Geometría Con Papel

7/25/2019 Geometría Con Papel

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Taller para la construcción de poliedros con papel

Geometría con papel (papiroflexia matemática)

Antecedentes históricos

Papiroflexia es una palabra de origen latino que deriva de papiro (papel) y flectere(doblar); significa doblar el papel y, por extensión, darle la figura de determinadosseres u objetos.El término original de la disciplina es origami , palabra japonesa con la mismacomposición ling!stica que la castellana" ori (doblar), kami (papel).#os japoneses inventaron la papiroflexia $ace m%s de mil a&os. #e dieron elnombre de origami y le dotaron de principios estéticos ligados a su cultura. Es en'$ina donde se introduce el papel en los primeros siglos de la era cristiana y llegaa apón en el siglo * d.'.; con el papel $i+o su aparición la papiroflexia, a la quepodemos considerar como un arte, una ciencia y un entretenimiento, y de a$! su

importancia en el aprendi+aje de las matem%ticas como estimulante de la actividadcerebral.ara la sensibilidad japonesa, el éxito de una figura de papel depende de suestructura y proporción. -e plantean varios interrogantes ante una figura de papel"llega a expresar la forma verdadera del objeto/ En el caso de tratarse de unanimal" sugiere su forma de moverse, su paso, desli+amiento o galope/ 0,orginalmente, es una mera reproducción del original, o a$onda m%sprofundamente en su car%cter esencial/-i queremos $ablar de una clasificación de la papiroflexia podemos considerar varios aspectos" la finalidad, el tipo de papel utili+ado y la cantidad de pie+asutili+adas. 1 continuación se presentan tres clasificaciones que se proponen de

acuerdo a cada uno de los aspectos mencionados.De acuerdo a la finalidad:

2 Artístico" construcción de figuras de la naturale+a o para ornamento.2 Educativo" construcción de figuras para el estudio de propiedades geométricasm%sque nada.

De acuerdo a la forma del papel:

2 Papel completo: tro+o de papel inicial en forma cuadrangular, rectangular o

triangular.2 Tiras: tro+o inicial de papel en forma de tiras largas.De acuerdo a la cantidad de trozos:2 Tradicional: un solo tro+o de papel inicial (u ocasionalmente dos o tres, a losumo).2 Modular: varios tro+os de papel iniciales que se pliegan para formar unidades(módulos), generalmente iguales, los cuales se ensamblan para formar una figuracompleja.




Educación: papiroflexia y matemáticas

El origami puede ser una gran ayuda en la educación de las matem%ticas"2 roporciona al profesor de matem%ticas una $erramienta pedagógica que le

permite desarrollar diferentes contenidos, no sólo conceptuales sino deprocedimiento. 3ambién desarrolla la psicomotricidad y, fundamentalmente, lapsicomotricidad fina, as! como la percepción espacial.2 4esarrolla la destre+a manual, la exactitud en la reali+ación del trabajo y laprecisión manual.2 Relaciona la disciplina de las matemáticas con las artes.2 5otiva al estudiante a ser creativo, ya que puede desarrollar sus propiosmodelos e investigar la conexión que tiene con la geometr!a no sólo plana, sinotambién espacial.

Bases y diagramas

ara el matem%tico, la belle+a de la papiroflexia est% en su simple geometr!a. Encada tro+o de papel $ay patrones geométricos, combinaciones de %ngulos y rectasque permiten a la $oja llegar a tener variadas e interesantes formas.Existen unas formas geométricas fundamentales que dan lugar a gran variedad demodelos, denominadas bases.#a mejor manera de entender un modelo de papiroflexia es dibujar lo que se suelellamar un patrón de doblado. ara obtener el patrón de doblado de un modelo $ayque desdoblar el papel, dejarlo liso, y dibujar sus dobleces m%s importantes; sólolos que contienen su geometr!a esencial, no los detalles. El patrón de doblado es,por necesidad, una abstracción, la reducción de una forma complicada a suestructura interna m%s b%sica.

Poliedros en papel

#os cinco poliedros platónicos, " tetraedro, cubo, octaedro, icosaedro ydodecaedro, cuyas caras son todas de la misma forma y tama&o, pueden parecer simples, pero en realidad son muy dif!ciles de plegar, especialmente utili+ando$ojas 6nicas de papel cuadrado. Es por ello que en el desarrollo del taller vamosa combinar la papiroflexia modular y la tradicional en la construcción de losdistintos poliedros.

7tili+ando la papiroflexia tradicional es especialmente dif!cil de doblar eldodecaedro regular. 8a+uo 9aga, profesor en la universidad de 3su:uba, abordóel problema reali+ando una labor excelente para superar las dificultades. Eltetraedro regular, el $exaedro y el octaedro son relativamente f%ciles. o obstante,el método del profesor 9aga es el 6nico que se $a desarrollado $asta la fec$apara plegar los m%s dif!ciles, como el icosaedro y el dodecaedro, a partir de una6nica $oja de papel.




1. Hexaedro o cubo

ódulo !ono"#

<igura =. 5ódulo -onob>.

El módulo Sonobè puede considerarse el punto de origen de la papiroflexiamodular.

Figura 2. Módulo Sonobè: diagramas

-u fundador, 5itsunobu -onob>, lo denominaba ?caja de color@, aunque $oy d!a eltérmino empleado no es otro que módulo de -onob>.

-eis módulos -onob> nos permiten la construcción del cubo de m6ltiples manerassin m%s que introducir peque&as variaciones en la construcción de cada módulo.Es importante en la reali+ación de los módulos tener en cuenta que todos son dela misma forma para poder reali+ar el ensamblaje, lo que nos lleva a una reflexiónsobre la simetr!a especular y abre un campo interesante sobre las figuras quepodr!an construirse en el caso de utili+ar módulos simétricos en la construcción deun mismo cubo.




Figura 3. Método de unión para el cubo.




ara la construcción del cubo con dos colores existen diversas soluciones. ospodemos fijar en la que $ace uso de los diferentes colores del anverso y reversodel papel. El método de ensamblado var!a, y aunque la ubicación de los dobleceses idéntica al caso anterior se producen cambios en la utili+ación de los pliegueselevados o $undidos.

'on estos mismos módulos -onob> es posible construir poliedros de m%sunidades.

Actaedro estrellado con =B módulos -onob>

<igura C. -onob> con =B módulos

*cosaedro estrellado con D módulos -onob>7n problema entretenido es construir la esfera multimodular de D unidades apartir de tres colores de papel y disponer el montaje de forma que ninguna punta(pir%mide) adyacente sea del mismo color.

Figura 5. Sonobè de 30 módulos




2. Tetraedro octaedro e icosaedro

amos a reali+ar estos tres sólidos platónicos utili+ando papiroflexia modular. ana ser un claro ejemplo de cómo un mismo módulo puede dar lugar a distintospoliedros dependiendo del n6mero de módulos y de la forma de ensamblarlos.

El módulo que utili+aremos en la elaboración del tetraedro, octaedro e icosaedro$a sido ideado por 3omo:o <use.

$etraedroecesitaremos dos módulos tri%ngulares construidos con simetr!a especular.En la reali+ación del módulo utili+aremos un papel con distinto color en cada unade sus caras. Fesultan de gran interés los tres primeros pasos, que nos permitenla construcción del %ngulo de GH y nos llevan a un estudio para la obtención de%ngulos de DH, GH y, a partir de ello, a la construcción de diversos pol!gonosregulares, empe+ando por el tri%ngulo equil%tero.

<igura G.

Figura 7.

Construimos el especular o piea simétrica !"ne#o $ % procedemos al ensamblado!Figura &':




Figura &.

%ctaedro e icosaedro

En la construcción del octaedro se utili+ar%n C módulos iguales y en la delicosaedro =, I de ellos con una orientación levógira y otros I con una orientacióndextrógira ( 1nexo **)

<igura J. 3etraedro, octaedro e icosaedro

!. "odecaedro

ara construir el dodecaedro es necesario un módulo que permita la aparición decaras pentagonales de manera que en cada vértice concurran tres aristas. amosa utili+ar un módulo ideado por -ilvana 5amino y que parte, al contrario que en loscasos anteriores, de un papel rectangular en ve+ de cuadrado. #a proporciónutili+ada es 4* 1.-e utili+an D módulos de I colores distintos.







Dodecaedro con el modulo Phizz

El modulo Phizz o ZIG ZAG de Thomas Hull - THE PHIZZ MODULE

____________________________________________

legar el cuadrado en acordeón. 'omen+ar conel color $acia arriba.

4oblar la esquina en CIH. 3rabajar siemprecon la misma lateralidad para que losmódulos puedan encastrarse.

4oblar la otra parte formando un tri%ngulo.

legar la KpataK larga $acia arriba para quequede a ras del borde del tri%ngulo.




-eguir doblando como se indica, formando unnuevo pliegue de CIH.

<inalmente, doblar el resto en monte. -eobtiene un plegado que parecen dosmonta&itas.

<orma de montaje. Es en ensamblenotablemente estable y sólido.

3res módulos constituyen una c6spide.




Five vertex make a pentagon (for thedodecahedron!

"ix #ie f#at and are $%ed for &$ck'&a##%

and tor$%!

4odecaedro L D módulos




Mbibliograf!a y direcciones de *nternet

&eferenciasP. #ascetta: Arigami" Neometria con la carta (*). Quadrato magico, $2 (=JJO).

P4isponible en$ttp"QQRRR.origamiLcdo.itQarticoliQartgeo.$tmS.". #rill: Brilliant origami . apan ublications, 3o:yo, B=.T. %us&: Unit origami: ultidimensional transformations. apan ublications,3o:yo, B.'. 'asa(ara T. Ta)a(ama: Papiroflexia !origami" para expertos. E41<, 5adrid,B.P. Macc(i P. *caburri: #ue$os ob%etos de papiroflexia. Editorial 4e ecc$i,Marcelona, =JJT.+. de la Pe,a Hernánde-: atem&ticas ' papiroflexia. 1sociación Espa&ola deapiroflexia,

5adrid, B=.A. Rodríue- A. %ernánde-: (n&lisis de la acti$idad de origami . P4isponible en$ttp"QQRRR.pajarita.orgQaepQarticulosQ1F3*'ILC.4<S./. *imos R. 0ur)eit- #. Arnstein: odular origami pol')edra. 4over, eR0or:, =JJJ.*cosaedro con modulo triangular+ )ttp:,,kusudamatime.tumblr.com,tagged,odular P&gina oficial de la (sociación -spaola de Papiroflexia+ $ttp"QQRRR.pajarita.org. $ttp"QQRRR.grupoalquerque.esQferiasQB=Qarc$ivosQRebquestUBQorigami.$tml

Icosaedro con módulos triangulares

$ttps"QQRRR.youtube.comQRatc$/vVrFWgoI'XWOArigami modular en 1rgentina $ttp"QQRRR.origamimodular.com.ar $ttp"QQRRR.grupoalquerque.esQferiasQB=Qarc$ivosQRebquestUBQdocumentosQmoduloUp$i++.pdf Construcción de poliedros. Técnicas sencillas - Origami modular

$ttp"QQRRR.matematicasvisuales.comQ$tmlQgeometriaQconstruccionpoliedrosQorigami

.$tml

#orena 'arreón Narc!a

http://www.pajarita.org/


https://www.youtube.com/watch?v=rRXgo5C0WX8



http://www.origamimodular.com.ar/

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http://www.matematicasvisuales.com/html/geometria/construccionpoliedros/origami.html




http://www.origamimodular.com.ar/









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