Funciones holomorfas

CAPITULO 1

Funciones holomorfas

1.1 INTRODUCCION

La definicion y primeras propiedades de la derivacion de funciones complejas sonmuy similares a las correspondientes para las funciones reales (exceptuando, comosiempre, las ligadas directamente a la relacion de orden en R, como por ejemploel teorema del valor medio). Sin embargo, iremos comprobando poco a poco quela derivabilidad compleja es una condicion mucho mas fuerte que la derivabilidadreal, o incluso que la diferenciabilidad de las funciones de dos variables reales. Laexplicacion final la encontraremos en resultados posteriores.

Para las primeras secciones de este capıtulo puede usarse como libro de con-sulta el texto de Open University: Complex Numbers / Continuous Functions /Differentiation. The Open University Press, Milton Keynes (1974); para las finales,ver Duncan, J.: The elements of complex analysis. Wiley, London (1968).

1.2 DERIVABILIDAD DE LAS FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA

1. Definicion y primeras propiedades.

Como C es un cuerpo y tiene sentido la division, podemos imitar literalmentela definicion de derivabilidad de funciones reales.

Definicion. Sea � abierto de C. Sea f : � −→ C y sea z0 ∈ �. Diremos que fes derivable en z0 si existe

limz→z0

f (z) − f (z0)

z − z0= f ′(z0) ∈ C.

Al valor de dicho lımite f ′(z0) lo llamaremos derivada de f en z0.

Observacion. Aunque, formalmente, la definicion es como en R, la existenciade lımite es aquı mas exigente, al tener que existir de cualquier modo que nosacerquemos a z0 por el plano. Esto hara que las funciones derivables en C seanmejores que las derivables en R, y que podamos desarrollar una teorıa mucho masredonda para estas.

Para empezar, listamos las propiedades de derivabilidad que se demuestranimitando punto por punto lo que se hace en R.

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18 Funciones holomorfas

1. f derivable en z0 �⇒ f continua en z0.

2. Si f y g son derivables en z0,

i) f + g es derivable en z0 y ( f + g)′(z0) = f ′(z0) + g′(z0).

ii) f · g es derivable en z0 y ( f · g)′(z0) = f ′(z0)g(z0) + g′(z0) f (z0).

iii) (Si f (z0) �= 0), 1/ f es derivable en z0 y (1/ f )′(z0) = − f ′(z0)/ f (z0)2.

3. Regla de la cadena. Sean f : �1 −→ C, g : �2 −→ C con f (�1) ⊆ �2.Si f derivable en z0 y g es derivable en f (z0), entonces g ◦ f es derivable enz0, y

(g ◦ f )′(z0) = g′( f (z0)) f ′(z0).

4. Derivacion de la funcion inversa en un punto. Sea f : � −→ C inyectiva,derivable en z0 con f ′(z0) �= 0. Supongamos ademas que f (�) es abierto yque f −1 es continua en f (z0). Entonces, f −1 es derivable en f (z0) y

( f −1)′(

f (z0)) = 1

f ′(z0).

Veamos, a modo de ejemplo, como este ultimo resultado se prueba igual quepara funciones reales:

La derivabilidad de f en z0 es equivalente a la continuidad en z0 de la funciong : � → C dada por

g(z) ={ f (z) − f (z0)

z − z0si z ∈ � \ {z0};

f ′(z0) si z = z0.

Esta funcion permite escribir para todo z ∈ �

f (z) − f (z0) = g(z)(z − z0),

y como ahora g es continua en z0 con g(z0) = f ′(z0) �= 0, se verificara g(z) �= 0en un entorno de z0. Poniendo w0 = f (z0), si tomamos w ∈ f (�) y z = f −1(w),

w − w0 = g(

f −1(w)) (

f −1(w) − f −1(w0)),

y, teniendo en cuenta que f −1 es continua en w0, para w en un entorno reducidode w0,

1

g(

f −1(w)) = f −1(w) − f −1(w0)

w − w0;

Funciones holomorfas 19

usando nuevamente la continuidad de f −1 en w0 y la de g en z0 = f −1(w0), vemosque existe

limw→w0

f −1(w) − f −1(w0)

w − w0= 1

f ′(z0).

Ejemplos de funciones derivables.

1. Las funciones constantes son derivables en todo punto de C con derivada 0.La funcion identidad es derivable en todo C y su derivada es constantemente1.

2. Por operaciones algebraicas con funciones derivables, todo polinomio es deri-vable en C y su derivada tiene la misma expresion que en R. Del mismo modo,toda funcion racional, puesta en forma irreducible, es derivable en todo Csalvo los ceros del denominador.

1.3 CONDICIONES DE CAUCHY-RIEMANN

El problema que ahora vamos a tratar es exclusivo del contexto de C. Ya sabemosque dar una funcion de variable compleja es dar dos funciones reales de dos variablesreales. Nos vamos a preguntar por la relacion que existe entre la derivabilidad dela funcion compleja y la diferenciabilidad de estas dos funciones.

En este apartado emplearemos sin mas comentarios la notacion:

f : � −→ C, f (z) = u(z) + iv(z) = u(x, y) + iv(x, y),

z = x + iy ∈ �, z0 = x0 + iy0 ∈ �.

Tenemos:

Teorema. f es derivable en z0 si y solo si

i) u, v son diferenciables en (x0, y0).

ii) Se cumplen las llamadas condiciones de Cauchy-Riemann:

∂u

∂x

∣∣∣(x0,y0)

= ∂v

∂y

∣∣∣(x0,y0)

,∂u

∂y

∣∣∣(x0,y0)

= −∂v

∂x

∣∣∣(x0,y0)

.

Demostracion. Antes de entrar en ella, modifiquemos un poco las notaciones.Primero, es claro que f derivable en z0 se puede escribir de la forma

limh→0

f (z0 + h) − f (z0) − h. f ′(z0)

h= 0. (1)


Por otra parte, recordemos la nocion de diferenciabilidad. u diferenciable en(x0, y0) significa que existe una forma lineal

L : R2 −→ R (k, l) −→ L(k, l) = ak + bl

tal que

lim(k,l)→(0,0)

u(x0 + k, y0 + l) − u(x0, y0) − L(k, l)√k2 + l2

= 0.

Recuerdese ademas que

a = ∂u

∂x

∣∣∣(x0,y0)

, b = ∂u

∂y

∣∣∣(x0,y0)

.

⇒) Supongamos que f es derivable en z0 y sea su derivada f ′(z0) = α + iβ.Escribimos h = k + il para el parametro complejo h.

(1) implica que

limh→0

f (z0 + h) − f (z0) − h. f ′(z0)

|h| = 0. (2)

porque (2) se obtiene de (1) multiplicando por h/|h| que es una funcion acotada.Ahora,

f (z0 + h) − f (z0) − h. f ′(z0)

|h| = u(x0 + k, y0 + l) − u(x0, y0) − (αk − βl)√k2 + l2

+iv(x0 + k, y0 + l) − v(x0, y0) − (βk + αl)√

k2 + l2

(3)

luego, las partes real e imaginaria de esta expresion tienen que tender a 0 cuandoh → 0 (o, lo que es lo mismo (k, l) → (0, 0)).

Pero esto quiere decir exactamente que u y v son diferenciables en (x0, y0)

con∂u

∂x

∣∣∣(x0,y0)

= α = ∂v

∂y

∣∣∣(x0,y0)

y∂u

∂y

∣∣∣(x0,y0)

= −β = −∂v

∂x

∣∣∣(x0,y0)

.

⇐) Si u y v son diferenciables en (x0, y0) y se cumplen las condiciones de Cauchy-Riemann, llamamos

∂u

∂x

∣∣∣(x0,y0)

= α = ∂v

∂y

∣∣∣(x0,y0)

y∂u

∂y

∣∣∣(x0,y0)

= −β = −∂v

∂x

∣∣∣(x0,y0)


y se tiene que cumplir que la expresion en (3) tiende a 0.

Por tanto, se cumple (2) y de aquı (1) (otra vez porque (1) se obtiene de (2)multiplicando por |h|/h). Ası, f es derivable en z0 con derivada f ′(z0) = α + iβ.

Observacion.

De paso, hemos visto en la demostracion que la derivada de f se puede obtenera partir de las derivadas parciales de u y de v,

f ′(z0) = ∂u

∂x

∣∣∣(x0,y0)

− i∂u

∂y

∣∣∣(x0,y0)

= ∂v

∂y

∣∣∣(x0,y0)

− i∂u

∂y

∣∣∣(x0,y0)

= ∂u

∂x

∣∣∣(x0,y0)

+ i∂v

∂x

∣∣∣(x0,y0)

= ∂v

∂y

∣∣∣(x0,y0)

+ i∂v

∂x

∣∣∣(x0,y0)

.

Observacion.

En el teorema anterior vemos que el concepto de derivabilidad compleja esmas exigente que el de diferenciabilidad real. Si miramos a f como funcion de R2

en R2, ser diferenciable significa sin mas que lo sean sus dos componentes u y v,mientras que ser derivable exige, ademas de esto, que se cumplan las condicionessobre las derivadas parciales de u y v que establecen las ecuaciones de Cauchy-Riemann. Algunas de las consecuencias de este hecho se veran al final del capıtulo.

NOTA. En Levinson, N.; Redheffer, R.M.: Curso de variable compleja. Reverte,Barcelona (1990), pags. 77 y ss. se da una interpretacion fısica de las condicionesde Cauchy-Riemann, en terminos del estudio del flujo bidimensional de un fluidoideal.

Para una interpretacion geometrica de las condiciones de Cauchy-Riemann yotras muchas consideraciones interesantes sobre la derivada y demas conceptos,con un enfoque muy original, v. Needham, T.: Visual Complex Analysis. ClarendonPress, Oxford (1997).

1.4 FUNCIONES HOLOMORFAS. FUNCIONES ARMONICAS.

Definicion. Sea � abierto de C. Sea f : � −→ C. Diremos que f es holomorfaen un punto z0 ∈ � (o tambien, que z0 es un punto regular para f ) si f es derivableen todos los puntos de un entorno de z0. Diremos que f es holomorfa en � si f esholomorfa en z0, ∀z0 ∈ �.

Claramente, f es holomorfa en � ⇐⇒ f es derivable en todos los puntos de� (pues al ser � abierto, es entorno de todos sus puntos).


Denotaremos

H(�) = { f : � −→ C : f es holomorfa en �}.

Por otra parte, recordemos el concepto de funcion armonica.

Definicion. Sea � abierto de R2. Sea u : � −→ R. Diremos que u es armonicaen � si u es de clase C2 (i.e., u tiene derivadas parciales hasta el orden 2 y soncontinuas) y cumple

u = ∂2u

∂x2+ ∂2u

∂y2= 0

en todo punto del abierto �.

Gracias a las condiciones de Cauchy-Riemann tenemos:

Corolario. Si f ∈ H(�), f = u + iv, y u, v son de clase C2, entonces u, v sonarmonicas en �.

Demostracion. Por las condiciones de Cauchy-Riemann, se tiene

∂2u

∂x2= ∂

∂x

(∂u

∂x

)= ∂

∂x

(∂v

∂y

),

∂2u

∂y2= ∂

∂y

(∂u

∂y

)= − ∂

∂y

(∂v

∂x

)

y, como u es de clase C2, las derivadas cruzadas coinciden y tenemos que u esarmonica. Analogamente se razona con v.

Observacion.

Veremos mas adelante que si f ∈ H(�) entonces f es indefinidamente deri-vable, lo cual implicara que la hipotesis C2 del corolario es innecesaria.

Las condiciones de Cauchy-Riemann nos van a permitir obtener funcionesholomorfas a partir de funciones armonicas en abiertos de R2. Empecemos con lasiguiente definicion:

Definicion. Dada u armonica en un abierto de R2, diremos que v es armonicaconjugada de u en � si f = u + iv es holomorfa en �. O, equivalentemente, porlas condiciones de Cauchy-Riemann, v satisface las condiciones

vx = −uy, vy = ux

en todo punto de �.

Es inmediato demostrar que una funcion armonica conjugada de otra es,asimismo, armonica.


Ejemplo 1.

Tomemos la funcionu(x, y) = ex cos y.

Es una comprobacion inmediata que dicha funcion es armonica en todo R2. Paratratar de encontrar una armonica conjugada, planteamos las ecuaciones:

vx (x, y) = −uy(x, y) = ex sen y

vy(x, y) = ux (x, y) = ex cos y

Es facil resolver este sistema, obteniendo que la funcion

v(x, y) = ex sen y

es solucion en todo R2. Por tanto, hemos obtenido que la funcion

f (z) = ex cos y + iex sen y, z = x + iy

es una funcion holomorfa en todo C. Si utilizamos la notacion polar, podemosponer

f (z) = ex eiy

Con lo que esta funcion compleja parece tener derecho a llamarse la funcionexponencial compleja. En efecto lo sera, aunque la introduciremos de forma oficialcon las series de potencias.

Que hayamos podido resolver el sistema en el ejemplo anterior no ha sidocasual. En efecto, vamos a ver en el siguiente resultado que para ciertos abiertosde C, una funcion armonica siempre tiene armonica conjugada.

Teorema. Sea � abierto estrellado de R2. Sea u armonica en �. Entonces, existev armonica conjugada de u en �.

Demostracion. El resultado es una simple aplicacion del lema de Poincare paraabiertos estrellados. Recordemos que este resultado dice que toda forma diferencialcerrada es exacta. Entonces, dada nuestra funcion u, consideramos la forma

ω(x, y) = −uy(x, y)dx + ux (x, y)dy

El ser u armonica implica que ω es una forma cerrada. Entonces, es exacta, locual quiere decir (por definicion) que existe una funcion v diferenciable tal quevx = −uy y vy = ux . Luego v es armonica conjugada de u.


Observacion.

Mas adelante veremos que el teorema anterior es cierto en abiertos mas gene-rales (los simplemente conexos). Pero, con el siguiente ejemplo, vamos a demostrarque no es ampliable a abiertos cualesquiera.

Ejemplo 2.

Sea el abierto � = C \ {0} y sea la funcion

u(x, y) = 1

2log(x2 + y2)

que se comprueba sin dificultad que es armonica en �.

Esta funcion u no tiene armonica conjugada en �.

En efecto, si existiera v armonica conjugada de u en �, consideramos lafuncion de variable real

g(t) = v(cos t, sen t), t ∈ [0, 2π ].

g es una funcion continua en [0, 2π ] (por composicion de funciones continuas). Laderivamos por la regla de la cadena para funciones de varias variables y utilizamoslas ecuaciones de Cauchy-Riemann, obteniendo

g′(t) = −vx (cos t, sen t) sen t + vy(cos t, sen t) cos t

= uy(cos t, sen t) sen t + ux (cos t, sen t) cos t = 1.

Esto implica que g(t) = t + C , lo cual no puede ser porque g(0) = g(2π).

Sin embargo, en un abierto estrellado como C \ (−∞, 0], por el teorema yaprobado, la funcion anterior debe tener armonica conjugada o, lo que es lo mismo,ser la parte real de una funcion holomorfa. Esta funcion holomorfa cuya parte reales u veremos mas adelante que es la funcion logaritmo principal.

4. Consecuencias de las condiciones de Cauchy-Riemann.

Las condiciones de Cauchy-Riemann nos permiten obtener con facilidad va-rios resultados para funciones holomorfas, apoyandonos en el conocimiento defunciones reales de dos variables.

1. Sea � una region (i.e., abierto y conexo) de C. Si f es holomorfa en � yf ′(z) = 0 para todo z ∈ �, entonces f es constante.


En efecto, si f = u + iv, f ′ = ux − iuy = vy + ivx = 0 en � implica queux = uy = vy = vx = 0 y esto, ya sabemos que implica u, v constantes y,por tanto f constante.

2. Sea � region. Si f es holomorfa en � y �e f (z) = C (o �m f (z) = C) paratodo z ∈ �, entonces f es constante.

En efecto, si u = cte, entonces ux = uy = 0. Luego, por Cauchy-Riemann,tambien sera vx = vy = 0, lo que implica v =cte. Por tanto, f es constante.Analogamente se razonarıa si fuera constante la parte imaginaria.

3. Sea � region. Si f es holomorfa en � y | f (z)| = C para todo z ∈ �, entoncesf es constante.

En efecto, la hipotesis es u2 + v2 = cte. Derivando en esta expresion conrespecto a x e y, tenemos

2uux + 2vvx = 0, 2uuy + 2vvy = 0.

Si utilizamos las ecuaciones de Cauchy-Riemann tendremos

2uux − 2vuy = 0, 2uuy + 2vux = 0

Multiplicando la primera × u y la segunda × v, nos da

(u2 + v2)ux = 0,

de donde ux = 0. De forma parecida se obtiene uy = vx = vy = 0. Por tanto,u y v son constantes y en consecuencia lo es f .

Observacion.

Notese como las condiciones de Cauchy-Riemann impiden que una funcionholomorfa pueda tomar valores de forma caprichosa. A poco que exista una ligazonentre las partes real e imaginaria, esta fuerza a que la funcion holomorfa sea cons-tante.

Por ejemplo, resultados de esta naturaleza serıan:

i) Si f = u + iv es holomorfa en � region y u3 = v entonces f ≡ C .

ii) Si f = u + iv es holomorfa en � region y 5u + 2v = cte entonces f ≡ C .

Comprobamos ası que la derivabilidad en C es muy exigente, y no solo a nivellocal.


1.5 APENDICE: CALCULO DE ARMONICAS CONJUGADASY METODO DE MILNE-THOMSON

La Teorıa de funciones analıticas constituye un autentico filon

de metodos de gran eficacia para resolver importantes problemas

de Electroestatica, Conduccion del calor, Difusion, Gravitacion,

Elasticidad y Flujo de corrientes electricas. La gran potencia del

Analisis de variable compleja en tales campos se debe, principal-

mente, al hecho de que las partes real e imaginaria de una funcion

analıtica satisfacen la ecuacion de Laplace.

Este parrafo, tomado de Levinson–Redheffer, loc. cit., pag. 77, da idea de que labusqueda de funciones holomorfas con parte real (o parte imaginaria) conocidases una cuestion importante en muchas aplicaciones de la teorıa de funciones devariable compleja.

Hemos visto una solucion de este problema mediante el calculo de funcionesarmonicas conjugadas siguiendo lo que, a falta de otro nombre mejor, podemosdenominar “el metodo real”: dada una funcion u armonica en un abierto conexo �

de R2, nos son conocidas las derivadas parciales de su armonica conjugada v (¡siexiste!) a traves de las condiciones de Cauchy-Riemann, de manera que el calculo deprimitivas de funciones reales de una variable real [o, equivalentemente, el calculode las funciones potenciales de la forma diferencial −uy(x, y) dx + ux (x, y) dy]nos lleva, en casos sencillos al menos, a expresiones explıcitas para la(s) funcion(es)v. Este procedimiento es facilmente “automatizable”, y resulta comodo llevarlo acabo mediante programas de calculo simbolico como Mathematica.

Esquematicamente, podrıamos proceder ası: dada u(x, y),1.- calcular la derivada parcial de u respecto de x , ux (x, y);2.- calcular la derivada parcial de u respecto de y, uy(x, y);3.- “integrar −uy(x, y) respecto de x”, es decir, obtener una primitiva W (x, y)

de −uy(x, y) como funcion solo de x ;4.- calcular su derivada parcial respecto de y, Wy(x, y);5.- calcular ϕ(y) = ux (x, y) − Wy(x, y)

6.- “integrar ϕ(y) respecto de y”, es decir, obtener una primitiva �(y) de ϕ(y);7.- calcular W (x, y) − �(y): esta sera una funcion v(x, y) armonica conjugada

de u (y las demas diferiran de ella en la adicion de una constante real).

Tengase en cuenta que Mathematica no proporciona “constantes de integracion”.Ademas, el numero de funciones cuyas primitivas puede calcular “explıcitamente”es limitado.


Hay tambien un “metodo complejo” para tratar el problema, el denominadometodo de MILNE-THOMSON (ver Phillips, E.G.: Funciones de variable com-pleja. Dossat, Madrid (1963), p. 17–18, y Needham, T.: Visual Complex Analysis.Clarendon Press, Oxford (1997), pp. 512–513), que, aunque precise ciertas condi-ciones restrictivas, proporciona directamente las funciones holomorfas f con partereal prefijada u. Su justificacion se basa en resultados importantes que probaremosposteriormente: toda funcion holomorfa es analıtica (y su derivada tambien), y dosfunciones analıticas en un abierto conexo � son iguales si y solo si coinciden enun conjunto de puntos de � que tenga al menos un punto de acumulacion dentrode �; por ejemplo, en un segmento abierto (principio de prolongacion analıtica).

Sea, pues, � un abierto conexo de R2 que corte al eje real, con lo cual lainterseccion de � con R contendra al menos un segmento abierto (¿por que?)

Dada entonces una funcion u armonica en �, notemos que la funcion g dadaen � por f1(x + iy) = ux (x, y) − i uy(x, y) es holomorfa en � (¿por que?).Supongamos que sabemos encontrar una funcion g holomorfa en � tal que g′(x) =f1(x) = ux (x, 0)−i uy(x, 0) para todo x ≡ (x, 0) ∈ �∩R: entonces g′(z) = f1(z)por el principio de prolongacion analıtica, y la parte real de g difiere de u en unaconstante real (¿por que?). La funcion f = g + C , para una constante real Cadecuada, tiene como parte real u.

El metodo de Milne-Thompson es tambien facilmente “traducible” a Mathe-matica. Pero tanto si se usa este metodo como el anterior, sigue siendo necesarioverificar los resultados obtenidos y valorar el alcance de los procedimientos em-pleados, muy especialmente debido a que los programas de calculo simbolico, engeneral, no tienen en cuenta el dominio de las funciones que intervienen, mani-pulando tan solo “nombres” de funciones o “funciones dadas por formulas”, pordecirlo de alguna manera. Como ejemplo recomendamos vivamente al lector quepruebe a aplicar los metodos descritos a la ‘malvada’ funcion u(x, y) = ln(x2+y2),definida y armonica en R2 \ {(0, 0)}. ¿Cuales son sus armonicas conjugadas, segunMathematica?

NOTA. El metodo de Milne-Thompson puede esquematizarse ası: dada u(x, y),1.- calcular la derivada parcial de u respecto de x , ux (x, y);2.- calcular la derivada parcial de u respecto de y, uy(x, y);3.- calcular ux (x, 0), es decir, “sustituir y por 0” en ux (x, y);4.- calcular uy(x, 0), es decir, “sustituir y por 0” en uy(x, y);5.- “sustituir x por z” en ux (x, 0) − i uy(x, 0) para obtener f1(z);6.- “integrar f1(z) respecto de z”, es decir, obtener una primitiva g(z) de f1(z);7.- calcular f (z) = g(z) − �e g(x0) + u(x0, 0) para cualquier x0 ∈ � ∩ R.

Entonces f (z) + ic, c ∈ R, son las funciones holomorfas con parte real u;8.- si se busca una funcion armonica conjugada de u, hallar la parte imaginaria

de f (z).

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