)
iii) (�!f ��!g )0(t) = �!f 0(t)��!g 0(t)
iv) (��!f )0(t) = �0(t)
�!f (t) + �(t)
�!f 0(t)
v) (�!f � �!g )0(t) = �!f�(t) � �!g (t) + �!f (t) � �!g�(t) Producto Punto o Producto
internovi) (
�!f � �)�(t) = �!f�(�(t))��(t)
vii) (�!f ��!g )0(t) = �!f�(t)��!g (t) +�!f (t)��!g 0(t) para n = 3
10
Demostración: i), ii), iii) se dejan al lector
iv) (��!f )0(t) = (�(t)
�!f (t))�
= ((�f1)�(t); (�f2)�(t); (�f3)�(t); :::; (�fn)�(t))
= (�0(t)f1(t) + �(t)f�01(t); �
0(t)f2(t) + �(t)f02(t); :::; �
0(t)fn(t) + �(t)f0n(t))
= (�0(t)f1(t); �0(t)f2(t); :::; �
0(t)fn(t) + �(t)f01(t); �(t)f
02(t); :::; �(t)f
0n(t))
= �0(t)(f1(t); f2(t); :::; fn(t)) + �(t)(f01(t); f
02(t); :::; f
0n(t))
= �0(t)�!f (t) + �(t)
�!f 0(t)
v) (�!f � �!g )0(t) =
��!f (t) � �!g (t)
�0=
d
dt
"nXk=1
fi(t)gi(t)
#=
nXk=1
d
dt(fk(t)gk(t))
=
nXk=1
[f 0k(t)gk(t) + fk(t)g0k(t)]
=nXk=1
f 0k(t)gk(t) +nXk=1
fk(t)g0k(t)
=�!f 0(t) � �!g (t) +�!f (t) � �!g 0(t)
v), vi) se dejan al lector.
6 Parametrización
Si �!c (t) de�ne una trayectoria donde t es el parámetro, podemos modi�car laexpresión que de�ne �!c (t) por �!c (s) de tal modo de tener el mismo conjunto deimagenes, esto lo llamaremos reparametrización.
6.1 De�nición:
Sean�!f : I � R! Rn tal que
�!f = (f1; f2; f3; :::; fn) de�ne un camino regular
en el espacio Rn y ' : I1 ! I una función de clase C1(I) biyectiva y tal que'0(s) 6= 0; 8 s 2 I1; entonces
�!f o : I1 ! Rn tal que
�!f o(s) = (
�!f � ')(s) se
llama reparametrización de la trayectoria)�!f
Observación:De esta de�nición se tiene que:1)�!f o(s) = (
�!f � ')(s)) �!
f 0(s) =�!f�('(s)) � '�(s)
11
si '(s) = t) �!f
0
o(s) =�!f�(t) � '�(s) = '�(s) � �!f�(t)
) �!f 0o (s) = '�(s) � �!f 0(t)
como '(s) es un escalar, esto signi�ca que�!f
0
o(s) es '�(s) veces lavelocidad que llevaría una partícula parametrizada por
�!f (t):
t= ϕ(s)
Is
I1
ϕ
f’(t) f’(s))
(f o ϕ)
f
�gura 42) '0(s) 6= 0 ) '�(s) > 0 ,8 s 2 I1v '�(s) < 0;8 s 2 I;de la expresión
�!f 0o
(s) = '�(s) � �!f 0(t) se puede inferir que:a.- Si '�(s) > 0 , 8 s 2 I1 )
�!fo(s) conserva la orientación de
�!f (t)
b.- Si '�(s) < 0 , 8 s 2 I1 )�!fo(s) invierte la orientación de
�!f
Si�!fo(s) es una reparametrización de
�!f (t) y del hecho que
�!fo0(s) =
'�(s) � �!f�0(t) en cada punto�!fo(s) =
�!f (t) si '(s) = t, se deduce el siguiente
teorema.
6.2 Teorema
Sea�!f : I � R! R2 ( o R3) un camino regular y
�!fo =
�!f �' : J � R! R2 (
o R3) una reparametrización de él ( donde ' tiene las condiciones pedidas enla de�nición). Entonces la recta tangente a la curva C (traza de
�!f ) en
�!f (to)
con t0 2 I , es la misma que la recta tangente a C en�!fo(s0) si t0 = '(s0):
Dem.- t0 = '(s0))�!P 0 =
�!f (to) =
�!f ('(s0) ) =
�!fo(s0) además
�!fo�(s) = '�(s) �
�!f�(s) implica que los vectores
�!f 0(to) y
�!fo0(s0) son paralelosluego entonces las rectas tangentes a la curva en
�!f (to) coinciden.
12
6.3 Ejemplos de reparametrizaciones
Sea�!f : [a; b]! R3;una trayectoria regular . Entonces:1) La trayectoria
�!fo : [a; b] ! R3 tal que t 7�! �!
f (a+ b� t) es la repara-metrizacion de
�!f que corresponde a la aplicacion ' : [a; b] 7�! [a; b] dada por
t 7�! a+ b� t, llamamos a �!f o trayectoria opuesta a
�!f :
2) La trayectoria �!g : [0; 1] ! R3 tal que t 7�! �!f (a+ (b� a)t) es una
reparametrizacion de�!f que corresponde a la aplicación ' : [0; 1] 7�! [a; b] dada
por t 7�! a+ (b� a)t, y que conserva la trayectoria de �!f ::Sea
�!f : [�5; 10]! R3 de�nida por t 7�! �!
f (t) = (t; t2; t3) . Reparametrizarcomo trayectoria opuesta a
�!f :
Aplican el apartado 1) tenemos:�!fo : [�5; 10]! R3 tal que t 7�! �!
f (5� t) =((5� t); (5� t)2; (5� t)3) es la reparametrización opuesta a
�!f que corresponde
a la aplicación ' : [�5; 10] 7�! [�5; 10] dada por t 7�! 5� t.Ejercicio
Sea�!f : [a; b] ! R3;una trayectoria regular y k una contante positiva .
Sea la aplicación ' :�0; b�ak
�7�! [a; b] dada por '(t) 7�! kt+ a:Muestre que la
trayectoria reparametizada�!f � ' :
�0; b�ak
�! R3 mantiene la trayectoria de
�!f pero la recorre k veces más rápido.
7 Longitud de Arco
Sea C una curva descrita por�!f (t) = (f1(t); f2(t); f3(t); :::; fn(t)); de un intervalo
I = [a; b] en Rn:Sea P una partición de [a; b] y Lp la longitud de la poligonaloriginada por P:
f
a = to
…
b= tn
t1 t3
f(to)f(tk) f(tn)
13
�gura 5
Lp =nXk=1
�!f (ti)��!f (ti�1) Para cada partición P se tiene una correspondiente Lp:
7.1 De�nición.
La curva C descrita por�!f (t) = (f1(t); f2(t); f3(t); :::; fn(t)) de�nida en [a; b] se
dice que es recti�cable si fLp=P es patición de [a; b]g tiene una cota superior.Si C es recti�cable entonces la longitud ` de C es el supremo del conjunto delos Lp; es decir ` = sup fLp=P es partición de [a; b]g
Sea�!f : I � R ! Rn una trayectoria regular de clase C1 . La longitud
de�!f entre t = a; t = b denotada por `(
�!f ) o simplemente ` se de�ne por:
` =
Z b
a
�!f�(t) dtEjemplo 7 .Si �!c : [0; 2�] ! R2 tal que �!c (t) = (r cos t; r sin t). ¿ Es una trayectoria
regular? ¿Cual es la longitud de la Curva asociada?Como �!c�(t) = (�r sin t; r cos t) 6= (0; 0) 8t 2 [0; 2�] la trayectoria es regular,
luego ) k�!c�(t)k =p(�r cos t)2 + (r sin t)2) = r
) ` =Z 2�
0
k�!c�(t)k dt =Z 2�
0
rdt = 2�r
Ejemplo 8.¿Cuál es la longitud del astroide dado por la ecuación: �!c (t) = (a cos3 t; a sin3 t)?Veri�quemos primeramente si el astroide es una curva regular:�!c�(t) = (�3a cos2 t sin t; 3a cos t sin2 t)
Podemos inferir que el astroide no es una curva regular, pues �!c�(t) = (�3a cos2 t sin t; 3a cos t sin2 t) = (0; 0)
para t = 0; �2 ; �;3�2 ; 2� pero dado que es simétrica respecto de ambos ejes
podemos calcular su longitud en el segmento del dominio�0; �2
�y luego multi-
plicamos por cuatro.
`4 =
�2Z0
k�!c�(t)k dt =
�2Z0
p9a2 cos4 t sin2 t+ 9a2 sin4 t cos2 tdt
= 3a
�2Z0
sin t cos tdt =h3a sin
2 t2
i�2
0= 3a
2
=)) ` = 6a
14
7.2 La Longitud de Arco como Parámetro
7.2.1 Teorema:
Sea�!f : I � R ! Rn función de clase C1 tal que
�!f�(t) 6= 0 8 t 2 I .
Entonces la longitud s de�nida por
s(t) =
tZ0
�!f 0(u) du; con t 2 I , de una curva puede introducirse como unparámetro de la curva y : d�!fds = 1Demostración:
s(t) =
tZ0
�!f 0(u) du) s�(t) = dsdt =
�!f 0(t) � 0Claramente s = s(t) es monótona, estrictamente creciente y contínua, por lo
tanto s(t) tiene función inversa, que denominaremos por t(s) tal que t�(s) existey es positiva para todo s con 0 � s � l(�!f ):
�!f (t(s)) = (f1(t(s)); f2(t(s)); :::; fn(t(s))
Derivando usando la regla de la cadena tenemos:
d�!fds = (f1�(t(s)) � t�(s); f2�(t(s)) � t�(s); :::; fn�(t(s)) � t�(s)) =
d�!f
dt� dtds=
d�!fdtdsdt
De donde se obtiene que: d�!f
ds
= �!f�(t) ks�(t)k =
�!f�(t) s�(t)
= 1
7.2.2 Observación:
1. Del teorema anterior se desprende, la rapidez con que recorre�!f es con-
stante e igual a 1 si está paramétrizada con el parámetro longitud de arco.
2. Si �!r (s) = (x(s); y(s); z(s)) describe una curva de R3, y s es parámetrolongitud de arco, entoncesbT = d�!r
ds es vector tangente unitario, ya que: bT = dbrds = 1
15
7.2.3 Propiedad:
La longitud de un arco es independiente de la parametrización
Demostración:Sean
�!f : [a; b] ! Rn un camino regular y
�!f � : [c; d] ! Rn una
reparametrización de�!f ; por lo cual existe ' de [c; d] en [a; b] de C1 que es
sobreyectiva y '�(s) 6= 0 8 s 2 [c; d]
Entonces;
s� �!fo
�=
dZc
�!f ��(u) du = dZc
�!f�('(u))'�(u) du=
dZc
�!f�('(u)) '�(u)du , si '�(u) > 0
t = '(u)) s� �!fo
�=
bZa
�!f�(t) dt = s(�!f )) s
� �!fo
�= s(
�!f )
De la misma forma si '�(u) < 0, la parametrización invierte el sentido y'(c) = b; '(d) = a
) s� �!f ��=
dZc
�!f�('(u))'�(u) du = dZc
�!f�('(u)) (�'�(u)) du= �
dZc
�!f�('(u)) '�(u)du = dZc
�!f�(t)) dtLuego s
� �!fo
�= s(
�!f )
7.3 Parametrización por Longitud de Arco
7.3.1 De�nición.
Sea�!f : I � R! Rn , función de clase C1 y tal que
�!f�(t) 6= 0 en I = [a; b] ;
se de�ne s por
s =
tZa
�!f 0(u) du = '(t)De la de�nición de s se pueden hacer las siguientes precisiones:
16
1. s = '(t) =
tZa
�!f�(u) du) dsdt = '�(t) =
�!f�(t) 2. Si t 2 (a; b]) ds
dt > 0) s = '(t) es función estrictamente creciente.
3. Por (2) s = '(t) es biyectiva y por lo tanto invertible, sea t = '�1(s).
Luego la parametrización de�!f en términos de la variable s es:�!
f (s) =�!f ('�1(s))
Ejemplo 9Considere la la trayectoria: �!r (t) = (a cos t; asent) ,y reparametrice en
función de la longitud de arco s:La ecuación cartesiana de la curva C es x2+y2 = a2 ,que corresponde a una
circunsferencia centrada en el origen de radio a:Determinemos su longitud de arco, su derivada es: �!r�(t) = (�a sin t; a cos t) 6=
(0; 0) 8t) k�!r�(t)k =pa2 sin2 t+ a2 cos2 t
) k�!r�(t)k = a
s =
tZ0
k�!r�(u)k du =tZ0
adu = [au]t0 = at
) s = at o t = sa
) �!r (s) = (a cos sa ; a sinsa ) parametrización por longitud de arco de la cir-
cunferencia de radio a.
No siempre es sencillo parametrizar por longitud de arco, a modo de ejemploveamos el siguiente caso.Ejemplo 10Considere la curva C curva descrita por la trayectoria �!r (t) = (t; t2 + 1);
t 2 [0; 3] ; y parametrice en función de la longitud de arco s:La curva corresponde a una parabóla que tiene por ecuación cartesiana:
y = x2 + 1; x 2 [0; 3]
Determinemos la longitud de la curva:�!r�(t) = (1; 2t)) kr�(t)k =
p1 + 4t2
s =
tZ0
p1 + 4u2du =
�lnjp1+4u2+2uj
4 + up1+4u2
2
�t0
s = 14 ln
��p1 + 4t2 + 2t��+ t2
p1 + 4t2
En este caso no es posible obtener t = '�1(s) es decir despejar t en funciónde s a partir de
17
s = '(t) = 14 ln
��p1 + 4t2 + 2t��+ t2
p1 + 4t2:
Part II
Trayectorias y Curvas
Una aplicación �!c : [a; b] �! R3(o R2) continua , de�nida de un intervalo I alespacio R3o al plano R2, la llamaremos trayectoria. La imagen C en R3(o R2)de la trayectoria corresponde a lo que es una curva.
De�nicion:Se llama curva de la trayectoria �!c : I � R ! R3(R2) dada por �!c (t) =
(x(t); y(t); z(t)) al conjunto de imagenes de�!c ;es decir C =��!c (t) 2 R3= t 2 I
=�
(x(t); y(t); z(t)) 2 R3 : t 2 I
Ejemplo 1: Sea �!c : R! R3 una función de�nida por �!c (t) = (x0;y0;z0)+t(v1;v2;v3) es una recta L en el espacio que pasa por (x0;y0;z0) y tiene la di-rección �!v = (v1;v2;v3)::A partir de esta función se deducen las ecuaciones:x(t) = x0 + tv1; y(t) = y0 + tv2; z(t) = z0 + tv3 ; que se conocen como ecua-ciones paramétricas de una recta en el espacio.Luego, la recta es la imagen dela trayectoria: �!c (t) = (x0;y0;z0) + t(v1;v2;v3); t 2 RGeneralmente, usamos t como variable independiente y �!c (t) señala la posi-
ción de una partícula en el espacio y t en este caso es la variable tiempo.
18
Ejemplo 2: Sea �!c : [0; 2�] ! R2 una función de�nida por �!c (t) =(cos t; sin t) ;¿cuál es la curva asociada a esta trayectoria?. A partir de lasfunciones paramétricas tenemos , x (t) = cos t y (t) = sin t que cumplen con(x (t))
2+ (y (t))
2= (cos t)
2+ (sin t)
2= 1 8t 2 [0; 2�] :Por lo tanto, es una trayec-
toria cuya imagen corresponde a una circunsferencia centrada en el origen y radiounitario.Observe que �!c (t) = (cos 3t; sin 3t) con t 2
�0; 2�3
�describe la misma curva.
En este caso tenemos que trayectorias parametrizadas en forma diferente de-scriben una misma curva. La variable t y se designa usualmente con el nombrede parámetro. De ahora en adelante diremos que �!c (t) = (x(t); y(t); z(t)) es unarepresentación paramétrica de la curva C, donde t es el parámetro
De�nición.Sea�!c (t):[a; b]! R3 continua, una trayectoria que describe la curva C:diremos
que C en una curva cerrada si y solo si �!c (a) = �!c (b):Una curva cerrada simple, o curva de Jordan es una curva cerrada que tiene
la propiedad :si �!c (t1) = �!c (t2) =) (t1 = t2) _ (t1 = a y t2 = b):Como vemosesto ocurrre si la función �!c es inyectiva en I es decir 8t1; t2 2 I; t1 6= t2 =)�!c (t1) 6= �!c (t2)
Ejercicios 3
A partir de la representación paramétrica dada, describa las curvasy encuentre las ecuaciones cartesianas de las mismas, si ello es posible:1)�!c (t) = (t;�t); t � 02)�!c (t) = (4� t2; t); t 2 [�2; 3]3)�!c (t) = (cos t; sin t; 2t); 0 � t � 14)�!c (t) = (a cos t; b sin t; 1); 0 � t � 2�
8 Vectores Unitarios
8.1 Vector Tangente unitario
Sea �!c (t) : [a; b]! R3 una trayectoria y C la curva descrita por �!c (t),
supongamos que �!c tiene derivada de tercer orden y que �!c�(t) 6= 0 8t 2 [a; b] : De�nimos el Vector Tangente unitario en un punto �!c (t) dela trayectoria, como sigue:
bT(t) = �!c�(t) �!c�(t) 19
En el caso que el parámetro sea el parámetro longitud de arco, entonces: bT(s) = �!c�(s)PropiedadSea �!c (s) : [0; L]! R3 una trayectoria parametrizada por longitud de arco.
Pruebe que los vectores bT y bT� son ortogonales.En efecto:
Como: bT � bT = bT 2 = 1 =) d
ds (bTc�T) = 0 ) bT � bT �+ bT�� bT = 0 )
2bT � bT�= 0) bT � bT�= 0 ; es decir que bT es ortogonal a bT�
8.2 Vector Normal
En todos los puntos donde bT� 6= 0 de�nimos : bN =bT0 (s) bT0 (s) ;Vector normal
principal a la curva C en el punto �!c (s).
8.3 Vector Binormal
Hay un tercer vector unitario que es perpendicular tanto a bT como a bN . Sede�ne por el producto cruz de estos vectores, y es denominado vector Binormal,denotado por: bB = bT� bNEl conjunto de vectores
nbT; bN; bBo forma un sistema de vectores unitarios,ortogonales entre sí, orientados positivamente en este orden en cada punto �!c (s)de la curva, es decir se cumple que:bT � bN = 0 bN � bB = 0 bB � bT = 0bT � bT = 1 bN � bN = 1 bB � bB = 1bT� bN = bB bN� bB = bT bB� bT = bN,
x
y
z
T
N
BP
0
20
En la medida que varía el conjunto de vectoresnbT ; bN; bBo ;este se desplaza
a lo largo de la curva y se llama triedro movil.
Ejemplo 4
Considere la hélice circular de�nida por: �!c (t) = (3 cos t; 3 sin t; 4t); t >0 Hallar los vectores bT ; bN; y bB.
x
y
z
�!c�(t) = (�3 sin t; 3 cos t; 4) ) s =
tZ0
kc(u)k du = 5t) t =s
5
) �!c (s) = (3 cos s5; 3 sin
s
5; 4s
5)
Por lo tanto: bT = �!c 0(s) = (� 35 sin
s5 ;
35 cos
s5 ;
45 )
Del resultado anterior podemos inferir que bT = 1
Ahora determinemos el vector normal a partir de su de�nición: bN =bT�(s) bT�(s)
bT�(s) = (� 325 cos
s5 ; � 3
25 sins5 ; 0) bT�(s) =q�� 3
25 coss5
�2+�� 325 sin
s5
�2=
q�325
�2= 3
25
21
bN =(� 3
25 coss5 ;�
325 sin
s5 ; 0)
325
= (� cos s5 ; � sin s5 ; 0)
Del resultado anterior podemos inferir que: bN = 1
A partir de los vectores bT y bN se tiene bB = bT � bN )
bB =������
bi bj bk� 35 sin
s5
35 cos
s5
45
� cos s5 � sin s5 0
������ = 45 sin
s5 i�
45 cos
s5j+
35j y podemos comprobar
que: bB = 1De los calculos anteriores podemos resumir que tenemos:En cada punto �!c (s) de la curvabT = (� 3
5 sins5 ;
35 cos
s5 ;
45 );
bN = (� cos s5 ;� sins5 ; 0);
bB = (45 sin s5 ;�
45 cos
s5 +
35 ; 0)
como t =s
5podemos reparametrizar la trayectoria en funcion de t, como
siguebT (t) = (� 35 sin t;
35 cos t;
45 );
bN(t) = (� cos t;� sin t; 0); bB(t) = ( 45 sin t;� 45 cos t+
35 ; 0)
Como ejercicio dejamos que veri�que que: bT � bN = bB bN � bB = bT bB � bT = bN9 Curvatura
Sea�!f : I ! Rn función vectorial dos veces diferenciable, parametrizada
por el parámetro longitud de arco. Al número k(s) = �!f "(s) se le llama
curvatura de�!f en el punto
�!f (s):
Intuitivamente, de la de�nición se in�ere que la curvatura es una medida decuanto se "dobla" una curva, como una medida del alejamiento de la curva dela recta tangente.
Ejemplo 5
Calcular la curvatura de la hélice �!c (t) = (3 cos t; 3 sin t; 4t); t � 0
Sabemos que al parametrizar en función del arco se tiene�!c (s) = (3 cos s5; 3 sin
s
5; 4s
5)
k(s) = k�!c "(s)k = (� 3
25 coss5 ;�
325 sin
s5 ; 0)
= 325
En este caso, la curvatura es constante y como k(s) = k�!c "(s)k = bT�(s) ;signi�ca
que el vector tangente unitario bT (s) tiene la misma rapidez de variación de sudirección, en todos los puntos.
22
Ejemplo 6
Mostrar que la curvatura de una recta es cero. Sea P0 = (xo; yo; zo)punto de la recta y �!v = (a; b; c) su vector dirección, entonces podemos escribir�!c (t) = (xo + ta; yo + bt; zo + ct)
�!c�(t) = (a; b; c) =) s =
tZ0
pa2 + b2 + c2dt = t
pa2 + b2 + c2
) s = tpa2 + b2 + c2 o t =
spa2 + b2 + c2
Reparametrizando en función del arco se tiene�!c (s) = (xo+sap
a2 + b2 + c2; yo+
sbpa2 + b2 + c2
; zo +scp
a2 + b2 + c2)
Derivando la expresion anterior �!c (s) = 1pa2 + b2 + c2
(a; b; c) ) c"(s) =
(0; 0; 0)) k(s) = 0
Por lo tanto, la curvatura en cualquier punto es cero.
9.1 Círculo, circunferencia de curvatura
Si �!c (s) es un punto de la curva C y k la curvatura. La circunferencia que estangente la curva C en el punto �!c (s) de radio R = 1
k se llama circunferenciade curvatura y R radio de curvatura.
x
y
C(s)
P
23
El centro de esta circunferencia se encuentra en la dirección del vector�!c "(s).
9.2 Cálculo de curvatura usando parámetro t cualquieraen IR3
9.2.1 Teorema.
Sea�!f : I � R ! R3 función vectorial, al menos dos veces diferenciable ,tal
que:�!f�(t) 6= 0 8t 2 I: Entonces: k(t) =
�!f�(t)��!f "(t) �!f�(t) 3Demostración:Sea S parámetro longitud de arco tal que t = '(s)
�!f�(s) = bT (s) = �!
f `(t) �!f `(t) ) �!f�(s) =
1 �!f `(t) �!f `(t)Debemos calcular
�!f��(s). Usando la regla de la cadena se tiene:
�!f "(s) =
d
dt
0@ 1 �!f `(t) �!f `(t)1A dt
dscon
dt
ds=
1
ds
dt
=1 �!f `(t)
Por otra parte, como �!f `(t) 2 = �!f `(t) � �!f `(t)
Se tiene:
2 �!f `(t) d
dt
� �!f `(t) � = �!f `(t) � �!f "(t) +�!f "(t) � �!f `(t)) d
dt
� �!f `(t) � = �!f `(t) � �!f "(t) �!f `(t)
Volviendo a la derivada de�!f�(s) :
�!f "(s) =
�!f "(t)
�!f `(t) ��!f `(t) ddt
� �!f `(t) �kf `(t)k2
� 1ds
dt
24
�!f "(s) =
�!f "(t)
�!f `(t) ��!f `(t)�!f `(t) � �!f "(t) �!f `(t) �!f `(t) 2 � 1 �!f `(t) �!f "(s) =
�!f "(t)
�!f `(t) 2 ��!f `(t)��!f `(t) � �!f "(t)� �!f `(t) 4Como
�!f "(t) 2 = �!f "(t) � �!f "(t)) �!f"(s) 2 =
0B@�!f"(t) �!f `(t) 2 ��!f `(t)��!f `(t) � �!f "(t)� �!f `(t) 4
1CA2
�!f "(s) 2 = �!f "(t) 2 �!f `(t) 4 � 2 �!f `(t) 2 ��!f `(t) � �!f "(t)�2 + �!f `(t) 2 ��!f `(t) � �!f "(t)�2
kf `(t)k8 �!f "(s) 2 = �!f�(t) 2 �!f "(t) 2 � ��!f `(t) � �!f "(t)�2 �!f `(t) 6
�!f "(s) 2 = �!f `(t)��!f "(t) 2 �!f `(t) 6
Por lo tanto:
k(t) =
�!f `(t)��!f "(t) �!f `(t) 3Caso particular en caso de curvas en el planoEjemplo 7Sea �!r (t) = (x(t); y(t)) una trayectoria de R2; en este caso
k(t) =jx�(t)y"(t)� x"(t)y�(t)j[(x�(t))2 + (y�(t))2]
3=2
Solución .- Se deja al alumno. como indicación se sugiere poner
�!r (t) � �!f (t) = (x(t); y(t); 0)
25
y aplicar la formula del teortema precedente
Ejemplo 8
Calcule la curvatura de la espiral de Arquímides � = a �:
Solución.-
x = � cos �y = �sin�
=) r(�) = (a� cos �; a�sen�)
estoy considerando x(�) = a� cos � y y(�) = a�sen�; derivando estasfunciones se tiene
x�(�) = a cos � � a�sen� y y�(�) = asen� + a� cos �
x��(�) = �2asen� � a� cos � y y��(�) = 2a cos � � a�sen�
efectuando los productos y simpli�cando se tiene
x�(�) y"(�)� x"(�)y�(�) = 2a2 + a2�2 = a2(2 + �2)
por otro lado también
(x�(t))2 + (y�(t))2 = a2 + a2�2 = (1 + �2)a2
reemplazando en la formula se tiene
k(�) =
��a2(2 + �2)���(1 + �2)a2
�3=2 y simpli�cando k(�) =2 + �2
a(1 + �2)3=2
para cualquier � positivo.
como comentario, observe que lim�!1
2 + �2
a(1 + �2)3=2= 0; esto no signi�ca otra
cosa que la curvatura de la espiral de Arquímides muy lejos del origen tiende aser casi una recta.
10 Planos por un punto de la curva
Sea �!c : I � IR ! IR3 un camino regular dos veces diferenciable y�!P0 =
�!c (t0) (donde t puede ser parámetro longitud de arco). Si�!T ,�!N
y�!B son los vectores tangente, normal y binormal de la curva en �!c (t0) =
(x0; y0; z0):Podemos de�nir los siguientes planos por�!P0 =
�!c (t0)
26
10.1 Plano Osculador
Plano determinado por�!T y
��!N en el
�!P0 cuya ecuación es: (x� x0; y � y0; z � z0) �
�!B = 0
10.2 Plano Normal
Plano determinado por��!N y
�!B en el punto
�!P0 cuya ecuación es: (x� x0; y � y0; z � z0) �
�!T = 0
10.3 Plano Recti�cante
Plano determinado por�!B y
�!T en el punto
�!P0 cuya ecuación es: (x� x0; y � y0; z � z0) �
�!N = 0
Con estos mismos vectore se el punto�!P0 se de�nen las rectas:
10.4 Recta Tangente
Cuya ecuación vectorial es:�!P (t) =
�!P0 + t
�!T
Es decir (x; y; z) = (x0; y0; z0) + t (T1; T2; T2) ; t 2 IR
27
10.5 Recta Normal
Cuya ecuación vectorial es:
�!P (t) =
�!P 0 + t
�!N
Es decir (x; y; z) = (x0; y0; z0) + t (N1; N2; N2) ; t 2 IR
10.6 Recta Binormal
Cuya ecuación vectorial es:
�!P (t) =
�!P 0 + t
�!B
Es decir (x; y; z) = (x0; y0; z0) + t (B1; B2; B2) ; t 2 IR
Ejemplo 9
Considere el camino regular de�nido por �!c (t) = (t3; t2; t). Obtener:a) las ecuaciones de los planos Osculador, Normal, Recti�cante yb) las rectas tangente, normal y binormal a esta curva en el punto (1; 1; 1):
Previo a responder este problema observemos que para determinar los planosy rectas pedidas no es obligatorio trabajar con los vectores unitarios por locual es útil observar que:
�!c�(t) es vector paralelo a �!T (t) , es decir: �!c�(t) = ��!T�!c�(t)��!c "(t) es vector paralelo a �!B (t), es decir :�!c�(t)��!c "(t) = ��!B(�!c�(t)��!c "(t))��!c�(t) es vector paralelo a �!N (t) es decir :
(�!c�(t)��!c "(t))��!c�(t) = �!N
Así en el ejercicio:
�!c�(t) = (3t2; 2t; 1) y �!c��(t) = (6t; 2; 0) evaluando en t = 1 �!c�(1) = (3; 2; 1)
y �!c��(1) = (6; 2; 0)
�!c�(1)��!c "(1) =
������i j k3 2 16 2 0
������ = �2i+ 6j � 6k = �2(i� 3j + 3k)
(�!c�(1)��!c "(1)��!c�(1) =
������i j k�2 6 �63 2 1
������ = 18i�16j�22k = 2(9i�8j�11k)28
En el punto (1; 1; 1) calculamos:Plano Recti�cante(x� 1; y � 1; z � 1) � (9;�8;�11) = 0
) 9x� 8y � 11z + 10 = 0 ecuación del planoPlano Osculador(x� 1; y � 1; z � 1) � (1;�3; 3) = 0
) x� 3y + 2z � 1 = 0 ecuación del planoPlano Normal
(x� 1; y � 1; z � 1) � (3; 2; 1) = 0) 3 x+ 2y + z � 6 = 0 ecuación del plano
Recta tangente: x�13 = y�1
2 = z�10
Recta Normal: x�19 = y�1
�8 =z�1�11
Recta binormal: x�11 = y�1
�3 =z�13
11 Torsión
Si una partícula se mueve siguiendo un camino C, el plano osculador en unpunto P de la curva es un buen referente para observar el giro o torsimiento dela curva, que no es otra cosa que la medida del alejamiento de la curva del planoosculador en una vecindad del punto P:El comportamiento de la derivada de del vector Binormal bB(s) respecto del
parámetro longitud de arco da la razón de cambio del vector�!B respecto del
plano osculadorPor otro lado se puede obsevar que:bB (s) � bB (s) = 1 =) bB�(s) � bB (s)+ bB (s) � bB�(s) = 0 =)) bB�(s) � bB (s) = 0
por lo que a�rmamos que bB�(s) es perpendicular a bB (s) :Ademas como bB (s) � bT (s) = 0 =) bB (s) � bT�(s) + bB�(s) � bT (s) = 0bT�(s) = � bN (s) por lo que bB (s) � bT�(s) = 0 =) ) d bB
ds � bT = 0 por lo quese deduce d bB
ds es perpendicular a bT :Estas dos últimas conclusiones señalan que d bB
ds es un vector perpendicular
a bB y a bT , esto signi�ca entonces que d bBds es paralelo a bN ,es decir normal
al plano osculador en el punto P. Este razonamiento nos permite formular lasiguiente de�nición.
29
11.1 De�nición.
Sea �!c : I � IR ! IR3 un camino regular tres veces diferenciable parame-trizado por longitud de arco y tal que
�!f��(s) 6= 0 8s 2 I ( es decir con curvatura
no nula). Al número real �(s) tal que
d bBds = ��(s) bN(s)
se llama Torsión de la curva en el punto �!c (s):Entonces, se tiene que �(s) = �d bB
ds � bN(s)Observaciones:1) El signo menos tiene el propósito de que si �(s) > 0;entonces d bB
ds tienela dirección de � bN(s): Así cuando P se mueve sobre la curva en una direcciónpositiva bT , bB(s) gira alrededor de bT en el mismo sentido que un tirabuzóndiestro que avanza en la dirección de bT .como se muestra en la �gura adjunta.
P
T
N
B
2) La k�(s)k = d bBds es una medida de la rapidez con que la curva se despega
del plano osculador
La primera consecuencia importante, de lo anterior, es que si bB(s) no varía (bB constante) signi�ca que la curva se mantiene en el plano osculador y d bBds = 0:
A�rmamos, entonces que: ��!c (s) describe una curva plana si y solo si sutorsión es cero�.
11.2 Cálculo de la tosión usando parámetro t cualquiera(en IR3)
11.2.1 Teorema.
Sea�!f : I � IR ! IR3 función vectorial al menos tres veces diferenciable tal
que:�!f ´( t) 6= 0 y
�!f��( t) 6= 0 8t 2 I: Entonces:
�(t) =
h�!f �(t)��!f "(t)
i� �!f ��(t) �!f �(t)��!f "(t) 2
30
La demostración de esta formula puede resultar un interesante aunque largoejercicio a este nivel, sin embargo no lo incluiremos aquí pues no forma partede los objetivos de este escrito en esta primera versión.
Ejemplo 10La curva C resulta de la intersección de las super�cies z = 2x2y y z = x+y:
Veri�que usando la formula que �(1) = 0:Solución.- z = 2x2y y z = x+y =) x+y = 2x2y de aquí despejando y
se tiene y = x2x2�1 : haciendo x = t se tiene una parametrización para la curva
intersección de las super�cies:�!c (t) =
�t; t2t2�1 ;
2t3
2t2�1
�Las derivadas son:�!c�(t) =
�1; �(2t
2+1)(2t2�1)2 ;
2t2(2t2�3)(2t2�1)2
��!c �(t) =
�0; 4t(2t
2+3)(2t2�1)3 ;
4t(2t2+3)(2t2�1)3
��!c ��(t) =
�0; �12(4t
4+12t2+1)(2t2�1)4 ; �12(4t
4+12t2+1)(2t2�1)4
�En P = (1; 1; 2); t = 1 y evaluando las derivadas en t = 1 se tiene:
�!c �(1) = (1;�3;�2) ; �!c �(1) = (0; 20; 20) ; �!c ��(1) = (0;�204;�204)
��!c �(t)��!c "(t)� � �!c ��(t) =������1 �3 �20 20 200 �204 �204
������ = 0: =) �(1) = 0:
Comentario.- el resultado no podía ser otro ya que la curva C está en unplano, el plano z = x+ y:
12 Formulas de Frenet
Fueron obtenidas por el matemático Frances Jean Frédéric Frenet en 1847 ensu tesis doctoral, hoy se les conoce como las formulas de Frenet.
13 1) dbTds = k
bN14 2) d bN
ds =� k bT + � bB15 3) dbB
ds = � � bNDemostración.-1) Igualdad establecida en la fundamentación de la de�nición de la torsión2) De las respectivas de�niciones se tiene:
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bN =dbTds dbTds ; bT(t) = �!c�(s) y k(s) =
�!c "(s)
bN =dbTds dbTds =) dbT
ds = dbTds bN
bT(t) = �!c�(s) y k(s) = �!c "(s) =) dbT
ds = �!c "(s) bN
= k(s) bN) dbT
ds = k cN:2) A partir de bN = bB � bT y diferenciando se tiene:
dbNds =
d bBds � bT + bB � dbT
ds = (�� bN)� bT + bB � (k bN)= � ( bN � bT ) + k( bB� bN) = � bB � k bT :
) dbNds = � bB � k bT
Finalmente, las formulas de Frenet se pueden resumir en una representaciónmatricial, donde la matriz de transformación es antisimétrica.0B@ bT 0(s)bN 0 (s)bB0 (s)
1CA =
0@ 0 k 0�k 0 �0 �� 0
1A0B@ bTbNbB
1CA
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