Curso Propedéutico

Álgebra y Cálculo

Diplomado en Administración de Riesgos

Expositor: Juan Francisco Islas

Monterrey, N.L. Julio 2013

Cálculo Diferencial

Sumatoria

Fuente de los datos: Murray R. Spiegel y Larry J. Stephen (2009) Estadística, 4ª. ed. p.70, Problema 3.4

clearinput x y2 -3-5 -84 10-8 6endlist, sumgen xy=x*ygen x2=x*xgen y2=y*ygen xy2=x*y2gen bsbd=(x+y)*(x-y)list, sum

Sean dos variables y que toman los valoresX Y21 =X 52 −=X 43 =X 84 −=X

31 −=Y 82 −=Y 103 =Y 64 =Y

∑=

4

1iiX ∑

=

4

1iiY ∑

=

4

1iiiYX ∑

=

4

1

2

iiX ∑

=

4

1

2

iiY ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ∑∑==

4

1

4

1 ii

ii YX ∑

=

4

1

2

iiiYX ( )( )∑

=

−+4

1iiiii YXYX

Calcular

74

1−=∑

=iiX 5

4

1=∑

=iiY 26

4

1=∑

=iiiYX 109

4

1

2 =∑=i

iX 2094

1

2 =∑=i

iY

( )( ) 35574

1

4

1

−=−=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ∑∑== i

ii

i YX 1904

1

2 −=∑=i

iiYX

( )( ) 1002091094

1

24

1

24

1−=−=−=−+ ∑∑∑

=== ii

ii

iiiii YXYXYX

0 11 12 23 64 245 1206 7207 5,0408 40,3209 362,88010 3,628,80011 39,916,80012 479,001,600

Factorial

display exp(lnfactorial(7))for num 0/12: display %9.0f = exp(lnfactorial(X))

Fuente: Sánchez, Octavio (2004) Probabilidad y estadística McGraw Hill, México. Pág. 20

( ) ( ) nnnn ×−×−××××= 12321! L

( ) ( ) 12321! ××××−×−×= Lnnnn

El factorial de           esn

n !n

El factorial de           es7

...

Factoriales de algunos números

Binomio de Newton

for num 0/12: display comb(12,X)

Fuente: Sánchez, Octavio (2004) Probabilidad y estadística McGraw Hill, México. Pág. 256

Triángulo de 

Pascal

( ) ∑=

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=+

n

i

iinn bain

ba0 ( ) !!

!iin

nin

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

( ) 222 2 bababa ++=+

( ) 32233 33 babbaaba +++=+

( ) 4322344 464 babbabaaba ++++=+

Clasificación de sistemas de ecuaciones lineales

11 bxmy +=

22 bxmy +=

r

-6-5

-4-3

-2-1

0y

-1 0 1 2x

-10

12

34

56

7y

-3 -2 -1 0 1 2 3x

Solución única

Sin solución

21 mm =

-4-3

-2-1

01

23

45

6y

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5x

Número infinito de soluciones

21 mm =

21 bb =

21 mm ≠

21 bb ≠

Solución de ecuaciones de segundo grado

02 =++ cbxaxLas soluciones de

son

aacbbx

242 −±−

=

Solución de ecuaciones de segundo grado

02 =++ cbxax

02 =++acx

abx

acx

abx −=+2

222

21

21

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛++

ab

ac

abx

abx

2

22

44

2 aacb

abx −

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

Demostración

Solución de ecuaciones de segundo grado

2

2

44

2 aacb

abx −

±=+

2

2

44

2 aacb

abx −

±=+

aacb

abx

24

2

2 −±−=

aacbbx

242 −±−

=

Exceso de

OfertaExceso

de Demanda

Equilibrio de Mercado. Modelo Lineal. Generalidades

Función de Oferta

Función de Demanda

do QQ =bPaQd −=

dPcQo +−=

Condición de EquilibriodPc +− bPa −=

cadPbP +=+( ) caPdb +=+

dbcaP

++

=*Precio de Equilibrio

Cantidad de Equilibrio

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++

+−=+−=dbcadcdPcQo

dbbcadQQQ do +

−===*

*Q

*P

d

o

QQ od QQ >

do QQ >

Exceso de

OfertaExceso

de Demanda

Equilibrio de Mercado. Ejemplo 1 : Modelo Lineal

Función de Oferta

Función de Demanda

do QQ =PQd 223−=

PQo 75+−=

Condición de EquilibrioP75+− P223−=

52327 +=+ PP289 =P

928* =PPrecio de Equilibrio

Cantidad de Equilibrio

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+−=+−=

9287575 PQo

9151* === do QQQ

*Q

*P

d

o

QQ od QQ >

do QQ >

Función de Oferta

Función de Demanda

do QQ =

24 PQd −=

14 −= PQo

Condición de Equilibrio

Equilibrio de Mercado. Ejemplo 2 : Modelo No Lineal

Hay una solución económicamente admisible: la correspondiente a precios y cantidades positivos.En economía, las variables dependiente e independiente sólo pueden tomar valores dentro del primer cuadrante cartesiano.

lineal en

cuadrática en

P

Pd

o

QQ

Exceso de

OfertaExceso

de Demanda

Equilibrio de Mercado. Ejemplo 2 : Modelo No Lineal

Función de Oferta

Función de Demanda

do QQ =

24 PQd −=14 −= PQo

Condición de Equilibrio24 P−=14 −P

54 2 =+ PP0542 =−+ PP

1* =∴ P31)1(4140 =−=−= PQ 3* =∴ Q

Solución económica factible para el precio

*P

*Q

Cantidad de equilibrio

321

322

642

3642

)5(4164±−=

±−=

±−=

±−=

−−±−=P

Equilibrio de Mercado. Ejemplo 3 : Modelo No Lineal

Función de Oferta

Función de Demanda

( ) ( )pDpS =

( ) ppD −= 410( ) 7032 −+= pppS

Condición de Equilibrio

( )( )pDpS

cuadrática

lineal

Hay una solución económicamente admisible, la que se encuentra en el primer cuadrante y correspondiente a precio y cantidad positivos.

340

360

380

400

420

440

19 19.25 19.5 19.75 20 20.25 20.5 20.75 21p

Exceso de

OfertaExceso

de Demanda

Equilibrio de Mercado. Ejemplo 3 : Modelo No Lineal

Función de Oferta

Función de Demanda

( ) ( )pDpS =

( ) ppD −= 410( ) 7032 −+= pppS

Condición de Equilibrio

ppp −=−+ 4107032

048042 =−+ pp( )( ) 02024 =−+ pp

20* =∴ P( ) 39020410 =−=pD ( ) 390* =∴ pD

Solución económica factible para el precio

*P

*Q

Cantidad de equilibrio

cuadrática

lineal

020024 =−=+ PP

Funciones Compuestas. Aplicaciones

Función de Costos

)()( xCCxC VF +=El costo total de producción es una función del costo fijo y del costo variable

Función de Beneficio)()()( xCxRx −=π El beneficio o utilidad neta es una

función del ingreso total y del costo total

Función de IngresoxpxR ⋅=)( El ingreso total es función de las

unidades de producto vendidas al precio unitario dado

( ) ( ) ( ) ( ) 500,45002040020302020 23 =++−=C( ) ( ) ( ) ( ) 129,45001940019301919 23 =++−=C

( ) ( ) 371129,4500,41920 =−=−CC

)a

)b

)a

)b

( ) cxCFpxxU −−= función de utilidades = ingresos - costos

( ) xxxU 125500,1275 −−=En equilibrio, no hay ganancias ni pérdidas, es decir, las utilidades son cero, por lo tanto los ingresos son iguales a los costos

( ) 0125500,1275 =−−= xxxUxx 125500,1275 +=

10150500,1

==x

( ) 000,1125500,1275 =−−= xxxU500,2150 =x

177.16150500,2

≈==x

utilidad

( ) xxR 275=

17=x

( ) xxC 125500,1 +=

pérdida

Funciónde

IngresoFunciónde

Costos

punto de equilibrio

( ) ( )

500,2150000,1125500,1275

000,1

==−−

=−

xxx

xCxR

1767.16150500,2

≈==x

( ) 5003.0' 2 +−== qqdqdCqC

( ) ( ) ( ) ( ) 2.698,1200350035.031.03 23 =++−=C( ) ( ) ( ) ( ) 4.198,2200450045.041.04 23 =++−=C

2.5001

2.698,14.198,234

)3()4(34

)3()4(=

−=

−−

=−−

=∆∆ CCCC

qC

( ) 7.499500)3()3(3.03' 2 =+−=C

)a

)b

0.5

11.

52

CM

g

0 20 40 60 80 100x

510

1520

25C

0 20 40 60 80 100x

( )

( ) 21

2525

'

−+=

==

x

CMgdqdCqC

derivando por regla de la cadena

( ) ( ) 325325 21++=++= xxqC

Funciónde Costo

Total

Función de Costo

Marginal

El costo marginal disminuye con el aumento de la

producción

( ) ( ) ( ) ( ) ( )100120271860960100

3106310''222

2

+−=+−+−=

−−−=+=

xxxxxxxxxxxpxpxR

( ) ( ) ( ) xxxxxxxxxxpxR 100609960100310 23322 +−=+−=−==

( ) ( )2310 xxp −=

( ) 010012027' 2 =+−= xxxR

( ) ( )( )( ) 9

102054

60120272

100274120120 2 ±=

±=

−±=x

33.33

10930

===cx 11.19

10==cx

0601203

10543

10'' >=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ =cxR 33.3=∴ cx es un mínimo

0601209

10549

10'' <−=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ =cxR 11.1=∴ cx es un máximo

( ) 12054'' −= xxR

( ) 012054'' =−= xxR 22.2920

54120

===⇒ Ix es un punto de inflexión

función de preciofunción de ingreso

ingreso marginal

criterio de la primera derivadaigual a cero para determinarpuntos críticos

criterio de la segundaderivada paracaracterizarlos puntoscríticos

Funciónde

Ingreso

Funciónde

IngresoMarginal

IngresoMáximo

38.4981

40009

101009

10609

1099

10 23

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ =cxR

( ) ( )38.49,11.181000,4,

910, =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=cc yx

Exceso de

OfertaExceso

de Demanda

Equilibrio de Mercado. Modelo Lineal. Generalidades

Función de Oferta

Función de Demanda

do QQ =( )PfQd =

( )PfQo =

Condición de Equilibrio

( )**,QPPrecio de EquilibrioCantidad de Equilibrio

*Q

*P

d

o

QQ od QQ >

do QQ >

-50

-40

-30

-20

-10

010

2030

4050

6070

8090

100

-5 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -.5 0 .5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

Regla de los 4 pasos para calcular la derivada de una función

( ) 20152 23 −−+= xxxxf

Obtener la derivada mediante la regla de los cuatro pasos.

)(xfy =

( ) ( ) ( ) 20152 23 −∆+−∆++∆+=∆+ xxxxxxyy

1) Incrementando en x∆x

2) Restando la función original( ) ( ) ( ) ( )2015220152 2323 −−+−−∆+−∆++∆+=−∆+ xxxxxxxxxyyy

2015220151524233 23223223 ++−−−∆−−∆+∆++∆+∆+∆+=∆ xxxxxxxxxxxxxxxy

xxxxxxxxxy ∆−∆+∆+∆+∆+∆=∆ 152433 2322

Sea la función

Regla de los 4 pasos para calcular la derivada de una función-5

0-4

0-3

0-2

0-1

00

1020

3040

5060

7080

9010

0

-5 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -.5 0 .5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

3) Dividiendo entre x∆

xxxxxxxxxx

xy

∆∆−∆+∆+∆+∆+∆

=∆∆ 152433 2322

152433 22 −∆++∆+∆+=∆∆ xxxxxx

xy

4) Tomando el límite cuando 0→∆x

152433limlim 22

00−∆++∆+∆+=

∆∆

→∆→∆xxxxxx

xy

xx

1543 2 −+=∴ xxdxdy

Regla de los 4 pasos para calcular la derivada de una función

Regla de los 4 pasos para calcular la derivada de una función-5

0-4

0-3

0-2

0-1

00

1020

3040

5060

7080

9010

0

-5 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -.5 0 .5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

Gráfica de una función mediante el cálculo diferencial( ) 20152 23 −−+= xxxxfConsiderando la función

1543 2 −+= xxdxdyA partir de

( ) 0' =xfAl resolver se obtienen los puntos críticos de

01543 2 =−+ xxse resuelve

aacbbx

242 −±−

=

( )( )( ) 3

726

14432

153444 2 ±−=

±−=

−−±−=x 3

51 =cx

32 −=cx

mediante

Criterio de la primera derivada (para obtener puntos críticos)( )xf

-50

-40

-30

-20

-10

010

2030

4050

6070

8090

100

-5 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -.5 0 .5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

Gráfica de una función mediante el cálculo diferencial

( ) 0'' <cxf( )xfSi entonces es un decx( ) 0'' >cxf

máximomínimo

Criterio de la segunda derivada (para determinar si un punto crítico es máximo o mínimo)

Al resolver se obtienen los puntos de inflexión de ( )xf( ) 0'' =xf

( ) 461543 22

2

+=−+= xxxdxd

dxyd

A partir de

046 =+xse resuelve32

−=∴ Ix

-50

-40

-30

-20

-10

010

2030

4050

6070

8090

100

-5 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -.5 0 .5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

Gráfica de una función mediante el cálculo diferencial

Evaluando en la función original las correspondientes abscisas de los puntos críticos y del punto de inflexión se obtienen los puntos respectivos que facilitarán el trazado de la gráfica de la función ( ) 20152 23 −−+= xxxxf

35

1 =cx

32 −=cx

32

−=Ix

Para ( ) 8.342794020

3515

352

35

35 23

1 −=−=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ === xfxxf c

Para ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 16203153233 232 =−−−−+−=−=== xfxxf c

Para ( ) 4.92725420

3215

322

32

32 23

−=−=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=== xfxxf I

( )8.34,67.127940,

35

11 −=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −∴ cc PP

( )16,32 −∴ cP

( )4.9,67.027254,

32

−−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−∴ II PP

-50

-40

-30

-20

-10

010

2030

4050

6070

8090

100

y

-5 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -.5 0 .5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5x

Análisis gráfico de una función mediante el cálculo diferencial

( ) 20152 23 −−+= xxxxf

cóncava

convexa

( )( ) 0''

0'<>

xfxf

( )( ) 0''

0'<<

xfxf

( )( ) 0''

0'<

=c

c

xfxf

( )( ) 0''

0'>

=c

c

xfxf

( )( ) 0''

0'><

xfxf

( )( ) 0''

0'>>

xfxf

( )( ) 0''

0'=

<I

I

xfxf

( ) 1543' 2 −+= xxxf( ) 46'' += xxf

Los puntos de intersección de con el eje se obtienen al resolver ( ) 0=xfxLos puntos de intersección de con el eje se obtienen al resolver ( )0=xfy

( )xf( )xf

-30

-25

-20

-15

-10

-50

510

1520

2530

-1 0 1 2 3 4 5

Análisis gráfico de función cúbica mediante cálculo diferencial

Fuente: Dowling, Edward T. (1992) Teoría y Problemas de Cálculo para la Administración, Economía y Ciencias Sociales, McGraw Hill. Sección 6.5, Ejemplo 4, pág. 162-163

( ) 30122 23 +−= xxxf

( ) xxxf 246' 2 −=

( ) 0' =xf 0246 2 =− xx( ) 046 =−xx

06 =x 04 =−x01 =cx 42 =cx

( ) 2412'' −= xxf( ) 0'' =xf 02412 =−x

( ) 0212 =−x0=Ix

( ) 024)0(12'' 1 <−=cxf

( ) 024)4(12'' 2 >−=cxf2cx

1cx es máximo

es mínimo

punto de inflexión

Criterio de la segunda derivada

Criterio de la primera derivada

( ) 0' >xf ( ) 0' <xf

( ) 0' >xf( ) 0' <xf

( ) 0' =xf

( ) 0' =xf

( ) 0' <xf( ) 0'' =xf

11.

21.

41.

61.

82

S

0 5 10 15 20 25 30

.5.6

.7.8

.91

S

0 5 10 15 20 25 30

050

100

150

200

S

0 5 10 15 20 25 30

-10

-50

510

S

0 5 10 15 20 25 30

Serie geométrica (convergente y divergente)

Fuente: Sydsaeter, Knut, Arne Strom y Peter Berck (2005) Economists’ Mathematical Manual, 4ª. ed. Springer, pág. 49,

121 −++++= nn aaaS L

nnn aaaaaaS +++++= −132 L

( ) nn aSa −=− 11

aaS

n

n −−

=11

10 << aaa

aSn

nnn −=

−−

=∞→∞→ 1

111limlim

Sea

multiplicando por a

restando la segunda expresión a la primera

despejando nS

Si y ∞→n , converge anS

1>aSi , divergenS

010

2030

S

0 5 10 15 20 25 30

5.0=a

1=a

5.0−=a

1.1=a1.1−=a