REPASO DE FUNCIONES HIPERBOLICAS

Ing. Juan Carlos Tandazo CandoDepartamento de Ciencias Exactas

ESPE

Indice

1. Funciones hiperbolicas directas 21.1. Formulas de las funciones hiperbolicas directas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. Graficos de las funciones hiperbolicas directas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2. Funciones hiperbolicas inversas 62.1. Formulas de las funciones hiperbolicas inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2. Graficos de las funciones hiperbolicas inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3. Identidades fundamentales de las funciones hiperbolicas 103.1. Identidades hiperbolicas de cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.2. Identidades hiperbolicas cuadraticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.3. Identidades hiperbolicas de argumento doble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.4. Identidades hiperbolicas de argumento mitad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.5. Identidades hiperbolicas de suma y resta de argumentos . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.6. Identidades hiperbolicas de suma a producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

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1. Funciones hiperbolicas directas

1.1. Formulas de las funciones hiperbolicas directas

Las funciones hiperbolicas directas vienen relacionadas con las funciones exponenciales ex y ex,mediante las siguientes formulas:

senh x =ex ex

2=e2x 1

2ex

cosh x =ex + ex

2=e2x + 1

2ex

tanh x =ex exex + ex

=e2x 1e2x + 1

coth x =ex + ex

ex ex =e2x + 1

e2x 1

sech x =2

ex + ex=

2ex

e2x + 1

csch x =2

ex ex =2ex

e2x 1

Trabajando con la primera y segunda formulas se puede llegar a demostrar que:

cosh x + senh x = ex

cosh x senh x = ex

1.2. Graficos de las funciones hiperbolicas directas

A continuacion se presentan los graficos de cada una de las funciones hiperbolicas directas, as comosus caractersticas mas importantes:

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SENO HIPERBOLICO

Dom: RRg: RPto de corte: (0,0)Monotona: en RParidad: ImparAsntotas: No tiene

COSENO HIPERBOLICO

Dom: RRg: [1;+[Pto de corte: (0,1)Monotona: de ]-;0] de [0;+[Paridad: ParAsntotas: No tiene

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TANGENTE HIPERBOLICA

Dom: RRg: ]-1;1[Pto de corte: (0,0)Monotona: en RParidad: ImparAsntotas: A.H. en y = -1 y = 1

COTANGENTE HIPERBOLICA

Dom: R-{0}Rg: ]-;-1[ ]1;+[Pto de corte: No existeMonotona: en R-{0}Paridad: ImparAsntotas: A.H. en y = -1 y = 1

A.V. en x= 0

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SECANTE HIPERBOLICA

Dom: RRg: ]0;1]Pto de corte: (0,1)Monotona: de ]-;0] de [0;+[Paridad: ParAsntotas: A.H. en y = 0

COSECANTE HIPERBOLICA

Dom: R-{0}Rg: R-{0}Pto de corte: No existeMonotona: en R-{0}Paridad: ImparAsntotas: A.H. en y = 0

A.V. en x= 0

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2. Funciones hiperbolicas inversas

Las funciones hiperbolicas inversas se notan mediante la palabra area o arg acompanado por elnombre de la correspondiente funcion hiperbolica, as por ejemplo: la funcion inversa de la funcionseno hiperbolico sera area seno hiperbolico o arg seno hiperbolico.

2.1. Formulas de las funciones hiperbolicas inversas

Las funciones hiperbolicas inversas vienen relacionadas con la funcion logaritmo natural, mediantelas siguientes formulas:

argsenh(x) = ln(x +x2 + 1)

argcosh(x) = ln(x +x2 1)

argtanh(x) =1

2ln

(1 + x

1 x)

para |x| < 1

argctgh(x) =1

2ln

(x + 1

x 1)

para |x| > 1

argsech(x) = ln

(1 +

1 x2x

)

argcsch(x) = ln

(1 +

1 + x2

x

)

2.2. Graficos de las funciones hiperbolicas inversas

Las funciones hiperbolicas senh x, tanh x, coth x y csch x son biyectivas en todo su dominio porlo tanto tienen inversas, sin embargo las funciones hiperbolicas cosh x y sech x al ser dos funcionespares no son biyectivas, pero si restringimos su dominio en el intervalo de [0,+[ en donde ya sonbiyectivas, podemos determinar sus respectivas funciones inversas.

A continuacion se presentan los graficos de cada una de las funciones hiperbolicas inversas, as comosus caractersticas mas importantes.

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AREASENO HIPERBOLICO

Dom: RRg: RPto de corte: (0,0)Monotona: en RParidad: ImparAsntotas: No tiene

AREACOSENO HIPERBOLICO

Dom: [1;+[Rg: [0;+[Pto de corte: (1,0)Monotona: de [1;+[Paridad: No tieneAsntotas: No tiene

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AREATANGENTE HIPERBOLICA

Dom: ]-1;1[Rg: RPto de corte: (0,0)Monotona: en ]-1;1[Paridad: ImparAsntotas: A.V. en x = -1 x = 1

AREACOTANGENTE HIPERBOLICA

Dom: ]-;-1[ ]1;+[Rg: R-{0}Pto de corte: No existeMonotona: en ]-;-1[ ]1;+[Paridad: ImparAsntotas: A.V. en x = -1 x = 1

A.H. en y= 0

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AREASECANTE HIPERBOLICA

Dom: ]0;1]Rg: [0;+[Pto de corte: (1,0)Monotona: de ]0;1]Paridad: No tieneAsntotas: A.V. en x = 0

AREACOSECANTE HIPERBOLICA

Dom: R-{0}Rg: R-{0}Pto de corte: No existeMonotona: en R-{0}Paridad: ImparAsntotas: A.H. en y = 0

A.V. en x= 0

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3. Identidades fundamentales de las funciones hiperbolicas

3.1. Identidades hiperbolicas de cociente

tanh x =senh x

cosh x

coth x =cosh x

senh x

sech x =1

cosh x

csch x =1

senh x

tanh x =1

coth x

3.2. Identidades hiperbolicas cuadraticas

cosh2x senh2x = 1

sech2x + tanh2x = 1

coth2x csch2x = 1

3.3. Identidades hiperbolicas de argumento doble

senh(2x) = 2 senh x cosh x

cosh(2x) = cosh2x + senh2x

cosh(2x) = 2 cosh2x 1

cosh(2x) = 1 + 2 senh2x

tanh(2x) =2 . tanh x

1 + tanh2x

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3.4. Identidades hiperbolicas de argumento mitad

senh(x

2

)=

cosh x 1

2

cosh(x

2

)=

cosh x + 1

2

3.5. Identidades hiperbolicas de suma y resta de argumentos

senh(x + y) = senh x cosh y + cosh x senh y

senh(x y) = senh x cosh y cosh x senh y

cosh(x + y) = cosh x cosh y + senh x senh y

cosh(x y) = cosh x cosh y senh x senh y

tanh(x + y) =tanh x + tanh y

1 + tanh x . tanh y

tanh(x y) = tanh x tanh y1 tanh x . tanh y

3.6. Identidades hiperbolicas de suma a producto

senh x + senh y = 2 senh

(x + y

2

). cosh

(x y

2

)

cosh x + cosh y = 2 cosh

(x + y

2

). cosh

(x y

2

)

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