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CAPÍTULO V Nociones sobre polos y polares.

(1) Si por el punto A se traza una secante que atraviesa el círculo O en M y N, el lugar

geométrico del punto P, conjugado armónico de A con respecto a M, N es una recta

perpendicular a OA en H conjugado armónico de A.

En efecto, el medio I de AP satisface la relación INIMIA2

⋅= . Luego I pertenece a una

recta fija, el eje radical del círculo dado y del punto A. P describe la recta homotética al eje

radical con respecto al punto A y con razón de homotecia igual a 2.

Dicha recta es la polar de A o bien es el polo de la recta, que llamados “a”. Es la

perpendicular a la recta que une A y O en un punto H dado por la relación 2ROHOA =⋅ ,

R es el radio del círculo. SI A es exterior al círculo, a es la cuerda de contacto de las

tangentes trazadas desde A al círculo. Si A yace sobre el círculo, a es la tangente

correspondiente y si A es interior la perpendicular en OA en A corta la circunferencia en

dos puntos, la tangentes en estos puntos se cortan sobre OA, la perpendicular

correspondiente es la polar.

(2) El siguiente teorema destaca la propiedad más importante de la polar:

Si A yace en la polar de B, inversamente, B yace en la polar de A. A y B se dicen

conjugados.

Si A yace sobre la polar de B, su proyección sobre OB es un punto K tal que 2

ROBOK =⋅ . Sea H la proyección de B sobre OA. El cuadrilátero AHBK es inscriptible

en círculo de diámetro AB, Luego 2ROBOKOAOH =⋅=⋅ , luego HB es la polar de A.

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Ejercicio.- Sean A, B conjugados con respecto al círculo O. (La polar de A pasa por B y la polar de B

pasa de A) ¿Qué relación deberá subsistir entre R y los lados del triángulo OAB?

Muestre que los círculos de centros A, B (exteriores a O) y que son ortogonales a O son

ortogonales entre sí.

Autor: Profesor Dr. Don Wilfred Reyes S.