GTC15_SUCESIONES CONVERGENTES Y LÍMITES

EDERPADEDERPADEDERPADEDERPAD

Licmat 20.10Licmat 20.10Licmat 20.10Licmat 20.10

UNA PRIMERA MIRADA A LOS LÍMITES En esta lección ● Investigarás unas secuencias que, a la larga, se aproximan a un límite.

Algunas secuencias se aumentan o se disminuyen sin límite. Otras tienen términos que, a la larga, se aproximan a un valor específico, o límite. En esta lección explorarás unas secuencias que tienen límites.

Investigación: Dosis de medicina Nuestros riñones filtran nuestra sangre continuamente, eliminando las impurezas. El médico toma esto en cuenta cuando receta la dosis y la frecuencia de una medicina. En esta investigación se simula lo que sucede en el cuerpo de un paciente cuando toma medicina. Si tienes los materiales mencionados en tu libro, lleva a cabo los experimentos descritos. Si no los tienes, piensa en cómo cambiaría la cantidad de medicina. Intenta llevar a cabo la investigación por tu propia cuenta, antes de leer el texto siguiente. El primer experimento se inicia con 1 L de líquido. De éste, 16 mL es de un líquido con tintura, que representa la medicina, y el resto es agua pura, que representa la sangre.

Paso 1 Supón que los riñones de un paciente filtran el 25% de la medicina diariamente. Para simular esto, puedes eliminar 1/4, ó 250 mL de la mezcla y sustituirla con 250 mL de agua pura. Puedes repetir esto muchas veces para simular lo que sucede durante varios días.

En esta tabla se muestra la cantidad de medicina diaria en la sangre.

Paso 2 La fórmula recursiva que genera la secuencia de la tabla es u0 = 16

un = (1− 0.25)un - 1 donde n ≥ 1

Paso 3 Puedes usar la siguiente rutina de calculadora para generar más valores: Presiona 16 . Presiona ⋅⋅⋅⋅ (1 − 0.25) ...

En 10 días, la cantidad de medicina en la sangre será menor que 1 mL.

Paso 4 Teóricamente, la medicina nunca será eliminada completamente de la sangre. Cada día la cantidad de medicina se multiplica por 0.75, dando una cantidad cada vez más pequeña. Sin embargo, esta cantidad nunca llegará a ser 0 porque no existe un número x > 0, tal que 0.75x = 0.

Paso 5 En la gráfica se muestra lo que sucede a la larga. La cantidad de medicina disminuye rápidamente al principio, pero luego la disminución se frena y se estabiliza cerca de 0 mL.

En ocasiones, los médicos recetan dosis regulares de medicina para producir y mantener cierto nivel de medicina en el cuerpo. Puedes modificar el experimento para simular lo que sucede cuando un paciente toma medicina diariamente.

Este experimento también se inicia con 1 L de líquido. De éste, 16 mL es un líquido con tintura, que representa la medicina, y el resto es agua pura, que representa la sangre.

Paso 6 Como antes, supón que los riñones del paciente eliminan el 25% de la medicina diariamente. En este caso, sin embargo, supón que el paciente toma una dosis de 16 mL cada día. Para simular esta situación, puedes eliminar 250 mL de líquido y sustituirla con 234 mL de agua y 16 mL de líquido con tintura. En esta tabla se muestra la cantidad de medicina diaria en la sangre.

Paso 7 La fórmula recursiva que genera la secuencia de la tabla u0 = 16

un = (1− 0.25)un - 1 + 16 donde n ≥ 1.

Paso 8 Si usas tu calculadora para generar muchos términos de la secuencia, encontrarás que empiezan a estabilizarse en alrededor de 64. Así, parece que el líquido en el recipiente nunca se convertirá en pura medicina.

Paso 9 En esta gráfica se muestra lo que sucede al nivel de medicina en la sangre después de muchos días. La cantidad aumenta rápidamente al principio, pero después el incremento se frena y se nivela cerca de 64 mL.

La eliminación de medicina en el cuerpo humano es un ejemplo de un sistema dinámico o cambiante. Los sistemas dinámicos a menudo alcanzan un punto de estabilidad a largo plazo. Por ejemplo, en el segundo experimento, la cantidad de sangre aumentó rápidamente al principio, pero llegó a estabilizarse. La cantidad asociada con un punto de estabilidad, por ejemplo, 64 mL en el segundo experimento, se conoce como un límite. Hablando matemáticamente, decimos que la secuencia de números asociada con el sistema se aproxima al límite.

La secuencia del primer experimento sobre medicina en la sangre tuvo un límite de cero. La secuencia del segundo experimento se corrió y se aproximó a un valor diferente de cero. Una secuencia geométrica corrida incluye la suma de un término en la regla recursiva.



SUCESIONES CONVERGENTES Y LÍMITES Las sucesiones matemáticas, pueden ser convergentes (tienden a un número, pero nunca lo alcanzan) o divergentes (tienden a ∞ o a -∞).

Se dice que un número L es el límite de una sucesión, de término general an, si la diferencia en valor absoluto entre an y L es menor que un número cualquiera, ε, previamente

elegido. Expresado matemáticamente na L ε− < . Esta

definición es de Cauchy.

El problema del límite En el estudio de sucesiones es frecuente analizar al comportamiento de los términos de la sucesión f(n) cuando n toma valores arbitrariamente grandes.

Encontrar el límite de una sucesión es un problema que consiste en determinar a qué número, si es que existe, se aproximan sus términos.

Ejemplo 1.- En la sucesión 1 1 1 1

1, , , , ,...2 3 4 5

cuyo término

general es, evidentemente, 1

nan

= , al aumentar n (el

número de orden), an disminuye y más importante aún está cada vez más próximo a cero, como vemos a continuación:

5

10.2

5a = = ; 100

10.01

100a = = ; 500

10.002

500a = = ;

1000

10.001

1000a = = ; …

A pesar que para ningún valor de n se puede obtener f(n) =

0, lo cierto es que con valores grandes de n la distancia que separa a f(n) de cero es demasiado pequeña. Este ejemplo pone las cosas a punto para comprender la definición de límite de una sucesión. LÍMITE DE UNA SUCESIÓN Dada una sucesión { }na , se

dice que { }na tiene por límite I, tiende a l o converge a l

cuando n tiende a infinito (∞), y se simbolizará

nnLima L

→∞=

si para todo ε > 0 (épsilon) tan pequeño como se quiera, existe un subíndice n0 tal que para todo n ≥ n0, an pertenece al entorno (I - ε, I + ε).

En términos generales, dada una sucesión { }na , si los

términos de esta sucesión van acercándose a un número L, se dice que la sucesión { }na converge (o tiende) al límite L.

Esto se escribe:

nnLima L

→∞= o { }na L→ (cuando n→ ∞ ).

Cuando una sucesión no converge, se dice que es divergente. Sucesiones convergente y divergente Toda sucesión que tenga límite (finito) se dice que es convergente. Las demás sucesiones son divergentes.

PROPIEDADES DE LOS LÍMITES DE SUCESIONES Sean { }na y { }nb dos sucesiones convergentes que tienen

por límites L1 y L2.

Primera propiedad La suma (o diferencia) de dos sucesiones convergentes es convergente y su límite es la suma (o diferencia) de los límites.

( )1

1 2

2

n

n n

n

Lim a LLim a b L L

Lim b L

= ⇒ ± = ±=

Segunda propiedad El producto de dos sucesiones convergentes es convergente y su límite es el producto de los límites.

( )1

1 2

2

n

n n

n

Lim a LLim a b L L

Lim b L

= ⇒ ⋅ = ⋅=

Tercera propiedad

Si 0nb ≠ , ∀n∈N, y 2 0L ≠ la sucesión n

n

a

b es convergente

y tiene por límite 1

2

L

L. Es decir,

1 1

2 2

n n

n n

Lim a L a LLim

Lim b L b L

= ⇒ = =

,

Cuarta propiedad

0, 1

, 1

n

n

si aLima

si a→∞

<= ∞ >

Quinta propiedad El límite de una constante es igual a la misma constante.

nLim c c

→∞= , c ∈ R.

Sexta propiedad

Partiendo de que 1

0nLim

n→∞= , podemos generalizar la

expresión como se muestra a continuación:

0 0pn

cLim si p

n→∞= > ,

donde c es una constante real.

Límites indeterminados Se llaman límites indeterminados a los que presentan alguna de estas formas:

Contra lo que se pudiera pensar, un límite de la forma ∞ − ∞ no da, en general, como resultado cero, tampoco un límite de la forma 1∞ da siempre como resultado uno. Por esta razón se les llama límites indeterminados y se requiere hacer un estudio particular para cada caso.

Ejemplo 2.- Calcular los siguientes límites de sucesiones, teniendo en cuenta los diferentes casos de indeterminación:

INDETERMINACIÓN: ∞∞

En la mayoría de los casos basta con dividir el numerador y denominador por la mayor potencia de n del denominador. Ejemplos.-

2

2

4 1

1n

n nLim

n→∞

+ − +

2

n

n nLim

n→∞

+

a. 2

22n

n nLim

n n→∞

− +

Dividimos por la mayor potencia que n que aparece en la expresión

2

2 2 2

22

2 2

11

1

122 22

n n n

n n

n n n n nLim Lim Limn nn n

nn n

→∞ →∞ →∞

− − − = = = + ++



b. 2

2 1n

n nLim

n→∞

− +

Tenemos que dividir por la mayor potencia de n. En realidad, también podemos estudiar el grado de los polinomios en n que aparecen en numerador y denominador. En nuestro caso, tenemos mayor grado en el numerador. La sucesión es divergente . Para ver hacia donde diverge (en sentido positivo o negativo), analizamos los signos de los coeficientes de los términos de mayor grado. Tenemos el esquema:

2 2 ;

2 1 2n

n n signo de nLim

n signo de n→∞

− += = + + +

Por tanto: 2

2 1n

n nLim

n→∞

− = +∞ +

c. 2 4 1

1 3n

n nLim

n→∞

− − + +

- Como hay mayor grado arriba, diverge.

- Los signos de los términos de mayor grado son: − = −+

2 4 1

1 3n

n nLim

n→∞

− − + = −∞+

d. 2

1

1n

nLim

n n→∞

+

+ +

- Tenemos el mismo grado en numerador y en denominador (en realidad, el grado 2, al ir dentro de la raíz, es como si fuese 1). - El límite, es por tanto, el cociente de los coeficientes de mayor grado:

2

1 1 1

21 11n

nLim

n n→∞

+ = =++ +

INDETERMINACIÓN: ∞ − ∞

En la mayoría de los casos basta con efectuar las operaciones indicadas. En otros casos, sobre todo en aquellos en que aparecen radicales, basta con multiplicar y dividir por la expresión radical conjugada.

Ejemplo.- ( )2 1nLim n n

→∞− +

e. 2 22 2

1 1n

n n n nLim

n n→∞

+ +− + −

Haciendo operaciones podemos resolver la indeterminación:

( )( ) ( )( )2 2

2

2 1 2 1

1n

n n n n n nLim

n→∞

+ − − + + = −

( )3 2 2 3 2 2

2

2 2 2 2

1n

n n n n n n n nLim

n→∞

− + − − + + + = −

2

2

2 4

1

2

n

n nLim

n→∞

− −= −

= −

?

f. ( )2

nLim n n

→∞−

"Sustituyendo n por infinito" en la expresión de la sucesión obtenemos el tipo de indeterminación ante la que estamos. Sacamos factor común y la expresión que queda ya no es indeterminada:

( ) ( )2 1n nLim n n Limn n

→∞ →∞− = ⋅ − = +∞

g. 2

3 1 3

2 1 2

n

n

nLim

n

+ ∞

→∞

+ = = ∞ +

- Como vemos, en la expresión no hay indeterminación alguna. Conviene comprobar siempre el tipo de indeterminación para evitar errores en casos como éste.

h. 1 2 2

03 3 3

n

n

nLim

n

∞

→∞

− = = −

- Como anteriormente, no hay indeterminación en esta expresión.

i. ( )2 2 2nLim n n n n

→∞+ − −

( ) ( )( )

2 2 2 2

2 2

2 2

2n

n n n n n n n nLim

n n n n→∞

+ − − + + −=

+ − −

( ) ( )( )

2 22 2

2 2

2

2n

n n n nLim

n n n n→∞

+ − −=

+ + −

( )( )

( ) ( )

2 2

2 2

2 2

2

2

3 3 3

21 12

n

n

n n n nLim

n n n n

nLim

n n n n

→∞

→∞

+ − −=

+ + −

= = =++ + −

APLICA En los ejercicios 1 a 10, escriba los 5 primeros términos de la sucesión y determine si es convergente o divergente. Si la sucesión converge, calcule su límite y apoye gráficamente la respuesta.

1. { } 1

2 1n

na

n

+ = − 2. { }

2

2

3 1

4n

nb

n n

+= −

3. { }2 1

2n

nc

n

−=

4. { }3

2

3 1

1n

nd

n

+= +

5. { }2

2

3 2

1n

ne

n

−= + 6. { } 2n

nfn

=

7. { } 2

n

Ln ng

n

=

8. { }2

1

1nh

n n

=

+ −

9. { } { }1ni n n= + − 10. { } { }1

2 nnj =

11. { }1

1

2

n

nk =

12. { }2

n n

nl

=

13. { } { } nm cos nπ= 14. { } 13n n

no +

=



II. Resuelve los siguientes límites de sucesiones

1. ( )2

nLim n n n→+∞

+ −

2. ( )2 21 1nLim n n→+∞

+ − −

3. ( )3 23 5nLim n n n→+∞

+ − +

4. 2

2

1

3 5 6n

nLim

n n→+∞

+ − +

5. ( )1nLim n n→+∞

+ −

6. n

nLim

n→+∞

7. 2

2

3 2n

nLim

n n→+∞ + −

8.

43

3

5

n

nLim

n→+∞

−

9. 3 2

3

2

n

n n nLim

n→+∞

− +

10. ( )2 4

2 3

1

1 1n

n n nLim

n n→+∞

+− + +

11. 3 2

3

5

1n

nLim

n→+∞

++

12. 32 3

3 2 2

1 1

1 2n

n nLim

n n n→+∞

+ − −+ + +

13. 1 2 10

5 3 10

n

nnLim→+∞

+ ⋅+ ⋅

Documents

GTC15_SUCESIONES CONVERGENTES Y LÍMITES