Universidad de la Republica Geometrıa y Algebra Lineal 2Facultad de Ingenierıa Curso 2006Instituto de Matematica y Estadıstica

PRACTICO 2: VALORES Y VECTORES PROPIOS.

Ejercicio 1. Para las siguientes transformaciones lineales verificar que el vector v dado es un vector propio.Hallar el correspondiente valor propio.

1. T : IR3 → IR3 tal que : T (x, y, z) = ( −2z, x + 2y + z, x + 3z ) y v = (−1, 0, 1) ∈ IR3.

2. Dados {p1, p2, p3} , con pi(t) = ti−1 (i = 1, 2, 3), es la base canonica de P2 (IR). Consideramos T :P2 (IR) → P2 (IR) tal que:

T (p)def= [p(0)− 4p′ (0) + p′′ (0)] p1

+ [−4p(0) + p′ (0)− p′′ (0)] p2 + [2p(0)− 2p′ (0)− p′′ (0)] p3,

donde v (t) ∈ P2 (IR) es v(t) = 2t2 + t ∀t ∈ IR.3. T : M2×2 (IR) →M2×2 (IR)tal que

T (M) =

(1 −2−2 1

)M y v =

(1 11 1

)∈M2×2 (IR) .

Ejercicio 2. Para las siguientes matrices verificar que el vector x dado es un vector propio. Hallar el corre-spondiente valor propio.

i. A =

(1 11 1

), x =

(−11

), ii. A =

1 −1 43 2 −12 1 −1

, x =

−141

iii. A =

1 2 0 34 1 0 1−2 2 3 34 1 −1 2

, x =

1111

.

Ejercicio 3. Para las siguientes transformaciones lineales

T : IK2 → IK2 T (x, y) = ( −2x− 7y, x + 2y )T : IK3 → IK3, T (x, y, z) = ( x, z, y )T : IK3 → IK3, T (x, y, z) = ( x, z, −y ),

1. Hallar valores propios y bases de los subespacios propios de T , si IK = IR .2. Hallar valores propios y bases de los subespacios propios de T , si IK = IC.

Ejercicio 4. Hallar los valores propios y bases de los subespacios propios de la transformacion linealT : M2×2 →M2×2 tal que

T

((a b

c d

))=

(4a + b + d 2a + 3b + d

−2a + b + 2c− 3d 2a− b + 5d

).

Ejercicio 5. Se considera la matriz A =

0 2 02 0 00 0 2

y la transformacion lineal T : IR3 → IR3 tal que:

B((T ))B = A, donde B = {(1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1)}.1

2

1. Hallar los valores propios y los subespacios propios de A.2. Hallar los valores propios y los subespacios propios de T .

Ejercicio 6. [EXAMEN JULIO 1989, partes a), b), c) del EJERCICIO No2]

1. Dados p1(t) = t(t − 1) ; p2(t) = t(t − 2) ; p3(t) = (t − 1)(t − 2), ∀t ∈ IR, mostrar queB = {p1, p2, p3} es una base de P2.

2. Sea T : P2 → P2 tal que:

T (p)def=

[132

p(0) + 4p(1)− 12p(2)

]p1 +

[−3

2p(0)− 3p(1) +

12p(2)

]p2 + [p(0)] p3.

Probar que T es lineal.3. Hallar los valores propios de T y bases de los subespacios propios de T.

Ejercicio 7. Sea T : V → V una transformacion lineal. Probar que:

1. T es invertible ⇔ 0 no es valor propio de T .2. Si T es invertible y λ es valor propio de T ⇒ λ−1 es valor propio de T−1.3. Si λ es valor propio de T ⇒ λn es valor propio de Tn ∀n ∈ IN .4. Si T es invertible y λ es valor propio de T ⇒ λ−n es valor propio de T−n ∀n ∈ IN .

Nota: Existen resultados analogos para matrices cuadradas.

Ejercicio 8. Sea A una matriz n× n.

1. Probar que A y At tienen el mismo polinomio caracterıstico.2. Deducir que A y At tienen los mismos valores propios.3. ¿ A y At tienen los mismos vectores propios?

Ejercicio 9. Sean A y B dos matrices n× n semejantes.

1. Probar que A y B tienen el mismo polinomio caracterıstico.2. Deducir que A y B tienen los mismos valores propios.3. ¿Que relacion existe entre los vectores propios de A y B?