CONGRUENCIA DE NGULOS ()Dos ngulos son congruentes cuando tienen la misma amplitud.CLASIFICACIN DE NGULOSSegn su amplitud se clasifican como: agudo, recto, obtuso y llano. Agudo: es aquel cuyo valor es menor de 90. Recto: es aquel cuyo valor es de 90. Obtuso: es aquel cuyo valor es mayor de 90 y menor de 180. Llano: es aquel cuyo valor es de 180.PARES DE NGULOS ngulos adyacentes: son dos ngulos que tienen el mismo vrtice y un lado comn situado entre los lados no comunes.ABLados no comunesVrticeLado comn

ngulos complementarios: son dos ngulos cuya suma de medidas es de 90.BAA+B=90

ngulos suplementarios: son dos ngulos cuya suma de medidas es de 180.BAA+B=180

Geometra y trigonometra

ngulos opuestos por el vrtice: son ngulos cuyos lados forman dos pares de rayos opuestos.ACBD AB BD

PARES DE ANGULOS FORMADOS POR DOS RECTAS PARALELAS CORTADAS POR UNA TRANSVERSAL (SECANTE)12348765

Dos rectas paralelas cortadas por una transversal forman 8 ngulos, cuatro llamados interiores, por estar situados dentro de las paralelas y cuatro llamados externos, por estar fuera de ellas.ngulos correspondientesSe llaman angulos correspondientes a dos angulos que estn situados del mismo lado de la transversal (uno interno y el otro externo).Los angulos correspondientes tienen la propiedad de ser congruentes, es decir, sus medidas son iguales, lo cual se demuestra en el teorema correspondiente. El 1 es correspondiente al 5 1 = 5. El 2 es correspondiente al 6 2 = 6. El 3 es correspondiente al 7 3 = 7. El 4 es correspondiente al 8 4 = 8.ngulos alternos-internosSe llaman angulos alternos-internos a dos angulos situados a uno y a otro lado de la transversal (alternos) y dentro de las paralelas (internos).

Los angulos alternos internos son: 2 y 8 3 y 5Con base en la propiedad de que los angulos correspondientes son congruentes, se puede deducir que los angulos alternos-internos son congruentes.Como: El 2 = 6 por ser correspondientes, y por otra parteEl 2 = 8 por ser opuestos por el vertice, se deduce queEl 2 = 8 por la propiedad transitiva de la igualdad.

Con un razonamiento anlogo al anterior se deduce que 3 = 5.ngulos alternos-externosSe llaman angulos alternos-externos a dos angulos situados a uno y a otro lado de la transversal (alternos) y fuera de las paralelas (externos).

Los angulos alternos-externos son: 1 y 7 4 y 6Con base en la propiedad de que los angulos correspondientes son congruentes, se puede deducir que los angulos alternos-internos son congruentes.Como: El 1 = 5 por ser correspondientes, y por otra parteEl 5 = 7 por ser opuestos por el vertice, se deduce queEl 1 = 7 por la propiedad transitiva de la igualdad.

Con un razonamiento anlogo al anterior se deduce que 4 = 6.ngulos colaterales-internosSe llaman angulos colaterales-internos a dos angulos situados del mismo lado de la transversal (colaterales) y dentro de las paralelas (internos).

Los angulos colaterales-internos son: 2 y 5 3 y 8Los angulos colaterales-internos tienen la propiedad de ser suplementarios.Como: El 1 = 5 por ser correspondientes, y por otra parteEl 1 + 2 = 180 por formar un angulo llano, se deduce queEl 5 + 2 = 180 porque toda cantidad puede ser sustituida por su igual.

Con un razonamiento anlogo al anterior se deduce que 3 = 8.ngulos colaterales-externosSe llaman angulos colaterales-externos a dos angulos situados del mismo lado de la transversal (colaterales) y fuera de las paralelas (externos).

Los angulos colaterales-externos son: 1 y 6 4 y 7Los angulos colaterales-externos tienen la propiedad de ser suplementarios.Como: El 1 = 5 por ser correspondientes, y por otra parteEl 5 + 6 = 180 por formar un angulo llano, se deduce queEl 1 + 6 = 180 porque toda cantidad puede ser sustituida por su igual.

Con un razonamiento anlogo al anterior se deduce que 4 = 7.

TRINGULOS CLASIFICACIN DE LOS TRIANGULOS SEGN SUS LADOS: Escaleno: es aquel que no tiene lados iguales Issceles: es aquel que tiene, por lo menos, dos lados iguales. Equiltero: es aquel que tiene sus tres lados iguales.CLASIFICACIN DE LOS TRINGULOS SEGN SUS NGULOS: T. Rectngulo: es aquel que tiene un ngulo recto. T. Obtusngulo: es el que tiene un ngulo obtuso. T. Acutngulo: es el que tiene sus tres ngulos agudos. Tringulos obtusngulos y acutngulos: reciben el nombre de tringulos oblicungulos porque dos de sus lados cualesquiera caen en forma oblicua con respecto al tercer lado.PUNTOS Y RECTAS NOTABLES DEL TRIANGULOLa MEDIATRIZ de un lado de un tringulo (y en general, de un segmento de recta), es la recta perpendicular a ese lado en su punto medio. El punto de interseccin de las mediatrices se llama CIRCUNCENTRO. La MEDIANA de un triangulo es el segmento de recta que une un vrtice con el punto mediodel lado opuesto. El punto de interseccin de las medianas se llama BARICENTO. La BISECTRIZ de un ngulo en general y de un tringulo es la semirecta que biseca el ngulo, es decir, divide el ngulo en dos ngulos congruentes. El punto de interseccin de las bisectrices se llama INCENTRO.La ALTURA de un tringulo es el segmento de recta perpendicular que se traza desde un vrtice al lado opuesto (o a la prolongacin de ste). El punto de interseccin de las alturas se llama ORTOCENTRO.

RAZONES Y PROPORCIONESRAZN GEOMETRICAES EL NMERO QUE SE OBTIENE AL COMPARAR DOS MAGNITUDES POR COCIENTE.

Si a y b son dos nmeros (b 0), la razn entre el par ordenado de nmeros a, b es el cociente que se puede expresar a:b y que en ambos casos se lee a es a b.Cuando la razn se establece entre dos nmeros cuyas cantidades representan medidas de la misma especie, se expresan en la misma unidad de medida.

En la razn , a es el antecedente y b es el consecuente.PROPORCINSe llama proporcin a la igualdad de dos razones.

Si las razones a:b y c:d son iguales, la expresi a:b = c:d es una proporcin que tambin puede expresarse as: y en ambos casos se lee a es a b como c es a d.Las cantidades a, b, c, d se llaman trminos de la proporcin, siendo a en este caso el primer trmino, b el segundo, c el tercero y d el cuarto. Los trminos primero y cuarto (a y d) son los extremos, y los trminos segundo y tercero (b y c) son los medios; mientras que a y c son los antecedentes, d y c son los consecuentes. Propiedad fundamental de las proporciones

Proporcin directa

Proporcin indirecta

CRITERIOS DE SEMEJANZASemejanza de tringulosse llama tringulos semejantes a los tringulos que tienen respectivamente sus angulos congruentes y sus lados homlogos son proporcionales.Postulados de semejanza ngulo ngulo ngulo. Dos tringulos son semejantes si tienen sus tres ngulos respectivamente congruentes. Lado ngulo Lado. Dos tringulos son semejantes si tienen respectivamente congruentes un ngulo comprendido entre lados proporcionales. Lado Lado Lado. Dos tringulos son semejantes si tienen sus tres lados respectivamente proporcionales.POLGONOSUna lnea poligonal cerrada es aquella donde el extremo inicial del primer segmento coincide con el extremo final del ltimo segmento.Se llama polgono a la figura plana delimitada por una poligonal cerrada donde los segmentos son lados del polgono y los puntos de interseccin de los segmentos son los vrtices del polgono. Los polgonos se nombran de acuerdo con su nmero de lados. Polgono convexoUn polgono es convexo cuando cualquier recta secante slo lo corta en dos de sus lados, y tambin cuando al trazar una recta coincidente con uno de sus lados del polgono, los dems lados de ste quedan del mismo lado del plano con respecto a la recta.

Polgono cncavoUn polgono es cncavo cuando cualquier recta secante puede cortarlo en ms dos de sus lados, y tambin cuando al trazar una recta coincidente con uno de sus lados del polgono, los dems lados de ste no quedan del mismo lado del plano con respecto a la recta.

Polgono equilteroEs aquel que tiene todos sus lados congruentes, es decir, que todos sus lados tienen la misma medida.Polgono equinguloEs aquel que tiene todos sus ngulos interiores congruentes, es decir, que todos sus angulos tienen la misma medida.Polgono regularEs aquel que es equiltero y equingulo.Polgono irregularEs aquel que no cuentan con las caractersticas del polgono regular.

POLGONOS REGULARESEl centro de un polgono regular es el centro de su circunferencia circunscrita. Si el centro de un polgono regular se une con todos sus vrtices, a cada lado se opondr un ngulo llamado ngulo central. Dos lados consecutivos de un polgono regular forman un ngulo interior.La apotema de un polgono regular es el segmento perpendicular trazado desde el centro del polgono a uno de sus lados.AFAEADACABOFAaAAaOFA A, B, C, D, E y F son los vrtices del polgono. O es el centro del polgono. a es la apotema DOC es el ngulo central. FED es el ngulo interior.

Diagonales de un polgonoLa diagonal es el segmento de recta que une dos vrtices no consecutivos en un polgono.Un polgono de n lados tiene: Diagonales trazadas desde un vrtice: (n - 3) Diagonales totales del polgono: Medida del ngulo interior En polgono de n lados:

i =Suma de los ngulos interioresEn polgono de n lados:

Total de is=ngulo centralEn un polgono de n lados:

CIRCUNFERENCIA Y CRCULOLa circunferencia es una curva cerrada cuyos puntos en un mismo plano y a igual distancia de otro punto interior llamado centro de la circunferencia.Circunferencia Crculo

El crculo es la superficie del plano delimitado por una circunferencia.

Elementos de la circunferenciaAFAHADABAOACDAGDAEDA AB son los extremos de la cuerda. AB arco. O es el centro de la circunferencia. CD son los extremos del dimetro. EF son los extremos de la secante. GH son los extremos de la tangente. OB son los extremos del radio.

Arco. Es una parte de la circunferencia.Radio. Segmento que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de la misma.Cuerda. Es el segmento de recta que une dos puntos de la circunferencia.Dimetro. Es la cuerda que pasa por el centro de la circunferencia, tambin es llamada cuerda mayor.Tangente. Es la recta que toca a la circunferencia en un punto. Este punto nico se llama punto de tangencia.Secante. Es la recta que corta a la circunferencia en dos puntos (partes).

NGULOS

NGULO CENTRAL. Es aquel que est formado por dos radios. La medida del ngulo central es igual a la medida del arco comprendido entre sus lados.0000OAB0000OAAa0000OAAOB = ARCO AB

NGULO INSCRITO. Es aquel que est formado por dos cuerdas y tiene su vrtice sobre la circunferencia. Su medida es igual a la mitad del arco comprendido entre sus lados. CB0000OAAa0000OA

ABC = B0000OA

CONVERSIN DE MEDIDAS ANGULARES

De grados a radianes

De radianes a grados

TRIGONOMETRA

Razones trigonomtricas para angulos agudos:

Teorema de PitgorascCCB0000OAbCB0000OAaAaCB0000OA

LEY DE SENOSEn todo triangulo los lados son proporcionales a los senos de los angulos opuestos.La ley de senos se aplica cuando en el tringulo oblicungulo se conocen: Dos ngulos y un lado opuesto a uno de ellos. Dos lados y un ngulo opuesto a uno de ellos.

aAaCB0000OAcaAaCB0000OAbaAaCB0000OA

LEY DE COSENOSEn todo triangulo, el cuadrado de un lado cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos menos el doble del producto de esos lados por el coseno del angulo comprendido.La ley de cosenos se aplica cuando se conocen: Dos lados y el ngulo comprendido entre ellos. Sus tres lados.aAaCB0000OAcaAaCB0000OAbaAaCB0000OA