Generalidades

2013 – 1erC

Mecánica del Continuo “Hipótesis del Continuo”: Ignorar la naturaleza atómica o molecular de la materia y asumir que la distribución de la masa es una función continua de la posición.

(Asumiremos que el cuerpo es mecánicamente Homogéneo e Isótropo, a menos que se especifique lo contrario).

El Modelo Matemático se basa en:

Principios de Conservación (ecuaciones diferenciales).

Geometría y Dimensiones (condiciones de contorno).

Materiales (permite resolver el sistema anterior).

Resolución en régimen elástico

a) las ecuaciones de equilibrio estático

b) las ecuaciones de compatibilidad

c) las condiciones de contorno

d) las relaciones entre tensiones y deformaciones en el rango elástico (aquí: Ley de Hooke)

e) un criterio de fluencia que establezca la transición de la región elástica a la plástica

Teoría de la Elasticidad La Teoría de la Elasticidad Lineal es una simplificación de la Teoría General de la Elasticidad, es suficiente para la mayoría de las aplicaciones ingenieriles.

Hipótesis:

a) Deformaciones infinitesimales:

a1) Desplazamientos pequeños:

a2) Gradientes de desplazamientos pequeños:

(las derivadas de orden 2 ó más de los desplazamientos se desprecian)

b) Existencia de un estado neutro en el que las tensiones y deformaciones son nulas.

c) Proceso de deformación isotérmico y adiabático (la termoelasticidad amplía a la resolución de procesos no isotérmicos).

XxuXx ≅⇒+=

j

i

j

i

xu

XU

∂∂

=∂∂

Estado de Tensiones Vector Tracción:

Componentes del Tensor de Tensiones:

Tensiones Normales:

Tensiones Tangenciales o de Corte:

Ecuaciones de Equilibrio Equilibrio de Fuerzas (Ej. Dirección x):

Equilibrio de Momentos alrededor de un eje (Ej. Eje z):

(3 ecuaciones)

(3 ecuaciones)

Estado de Deformaciones Alargamientos Específicos:

Desplazamiento de A en x:

Incremento de Longitud de OA:

Alargamiento Específico en la dirección x:

(3 ecuaciones)

Estado de Deformaciones Deformaciones Angulares:

Desplazamiento de A en y:

Desplazamiento de B en x:

Deformación Angular entre los Planos xz e yz:

(3 ecuaciones)

Ecuaciones de Compatibilidad Componentes del Tensor de Deformaciones:

Ecuaciones de Compatibilidad:

Punto de vista Matemático y Físico.

(6 ecuaciones)

(3 ecuaciones) (3 ecuaciones)

Relaciones Constitutivas Las Relaciones Constitutivas no son un descriptor matemático del material per se, sino del comportamiento particular exhibido bajo las condiciones de interés.

Múltiples teorías pueden ser necesarias para describir la enorme cantidad de comportamientos exhibidos por [el mismo/distintos] material/es bajo [la misma/distintas] condición/es.

Aún teniendo “relaciones constitutivas adecuadas” no necesariamente “comprendemos” las causas que producen ciertos efectos. En muchos casos nuestras “leyes” son fenomenológicas o son simples correlaciones empíricas.

Relaciones Constitutivas - Elasticidad Lineal

σδσε ννkkijijij EE

...1−

+=

Ley de Hooke Generalizada:

Alargamientos Específicos:

Deformaciones Angulares:

Expresión Compacta:

(3 ecuaciones)

(3 ecuaciones)

(6 ecuaciones)

Algunos Ensayos Estáticos

Algunos Ensayos Estáticos

Elasticidad Lineal Plana Independencia de z.

Estado Plano de Tensiones (EPT).

e << L.

Estado Tensional de la forma:

Ecuaciones Constitutivas:

Deformaciones:

=

00000

yyyx

xyxx

σσσσ

σ[ ]

[ ]

[ ] 021

0211

211

==+−=

==−=

=−=

yzyzyxzz

xzxzxyyy

xyxyyxxx

GE

GE

GE

σεσσνε

σενσσε

σενσσε

)(1

0000

),( yxzz

zz

yyyx

xyxx

vyx εενε

εεεεε

ε +−

−=

=

Elasticidad Lineal Plana Estado Plano de Deformaciones (EPD).

w >> L, sección que se mueve sobre una Generatriz. Hipótesis sobre los desplazamientos:

Campo de Deformaciones:

( )( )

=

0,,yxuyxu

u y

x

021

0

0

=

∂

∂+

∂∂

=

=∂

∂=

=∂∂

=

yzyx

xy

xzy

yy

zzx

xx

xu

yu

yuxu

εε

εε

εε

)(00

00

),( yyxxzz

zz

yyyx

xyxx

yx σσνσσ

σσσσ

σ +=

=

Ecuaciones Constitutivas:

0)1(

)1()21)(1()1(

)1()21)(1()1(

==+

=

−

−−+

−=

−

−−+

−=

yzxzxyxy

xxyyyy

yyxxxx

E

E

E

σσεν

σ

εν

νενν

νσ

εν

νενν

νσ

=

00000

),( yyyx

xyxx

yx εεεε

ε

Tensiones:

Deformaciones Deformación Lineal Convencional (Ingenieril):

Deformación Lineal Logarítmica (Verdadera):

Relación entre ambas Deformaciones:

00

0

00LL

LLL

Ldle

L

L

∆=

−== ∫

0

ln0

LL

LdlL

L

== ∫ε

)1ln(ln100

0

0

0

0

+==⇒+=+−

= eLLe

LL

LLL

LL ε

Deformaciones Variación de Volumen Unitario:

Hipótesis de Constancia de Volumen:

Por lo tanto:

zyx

zyxzyx

eeeVV

eeedxdydz

dxdydzdxdydzeeeVV

++≈∆

−+++=−+++

=∆ 1)1)(1)(1(

)1)(1)(1(

0... =∆

==VVLALALA FinalFinalInicialInicial

01ln)1ln()1ln()1ln(

1)1)(1)(1(101)1)(1)(1(

321 =++⇒=+++++

=+++=+∆

⇒=−+++=∆

εεεzyx

zyxzyx

eee

eeeVVeee

VV

Deformaciones

0LL

ε,e

10

−=LLe

0

lnLL

=ε

COMPRESIÓN ε > e

TRACCIÓN ε < e

∀ L/L0 ε ≤ e

Deformaciones Aditividad de las deformaciones verdaderas:

Ejemplo: Determinar las deformaciones ingenieriles y verdaderas de una barra: a) cuya longitud se reduce a la mitad, b) cuya longitud se duplica.

a) b)

ε

εεε

==

=

=+++=+++

−

−

011

2

0

1

11

2

0

121

ln...ln

ln...lnln...

LL

LL

LL

LL

LL

LL

LL

n

n

n

n

nn

Tensiones Tensión uniaxial convencional:

Tensión uniaxial verdadera:

Si puede asumirse (y aplicarse) constancia de volumen:

Comentario sobre Notación: (e,ε) y (s,σ)

0APs =

AP

=σ

)1(

1

00

0

000

+===∴

+==⇒=

esLL

AP

AP

eLL

AAALLA

σ

Estados Complejos de Tensión Componentes esférica (hidrostática) y desviadora del tensor de tensiones (y deformaciones):

33/

3/3/

3/

3/0003/0003/

332211

333231

232221

131211

333231

232221

131211

σσσσσ

σσσσσσσσσσσσ

σσ

σ

σσσσσσσσσ

σσσ

++==

−−

−+

=

=

=+=

iim

ii

ii

ii

ii

ii

ii

de

Estados Complejos de Tensión Tensión Equivalente:

Deformación Equivalente:

Para Tracción Uniaxial:

( )

( ) 2/1222222

2/1213

232

221

)(6)()()(2

1

)()()(2

1

zxyzxyxzzyyx

equiv

τττσσσσσσ

σσσσσσσ

+++−+−+−=

=−+−+−=

( )

( ) 2/1222222

2/1213

232

221

)(6)()()(32

)()()(32

zxyzxyxzzyyx

equiv

εεεεεεεεε

εεεεεεε

+++−+−+−=

=−+−+−=

11

321

1321

2,0

0,0

εεεεεε

σσσσσ

=⇒−

==>

=⇒==>

equiv

equiv

00 321 =++⇒=∆ εεεVV

Estados Complejos de Tensión Aplicación: Calcular la tensión equivalente para un material sometido a: a) Tracción Uniaxial:

b) Compresión Uniaxial: c) Compresión Hidrostática: d) Corte Puro:

( ) ( )( ) 11

2/121

21321 2

10,0 σσσσσσσσ ==+=⇒==> equiv

( ) ( )( ) 33

2/123

23321 2

10,0 σσσσσσσσ −==+=⇒<== equiv

( )( ) 032

1 2/12321 =−=⇒−=== ppp equivσσσσ

( ) ( )( ) ( )( )

( ) 1

2/121

2/1211

21

21231

362

12

10,

σσσ

σσσσσσσσ

==

−−+−−+=⇒=−=

equiv

equiv