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Análisis de la Dinámica de Procesos en el Dominio de Laplace. Funciones de Transferencia.- 20

TEMA 3. ANALISIS DE LA DINAMICA DE PROCESOS EN EL DOMINIO DE

LAPLACE: FUNCIONES DE TRANSFERENCIA.

La transformada de Laplace permite la solución rápida y elegante de ecuaciones diferenciales

lineales que describen el comportamiento dinámico de procesos. La transformada de Laplace, así mismo,

permite el desarrollo simple de modelos de entrada – salida que conduce al importante concepto de la

función de transferencia y da una idea sobre el comportamiento de un sistema ante diferentes influencias

externas.

3.1. La transformada de Laplace.

La definición de la transformada de Laplace es:

[ ] -st

0

f(s)=L f(t) = f(t)e dt∞

∫ [3.1]

La transformada de Laplace convierte una función de dominio en el tiempo al dominio de Laplace.

3.1.1. Propiedades.

1-La transformada de Laplace es un operador lineal

L[f1(t)+f2(t)] = L[f1(t)] + L[f2(t)] = f1(s)+f2(s) [3.2]

2-La transformada del producto de una constante por una función temporal es la constante por la

transformada de la función.

[ ] [ ]L Kf(t) =KL f(t) =Kf(s) [3.3]

3-La transformada de Laplace de la derivada enésima de una función en el dominio del tiempo es: n

n n-1 n-2 n-3 n-1n

d f(t)L =s f(s)-s f(0)-s f (́0)-s f´ (́0)-...-f (0)dt

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

[3.4]

Cuestión. Deducir la trasformada de Laplace de la derivada primera de una función. Resp.

0

df (t) df (t)L exp( st)dtdt dt

∞⎡ ⎤ = −⎢ ⎥⎣ ⎦ ∫ ; integrando por partes:


u exp( st)du s exp( st)

udv uv vdudf (t)dv dtdt

v f (t)

= − ⎫⎪= − − ⎪⎪ ∫ = − ∫⎬

= ⎪⎪

= ⎪⎭

00 0

df (t) exp( st)dt exp( st)f (t) s f (t) exp( st)dtdt

∞ ∞∞− = − + − =∫ ∫

s f (s) f (0)= − ; para derivadas superiores:

n nn n 1 n 2 n 2 n 1

n n0

d f (t) df (t)L exp( st)dt s f (s) s f (0) s f '(0) ...s f (0) f (0)dt dt

∞− − − −⎡ ⎤

= − = − − − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∫

4-La transformada de Laplace de la integral de f(t) es: t

0

f(s)L f(t)dt =s

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦∫ [3.5]

Cuestión. Deducir la trasformada de Laplace de la integral de una función. Resp.

t t

0 0 0L f (t)dt f (t)dt exp( st)dt

∞⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫ ∫ ; integrando por partes y dividiendo por s:

t

o

dv exp( st)1v exp( st)s

udv uv vduu f (t)dt

du f (t)dt

= − ⎫⎪⎪= − −⎪⎪ ∫ = − ∫⎬⎪=⎪⎪

= ⎪⎭

∫

t

o 00

1 1 1f (t)dt exp( st) f (t) exp( st)dt f (s)s s s

∞ ∞⎛ ⎞⎜ ⎟− − + − =⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫

3.1.2. Teoremas de la transformada de Laplace. (Ejemplos en Corripio página 36).

Teorema del retardo puro (teorema de la traslación real). La transformada de una función

retardada tm unidades es:

[ ] m-stmL f(t-t ) =e f(s) [3.6]


Cuestión. Demostrar el teorema del retardo puro. Resp.

[ ] [ ]m m m m m m0 0

L f (t t ) f (t t )exp( st)dt exp( st ) f (t t )exp( s t t )d(t t )∞ ∞

− = − − = − − − − −∫ ∫

haciendo τ=t-tm; [ ]mexp( st ) L f (s)−

Teorema del valor final. Si existe límite temporal y la transformada de Laplace de f(t) es f(s) se

cumple:

0lim f(t) limsf(s)t s→∞ →

= [3.7]

La principal aplicación de este teorema es que permite hallar el valor final de la respuesta del

proceso (valor en régimen permanente) a partir del modelo dinámico.

Cuestión. Demostrar el teorema del valor final. Resp.

Partiendo de la transformada de la derivada y tomando límites en ambos miembros:

[ ]

[ ]

s 0 s 00

s 0 s 00

df (t)lim exp( st)dt lim s f (s) f (0)dt


∞

→ →

∞

→ →

⎡ ⎤⎢ ⎥− = − =⎢ ⎥⎣ ⎦

− = − =

∫

∫

t s 00

df (t) dt lim f (t) f (0) lim s f (s) f (0)dt

∞

→∞ →= − = −∫

Teorema del valor inicial.

sf (0) lim s f (s)

→∞=

Cuestión. Demostrar el teorema del valor inicial. Resp.

[ ]

[ ]

s s0

s s0


df (t)lim exp( st)dt lim s f (s) f (0) 0dt

∞

→∞ →∞

∞

→∞ →∞

⎡ ⎤⎢ ⎥− = − =⎢ ⎥⎣ ⎦

− = − =

∫

∫


Teorema de diferenciación compleja.

nn n

nd f (s)L t f (t) ( 1)

ds⎡ ⎤ = −⎣ ⎦

Cuestión. Demostrar el teorema de la diferenciación compleja. Resp.

[ ] [ ]0 0

d exp( st)L t f (t) t f (t)exp( st)dt f (t) dt

ds

∞ ∞ −= − = −∫ ∫

0

d f (t)exp( st)dtds

∞− −∫

Para comprobaciones sucesivas:

[ ] [ ]2

2 22

d f (s)L t f (t) L t t f (t) L t g(t) ( 1)ds

⎡ ⎤ = = = −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

Teorema de la traslación compleja.

Es la transformada de funciones del tipo: g(t)= exp( at) f (t)−

[ ] [ ]0

L exp( at) f (t) f (t)exp (s a)t dt∞

− = − +∫ haciendo p = s+a, nos encontramos ante la

transformada de Laplace de f(t) en la variable p; [ ]L exp( at) f (t) f (p) f (s a)− = = +

Es decir: “la transformada de g(t)= exp( at) f (t)− se obtiene hallando f(s) y después sustituyendo s

por s+a.

3.1.3. Otras propiedades de la transformada de Laplace.

• Transformada de g(t)= f (t)t

[ ] [ ] [ ]s 0 s 0

f (t) exp st f (t)f (t) exp st dt ds f (s) ds dt Lt t

∞ ∞ ∞ ∞⎡ ⎤ − ⎡ ⎤⎢ ⎥− = = = ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ ∫ ∫

Ejemplos:

Ejemplo 3.1-Obténgase la transformada de Laplace de: 2

2n n2

t 0

d x(t) dx(t) dx(t)2 x(t) Kr(t); x(0) 0dt dtdt =

+ ξω + ω = = =


Ejemplo 3.2-Obténgase la transformada de Laplace de: y(t) = t exp(-at)

3.1.4. Transformada de Laplace de funciones comunes en control de procesos. (Stephanopoulos)

A) Función escalón.

Considérese la función f(t) = KU(t) donde U(t) es la función escalón unitario:

[ ] -st -st

0 0

KL KU(t) = KU(t)e dt=K e dt=s

∞ ∞

∫ ∫ [3.8]

B) Función rampa.

Si f(t) = kt entonces fácilmente se obtiene que:

[ ] -st -st2

0 0

KL Kt = Kte dt=K te dt=s

∞ ∞

∫ ∫ [3.9]

Demostración:

u Ktdu Kdt

udv uv vdudv exp( st)dt1v exp( st)s

= ⎫⎪= ⎪⎪ ∫ = − ∫= − ⎬⎪⎪= − −⎪⎭

0 0 0

K K Kt exp( st) exp( st)dt exp( st)dts s s

∞ ∞∞− − − − − = −∫ ∫

20

K 1 Kexp( st)s s s

∞⎡ ⎤− − =⎢ ⎥⎣ ⎦

C) Función senoidal.

Sea f(t) = sen (ωt) donde ω es la frecuencia de la onda sinusoidal, la transformada resulta:

[ ] 2 2L sen( t) =s +ωωω

[3.10]

Demostración.

Recordando las relaciones de Euler:

La expansión en series de potencias del seno y coseno son: 2 4 6

3 5 7

cos 1 .......2! 4! 6!

sen .......3! 5! 7!

θ θ θθ = − + − +

θ θ θθ = θ − + − +

, por tanto, ( ) ( ) ( )2 3 4j j jcos j sen 1 j .......

2! 3! 4!θ θ θ

θ + θ = + θ − + − +

La expansión en series de la exponencial es: 2 3 4x x xexp(x) 1 x

2! 3! 4!= + + + + , se cumple que:


cos j sen exp( j ) y cos j sen exp( j )θ+ θ = θ θ− θ = − θ “teorema de Euler”

según el teorema de Euler se obtiene exp( j t) exp( j t)sen t2 j

ω − − ωω = , por tanto la transformada

de Laplace de la función senoidal será:

[ ]0

exp( j t) exp( j t)L sen t exp( st)dt2 j

∞ ω − − ωω = −∫ e integrando ambos términos por separado:

0 0

1 1 1 1exp( j s)t exp( j s)t2 j j s 2 j j s

∞ ∞⎡ ⎤ ⎡ ⎤−

ω − − −ω −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ω − ω +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ con lo que finalmente se obtiene:

2 21 1 12 j j s j s s⎡ ⎤− ω

− + =⎢ ⎥−ω + ω + ω +⎣ ⎦

D) Función exponencial.

Si f(t) = e-at resulta la siguiente transformada:

-at -at -st

0

1L e = e e dt=s+a

∞

⎡ ⎤⎣ ⎦ ∫ [3.11]

E) Función Delta de Dirac.

La función delta de Dirac es igual a la derivada del escalón unitario. d( )= U(t)dt

tδ

Por su parte el escalón unitario se puede escribir como: ( ) lim(1 )tU t e α

α

−

→∞= −

Por lo tanto se llega a:

[ ]( ) lim(1 ) lim lim 1t tdL t L e L edt s

α α

α α α

αδ αα

− −

→∞ →∞ →∞

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤= − = = =⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥+⎣ ⎦ ⎣ ⎦ [3.12]

F) Función pulso unidad

0 t 0Pulso 1/ A 0 t A

0 t A

<⎧⎪= < <⎨⎪ >⎩

esta función se puede poner como diferencia de dos funciones:

1 20 t 0 0 t A

f f1/ A t 0 1/ A t A

< <⎧ ⎧= =⎨ ⎨> >⎩ ⎩

Pulso = f1 – f2


f1 es la función escalón cuya transformada es 1/As. f2 es similar a f1 pero retrasada A unidades de

tiempo es decir, f2 = f1(t-A). Aplicando el teorema del retardo puro la transformada es 1 exp( As)As

− .

Restando ambas transformadas [ ]1 1 exp( As)As

= − −

G) Función coseno.

[ ] 2 2sL cos t

sω =

ω +

Se demuestra de forma similar al seno teniendo en cuenta que: exp( j t) exp( j t)cos t2

ω + − ωω =

3.2. Transformada inversa o antitransformada. [ ]1 ( ) ( )L f s f t− =

Es el paso del dominio de Laplace al dominio del tiempo empleándose la notación L-1[f(s)] = f(t).

Si la función es simple, la inversa puede encontrarse en tablas. Para funciones complejas el método más

utilizado es la descomposición en fracciones parciales. La función que se quiere invertir descompone en

serie de funciones simples cuya antitransformada es conocida:

[ ] 1 2 3( ) ( ) ( ) ( ) ... ( )Nf s f t f t f t f t= + + + +

Mediante la propiedad de operador lineal se puede escribir:

[ ] [ ] [ ] [ ]1 1 1 11 2 3( ) ( ) ( ) ( ) ... ( )Nf t L f t L f t L f t L f t− − − −= + + + +

En el análisis de procesos dinámicos f(s), aparece normalmente como un cociente de polinomios

en s:

ii

0

ii

0

b s( )( )( ) a s

m

in

i

n sf sd s

=

=

= =∑

∑ [3.13]

la ecuación del polinomio denominador: ii

0a s 0

n

i==∑ tendrá n raíces (reales o complejas), alguna de

las cuales podrá incluso ser repetida. La forma de proceder es descomponiendo en fracciones simples (al

igual que se hace en integración de fracciones polinómicas) y a continuación se hace la transformada de

dichas fracciones simples.

De las relaciones algebraicas se deducen las siguientes reglas generales:

1-Si un factor lineal (as +b) esta incluido en el denominador, existe una fracción parcial

correspondiente a este factor: A/(as+b).


2-Si un factor lineal (as+b) aparece n veces en el denominador, existen n fracciones parciales para

este factor del tipo:

( ) ( )n

n2

21bas

A.....bas

Abas

A+

+++

++

3-Si un factor cuadrático (as2+bs+c) aparece en el denominador, existe una fracción parcial que

corresponde a este factor de la forma cbsas

BAs2 ++

+

4-Si un factor cuadrático (as2+bs+c) aparece en el denominador n veces, existen n fracciones

parciales que corresponde a este factor de la forma ( ) ( )n2

nn22

222

11

cbsas

BsA...cbsas

BsAcbsas

BsA

++

+++

++

++

++

+

Para realizar la inversión de la transformada se requiere encontrar las raíces del polinomio

denominador. Para ello se usan métodos numéricos de ensayo y error. Tres de los métodos más eficaces

son el método de Newton para raíces reales, el de Newton-Bairstow para raíces reales y complejas

conjugadas y el método de Müller para raíces complejas y reales. Hoy en día estos métodos están

incluidos en paquetes de software por lo que gran parte de estos cálculos re realiza por ordenador.

3.2.1. Método de expansión de Heaviside.

Es un método sistemático para determinar los coeficientes de la expansión en fracciones parciales

que no requiere la solución simultánea de ecuaciones algebraicas. El grado del polinomio del

denominador debe ser mayor que el numerador. Si se tiene la función de transferencia F(s) = P(s)/Q(s) y

Q(s) posee n raíces, es posible escribir:

∑=

+=n

1iii )as/(C

)s(Q)s(P

A la hora de evaluar el coeficiente Cj, se multiplican ambos miembros de la ecuación anterior por

(s+aj) tal como se muestra,

)as(/)as(Ci)s(Q

)as)(s(Pij

j ++=+

∑

para s = -aj todos los términos del sumatorio se hacen cero excepto para i = j. En este caso, se

comprueba que: Cj = P(aj)/Q´(aj) donde Q´(aj) = Q(s)/(s+aj).

Ejemplo 3.3. Hallar la anti-transformada de la expresión: 3 2s 1F(s)

s 6s 11s 6−

=+ + +


El procedimiento anterior no es válido cuando existen raíces repetidas en el polinomio Q(s), en

este caso, la fracción polinómica se escribe: rr

221

r )as(A...

)as(A

)as(A)s(h

)as()s(

)s(Q)s(P

+++

++

++=

+

Φ=

Donde h(s) es la suma de fracciones parciales que no contienen el término s+a en el denominador.

Multiplicando la ecuación anterior por (s+a)r se obtiene:

φ (s) = h(s) (s+a)r +A1(s+a)r-1 +A2(s+a)r-2 +Ar-1(s+a) +Ar

La función φ (s) puede desarrollarse mediante serie de Taylor alrededor del punto –a:

++−−Φ

+++−Φ

++−Φ+−Φ=Φ−− 1r

)as(!1r

)a(...)as(!2

)a´´()as)(a´()a()s(1r

2

(TOM = Términos de Orden Mayor). Identificando términos se observa que:

y que también:

Ejemplo 3.4. 4 3 2s 3F(s)

s 5s 9s 7s 2+

=+ + + +

Problema resuelto con Mathematica

Para el caso aún más complicado de la existencia de ecuaciones con términos cuadráticos

repetidos, el procedimiento a seguir es:

1- Encontrar los coeficientes de todos los factores no repetidos, o repetidos de primer orden

usando el método de Heaviside.

2- Encontrar el coeficiente para el factor cuadrático repetido a la mayor potencia usando la

técnica estándar.

3- Sustituir los coeficientes anteriores en F(s) y resolver para el resto de coeficientes de similar

potencia en s.

Ejemplo 3.5.

( )( )32

s 1

s 2 s 2s 2

+

+ + +

TOM)as(!1r

)a()as(!r

)a( 1rr 1rr++

+−Φ

++−Φ

+++

!nr)a(A

nrn −

−Φ=

− ( )∑∞

=

+Φ=+

rj

jjr

!j)as()as)(s(h


3.3. Resolución de ecuaciones diferenciales lineales.

El uso de la transformada de Laplace elimina la necesidad de evaluar las constantes de integración

ya que estas quedan integradas en la transformada de la ecuación diferencial. Si todas las condiciones

iniciales son cero la transformada de Laplace se obtienen simplemente sustituyendo d/dt por s, d2/dt2 por

s2, etc. El método es el siguiente:

-Se convierte la ecuación diferencial mediante Laplace en una ecuación algebraica en s.

-Se reordena para obtener la expresión de la transformada de la variable dependiente.

-La solución temporal se halla mediante la inversa. Ejemplos: Luyben 318, CES 24 y siguientes, Stephanopoulos, 156, Corripio 41,54-55-56.

http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/superior/fourier/laplace.pdf

Ejemplo 3.6. Resolver el sistema de ecuaciones dado sabiendo que las derivadas tiempo cero son

nulas.

11 2

t21 2

dx =2x +3x +1dt

dx =2x +x +edt

3.4. Respuesta a un escalón de algunos sistemas simples.

A) Sistema de primer orden. La ecuación diferencial de un sistema lineal de primer orden de

ganancia K y constante de tiempo τ es:

dy(t)τ +y(t)=Ku(t)dt

[3.18]

Asumiendo condiciones iniciales nulas, es decir variables de desviación y aplicando la

transformada de Laplace:

τ s y(s) + y(s) = Ku(s) [3.19]

La transformada de Laplace de un escalón de magnitud Δu es u(s) = Δu/s, ahora sustituyendo y

despejando resulta: K u 1 K uy(s)=(τs+1) τ (s+1/τ)s sΔ Δ

=

Descomponiendo en fracciones parciales se obtiene:

K u K uy(s)=s+1/τs

Δ Δ−

Y utilizando la inversa se llega a la respuesta temporal del sistema de primer orden: -t/y(t)=K u 1-e τ⎡ ⎤Δ ⎣ ⎦ [3.20]


B) Sistema de segundo orden.La ecuación diferencial de un sistema de este tipo se escribe de la

forma: 2

2n n2

d y(t) dy(t)τ +2 +y(t)=Ku(t)dt dt

δτ [3.21]

donde τn es el periodo natural de oscilación y δ el coeficiente de amortiguamiento. Aplicando

Laplace se obtiene:

( )2 2n nτ s +2 s+1 y(s)=Ku(s)δτ [3.22]

Como u(s) = Δu/s despejando y(s) resulta:

( )2 2n n

K uy(s)=τ s +2 s+1s δτ

Δ

Las raíces del polinomio que aparece en el denominador son:

2

1,2n

- 1p = δ δτ

± −

Y por tanto dependiendo del valor de δ pueden plantearse tres casos:

1-Sistema de segundo orden subamortiguado. (0 < δ < 1). Las dos raíces del polinomio que

aparece en el denominador son complejas con parte real negativa. La transformada inversa resultante es la

siguiente:

21n

d2exp( t) 1y(t) K u 1 sen( t tg )

1−

⎡ ⎤⎡ ⎤−δω − δ⎢ ⎥⎢ ⎥= Δ − ω +δ⎢ ⎥⎢ ⎥− δ ⎣ ⎦⎣ ⎦

3.25]

donde: 2d n 1ω = ω −δ

Cuanto menor es δ más rápida es la respuesta pero también más oscilatoria. Este tipo de respuesta

aparece en el control de procesos químicos cerrados, es decir cuando interaccionan el controlador y el

proceso.

Cuestión. Deducir la ecuación [3.25]. Resp. Teniendo en cuenta que ωn=1/τn (frecuencia natural no amortiguada), para una

entrada en escalón, la ecuación [3.22] puede ponerse de la forma:

2n

2 22 2n nn n

A Bs Cy(s) K us s 2 ss 2 s s

ω += Δ = +

⎡ ⎤ + δω + ω+ δω + ω⎣ ⎦

, los coeficientes A, B y C se hallan por el método

de expansión de Heaviside:


2n

2 2n n

s 0

A K u K us 2 s

=

ω= Δ = Δ

⎡ ⎤+ δω + ω⎣ ⎦

, por otro lado,

2 2 2 2n n n

nn

K u s 2 s Bs Cs K u

K u B 0B K u C K u2

K u2 C 0

⎡ ⎤Δ + δω +ω + + = Δ ω⎣ ⎦Δ + = ⎫⎪ = − Δ = − Δ δω⎬Δ δω + = ⎪⎭

n n n2 2 2 2 2 2

n n n n n n

1 s 2 1 sy(s) K u K us ss 2 s s 2 s s 2 s

⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ δω + δω δω= Δ − = Δ − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥

+ δω + ω + δω + ω + δω + ω⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( ) ( ) ( ) ( )n n

2 22 2 2 2n n n n

1 sy(s) K us s 1 s 1

⎡ ⎤⎢ ⎥+ δω δω

= Δ − −⎢ ⎥⎢ ⎥+ δω + ω − δ + δω + ω − δ⎣ ⎦

( ) ( )n n d

2 22 2 dn d n d

1 sy(s) K us s s

⎡ ⎤⎢ ⎥+ δω δω ω

= Δ − −⎢ ⎥ω⎢ ⎥+ δω + ω + δω + ω⎣ ⎦

nn d n d

dy(t) K u 1 exp( t)cos( t) exp( t)sen( t)

⎡ ⎤δω= Δ − −δω ω − −δω ω⎢ ⎥

ω⎢ ⎥⎣ ⎦

n d d2y(t) K u 1 exp( t) cos( t) sen( t)

1

⎡ ⎤⎡ ⎤δ⎢ ⎥= Δ − −δω ω + ω⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− δ⎣ ⎦⎣ ⎦

teniendo en cuenta que a cos(x) + b sen(x) = (a2+b2)1/2sen(x + tg-1(a/b)), finalmente se obtiene:

21n

d2exp( t) 1y(t) K u 1 sen( t tg )

1−

⎡ ⎤⎡ ⎤−δω − δ⎢ ⎥⎢ ⎥= Δ − ω +δ⎢ ⎥⎢ ⎥− δ ⎣ ⎦⎣ ⎦

2-Sistema de segundo orden sobreamortiguado (δ > 1). Las dos raíces son reales y negativas. La

función temporal tras aplicar Laplace y la antitransformada es (ver fig. 3.1):

2 2n n n2

y(t) K u 1 exp( t) cosh 1 t senh 1 t1

⎡ ⎤⎡ ⎤δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥= Δ − −δω ω δ − + ω δ −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎢ ⎥− δ⎣ ⎦⎣ ⎦

[3.23]

Cuestión. Deducir la ecuación [3.23]. Resp. ¿?


3-Sistema de segundo orden críticamente amortiguado (δ = 1). Las dos raíces son reales iguales y

negativas. Descomponiendo en fracciones parciales y aplicando la antitransformada se llega ahora a la

siguiente forma:

t ty(t) K u 1 1 exp( )⎡ ⎤⎛ ⎞= Δ − + −⎜ ⎟⎢ ⎥τ τ⎝ ⎠⎣ ⎦ [3.24]

Esta es la respuesta más rápida posible sin sobreoscilación.

Cuestión. Deducir la ecuación [3.24]. Resp. ¿?

Respuesta de un sistema de segundo orden a un escalón.

3.5. Funciones de transferencia y modelos entrada-salida (input-output).

Considérese un sistema simple con una sola entrada u(t) y una sola salida y(t) y el comportamiento

dinámico del proceso está controlado por la ecuación diferencial lineal de orden n, 1 2 1 2

1 2 1 0 1 2 1 01 2 1 2.... ....n n n m m m

n n n m m mn n n m m m

d y d y d y dy d u d u d u dua a a a a y b b b b b udt dt dt dt dt dt dt dt

− − − −

− − − −− − − −+ + + + = + + + + [3.26]

con condiciones iniciales nulas y n>m. Aplicando la transformada de Laplace a ambos miembros

y teniendo en cuenta que las condiciones iniciales son nulas se llega a la siguiente expresión: 1 2

1 2 1 01 2

1 2 1 0

....( )( ) ....

m m mm m m

n n nn n n

b s b s b s b s by su s a s a s a s a s a

− −− −

− −− −

+ + + +=

+ + + + [3.27]

que es la función de transferencia del sistema. La función de transferencia es el cociente entre la

transformada de Laplace de la variable de salida y la transformada de Laplace de la variable de entrada

ambas escritas en términos de variable de desviación.


Función de transferencia.

La aplicación del concepto de función de transferencia está limitada a los sistemas descritos

mediante ecuaciones diferenciales lineales invariantes con el tiempo. El enfoque de la función de

transferencia se usa extensamente en el análisis y diseño de dichos sistemas. A continuación se presentan

algunos comentarios importantes relacionados con la función de transferencia.

1. La función de transferencia de un sistema es un modelo matemático porque es un método

operacional para expresar la ecuación diferencial que relaciona la variable de salida con la variable de

entrada.

2. La función de transferencia es una propiedad de un sistema, independiente de la magnitud y

naturaleza de la entrada o función de excitación.

3. La función de transferencia incluye las unidades necesarias para relacionar la entrada con la

salida; sin embargo, no proporciona información acerca de la estructura física del sistema. (Las funciones

de transferencia de muchos sistemas físicamente diferentes pueden ser idénticas.)

4. Si se conoce la función de transferencia de un sistema, se estudia la salida o respuesta para

varias formas de entrada, con la intención de comprender la naturaleza del sistema.

5. Si se desconoce la función de transferencia de un sistema, puede establecerse

experimentalmente introduciendo entradas conocidas y estudiando la salida del sistema. Una vez

establecida una función de transferencia, proporciona una descripcion completa de las características

dinámicas del sistema, a diferencia de su descripción física. (Ejemplo en Ogata 587, para entrada sinoidal).

3.5.1. Conceptos generales en el uso de las funciones de transferencia.

• Orden. El orden del sistema o de la función de transferencia es el mayor orden de la derivada

de la variable de salida, es decir la mayor potencia de s en el denominador de la función de

transferencia.

• Polos. Los polos de la función de transferencia son las raíces de la ecuación característica, que

es la ecuación resultante de igualar a cero el polinomio denominador de la función de

transferencia

SISTEMAU(s) Y(s)


• Ceros. Los ceros de la función de transferencia son las raíces del polinomio numerador

igualando a cero.

• Realizabilidad física. La función de transferencia de un sistema físico real presenta una

limitación en relación con las órdenes de los polinomios numerador y denominador: el orden n

del denominador debe ser superior al orden del numerador m. La función de transferencia

tampoco puede tener términos predictivos que representen una translación en el futuro.

• Ganancia estática. La ganancia estática de un sistema estable se obtiene haciendo s = 0 en la

función de transferencia. Si se somete un sistema a una entrada en escalón unitario, la

ganancia estática será el valor de y (variable de desviación) al alcanzar el nuevo estado

permanente. Aplicando el teorema del valor final resulta:

0 0

1lim ( ) lim ( ) lim ( ) (0)t s s

K y t sG s G s Gs→∞ → →

= = = =

• Producto de funciones de transferencia. Considérense dos sistemas dinámicos en serie cuyas

funciones de transferencia son G1(s) y G2(s). Obviamente la señal de entrada al segundo es la

señal de salida del primero. Por tanto se puede escribir:

1 1 1 2 2 1( ) ( ) ( ); ( ) ( ) ( )y s G s u s y s G s y s= =

Así pues, se llega a la conclusión de que la función de transferencia del conjunto formado por

varios sistemas en serie es el producto de las funciones de transferencia de los sistemas individuales.

2 2 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )y s G s G s u s G s u s= =

3.5.2. Funciones de transferencia de sistemas simples.

A) Integrador puro. La ecuación diferencial correspondiente al integrador puro es:

dy(t) =Ku(t)dt

[3.28]

aplicando la transformada de Laplace a ambos miembros resulta (condición inicial nula): sy(s)=Ku(s), y

de aquí: y(s) K=u(s) s

[3.29]

B) Sistema o retardo de primer orden. Reordenando la ecuación correspondiente a un sistema

lineal de primer orden en el dominio de Laplace se obtiene la función de transferencia

y(s) K=u(s) 1+ sτ

[3.30]


C) Retardo puro o tiempo muerto. En un retardo puro la variable de salida es igual a la de

entrada retrasada tm unidades de tiempo. Utilizando el teorema del retardo puro resulta:

y(s) = exp(-tms)u(s) [3.31]

Reordenando

m-t sy(s) =eu(s)

[3.32]

D)Sistema de segundo orden. Reordenando la ecuación [3.22] correspondiente a un sistema

lineal de segundo orden en el dominio de Laplace se obtiene:

2 2n n

y(s) K=u(s) s +2 s+1τ δτ

[3.33]

y al hacer s = 0 se llega a G(0) = K, que es la ganancia estática del sistema.

Ejemplo 3.7. Obtener la función de transferencia de un calentador de agua en mezcla

perfecta. (Stephanopoulos 162, 164)

Ejemplo 3.8. Obtener la función de transferencia de un sistema multivariable como el descrito en

el enunciado. (Stephanopoulos 162, 164)

3.5.3. Funciones de transferencia de sistemas de parámetros distribuidos.

En este tipo de sistemas la variable independiente es función de la posición y el tiempo. La

transformada se usa para pasar del dominio del tiempo al dominio de s y después para pasar de la variable

de posición a la variable compleja p.

Ejemplo 3.9. Obtener la función de transferencia de un reactor tubular con reacción de primer

orden.

3.6. Análisis cualitativo del comportamiento dinámico de un sistema. Estabilidad a partir de

la función de transferencia.

La respuesta de un sistema en el dominio de Laplace es y(s) = G(s) u(s). En general, tanto G(s)

como u(s) son cocientes de polinomios en s, por tanto se puede escribir:

N(s)n(s)y(s)=D(s)d(s)

Al descomponer y(s) en fracciones parciales y obtener la transformada inversa es claro que

aparecerá un sumando función del tiempo por cada raíz real de D(s) y d(s) y otro por cada par de raíces

complejas conjugadas. Analizando los ejemplos vistos hasta ahora se comprueba que:


1-Los polos simples y reales dan lugar a términos exponenciales como c11e p1 t crecientes si p1>0 y

decrecientes si ocurre lo contrario. Si p1 es cero se obtiene un término constante.

2-Los polos reales múltiples dan lugar a términos como:

2 222232221 ...

1n p tccc

c t t t e⎡ ⎤

+ + + +⎢ ⎥⎣ ⎦

2n -1

إ2 إ2 (n إ(1-

aunque el término entre corchetes tiende a infinito cuando t tiende a infinito, debido al factor exponencial,

el producto tenderá a infinito si p2 > 0 y decaerá a cero si p2 < 0.

3-Los polos complejos conjugados dan lugar a términos como eαt sen(ωt+φ). Si α < 0 las

oscilaciones se amortiguarán. Si α = 0 el término oscilará con amplitud constante. (ver figura).

Un sistema de función de transferencia G(s) se dice que es estable cuando ante una entrada

limitada (no creciente continuamente) produce una respuesta limitada. Es decir, un sistema será estable

cuando todos los polos de la función de transferencia tengan parte real negativa.

Respuesta en función de polos de función de transferencia.

3.7. Diagramas de bloques.

En muchos casos el proceso cuyo comportamiento dinámico se desea estudiar está constituido por

varios sistemas interconectados entre sí y representados cada uno de ellos por una función de

transferencia. El diagrama de bloques es una herramienta utilizada para combinar funciones de

transferencia de sistemas individuales en una única función de transferencia para el conjunto.

Un sistema de control puede tener varios componentes. Para mostrar las funciones que lleva a

cabo cada componente en la ingeniería de control, por lo general se usa una representación denominada

diagrama de bloques. Esta sección explica qué es un diagrama de bloques, presenta un método para

obtener los diagramas de bloques de sistemas físicos y, por último, analiza técnicas para simplificar tales

diagramas.

c11exp(p1t)p1<1

c11exp(p1t)p1>1

exp(p1t)sen(ωτ+φ)p1<1

exp(p1t)sen(ωτ+φ)p1=0

exp(p1t)sen(ωτ+φ)p1>1


Diagramas de bloques. Un diagrama de bloques de un sistema es una representación gráfica de las

funciones que lleva a cabo cada componente y el flujo de señales. Tal diagrama muestra las relaciones

existentes entre los diversos componentes. A diferencia de una representación matemática puramente

abstracta, un diagrama de bloques tiene la ventaja de indicar en forma más realista el flujo de las señales

del sistema real.

En un diagrama de bloques se enlazan una con otra todas las variables del sistema, mediante

bloques funcionales. El bloque funcional o simplemente bloque es un símbolo para representar la

operación matemática que sobre la señal de entrada hace el bloque para producir la salida. Las funciones

de transferencia de los componentes por lo general se introducen en los bloques correspondientes, que se

conectan mediante flechas para indicar la dirección del flujo de señales. Obsérvese que la señal sólo

puede pasar en la dirección de las flechas. Por tanto, un diagrama de bloques de un sistema de control

muestra explícitamente una propiedad unilateral.

Las dimensiones de la señal de salida del bloque son las dimensiones de la señal de entrada

multiplicadas por las dimensiones de la función de transferencia en el bloque.

Las ventajas de la representación mediante diagramas de bloques de un sistema estriban en que es

fácil formar el diagrama de bloques general de todo el sistema con sólo conectar los bloques de los

componentes de acuerdo con el flujo de señales y en que es posible evaluar la contribución de cada

componente al desempeño general del sistema.

La operación funcional del sistema se aprecia con más facilidad si se examina el diagrama de

bloques que si se revisa el sistema físico mismo. Un diagrama de bloques contiene información

relacionada con el comportamiento dinámico, pero no incluye información de la construcción física del

sistema. En consecuencia, muchos sistemas diferentes y no relacionados pueden representarse mediante el

mismo diagrama de bloques.

Debe señalarse que, en un diagrama de bloques, la principal fuente de energía no se muestra

explícitamente y que el diagrama de bloques de un sistema determinado no es único. Es posible dibujar

varios diagramas de bloques diferentes para un sistema, dependiendo del punto de vista del análisis.

3.7.1. Procedimientos para dibujar un diagrama de bloques.

Para dibujar el diagrama de bloques de un sistema, primero se escriben las ecuaciones que definen

el comportamiento dinámico de cada componente. A continuación se toman las transformadas de Laplace

de estas ecuaciones en términos de variables de desviación (las condiciones iniciales son cero), y se

representan individualmente en forma de bloques cada ecuación transformada por el método de Laplace.

Por último, se integran los elementos en un diagrama de bloques completo.


Como ejemplo, considérese el circuito RC de la figura. Las ecuaciones para el circuito son

La ecuación I(s) representa una operación de suma y el diagrama correspondiente aparece en la

figura (b). La ecuación Eo(s) representa el bloque de la figura (c). Si se integran estos dos elementos se

obtiene el diagrama de bloques general para el sistema, tal como aparece en la figura (d).

3.7.2. Reducción de un diagrama de bloques. Álgebra de bloques.

Es importante señalar que los bloques pueden conectarse en serie, sólo si la entrada de un bloque

no se ve afectada por el bloque siguiente. Si hay efectos de carga entre los componentes, es necesario

combinarlos en un bloque único.

Cualquier cantidad de bloques en cascada que representen componentes sin carga puede sustituirse

con un solo bloque, cuya función de transferencia sea simplemente el producto de las funciones de

transferencia individuales.

G A AG + -

B

AG-B A + -

B/G

A-B/G G

1/G B

AG-B=

G A AG A G

G

AG=

AG

A AG

G A AG

A G A

AG

AG 1/G A=

G A A+ +-

B

(A+B) A +-

B

G

G B

=

=

(A+B)

G1 A +-

Y

G2

A + -

YG2 G1 1/G2

=

G1 A +-

Y

G2

A YG1/(1+G1G2)


Un diagrama de bloques complicado que contenga muchos lazos de realimentación se simplifica

mediante un reordenamiento paso a paso mediante las reglas del álgebra de los diagramas de bloques.

Algunas de estas reglas importantes aparecen en la tabla y se obtienen escribiendo la misma ecuación en

formas distintas. La simplificación de un diagrarna de bloques mediante reordenamientos y sustituciones

reduce de manera considerable la labor necesaria para el análisis matemático subsecuente. Sin embargo,

debe señalarse que, conforme se simplifica el diagrama de bloques, las funciones de transferencia de los

bloques nuevos se vuelven más complejas, debido a que se generan polos y ceros nuevos.

Al simplificar un diagrama de bloques:

1. El producto de las funciones de transferencia en la dirección de la trayectoria directa debe ser el

mismo.

2. El producto de las funciones de transferencia alrededor del lazo debe ser el mismo.

Cuestión. Considere el sistema que aparece en la figura. Simplifique este diagrama.

Resp. 1º se mueve el punto suma del lazo de realimentación negativa que contiene H2 hacia afuera del lazo de realimentación

positiva que contiene H1. 2º eliminamos el lazo de realimentación positiva. 3º eliminación del lazo que contiene H21G. Por

último, la eliminación del lazo de realimentación conduce a la simplificación total.

Obsérvese que el numerador de la función de transferencia en lazo cerrado C(s)/R(s) es el producto de las funciones

de transferencia de la trayectoria directa. El denominador de C(s)/R(s) es igual a:

Denominador = 1-Σ(producto de funciones de transferencia en cada lazo)

Ejemplo 3.10. Obtener el diagrama de bloques de un calentador de agua con salida por gravedad.

Ejemplo 3.11. Obtener el diagrama de bloques de un calentador de agua con camisa calefactora.

Ejemplo 3.12. Encontrar el diagrama simplificado de Y(s)/X(s).

Ejemplo 3.13. Simplificar el conjunto motor accionador.

Ejemplo 3.14. Simplificar los siguientes diagramas de bloque (formato pdf).

Ejemplo 3.15. Función de transferencia a través de sistemas de ecuaciones.

Ejemplo 3.16. Depósito de agua.

C + -

+ +

+G1 G2 G3 R

H1

H2

-


3.7.3. Reducción de diagramas de bloques. Regla de Mason.

La regla de Mason permite determinar la función de transferencia de un bloque de diagramas

complejo con diversos lazos de realimentación y lazos de adelanto.

Los siguientes conceptos deben ser tenidos en cuenta.

Un diagrama de bloques consta de vías directas (caminos que van desde la señal de entrada a la

salida sin pasar dos veces por el mismo sitio) y lazos. Un lazo es cualquier camino que empieza y termina

en un mismo sitio sin pasar dos veces por el mismo lugar. Dos lazos se dicen disjuntos si no poseen

elementos en común (no se tocan).

El determinante de un diagrama de bloques se define como:

Δ(s)=1 - (suma de lazos) + (suma del producto de lazos disjuntos tomados de dos en dos) - (suma

del producto de lazos disjuntos tomados de tres en tres) + …

El cofactor asociado a una trayectoria directa i es:

Δi(s)=1 - (suma de lazos disjuntos de la trayectoria i) + (suma del producto de lazos disjuntos de la

trayectoria i tomados de dos en dos) - (suma del producto de lazos disjuntos de la trayectoria i tomados de

tres en tres) + …

El cofactor asociado a una trayectoria directa i es igual al determinante eliminando aquellos

términos que tocan a la trayectoria i.

Llamando gi a las trayectorias directas, la regla de Mason es:

1( ) ( ) ( )( ) i i

iH s g s s

s= ΔΔ ∑

Ejemplo 3.17. Obtener la función de transferencia entre la salida y la entrada del sistema:

Ejemplo 3.18. Obtener la función de transferencia entre la salida y la entrada del sistema:


Ejemplo 3.19. Obtener la función de transferencia entre la salida y la entrada del sistema

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TEMA 3. ANALISIS DE LA DINAMICA DE PROCESOS EN EL DOMINIO DE LAPLACE: FUNCIONES DE ...fjrivas.eu5.org/archivos/TEMA 3.pdf · 2010-03-17 · Análisis de la Dinámica de Procesos en