Embed Size (px)
Citation preview
Análisis Dinámico en el Dominio de la Frecuencia.- 48
TEMA 5. ANALISIS DINAMICO EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA
Hasta ahora se ha estudiado el análisis de sistemas en el dominio de Laplace, si bien, este análisis
se complica sobremanera a medida que aumenta la complejidad de los sistemas. En este capítulo se
aborda una tercera alternativa que es el análisis en el dominio de la frecuencia. Al igual que ocurriera en
anteriores capítulos, este análisis debe aplicarse a sistemas lineales o linealizados.
El análisis en el dominio de la frecuencia consiste básicamente en utilizar la respuesta en
frecuencia del proceso y del lazo de control abierto para extraer conclusiones sobre el proceso en lazo
cerrado.
5.1. Respuesta en frecuencia.
Respuesta a una señal sinusoidal.
5.1.1. Ejemplo de respuesta frecuencial para un sistema de primer orden.
Considérese un sistema de primer orden que se somete a una entrada sinoidal de amplitud A y
frecuencia ω. Hallaremos la respuesta en el dominio del tiempo. p2 2p
K Ay(s)s 1 s
ω=τ + + ω
.
Expandiendo en fracciones parciales. p 1 2 3
pp
K A C C Cy(s) 1 s j s js
⎡ ⎤⎢ ⎥ω⎢ ⎥= + +
τ + ω − ω⎢ ⎥+⎢ ⎥τ⎣ ⎦
2p
1 2 2p
C1
τ=
+ τ ω p
2 2p
1C2 j
τ= −
τ ω + ω p
3 2p
1C2 j
τ=
−τ ω + ω
2 2( ) Au ss
ωω
=+
( ) ( )u t Asen tω= ( ) ( ) ( )y t A G j sen tω ω φ= +
G(s)
Análisis Dinámico en el Dominio de la Frecuencia.- 49
el primer término lleva a: 2p p p p2 2 2 2p pp p
p
K A K A1 texp( )11 1s
τ ω ωτ===> −
τ τ+ τ ω + τ ω+τ
el segundo: ( )p pp p
2 2p p p
K A jK A j1 1 1 exp( j t)2 j j s j 2 1
τ ω−⎡ ⎤τ ω−− =====> − − ω⎢ ⎥
τ ω+ τ ω− + ω τ ω +⎢ ⎥⎣ ⎦
y el tercero: ( )p pp p2 2
p p p
K A jK A j1 1 1 exp( j t)2 j j s j 2 1
−τ ω−⎡ ⎤−τ ω−=====> ω⎢ ⎥
−τ ω+ −τ ω− − ω τ ω +⎢ ⎥⎣ ⎦
desarrollando: ( ) ( )p p p p p2 2 2 2 2 2pp p p
K A K A K Atexp( ) cos t sen t1 1 1
ωτ ωτ− − ω + ωτ+ τ ω + τ ω + τ ω
para tiempos muy elevados, el término exponencial tiende a cero y los otros dos términos pueden
simplificarse mediante: 1 2 3
2 2 1 13 1 2
2
a cos(b) a sen(b) a sen(b );aa a a ; tga
−
+ = + θ
= + θ = con lo que finalmente se obtiene para el
estado estacionario: ( )p 1p2 2
p
K Asen t tg ( )
1−⎡ ⎤ω + −τ ω⎣ ⎦+ τ ω
, tal como se observa, la relación de amplitud es
igual al módulo del número complejo p
p
KG( j) ;
j 1ω =
τ ω +mientras que el ángulo de desfase es el
argumento del mismo número complejo.
5.1.2. Generalización de respuesta frecuencial para cualquier sistema.
Considerando el sistema lineal cuya función de transferencia es: G(s)=N(s)/D(s)
Donde N(s) y D(s) son polinomios de grado m y n respectivamente. La transformada de Laplace
de este sistema a una entrada sinusoidal del tipo u(t) = A sen (ω t) sería:
Asumiendo que todos los polos de G(s) son reales y simples:
111 21
1 2
( ) ... n
n
cc c a by ss p s p s p s j s jω ω⎡ ⎤
= + + + + +⎢ ⎥− − − + −⎣ ⎦
2 2( ) Au ss
ωω
=+
Análisis Dinámico en el Dominio de la Frecuencia.- 50
Todos los sumandos entre corchetes dan lugar a términos exponenciales del tipo epit. Si todos los
polos son negativos, todos los sumandos son decrecientes y tienden a cero para t tendiendo a infinito. Por
tanto, la respuesta última será: -jωt jωtultimay (t)=ae +be
Donde las constantes a y b son las siguientes: AG(-jω) AG(jω)a= ; b=-2j 2j
Operando con números complejos:
-jωt jωtAG(-jω) AG(jω)y(t)= e + e-2j 2j
( ) ( )AG(-jω) AG(jω)y(t)= cos(-ωt)+jsen(-ωt) + cos(ωt)+jsen(ωt)-2j 2j
AG(-jω) AG(jω) AG(jω) AG(-jω)y(t)= + cos(ωt)+ jsen(ωt)-2j 2j 2j -2j
⎡ ⎤ ⎡ ⎤−⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
2 2AG(-jω) AG(jω) AG(jω) AG(-jω)y(t)= + - sen(ωt+φ)
-2j 2j 2j -2j⎡ ⎤ ⎡ ⎤
−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
AG(-jω) AG(jω)y(t)= 4 sen(ωt+φ)=A G(jω) sen(ωt+φ)-2j 2j
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
-1 -1 -1
AG(-jω) AG(jω)-2j 2j G(jω)-G(-jω) Img G(jω)φ=tg tg tg
G(jω)+G(-jω) Real G(jω)AG(jω) AG(-jω)2j -2j
⎡ ⎤ ⎡ ⎤+⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ = =⎡ ⎤ ⎡ ⎤
−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
se obtiene por tanto
)tsen()j(GA)t(yu φ+ωω= [5.1]
en la que ⏐G(jω)⏐ es el módulo del número complejo resultante de sustituir s por jω en la función
de transferencia y φ es el argumento de ese número complejo. La respuesta última es por tanto una señal
sinusoidal de la misma frecuencia pero con una amplitud diferente y desfasada un ángulo φ.
0 100 200 300 400 500-1
-0.5
0
0.5
1
Tiempo
y(t)
desfase=T P=periodo=2π/ω
ángulo de fase=360T/P
Respuesta última de un sistema lineal.
Análisis Dinámico en el Dominio de la Frecuencia.- 51
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
La relación de amplitudes RA es el cociente entre la amplitud de onda de salida y la amplitud de
onda de entrada.
( )( ) ( )
A G jRA G j
Aω
ω ω= = [5.2]
El ángulo de fase φ suele ser negativo, es decir, la onda de salida está retrasada respecto de la de
entrada. Por ello, generalmente se habla de retardo de fase.
( ) ( )G jφ ω ω= ∠ [5.3]
En algunos sistemas φ es positivo en cuyo caso se habla de avance de fase.
Cuestión. Obtener el desfase, período de oscilación, frecuencia de oscilación y relación de amplitudes a partir de las curvas
entrada salida del sistema de la figura. Resp. La relación de amplitudes es 2, la frecuencia 1, el período 2π y el desfase 180º.
Ejemplo 5.1. Obtener la respuesta frecuencial de
a- Un capacitor puro.
b- Una serie de procesos de primer orden no interactivos.
c- Un sistema de segundo orden.
d- Un tiempo muerto.
e- Un controlador PI y otro PD.
5.2. Representación gráfica de la respuesta en frecuencia.
5.2.1. Diagrama de Nyquist (gráfica polar o representación en el plano G).
Es una representación del número complejo G(ωj) en un diagrama bidimensional en función de la
frecuencia. En el eje de ordenadas se representa la parte imaginaria mientras que en el eje de abcisas se
representa la parte real. Se verán algunos ejemplos que se pueden realizar en EXCEL.
Análisis Dinámico en el Dominio de la Frecuencia.- 52
Ejemplo 5.2.
*Sistema de primer orden p
p
KG(s)
s 1=τ +
.
El módulo y argumento de un sistema de primer orden vienen dados por:
p 1p2 2
p
KG( j) ; G( j) tg ( )
1−ω = ∠ ω = − τ ω
+ τ ω
Para frecuencia cero, el módulo es Kp y el argumento cero. Para frecuencia igual a la inversa de la
constante de tiempo el módulo es pKG( j)
2ω = y el argumento -45º. Cuando la frecuencia tiende a
infinito, el módulo se hace cero y el desfase de 90º. Al construir el diagrame de Nyquist se observa que
este es un semicírculo de diámetro Kp.
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
00 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
Diagrama de Nyquist de un sistema de primer orden
* Adelanto de primer orden. pG(s) s 1= τ +
En este caso se tiene: 2 2 1p pG( j) 1 ; G( j) tg ( )−ω = + τ ω ∠ ω = τ ω
El argumento de este sistema comienza en 1 para frecuencia cero y tiende a infinito a medida que
lo hace la frecuencia. Por su parte el argumento se desplaza de cero a 90º, dando lugar a un gráfico que
corresponde a una línea recta vertical con origen en la unidad de abcisas.
* Tiempo muerto. mt sG(s) e−=
mG( j) 1; G( j) tω = ∠ ω = − ω
Análisis Dinámico en el Dominio de la Frecuencia.- 53
El gráfico de Nyquist cambia en ángulo de fase a medida que lo hace la frecuencia pero no afecta
al módulo con lo que la representación da lugar a una circunferencia de radio la unidad y centrada en el
origen:
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
Diagrama de Nyquist de un tiempo muerto
* Sistema de primer orden con tiempo muerto. mt s
p
p
K eG(s)
s 1
−
=τ +
p 1p m2 2
p
KG( j) ; G( j) tg ( ) t
1−ω = ∠ ω = − τ ω − ω
+ τ ω
Haciendo uso de la propiedad del producto de números complejos: El módulo del producto de
complejos es el producto de módulos individuales mientras que el argumento global es la suma de
argumentos individuales, se obtiene la expresión anterior. El gráfico de Nyquist es una espiral:
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
-2 -1 0 1 2 3 4 5
Diagrama de Nyquist de un sistema de primer orden con tiempo muerto
Análisis Dinámico en el Dominio de la Frecuencia.- 54
* Integrador puro. 1G(s)s
=
1G( j) ; G( j) 90ºω = ∠ ω = −ω
La representación de Nyquist es una línea vertical que coincide con el eje negativo imaginario.
* Integrador y sistema de primer orden. ( )
p
p
KG(s)
s s 1=
τ +
p 1p2 2
p
KG( j) ; G( j) tg ( ) 90º
1−ω = ∠ ω = − τ ω −
ω + τ ω
Para frecuencia cero el módulo tiende a infinito y el argumento a -90º, cuando la frecuencia va a
infinito el módulo se hace cero.
Diagrama de Nyquist de un sistema de primer orden con integrador
*Sistema de orden dos. p2 2p p
KG(s)
s 2 s 1=τ + δτ +
( ) ( )p
2 22 2p p
KG( j)
1 2ω =
− τ ω + δτ ω
, el argumento es: p12 2p
2G( j) tg
1− − δτ ω
∠ ω =− τ ω
El diagrama comienza en Kp y finaliza en el origen. Para frecuencia inversa del período de
oscilación no amortiguado la curva corta al eje imaginario (argumento = -90º) siendo el módulo:
pKG( j)
2ω =
δ. De forma general se puede afirmar que añadir retrasos a un sistema (añadir polos) mueve
el diagrama de Nyquist en sentido de las agujas del reloj alrededor del origen. La adición de ceros
provoca el efecto contrario.
Análisis Dinámico en el Dominio de la Frecuencia.- 55
-4.5-4
-3.5-3
-2.5-2
-1.5-1
-0.50
-2 -1 0 1 2 3 4 5
Diagrama de Nyquist de un sistema de segundo orden subamortiguado
5.2.2. Diagrama de Bode.
El diagrama de Bode está constituido por dos curvas, una para representar la relación de
amplitudes en función de la frecuencia y otra para el retardo de fase. La relación de amplitudes se
representa en papel doblemente logarítmico salvo que se exprese en decibelios, en cuyo caso se denota
por L y se representa en coordenadas semilogarítmicas:
L = 20 log RA [5.4]
El ángulo de fase expresado en grados se representa frente a ω en escala semi-logarítmica. Se
verán algunos ejemplos.
A) Ganancia estática. Un sistema con una función de transferencia G(s) = K responde de forma
instantánea a cualquier señal de entrada amplificándola K veces. En este caso es claro que RA = ⏐K⏐ = K
y que φ = ∠K = 0. Por tanto RA(ω) y φ(ω) son dos rectas horizontales en el diagrama de Bode.
B) Integrador puro. Sustituyendo s por jω en la función de transferencia de un integrador puro se
tiene: G(jω) = 1 / jω
1G( j)ω =ω
[5.5]
G( j) 90º∠ ω = − [5.6]
En escala logarítmica RA(ω) es una recta de pendiente –1 que pasa por ω = 1, RA = 1. Si se
expresa la relación de amplitudes en decibelios: L=-20log ω.
Es decir, una recta de pendiente –20dB/década que pasa por el punto ω = 1, L = 0.
Análisis Dinámico en el Dominio de la Frecuencia.- 56
Diagrama de Bode de un integrador puro
C) Sistema retardo de primer orden. Sustituyendo s por jω se obtiene:
( )p
1G( j)j 1
ω =τ ω +
Siendo la relación de amplitudes: RA=2 2p
1G( j)1
ω =+ τ ω
[5.7]
y el ángulo de fase: 1pG( j) tg ( )−∠ ω = − τ ω [5.8]
La representación de RA(ω) se aproxima a dos asíntotas que se cortan en ω = 1/τ (frecuencia de
corte), la horizontal por RA = 1 y la de pendiente –1. En la frecuencia de corte se tiene que:
1G( j)2
ω =
RA(dB) 20log 2 3dB= − = −
1G( j) tg (1) 45º−∠ ω = − = −
La relación de amplitudes
cae rápidamente para frecuencias
superiores a la de corte. Por ello el
sistema actúa como un filtro “ paso
bajo” es decir un elemento que deja
pasar las señales de baja frecuencia
pero que atenúa o elimina las de alta
frecuencia.
Diagrama de Bode de un sistema de primer
orden (RA).
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
0.00001 0.0001 0.001 0.01 0.1 1 10 100
Análisis Dinámico en el Dominio de la Frecuencia.- 57
-95
-85
-75
-65
-55
-45
-35
-25
-15
-5
5
0.00001 0.0001 0.001 0.01 0.1 1 10 100
Diagrama de Bode de un sistema de primer orden (fase).
D) Adelanto de primer orden. La función de transferencia es: pG(s) s 1= τ +
En este caso se tiene: 2 2pG( j) 1ω = + τ ω [5.9]
1pG( j) tg ( )−∠ ω = τ ω [5.10]
La curva RA (ω) se aproxima mediante una asíntota horizontal en RA = 1 y otra inclinada de
pendiente 1. Que se cortan en ω = 1/τ . A esa frecuencia RA = 21/2 y φ = 45º. Este elemento dinámico, no
realizable físicamente, aporta un avance de fase de 0º a ω = 0 y de 90º a ω tendiendo a infinito. El
diagrama de Bode es la imagen especular del que resulta de un retardo de primer orden.
E) Tiempo muerto o retardo puro.
La función de transferencia es ahora: mt sG(s) e−=
G( j) 1ω = [5.11]
mG( j) t∠ ω = − ω [5.12]
De acuerdo con estas relaciones es obvio que
RA(ω) será una recta horizontal en RA = 1 o L = 0 y
que el ángulo de fase es una curva monótonamente
decreciente.
Diagrama de Bode de un tiempo muerto (fase).
-250
-200
-150
-100
-50
00.01 0.1 1 10 100
Análisis Dinámico en el Dominio de la Frecuencia.- 58
F) Factores cuadráticos. 2 2p p
1G(s)s 2 s 1
=τ + δτ +
( ) ( )p
2 22 2p p
KG( j)
1 2ω =
− τ ω + δτ ω
, el argumento es: p12 2p
2G( j) tg
1− − δτ ω
∠ ω =− τ ω
Si ξ > 1, este factor cuadrático se expresa como un producto de dos factores de primer orden con
polos reales. Si 0 < ξ < 1, este factor cuadrático es el producto de dos factores complejos conjugados.
La curva asintótica de respuesta en frecuencia se obtiene del modo siguiente:
( ) ( )2 22 2p pRA(dB) 20log 1 2= − − τ ω + δτ ω
para frecuencias bajas tales que ω << ωn, la magnitud logarítmica se convierte en 0 dB.
Por tanto, la asíntota de frecuencia baja es una recta horizontal en 0 dB. Para frecuencias altas la
magnitud logarítmica se vuelve: ( )22 2 2 2p p pRA(dB) 20log 1 20log 40log= − − τ ω = − τ ω = − τ ω
Las dos asíntotas así obtenidas son independientes del factor
de amortiguamiento, en las proximidades de la frecuencia de cruce
pp
1ω= ωτ
= aparece un pico de resonancia cuya magnitud viene
determinada por δ. A medida que disminuye δ el pico de resonancia
aumenta
En lo referente al ángulo de fase, este comienza en cero, pasa
por -90º en la frecuencia de esquina y termina en -180º para
frecuencias tendiendo a infinito.
Volviendo al pico de resonancia, la frecuencia de resonancia a la cual RA es máxima se obtiene
por simple derivación de la expresión correspondiente.
( ) ( )p
2 22 2p p
KG( j)
1 2ω =
− τ ω + δτ ω
, así, derivando el denominador e igualando a cero:
Análisis Dinámico en el Dominio de la Frecuencia.- 59
( ) ( )2 22 2p p 2
2r n
p
d 1 21 20; 1 2
d
⎡ ⎤− τ ω + δτ ω⎢ ⎥ − δ⎣ ⎦ = ω = = ω − δ
ω τ
La frecuencia de resonancia es aplicable para valores de δ comprendidos entre 0 y 0.707. La
magnitud del pico de resonancia se calcula sustituyendo el valor de frecuencia de resonancia en la
expresión de magnitud: presonancia máxima 2
KM G( j)
2 1= ω =
δ −δ. Conforme δ tiende a cero el pico de
resonancia tiende a infinito. Esto implica que si el sistema se excita en su frecuencia de resonancia la
magnitud se vuelve infinita.
El ángulo de fase en la frecuencia de resonancia es:
21 1
21 2G( j) tg 90º sen
1− −− δ δ
∠ ω = = − +δ −δ
5.2.3. Diagrama de Black.
Es una representación de la relación de amplitudes (dB) frente al ángulo de fase.
(Ejemplos en Barrientos 228 y siguientes, Stephanopoulos 331 y Ogata 473 y 484)
5.3. Respuesta en frecuencia de sistemas constituidos por varias funciones de transferencia
en serie.
Anteriormente se ha podido comprobar como los procesos simples pueden ser modelados
mediante varias funciones de transferencia en serie. La dinámica de la mayoría de procesos químicos se
puede modelar mediante un sistema de primer orden con tiempo muerto constituido por tres elementos
básicos combinados en serie: ganancia estática, sistema de primer orden y tiempo muerto. En el dominio
Análisis Dinámico en el Dominio de la Frecuencia.- 60
de la frecuencia resulta muy sencillo combinar funciones de transferencia de elementos dinámicos en
serie. Sea por ejemplo un proceso constituido por dos funciones de transferencia en serie:
G(s) = G1(s) G2(s)
En el dominio de frecuencia se tiene:
G(jω) = G1(jω) G2(jω)
Escribiendo en forma polar resulta:
1 2( ) ( )( )1 2( ) ( ) ( )j G j j G jj G jG j e G j e G j eω ωωω ω ω∠ ∠∠ = [5.13]
Reordenando términos se puede escribir:
1 2( ) ( )( )1 2( ) ( ) ( ) j G j j G jj G jG j e G j G j e ω ωωω ω ω ∠ + ∠∠ = [5.14]
En consecuencia se deduce que la relación de amplitudes de G(s) es el producto de las relaciones
de amplitudes de ambas funciones de transferencia y que el desfase de G(s) es la suma de desfases de las
funciones de transferencia en serie. Matemáticamente se tiene que
1 2( ) ( ) ( )RA j RA j RA jω ω ω= [5.15]
1 2( ) ( ) ( )G j G j G jω ω ω∠ = ∠ +∠ [5.16]
tomando logaritmos en [5.15]
L = L1 +L2 [5.17]
Ejemplo 5.3 Dibujar las trazas de Bode para la función 210(s+3)
s(s+2)(s +s+2)
Ejemplo 5.4 Dibujar las trazas de Bode para la función -0.1s
210(0.5s+3)e(s+1) (0.1s+1)
Ejemplo 5.5 Dibujar las trazas de Bode para la función:
-0.2s1 1 1 e400 1+0.25s 0.1s+1 (2s+1)(s+1) 0.5s+1
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
Análisis Dinámico en el Dominio de la Frecuencia.- 61
5.4. Sistemas de fase no mínima.
La función de transferencia de un sistema físicamente realizable es:
( )( )
1 21 2 1 0
1 21 2 1 0
....( )( ) ....
m m mm m m
k n n nn n n
K b s b s b s b s by su s s a s a s a s a s a
− −− −
− −− −
+ + + +=
+ + + +, cumpliendose: (n+k) > m
La mayor parte de los sistemas reales presentan una respuesta frecuencial tal como se explica a
continuación. A bajas frecuencias, la relación de amplitudes se aproxima por la asíntota de pendiente –1 k
y el ángulo de fase tiende a –90º k. La respuesta a altas frecuencias se evalúa también sin más que dividir
numerador y denominador de la función de transferencia por sn+k, sustituir s por jω y tomar límite cuando
ω tiende a infinito. El resultado es que la relación de amplitudes se aproxima por una asíntota de
pendiente (-1)(n+k-m) y que el ángulo de fase tiende a (-90º)(n+k-m). Los sistemas que presentan este
comportamiento se denominan de fase mínima. Los sistemas de fase no mínima, presentan polos y/o
ceros en el semiplano derecho del plano s, son lentos en su respuesta debido a su comportamiento
defectuoso al inicio de la respuesta. Así, al diseñar un sistema, si una velocidad de respuesta rápida es de
vital importancia, no deben usarse componentes de fase no mínima. Existe otra clase de sistemas de fase
no mínima que se caracterizan por un ángulo de desfase más negativo del que predicen las relaciones
anteriores. Los tres tipos de sistemas de fase no mínima son:
1-Sistemas con tiempo muerto.
2-Sistemas con respuesta inversa (presentan un cero con parte real positiva)
3-Sistemas inestables (presentan un polo con parte real positiva).
