I.E. COLEGIO ANDRÉS BELLO

GESTIÓN ACADÉMICA GUÍA DIDÁCTICA N° 2

¡HACIA LA EXCELENCIA… COMPROMISO DE TODOS…!

CÓDIGO: PA-01-01

VERSIÓN: 2.0

FECHA: 19-06-2013

PÁGINA: 1 de 8

Nombres y Apellidos del Estudiante: Grado:9º

Periodo: SEGUNDO Y TERCERO

Docente: Duración:20 horas

Área: Matemática Asignatura: Geometría

ESTÁNDAR: Uso representaciones geométricas para resolver y formular problemas en las matemáticas y en otras

disciplinas.

INDICADORES DE DESEMPEÑO: Propone diferentes estrategias de solución a situaciones problema que involucran

el círculo y la circunferencia.

EJE(S) TEMÁTICO(S): LA CIRCUNFERENCIA.

*ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA Y EL CIRCULO

*POSICIONE RELATIVAS DE UNA CIRCUNFERENCIA Y UNA RECTA

*PROPIEDADES DE LAS CIRCUNFERENCIAS - *ANGULOS NOTABLES EN UNA CIRCUNFERENCIA

*MEDIDA DE ANGULOS NOTABLES

ORIENTACIONES

LECTURA Y COMPRENSIÓN DE CONCEPTOS, EXPLICACIÓN Y DESARROLLO DE TALLERES EN

GRUPOS. SOCIALIZACIÓN Y EVALUACIÓN.

EXPLORACIÓN

Preguntas cuadradas

El cuadrado que ves en la imagen ha sido divido en 4 cuadrantes de igual tamaño,

CONCEPTUALIZACIÓN

Mentalmente, divide el área blanca del cuadrante A,

de modo que resulten 2 piezas de igual tamaño.

Mentalmente, divide el área blanca del cuadrante B,

de modo que resulten 3 piezas de igual tamaño.

Mentalmente, divide el área blanca del cuadrante C,

de modo que resulten 4 piezas de igual tamaño.

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LA CIRCUNFERENCIA.

Como se puede observar, la circunferencia es una línea y por ello sólo tiene longitud, mientras que el círculo es una superficie y por tanto tiene área. ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA Y EL CÍRCULO

ACTIVIDAD: Escribe en la circunferencia los elementos.

Centro: Es el punto situado en su interior que se encuentra a la misma distancia de cualquier punto de la

circunferencia.

Arco: es el segmento de circunferencia comprendido entre dos de sus puntos.

Cuerda: Es el segmento de recta que une dos puntos de la circunferencia

Diámetro: Es la cuerda que pasa por el centro de la circunferencia.

Secante: Es la recta que corta a la circunferencia en dos puntos. (partes)

Tangente: Es la recta que toca a la circunferencia en un punto. Este punto único se llama punto de tangencia o

punto de contacto.

Radio: Es el segmento de recta que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de la misma.

Semicircunferencia: es el arco que abarca la mitad de la circunferencia.

Observación: El radio, la cuerda y el diámetro son segmentos de recta, mientras que la secante y la tangente son

rectas.

PROPIEDADES DE LAS CIRCUNFERENCIAS.

*Todos los radios de una circunferencia son

AC : arco AC

BC: arco BC

AC: arco AC

ACB: arco ACB

AB: cuerda

CD:diametro

EF: secante

GH :tangente

OI :radio

La Circunferencia es una curva cerrada

cuyos puntos están en un mismo plano y a

igual distancia de otro punto interior fijo que

se llama centro de la circunferencia.

El círculo es la superficie del plano limitado

por una circunferencia

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congruentes entre sí.

*La medida de un diámetro es dos veces el radio de la circunferencia.

*En una circunferencia la medida de toda cuerda es menor o igual a la medida del diámetro.

*Una recta perpendicular a un radio en su extremo es tangente a la circunferencia.

*Toda tangente a una circunferencia es perpendicular al radio trazado a su punto de tangencia.

*La medida en grados de una semicircunferencia es 180º

LA CIRCUNFERENCIA DE CENTRO EN EL ORIGEN DE COORDENADAS Y RADIO 1 SE DENOMINA

CIRCUNFERENCIA UNIDAD O CIRCUNFERENCIA GONIOMÉTRICA

ÁNGULOS NOTABLES EN UNA CIRCUNFERENCIA.

1) ÁNGULO CENTRAL

2)ÁNGULO INSCRITO

3) ÁNGULO SEMIINSCRITO

4) ÁNGULO INTERIOR:

5) ÁNGULO EXTERIOR

ÁNGULO CENTRAL :El ángulo central tiene su vértice en el centro de la

circunferencia y sus lados son dos radios.

La medida de un arco es la de su ángulo central correspondiente.

ÁNGULO INSCRITO:El ángulo inscrito tiene su vértice está en la

circunferencia y sus lados son secantes a ella. Mide la mitad del arco que

abarca.

𝐴𝐵𝐶 =1

2 𝐴𝐶

ÁNGULO SEMIINSCRITO El vértice de ángulo semiinscrito está en la

circunferencia, un lado secante y el otro tangente a ella. Mide la mitad del

arco que abarca.

𝐴𝑂𝐵 =1

2 𝐴𝐵

𝐴𝐸𝐷 =1

2 𝐴𝐷 + 𝐶𝐵

ÁNGULO INTERIOR :Es aquel que está formado por dos cuerdas que se

cortan en un punto interior de la circunferencia que no sea el centro. Su

vértice es interior a la circunferencia y sus lados secantes a ella.

Mide la mitad de la suma de las medidas de los arcos que abarcan sus lados y

las prolongaciones de sus lados.

ÁNGULO EXTERIOR: Es aquel que está formado por dos secantes que

se cortan en un punto fuera del círculo

Su vértice es un punto exterior a la circunferencia y los lados de sus ángulos

son: o secantes a ella, o uno tangente y otro secante, o tangentes a ella:

Mide la mitad de la diferencia entre las medidas de los arcos que abarcan

sus lados sobre la circunferencia.

𝐵𝐴𝐶 =1

2 𝐶𝐵 − 𝐷𝐸

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MEDIDA DE ANGULOS NOTABLES.

*La medida de un arco de circunferencia (en grados) es igual a la medida de ángulo central correspondiente.

*Todo ángulo inscrito mide la mitad de lo que mide el ángulo central que subtienda el mismo.

*Todo ángulo semi-inscrito es una circunferencia, tiene por medida la mitad del arco subtendido.

*La medida de un ángulo interior es igual a la semi-suma de los arcos que subtiende él y su opuesto por el vértice.

*La medida de un ángulo exterior, es igual a la semidiferencia de los arcos que subtiende. TEOREMA RELATIVOS A LOS ÁNGULOS NOTABLES EN LA CIRCUNFERENCIA.

Ángulo Central Ángulo Inscrito Angulo de Vértice Interno Angulo de Vértice Externo

Importante: En un cuadrilátero inscrito en una circunferencia, los ángulos opuestos son suplementarios.

ÁNGULOS INSCRITOS EN LA CIRCUNFERENCIA

Todo ángulo inscrito ( ) es igual a la mitad del ángulo del centro, ( ) si el

arco ( ) comprendido entre ellos es común.

No importa la ubicación del ángulo inscrito. Todos son iguales si el arco es

común.

Cuando el arco coincide con el diámetro de la circunferencia, el

ángulo del centro AOB es 180°. Luego el ángulo inscrito es 90°.

Teorema : Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es un ángulo

recto.

Si los arcos son iguales = Los ángulos inscritos

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POTENCIA DE UN PUNTO RESPECTO DE UNA CIRCUNFERENCIA

Si desde un punto P, exterior a una circunferencia, trazamos

dos rectas secantes a una circunferencia, se cumple que:

PA x PB = PC x PD

A este producto se le llama POTENCIA del punto P

respecto de la circunferencia.

Si dos cuerdas se cortan en un punto P, los

segmentos que se forman

cumplen la siguiente relación:

PA x PB = PC x PD

EJEMPLOS

Lee, analice y observe la solución del siguientes ejercicios.

1.- Si PA = 4 cm; PB = 12 cm; PC = 7 cm; Cuánto mide PD ?

2.- Si AB = 8cm; PC = 3cm y PD = 4cm Cuánto mide PB ?

3.- Los ángulos inscritos en una CIRCUNFERENCIA ⊗ que subtienden el mismo arco son congruentes.

SOLUCION:

PA x PB = PC x PD

4m· 12cm=7cm· PD

PD = 4 cm· 12 cm / 7 cm

PD = 6,85cm

SOLUCIÓN Llamemos: PA = x PB = 8 − x (porque AB = 8cm)

PA x PB = PC x PD

x · (8 – x) = 3 · 4 8x – x2 = 12

x2 – 8x + 12 = 0

(x – 6) (x – 2) = 0

Luego: PA = 6cm PB = 8 − 6 = 2cm ,

(o bien PA = 2cm PB = 6cm )

m (ACB) = m (ADB) = m (AEB) = 𝑚𝐴𝐵

2

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4.- Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto.

B C

A D

Ángulos en la Circunferencia

O: Centro de la Circunferencia.

ARCOS: AB, BC, CD y DE miden igual.

O: Centro de la Circunferencia.

ARCOS: AB, BC, CD y DE miden igual.

Calcular el valor del ángulo x

A) 90º B) 60º C) 30º D) 45º E) Ninguna de las anteriores.

ACTIVIDADES DE APROPIACIÓN

Observe los ejemplos presentados en la guía y desarrolle las siguientes actividades, aplicando los conceptos y

procesos vistos.

1) O centro de la circunferencia, ∡BAC=30° ∡EOC=40°. Calcular ∡EDB

B A C 0 D E

2) En la circunferencia P es punto medio de AB ,Si ∡ACB=30° , calcular la medida del arco

AP C

A B P

A) 20°

B) 30°

C) 25°

D) 50°

A) 15°

B) 30°

C) 60°

D)

m (AD) 0 180º

m <ABD m < ACD)= m( 𝐴𝐷

2)

m <ABD m< ACD = 90º

SOLUCIÓN:

Como el ángulo con vértice en P es inscrito, el arco CE mide el doble

de 15º = 30º

Luego, los arcos CD y DE miden 15º grados cada uno, lo mismo con

los arcos AB, BC y CD, cada uno de ellos mide 15º.

Luego el

ángulo x = Arco AB + Arco BC + Arco CD =

= 15º + 15º + 15º = 45º

La Alternativa es la D)

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3) Si ∡ABC=30° y arco AC =80° . 4) AD = 26° y BC = 96° . Calcular la medida del ∡BPC

Calcular la medida del arco DE. C

A

P

A D O

B B

D

E

C

5.- En la figura m, es punto medio del arco 6- Dada la siguiente figura, donde O es centro de

AB. Entonces, arco Am=? circunferencia. Hallar ∠x=?

a) 2q

b) 2/3q -90°

c) q

d) 180°-q/2

e) Ninguna de las anteriores

7.- Dada la siguiente figura, donde O es

centro de la circunferencia.

∠x=?

a) 37,5°

b) 45°

c) 30°

d) 60°

e) Ninguna de las anteriores

9)MN es diámetro de la circunferencia.

¿Cuánto mide el radio?

a) 7 b) 8 c) 10 d) 11 e) 12

E) 23°

F) 46°

G) 61°

H) 48°

a) 30°

b) 45°

c) 40°

d) 20°

e) Ninguna de

las anteriores

8)AC = 10;CP = 8; PD = 9 , entonces la medida del

segmento BD =?

a) 16 b) 10 c) 7 d) 8 e) 6

10) AC = 2·PC = 12cm; PD = 4cm , entonces la medida del

segmento BD =?

a) 16 b) 10 c) 7 d) 8

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SOCIALIZACIÓN

(Verificación de la aprehensión de los contenidos y revisión de la solución de la actividad)

1)Puesta en común del trabajo realizado. 2) Retroalimentación

3)Aclaración de posibles dudas. 4) Corrección de dificultades presentadas

5) Revisión del taller realizado 6) Qué aprendió hoy?. Cómo puede aplicar en su vida

7) Evaluación escrita del tema visto el tema visto

COMPROMISO

ANALIZA LOS SIGUIENTES GRAFICOS Y DESARROLLE CADA ACTIVIDAD PROPUESTA.

1)Si los puntos P, Q, R y S pertenecen a la

circunferencia, entonces la medida del ángulo x es:

a) 55º b) 54º c) 33º d) 27º e) 20º

3) En la circunferencia de centro O y diámetro 4) AB = diámetro = 12; EB = 2; CE = 5; ED = ?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 . AC. Si ∠ AOB = 120°, entonces ∠ACB = ?

a) 12,5° a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 b) 25° c) 30 d) 50° e) 60°

ELABORÓ REVISÓ APROBÓ

NOMBRES

Alexandra Uribe

CARGO Docentes de Área Jefe de Área Coordinador Académico

19 06 2013 19 06 2013 21 06 2013

2.- En la figura m, es punto medio del arco AB. Entonces,

arco Am = ?

a) 22,7º

b) 54°

c) 127,5°

d) 27°

e) Ninguna de

las anteriores