Funciones 2

Profesor: Javier Trigoso T. Matemática 1

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Dominio y Rango de una función

Una función no queda completamente

definida hasta que se indica cual es el

conjunto de los valores de entrada de

la variable independiente.

• Dominio: llamado también conjunto

de pre imágenes, está formado por

todas las primeras componentes de

los pares ordenados pertenecientes a

la función.

Df Domf x A / (x; y) f

• Rango: llamado también conjunto de

imágenes, está formado por todas las

segundas

componentes de

los pares ordenados pertenecientes a

la función.

Rf Ranf x B / (x; y) f

Ejemplo:

Sea f 1;2 , 3;5 , 7;6 , 4;9

Domf 1; 3; 7; 4

Ranf 2; 5; 6; 9

Una función está completamente definida cuando se indica su dominio, y la fórmula

para obtener los valores de la variable dependiente cuando la variable

independiente toma cualquiera de los valores del dominio.

Cálculo del dominio de una función

En general, una función opera por medio de las operaciones básicas de suma, resta,

multiplicación, división, potencias o radicales, y en vista de esto, afirmamos que

para encontrar el dominio de una función necesitamos solo conocer las operaciones

involucradas en la regla de correspondencia de la función dada.

Para la suma, resta, multiplicación y potenciación sabemos que no hay restricción en

el conjunto de números que pueden relacionarse por medio de estas operaciones.

Para la división si hay una restricción, ya que sabemos que no podemos dividir entre

cero. Para la radicación o extracción de raíces, tenemos restricción si el índice de

A veces, el dominio de una función no se dice explícitamente. Cuando sucede

esto, se entiende que el dominio es el conjunto más grande de números reales

en el que puede tomar valores la variable independiente de la función.


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la raíz es par, es decir, debemos restringirnos a operar solo con números reales no

negativos; si el índice de la raíz es impar no tenemos restricción.

Entonces, solo tenemos problemas de búsqueda de dominios para aquellas funciones

que pueden ser comparadas, en su forma, con las siguientes funciones:

1f(x)

x y f(x) x

Busquemos el dominio de estas funciones.

Dominio de funciones que contienen fracciones

Para la función f definida por la regla: 1

f(x)x

tenemos que la división del

número 1 entre algún número x en solo es posible si x 0 Así, el conjunto de

números que esta función puede operar es: 0

Ejemplo

Encuentra el dominio de la función 4

f(x)x 3

Esta función es comparable con la función 1

x según su forma, pues es una división

entre una expresión que contiene a la variable x. Entonces para buscar el dominio,

primero resolvemos la igualdad:

x + 3 = 0

Despejando la variable x, tenemos: x = -3. Segundo, eliminamos del conjunto ,

este valor, y el conjunto resultante es el dominio buscado. Entonces:

Dom(f) 3

Dominio de funciones que contienen raíces

Para la función g definida por la regla: f(x) x tenemos lo siguiente: las raíces

pares existen solo si el radicando es mayor o igual a cero, es decir, es no negativo,

entonces debemos resolver la desigualdad: x 0

La solución de esta desigualdad nos conduce al intervalo: 0; el cual es el

dominio de la función dada.

Ejemplo

Encuentra el dominio de la función f(x) x 5


3

Si comparamos esta función con la función x vemos que son similares en la forma,

es decir, f es la obtención de una raíz de índice par. Entonces procedemos a

buscar el dominio resolviendo la desigualdad: x 5 0

Despejando la variable x, tenemos: x 5 . Y esto nos conduce al intervalo 5;

Entonces: Dom(f) 5;

Vamos ahora a generalizar esta manera de encontrar dominios.

Si la función dada es la división entre una expresión que contiene a la

variable x, resolvemos la ecuación:

Denominador 0

Procedemos a eliminar de R los valores encontrados en la solución de la ecuación

anterior, y el conjunto resultante es el dominio.

Si la función dada contiene una raíz de índice par, resolvemos la

desigualdad:

Radicando ≥ 0

El conjunto solución resultante es el dominio buscado.

Cuando la regla de correspondencia de la función contiene raíces en el

denominador, es necesario imponer las dos condiciones anteriores.

… PARA LA CLASE

01. Halla el dominio de la función

1f(x) x

x

A. B. 0

C. 1

D. 1


2

2f(x)

x 4

A. 2;2 B. 2

C. 2 D. 2;2

03. Calcula el dominio de la función

f(x) 2 x x 3 Y da como respuesta la suma de sus

valores enteros

A. -3 B. -1

C. 1 D. 3

04. Halla el dominio de la función 4f(x) x 1 6 x

A. 1;6 B. 1;6

C. 1;6 D.


4


x 2f(x)

x

A. B.

C. ;0 D. 0;


f(x) 1 1 x A. B. 0;1

C. D.

1;0

07. Halla el dominio de la función 2

2

x 2x 1f(x)

9 4x

A.3 3

;2 2

B.3 3

;2 2

C.2 2

;3 3

D.2 2

;3 3

08. Si 2

f(x)3 x

y 5

g(x)x 1

,

Halla Dom(f) Dom(g)

A. 1 B. ;3

C. ;3 D. ;3 1

09. Halla el rango de la función

x 1f(x)

x 2

A. 0 B. 1

C. 2

D. 3

10. Halla el rango de f, si 2f(x) 4x 16x 17

A. 1;1 B. 1;

C. 1; D. 1;

11. Determina el rango de la función

cuadrática definida por 2f(x) 2x 4x 1 ; 2 x 3

A. 1;31 B. 1;31

C. 1;31 D. 31;1

12. Dadas las funciones:

f(x) 3x 2 ; x 0;2

g(x) 1 x ; x 2;5

Halla: Ran(f) Ran(g)

A. B. 4;4

C. D. 4;4

… PARA LA CASA

01. Halla el dominio de la función 4f(x) x 1 x 3

A. 1; B. 3;

C. ;1 D. ;3

02. Halla el dominio de la función 4 8f(x) x 1 1 x

A. 1 B. 1

C. 0 D. 0


5


1 xf(x)

x 3

Y da como respuesta su mayor valor

entero

A. 1 B. 2

C. 3 D. 4


2

2x 5f(x)

x 5x 6

A. 2;3 B. 2;3

C. 2;3 E. 3


1f(x) x 3

4 x

A. 3;

B. 3; 4

C. 4 D. 3; 4

06. Indica el dominio de la función:

xf(x) 1 2x

x

A. 0;1 B. 0;1 / 2

C. 0;2 E. ;1 /2

07. Obtén el número de elementos

enteros del dominio de:

2

x 3 3 xf(x)

x 1

A. 3 B. 4

C. 5 D. 6

08. Sea 1

f(x) 5 xx 2

una

función real de variable real, entonces

su dominio es:

A. 2;5 B. 2;5

C. 2;5 D. 2;5

09. Si 2x 5x 6

f(x)x 4

da como

respuesta el mayor entero negativo de

su dominio

A. -4 B. -3

C. -2 D. -1


2

x 4f(x)

x 5x 6

A. ;2 3; B. 2;3

C.

; 3 2; D.

3; 2

11. Si 2

x 4f(x)

x 5x 6

da como

respuesta el menor entero negativo

de su dominio

A. -5 B. -4

C. -3 D. -2


2 xf(x)

(x 3)(x 4)

A. ;2 4;

B.

;2 3;4

C. ;2 3;4

D.

2;3;4

13. Halla Dom(f) Ran(f) para la

función: 2f(x) 2x 6x 8 ; 1 x 4

A.25

;2

B.25

;42


6

C. 1;0 D. 1;0

14. Dada la función f según: 2f(x) 2x 16x 16 ; 1 x 5

hallar: Dom(f) - Ran(f)

A. 5;16 B. 2;1 5;16

C. 2;5 D. 1;16

15. Dada la función x 3

f xx 2

Hallar: Dom(f) Ran(f)

A. 2 B. 1

C. 3

D. 2;1;3

16. Dada la función

4 ; 2 x 6g(x)

x 2 ; 6 x 11

Hallar Dom(g) Ran(g)

A. 2;11 B. 2;3

C. 2,3 4 D. 2;3

17. Si f es una función definida por

f(x) x 1 ; x 0;8 , entonces el

rango de f es.

A. 0;3 B. 1;3

C. 0;2 D. 1;8

18. Si f es una función definida por 2f(x) x 1 ;x 1;2 , entonces el

rango de f es.

A. ;5 B. 1;5

C. 2;5 D. 0;5

19. Sea 2f(x) 4x x , halla

Ran(f) Dom(f)

A. 2;0 B. 0;4

C.

2;2 D. 0;2

20. Calcula el Dom(f) Ran(f) para la

función: 2

3x ; x 2;3f(x)

x ; 3 x 5

A. 2;5 B. 2;5

C. 2;5 D. 2;5

21. Halla el rango de la función

2x 8

f x si x 2;5x 3

A. 9

;54

B. 1

;54

C. 1

;14

D. 9

;44

22. Sea la función

2

x 1 ; x 3;9

f(x) x ; 3 x 2

x ; x 25; 4

Halla el Rango de f

A. 4;10 B. 0;10

C.

0;9 D. 4;5

www.issuu.com/sapini/docs/

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