GRADIENTE DE UN CAMPO ESCALAR CARMEN SÁNCHEZ DIEZ

Octubre, 2004. Para casanchi.com

EL GRADIENTE DE UN CAMPO ESCALAR EN COORDENADAS RECTANGULARES, ESFÉRICAS Y CILÍNDRICAS: De la definición de gradiente:

rdfdgradfrr

).(= y podemos escribir en forma diferencial para coordenadas generales q1, q2, q3:

∂∂

∂∂

∂∂

= 333

222

111

111dq

qf

drdq

qf

drdq

qf

drfdgra .,.,.)(

r

Expresión en coordenadas rectangulares o cartesianas: En estas coordenadas es: dzdrdydrdxdr === 321 ,,

Por tanto:

kzf

jyf

ixf

kdzzf

dzjdy

yf

dyidx

xf

dxfdgra

rrrrrrr

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂∂

+∂∂

+∂∂

= ...)(111

En definitiva:

kzf

jyf

ixf

fdgrarrrr

∂∂

+∂∂

+∂∂

=)(

Expresión en coordenadas esféricas: En estas coordenadas es: φθρθρρ dsendrddrddr ..,., === 321

Por tanto:

ooo df

dsend

fd

df

dfdgra φφ

ιφθρθθ

θθρρρ

ρρrrrr

...

...

.)(∂∂

+∂∂

+∂∂

=111

O sea:

ooo f

senff

fdgra φφθρ

θθρ

ρρ

rrrr.

...)(

∂∂

+∂∂

+∂∂

=11

GRADIENTE DE UN CAMPO ESCALAR CARMEN SÁNCHEZ DIEZ

Octubre, 2004. Para casanchi.com

Expresión en coordenadas cilíndricas: En estas coordenadas es dhdrddrddr === 321 ,., φρρ

Por tanto:

oooo hdhhf

dhd

fd

df

dfdgra

rrrr....

..)(

∂∂

+∂∂

+∂∂

=111 φφ

φφρρρ

ρρ

O sea:

oooo h

hfff

fdgrarrrr

..)(∂∂

+∂∂

+∂∂

= φφρ

ρρ

1

En resumen:

En cartesianas: kzf

jyf

ixf

fdgrarrrr

∂∂

+∂∂

+∂∂

=)(

En esféricas: ooo f

senff

fdgra φφθρ

θθρ

ρρ

rrrr.

...)(

∂∂

+∂∂

+∂∂

=11

En cilíndricas: oooo hhfff

fdgrarrrr

..)(∂∂

+∂∂

+∂∂

= φφρ

ρρ

1