Fundamentos de La Vibraciones Mecanica , Cesar Arguerra, Miguel Carrola

F U N D A M E N T O S D E L A S V I B R A C I O N E S M E C A N I C A S C E S A R G U E R R A , M I G U E L C A R R O L A J O S E D E J . V I L L A L O B O S F I M E U A N L 2 0 0 5

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11 CCoonncceeppttooss ggeenneerraalleess

oy en da, uno de los puntos importantes a considerar en el buen funcionamiento de los procesos industriales esta basado entre otras cosas en reglas, procedimientos metodologas de mantenimiento, en especial uno conocido como mantenimiento predictivo ya que permite

saber el estado actual y futuro de una maquinaria o de sus elementos; el anlisis de vibraciones de maquinaria es una de las metodologas ampliamente usadas en el mantenimiento de maquinaria, de tal manera que el estudio de las vibraciones mecnicas se ha convertido en algo esencial para el estudiante de ingeniera mecnica ya que le permite comprender, analizar y proponer soluciones sobre diversa problemtica relacionada con procesos industriales. En este captulo se presentan los conceptos introductorios de las vibraciones mecnicas como lo es: su historia, presente, aplicaciones e importancia entre otras cosas.

Objetivo general. Presentar los fundamentos tericos necesarios para comprender la importancia y la aplicacin de las vibraciones mecnicas.

Objetivos especficos: Conocer entre otras cosas: a) la historia e importancia de las vibraciones mecnicas, b) el presente y futuro de las vibraciones, c) la clasificacin de las vibraciones, d) el procedimiento para la elaboracin de un modelo matemtico.

Captulo

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QUINTIBIBLIOGRAFIAGUERRA,Cesar.et aL. Fundamentos de las Vibraciones Mecnicas. FIME UANL.2005


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1.1 El origen de las vibraciones

s difcil establecer el origen de la ciencia de las vibraciones mecnicas, ni si quiera adjudicar a una sola persona el ttulo de el padre de la ciencia de las vibraciones ya que a travs de la historia grandes cientficos realizaron importantes aportaciones que hicieron hoy en da

del fenmeno de las vibraciones toda una ciencia.

A continuacin se presenta un breve recorrido de algunos personajes de ciencia que hicieron aportaciones sobre el fenmeno de las vibraciones.

Remontndose en la historia, un personaje celebre de la antigua Grecia sorprenda con grandes e importantes aportaciones filosficas y matemticas ,sobre todo en el rea de aritmtica; hoy en da todos conocemos de el gracias a un famoso teorema dado en su honor conocido como el teorema de Pitgoras. Pitgoras

(570 497 A.C.) desarroll la teora de los nmeros y la teora de la msica y de la armona en donde afirmaba la relacin entre estas dos ciencias. Cuenta la historia que un da pas por una herrera y se qued sorprendido al darse cuenta de la rtmica regularidad con la que el herrero haca repicar el martillo sobre el yunque; tal fue su admiracin que llegado a su casa se puso a experimentar, haciendo vibrar varias agujas del mismo espesor y misma tensin, pero de distinta longitud. De esta manera pudo concluir que las notas dependan de la frecuencia de vibracin, esto mismo Pitgoras lo calcul y concluy que la msica no era ms que una relacin matemtica de las vibraciones medidas segn intervalos.

Por otro lado un importante filosofo e investigador llamado Aristteles (374-355 A.C.). Trabajo con las leyes del movimiento, escribi el primer escrito relacionado con la acstica llamado On Acoustic, introdujo el principio del trabajo virtual

En el presente siglo uno de los personajes de ciencia mas inquietados por este fenmeno es conocido como Galileo Galilei (1564-1642). Galileo encontr la relacin existente entre la longitud de cuerda de un pndulo y su frecuencia de oscilacin,

adems encontr la relacin entre la tensin, longitud y frecuencia de vibracin de las cuerdas. Se cuenta que cierta vez, mientras observaba despreocupadamente las oscilaciones de un candelabro en la catedral de Pisa Galileo Galilei se interes en medir el tiempo de cada oscilacin comparndolo con el nmero de latidos de su pulso (en esa poca todava no se inventaba los relojes ni los cronmetros). Pudo comprobar, sorprendido, que aun cuando las oscilaciones fueran cada vez ms menores, el tiempo de cada oscilacin era siempre el mismo. Al repetir el experimento en su casa, comprob lo anterior utilizando un pndulo (una piedra atada al extremo de

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una cuerda), encontrando adems que el tiempo de la oscilacin dependa de la longitud de la cuerda.

En la dcada de los 40 del siglo XVII existi uno de los grandes cientficos de la historia llamado Isaac Newton (1642-1727), matemtico y fsico britnico, considerado uno de los ms grandes cientficos de la historia, que hizo importantes aportaciones en

muchos campos de la ciencia. Sus descubrimientos y teoras sirvieron de base a la mayor parte de los avances cientficos desarrollados desde su poca. Newton fue, junto al matemtico alemn Gottfried Wilhelm Leibniz, uno de los inventores de la rama de las matemticas denominada clculo. Tambin resolvi cuestiones relativas a la luz y la ptica, formul las leyes del movimiento y dedujo a partir de ellas la ley de la gravitacin universal. En el campo de las vibraciones el uso de las leyes de Newton forma un papel importante en el anlisis de sistemas y la determinacin de frecuencias de oscilacin. Public su teora en Principios matemticos de la filosofa natural (1687), obra que marc un punto de inflexin en la historia de la ciencia, y con la que perdi el temor a publicar sus teoras.

Con la aparicin de la obra de Newton The principia implic a Newton en un desagradable episodio con otro gran filsofo y fsico llamado Robert Hooke (1635-1701). En 1687 Hooke afirm que Newton le haba robado la idea central del libro: que los

cuerpos se atraen recprocamente con una fuerza que vara inversamente al cuadrado de la distancia entre ellos. Sin embargo, la mayor parte de los historiadores no aceptan los cargos de plagio de Hooke. Sin embargo, este cientfico es reconocido por sus investigaciones en el campo de la elasticidad. En 1678, el tambien llamado Leonardo Ingls, publico el libro: Ut Pondus Sic Tensia (como el peso as es la tensin) que representa un primer enunciado

de su conocida ley de la elasticidad

Ya en una poca reciente Daniel Bernoulli (1700-1782). estudio la forma de vibrar de algunos cuerpos usando el principio de superposicin de armnicos. Daniel Bernoulli hizo una estrecha correspondencia con su amigo Euler en la que trataron temas de la mecnica de los medios flexibles y elsticos, en particular los

problemas de pequeas oscilaciones de cuerdas y vigas. Particularmente atractiva es la polmica que se abri sobre el tema de la cuerda musical, no slo entre Euler y Daniel, sino con la incorporacin de un joven gemetra Jean le Rond DAlembert, quien pronto fue considerado entre los ms prestigiosos gemetras de Francia en el siglo de las luces. El debate sobre la ecuacin de la cuerda, sometida a una vibracin en un mismo plano, es importante desde el punto de vista matemtico, no slo porque representa el primer anlisis de la solucin de una ecuacin diferencial en derivadas parciales, sino adems porque la discusin llev al cuestionamiento de las nociones establecidas de funcin y de representacin de funciones mediante series trigonomtricas. En particular en las ideas de Daniel estaba el germen


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de la teora de representacin en series de Fourier que se estableci en el siglo XIX con los trabajos de Fourier, Dirichlet, Riemann y otros.

Pero en el siglo XVIII el matemtico francs Joseph Fourier (1768-1830) vino a realizar una de las aportaciones mas importantes en el rea de las vibraciones, en 1807 envi un artculo a la Academia de Ciencias en Paris en l presentaba una

descripcin matemtica de problemas relacionados con la conduccin de calor. Pese a que el artculo fue rechazado, contena ideas que se convertiran en una importante rea de las matemticas llamada en su honor, el anlisis de Fourier. Una de las sorprendentes aportaciones del trabajo de Fourier fue que muchas de las funciones ms conocidas podan expandirse en series de senos y cosenos; de tal modo que esta aportacin es una de las ms interesantes e importantes en el campo de las vibraciones mecnicas ya que en base al algoritmo de la serie de Fourier trabajan los modernos analizadores de vibracin.

1.2 El presente e importancia de las vibraciones mecnicas

En la era moderna, en donde los avances tecnolgicos estn a la puerta, grandes aportaciones matemticas y mtodos de anlisis vinieron a resolver algunos problemas en el campo de las vibraciones mecnicas.

Por ejemplo en 1909, Frahm propuso una forma de reducir las vibraciones mecnicas mediante la implementacin de sistema agregado sistema masa-resorte. Stodola Aurel (1859 1943) hizo aportaciones importantes relacionadas con las vibraciones de membranas, vigas y placas. Timoshenko (1872-1972) realiz aportaciones importantes en la teora de vibracin en vigas.

Por otro lado, importantes aportaciones matemticas ampliaron considerablemente el rea de investigacin del campo de las vibraciones mecnicas, por mencionar algunos, los mtodos de Rayleigh que sirven para determinar las frecuencias de resonancia de algunos elementos basndose en ecuaciones de energa, las variables de estado que permiten resolver y analizar problemas basados en ecuaciones diferenciales no lineales, el elemento finito que consiste en discretizar cualquier elemento para posteriormente modelar y analizar su comportamiento como pudiera ser los modos de vibrar, ecuaciones estadsticas que facilitaron el estudio de vibraciones aleatorias.

Estos mtodos modernos unidos a los avances tecnolgicos por ejemplo, a) Las computadoras, b) Los PLCs, c) Analizadores de vibracin, d)


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software de monitoreo y/o mantenimiento, etc. hacen hoy en da de las vibraciones todo un campo de investigacin tal que existen asociaciones, revistas, seminarios, cursos especializados. dedicados al estudio de este fenmeno.

En la actualidad el estudio en este campo es tan grande que basta con ver algunos de sus causa-efecto para entender su importancia. La gente de una u otra forma esta constantemente relacionada con este fenmeno, por ejemplo, el buen funcionamiento de los amortiguadores de un automvil permite un mejor manejo entre los tripulantes, el mal aislamiento de alguna maquinaria industrial puede daar la infraestructura de la misma y zona aledaa pudiendo ser conjuntos habitacionales, ruido causado por maquinaria que puede afectar fsica y psicolgicamente a personas de la empresa e inclusive a personas ajenas a la misma, ruidos nocturnos producto de las vibraciones mecnicas de algunos objetos y que en algunas ocasiones son confundidos y relacionados algunas veces con esoterismo y fantasmas.

Pero para ampliar lo anterior vamos a considerar ahora la causa-efecto de las vibraciones mecnicas en la industria mecnica. Primero considere que existen diferentes tipos de maquinaria que pueden ser causantes de vibracin en algunos casos causado por algunos de los elementos por algn proceso; algunos ejemplos de vibracin causada por elementos son: desbalance rotativo, coples mal alineados, chumaceras daadas, engranes defectuosos, bandas mal alineadas, entre otros.

Por otro lado, algunos ejemplos causados por procesos industriales pueden ser: procesos de maquinado o de mquinas herramientas, procesos de extruccin, procesos de centrifugado, pruebas mecnicas, etc.

Pues bien, estas vibraciones pueden implican problemas de diferente ndole como lo es: a) prdidas econmicas, b) daos en maquinaria, c) contaminacin por ruido, d) accidentes laborales, entre otros.

Es por eso que para el buen funcionamiento de la maquinaria se requiere de una constante inspeccin para evitar fallas en la misma ya que pueden causar prdidas econmicas a la empresa e incluso daos fsicos a las personas.

Yo soy el doctor de este hospital y las maquinas son mis pacientes fu la frase usada por un colega de la industria minera y con ms de 20 aos de experiencia industrial en el ramo de la vibraciones mecnicas, El porqu una maquina tiene temperatura, si una maquina vibra por qu tiene frio?, si una maquina genera ruido por qu llora?, etc son algunas expresiones usadas por esta persona y que nos dan un panorama de la importancia del buen monitoreo y funcionamiento de la maquinaria industrial.

Uno de las formas de monitorear el buen funcionamiento y vida til de las mquinas es por medio del anlisis de vibracin, este consiste en tomar medidas de vibracin de las maquinas y mediante el uso de grficos


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y/o experiencia, determinar la vida util de la mquina o de uno de sus elementos. Esto conlleva a conservar un historial grfico y bitcora con el fin de predecir fallas futuras y realizar las acciones correctivas correspondientes.

Por otro lado, un fenmeno bien conocido en el ambiente de las vibraciones mecnicas y en el cul todo ingeniero del ramo de la ingeniera mecnica debera poner atencin se le conoce como resonancia, este fenmeno es de gran inters en el estudio de las vibraciones mecnicas ya que ha estado relacionado con diferentes eventos destructivos en la historia de la industria y estructuras, este ha sido el causante de problemas en estructuras, maquinas y contaminacin por ruido.

Pero Qu es el fenmeno de la resonancia?, en captulos posteriores se dara una explicacin detallada por el momento resta decir que es un fenmeno que se manifiesta con grandes amplitudes de vibracin.

En la actualidad los investigadores han encontrado aplicaciones de las vibraciones mecnicas como antes no se haba imaginado.

Sin embargo no todas las vibraciones son malas algunas se producen con propsitos especficos en algn proceso industrial y generalmente son controladas, estas vibraciones son llamadas buenas vibraciones; por ejemplo: procesos de centrifugado para separar desechos de materiales, transportacin de material por bandas vibratorias (Figura 1-1), acabado y pulido por vibracin, elevadores vibrantes, etc.

Figura 1-1Transportador vibrante de frecuencia natural (Cortesia de Urbar Ingenieros www.urbar.com)

Pero la aplicacin benfica de las vibraciones va an ms alla, en conjunto con cientficos de diferentes especialidades, las vibraciones han encontrado nuevos campos de investigacin y de aplicacin, hoy en da se oye hablar adems de vibraciones buenas, vibraciones saludables

Por ejemplo, un problema presentado por los astronautas es que en el espacio, los huesos y los msculos de los astronautas, liberados de la tensin normal de la gravedad, pueden debilitarse en forma alarmante. Los msculos


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se atrofian, mientras que los huesos se vuelven frgiles. Ahora, sin embargo, parece que se ha encontrado una solucin: un grupo de cientficos, patrocinados por la NASA, sugieren que los astronautas podran prevenir la prdida de los huesos parndose sobre una plataforma vibrante durante unos 10 20 minutos cada da. Sostenindose sobre ella con la ayuda de unas bandas elsticas, los astronautas pueden continuar haciendo otras tareas mientras vibran sobre la plataforma. Hoy en da se estudia esta terapia para ser usada eventualmente usada para el tratamiento de algunos de los millones de personas que sufren de prdidas de masa sea, enfermedad conocida como osteoporosis.

En un estudio (publicado en el nmero de octubre del 2001 de la revista The FASE Journal), slo 10 minutos al da de terapia de vibraciones ayudaron a promover niveles casi normales de formacin sea en un grupo de ratas, a las que se les impidi apoyarse sobre las patas traseras durante el resto del da. Otro grupo de ratas que haban tenido sus miembros traseros suspendidos todo el da, mostraron una disminucin considerable en su ritmo de formacin sea -- hasta de un 92% -- mientras que otro grupo de ratas, a las que se les permiti soportar su peso por 10 minutos diarios, pero sin el tratamiento de vibraciones, tuvieron tambin reducciones en la formacin de hueso 61% menos.

Estos resultados indican que el tratamiento por vibraciones mantiene a los huesos sanos, mientras que breves periodos de soporte del peso no tiene mayores efectos.

Por ltimo, an con la evolucin de los procesos industriales, las computadoras, los sistemas de control y con la aparicin de modernos mtodos matemticos. los principios bsicos de las vibraciones mecnicas se ven casi inalterables, mas bien estos avances han aportado a nuevos campos de investigacin y al desarrollo didctico e industrial, por ejemplo:

a) Uso de la computadora para simulacin. Permite mediante programas de simulacin resolver diferentes problemas del anlisis de vibracin, por ejemplo: Working Model, ANSYS, MatLab, LabVIEW, EasyJava Simulation etc.

b) Uso de la computadora para el anlisis. Existen diferentes programas que facilitan el anlisis de vibracin de maquinaria industrial, en su mayora vienen acompaados con los equipos de medicin.

c) Equipos de medicin. Desde los primeros analizadores de vibracin hasta los ms sofisticados la mayora se basan en los mismos principios, han evolucionado en tamao, aditamentos, software entre otros que han facilitado las medidas y el diagnstico.


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d) Modernos mtodos de anlisis. Mtodos modernos matemticos son utilizados en el anlisis e investigacin ya que son fcilmente demostrables mediante el uso de las computadoras; por ejemplo las variables de estado y el elemento finito.

VirtualDyn

Existe en Internet diversa literatura relacionada con analizadores de vibraciones en su mayora son aparatos muy costosos, sin embargo existe un proyecto llamado Analizador Virtual de Vibracin en la que se pretende construir un analizador a bajo costo usando tcnicas de programacin en LabVIEW, para mas informacin visite la seccin de links del VirtualDyn en el apartado Equipos: Analizador Virtual de Vibracin

11..22..11 PPoorrqquuee eessttuuddiiaarr llaass vviibbrraacciioonneess mmeeccnniiccaass??

Por el impacto y los efectos.

Estos pueden ser de carcter econmico, social, fsico y psicolgico, entre otros. El impacto econmico es de preocupar a la industria ya que un problema de vibracin no atendido puede repercutir en el dao de maquinaria e incluso, en daos fsicos a personas causando prdidas econmicas por detencin del proceso, mantenimiento e indemnizacin.

El impacto fsico y psicolgico a personas puede manifestarse de diferentes maneras, por ejemplo, cuando un obrero es sometido a constantes fuentes de vibracin le afecta a algunas partes del cuerpo ya que son susceptibles a diferentes frecuencias de vibracin. Otro caso se puede observar cuando una fuente de vibracin genera ruido a diferentes frecuencias y niveles sonoros en rangos no deseables, adems de ser un causante de contaminacin ambiental y que puede alterar el comportamiento humano, puede causar daos irreversibles al odo incluyendo sordera.

El impacto social se puede manifestar si diferentes fuentes de vibracin pueden causan problemas a una persona o grupos de personas ya que esto pudiera repercutir en problemas de relacin laboral entre dueos, gerentes o supervisores con empleados o sndicos de la empresa. Otro ejemplo puede ser si en un proceso de maquinaria es causante de transmisin de vibracin al piso repercutiendo en problemas a unidades habitacionales a su alrededor, por ejemplo, daos en estructuras y ruido causando inconformidad entre grupos de vecinos.


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Matemtica y Ciencia aplicada

Una de las principales aplicaciones de temas vistos en el clculo diferencial, ecuaciones diferenciales, series de Fourier, entre otras, tiene que ver con los sistemas vibratorios, esto convierte a las vibraciones mecnicas en matemticas aplicadas.

Adems, puesto que las bases de las vibraciones mecnicas estn dadas en diferentes postulados y expresiones matemticas bien definidas, dichos postulados no se quedan solo plasmados en papel ya que sus alcances van ms all debido a que es una ciencia involucrada en los procesos industriales.

1.3 Las vibraciones mecnicas como ciencia aplicada

As vibraciones mecnicas han pasado a ser desde una ciencia pura hasta llegar a una ciencia aplicada pasando por el proceso tecnolgico o tecnologa, qu quiere decir esto?, pues bien, primero definamos a la ciencia como un conjunto coordinado de explicaciones sobre el porque

de los fenmenos que observamos o sea, de las causas de esos fenmenos. Para construir la ciencia se investigan las causas y determina su ordenamiento. La ciencia es la aplicacin del llamado mtodo cientfico a la investigacin de algn sector de la realidad. La ciencia tiene como objetivo crear conocimiento para entender el universo, la naturaleza y publicar el conocimiento.

La tecnologa es el conjunto de conocimientos, tcnicas y procesos para el diseo y construccin de objetos y tiles que sirven para satisfacer las necesidades de la humanidad. La tecnologa se percibe con los sentidos, es decir, podemos observarla y verla, ambas.

Sin embargo la tecnologa y la ciencia, necesitan de un mtodo experimental para ser confirmadas y que puede ser demostrable por medio de la repeticin, sin embargo podemos decir que existe una tecnologa para cada ciencia, es decir, cada rama posee un sistema de tecnologa diferente, que permite un mejor desarrollo para cada una de estos.

En tal sentido, debemos entender el concepto "ciencia pura", como la actividad de hacer ciencia al margen de su aplicacin, es decir, cuando se realiza la investigacin cientfica con el nico propsito de producir conocimiento cientfico. Luego, la conjugacin de intereses sociales, econmicos y polticos encuentra aplicacin a los conocimientos alcanzados, lo cual da lugar a la investigacin tecnolgica, que a su vez da origen a la tecnologa, que es la "ciencia aplicada". Es decir, cuando la ciencia surte su

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funcin prctica, al servicio de quien la posee y al margen de cualquier consideracin tica, se convierte en tecnologa.

Es pues las vibraciones mecnicas una ciencia aplicada?, claro que si. Antes que nada y para empezar recordemos que grandes los grandes cientficos que realizaron y formularon conceptos que rigen hoy las vibraciones mecnicas se rigieron bajo todo un proceso cientfico, es decir, aplicaban la ciencia a todo lo que postulaban. Pero adems las bases o principios bsicos del estudio de las vibraciones mecnicas cumplen con el procedimiento del mtodo cientfico, por lo tanto es una ciencia.

Pero con la aparicin de tecnologas que han permitido no tan solo reforzar algunos conceptos cientficos del rea de vibraciones, como por ejemplo, los modos de vibrar elementos continuos, sino que adems estos conocimientos han sido aplicados movidos por intereses sociales, econmicos, entre otros, por ejemplo:

a) Mesas vibratorias basados en el principio de la frecuencia natural.

b) Aisladores de vibracin que se basan en el principio de sistemas de varios grados de libertad.

c) Anlisis de fallas en maquinaria basado en el principio del teorema de Fourier.

d) Calculo de frecuencias naturales de algunos elementos de mquinas basados en ecuaciones de energas.

e) Edificios que soportan terremotos basados en el principio de frecuencias naturales y del amortiguamiento.

f) Estudios clnicos basados en el principio de resonancia.

g) Solucin a algunos problemas de maquinaria basados en el principio del impulso impacto.

Es por eso que hoy en da esta ciencia se encuentra tan fundamentada de manera que comprende:

a) Temticas ordenadas y comprensibles.

b) Modelos matemticos representativos .

c) Solucin a problemas establecidos.


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Temticas ordenadas y comprensibles

El estudio de las vibraciones mecnicas, al igual que otras ciencias, va encaminado desde lo bsico, simple hasta lo complejo, los temas expuestos pueden clasificarse como temas: a) introductorios, b) bsico, b) intermedio y c) avanzado.

a) Temas introductorios. Establecen los conceptos y la terminologa general del campo de las vibraciones mecnicas fomentando el inters y la importancia de esta ciencia. Se dan las bases cinemticas y dinmicas que facilitan la comprensin de los modelos y mtodos. Se explican los elementos que forman un sistema vibratorio.

b) Temas bsicos. Se estudian los sistemas vibratorios basados en un modelo de un solo grado de libertad para pequeas oscilaciones; adems se definen mtodos de anlisis para modelar sistemas vibratorios con estas caractersticas. Los temas involucrados son: vibracin libre amortiguada y no amortiguada, mtodos para el clculo de frecuencias naturales, vibracin forzada con excitacin armnica y por desbalance y la transmisibilidad de vibracin.

c) Temas intermedios. Aqu se estudian los sistemas de varios grados de libertad replanteando algunos de los temas bsicos y definiendo mtodos adecuados para este tipo de sistemas. Los temas relacionados con el control de vibraciones y el anlisis de vibracin son considerados.

d) Temas avanzados. Estos temas comprenden el estudio de los sistemas no lineales de uno a varios grados de libertad, mtodos modernos de anlisis como elemento finito y variables de estado, anlisis modal de elementos estructurales, vibracin en sistemas contnuos, etc.

Modelos matemticos representativos

Como posteriormente se explicara en detalle, resulta ser que un sistema vibratorio puede ser representado por un modelo matemtico que incluya los parmetros del sistema, las condiciones iniciales y el tipo de excitacin, entre otras cosas, este modelo permite la formulacin de criterios importantes para su anlisis y diseo y son representados por ecuaciones diferenciales que pueden clasificarse como:

a) Modelo lineal y no lineal. Representado por ecuaciones diferenciales lineales o no lineales respectivamente.

QUINTINotemodelos matematicos reprecentativos


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b) Modelo no forzado y forzado. Representado por un ecuacin diferencial homognea y no homognea respectivamente.

c) Modelo con y sin amortiguamiento. Representado por una ecuacin diferencial en donde interviene el trmino que representa la perdida de energa no, respectivamente.

d) Modelo de 1 grado de libertad o de varios grados de libertad. Representado por una ecuacin diferencial un conjunto de ecuaciones diferenciales respectivamente.

Solucin a problemas establecidos.

El primer paso dentro del anlisis e investigacin cientfica es el planteamiento del problema para posteriormente dar seguimiento a una serie de pasos hasta llegar a la solucin. En el campo de las vibraciones mecnicas existen problemas definidos y planteados de tal manera que su solucin pasa algunas por el proceso del mtodo cientfico y otros solo por induccin; opr ejemplo:

a) Qu son las vibraciones y que efectos producen?

b) Cmo representar un sistema vibratorio?

c) Cmo modelar matemticamente los sistemas vibratorios?

d) Cmo determinar la frecuencia natural de un sistema vibratorio?

e) Qu efectos rodean a un sistema vibratorio cuando es forzado a vibrar?

Cmo reducir y controlar los efectos de las vibraciones?

Por lo tanto, basndose en estos conceptos podemos definir:

Las vibraciones mecnicas tambin conocida como la mecnica de las vibraciones es una ciencia aplicada como una rama de la mecnica, o mas generalmente de la ciencia, que estudia los movimientos oscilatorios de los cuerpos o sistemas y de las fuerzas asociadas con ella.

1.4 Definicin de vibracin mecnica

ibracin, vibracin mecnica, oscilacin, movimiento peridico, etc. son conceptos utilizados para describir el movimiento de un elemento, sistema o en si de una mquina. Una forma simple de definir vibracin mecnica es el movimiento de una parte mecnica hacia atrs y hacia

V


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delante a partir de una posicin de descanso, otra manera ms formal de definirlo es a partir de la definicin de oscilacin, por lo tanto:

Oscilacin: Es el movimiento de vaivn de un parmetro fsico alrededor de una referencia.

Vibracin mecnica: Es la oscilacin mecnica de un cuerpo y/o sistema.

En la definicin de vibracin mecnica se habla de cuerpo y/o sistema ya que si un cuerpo no tiene la capacidad de vibrar se puede unir a otro y formar un sistema vibratorio; por ejemplo, en un sistema masa-resorte la masa posee caractersticas energticas cinticas, y el resorte, caractersticas restauradoras.

Es importante aclarar que para que un sistema vibre es necesario que posea por lo menos un elemento inercial (energa cintica) y un restaurador (energa potencial). Aunque en algunos casos los elementos restauradores se generalizan como elementos elsticos, existen sistemas en las que no existe un elemento elstico y sin embargo pueden vibrar, por ejemplo el penduleo que se manifiesta como elemento restaurador.

Ahora bien, cuando un cuerpo vibra resulta importante definir la causa de la vibracin, es decir, si el cuerpo vibra por su condicin natural debido a una perturbacin instantnea y ajeno a toda excitacin permanente, o bien si se debe a que existen fuerzas perturbadoras que hacen vibrar al sistema.

De aqu la importancia de considerar los tipos de perturbaciones que hacen vibrar a un sistema. Estas perturbaciones conocidas como excitaciones pueden clasificarse como: a) Instantnea y b) Permanente.

Una perturbacin del tipo instantnea es aquella que aparece como una perturbacin y desaparece inmediatamente. Ejemplos de ello: el golpeteo de una placa, el rasgueo de las cuerdas de una guitarra, el impulso y deformacin inicial de un sistema masa - resorte, el impulso generado por el impacto. Una excitacin de este tipo adems puede aparecer a manera de impulso o a manera de desplazamiento inicial; por ejemplo, una persona en un columpio puede iniciar el movimiento si es impulsado desde su posicin de equilibrio o bien si es desplazado desde su posicin de equilibrio

Una excitacin del tipo permanente siempre esta presente en el movimiento del cuerpo. Ejemplos: el caminar de una persona sobre un puente peatonal, un rotor desbalanceado cuyo efecto es vibracin por desbalance, el motor de un automvil, un tramo de retenedores es una excitacin constante para el sistema vibratorio de un automvil, etc.

La Figura 1-2 muestra un panorama prctico de estos los tipos de excitacin en donde un carro pasa primero por un borde y vibra en su forma natural producto de esta excitacin instantnea, posteriormente pasa por un


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conjunto de bordes que lo obligan a vibrar siendo una excitacin permanente.

Figura 1-2 Excitacin instantnea y permanente

1.5 Unidades del movimiento de las vibracin

Las vibraciones mecnicas pueden ser medidas tomando diferentes patrones y criterios y que en su mayora estn establecidos, estas medidas tienen que ver con el movimiento por lo tanto conviene analizar algunos criterios relacionados con el movimiento de oscilacin.

Cuando la variacin de una cantidad fsica se repite con las mismas caractersticas despus de cierto intervalo de tiempo se dice que se tiene un movimiento peridico, ejemplos de este movimiento pudieran ser la variacin de voltaje en generadores de CA, la vibracin producida por maquinaria rotativa desbalanceada. Ahora bien, cuando el movimiento de una partcula puede ser representada por una forma senoidal entonces a este movimiento se le conoce como movimiento armnico, ejemplo de un movimiento armnico se puede observar en Figura 1-3 en donde la posicin vertical de la partcula p puede ser representada como una onda senoidal.

Figura 1-3 Movimiento armnico

Todo movimiento peridico armnico cumple con las caracterstica de una funcin peridica, es decir que existe una constante T llamada perodo tal que la posicin en un instante x(t) es la misma en x( t + nT) para n = 1,2,3,4 ..... , por lo tanto se puede definir a el perodo como el valor del


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tiempo en la cul se efectua un ciclo completo. El inverso del perodo se le conoce como la frecuencia de oscilacin y representa de una manera las veces que se repite el movimiento en un determinado tiempo

(Hertz) 1

Tf =

En donde el hertz se define como ciclos/seg . Es posible representar la frecuencia en otras unidades, para ello es necesario recordar que 1 rev = 2pi radianes y que 1 minuto = 60 segundos, por lo tanto la frecuencia en rad/seg y en rpm estn dadas por:

(rpm) 60T

2 (rad/seg)

2 pipi ==T

En una seal armnica el valor mximo se le conoce como amplitud y si se mide desde la referencia se le llama amplitud de pico pero si se mide desde extremo a extremo entonces se le conoce como amplitud de pico a pico como se muestra en la figura 1.3.

Dentro del ambiente laboral, estos parmetros son utilizados para la medida del movimiento de la vibracin de una maquina y que son:

a) El desplazamiento de la vibracin. b) La velocidad de la vibracin. c) La aceleracin de la vibracin. d) La fase.

El desplazamiento de la vibracin generalmente se mide de pico pico y usualmente se usan las unidades de milsimas de pulgada (mils) que es 0.001 in. micrmetro que es 0.001 m.

La velocidad de vibracin generalmente se mide de pico y usualmente se usan las unidades de pulgada por segundo (in/seg) milmetros por segundo (mm/seg).

Mientras que en a aceleracin de vibracin generalmente se mide de pico y usualmente se usa como unidad el gs, donde g es la aceleracin de la gravedad 980.665 cm/s2.

La fase se refiere a la medida relativa entre dos puntos de medicin, generalmente se usa el ngulo de separacin entre las seales que representan el movimiento de estos puntos.

Estos parmetros se pueden visualizar fcilmente en la Figura 1-4 se puede observar como los parmetros de desplazamiento y velocidad en fase a 90o mientras que entre la velocidad y la aceleracin estn en fase tambin a 90 con la velocidad y a 1800 con el desplazamiento. Lo anterior se debe a


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que si el desplazamiento del movimiento es expresado como y() = Ysen(), entonces la velocidad que es la derivada del desplazamiento quedar expresada como v() = Vcos() y la aceleracin que es la derivada de la velocidad como a() = -Asen().

Figura 1-4. Las Unidades de medicin de las vibraciones

Puesto que se puede medir la amplitud de vibracin en trminos de desplazamiento, velocidad aceleracin ahora la pregunta es: Qu unidad de amplitud utilizar?, hay varios elementos a considerar para seleccionar cul parmetro a utilizar, por ejemplo, el tipo de problema causante de la vibracin, tipo de diagnstico, el equipo utilizado, etc. en el captulo ANLISIS DE VIBRACIN se hace un anlisis de esta situacin, pero la experiencia dice que para bajas frecuencias hasta 10 Hz (600 rpm) la medida de desplazamiento es recomendable, mientras que para frecuencias de 10 a 1000 Hz (600 60000 rpm) cualquier unidad de amplitud puede ser utilizada aunque se recomienda el anlisis de velocidad, por ltimo para frecuencias arriba de 1000 hz la medida de la amplitud de aceleracin es recomendable.

1.6 Clasificacin de las vibraciones mecnicas

Las vibraciones mecnicas pueden clasificarse desde diferentes puntos de vistas dependiendo de: a) la excitacin, b) la disipacin de energa, c) la linealidad de los elementos y las caractersticas de la seal.

ForzadaVibracin

libre Vibracincitacino de la exDependiend

Una Vibracin libre es cuando un sistema vibra debido a una excitacin del tipo instantnea, mientras que la vibracin forzada se debe a una excitacin del tipo permanente.

Esta importante clasificacin nos dice que un sistema vibra libremente si solo existen condiciones iniciales del movimiento, ya sea que suministremos la energa por medio de un impulso ( energa cintica) o debido a que posee energa potencial, por ejemplo deformacin inicial de un resorte.


17171717

uadaNo amortig

aAmortiguade energasipacin do de la diDependiend

El amortiguamiento es un sinnimo de la perdida de energa de sistemas vibratorios y se manifiesta con la disminucin del desplazamiento de vibracin. Este hecho puede aparecer como parte del comportamiento interno de un material por ejemplo la friccin, o bien, o como un elemento fsico llamado precisamente amortiguador.

Por lo tanto, la vibracin amortiguada es aquella en la que la frecuencia de oscilacin de un sistema se ve afectada por la disipacin de la energa, pero cuando la disipacin de energa no afecta considerablemente a la frecuencia de oscilacin entonces la vibracin es del tipo no amortiguada.

No lineal

Linealentose los elemnealidad do de la liDependiend

Si el comportamiento de cada uno de los parmetros de los componentes bsicos de un sistema es del tipo lineal la vibracin resultante es lineal, en caso contraro ser del tipo no lineal.

En la realidad todo elemento se comporta como un elemento no lineal pero si bajo ciertas condiciones se puede considerar como un elemento lineal, entonces el anlisis se facilita considerablemente.

Por ejemplo, un resorte helicoidal en donde segn la ley de Hooke el comportamiento fuerza-deformacin es lineal (Figura 1-5) aunque en la realidad los resortes helicoidales tienen un comportamiento no lineal pero este que puede ser aproximado a un elemento lineal y facilitar su estudio sin afectar considerablemente el comportamiento real.

Figura 1-5. Grfica lineal y aproximacin lineal

En algunos casos se puede considerar la linealidad en una regin de trabajo y que generalmente es alrededor del punto de equilibrio, por ejemplo, suponga que el comportamiento de un parmetro esta dado por la ecuacin y = sen () (Figura 1.6) resulta ser que la grfica es no lineal, pero alrededor del punto de equilibrio se tiene que para ngulos pequeos, digamos 15o se puede observar una linealidad tal que y = sen () . Otro ejemplo de


18181818

gran utilidad para temas posteriores y no es precisamente una linealizacin sino de aproximacin es la ecuacin y = 1- cos () en donde alrededor del punto de equilibrio se tiene y = 1 - cos() 2/2. Lo anterior puede comprobarse si se analizan estas funciones en su forma expansiva de la serie de Taylor.

Figura 1-6. Regin de trabajo en y = sen() , y = 1 cos ()

ticaProbabilis

ticaDeterminis

caNo periodi

Compleja

SenoidalPeriodica

alo de la seDependiend

Cuando el comportamiento vibratorio de un sistema puede ser representado por medio de una ecuacin matemtica entonces se dice que la vibracin es determinstica, pero si la seal de vibracin se caracteriza por ciclos irregulares de movimiento entonces no es predecible y la vibracin es del tipo probabilstica o random. En la Figura 1-7 se puede observar un ejemplo de estas seales, aunque en apariencia en algunas ocasiones las seales del tipo deterministicas suelen confundirse con otras llamadas complejas, las vibraciones probabilsticas se caracterizan por no ser seales peridicas.

Figura 1-7. Vibracin a) determinstica y b) probabilstica

QUINTINoteClasificacion


19191919

Por otro lado, si las caractersticas de la seal se repiten de igual caracterstica despus de cierto intervalo de tiempo entonces la vibracin ser del tipo peridica, si la seal de vibracin de un sistema se asemeja a una seal del tipo senoide, entonces se dice que la vibracin es senoidal. Una seal compleja a simple vista no se puede representar por medio de una ecuacin matemtica, pero si esta es del tipo peridica puede ser descompuesta en seales del tipo senoides y/o cosenoides, segn el teorema de Fourier. La figura 1.8 muestra un ejemplo de como una seal compleja llamada total puede ser descompuesta en suma de seales senoidales y/o cosenoidales llamados componentes armnicos; en este caso, la seal total es la ecuacin y(x) = sen(x) + sen(3x) + sen(5x), sen(x), sen(3x) y sen(5x) son los armnicos.

Si las seales pueden ser representadas por medio de una ecuacin matemtica y si cumple con algunos requisitos, entre ellos ser peridica, entonces los armnicos pueden obtenerse mediante un procedimiento matemtico conocido como serie de Fourier; para el caso en que su representacin matemtica sea problemtico, existe otro mtodo en el cul se pueden calcular los trminos armnicos mediante un procedimiento de muestreo de la seal y es conocido como Transformada rpida de Fourier (FFT de sus siglas en ingles Fast Fourier Transform).

Figura 1-8. Seal compleja y sus armnico

VirtualDyn

Si desea conocer ms sobre las Series de Fourier mediante simulaciones visite la pgina del VirtualDyn en la seccin de simulaciones, o bien visite los siguientes sitios

http://www.falstad.com/fourier/ http://www.jhu.edu/~signals/fourier2/


20202020

El concepto involucrado en las series de Fourier es de gran importancia en el campo y el estudio de las vibraciones mecnicas ya que aunque el movimiento armnico es simple de analizar, pues resulta que muchos de los sistemas vibratorios no son armnicos aunque si peridicos 1, para ilustrarlo considere la mquina de Figura 1-9 compuesta por un motor, chumaceras, coples y flechas. Estos elementos pueden ser fuentes de vibracin por ejemplo, motor con rotor desbalanceado, dao en las chumaceras, bandas mal tensionadas, etc.; estas fuentes de vibracin aunque pudieran ser armnicas, sumadas forman una seal compleja.

EL principio del anlisis de vibracin consiste en hacer uso de un instrumento de medicin llamado precisamente analizador de vibraciones con el fn de registrar y estudiar esta seal (seal total) y por medio de un procedimiento de filtrado que el mismo analizador dispone filtrar esta seal en sus componentes armnicos, posteriormente mediante el estudio del comportamiento tanto de la seal total as como de los componentes armnicos poder predecir la falla.

Este tipo de anlisis se le conoce como anlisis de la amplitud en funcin del tiempo, pero existe otro anlisis en funcin de la frecuencia, ambos sern detallados en captulos posteriores.

Figura 1-9. Aplicacin de las series de Fourier en el anlisis de vibracin

1.7 Otros conceptos

A manera introductoria a captulos posteriores, a continuacin se mencionan algunos conceptos de inters en el campo de las vibraciones mecnicas y que ms adelante se detallaran con precisin tanto terica como analticamente.

1 No confunda movimiento peridico con armnico ya que un movimiento puede ser peridico pero no necesariamente armnico


21212121

Frecuencia natural.- Es la frecuencia propia de un cuerpo o sistema al poseer inercia y elementos restauradores. Es la frecuencia resultante de la vibracin libre por lo tanto no depende de la excitacin slo de las caractersticas fsicas del sistema.

Resonancia.- Fenmeno que ocurre cuando la frecuencia con la que se excita un sistema vibratorio es igual a su frecuencia natural.

Aunque el fenmeno de resonancia ser discutido ms adelante, a manera introductoria se puede decir que es un fenmeno relacionado con las altas amplitudes de vibracin y que depende entre otras cosas, de la frecuencia con la que se excita un sistema an cuando los dems parmetros permanecieran constantes como lo es la fuerza de excitacin, la masa y la elasticidad.

Para comprender este fenmeno considere el caso de una guitarra acstica, si est se encuentra afinada, entonces al colocar el dedo en el quinto trasto de la sexta cuerda y al hacerla vibrar, suceder que la quinta cuerda vibrar sola precisamente por el fenmeno de resonancia. Esto se debe a que el tono de la sexta cuerda en el quinto trasto es de LA, la cual es la nota de la quinta cuerda libre (Figura 1.10).

Figura 1-10 Caso de resonancia en una guitarra acstica

Generalmente cuando se trata de dar un ejemplo de este fenmeno se cita el caso ocurrido en el puente de Tacoma Narrow en 1940 (Figura 1-11), aunque ha sido un tema de discusin entre los investigadores, se cree que este puente se derrumbo por el fenmeno de resonancia producto de la vibracin torsional de la estructura del puente debido a una probable excitacin de unos remolinos.


22222222

Figura 1-11 Tacoma Narrow (1940)

Se podran mencionar ms ejemplos relacionado con este fenmeno pero esto ser visto con mayor detalle en captulos posteriores en donde adems se discutir lo que ocurre durante este fenmeno as como sus efectos.

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En la pgina de Dynaworld usted encontrar videos relacionados con el efecto de resonancia, entre otros el del Tacoma Narrow

1.8 Modelado matemtico

a solucin de muchos problemas en el rea de vibraciones mecnicas y en ingeniera en general requieren de un proceso que consiste en representar el modelo del sistema en un a una expresin matemtica para su anlisis. El procedimiento de representar matemticamente el

comportamiento de un sistema se le conoce como modelado matemtico.

El modelaje ser la representacin con cualquier otro medio de dicha representacin matemtica, pudiendo ser una computadora o modelos a escala. Para elaborar este modelado se requiere de una serie de pasos y mtodos que a continuacin se describen.

Identificacin del problema. En este paso se identifica el tipo de sistema, los elementos que lo forman, as como el proceso.

Documentacin. Aqu se plantean tres pasos importantes:

a) Las leyes que rigen el comportamiento del sistema.

b) Los datos necesarios.

c) La obtencin de dichos datos.

L


23232323

Consideraciones. En este paso se realizan una serie de consideraciones para simplificar la solucin del problema, estas deben de ser las adecuadas para el anlisis sin afectar el verdadero comportamiento del sistema, por ejemplo: la linealidad, la friccin, las inercias, etc.

Representacin grfica. Aqu se realiza una figura del sistema tomando en cuenta las consideraciones anteriores. En esta figura se colocan los elementos necesarios para el anlisis descartando aquellos que no intervengan; adems, es importante representar los elementos en la forma ms simple indicando las conexiones de los elementos.

Por ejemplo, considere la estructura mostrada en la figura 1.11 y que corresponde al Space Needle, estructura ubicada en Sattle Washington, si lo que se desea es analizar el comportamiento oscilatorio de la parte superior entonces puede modelarce como un elemento flexible y una masa en su parte superior como se muestra en la Figura 1-12

Figura 1-12 (a) Estructura del Space Needle (b) Modelado grfico

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En la pgina de Dynaworld usted encontrar un enlace al webcam desde el edificio del Space Needle, o bien puede visitar la Web oficial

www.spaceneedle.com

Otro ejemplo es la suspensin mostrada en la Figura 1-13, esta puede ser modelada grficamente por un resorte k y un amortiguador c.

Figura 1-13 (a) Estructura de una suspensin, (b) Modelado grfico


24242424

Desarrollo del modelo. Ahora se hace uso de las leyes fsicas y del desarrollo matemtico para encontrar la ecuacin diferencial que rige el comportamiento del sistema.

Solucin matemtica. La solucin de la ecuacin diferencial es el paso siguiente ya que nos proporciona el comportamiento de ciertos parmetros del sistema en funcin del tiempo. Algunas veces este paso se realiza mediante programas computacionales o bien, se busca soluciones anlogas, es decir, se busca relacionar la ecuacin con otras ya resueltas y as hacer la analoga.

1.9 Grados de libertad, ecuacin de Kutzbach modificada

Una de los trminos de gran importancia en el modelado matemtico de los sistemas dinmicos se le conoce como grados de libertad, estos influyen en el tipo de anlisis, metodologa y solucin a utilizar. Los Grados de libertad (GDL) es el nmero de parmetros independientes y necesarios para determinar el movimiento entero o la posicin entera de un sistema. Por ejemplo , la posicin de una partcula en un eje es de un grado de libertad, en dos ejes de dos y en el espacio es de tres grados de libertad, las extremidades del robot hexpodo de la Figura 1-14 es de dos grados de libertad ya que consta de dos servomotores para el movimiento de cada extremidad.

Figura 1-14 Extremidades de un hexpodo con 2 GDL

VirtualDyn

En la pgina de Dynaworld en la seccin de simulacin usted encontrar una simulacin de una mquina de soldar en donde se muestran el movimiento independiente o grados de libertad de una maquina de soldar


25252525

Pero resulta conveniente buscar una metodologa que facilite y permita determinar los grados de libertad de un sistema dinmico; a continuacin se presenta un procedimiento basado y modificado de la ecuacin de Kutzbach [8].

Lema 1. Una partcula en un plano es de dos grados de libertad. La demostracin es sencilla, la posicin de una partcula queda determinada por las coordenadas x,y o bien por el radio r y el ngulo teta, o bien

P = Pxi + Pyj

Lema 2. Un slido rgido en un plano es de tres grados de libertad. La demostracin es simple ya que para determinar la posicin de sus partculas es necesario un origen y la inclinacin del mismo ya que el radio es constante por ser slido rgido.

Pb = Pa + Pb/a

Pb = (Paxi + Payj) + rb/a(cos()i + sen()j )

Lema 3. Un elemento con flexibilidad lneal es de cuatro grados de libertad. Esto se puede demostrar considerando el caso anterior pero en donde el radio L ahora es variable.

Pb = Pa + Pb/a

Pb = (Paxi + Payj) + (Pb/axi + Pb/ayj)

Lema 4. Una nion tipo articulacin deslizamiento disminuye en dos los grados de libertad. Lo anterior es simple de comprender ya que una unin de este tipo limita el movimiento en ambos ejes.

Lema 5. Una nion tipo patn gua disminuye en uno los grados de libertad. Esto se debe a que este tipo de union limita solo en un eje el movimiento

Lema 6. Un elemento fijo no aporta ningn grado de libertad. Por lo que no se considerar en el clculo


26262626

Es importante aclarar que un elemento en deslizamiento puede considerarce como un elemento rgido y la unin tipo deslizamiento, es decir 3 GDL 2 GDL = 1 GDL o bien uno solo elemento tipo gua de 1 GDL.

En base a lo anterior una ecuacin que nos permita determinar los grados de libertad de los sistemas dinmicos ser:

GDL = 4L + 3M 2P Q

Esta ecuacin se le conoce como la ecuacin de Kutzbach modificada en donde: GDL se refiere a los grados de libertad, L el nmero de elementos con flexibilidad lineal, como lo es el resorte , el amortiguador, el pistn, etc., M es el nmero de elementos rgidos, P es el nmero de uniones tipo articulacin, y Q es el nmero de uniones tipo patn incluyendo las semijuntas por contacto de rodadura con deslizamiento.

Ejemplo 1.1

Determine los grados de libertad del cada uno de los sistemas de la Figura 1-15.

Se puede decir que el sistema (a) es de tres grados de libertad ya que permite un movimiento vertical y angular del resorte, ademas del movimiento angular de la masa alrededor de la articulacin, el sistema (b) es semejante al (a) solo que se limita el movimiento al eje vertical siendo ahora de solo un grado de libertad; en ocasiones el sistema (a) es considerado como de un grado de libertad ya que se supone que el resorte esta conectado en el eje de simetra de la masa permitiendo el mismo movimiento vertical de todas las partculas de la masa, en este caso la masa se considera como una masa puntual y se modela como sistema (c); por ltimo el sistema (d) es de dos grados de libertad.

Figura 1-15 Ejemplos de grados de libertad (GDL)


27272727

Usando la ecuacin de Kutzbach modificada se tiene que:

Sistema (a) GDL = 4(1) + 3(1) 2(2) = 3 GDL

Sistema (b) GDL = 4(1) + 3(1) 2(3) = 1 GDL

Sistema (c) GDL = 4(1) + 3(0) 2(1) 1 = 1 GDL

Sistema (d) GDL = 4(2) + 3(2) 2(6) = 2 GDL

Note que para el caso (b) existen dos formas de solucionarlo, la primera considerando a la masa como un elemento y el deslizamiento como una union tipo articulacin ya que limita el movimiento en 1, otra forma es considerar al conjunto de masa y deslizamiento como una unin tipo patn en donde la articulacin entre el resorte y la masa no se considera ya que es una unin.

Ejemplo 1.2

Determine los grados de libertad del cada uno de los sistemas de la Figura 1-16.

Figura 1-16 Ejemplos de grados de libertad


28282828

Para el caso (a) se tienen 2 elementos elsticos (L=2) 3 rgidos (M=3) y 8 juntas (P=8) , por lo tanto GDL = 4L + 3M 2P Q= 4(2) + 3(3) 2(8) = 1 GDL.

Para el caso (b) se puede analizar considerando a la corredera como elemento rgido, es decir,GDL = 4L + 3M 2P Q = 4(0) + 3(3) 2(4) = 1 GDL. o bien como un elemento de unin tipo patn GDL = 4(0) + 3(2) 2(2) 1 = 1 GDL.

Por ltimo para el caso (c) se tienen 1 elemento elstico (L=1), 2 rgidos (M=2) y cuatro articulaciones (P=4), por lo tanto GDL = 4L + 3M 2P Q= 4(1) + 3(2) 2(4) = 2 GDL.

1.10 REFERENCIAS

Historia de las vibraciones

[1] Andrew Dimaragonas. Vibration for Enginering 2da. Ed. Prentice Hall. [2] Singeresu S. Rao. Mechanical Vibrations 4ta. Ed. Pearson.

Ciencia, tecnologa y mtodo cientfico

[3] Ciencia 1 [4] Ciencia 2

Series de Fourier

[5] Openheim Willsky. Seales y sistemas 2da. Ed. Prentice Hall. [6] Samir S. Soliman. Seales y Sistemas, Continuos y Discretos 2da. Ed.

Prentice Hall. Aplicaciones de las vibraciones

[7] Urbar Ingenieros. Buenas Vibraciones. http://www.urbar.com Grados de libertad

[8] Charles E. Wilson, J. Peter Sadler. Kinematic and Dynamic of machinery 3ra. Ed. Prentice Hall

[9] Crespo da Silva, Intermediate Dynamics, complemented with simulation and animations. Mc. Graw Hall.

Otros

[10] Lutes Sarkani. Stochasctic Analysis of Structural and Mechanical Vibrations. Prentice Hall


29292929

1.11 EJERSISIOS

11..1111..11 TTeemmaass ddee ddiinnmmiiccaa ggrruuppaall

E 1.1 Pida a cada persona que escriba en un papel algn elemento de maquinaria, por ejemplo, leva, engrane, chumacera, etc., posteriormente sortee los papeles y redistribyalos entre las mismas y pida que mencione como ese elemento de maquinaria puede ser objeto de vibracin.

E 1.2 Pregunte y discuta en el grupa alguna experiencia relacionada con un problema de vibraciones y que causas efectos se vieron involucrados.

E 1.3 Pregunte y discuta que es lo que se sabe sobre el puente Tacoma Narrow

E 1.4 Discuta en grupo respecto a algunos mtodos, formas, etc de carcter esotrico que algunas personas tratan de justificarlos basndose en temas del rea de vibraciones y ver si es que estos son cientficamente justificables.

11..1111..22 TTeemmaass ddee iinnvveessttiiggaacciinn

E 1.5 Realizar una investigacin sobre el caso del puente Tacoma Narrow en donde se mencione entre otras cosas ubicacin, problema, resultados. De sus conclusiones.

E 1.6 Investigar sobre temas que relacionan el sonido con las vibraciones mecnicas.

E 1.7 Hacer un estudio de las notas musicales as como de las frecuencias que determinan cada nota, investigar que patrn se utiliz para definir estas frecuencias.

E 1.8 Investigar con un msico guitarrista el porque muchos de ellos afinan la guitarra partiendo del sonido generado por el tono de una lnea telefnica.

E 1.9 Realizar una investigacin acerca de asociaciones, Revistas, Cursos WEB relacionados con el rea de vibraciones mecnicas y especificar los objetivos de ellas.

E 1.10 Investigar si el fenmeno o principio tras la mquinas usadas en el estudio de resonancia magntica nuclear esta relacionado con algn fenmeno del rea de vibraciones.


30303030

11..1111..33 PPrrooyyeeccttooss ddiiddccttiiccooss

E 1.11 Comprendiendo el fenmeno de la resonancia.

Material utilizado: ligas y contrapeso. Unir el contrapeso a las ligas y sostenerlas del otro extremo con la mano como se muestra en la figura, poner a oscilar el sistema y procurar usar un contrapeso tal que las oscilaciones estn alrededor de 2 ciclos/seg. Poner a oscilar el sistema estirando el contrapeso y observar su frecuencia. Ahora mover el sistema usando la mano con la cul esta sosteniendo la liga a diferentes frecuencias procurando que una de ellas sea prxima a la natural y observar que sucede con las amplitudes. Discuta cuando es vibracin libre y cuando es forzada, ocurre el fenmeno de resonancia?. Formular conclusiones

E 1.12 Usando las series de Fourier.

Mdulo de Fourier del Pavib

Buscar una ecuacin peridica con condiciones suficientes para obtener la serie de Fourier y obtngala la serie de dicha ecuacin hasta cinco armnicos. (Ver apndice).

Utilizar el mdulo de Fourier del programa PaVib para comprobar dichos resultados.

11..1111..44 CCuueessttiioonnaarriioo

11..1111..55 PPrreegguunnttaass ddee rraazzoonnaammiieennttoo

11..1111..66 PPrroobblleemmaass


31313131


32323232

22 EElleemmeennttooss ddee ssiisstteemmaass

vviibbrraattoorriiooss

os elementos que forman una maquinaria en toda su complejidad, desde el punto de vista vibratorio se pueden representar como un modelo que involucre los elementos inerciales, los restauradores y los amortiguadores conectados formando un modelo de uno o varios

grados de libertad. En este captulo se hace un anlisis detallado de estos tres elementos que consiste en ver cul es la funcin que desempean en el sistema vibratorio, los arreglos en dicho sistema, equivalencias as como las leyes fsicas que rigen su comportamiento.

Objetivo general. Presentar un estudio detallado de los elementos bsicos de un sistema vibratorio y la funcin que desempean.

Objetivos especficos: a) Conocer las propiedades elsticas de los materiales y sistemas mecnicos as como la representacin de un elemento elstico equivalente, b) conocer las propiedades de los amortiguadores y los efectos del amortiguador y c) conocer las propiedades inerciales de los sistemas mecnicos as como la representacin de un elemento inercial equivalente.

Captulo

2

L


33333333

2.1 Elementos Elsticos

odos los materiales poseen caractersticas elsticas en mayor o menor grado. Cualquier material al que se le aplique una fuerza sufrir una deformacin proporcional a la fuerza. Pueden considerarse como elementos elsticos los resortes de cualquier tipo, los elementos

estructurales como vigas y placas, as como algunos hules, cauchos polmeros, etc. Adems del resultado de acomodarlos en arreglos del tipo serie y/o paralelo.

A continuacin se detalla la forma en que se presenta la elasticidad de algunos elementos elsticos as como la forma de calcular sistemas elsticos equivalentes de elementos estructurales; adems se presentar la forma de representar arreglos de elementos elsticos serie y/o paralelo as como su representacin equivalente.

22..11..11 RReessoorrtteess hheelliiccooiiddaalleess yy ttoorrssiioonnaalleess

Los resortes helicoidales (Figura 2-1) son uno de los ms usados en sistemas vibratorios y puede ser considerado como el modelo representativo de la elasticidad de un sistema vibratorio. Considere un resorte helicoidal del tipo ideal, es decir, aquel cuya deformacin es lineal por lo menos en una regin de trabajo. Se puede establecer la ley de Hooke de la siguiente manera

Ley de Hooke: Un elemento elstico recibe una deformacin directamente proporcional a la fuerza que soporta.

Figura 2-1Resortes helicoidales

Lo anterior se refiere a que si se aplica una Fuerza F1=10 N el resorte experimentar una deformacin x1=1 cm .Una fuerza F2 aplicada al mismo

T


34343434

resorte har que se deforme x2 = cx1 donde c es una constante. Por ejemplo, si una fuerza F1 = 10 N deforma a un resorte x1 = 1 cm. intuitivamente es de esperar que una fuerza F2 = 20 N deforme al resorte x2 = 2 cm. ya que si F2 = 2F1 , entonces x2 = 2x1. (Figura 2-2)

Figura 2-2 Deformacin proporcional

Ahora si una fuerza F3 = 50 N se aplica al resorte entonces la deformacin resultante ser de 5 cm. Por lo tanto es importante encontrar una relacin directa entra la fuerza y la deformacin y que cumpla para todos los valores. Si se analiza las condiciones anteriores se tiene que:

kx

F

x

F

x

F===

1

1

2

2

3

3

donde k es una constante proporcional llamada constante elstica, de aqu la relacin entre la fuerza y la deformacin es:

kxf k = Ec. 2.1

donde fk es la fuerza elstica dada en Newton(N) o Libra (lb.), la deformacin en metros (m) o pies (ft) y la constante elstica en N/m o Lb/ft, segn el sistema de unidades.

Es comn ver en algunas fichas tcnicas la constante elstica en unidades de Kg/cm ya que en algunos casos muestra una mejor visin del comportamiento del resorte, tomando a este como kg fuerza, lgicamente nos referimos al sistema tcnico.

Retomando el ejemplo anterior se concluye que K=1000 N/m. Esta relacin se muestra en la grfica de la Figura 2-3


35353535

Figura 2-3 Relacin entre la fuerza aplicada y deformacin

Los resortes del tipo helicoidal tienen un comportamiento muy aproximado al tipo lineal y dicha constante se puede encontrar en funcin de los parmetros de diseo como se muestra en la ecuacin 2.2.

Figura 2-4 Comportamiento de un resorte helicoidal

3

4

8nD

Gdk = Ec. 2.2

donde G es el mdulo de corte (young), D el dimetro de la espira, d el dimetro del alambre y n es el nmero de vueltas.

Ahora considere un resorte torsional como el que se muestra en la Figura 2-5 En la ecuacin 2.3 muestra como calcular esta constante en funcin de los parmetros de diseo

Figura 2-5 Resorte torsional


36363636

L

EIk = Ec. 2.3

donde k es la constante elstica torsional en N-m/rad, E es el mdulo de elasticidad del material de la espira, L la longitud total de la espira y I es el momento de inercia de la seccin transversal.

Tomando como analoga las notas dadas en resortes helicoidales se tiene que la relacin que existe entre el momento aplicado y la deformacin angular ser:

kM = Ec. 2.4

donde M es el momento aplicado en N-m, k es la constante elstica torsional en N-m/rad y es el desplazamiento angular en radianes. Una grfica del momento contra deformacin sera de las mismas caractersticas a la mostrada en la figura

22..11..22 EElleemmeennttooss eessttrruuccttuurraalleess

Los materiales sometidos a diferentes fuerzas y momentos pueden experimentar deformaciones considerables desde el punto de vista vibratorio, por lo tanto existe una relacin lineal entre la carga aplicada y su deformacin. Siempre y cuando se trabaje en la zona conocida como zona elstica (Figura 2-6)

Figura 2-6 Regin de trabajo en materiales

Por lo tanto en esta zona de trabajo es posible encontrar una relacin entre esfuerzo y deformacin llamado mdulo de elasticidad E, donde E = / donde es el esfuerzo en Pascales y es la deformacin unitaria en mm/mm. En nuestro caso nos interesa encontrar la relacin entra carga y


37373737

deformacin, es decir k = P/x, donde P es la carga en N, x es la deformacin en m y k la constante elstica en N/m.

Es posible encontrar la relacin entre la carga vs. deformacin real usando las ecuaciones de esfuerzo vs. deformacin unitaria, por lo tanto la constante elstica equivalente de un resorte con esas caractersticas tendra la misma deformacin. Considere como ejemplo los dos elementos estructurales mostrados en la Figura 2-7 sometidos a una fuerza P aplicada en un punto como se muestra

Figura 2-7 Elementos estructurales (a) Barra a tensin y (b) viga en cantiliver

Considerando primero el caso de la barra sometida a tensin como se muestra en la Figura 2-7 (a), si L es la longitud de la barra y A es el rea de la seccin transversal y E es el mdulo de elasticidad, entonces la deformacin real de la barra delta esta dada por = PL/(EA), por lo tanto la relacin entre la carga P y la deformacin nos dar l constante elstica:

L

EAk =

Ahora considere la viga en cantiliver como se muestra en la figura 2.6 (b)b, para el caso de las vigas la deformacin en un punto dado del claro se le conoce como la ecuacin de deflexin de la curva y(x) y que esta en funcin de entre otras cosas del punto x en donde se encuentra ubicada la carga P. Para el caso de una viga en cantiliver esta ecuacin esta dada por:

( )xLEI

Pxxy = 3

6)(

2

por lo tanto si la carga se coloca en el extremo de la viga, es decir, para x = L, se tiene que la relacin entra la carga P y la deformacin y esta dada por:

3

3

L

EIk =


38383838

Se puede realizar el mismo procedimiento para encontrar la constante elstica de diferentes elementos estructurales como se muestra en la tabla 2.1

Elemento Constante elstica

Elemento Constante elstica

3

3

L

EIk =

3L

EAk =

3

192

L

EIk =

LGJ

k =

3

48

L

EIk =

E - mdulo de elasticidad del material G mdulo de young J constante de torsin de la seccin transversal I - inercia de la seccin transversal

Tabla 2-1 Constantes elsticas de elementos estructurales

22..11..33 EElleemmeennttooss eellssttiiccooss eeqquuiivvaalleenntteess

Los elementos de maquinaria pueden componerse de varios elementos y conectados de diferentes formas, de aqu la necesidad de encontrar en muchas ocasiones un elemento elstico equivalente tal que al aplicarle una fuerza P en un punto dado se produzca la misma deformacin x en dicho punto, es decir ke = P/x.

2 .1 .3 .1 Ar reg los se r ie y para le lo

Elementos elsticos en serie. Dos o ms elementos elsticos estn en serie si la fuerza aplicada en un extremo se transmite en la misma proporcin en cada uno de ellos.

Para explicar lo anterior considere dos resortes en serie como se muestra en la Figura 2-8 en donde el objetivo es encontrar un elemento nico equivalente de constante elstica ke tal que al aplicarle la misma fuerza F se tenga la deformacin total xT


39393939

Figura 2-8 Resortes en serie

Por definicin se tiene que F = F1 = F2 y xT = x1 + x2, por lo tanto, un elemento elstico equivalente tendr una constante elstica equivalente tal que Ke = F /xT. como el desplazamiento total esa dado por xT = x1 + x2 y adems x1 = F1/k1 y x2 = F2/k2, se tiene que:

212

2

1

12111

1

kkkF

kF

F

xx

F

x

Fk

T

e

+=

+=

+==

en trminos generales para n elementos elsticos en serie la constante elstica equivalente esta dada por:

ne kkkk

1111

21

K++= Ec. 2.5

Elementos elsticos en paralelo. Dos o ms elementos elsticos estn en paralelo si fuerzas distribuidas en ellos producen la misma deformacin.

Para explicar lo anterior considere dos resortes en paralelo como se muestra en la Figura 2-9 en donde el objetivo es encontrar un elemento nico equivalente de constante elstica ke tal que al aplicarle la misma fuerza F se tenga la deformacin total xT

Figura 2-9 Resortes en paralelo

en este caso se tiene que F = F1 + F2, y que xT = x1 = x2, un elemento elstico equivalente ser de constante elstica equivalente ke tal que que Ke


40404040

= F /xT. como la fuerza total esta dada por FT = F1 + F2 y adems x1 = F1/k1 y x2 = F2/k2, se tiene que:

21

221121 kkx

xkxk

x

FF

x

Fk

TTT

e +=+

=

+==

En trminos generales para n elementos elsticos en paralelo la constante elstica equivalente esta dada por:

ne kkkk +++= K21 Ec. 2.6

En un sistema vibratorio adems de resortes se puede disponer de otros elementos elsticos tles como vigas, muelles, etc. y pueden intervenir de la misma manera, ya sea como arreglo serie o paralelo, ver figura 2.9

Figura 2-10 Arreglos serie, paralelo y combinado

Ejemplo 2.1

Considere el sistema mostrado en la, Figura 2-11 si se aplica una fuerza F = 500 N, determine la fuerza y deformacin en cada elemento. El elemento k1 es de acero de 20 cm. de claro y de seccin transversal circular de 1 cm. de dimetro, el elemento k3 es de aluminio de 25 cm. de claro y de seccin transversal cuadrada de 1 cm. *por lado. El resorte es de k2=30 KN/m

Figura 2-11 Ejemplo de arreglos


41414141

Primero se calculan las constantes elsticas k1 y k3; de la tabla 2.1 se obtiene que la constante elstica para una viga en cantiliver es k=3EI/L3. El mdulo de elasticidad para el acero es 200 GPa y para el aluminio es de 70 Gpa. Las secciones circulares tienen un momento de inercia para la seccin circular de I = pir4 /4 y para la seccin rectangular es de I=ab3/12.

N/m 3681020.0

4/)005.0)(10200(333

49

31=

==

pi

L

EIk

N/m 1120025.0

)01.001.0)(1070(333

39

33=

==

L

EIk

Ahora obteniendo el diagrama equivalente se tiene que el elemento k1 y el elemento k2 estn en serie ya que se transmite la misma fuerza, estos a su vez estan en paralelo con el elemento k3 como se mestra a continuacin

Figura 2-12 Ejemplo: diagramas equivalentes

Por lo tanto la fuerza se transmite en la misma proporcin, entre k1 y k2, y el desplazamiento xe1 = x3 = xT . Calculando las equivalencias

N/m 27730k N/m 16530 31e21

211 =+==

+= kk

kk

kkk ee

La deformacin total ser:

m 108031.1 KN/m 27.73

KN 5.0 2===e

Tk

Fx

como xe1 = x3 = xT, se tiene que la fuerza en el elemento 3 y el equivalente 1 ser F3 = k3 x3 = 0.20195 KN y Fe1 = ke1xe1 = 0.29805 KN; por otro lado como Fe1 = F1 = F2 se tiene que el desplazamiento en el elemento 1 y el 2 ser x1 = F1/k1 = 8.097 x 10

-3 m, x2 = F2/k2 = 2.66 x 10-3 m.


42424242

2 .1 .3 .2 Algunas equ iva lenc ias e l s t i cas to r c iona l

Es comn ver dentro de los modelos de sistemas vibratorios acoplamientos de elementos elsticos con otros y que debido a su comportamiento pueden ser expresados por un elemento elstico torsional equivalente.

Acoplamiento resorte-disco

Considere el ejemplo de la Figura 2-13 en donde un resorte se acopla a la periferia de un y que posee condiciones de enrollarce sobre la periferia. Como el resultado del movimiento es angular es posible establecer un elemento elstico equivalente torsional que reemplace al resorte lineal como se muestra en la figura.

Figura 2-13 Acoplamiento resorte-disco(a) y su equivalente(b)

Como la longitud del arco s esta dada por s = r , donde r es el radio del disco y el desplazamiento angular y la deformacin del resorte es precisamente s, se tiene el momento del resorte en el pivote ser Mp = (kx)r , como x = s = r se tiene que el momento Mp = kr2. Por lo tanto la constante elstica torsional equivalente k = M/ , ser

2krk =

Acoplamiento resorte-palanca

Ahora consdere un acoplamiento de un resorte a una palanca de masa despreciable como se muestra en la Figura 2-14. Como el resultado del movimiento es angular es posible establecer un elemento elstico equivalente torsional que reemplace al resorte lineal como se muestra en la Figura 2-14


43434343

Figura 2-14 Acoplamiento resorte-palanca(a) y su equivalente (b)

En este caso es necesario hacer unas observaciones y suposiciones. Primero es notable que la deformacin del resorte depende directante de la longitud inicial de este de tal manera que entre ms grande sea esta longitud y mas pequeo el ngulo , se tiene que el efecto horizontal de la fuerza elstica Fx = kxsen 0 y el efecto vertical de la masa Fx = kxcos kx como se muestra en la siguiente figura:

Esta suposicin no se aplicar para el desplazamiento angular ya que es la variable a considerar para el elemento elstisco torsional equivalente.

El momento en el punto de articulacin p esta dado por Mp = (Kx)dcos , en donde la deformacin del resorte x puede ser expresada como x =dLsen se tiene que el momento elstico esta dado por Mp = kd2 sen cos; por ltimo, para oscilaciones pequeas, es decir, alrededor del punto de equilibrio se tiene que sen y cos 1, por lo tanto la constante elstica equivalente ser

2kdk =

Acoplamiento pndulo vertical

Cuando un cuerpo rgido se pivotea en un punto diferente a su centro de gravedad puede vibrar debido al efecto de la energa potencial gravitacional, este efecto es semejente al del resorte en donde la energa potencial es elstica por lo que se puede establecerse una analoga entre estos.


44444444

Considere el pndulo de la Figura 2-15 pivoteado en un punto p, sea cg su centro de gravedad y r la distancia entre estos puntos

Figura 2-15 El penduleo como elemento elstico torsional

Si despus de la perturbacin se analiza el efecto de las fuerzas externas (que es el peso), el momento en el punto p esta dado por Mp = (mgsen )r., puesto que para oscilaciones pequeas se tiene que sen , por lo tanto la constante equivalente es aquella tal que k = M/.

mgrk e =

Es importante verificar que en este caso el efecto del peso mg siempre ser restaurador despus de la perturbacin.

Acoplamiento pndulo invertido

Existe otra configuracin del pndulo como se muestra en la Figura 2-16, en donde el centro de gravedad esta en la parte superior del centro de gravedad; esta configuracin se le conoce como pndulo invertido. Puesto que sin el resorte el sitema despus de la perturbacin nunca se restaurar, entonces se limita el movimiento por medio de dicho resorte como se indica en la figura.

Figura 2-16 Pndulo invertido

La ecuacin quedara Mp = ka2 - mgr. El sentido positivo del momento es a encontra de las manecillas ya que se supone que el momento del resorte es superior para restaurar el sistema, es decir ka2 > mgr . Ahora la constante elstica torsional equivalente ser k = M/, es decir


45454545

mgrkak = 2

Acoplamiento pndulo horizontal

Ahora considere una configuracin del pndulo horizontal como se muestra en la Figura 2-17. Sin el resorte el sitema despus de la perturbacin nunca se restaura, entonces se limita el movimiento por medio de un resorte como se indica en la figura. Observe que si el sistema se perturba hacia arriba el efecto del peso ser restaurador pero si se perturba hacia abajo no lo ser; Que pasa aqui?

Figura 2-17. Pndulo sobre el eje horizontal

Es importante notar que en la posicin P1 se supone que no se conecta el resorte a la masa, pero despus de colocar el resorte entonces existe una deformacin inicial pasando a la posicin P2 en s. Antes de la perturbacin existe un equilibrio esttico tal que mgr =kxsa. Ahora, despus de la perturbacin se tiene que:

)cos()cos()(

)cos()cos()cos(

)cos()()cos(

sssp

ssssp

sssp

kxaakxmgrM

kxaakxmgrM

axxkmgrM

++=

+++=

+++=

pero como los trminos mgr y kxsa son constantes entones el primer trmino de la ecuacin desaparece y adems como x = asen , se tiene que Mp = -ka2sin()cos(+s). Como para ngulos pequeos sin y cos( + s) 1. Se tiene que Mp = -ka2; por lo tanto la constante elstica equivalente torsional para este caso ser k = M/

2kak e =

Aprovechando los resultados previemente expuestos se puede mencionar que cuando un sistema est esttico y uno de sus elementos elsticos este deformado (deformacin esttica), entonces el efecto de la(s) masa(s) causantes de dicha deformacin no es condiderado en el anlisis dinmico ya que es compensado con el efecto de los elementos elsticos


46464646

previamente deformados ya que pasaran como parmetros constantes en la ecuacin dinmica y estos se eliminaran. A esto se le conoce como la condicin de deformacin esttica.

2.2 Elementos amortiguadores

La prdida de energa en los sistemas siempre esta presente ya sea por las caractersticas propias de un material o la combinacin de elementos, o bien por la existencia de un elemento amortiguador, de aqui que se clasifiquen como:

1. Amortiguamiento coulomb

2. Amortiguamiento de viscoso

3. Amortiguamiento de histresis

El amortiguamiento de coulomb se presenta mediante el rozamiento seco entre de la superficie de dos elementos. La fuerza del amortiguador del tipo de coulomb es igual al producto de la fuerza normal y el coeficiente de friccin independiente de la velocidad una vez que inicie el movimiento.

El amortiguamiento del tipo histresis se presenta cuando un material es deformado, entonces la energa es absorvida y desplazada por el material.

El amortiguamiento del tipo viscoso ocurre cuando un componente del sistema esta en contacto con otro a travs de un medio de fluido viscoso, en donde el amortiguamieto es el resultado de la friccin viscosa entre el fluido y el componente, en estos casos generalmente la fuerza es directamente proporcional a la velocidad, por lo tanto para eliminar esta proporcionalidad se agrega un trmino proporcional que en este caso llamaremos coeficiente de amortiguamiento c y cuya unidad es (N-s)/m.

= xcfd Ec. 2.7

En donde Fd es la fuerza del amortiguador en N, c es el coeficiente de amortiguamiento en (N-s)/m. La Figura 2-18 muestra la simbologa de un amortiguador y el comportamiento lineal entre la fuerza aplicada y la velocidad.


47474747

Figura 2-18 Relacin proporcional y consante de amortiguamiento

Ahora considere el caso de un amortiguamiento angular en donde el momento aplicado es directamente proporcional a la velocidad angular como se muestra en la Figura 2-19.

Figura 2-19 Amortiguamiento torsional

Por lo tanto, el amortiguamiento angular tendr un coeficiente de amortiguamiento torsional c , por lo tanto la relacin entre el momento y la velocidad angular esta dada por:

= cM d Ec. 2.8

22..22..11 EElleemmeennttooss aammoorrttiigguuaaddoorreess eeqquuiivvaalleenntteess

Se puede hacer uso de los conceptos vistos en el apartado elementos elsticos equivalentes para definir equivalencias en los amortiguadores. En resumen se puede establecer los siguiente.


48484848

Elementos amortiguadores en serie.

Dos o ms elementos amortiguadores estn en serie si la fuerza aplicada en un extremo se transmite en la

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Fundamentos de La Vibraciones Mecanica , Cesar Arguerra, Miguel Carrola