Grado 8. Guia 3-Estadistica

8/8/2019 Grado 8. Guia 3-Estadistica

1/8

8

rea: Matemticas 8 Tema: Estadstica. Gua N 3Profesor: Luis H. Cuesta Perea Fecha de Entrega:_________________

MEDIDAS DE DISPERSIN

Las medidas estadsticas que estudiamos en la seccin anterior (la moda, el promedio yla mediana) se denominan medidas de posicin porque los valores de la variableindican una cierta "acumulacin" de las observaciones alrededor de tales valores; sinembargo, estos valores slo proporcionan una descripcin incompleta de lasdistribuciones estadsticas.

Realicemos la siguiente experiencia con el fin de confirmar la observacin anterior.

EXPERIENCIAEn una universidad, la evaluacin se realiza en la escala de 0,0 a 5,0.Dos grupos A y B de economa, tienen 25 alumnos cada uno y las notasobtenidas por los alumnos, en matemticas, fueron las siguientes:

Grupo A Grupo B

Representemos las notas en un par de histogramas de frecuencias.

Contesta:Cul es la moda del grupo A? Y la mediana?Cul es la moda del grupo B? Y la mediana?Cul es la nota media en el grupo A? Veamos.


2/8

8

0,325

0,75

25

0,415,380,395,260,11___==

++++=AX

Cul es la nota media en el grupo B? Veamos-.

0,3

25

0,75

25

0,545,410,435,330,355,220,220,135,02___==

++++++++= BX

Como vemos, ambos grupos tienen la misma nota media: 3,0; sin embargo, sushistogramas de frecuencias son muy diferentes-, mientras que las notas en elgrupo A estn muy prximas a la media, las notas en el grupo B estn muydispersas; es decir, toman valores muy distintos.

Para determinar el grado de dispersin de un conjunto de datos estadsticosutilizamos las llamadas MEDIDAS DE DISPERSIN, que son.a) El recorrido d) La varianza e) La desviacin tpica

b) La desviacin c) La desviacin media

EL RECORRIDO

Una manera de determinar la dispersin de una serie de datos es dar el recorrido orango. La siguiente experiencia nos ayudar a comprender este concepto.

EXPERIENCIA: Consideremos de nuevo las notas de los grupos A y Bque analizamos en la experiencia anterior. Contesta:

Cul fue la nota mxima obtenida en el grupo A? Y cul fue la notamnima? Cul es la diferencia entre estos dos valores?

Cul fue la nota mxima obtenida en el grupo B? Y cul fue la nota mnima?Cul es la diferencia entre estos dos valores?

La diferencia entre el dato mayor y el dato menor de una serie de datos sedenomina RECORRIDO. As pues:

RECORRIDO DE A = 4,0 - 1,0 = 3,0RECORRIDO DE B = 5,0 - 0,5 = 4,5

Como el RECORRIDO DE B > RECORRIDO DE A entonces decimosque en el grupo B hay mayorGRADO DE DISPERSIN.

APRENDAMOSEl RECORRIDO de una serie de datos es la diferencia entre el datomayor y el dato menor.


3/8

8

El recorrido nos da una medida del GRADO DE DISPERSIN.

ATENCIN: El recorrido es una medida fcil de calcular, y cuando los datosson pocos, es la medida ms conveniente; sin embargo, como slo considera

los datos extremos, esta medida corre el riesgo de ser gravemente afectadapor un valor excepcional o errneo.

DESVIACIN MEDIA, VARIANZA Y DESVIACIN TPICA

Otro medio de hallar la dispersin de una serie de datos es buscando en cuanto seaparta o se desva cada resultado respecto a la media.

PRIMERA EXPERIENCIA

Volvamos una vez ms sobre las notas de los grupos A y B. Fjate biencomo calculamos la desviacin de cada nota con respecto a la media:

APRENDAMOSLa DESVIACIN (d) de un dato x respecto a la media x es la diferencia

entre dicho dato y la media; es decir: d = x -___

X.

ATENCIN:1.

En la desviacin deben tenerse en cuenta los signos (+) o (-).Observemos que las desviaciones, en valor absoluto, son mayores enel grupo B. Esto significa que en el grupo B hay ms dispersin.

2. Mientras mayores sean, en valor absoluto, las desviaciones conrespecto a la media, mayor ser la dispersin.

SEGUNDA EXPERIENCIA


4/8

8

Acabamos de decir que en la desviacin es necesario tener en cuenta el signo (+) o(-). Sin embargo, si queremos dar la desviacin de una SERIE de datos no podemosutilizar la suma de las desviaciones, ya que la suma es cero. Comprobemos:

As, pues, si queremos dar la desviacin de una serie de datos, debemos hallar elvalor absoluto de cada desviacin, sumarlos y dividir por el nmero de datos. Elresultado se denomina desviacin media.

Hallemos la desviacin de cada dato y su valor absoluto:- GRUPO A:

d1 = 1,0 - 3,0 = - 2,0; luego, |d1| = 2,0; d2 = 2,5 - 3,0 = - 0,5; luego, |d2| = 0,5d3 = 3,0 - 3,0 = 0,0; luego, |d3| = 0,0; d4 = 3,5 - 3,0 = 0,5; luego, |d4| = 0,5

d5 = 4,0 - 3,0 = 1,0; luego, |d5| = 1,0Luego, la desviacin media del grupo A es:

( )1............................................................16,025

0,4

25

0,15,00,0050,2___==

++++=d

- GRUPO B:d1 = 0,5 - 3,0 = - 2,5; luego, |d1| = 2,5 d2 = 1,0 - 3,0 = - 2,0; luego, |d2| = 2,0d3 = 2,0 - 3,0 = - 1,0; luego, |d3| = 1,0 d4 = 2,5 - 3,0 = - 0,5; luego, |d4| =0,5


5/8

8

d5 = 3,0 - 3,0 = 0,0; luego, |d5| = 0,0 d6 = 3,5 - 3,0 = 0,5; luego, |d6| = 0,5d7 = 4,0 - 3,0 = 1,0; luego, |d7| = 1,0 d8 = 4,5 - 3,0 = 1,5; luego, Id8| = 1,5d9 = 5,0 - 3,0 = 2,0; luego, |d9| = 2,0Luego, la desviacin media del grupo B es:

( )2............................44,025

0,11

25

0,25,10,15,00,05,00,10,25,2___==

++++++++=d

Los resultados (1) y (2) nos muestran que la desviacin media del grupo B es muchomayor que la desviacin media del grupo A; as, pues, los datos del grupo B estn msdispersos o menos concentrados que los del grupo A.

APRENDAMOSLa DESVIACIN MEDIA de una serie de datos es el promedio o mediaaritmtica de los valores absolutos de todas las desviaciones; es decir:

N

ddddd

n++++

=

...321___

TERCERA EXPERIENCIAEs posible que la desviacin media no permita conocer la situacin dealgunos miembros que estn muy alejados de la media aritmtica. Eneste caso, podemos utilizar dos medidas estadsticas: la varianza y ladesviacin cuadrtica o tpica.

Para calcular la varianza procedemos as:

Hallamos cada desviacin:, x1-___

X, x2-

___

X,

___

X n-___

X,

Elevamos al cuadrado cada una de las desviaciones y sumamos los resultados; es

decir: (x1-___

X)2 + (x2-

___

X)2 + + (xn-

___

X)2.

Finalmente, hallamos la media aritmtica de la suma de estos cuadrados. Esta es lavarianza:

VARIANZAN

)x-(x++)x-(x+)x-(x2

__

n

2__

2

2__

1=

En estas condiciones, la varianza en cada uno de los grupos A y B es la siguiente:

VARIANZA (grupo A) =25

(1,0)+(0,5)+(0,0)+0,5)(-+(-2,0) 22222

22,025

0,125,00,025,00,4=

++++=

VARIANZA (grupo B)


6/8

8

=

25

(2,0)+(1,5)+(1,0)+(0,5)+(0,0)+(-0,5)+(1,0)+(-2,0)+(-2,5)222222222

76,025

0,19

25

4,0+2,25+1,0+0,25+0,0+0,25+1,0+4,0+6,25==

Por lo tanto, la varianza es mayor para el grupo B que para el grupo A. Esto, de nuevo,significa que los datos del grupo B estn ms dispersos o menos concentrados quelos del A.La desviacin tpica de una distribucin estadstica es la raz cuadrada positiva de lavarianza. La desviacin tpica se representa pors.

Contesta: Cules son las desviaciones tpicas de las notas de los grupos A y B denuestro ejercicio?

APRENDAMOS La VARIANZA de una distribucin estadstica es la media aritmtica

de los cuadrados de las desviaciones respecto a la media. La DESVIACIN TPICA de una distribucin estadstica es la raz

cuadrada positiva de la varianza.

ATENCIN: Para el clculo de la varianza conviene aplicar estrictamente ladefinicin, para lo cual debemos seguir estos pasos:

Ejemplo: Un grupo de 6 personas recibi las siguientes cantidades de dinero: 300dlares, 100 dlares, 400 dlares, 200 dlares, 800 dlares y 600 dlares. Calculemosla varianza y la desviacin tpica.Solucin: Para calcular la varianza, sigamos los pasos anteriores:

1. Calculemos la media:6

400.2

6

800+600+400+300+200+100__==x = 400

2. Hallemos las desviaciones respecto a la media:x1 -

___

X= 100 - 400 = - 300 x2 -

___

X= 200 - 400 = - 200

x3 -___

X= 300 - 400 = - 100 x4 -

___

X= 400 - 400 = 0

x5 -___

X= 600 - 400 = 200 x6 -

___

X= 800-400 = 400


7/8

8

3. Calculamos los cuadrados de cada desviacin, los sumamos y dividimos por elnmero de datos. El resultado es la varianza:

VARIANZA =6

400+200+0+100)(-+200)(-+300)(-222222

VARIANZA =6

000.340=56.666,66

La desviacin tpica es la raz cuadrada de la varianza; es decir:s = 56.666,66 = 238,04

EJERCICIO

1. Se ha tomado el peso a un grupo de atletas. Estos son los resultadosen kg: 75, 77, 76, 77, 77, 79, 78, 77Halla el recorrido, la desviacin media, la varianza y la desviacin tpica.

2. Las estaturas en centmetros de 10 jvenes son: 163, 167, 154, 170, 165, 167, 168,

163, 169, 154. Calcula el rango y la desviacin tpica.

3. El siguiente diagrama de barras muestra las notas de los alumnos de una clase.Halla el rango y la desviacin tpica.

4. El siguiente polgono de frecuencias compara los resultados de unos alumnos en unaevaluacin de ciencias naturales y matemticas.


8/8

8

a) Cuntos alumnos presentaron las evaluaciones?

b) Halla la media, la mediana y la moda de cada una de las materias.c) En cul de las dos materias estn las notas menos dispersas?

5. Una empresa tiene que seleccionar entre dos empresas A y B para el suministro debombillas. Elige 30 muestras de cada una de las dos empresas y anota la duracin delas bombillas, mantenindolas permanentemente encendidas. Estos fueron losresultados:

En cul de las dos empresas es mayor la dispersin?

Documents

Grado 8. Guia 3-Estadistica