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FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS

ROSA MARÍA MÉNDEZ PARRA

LUZ KARIME DÍAZ TRUJILLOLILIANA INÉS PÉREZ VELASCO

OLGA ENITH RODRÍGUEZ

CÁLCULO II

ARMENIA, DICIEMBRE DE 2011UNIVERSIDAD DEL QUINDÍO

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FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

Son funciones necesarias para calcular los ángulos de un triángulo a partir de la medición de sus lados, aparecen con frecuencia en la solución de ecuaciones diferenciales.

Sin embargo, ninguna de las 6 funciones trigonométricas básicas tiene inversa debido a que son funciones periódicas y por lo tanto no son inyectivas, pero restringiendo su dominio se puede hallar la inversa.

FUNCIÓN SENO

La función y=senx no es uno a uno en su dominio natural porque al trazar cualquier recta horizontal corta la gráfica en más de un punto. El codominio es [-1, 1], su gráfica es:

FUNCIÓN ARCOSENO (INVERSA DE LA FUNCIÓN SENO)

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Si y=senx, entonces la inversa se denota y=arc sen x o también se denota y=sen−1 x.

y=sen−1 x❑⇔

x=seny −π2

≤ y≤π2

La notación de inversa y=sen−1 x, no se debe confundir con 1

senx.

La función inversa de y=senx restringido es:

y=sen−1 x, su dominio es [-1,1] y el recorrido es [−π2

,π2 ], su gráfica

es creciente, es una función impar porque sen−1 (−x )=−sen−1(x )

La gráfica es:

EVALUACIÓN DE LA INVERSA DEL SENO

Evalúe y=sen−1( √32

)

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Se busca el ángulo θ en el intervalo [ – π2 ,π2 ] para el cual senθ=(√32 ), por

lo tanto sen( π3 )=( √32

) y π3∈[ – π2 ,

π2 ], por lo tanto sen−1(√32 )= π

3 .

FUNCIÓN COSENO

La función y=cos xno es uno a uno en su dominio natural porque al trazar cualquier recta horizontal corta la gráfica en más de un punto. El codominio es [-1, 1], su gráfica es:

FUNCIÓN ARCOSCOSENO (INVERSA DE LA FUNCIÓN COSENO)

Si y=cos x, entonces la inversa se denota y=arcco s x o también sedenota y=cos−1 x.

y=cos−1 x❑⇔

x=cosy 0≤ y≤ π

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La notación de inversa y=cos−1 x, no se debe confundir con 1

cosx .

La función inversa de y=cosx restringido es:y=cos−1 x, su dominio es [-1,1] y el recorrido es [0 , π ], su gráfica es decreciente, es una función par porque cos−1 (−x )=cos−1(x).

La gráfica es:

EVALUACIÓN DE LA INVERSA DEL COSENO

Evalúe y=cos−1( √32

)

Se busca el ángulo θ en el intervalo [0 , π ], para el cual cosθ=(√32 ), por lo

tanto cos ( π6 )=(√32

) y π6∈ [0 , π ], por lo tanto cos−1(√32 )=π

6 .

FUNCIÓN TANGENTE

La función y=tanx no es uno a uno en su dominio. El codominio es el conjunto de los números reales, su gráfica es:

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FUNCIÓN ARCOTANGENTE (INVERSA DE LA FUNCIÓN TANGENTE)

Si y=tan x, entonces la inversa se denota y=arctan x o también sedenota y=tan−1 x.

y=tan−1 x❑⇔

x=tany – π2

< y< π2

La notación de inversa y=tan−1 x, no se debe confundir con 1

tanx .

La función inversa de y=tanx restringido es:

y=tan−1 x, su dominio es [∞,−∞] y el recorrido es ( – π2 ,π2 ), su gráfica es

creciente, es una función par porque tan−1 (− x )=cos−1(x).

La gráfica es:

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EVALUACIÓN DE LA INVERSA DE LA TANGENTE

Evalúe y= tan−1( √33

)

Se busca el ángulo θ en el intervalo (∞,−∞ ¿ para el cual tanθ=(√33 ), por lo tanto tan( π6 )=(√3

3) y

π6∈( – π2 ,

π2 ) , por lo tanto tan−1(√33 )= π

6 .

FUNCIÓN COTANGENTE

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FUNCIÓN cot−1 (INVERSA DE LA FUNCIÓN COTANGENTE)

La función cotangente inversa, denotada por cot−1, está definida por:

cot−1=12π−tan−1 x, donde x es cualquier número real.

Su dominio es R y el recorrido es (0 , π ), su gráfica es:

FUNCIÓN SECANTE

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FUNCIÓN ARCOSECANTE (INVERSA DE LA FUNCIÓN SECANTE)

La función secante inversa, denotada por sec−1 o arcosecante, está definida por:

y=sec−1 x↔ x=sec y y { 0≤ y<12π si x ≥1

π ≤ y ≤32π si x≤−1}, su grafica es:

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FUNCIÓN COSECANTE

FUNCIÓN CSC−1 (INVERSA DE LA FUNCIÓN COSECANTE)

La función cosecante inversa, denotada por csc−1, está definida por:

y=csc−1 x=12π−tan−1 x, donde x es cualquier número real, su gráfica es:

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dom (−∞ ,−1 ]∪ [1 ,∞ )

rango (−π ,−12π ]∪(0 , 12 π ]

DERIVADA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

INTEGRALES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

Dx (sin−1u )= 1

√1−u2D xu

Dx (cos−1u )= −1

√1−u2D xu

Dx ( tan−1u )= 1

1+u2D xu

Dx (cot−1u )= −11+u2

Dx u

Dx ( sec−1u )= 1

u√u2−1D xu

Dx (csc−1u )= −1u √u2−1

Dx u

∫ du

√1−u2=sin−1u+C

∫ du

1+u2=tan−1u+C

∫ du

u√u2−1=sec−1u+C

∫ du

√a2−u2=sin−1 u

a+C, donde a<0.

∫ du

a2+u2=1atan−1 u

a+C, donde a≠0.

∫ du

u√u2−a2=1asec−1 u

a+C, donde a>0.

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FUNCIONES HIPERBÓLICAS

Se llaman Funciones hiperbólicas porque se pueden describir como las proyecciones, según el eje X y el eje Y, de los puntos sobre una hipérbola. Sus propiedades algebraicas son análogas a las de las funciones trigonométricas.En muchas aplicaciones del análisis matemático se encuentran

combinaciones de las funciones exponenciales del tipo: y= ex

2, y= e− x

2;

tales combinaciones se consideran como nuevas funciones y se designan:

senh x= ex−e− x

2, donde x es cualquier número real.

cos hx= ex+e− x

2, donde x es cualquier número real.

Con las funciones senh x y cosh x se pueden definir las funciones hiperbólicas restantes:

tanh x=¿ senh xcos h x

= e x−e−x

ex+e−x ¿

coth x=¿ cosh xsen hx

= ex+e− x

ex−e− x ¿

csch x=¿ 1senh x

= 2

e x−e−x¿

sech x=¿ 1cosh x

= 2

e x+e− x¿

Estas funciones son conocidas como seno hiperbólico (senh), coseno hiperbólico (cosh), tangente hiperbólica (tanh), cotangente iperbólica (coth), secante hperbólica (sech), y cosecante hiperbólica (csch).

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Se observa que, en el campo real, las funciones hiperbólicas son funciones dependientes de la función trascendente elemental ex.Esto no ocurre en las funciones circulares que son funciones trascendentes elementales, independientes de la función exponencial, en el campo real.

GRÁFICAS DE LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS

SENO HIPERBÓLICO

La aplicación y=senh x es un homeomorfismo estrictamente creciente de R en R.

y=senh x= ex−e−x

2

Dominio de la función:   (−∞ ,∞ )Rango de la función:  (−∞ ,∞ )

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COSENO HIPERBÓLICO

La aplicación continua y=cosh x no es monótona en R. Su restricción a R+¿ ¿ es estrictamente creciente; dicha restricción es un homeomorfismo de R+¿ ¿ sobre ¿.

y=cosh x= ex+e−x

2

Dominio de la función:   (−∞ ,∞ )Rango de la función: ¿.

TANGENTE HIPERBÓLICA

La aplicación continua y=tan h x es estrictamente creciente sobre R; por tanto es un homeomorfismo de R sobre (−1,1 ).

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tanh x=¿ ex−e−x

ex+e−x ¿

Dominio de la función: (−∞ ,∞ )Recorrido de la función: (−1,1 ).

COTANGENTE HIPERBÓLICA

La función continua y=coth x es estrictamente decreciente en los intervalos (−∞ ,0 )y (0 ,∞ ), donde se define. La restricción a R−¿¿¿ un homeomorfismo de R−¿¿¿ en o sobre (−∞ ,−1 ) y su restricción a R+¿¿¿ es también un homeomorfismo de R+¿ ¿¿ sobre (1 ,∞ ) .

coth x=¿ cosh xsen hx

= ex+e− x

ex−e− x ¿

Dominio de la función: (−∞ ,0 )∪ (0 ,∞ )Recorrido de la función: (−∞ ,−1 )∪ (1 ,∞ )

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SECANTE HIPERBÓLICA

La aplicación continua y=sec h x no es monótona en R. Su restricción a R+¿ ¿ es estrictamente decreciente; dicha restricción es una aplicación de R+¿ ¿ sobre ¿.

y=sec h x= 2

ex+e−x

Dominio de la función:   (−∞ ,∞ )Rango de la función: ¿.

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COSECANTE HIPERBÓLICA

La aplicación continua y=csc hx es estrictamente decreciente en los intervalos (−∞ ,0 )∪ (0 ,∞ ), donde se define; su recorrido es (−∞ ,0 )∪ (0 ,∞ ) .

y=csch x= 2

ex−e− x

DERIVADAS DE LAS INTEGRALES DE LAS

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FUNCIONES HIPERBÓLICAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS

D x ( senhu )=cos huD xu

D x (cos hu )=sen huD xu

D x ( tan hu )=sech2u D xu

D x (cothu )=−csc h2u D xu

D x ( sechu )=−sechu tan hu D xu

D x (csc hu )=−csc huco t hu Dx u

∫ senhudu=coshu+C

∫cos hudu=senhu+C

∫ sec h2u du=tan hu+C

∫ csc h2udu=−cot hu+C

∫ sec hu tan hudu=−sec hu+C

∫ csc hucothudu=−csc hu+C

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GLOSARIO

Homeomorfismo: un homeomorfismo (del griego ὅμοιος (homoios) = misma y μορφή (morphē) = forma) es una biyección entre dos espacios topológicos por una aplicación biyectiva que es continua y cuya inversa es continua. En este caso, los dos espacios topológicos se dicen homeomorfos. Las propiedades de estos espacios que se conservan bajo homeomorfismos se denominan propiedades topológicas.

Homeomorfismo

Sean X e Y espacios topológicos, y f una función de X a Y; entonces, f es un homeomorfismo si se cumple que:

f es una biyección f es continua La inversa de f es continua

Si es un homeomorfismo, X se dice homeomorfo a Y. Si dos espacios son homeomorfos entonces tienen exactamente las mismas propiedades topológicas. Desde el punto de vista de la teoría de categorías, dos espacios que son homeomorfos son iguales topológicamente hablando.

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TALLER - GRUPO 1

8. Dada la ecuación x=cos−1( 23 ), determine el valor exacto de cada

una de las siguientes expresiones:

(a) sen x; (b) tan x; (c) cot x; (d) sec x; (e) csc x.

Como cosx−1=( 23 ), 0<x<π, existe un triángulo rectángulo que

contiene un ángulo agudo, cuya medida es x. Además, 23 es el radio

del lado adyacente dividido por la hipotenusa del triángulo rectángulo. La longitud del lado opuesto del triángulo se encuentra por la aplicación del teorema de Pitágoras, a2+b2=c2. De la gráfica se concluye que:

a) sen−1( 23 )=√53

b) tan−1( 23 )=√52

c) cot−1(23 )= 2

√5=25

√5

d) sec−1( 23 )=32e) csc−1( 23 )= 3

√5=35

√5

Dibuje la gráfica de:

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25. f (x)=2 sen−1 x

26. g(x )=sen−12x

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41. En los siguientes ejercicios calcule la derivada de la función.a) f ( x )=x tan−1 x−ln √1−x2

f ( x )=x tan−1 x−12ln (1−x2 )

f ' ( x )=tan−1 x+x

1+x2−

12∗2 x

(1−x2 )

f ' ( x )=tan−1 x+ x

1+x2− x

1−x2

f ' ( x )=tan−1 x+ x−x2−x+x2

1+x2

f ' ( x )=tan−1 x

b) g ( x )=sec−1 (2e3x )

g' ( x )= 1

2e3 x√4 e6 x−1∗6e3x

g' ( x )= 6e3x

2e3 x√4 e6 x−1

g' ( x )= 3

√4e6x−1

En los ejercicios 7, 8 y 17, evalúe la integral indefinida. Apoye la respuesta gráficamente o mostrando que la derivada de la respuesta es el integrando.

7. ∫ r

√16−9 r4dr

∫ r

√16−9 r4dr=∫ r

(42 )−(3 r2 )dr

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Esta integral ∫ r

(42 )− (3 r2 )dr, es de la forma

∫ du

√a2−u2=sin−1( ua )+C.

Se tiene que:

∫16du

√42−(3 r2 )2=∫ 16

du

√42−(3 r2 )2=16∫

du

√42− (3 r2 )2

∴ 16sin−1( 3 r24 )+C

Demostración de que la derivada de la respuesta es el integrando:

f ( x )=16sen−1 3 r

2

4

f ´ ( x )=16 ( 1

√1−( 3 r24 )2 ) 6 r4 =1

6 ( 1

√1−9 r416 ) 6 r4 =16 ( 1

√16−9 r4√16 ) 6 r4

f ´ ( x )=16 ( 4

√16−9 r4 )6 r4

=r

√16−9 r4dr

8. ∫ du

u√16u2−9 → ∫ dx

x √16 x2−9

Esta integral ∫ dx

x √16 x2−9 , es de la forma

∫ du

u√u2−a2=1asec−1( ua )+C.

Se tiene que:

a=4 yu=3 r2 du=6 rdr→16du=rdr

a=3 y x=4u dx=4du

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∫ 4du

4 u√4u2−32=du

u√4u2−32 = 13 sec−1 43u+c

Demostración de que la derivada de la respuesta es el integrando:

f ( x )=13sec−1 4

3u

f ´ ( x )=13 ( 1

43u √( 43 u)2−1 )

43=13 ( 1

43u√ 169 u2−1 ) 43

f ´ ( x )=13 ( 1

43u

√16u2−9√9 ) 43=13 ( 3

43u √16u2−9 ) 43= 1

u√16u2−9du

17. ∫0

11+x1+x2

dx

Desdoblando el integrando en dos partes tenemos:

∫0

111+x2

dx+∫0

1x

1+x2dx

(1) (2)

(1) ∫0

111+x2

dx es de la forma ∫0

11

a2+u2du=1

atan−1( ua )│10

Reemplazando a=1

∫0

111+x2

dx=tan−1 ( x )│10

(2 )∫0

1x

1+x2dx

a=1 yu=x

du=dx

u=1+ x2

du=2 xdx 12du=xdx

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Se tiene por sustitución:Reemplazando:

∫0

1x

1+x2dx=∫

0

112du

u=∫

0

1du2u

=12∫01duu

Por propiedad de ln∫ 1u du=ln│u│+C

Se tiene que:

12∫0

1duu

=12ln⎸1+x2⎸│1

0

Uniendo (1) y (2), tenemos:

∫0

11+x1+x2

dx=[ tan−1 ( x )+ 12ln⎸1+x2⎸ ]│10

Demostración de que la derivada de la respuesta es el integrando:

f ( x )=tan−1 x+ 12ln⎸1+x2⎸

f ' ( x )= 1

1+x2+12 ( 1

(1+x2 )2x )

f ' ( x )= 1

1+x2+

12∗2x

1+ x2

f ' ( x )= 1

1+x2+ 1

1+x2

f ' ( x )= 1+x1+x2

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En los ejercicios 32 y 33, demuestre la fórmula mostrando que la derivada del miembro derecho es igual al integrando.

32. ∫ du

a2+u2=1atan−1 u

a+C

∫ asec 2θd θa2+a2 tan2θ

=∫ asec2θd θ

a2 (1+ tan2θ )

∫ a sec2θd θa2 sec 2θ

=∫ 1adθ=1

aθ+C

Para volver a la variable original:

u=a tan θ

tanθ=ua

θ=arctan ( ua )

Luego, ∫ du

a2+u2=1aarctan (ua )+C.

33.∫ du

u√u2−a2=¿ 1

asec−1 u

a+C ¿, si a>0

∫ asec θ tan θd θ

a secθ √a2 sec2θ−a2=∫ tan θdθ

√a2 ( sec2θ−1 )

∫ tan θdθ

√a2 tan2θ=∫ tan θd θa tanθ

=∫ 1a dθ=1aθ+C

Para volver a la variable original:

Integral de la forma a2+x2

Sea x=a tan θ

dx=asec2θdθ

Integral de la forma

u2−a2

Sea x=a sec θ

dx=asec θ tan θd θ

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u=asec θ

secθ=ua

θ=arcsec ( ua )

Luego, ∫ du

u√u2−a2=¿ 1

aarcsec ( ua )+C ¿.

9. 1+tan h x1−tan hx

=e2x

1+ ex−e−x

ex+e−x

1− ex−e− x

ex+e−x

=

ex+e− x+ex−e− x

ex+e− x

ex+e− x−ex+e− x

ex+e− x

= 2ex

2e− x=e2 x

10. tanh ( ln x )= x2−1x2+1

e ln x−e−ln x

e ln x+e−ln x =x−1

x

x+ 1x

=

x2−1x

x2+1x

= x2−1x2+1

Derive: 18. a. g ( x )=sin−1 ( tan hx2 )

g ( x )= 1

√1−tan h2 x2∗dx ( tan h x2)

g' (x)= 1

√1−tan h2 x2∗( sec h2 x2 )2 x

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g' (x )= sec h2 x2

√ sech2 x22x

g' (x )= sec h2 x2

sec h x22 x

g' (x )=2x sec h x2

b. f ( x )=x senhx , x>0

f ( x )=esenhx ln x

f ' ( x )=esenhx ln x (cos hx ln x+ senh xx )

f ' ( x )=esenhx ln x ( xcosh x ln x+senh xx )

f ' ( x )=x senhx ( xcos h x ln x+senh xx )f ' ( x )=x senhx−1 ( xcos hx ln x+sen hx )

En los ejercicios 49 y 50, exprese la integral indefinida en términos de una función hiperbólica inversa y como un logaritmo natural.

49. ∫ dx

√4+x2

∫ dx

√4+x2=sin−1( x2 )+C u=x a=2

ln (x+√4+x2 )+C

50. ∫ dx

25− x2

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∫ dx

25− x2=15tan−1( x5 )+C

12 (5 )

ln|5+x5−x|+C110ln|5+x5−x |+C

Muestre que: senh ( x+ y )=sen h xcos h y+¿cos h x senh y¿

Demostración:

En senh ( x )= ex−e− x

2, se hace x=x+ y; luego

senh ( x+ y )= ex+ y−e−( x+ y )

2= ex∗e y−e−x∗e− y

2ex=cosh x+senh x; e− x=cosh x−senh x;e y=cos h y+sen h y; e− y=cosh y−senh y;

Sustituyendo estas equivalencias en senh ( x+ y ):senh ( x+ y )=¿

(cosh x+sen hx ) (cosh y+senh y )−(cos h x−sen hx ) (cosh y−sen h y )2

Efectuando los productos indicados y reduciendo términos semejantes:

senh ( x+ y )=2 senh xcos h y+2 senh y cosh x2

senh ( x+ y )=2 ( senh xcos h y+sen h y cos hx )2

senh ( x+ y )=sen h xcos h y+¿cos h x senh y¿

cos h ( x+ y )=cosh xcos h y+¿ sen hx sen h y¿

Demostración:

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En cos h ( x )= e x+e− x

2, , se hace x=x+ y; luego

cos h ( x+ y )=e x+ y+e−( x+ y )

2= ex∗e y+e−x∗e− y

2ex=cosh x+senh x; e− x=cosh x−senh x;e y=cos h y+sen h y; e− y=cosh y−senh y;

Sustituyendo estas equivalencias en cos h ( x+ y ):

cos h ( x+ y )=¿

(cosh x+sen hx ) (cosh y+senh y )+(cosh x−senh x ) (cosh y−senh y )2

Efectuando los productos indicados y reduciendo términos semejantes:

cos h ( x+ y )=2cosh x cosh y+2 sen hx sen h y2

cos h ( x+ y )=2 (cosh x cosh y+senh x senh y )2

cos h ( x+ y )=cosh xcos h y+sen hx sen h y