funciones-enteras P2

7/24/2019 funciones-enteras P2

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Funciones Enteras

Rodrigo Vargas

1. Seafentera. Suponga que existeM >0 y una sucesion {Rn} de numerosreales positivos tendiendo acon f(z) = 0 sobre|z| =Rn, tal que

|z|=Rn

f(z)

f(z)

|dz| < M , n N .

Demuestre quef(z) =p(z) donde p(z) es un polinomio.

Solucion. Observe que

|z|=Rn

f(z)f(z)

dz =Numeros de ceros def en|z| 0 tal queg(B(zk, k)) B(0, ) para 1 k mlo que implica que G =

mk=1

g(B(zk, k)) es abier-

to en B (0, ) y cada punto en Gtiene exactamente m preimagenes.

SeaR >mi=1

(i+ |zi|), entonces para cada|z| > R tenemos que

|g(z)| |p(z)h(z)| 1|h(z)||p(z)|

lo que implica que 1

h(z) es un polinomio y como h(z)= 0 para cada

z C implica que h(z) = cg(z) = cp(z) f(z) = cp(z) + w por lotanto, fes un polinomio de grado m.

3. Suponga que f es entera y|f(z)| > 1 cuando|z| > 1. Pruebe que f esun polinomio.

Solucion. Sifno tiene ceros, entonces 1

fes entera

1f 1.


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Funciones Enteras 3

Tambien,

1f M sobre|z| 1, como|z| 1 es compacto. Luego, 1f

1 +M para todo z C lo que implica que 1fes constante, luegof es constante.

Ahora bien, por la condicion sobre f, f tiene solo un numero finito deceros los cuales estan todos en el interior del disco unitario cerrado, diga-

mos z1, . . . , zm. Escribimos

f(z) = (z z1) (z zm)g(z) =p(z)g(z)

para g entera sin ceros, entonces para|z| >1 tenemos que 1g(z) =

p(z)f(z) < |p(z)|

entonces

1

g(z) es un polinomio y como no tiene ceros implica que

1

g esconstante luego g(z) =c y por lo tanto f(z) =cp(z).

4. Pruebe que si f es una mapeo conforme uno a uno del plano, entonces

f(z) =az +b cona = 0.

Solucion. Sean w Imf y g(z) = f(z) w, entonces g es entera yuno a uno. Seaz0 = f

1(w), entoncesg(z0) = 0. Dado >0 existe >0

tal que g(B(z0, )) B(0, ). Se sigue que g : B(z0, ) g(B(0, )) esun homeomorfismo. Por lo tanto, g(z) = (z z0)h(z) donde h es unafuncion entera que no se anula. Exite R >0 tal que para cada|z| > r,

|g(z)| |z z0||h(z)| 1|h(z)||z z0|

luego 1

h(z)tiene un polo y como h(z) = 0 implica que 1

h(z)es constante

luego hes contante y se sigue que g(z) =cz cz0.

5. Demuestre que sif(z) =

n=1 anzn es analtica en 0, entonces

n=1

annn z

n

es entera.

Solucion. Si f(z) es entera entonces lm n|an|= 0 y como n|an| > 0

se sigue que lmn

n

|an| = 0.

Por otro lado, si{an} es una sucesion de numeros positivos tal quelmn

an = 0 entonces para cada > 0 existe N N tal que|an| <


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4 Rodrigo Vargas

para todon N lo que implica que|an| < n para todo n Nse sigueque

|an|n

< para todon N. Por lo que lmn

ann

= 0.

Usando esto, se obtiene que

0 = lmn

n|an|nnn = lmn nannn

= lm nannn

Por lo tanto,n=1

annn

zn es entera.

6. Supunga que fes una funcion entera no constante, y para R >0, sea

M(R) = max|z|=R

|Ref(z)| .

Pruebe queM(R) es una funcion estrictamente creciente de R.

Solucion. Sabemos que Ref(z) es armonica sobre C y luego ella sat-

isface el principio del maximo, es decir, max|z|R

|Ref(z)| = max|z|=R

|Ref(z)|.Ahora bien, siR1< R2, entonces

M(R1) = max|z|=R1

|Ref(z)| = max|z|R1

|Ref(z)| max

|z|R2|Ref(z)| = max

|z|=R2|Ref(z)| =M(R2).

Luego,Mes creciente. Ahora, siR1 < R2y M(R1) =M(R2) M(R) =M(R1) =M(R2) entonces Ref(z) es constante en el anillo

{z

C :R10 suficientemente grande

tal que p no se anula en{z : |z| R}.

(a) Si(t) =Reit, 0 t 2, calcule

p(z)

p(z)dz.

(b) Calcule la integral de contorno

|z1|=2

(z)2dz.

Solucion.

(a) Escribimos p(z) = cni=1

(z zi) entonces p(z) = cni=1

nj=i

(z zi).

Luego

p(z)

p(z) =

ni=1

1

z zi .

Por el Teorema de los residuos obtenemos que

p(z)

p(z)dz =

ni=1

dz

z zi =ni=1

2i = 2in .


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Funciones Enteras 7

(b) Seaw = z 1 entonces z= w+ 1, dz= dw, z = w+ 1 y obtenemosque

|z1|=2

(z)2dz =

|w|=2

(w+ 1)2dw=

20

(Reit + 1)2iReitdt

=

20

(R2e2it + 2Reit + 1)iReitdt

= iR

20

(R2eit + 2R+eit)dt

= iR

1

iR2eit + 2Rt+

eit

i

20

= iR

iR2eit + 2Rt ieit20

= iR[(iR2 + 4R+i) (iR2 + 0 i)]= iR[

2iR2 + 4R+ 2i]

R=2=

12 + 16i .

14. Suponga que una funcion entera f tiene las siguientes propiedades:

(i) fes acotada en el semi-plano superior.

(ii) fes real cuando z es real.

(iii) La seriesn=1

f(n) converge.

Pruebe quef(z) 0.

Solucion. Por el Principio de Reflexion de Schwarz, la funcion

g(z) =

f(z) z H R

f(z) z H

es entera comofes entera yg(z) =f(z) sobre un conjunto no numerable

de puntos lo que implica que f(z) =g(z) para todoz C. Por lo tantofes acotada en Clo que implica por el Teorema de Liouville que f(z) =c

para alguna constante c R (ya que f es real sobre el eje real). Launica manera que

n=1

f(n) =

n=1

c sea convergente es que c = 0. Luego

f(z) 0.

15. Dos funciones enteras f y g son iguales sobre un conjunto no numerable

de puntos. Que podemos decir acerca de ellas? Pruebe su afirmacion.


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Solucion. Sea h(z) = f(z) g(z), entonces h es entera y B ={zC : h(z) = 0} es un conjunto no numerable. Sea Bn = D(0, n) ={zC: |z| n}. Como B es no numerable, existe N N tal que el numerode ceros de h enBNes no numerable. (si no, B sera numerable). ComoBNes compacto, estos ceros contienen una sucesion{zn} que converge aun punto en Bn y por la continuidad de h, lm h(zn) = 0, lo que implica

por el Teorema de unicidad que h(z) = 0, es decir, f(z) =g(z) para todo

z C.

16. (a) Pruebe que sifes entera y|f(z)| |z| para todoz C, entoncesf 0.

(b) Caracterize todas las funciones enterasftales que|f(z)| C |z|3

log |z|para|z| >1 dondeC >0.

Solucion.

(a) Escribimosf(z) =

n=0 anzn, entoncesan =

1

2i

|z|=R

f(z)

zn+1dz. Para

cada|z| =R se tiene que

|an| 12

|z|=R

|f(z)||z|n+1 |dz|

1

2

|z|=R

R

Rn+1|dz| = R

Rn+1/2 .

HaciendoR

, obtenemos que

|an

|= 0 para todo n

N, se sigue

que f(z) =a0, pero|f(0)| 0 f(0) = 0 a0= 0.(b) De manera similar a la letra anterior,

|an| 12

|z|=R

|f(z)||z|n+1 |dz|

C

2

|z|=R

|z|3(log |z|)(|z|n+1) |dz|

= C

2 R

3

(log R)Rn+1

|z|=R

|dz| = C(log R)Rn3

R 0

siempre quen 3. Luegoan = 0 para todon 3 lo que implica quef(z) =a0+a1z+a2z2.

17. Caracterize todas las funciones enteras que satisfacen

|f(z)| |z|5 + 1|z|5 + 1

|z 1|3 .


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Funciones Enteras 9

Solucion. Sobre|z|= R, tenemos|z 1| R 1 luego|f(z)| R5 +1

R5+ 1(R1)3 . Escribimosf(z) =

n=0

anzn, entoncesa0 =

1

2i

|z|=R

f(z)

zn+1dz

y obtenemos que

|an| 12

|z|=R

R5 + 1R5 + 1(R1)3

Rn+1 |dz|

= R6

Rn+1+

R

Rn+6+

R

Rn+1(R 1)3R 0

siempre que n 6. Por lo que an = 0 para todo n 6 lo que implicaque f(z) es un polinomio de grado menor o igual a 5, es decir, f(z) =

a0+a1z+a2z2 +a3z

3 +a4z4 +z5z

5.

18. Suponga que fes entera y que toda serie de potencia

f(z) =n=0

an(z )n

uno de los coeficientes es cero. Pruebe que fes un polinomio.

Solucion. Sea Bn ={z C : f(n)(z) = 0}, n = 0, 1, 2, . . .. Entoncesn=0

Bn = C por la hipotesis del problema. Por lo tanto, al menos uno

de los Bn es no numerable. Sea N el menor de estos enteros. Entonces

f(N)(z) es entera y f(N)(z) = 0 sobre un conjunto no numerable, por

el principio de identidad se tiene que f(N)(z) 0 entonces f(z) =a0+a1z+ +aN1zN1.

19. (a) Suponga quef es entera y f(z) = f

1

z

para todo z C {0}.

Pruebe que f es constante.

(b) Suponga que fes analtica y f(z) =f

1

z

para todo z C {0}.

(i) Escriba la expasion de Laurent para f.

(ii) Demuestre que si f es real sobre el crculo unitario|z| = 1,

entonces los coeficientes de la expansion en parte (i) son reales.Solucion.

(a) Tenemos quef(0) =z0y D es compacto entonces f(D) es compacto.

Comof(z) =f(1z ) se sigue que fDc f(D). Por lo tanto, f(C)


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Funciones Enteras 11

Se sigue que

n=1

log 1 zn

negn(z)

n=1

M|z|3n2

=M|z|3 2

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lo que implica que converge absolutamente, con ligeras modificaciones,la suma de arriba y luego el producto converge uniformemente sobre

subconjuntos compactos y ella define una funcion entera fn, es decir,

f(z) =

n=1

1 z

n

nez+

z2

2n la cual tiene un cero de orden n en z = n y

no otros ceros.

21. (a) Construya una funcion entera con ceros simples en los puntos 0, 1, 22, 32, 42, . . .,

y no otros ceros.

(b) Construya una funcion entera con ceros simples en los puntos 0, 1,

2,

3,

4, . . .,

y no otros ceros.

Solucion.

(a) Sea f(z) = z

n=1

1 z

n2

. Como

n=1

zn2

=|z| n=1

1

n2 converge

absolutamente, concluimos que

n=1

1 z

n2

converge uniformemente

sobre todo|z| < R.

(b) Sea f(z) =zn=1

1 z

n

egn(z) y observe que

log

1 zn

egn(z)

=log

1 z

n

+gn(z)

=

zn z

2

2n z

3

3n3/2

+gn(z)

Luego, considerando la funcion gn(z) =

zn

+ z2

2n obtenemos que

log

1 z

n

egn(z)

=

z

3

3n3/2 z

4

4n2

y como

n=1

1

n3/2


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12 Rodrigo Vargas

22. (a) Hallar una funcion entera con un polo simple en

n para todo nZ+.

(b) Pruebe quen=1

1 + sen

z2

n2

es una funcion entera.

Solucion.

(a) Como en el problema 22.(b), basta considerar la funcion f(z) =

zn=1

1 z

n

egn(z) es entera y tiene un polo simple en

n para

todon Z+.

(b) Sabemos quen=1

(1 + fn(z)) es entera sin=1

fn(z) converge absolu-

tamente y localmente uniforme. Si |z| < R, podemos hallar una cotasuperior para sen z:

sen z=

z0

cos d | sen z| |z| max||R

| cos | = |z|MR.

Ahora bien, si |z| < R, entonces z

2

n2

< R2 para todon N entonces

|fn(z)| =sen

z2

n2

z

2

n2

MR R2

n2MR.

Pero

n=1R2MR

n2

=R2MR

n=11

n2

es convergente por lo que

n=1 senz2

n2

converge uniformemente sobre|z| R por el M-test de Weiertrass.Por lo tanto,

n=1

1 + sen

z2

n2

es analtica sobre todo|z|< R y

es entera.

23. Pruebe que el producton=1

1 z

n2

es convergente (excepto paraz = 0)

a una funcion entera f. Cuales son los ceros de f?

Solucion. Como en el problema 23.(b), podemos considerar

n=0z

n2sobre|z| < R y observe que

n=1

zn2

< n=1

R

n2 =R

n=1

1

n2 ,


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Funciones Enteras 13

por elM-test de Weiertrass, zn2 converge uniformemente sobre |z|

R. Por lo que

n=1

1 z

n2

es analtica sobre todo|z| < R y luego es

entera. Ademas, los ceros de f son z = n2, n = 1, 2, 3, . . ., es decir, f

tiene un polo simple en cada z=n2

, para todo n = 1, 2, 3, . . ..

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