Funciones a Trozos

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* + + , - *

C:\Copia\CURSO PRECALCULO\MATERIAL ADICIONAL\Funciones_a_Trozos.doc 1

Hasta ahora hemos trabajado con la representacin grfica de expresiones de la forma 0cba =++ yx bm += xy , cuya representacin grfica es una recta, sin embargo sta

situacin no es la ms comn,. . / 0 1 2 3 4 5 6 7 1 0 7 2 8 9 2 4 / : 4 7 2 : 9 0 3 2 ; / = ? @ A B C D E F G F H I J K L M N H O P Q M P F P F R H O O M S G M P F Q P O Q H L M I H O T H L H R H U P F Q H V P N M P L Q H R W F P H V P

T L X V G N N M Y F Z [ X L R H N X \ T L H V P ] H ] ^ ^ G F M V H V P O P R N X O Q X T X L G F M V H V P O V P _ ` a ^ ^ b T X L N X \ T L H O

O G T P L M X L P O H ] ^ ^ P M F I P L M X L P O H c ^ ^ P R T L P N M X T X L G F M V H V O P V M O \ M F G d P P F G F ] c e d T H L H

N X \ T L H O O G T P L M X L P O H c ^ ^ O P f H N P G F V P O N G P F Q X H O G U H R X L G F M Q H L M X V P R ` c e g h O W \ M O \ X O P O H K P

i

G P R H I J K L M N H F X T G P V P H Q P F V P L T P V M V X O O G T P L M X L P O H ] ^ ^ ^ G F M V H V P O g j P Q P L \ M F P R H k O l

P N G H N M Y F k P O l

i

G P L P T L P O P F Q H F P R N X O Q X V P G F T P V M V X d L P T L P O P F Q P S L J I M N H \ P F Q P R H O M Q G H N M Y F

m n o p q r s t u

M R R H \ H \ X O v H R F w \ P L X V P G F M V H V P O

i

G P T M V P G F N R M P F Q P d O P H x P R N X O Q X V P R T P V M V X b

O P T L P O P F Q H F R H O O M S G M P F Q P O O M Q G H N M X F P O Z

u

M 100x P R N X O Q X V P R T P V M V X O P L J xy 2800=u

M 500100

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* + + , - *


. / . 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 : ; < = > ? @ ; 7 : A = > A 7 ; B 5 = 4 C D C E C < = > =

5 7 8 ; 8 9 @ : A = B 9 ; 8 ; 8 : ; F G H H < 7 > I 7 > = 7 J > = 6 6 A K B L < ; > 7 ; 5

M N O

A

M

7 : ; < = P 7 ; B ; 5 : Q = ; 8 : ; F R C S H H C 4 5 8 ; > T A 6 A 7 8 ;

< > ; 8 9 = : ; U V R H = C

M

= W V H H < C

M

C X ; < > ; 8 ; B 9 ; 5 = 8 A 9 @ = 6 A K B

P >

N

J A 6 =

M

; B 9 ; Y ; B 6 @ ; B 9 > ; 5 = ; 6 @ = 6 A K B C

Z

; = [ \ ] ^ _ \ ` a b c d \ \ e ^ f \ g \ ] a h i c d \ h j \ i b d g k \ l m n d ] b

o

e \ h ( )xf \ ] k h ] b i c d \ j \ p \ a h q h i \ ] d e d h i _ b rs

b ` b e \ b p e \ i k h \ g ] h q i f t _ n h g b l h

o

d g h e b ] h \ n d h n _ u g

c d \ i \ a i \ e \ g ^ \ ] h e _ ^ d h n _ u g v a \ i b e _ n b g b n \ ` b e n h j h d g h

j \ ] h e \ n d h n _ b g \ e c d \ i \ a i \ e \ g ^ h g ] h e i \ n ^ h e h e m w x h i h

( ] ( ) 70010 = xfx ; v a h i h ( ] ( ) 400121 .; = xfx v( ] ( ) 100232 .; = xfx v ( ] ( ) 800243 .; = xfx v ( ] ( ) 50035134 ..; = xfx v ] h n d h ] e \ a b j i f \ e n i _ p _ i h e m w

( )( ]( ]( ]( ]( ]

=

51343500432800322100211400

10700

.;;;;

;

x

x

x

x

x

xf

y e ^ h e _ ^ d h n _ u g ^ h ` p _ z g i \ n _ p \ \ ] g b ` p i \ j \

funcin definida a trozos.

EJERCICIOS

1. La grfica representada en el plano cartesiano corresponde a una funcin definida a trozos. ( )xf , sin buscar la ecuacin correspondiente, dibuje:

a. ( )2+xf b. ( ) 2+xf c. ( )xf d. ( )xf

21

e. ( )xf f. Determine el valor de ( )2g si

( ) ( )22 ++= xfxg

2. Haga la grfica de ( ) { }xxg = , si { }x es la distancia de un nmero real x al entero ms prximo.

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011121314

700

1400

2100

2800

3500

4200

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

! " # $ ! # % & " $ # $ & ' % ' ( ! ) ! %

* + + , - *


3. Si ( )xf y ( )xg son las funciones siguientes

Determine: ( )1f ( )2f ( )1g ( )2g

( )( )1+ gf ( )( )2gf + ( )( )1 gf ( )( )2gf Haga la grfica de ( )( )xgf + Haga la grfica de ( )( )xgf Dominio y Rango de ( )( )xgf + Dominio y Rango de ( )( )xgf . / 0 1 2 3 4 5 1 2 1 3 6 0 7 2 5 1 2 8 2 9 2 1 : 0 4 2 ; < = 4 2 7 > = 4 : ? 0 4 3 7 @ 3 > ? 4 ? @ 2 7 2 5 1 0 A 0 7 B = 3 7 3 C 1 3 7 3 4 5 2 4 : 0 4

> 1 3 : = 3 4 : ? 2 D C 2 1 2 : 2 @ 2 = 4 2 @ 3 3 ; ; 2 7 ; ; 3 4 3 ; 2 5 2 8 ; 2 @ 3 E 2 ; 0 1 3 7 D / 2 < 2 ; 2 < 1 F > ? : 2 3 4 3 ; C ; 2 4 0

: 2 1 5 3 7 ? 2 4 0 G 3 7 : 1 ? 8 2 ; 2 > = 4 : ? H 4 : 0 6 0 = 4 2 > = 4 : ? H 4 @ 3 > ? 4 ? @ 2 2 5 1 0 A 0 7

1. I? 7 3 @ 3 > ? 4 3 = 4 2 > = 4 : ? H 4 : 0 6 0 J K L M N O P J Q R J P O

L J Q O P O S T U M K M V

V ( )xf V ( )xfW X Y Z [

W [ Z \ Y Z \

W [ Y Z ]

W ^ Z ] ^

W ^ Z \ ^ Z [

W ^ Z [ ^ Z \

W ^ ^ Z ]

W Y Z ] [

W Y Z \ [ _ \

W Y Z [ X

Y

` a b c d e f g h i f j a g k f k g h l c b c m n h o f g k m k p c d e f g h i f q j l k f l j c q r c g h c c n c s k

Z

d p k k q t j a j a g q h b c

( ) [ ] = xxxf Z ( ) xxf = Z ( ) ( )xfloorxf =

3333 2222 1111 1111 2222 3333

3333

2222

1111

1111

2222

3333

-3 -2 -1 1 2 3 4 5

-2

-1

1

2

3

4

f(x)

-3 -2 -1 1 2 3 4 5

-2

-1

1

2

3

4

g(x)

! " # $ ! # % & " $ # $ & ' % ' ( ! ) ! %

* + + , - *


2. .c d e f g h i f ( ) [ ]xxxg = p c p p c m c q j m k a / 0 1 2 3 4 3 5 6 7 0 8 4 3 9 : ; < = < < > ? @ A B @ C < > B D @ E < I J J E E < K

9 ( )xf

3. L< = < E < = F G H B > < I J E < M B = C B J @ A J H C @ > B D @ < A F ? N ? M O

( )

=

0 si10 si1

x

xxSgn

4. PB M J I J H B @ J ( ) [ ]xxf = > ? Q ? O R S T S U V W W X V W U S Y W 9 Z [ E E J @ J E < M B = C B J @ A J A < \ E < I J ] < E ? F J M [

C \ B ^ C J E ? M _ C @ A ? M [

9 ( )xf 9 ( )xf` a b

[ c

`

c [ d

b

[ d

`

c

b

[ e

` f

[ e

f

` f

[ d

f

[ c

` f

[ c

f

[ d

` f f

[ e

` b

[ e c

` b

[ d c K d

` b

[ c

a

b

5. PJ < E < H C @ > B D @ 7 3 g h 1 3 g 2 3 1 h 7 0 i h 1 j k 3 9 l F J I ? @ I J < F ; < > B < < F F B \ < J E ] < E ? F I J 9 K m M A < J M

> ? @ ? > B I < > ? Q ? > J B E B @ = n M J M B Q \ ? E B N < ( ) xxf = E E J @ J E < M B = C B J @ A J A < \ E < I J ] < E ? F J M [ C \ B ^ C JE ? M _ C @ A ? M [

3333 2222 1111 1111 2222 3333

3333

2222

1111

1111

2222

3333

3333 2222 1111 1111 2222 3333

3333

2222

1111

1111

2222

3333

3333 2222 1111 1111 2222 3333

3333

2222

1111

1111

2222

3333

! " # $ ! # % & " $ # $ & ' % ' ( ! ) ! %

* + + , - *


. ( )xf . ( )xf/ 0 1 2 3

/ 3 2 4 1 2 4

/ 3 1 2 5

/ 6 2 5 6

/ 6 2 4 6 2 3

/ 6 2 3 6 2 4

/ 6 6 2 5

/ 1 2 5 3

/ 1 2 4 3 7 4

/ 1 2 3 0

1

6. 8 9 : ( )

? @ 9 A : 9 B C = 9 D ? E @ ( )xf F 9 A : G H @ I ? E @: < = J K J D F 9 A : L = M G ? I :

2

I J @ D H = 9 D C 9 I < ? N J

F J > ? @ ? J

7

8. O : G ? L H = : > H 9 D < = : 9 A @ ? N 9 A F 9 A : L H : 9 @ A : < ? @ : F 9 A D 9 P J = Q : A N ? D 9 @G H @ I ? E @ F 9 A < ? 9 > C J

7 R

A D 9 P J = Q : A N ? D C H 9 F 9 : S = ? = J I 9 = = : = 9 A L = ? G J

2

3333 2222 1111 1111 2222 3333

3333

2222

1111

1111

2222

3333

6666 5555 4444 3333 2222 1111 1111 2222 3333 4444 5555 6666

666655554444333322221111

111122223333444455556666

9999 6666 3333 3333 6666 9999

11112222

9999

6666

3333

3333

6666

f(x)x

y

1 01 01 01 0 2 02 02 02 0 3 03 03 03 0 4 04 04 04 0 5 05 05 05 0 6 06 06 06 0 7 07 07 07 0 8 08 08 08 0 9 09 09 09 0 1 0 01 0 01 0 01 0 0 5555

5555

1 01 01 01 0

1 51 51 51 5

2 02 02 02 0

2 52 52 52 5

3 03 03 03 0

3 53 53 53 5

4 04 04 04 0

4 54 54 54 5

! " # $ ! # % & " $ # $ & ' % ' ( ! ) ! %

* + + , - *


C H 9 F 9 9 @ < = : = J D : A ? = F 9 A : < ? @ : C H 9 F 9 : S = ? = J I 9 = = : = 9 A F 9 D : L H 9

7

D < 9 F F 9 S 9 F 9 D I = ? S ? = 9 @

C : A : S = : D A J H 9 > H 9 D < = : A : G ? L H = :

2

? @ F ? I : @ F J H 9 H @ ? F : F 9 D D 9 9 D < M @ = 9 C = 9 D 9 @ < : @ F J 9 @ A J D

9 9 D : A A : = A : 9 B C = 9 D ? E @ D ? > S E A ? I : F 9 A : G H @ I ? E @ > J D < = : F :

7

9. ? 9 @ D 9 9 @ A J H 9 ? K J D < : > : P : @ : 7 ; ? S H 9 A : F ? D < : @ I ? : 9 @ < = 9 H D < 9 F A : I : > : 9 @ G H @ I ? E @ F 9 A< ? 9 > C J C : = : A : C = ? > 9 = : J = : F 9 D C H D F 9 A 9 N : @ < : = D 9

10. R @ 9 A L = M G ? I J 9 A 9 9 N 9 = < ? I : A = 9 C = 9 D 9 @ < : A : I : @ < ? F : F F 9 ? A E > 9 < = J D : A J D H 9 D 9 9 @ I H 9 @ < = :

: = : J @ D H 9 A J F 9 D H I : D : 9 @ H @ < ? 9 > C J 9 @ < 9

: = : J @ D H 9 A J N : : A :

R

: F ? I < : =

I A : D 9

2

A H 9 L J N : : D H 9 > C = 9 D : C : = < ? I H A : = = 9 L = 9 D : : D H I : D :

7

a. H < : @ A 9 J D 9 D < M A : R F 9 A : I : D : F 9

: = : J @ D H 9 A J

b. H < ? 9 > C J L : D < :

: = : J @ D H 9 A J C : = : ? = : A :

R

c. ! ( ) ( )1153213 ;,,; " # $ %d. & ' # ( ) * * ! ! ! +

# , ! %

e. - $ $ , ! . / %

11. . & & 0 1 1 # * * ! ! ! ! 2 . ! 3 4 4 5 6 2 " * 7 * !

3 4 5 8 9 2 : 0 ! ! 2 . 7 9 ,

* 7 + 7 * ! + ! ! 2

a. ; ' # !

# ! ! !

< + = + > " 3 2 9 2 ! !

, ! 7

0000....4444

0000....8888

1111....2222

(3.15;1)

8:00 9:00 3:00 5:30

! " # $ ! # % & " $ # $ & ' % ' ( ! ) ! %

* + + , - *


b. . , / ! " 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 " # *

0 0 0 0 0 0 0 0 0

c. 1 0 ! # * 7 2

d. 2 ! ! / # ! 0 ! / "

( )xf

e. 2 " 0 ! / # 3 !

! '

f. - 0 ! ( )53 ,fg. 2 ( ) ( )17 ffh. 2 # $ * 4 5 6 7 8 9 : 6 ; < 8 6 = 9 7 = > ? @ A B

i. C 5 D E ; : F ( )20052 ,. D = G : = ; = < = 6 ( )xf H I E 9 : 8 J K L E = 5 F 6 5M = N G O 8 < 6 B = ; : =

j. P 5 B F 7 8 J 8 < 6 G = 5 Q 6 5 F G 7 = 5 6 Q = 5 F < 8 7 6 7 6 R @ S B T U H = ; : G = 5 6 : = G < = G 6 V 5 6 L E 8 ; : 6 U F G 6 W X B F9 = B F 7 8 J 8 < 6 5 6 M G O J 8 < 6 7 = 5 6 J E ; < 8 X ; Y Z = D G = 9 [ ; : = 5 6 = ; = 5 B 8 9 B F D 5 6 ; F < 6 G : = 9 8 6 ; F

12. C 5 < F 9 : F 7 = D E N 5 8 < 6 < 8 X ; 7 = < 6 7 6 = I = B D 5 6 G 7 = 5 6 G = Q 8 9 : 6 9 = B 6 ; 6 5 \ ] C ^ _ = 9 7 = ` a ? @ @ Y b F 98 ; M G = 9 F 9 D F G Q = ; : 6 9 9 F ; 7 = ` a c @ @ D F G = I = B D 5 6 G B O 9 5 F 9 8 ; M G = 9 F 9 D F G D E N 5 8 < 8 7 6 7 L E = 9 F ; = 5

d

@ e 9 F N G = 5 F 9 8 ; M G = 9 F 9 F N : = ; 8 7 F 9 D F G Q = ; : 6 9 B O 9 6 5 5 O 7 = 5 F 9

d

@ @ @ = I = B D 5 6 G = 9 Y

a. C 9 < G 8 N 6 5 6 J E ; < 8 X ; 7 = E : 8 5 8 7 6 7

b. f W E O 5 = 9 9 = G O ; 5 6 9 E : 8 5 8 7 6 7 = 9 9 8 9 = Q = ; 7 = ; g h @ @ = I = B D 5 6 G = 9 ic. f W E O ; : F 9 = I = B D 5 6 G = 9 7 = N = G O ; Q = ; 7 = G 9 = D 6 G 6 F N : = ; = G E ; 6 9 E : 8 5 8 7 6 7 = 9 9 = B 6 ; 6 5 = 9 7 = 6 5

B = ; F 9 ` g j @ @ @ Y @ @ @ i

13. k ; 6 6 M = ; < 8 6 7 = Q 8 6 I = 9 F G M 6 ; 8 l 6 E ; 6 = m < E G 9 8 X ; Y C 5 Q 8 6 I = : 8 = ; = E ; Q 6 5 F G 7 = ` g @ @ Y @ @ @ D F GD = G 9 F ; 6 9 8 9 = G = n ; = ; a @ X B = ; F 9 H 9 8 9 = 9 E D = G 6 ; 5 6 9 a @ D = G 9 F ; 6 9 U 6 < = ; E ; 6 G = N 6 I 6 7 = 5 g @ e 6

< 6 7 6 D = G 9 F ; 6 Y

a. W 6 5 < E 5 = 5 6 J E ; < 8 X ; L E = G = D G = 9 = ; : 6 = 5 8 ; M G = 9 F : F : 6 5 7 = 5 6 6 M = ; < 8 6 = ; J E ; < 8 X ; 7 = 5 ; n B = G F

7 = Q 8 6 I = G F 9 V U 6 M 6 5 6 M G O J 8 < 6

b. o E [ ; n B = G F 7 = D = G 9 F ; 6 9 7 = N = ; 8 G = ; 5 6 = m < E G 9 8 X ; D 6 G 6 L E = = 5 8 ; M G = 9 F 7 = 5 6 6 M = ; < 8 6 9 = 6B O m 8 B F Y

c. C 9 : 6 N 5 = l < 6 = 5 7 F B 8 ; 8 F 7 = 5 6 J E ; < 8 X ;

14. k ; 6 = B D G = 9 6 7 = : 6 m 8 9 = ; p F M F : O < F N G 6 `d

@ @ @ D F G = 5 D G 8 B = G S 8 5 X B = : G F G = < F G G 8 7 F X J G 6 < < 8 X ;

V ` g ? @ B O 9 D F G < 6 7 6 g @ @ B = : G F 9 F J G 6 < < 8 X ; 7 = G = < F G G 8 7 F 6 7 8 < 8 F ; 6 5 Y C m D G = 9 = = 5 < F 9 : F W q = ;

D = 9 F 9 r 7 = E ; G = < F G G 8 7 F H < F B F E ; 6 J E ; < 8 X ; 7 = 5 6 7 8 9 : 6 ; < 8 6 4 q = ; S 8 5 X B = : G F 9

! " # $ ! # % & " $ # $ & ' % ' ( ! ) ! %

* + + , - *


15. . / 0 1 2 3 4 5 2 5 4 6 1 7 8 9 3 1 8 4 3 : 1 8 7 9 6 ; < = > 3 4 8 5 1 4 3 5 > 7 8 4 3 ? 2 8 2 @ 8 > 0 8 2 ? > 8 1 7 5 5 / 2 0 8 2 5 / 8 ; 3 A ? 3 5 1 7 59 8 1 5 > 8 B

( )

> 5 ; F 6 1 2 5 8 / 8 ; L K B K K F 9 M

a. N 8 A 8 / 8 A > O < 3 4 8 2 5 = ; 7 8 < ? 1 4 3 : 1 M

b. P ? O / 5 ; ; 6 1 / 6 ; 1 3 @ 5 / 5 ; 2 5 4 6 1 7 8 9 3 1 8 4 3 : 1 8 / 8 ; Q B K K 8 9 H L R B K K 2 5 / 2 3 8 H J B K K F 9 I Q B K KF M 9

16. S 8 > 8 / 8 ; 3 A ? 3 5 1 7 5 A > O < 3 4 8 B

a. . 1 4 ? 5 1 7 > 5 / 8 < ? 1 4 3 : 1D

? 5 / 8 A 5 1 5 > 8

b. T U V W X W U Y Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z

c. [ \ X ] U Y Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z

d. ^ X _ ` a b \ c U d e ` f a ` f W V W ` X _ U Y Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z

e. ^ X _ ` a b \ c U d e ` e ` f a ` f W V W ` X _ U Y Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z

f. g U U a e ` X \ e \ d h i X _ U V j X W V U kl l l l l l l l l l l l

g. g U U a e ` X \ e \ d h i X _ U V m n W V U k l l l l l l l l l l l

h. o d p i X f W q X i X U \ i X U r Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z

i. h U a s i t r Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Zj. o d f a W u \ c \ v w x y w z { | s i ` a ` } a ` d ` X _ \ ` c d W ] i W ` X _ ` _ ` n _ U Y ~ \ p i X f W q X ` b \ c i \ e \ ` X ` d ~k. o d f a W u \ c \ v w x y w z { | s i ` a ` } a ` d ` X _ \ ` c d W ] i W ` X _ ` _ ` n _ U Y ~ \ p i X f W q X ` b \ c i \ e \ ` X ` d ~l. o d f a W u \ c \ v w x y w z { | s i ` a ` } a ` d ` X _ \ ` c d W ] i W ` X _ ` _ ` n _ U Y ~ \ W V \ ] ` X e ` ` d ~ Z Z Z Z Z Z

1. ( ) [ ]xxf = 2. ( ) [ ]xxxf = 3. ( ) ( )xSgnxf =

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5-1

1

2

3

4

5

-4 -2 2 4

-4

-2

2

4

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-2

-1

1

2

-4 -2 2 4

-4

-2

2

4

! " # $ ! # % & " $ # $ & ' % ' ( ! ) ! %

* + + , - *


4. ( ) xde entera Parte=xf

5. ( )

xquemayor entero Menorxf =

6.

7. ( )

>+

! " # $ ! # % & " $ # $ & ' % ' ( ! ) ! %

* + + , - *


c. Ver grfica roja

d. ( ) xxf 80= e. Dominio En notacin de conjunto { }100 xx en notacin de intervalo [ ]100 ;

Rango En notacin de conjunto { }8000 xx en notacin de intervalo [ ]8000 ; f. La distancia recorrida al cabo de 3,5 horas g. ( ) kilmetros5607 =f ( )1f no tiene sentido pues no puedo llevar 1 hora de tiempo h. Algebraicamente ( ) horas 125865080650 .=== xxxf i. ( ) ( ) 200528052 == ,,f , entonces si pertenece j. Observar que entre 0 y 3 horas la grfica es la misma y a partir de 3 cambia ver grfica azul.

12. a. La Utilidad = Ingresos Costos

( ) ( )

>

+

=

2000si3500390010020

3900

2000si35003900

xxxx

xxx

xU

b. Si se venden 1800 ejemplares se tiene ( ) ( ) ( ) 00072018003500180039001800 .$==U

c. Observemos la grfica Debe venderse 2.001 ejemplares

13. a. Calcule la funcin que

representa el ingreso total de la agencia en funcin del nmero de viajeros y haga la grfica.

( )

>

=

30000.90300000.100

xsixxsix

xI

2000 4000

1000000

2000000

3000000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

80

160240

320400

480560

640720

800

30

1000000

2000000

3000000

4000000

! " # $ ! # % & " $ # $ & ' % ' ( ! ) ! %

* + + , - *


14.

( )

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Funciones a Trozos