Funciones generalizadas, integrales de Fourier y algunas ...portal.facyt.uc.edu.ve/pasantias/informes/P73633504.pdfceptos fundamentales de la teoría de las distribuciones y la integral

Funciones generalizadas, integrales de

Fourier y algunas aplicaciones

Br. Diego L. Lugo O.

octubre 2013

Universidad de CaraboboFacultad Experimental de Ciencias y Tecnología

Departamento de Matemáticas

Funciones generalizadas, integrales de Fourier y algunas aplicaciones

Br. Diego Lugo Dr. Stefania MarcantogniniC.I. 19.864.187 C.I. 5.532.083

Pasante Tutor Empresarial

Msc. Orestes MontillaC.I. 6.887.736

Tutor Académico

Informe final de pasantías a ser presentado ante el Departamento de Matemáticasde la Facultad Experimental de Ciencias y Tecnología de la ilustre Universidad de

Carabobo

Bárbula, 14 de octubre de 2013

Índice general

Introducción 1

1. Descripción de la empresa 3

1.1. Nombre y ubicación de la empresa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2. Misión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3. Visión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2. Descripción de las tareas realizadas por el pasante 5

Bibliografía 18

v

Introducción

En muchas áreas de la física aparecen cierta clase de funciones, llamadas singulares,que no pueden ser definidas en el sentido clásico de la teoría de funciones. La mássimple de éstas es la función “delta de Dirac” δ(x− x0), la cual la definen los físicosde la siguiente manera: ésta función es “igual a cero siempre excepto en x0 dondees igual a infinito, y su integral es igual a 1”. De acuerdo con la definición clásicade función y de integral, ésta definición es inconsistente. Se puede, sin embargo,analizar el concepto de función singular en aras de exhibir formalmente su utilidad.En ese orden de ideas, nace el estudio de las funciones generalizadas, introducido porLaurent Schwartz.

En esta pasantía se persiguió, además de familiarizar al pasante con los con-ceptos fundamentales de la teoría de las distribuciones y la integral de Fourier,iniciarlo en el campo de la investigación como una de las áreas de trabajo de losgraduados en Matemáticas.

Por ello se tuvo como objetivo general de la pasantía: Estudiar las caraterísti-cas fundamentales de las funciones generalizadas, la integral de Fourier y algunas desus aplicaciones en la resolución de ecuaciones en derivadas parciales.

Introducción

Con el fin de resumir y dar una idea global de las tareas realizadas en la pa-santía, se estructuró este informe de la forma siguiente: en el capítulo 1 se hace unbreve descripción de la empresa y en el capítulo 2, se describen las tareas realizadaspor el alumno, desde la revisión bibliográfica hasta la aplicación de la teoría estudiadaen algunas de las ecuaciones en derivadas parciales mayormente estudiadas en lafísica.

2 Universidad de Carabobo, FaCyT-Matemáticas

Capítulo 1

Descripción de la empresa1.1. Nombre y ubicación de la empresa

La pasantía fué realizada en el Instituto Venezolano de Investigaciones Científicas.La empresa está ubicada en la carretera panamericana kilómetro 11 Altos de Pipe,Estado Miranda.

1.2. Misión

Generar nuevos conocimientos a través de la investigación científica, el desarrollotecnológico y la formación de recursos de alto nivel. Para lo cual el Instituto seráfuente de acopio informativo en el área, asesor y facilitador de servicios externos quegaranticen el acceso directo y la difusión del conocimiento científico en Venezuela yen el Mundo.

1.3. Visión

Ser el principal ente impulsor del desarrollo científico y tecnológico de la región através de la generación de proyectos en áreas de impacto nacional e internacional.

Capítulo 2

Descripción de las tareas realizadas

por el pasante

1. Definir el espacio de las funciones de prueba K.Recordando lo dicho anteriormente acerca de las funciones singulares, digamos,por ahora, que no es necesario responder la pregunta de que es una funciónsingular per se, para los físicos por ejemplo, la funcion delta de Dirac, actúacomo una regla solamente en determinados estados. Si la función actúa sobretodo el proceso, incluso en su resultado final, aparece como un integrando dondese multiplica a ésta por una función de “buen comportamiento”. Así que porahora, es suficiente conocer que la acción de una función delta viene dada porla integral del producto de ésta por una función “bonita” ϕ(x) para la que setiene que: ∫ ∞

−∞δ(x− x0)ϕ(x)dx = ϕ(x0). (2.1)

En otras palabras, para toda función singular le corresponde un funcional quele asocia a toda función “suficientemente buena ”algún número “bien definido ”.Como vimos en (2.1), el número correspondiente a cada función “suficientementebuena” ϕ(x) es ϕ(x0). Visto así, no nos preocuparemos por el concepto de“función singular”; sólo la identificaremos con el funcional actualmente endiscusión. Ésto nos dará una perfecta definición. Sólo nos falta definir el espaciode las funciones “suficientemente buena”sobre las cuales se define la acción del

Capítulo 2

funcional. Las funciones integrables ordinarias están obviamente incluuidas enéste concepto, pues dada cualquier función f(x) de éste tipo, podemos calcular laintegral del producto de f(x) con alguna función “suficientemente buena”. Así, ladefinición de funciones generalizadas incluirá funciones tanto “singulares”, comoordinarias.

Primero que todo, definiremos el conjunto de esas funciones que hemos llamadode manera abusiva “suficientemente buenas”, sobre las cuales actuarán nuestrosfuncionales.

Definición 2.1. Funciones de Prueba:

Diremos que ϕ : IRn −→ IR es una función de prueba si es continuamenteinfinitamente diferenciable y tiene soporte acotado1, lo que significa que lafunción se anula fuera de alguna región acotada Rϕ (donde Rϕ denota que puedeser diferente la región para cada ϕ). Al conjunto de todas las funciones de pruebalo denotaremos K.

Observación 2.1. Es fácil notar que K es ccerrado bajo la suma usual defunciones y el producto de éstas por números reales, por lo que K es un espaciovectorial al que llamaremos espacio de funciones de prueba

Definición 2.2. Convergencia en K:

Diremos que la sucesión (ϕn)n∈IN

de funciones de prueba converge a cero en

K, si todas esas funciones se anulan fuera de una región fija acotada, la mismapara todas ellas, y converge uniformemente a cero, en el sentido clásico, juntocon todas sus derivadas de cualquier orden.

Ejemplo 2.1. Consideremos una función que se anula para la región:

R = x ∈ IRn : r ≥ a. (2.2)

Aquí r = ||x||2 =

√√√√ n∑k=1

x2ky a ∈ IR+.

1El soporte de una función continua ϕ(x) es la clausura del conjunto sobre el cual ϕ(x) 6= 0.


Capítulo 2

Connsideremos además

ϕ(x, a) =

e

(− a

a2−r2

)si r < a

0 si r ≥ a

La sucesión ϕn(x, a) = 1nϕ(x, a) converge a cero en K, pues la región Ba = R es

un soporte fijo para todos los elementos de la sucesión. Sin embargo ϕn(x, a) =1nϕ(x

n, a) converge uniformenete a cero pero no converge a cero en K.

Aunque no estuvo entre los objetivos de la pasantía, se puede probar que elespacio de funciones de prueba K es denso en el espacio de funciones continuascon soporte acotado. Es decir, para todo x ∈ IRn y cualquier ε > 0, existe unafuncion ϕ ∈ K tal que:

|f(x)− ϕ(x)| < ε.

2. Definir el concepto de función generalizada y sus propiedades más simples.

Definición 2.3. Funcional lineal continuo:

Diremos que f : K −→ IR es un funcional lineal continuo sobre K si existealguna regla mediante la cual podemos asociar a cada función ϕ ∈ K un numeroreal ⟨f, ϕ⟩ que satisfaga las siguientes condiciones:

(i) Para cualquier par de números reales α1 y α2 y de funciones ϕ1 , ϕ2 ∈ Ktenemos:

⟨f, α1ϕ1 + α2ϕ2⟩ = α1⟨f, ϕ1⟩ + α2⟨f, ϕ2⟩ (linealidad de f).

(ii) Si la sucesión (ϕn)n∈IN

converge a cero en K, entonces la sucesión(⟨f, ϕn⟩)n∈IN converge a cero (continuidad de f).

Ejemplo 2.2. Sea f(x) absolutamente integrable en cualquier región acotada deIRn (a tales funciones las llamamos “localmente sumables”(f.l.s)). A tal funciónpodemos definirle su acción sobre cualquier ϕ ∈ K como:

⟨f, ϕ⟩ =

∫IRn

f(x)ϕ(x)dx, (2.3)


Capítulo 2

donde la integral se toma sólo en la región acotada sobre la cual ϕ(x) no seanula. Es fácil verificar que las condiciones (i) y (ii) de la definición anterior secumplen. La condición (ii) en particular, se sigue directamente de la posibilidadde el límite bajo la integral cuando las funciones en el integrando convergenuniformemente en una región acotada.

La ecuación (2.3) representa un tipo especial de funcionales lineales continuossobre K. Se puede mostrar que existen otro tipo de funcionales. Por ejemplo,el funcional que asocia a cada ϕ(x) su valor en x0 = 0 es lineal y continuo. Esfacil probar además, que este funcional no puede ser escrito en la forma (2.3)para cualquier función localmente sumable f(x).Supongamos que existe una f.l.s f(x) tal que para toda ϕ ∈ K se tiene que:∫

IRn

f(x)ϕ(x)dx = ϕ(0).

Para ϕ(x, a) como en el ejemplo 2.1 se tiene

⟨f, ϕ⟩ =

∫IRn

f(x)ϕ(x, a)dx = ϕ(0, a) = e(−1), (2.4)

pero si a −→ 0 la integral de la izquierda converge a cero, lo que contradice laecuación (2.4).Así, usando la función de Dirac, denotada δ(x) tenemos:

⟨δ(x− x0), ϕ(x)⟩ = ϕ(x0)

Así, podemos definir una función generalizada.

Definición 2.4. Función generalizada:

Diremos que f es una función generalizada si f es cualquier funcional linealcontinuo definido sobre K.

Observación 2.2. Si f está determinado por una ecuación como en (2.3), fse conocerá como función generalizada regular, todas las demás (incluidala función delta) serán llamadas singulares. Además, denotaremos con K′ elconjunto de todas las funciones generalizadas.


Capítulo 2

3. Estudiar las propiedades locales de las funciones generalizadas.No se puede hablar de el valor de una función generalizada en puntos aislados.Por ejemplo, decir “f vale cero en x0”no es posible. Sin embargo, se puededecir “f se anula en un entorno U de x0”. Lo que quiere deciir que para todafunción de prueba ϕ con soporte U se tiene que ⟨f, ϕ⟩ = 0. Por ejemplo, lafunción generalizada f correspondiente a una función ordinaria f(x) se anulaen un entorno U de x0 si f(x) se anula (casi siempre) en ese mismo entorno. Lafunción generalizada singular δ(x − x1) se anula en un entorno de todo puntox0 6= x1 .Diremos también que f en K′ se anula sobre un abierto G si se anula en unentorno de todo punto en dicho abierto.

Definición 2.5. Punto escencial y soporte:

Diremos que x0 es un punto escencial de f ∈ K′ si f no se anula en cualquierentorno de x0. El conjunto de todos los puntos escenciales de f lo llamaremosel soporte de f .

El concepto de punto escencial se justifica por la siguiente propiedad. Si ϕ(x)

se anula en un entorno del soporte de f , entonces ⟨f, ϕ⟩ = 0. Se sigue que,sin importar como pueda variar ϕ fuera del entorno del soporte de f , no tieneincidencia sobre ⟨f, ϕ⟩. Así, cualquier variación de este tipo es equivalente asumar a ϕ otra función ψ ∈ K que se anule en el entorno del soporte de f , o talque ⟨f, ψ⟩ = 0, de donde se tiene que ⟨f, ϕ+ ψ⟩ = ⟨f, ϕ⟩.

Definición 2.6. Suma de funciones generalizadas:

Dadas f, g ∈ K′ se define su suma f+g como el funcional lineal sobre K definidopara cada ϕ ∈ K por:

⟨f + g, ϕ⟩ = ⟨f, ϕ⟩ + ⟨g, ϕ⟩

Definición 2.7. Producto por un escalar:

Se define el producto de una función generalizada f por un escalar α ∈ IR comoel funcional definido por:

⟨αf, ϕ⟩ = α⟨f, ϕ⟩ = ⟨f, αϕ⟩.


Capítulo 2

Si f y g son funciones generalizadas regulares, la suma y el producto porescalares coincide con la suma usual y el producto por escalares de las funcionesasociadas. No existe un manera natural de definir el producto de funcionesgeneralizadas. Sin embargo„ se puede definir el producto de una funcióngeneralizada por una función continuamente infinitamente diferenciable a(x)

de la siguiente manera:

Definición 2.8. Producto por una función en C∞(IR):

Se define el producto de una función generalizada f por una función a(x) ∈C∞(IR) como el funcional definido por:

⟨αf, ϕ⟩ = α⟨f, ϕ⟩ = ⟨f, αϕ⟩.

Observación 2.3. Se verificó durante la pasantía la continuidad de losfuncionales suma, producto por escalares y producto por un función.

Dadas estas propiedades locales podemos comparar dos cualesquiera funcionalesf, g ∈ K′. Diremos que f coincide con g en un abierto G si f − g se anula endicho abierto. Se puede probar (más no estuvo entre los objetivos de la pasantía)que si f y g coinciden en algún entorno de todo punto, entonces f ≡ g en todoel espacio. Lo que quiere decir que f está determinada por sus propiedadeslocales. Más aún, se puede construir un funcional en K′ si se conocen suspropiedades locales. En particular, f es una función generalizada regular enalguna región G si coincide en tal región con alguna función localmente sumable.

Sea f una función localmente integrable, salvo en x0 donde tiene unasingularidad no integrable (ejemplo f(x) =

1

xsobre la recta). entonces, en

general, la integral ∫f(x)ϕ(x)dx, (2.5)

donde ϕ(x) ∈ K diverge. Pero la integral converge si ϕ(x) se anula en un entornode x0 . Podemos preguntarnos ahora de qué manera se puede usar este resultadopara redefinir el funcional, esto es, construir un funcional sobre K tal que para


Capítulo 2

toda ϕ ∈ K que se anule en un entorno de x0 el funcional tome el valor dadopor (2.5). El funcional f así construido se conoce como regularización de f .

Así, por ejemplo para f(x) =1

x, tenemos:

⟨f, ϕ⟩ =

∫ −a−∞

ϕ(x)

xdx+

∫ b

−a

ϕ(x)− ϕ(0)

xdx+

∫ +∞

b

ϕ(x)

xdx,

con cualquier a, b > 0, por los teoremas de valor medio para derivadas∫ b

−a

ϕ(x)− ϕ(0)

xdx converge. A continuación se presentan una serie de

proposiciones demostradas durante la pasantía que aseguran la existencia deregularizaciones. Por simplicidad tomaremos x0 = 0.

Proposición 2.1. Si existe un entero m > 0 tal que f(x) · rm es localmentesumable, la integral dada en (2.5) puede ser regularizada.

Proposición 2.2. Si f0 es una solución especial del problema de laregularización, esto es, si f0 regulariza la integral (2.5), la solución general fse obtiene sumando a f0 cualquier funcional concentrado en x0 = 0

Proposición 2.3. Si dentro de un angulo sólido con vertice en el origen f(x)

satisface la condiciónf(x) ≥ F (r),

donde F (r) crece monotonamente mas rápido que cualquier potencia de1

rcuando r −→ 0, la integral (2.5) no puede ser regularizada.

Definición 2.9. Convergencia de sucesiones:

Una sucesión de funciones generalizadas (fn)n∈IN

se dice que converge a lafuncion generalizada f si, para todo ϕ ∈ K se verifica que

lımn→∞

⟨fn , ϕ⟩ = ⟨f, ϕ⟩.

4. Estudiar los conceptos de derivación e integración de funciones generalizadas.Si f(x) es una función continua con primera derivada continua (en el sentidousual) y considere el funcional

⟨f ′, ϕ⟩ =

∫ +∞

−∞f ′(x)ϕ(x).


Capítulo 2

Se verifica que al integrar por partes y usando el hecho de que ϕ(x) se anulafueera de algún intervalo [a, b] que:

⟨f ′, ϕ⟩ = ⟨f, −ϕ⟩.

Así, podemos definir entonces:

Definición 2.10. Derivada generalizada:

Sea f un funcional lineal continuo sobre K, el funcional g definido por:

⟨g, ϕ⟩ = ⟨f, −ϕ′⟩, (2.6)

es llamado la derivada generalizada de f y se denota por f ′ o ∂f∂x

en el caso queϕ esté definida sobre IRn.

Observación 2.4. El pasante estudió la consistencia de la definición anterior,es decir, probó que el funcional g definido en (2.6), es lineal y continuosobre K, además, verificó la analogía de algunas propiedades de la derivadageneralizada con la derivada clásica, a saber, la derivada de la suma de funcionesgeneralizadas, la derivada de una constante por la función generalizada, laderivada del producto de una función generalizada por una función C∞(IR) yen el caso parcial, la indiferencia en el orden de la derivación.

Consideremos ahora la simple ecuación no homogénea:

dg

dx= f, (2.7)

donde f es una función generalizada dada y deseamos hallar g. La ecuación(2.7) se puede escribir

⟨g, −ϕ′⟩ = ⟨f, ϕ⟩

para toda ϕ ∈ K. Pero esto significa que el funcional g está definido para elconjunto Φ0 que contiene a las funciones ψ ∈ K las cuales son la derivada dealguna otra función ϕ ∈ K. Queremos extender g a todo K. Ésto se puede hacer,


Capítulo 2

considerando una función ϕ1(x) ∈ K tal que∫ +∞

−∞ϕ1(x) = 1 y esccribiendo

cualquier ϕ ∈ K de la forma:

ϕ = ϕ1

∫ +∞

−∞ϕdx+ ϕ0 ,

donde ϕ0 ∈ Φ0 . Así, a cada ϕ ∈ K le asociamos unívocamente su “proyección” ϕ0

sobre Φ0 . Definimos⟨g0 , ϕ⟩ = ⟨g, ϕ0⟩. (2.8)

La solución general de (2.7) se obtiene sumando la solución particular de laecuación homogenea asociada, que se verifica fácilmente que es g1 = C =

constante. Por lo que cualquier solución de (2.7) se escribe de la forma:

g = g0 + C,

donde g0 queda definido por (2.8). Hemos garantizado la existencia de laprimitiva en términos de funciones generalizadas.

Observación 2.5. El pasante verificó además que la solución general delsistema no homogéneo:

dyi

dx+

m∑j=1

aijyj

= fi

(i = 1, 2, . . . ,m), (2.9)

donde para todo i fison funciones generalizadas, y a

ijson funciones C∞(IR)

para todo i y para todo j, se puede reducir a la solución de una ecuación de laforma (2.7).

La bibliografía mas utilizada hasta este momento fue [Gel64].

5. Estudiar la definición y las principales propiedades de la transformada deFourier.

Definición 2.11. Sea f : IR −→ C una función dada. Definimos latransformada de Fourier de f en ω ∈ IR a través de:

f(ω) =1

2π

∫ +∞

−∞f(t)e(−iωt)dt (2.10)

siempre que la integral exista.


Capítulo 2

Teorema 2.1. Sea f ∈ L1(IR) entonces:

(i) La transfirmada de Fourier de f , existe para todo ω ∈ IR y f definida en(2.10) es acotada.

(ii) La función f es continua.

Observación 2.6. El pasante verificó y calculó la transformada de Fourier conayuda de los textos [Dym70] y [Men01]. Además de la demostración del teoremasiguiente.

Denotaremos F(f) = f la transformada de Fourier de f .

Teorema 2.2. Sea f ∈ L1(IR) y F(f) su transformada de Fourier, entonces:

(i) F(f(ct))(ω) = 1|c| f(ω

c) para c ∈ C.

(ii) F(f(t+ t0))(ω) = e(it0ω)f(ω) para t0 ∈ C.

(iii) F(e(iω0)f(t))(ω) = f(ω − ω0) para ω0 ∈ IR.

(iv) Si f ′(t) ∈ L1(IR) y lım|t|→∞

f(t) = 0 entonces

F(f ′(t))(ω) = iωf(ω).

(v) Si tf(t) ∈ L1(IR) entonces

F(tf(t))(ω) = if ′(ω).

Teorema 2.3. Sea f ∈ L1(IR) continua y definamos

f(t) =1

2π

∫ +∞

−∞f(t)e(itω)dω (2.11)

Supongamos adicionalmente que f ∈ L1(IR), entonces

f(ω) =1

2π

∫ +∞

−∞f(t)e(−iωt)dt (2.12)

Definición 2.12. La función descrita en (2.11) se conoce como transformadainversa de Fourier de f .


Capítulo 2

6. Estudiar la integral de Fourier (o transformada) en distintos espacios defunciones (C∞

↓(IR), L2(IR) y L1(IR)).

Para definir la transformada de fourier de un función f en el espacio L2(IR), noes suficiente escribirla como la integral en (2.10) para f , ya que la integral, nonecesariamente existe. El problema para el caso en el que f ∈ L1(IR) pasa porno poder asegurar la existencia de la transformada inversa para f . El espaciode funciones C∞

↓(IR), no tiene ese problema y lo garantizamos con el siguiente

teorema.

Teorema 2.4. Sea f ∈ C∞↓

(IR) entonces:

(i) f ∈ C∞↓

(IR)

(ii) Existe la transformada inversa, que denotaremos (f)∨ y además:

(f)∨ = f

(iii) ||f ||2 = ||f ||2 esto es, se satisface la identidad de Plancherel.

Para ver la trasformada de fourier de una función f ∈ L2(IR) basta tomar(ya que L2(IR) es la completación del espacio C∞

↓(IR)) una sucesión (fn)

n∈IN∈

C∞↓

(IR) que converge a f , por la identidad de Plancherel:

||fm − fn||2 ≤ ||fm − f ||2 + ||fm − f ||2 ,

por lo tanto podemos definir f = lımn→∞

fn además se verifica que:

(i) La identidad de Plancherel.

(ii) (f)∨ = f.

Para la transformada de fourier de de funciones en L1(IR), se puede definir bajolas afirmaciones del siguiente teorema:

Teorema 2.5. Para cualquier función f ∈ L1(IR), la trasformada de fourier

f(ω) =1

2π

∫ +∞

−∞f(t)e(−iωt)dt

existe como una integral de Lebesgue ordinaria, que además satisface:


Capítulo 2

(i) ||f ||∞ ≤ ||f ||1 .

(ii) f es continua.

(iii) lım|ω|→∞

f(ω) = 0.

(iv) F(f ◦ g) = f g.

(v) f = 0⇐⇒ f = 0.

Además para una función f ∈ L1(IR) tenemos:

Teorema 2.6. Sea f ∈ L1(IR), entonces, la función f se puede recuperarpartiendo de f de la siguiente forma:

f = lımt→0

[e(−2π2ω2t)f ]∨

donde la convergencia es uniforme en L1(IR).

(A7) Estudiar la aplicación de la integral de Fourier en la resolución de ecuacionesen derivadas parciales.Consideremos la transformada de fourier de la derivada de una función f :

F(f ′) = 2πωf .

Una sencilla aplicación de este hecho se concentra en este problema

u′′ − u = −f,

donde se conoce f y deseamos hallar u. Al tomar la transformada de fourier aambos lados de la igualdad se tiene

(4π2ω2 + 1)u = f

o lo que es lo mismo:u = (4π2ω2 + 1)−1f .

Pero (4π2ω2 + 1)−1 es la transformada de fourier de 12e(−|x|) entonces:

u = [(4π2ω2 + 1)−1f ]∨ =1

2(e(−|x|) ◦ f)∧∨ =

1

2e(−|x|) ◦ f.

La ecuacion de flujo de calor:

El problema del flujo de calor viene dado por:


Capítulo 2

(i)∂u

∂t=

1

2

∂2u

∂x2t > 0, x ∈ IR.

(ii) lımt→0

u = f.

Es facil resolverlo aplicando los mismos comceptos, aplique en (i) latransformada de fourier a ambos lados de la igualdad:

∂u

∂t= −2π2ω2u,

al resolver para u se tiene:u = f e(−2π

2ω2t)

y se invierte para obtener

u(t, x) = [f e(−2π2ω2t)]∨ = pt ◦ f =

∫ ∞−∞

e

(−(x−y)2

2t

)(2πt)1/2

f(y)dy

donde pt es el kernel dee Gauss

(2πt)1/2e

(−x2

2t

).

La ecuacion de movimiento de ondas:

Para el problema de ondas:

(i)∂2u

∂t2=

1

2

∂2u

∂x2t > 0, x ∈ IR.

(ii) lımt→0

u = f.

(iii) lımt→0

∂u

∂t= g.

El pasante lo resolvió aplicando las técnocas de manera similar.


Bibliografía

[Dym70] H. McKean H. P. Dym. Fourier series and integrals. Academic press, inc.,1970.

[Gel64] G. E. Gel’fand, I. M. Shilov. Generalized Functions vol. I. Academic Press,Inc., 1964.

[Men01] Andrea S. Mendoza, A. Guía Matemáticas VII. Universidad Simón Bolívar,Venezuela, 2001.

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