GeoII

8/7/2019 GeoII

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Universidad Nacional De Ingeniería Geoestadística II

Trabajo de Geoestadistica II

Función de distribución Log-Normal:

• Los bloques grandes tienen menor coeficiente de variación.x

xu

σ

• Los bloques pequeños tienen mayor coeficiente de variaciónx

xuσ

f(x)=2)

ln(

21

21 β

α

π β

−− X

eX

hacemos un cambio de variable: ln δ = α ⇒ α δ e=

f(x)dx =

2)lnln

(2

1

2

1 β δ

π

−

−

x

e β d

dx

hacemos otro cambio de variable: t= β δ lnln −x

= )ln(1

δ β

x ⇒ β δ t ex = ⇒ dt

x

dxβ =

f(t)dt = dt et 2

21

2

1 −

π

Hallamos el momento de orden n considerando el límite de cx a ∞+ :

M’ n= ( )C

n

X x f x dx

+∞

∫

M’ n=21

21. .

2C

t n nt

X e e dt β δ

π

−+∞

∫

M’ n=2 2 2 2

21

2 2 21. .

2C

n nt

n nt

X e e e e dt

β β β δ

π

− −+∞

∫

M’ n=2 2

2 2 21( 2 )

2 21.

2C

nt nt n

n

X e e dt

β β β

δ

π

− − ++∞

∫

- 1 -

8/7/2019 GeoII



M’ n=2 2

21( )

2 21.

2C

nt n

n

X e e dt

β β

δ π

− −+∞

∫

M’ n=2 2

21( )

2 21.

2C

nt n

n

X e e dt

β β δ

π

− −+∞

∫ Cambiar: Z= t n β − dz dt ⇒ =

M’ n=2 2

21( )

2 21.

2C

nz

n

X e e dz

β

δ π

−+∞

∫

M’ n=2 2

2. ( )n

n

C e G X β

δ − …..(1)

Pero: Z= t nβ −

Z=1

ln( )x

nβ β δ

−

Pero:2

ln ln( )2

xu β δ α = = − ; media de los logaritmos neperianos de los datos

Luego:

Z=1

(ln( ) ln( ))x nδ β β

− −

Z=21

(ln( ) ln( ) )2

xx u nβ

β β

− + −

Z=1

ln( )2

c

x

xn

uβ

β β

+ −

Reemplazando en (1):

M’ n=2 2

2 1. ( ln( ) )

2

nn c

x

xe G n

u

β β δ β

β + −

Para n=0: (momento de orden cero):

M’ 0=1

( ln( ) )2

c

x

xG

uβ

β +

Como el T ( cx ) = M’ 0 entonces:

T ( cx )=1

( ln( ) )2

c

x

xG

uβ

β +

Para n=1:

M’ 1=2

2.eβ

δ 1

( ln( ) )2

c

x

xG

uβ

β −

Proporción:

- 2 -

8/7/2019 GeoII



Q ( cx )= 2

11

2.

M

eβ

δ =

2

2

2

2

1. . ( ln( ) )

2

.

c

x

xe G

u

e

β

β

β δ β

δ

−=

1( ln( ) )

2c

x

xG

uβ

β −

Q ( cx )=1

( ln( ) )2

c

x

xG

uβ

β −

Ley media:2

ln ln( )2

xuβ

δ α = = −

)ln()ln(ln2

ln)ln( 222

22 β β

δ δ β

δ xeeux

=+=+=

xu =2

2

.e

β

δ

m ( cx )=1110

M M

=

2

2 1. . ( ln( ) )

21

( ln( ) )2

c

x

c

x

xe G

ux

Gu

β β δ β

β β

−

+=

1. ( ln( ) )

21

( ln( ) )2

cx

x

c

x

xu G

ux

Gu

β β

β β

−

+

m( cx )=

1. ( ln( ) )

21

( ln( ) )2

cx

x

c

x

xu G

ux

Gu

β β

β

β

−

+

T(Xo) variable X Xc/mo Beta "B" Alfa Coef. Var media Desv_ESta0.00 -6.55 1.00 0.33 0.17 1.08 0.17 3 1.200.00 -0.86 2.00 0.67 0.39 1.02 0.40 3 1.200.02 0.19 3.00 1.00 0.39 1.02 0.40 3 1.200.41 0.94 4.00 1.33 0.39 1.02 0.40 3 1.200.90 1.52 5.00 1.67 0.39 1.02 0.40 3 1.200.99 1.99 6.00 2.00 0.39 1.02 0.40 3 1.201.00 2.39 7.00 2.33 0.39 1.02 0.40 3 1.201.00 2.74 8.00 2.67 0.39 1.02 0.40 3 1.201.00 3.04 9.00 3.00 0.39 1.02 0.40 3 1.20

1.00 3.32 10.00 3.33 0.39 1.02 0.40 3 1.20

0.00 -4.58 1.00 0.25 0.29 1.34 0.30 4 1.200.00 -2.21 2.00 0.50 0.29 1.34 0.30 4 1.200.00 -0.83 3.00 0.75 0.29 1.34 0.30 4 1.200.00 0.15 4.00 1.00 0.29 1.34 0.30 4 1.200.07 0.91 5.00 1.25 0.29 1.34 0.30 4 1.200.74 1.53 6.00 1.50 0.29 1.34 0.30 4 1.200.99 2.05 7.00 1.75 0.29 1.34 0.30 4 1.201.00 2.51 8.00 2.00 0.29 1.34 0.30 4 1.201.00 2.91 9.00 2.25 0.29 1.34 0.30 4 1.201.00 3.27 10.00 2.50 0.29 1.34 0.30 4 1.20

0.00 -6.68 1.00 0.20 0.24 1.58 0.24 5 1.200.00 -3.75 2.00 0.40 0.24 1.58 0.24 5 1.20

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8/7/2019 GeoII


Tonelaje Vs Coeficiente de variacion

0.87

0.88

0.89

0.90

0.91

0.92

0.93

0.94

0.95

0.96

0.00 20.00 40.00 60.00 80.00 100.00 120.00

Xc/mo

T(Xc

Xc/mo=0.5 Xc/mo=1

Xc/mo=1.5

Tonelaje Vs Ley de Cortye

-0.20

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50

Xc/mo

T(Xc

v=0.4 v=0.3 v=0.24


0.00 -2.04 3.00 0.60 0.24 1.58 0.24 5 1.200.00 -0.82 4.00 0.80 0.24 1.58 0.24 5 1.200.00 0.12 5.00 1.00 0.24 1.58 0.24 5 1.200.00 0.89 6.00 1.20 0.24 1.58 0.24 5 1.200.43 1.54 7.00 1.40 0.24 1.58 0.24 5 1.200.99 2.10 8.00 1.60 0.24 1.58 0.24 5 1.201.00 2.60 9.00 1.80 0.24 1.58 0.24 5 1.20

Análisis y discusiones :

• Podemos observar que cuando la ley de corte se acerca a la ley media la proporcióntonelaje se acerca a CERO es decir que no se considera ningun bloque para la evaluacióneconómica del yacimiento.

• Podemos observar que a medida que aumenta el coeficiente de variación el tamaño de losbloques disminuye esto se puede ver por ejemplo en una posible crisis cuando la ley de

corte se acerca a la ley media explotable, cuando no haya un margen de rentabilidad esaconsejable explotar el yacimiento selectivamente es decir disminuyendo el coeficientede variación para obtener bloques mas pequeños.

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Tonelaje Vs Coeficiente de variacion

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00

v

T(X

Xc/mo=0.5 Xc/mo=0.8 Xc/mo=1.0


T(Xo) variable Xc/mo Beta "B" Alfa Coef. Var media Desv_ESta0.09 0.19 0.50 1.38 -1.65 2.40 0.5 1.200.42 -0.26 0.50 0.94 -0.45 1.20 1 1.200.87 -0.63 0.50 0.70 0.16 0.80 1.5 1.201.00 -0.97 0.50 0.55 0.54 0.60 2 1.201.00 -1.29 0.50 0.46 0.81 0.48 2.5 1.201.00 -1.61 0.50 0.39 1.02 0.40 3 1.201.00 -1.91 0.50 0.33 1.20 0.34 3.5 1.201.00 -2.21 0.50 0.29 1.34 0.30 4 1.201.00 -2.51 0.50 0.26 1.47 0.27 4.5 1.201.00 -2.81 0.50 0.24 1.58 0.24 5 1.20

0.06 0.53 0.80 1.38 -1.65 2.40 0.5 1.200.24 0.24 0.80 0.94 -0.45 1.20 1 1.200.57 0.03 0.80 0.70 0.16 0.80 1.5 1.200.88 -0.13 0.80 0.55 0.54 0.60 2 1.200.99 -0.26 0.80 0.46 0.81 0.48 2.5 1.201.00 -0.39 0.80 0.39 1.02 0.40 3 1.20

1.00 -0.50 0.80 0.33 1.20 0.34 3.5 1.201.00 -0.61 0.80 0.29 1.34 0.30 4 1.201.00 -0.72 0.80 0.26 1.47 0.27 4.5 1.201.00 -0.82 0.80 0.24 1.58 0.24 5 1.20

0.05 0.69 1.00 1.38 -1.65 2.40 0.5 1.200.17 0.47 1.00 0.94 -0.45 1.20 1 1.200.39 0.35 1.00 0.70 0.16 0.80 1.5 1.200.68 0.28 1.00 0.55 0.54 0.60 2 1.200.90 0.23 1.00 0.46 0.81 0.48 2.5 1.200.98 0.19 1.00 0.39 1.02 0.40 3 1.201.00 0.17 1.00 0.33 1.20 0.34 3.5 1.20

1.00 0.15 1.00 0.29 1.34 0.30 4 1.201.00 0.13 1.00 0.26 1.47 0.27 4.5 1.201.00 0.12 1.00 0.24 1.58 0.24 5 1.20

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8/7/2019 GeoII




• Podemos observar que a medida que aumenta el coeficiente de variación disminuye eltamaño de los bloques esto hace que sea un minado selectivo por ende de menor tonelajees por ello que el tonelaje disminuye.

• De igual manera que el caso anterior cuando el coeficiente de variacion se acerca a ceroentonces se considera bloques de gran tamaño es por ello que el tonelaje aumeneta demanera que no se hace ningun proceso de selectividad.

Q(Xo) variable X Xc/moBeta"B" Alfa Coef. Var media Desv_ESta

1.00 -3.04 1.00 0.33 0.39 1.02 0.40 3 1.201.00 -1.25 2.00 0.67 0.39 1.02 0.40 3 1.201.00 -0.19 3.00 1.00 0.39 1.02 0.40 3 1.200.89 0.55 4.00 1.33 0.39 1.02 0.40 3 1.200.39 1.13 5.00 1.67 0.39 1.02 0.40 3 1.200.07 1.61 6.00 2.00 0.39 1.02 0.40 3 1.200.01 2.01 7.00 2.33 0.39 1.02 0.40 3 1.200.00 2.35 8.00 2.67 0.39 1.02 0.40 3 1.200.00 2.66 9.00 3.00 0.39 1.02 0.40 3 1.200.00 2.93 10.00 3.33 0.39 1.02 0.40 3 1.20

1.00 -4.87 1.00 0.25 0.29 1.34 0.30 4 1.201.00 -2.51 2.00 0.50 0.29 1.34 0.30 4 1.201.00 -1.13 3.00 0.75 0.29 1.34 0.30 4 1.201.00 -0.15 4.00 1.00 0.29 1.34 0.30 4 1.200.99 0.61 5.00 1.25 0.29 1.34 0.30 4 1.200.64 1.23 6.00 1.50 0.29 1.34 0.30 4 1.200.08 1.76 7.00 1.75 0.29 1.34 0.30 4 1.200.00 2.21 8.00 2.00 0.29 1.34 0.30 4 1.200.00 2.62 9.00 2.25 0.29 1.34 0.30 4 1.200.00 2.97 10.00 2.50 0.29 1.34 0.30 4 1.20

1.00 -6.92 1.00 0.20 0.24 1.58 0.24 5 1.201.00 -3.99 2.00 0.40 0.24 1.58 0.24 5 1.201.00 -2.28 3.00 0.60 0.24 1.58 0.24 5 1.201.00 -1.06 4.00 0.80 0.24 1.58 0.24 5 1.201.00 -0.12 5.00 1.00 0.24 1.58 0.24 5 1.201.00 0.65 6.00 1.20 0.24 1.58 0.24 5 1.200.88 1.30 7.00 1.40 0.24 1.58 0.24 5 1.200.11 1.87 8.00 1.60 0.24 1.58 0.24 5 1.200.00 2.37 9.00 1.80 0.24 1.58 0.24 5 1.20

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Q(Xc) Vs Ley de Cortye

-0.20

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50

Xc/mo

Q(Xc)

v=0.4 v=0.3 v=0.24



• Podemos observar que a medida que aumenta el coeficiente de variación aumenta el valor de Q(Xc) es decir aumenta la cantidad de Tonelaje con respecto al total debido a que se

consideran bloques mas pequeños.

Q(Xo) variable X Xc/moBeta"B" Alfa Coef. Var media Desv_ESta

0.09 0.19 1.00 0.50 1.38 -1.65 2.40 0.5 1.200.42 -0.26 2.00 0.50 0.94 -0.45 1.20 1 1.200.87 -0.63 3.00 0.50 0.70 0.16 0.80 1.5 1.201.00 -0.97 4.00 0.50 0.55 0.54 0.60 2 1.201.00 -1.29 5.00 0.50 0.46 0.81 0.48 2.5 1.201.00 -1.61 6.00 0.50 0.39 1.02 0.40 3 1.201.00 -1.91 7.00 0.50 0.33 1.20 0.34 3.5 1.201.00 -2.21 8.00 0.50 0.29 1.34 0.30 4 1.201.00 -2.51 9.00 0.50 0.26 1.47 0.27 4.5 1.201.00 -2.81 10.00 0.50 0.24 1.58 0.24 5 1.20

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8/7/2019 GeoII



0.06 0.53 1.00 0.80 1.38 -1.65 2.40 0.5 1.200.24 0.24 2.00 0.80 0.94 -0.45 1.20 1 1.200.57 0.03 3.00 0.80 0.70 0.16 0.80 1.5 1.200.88 -0.13 4.00 0.80 0.55 0.54 0.60 2 1.200.99 -0.26 5.00 0.80 0.46 0.81 0.48 2.5 1.201.00 -0.39 6.00 0.80 0.39 1.02 0.40 3 1.201.00 -0.50 7.00 0.80 0.33 1.20 0.34 3.5 1.201.00 -0.61 8.00 0.80 0.29 1.34 0.30 4 1.201.00 -0.72 9.00 0.80 0.26 1.47 0.27 4.5 1.201.00 -0.82 10.00 0.80 0.24 1.58 0.24 5 1.20

0.05 0.69 1.00 1.00 1.38 -1.65 2.40 0.5 1.200.17 0.47 2.00 1.00 0.94 -0.45 1.20 1 1.200.39 0.35 3.00 1.00 0.70 0.16 0.80 1.5 1.200.68 0.28 4.00 1.00 0.55 0.54 0.60 2 1.200.90 0.23 5.00 1.00 0.46 0.81 0.48 2.5 1.200.98 0.19 6.00 1.00 0.39 1.02 0.40 3 1.201.00 0.17 7.00 1.00 0.33 1.20 0.34 3.5 1.20

1.00 0.15 8.00 1.00 0.29 1.34 0.30 4 1.201.00 0.13 9.00 1.00 0.26 1.47 0.27 4.5 1.201.00 0.12 10.00 1.00 0.24 1.58 0.24 5 1.20

Q(Xc) Vs Coeficiente de variacion

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00

v

Q(Xc

Xc/mo=0.5 Xc/mo=0.8 Xc/mo=1


• Cuando el coeficiente de variación se acerca a cero entonces el valor de Q(Xc) se acercaa uno porque se consideran bloques mas grandes.

• Podemos observar que a medida que aumenta el coeficiente disminuye el valor de laproporcion Q(Xc) debido a que se consideran bloques mas pequeños.

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