GUÍA PARA LAS SOLUCIONES DE LA PRÁCTICA 2 DE ECONOMETRÍA T.A: MªDolors Navarro Bergas

Ejercicio 1Resultados de la estimación por MCO del modelo (1).

Modelo 1: estimaciones MCO utilizando las 100 observaciones 1980:1-2004:4Variable dependiente: Y

VARIABLE COEFICIENTE DESV.TÍP. ESTAD.T 2Prob(t > |T|)

0) const -2,69276 0,0663147 -40,606 < 0,00001 *** 2) M 15,0001 0,00566372 2,6E+003 < 0,00001 *** 3) I -3,00359 0,00739166 -406,349 < 0,00001 *** 4) G -5,00914 0,00599176 -836,004 < 0,00001 ***

Media de la var. dependiente = 52,1316 D.T. de la var. dependiente = 49,6147 Suma de cuadrados de los residuos = 2,60249 Desviación típica de los residuos = 0,164649 R-cuadrado = 0,999989 R-cuadrado corregido = 0,999989 Estadístico F (3, 96) = 2,99648e+006 (valor p < 0,00001) Estadístico de Durbin-Watson = 0,31132 Coef. de autocorr. de primer orden = 0,843872 Criterio de información de Akaike (AIC) = -73,0826 Criterio de información Bayesiano de Schwarz (BIC) = -62,6619

A parte de comentar el coeficiente estimado asociado a cada regresor y susignificatividad, era importante darse cuenta de que el estadístico DW que apareceen la tabla de resultados anteriores indica la presencia de autocorrelación positivaen los residuos. Para demostrarlo se podían usar la siguiente tabla de DW:Valores críticos al 5% del estadístico de Durbin-Watson

Número de variables explicativas (excluyendo la constante):

1 2 3 4 5 dL dU dL dU dL dU dL dU dL dU

n = 100 1,65 1,69 1,63 1,72 1,61 1,74 1,59 1,76 1,57 1,78

Inspección de los residuos: presentan autocorrelación, en particular siguen unproceso AR(1), cosa que ya el DW hacía intuir y los correlogramas y gráficosiguientes reafirmam:

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3

uha

t1

uhatret

uhat1 con respecto a uhatret (con ajuste m nimo-cuadr tico)

-1

-0.5

0

0.5

1

0 2 4 6 8 10 12 14

retardo

FAC de uhat1

+- 1.96/T^0.5

-1

-0.5

0

0.5

1

0 2 4 6 8 10 12 14

retardo

FACP de uhat1

+- 1.96/T^0.5

Para tranformar el modelo siguiendo el procedimiento Cochrane-Orcutt, esnecesario realizar primero la estimación de los residuos sobre su retardo y guardarel coeficiente de los últimos; esto es:

Modelo 2: estimaciones MCO

utilizando las 99 observaciones 1980:2-2004:4Variable dependiente: uhat1

VARIABLE COEFICIENTE DESV.TÍP. ESTAD.T 2Prob(t > |T|)

6) uhatret 0,843872 0,0542700 15,550 < 0,00001 ***

El modelo no tiene término constante.El estadístico F se calcula como en la sección 4.4 del libro 'Introductory Econometrics'de Ramanathan.El R-cuadrado es el cuadrado de la correlación entre los valores observado y ajustadode la variable dependiente.

Media de la var. dependiente = 0,00111106 D.T. de la var. dependiente = 0,162577 Suma de cuadrados de los residuos = 0,747109 Desviación típica de los residuos = 0,087313 R-cuadrado = 0,711571 R-cuadrado corregido = 0,711571Ahora podemos tranformar las variables del modelo de acuerdo con la siguienteregla:Xtranformada=X-rhoestimado*Xretardada donde X representa la matriz de regresores, esto es incluye la constante, la masamonetaria, la inversión bruta y el gasto público.Ytransformada=Y-rhoestimado*YretardadaY es la variable dependiente, el PNB.Procedemos y estimamos de nuevo el modelo transformado por MCO:Modelo 2: estimaciones MCO utilizando las 99 observaciones 1980:2-2004:4Variable dependiente: Ytr

VARIABLE COEFICIENTE DESV.TÍP. ESTAD.T 2Prob(t > |T|)

11) consttr -2,71934 0,0631611 -43,054 < 0,00001 *** 8) Mtr 14,9998 0,00244522 6,1E+003 < 0,00001 *** 9) Itr -3,00040 0,00300905 -997,126 < 0,00001 *** 10) Gtr -5,00626 0,00261946 -1,9E+003 < 0,00001 ***

El modelo no tiene término constante.El estadístico F se calcula como en la sección 4.4 del libro 'Introductory Econometrics'de Ramanathan.El R-cuadrado es el cuadrado de la correlación entre los valores observado y ajustadode la variable dependiente.

Media de la var. dependiente = 8,10168 D.T. de la var. dependiente = 63,9641 Suma de cuadrados de los residuos = 0,728732 Desviación típica de los residuos = 0,0875835 R-cuadrado = 0,999998 R-cuadrado corregido = 0,999998 Estadístico F (4, 95) = 1,32793e+007 (valor p < 0,00001) Estadístico de Durbin-Watson = 1,64777

Coef. de autocorr. de primer orden = 0,124867 Criterio de información de Akaike (AIC) = -197,295 Criterio de información Bayesiano de Schwarz (BIC) = -186,915

Comprobamos que los residuos del nuevo modelo no presentan autocorrelación.

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

-0.2 -0.1 0 0.1 0.2

uha

t3

uhat3ret

-1

-0.5

0

0.5

1

0 2 4 6 8 10 12 14

retardo

FAC de uhat3

+- 1.96/T^0.5

-1

-0.5

0

0.5

1

0 2 4 6 8 10 12 14

retardo

FACP de uhat3

+- 1.96/T^0.5

También deberíais fijaros en que el DW para el modelo transformado se acerca ala zona de no autocorrelación ( se aproxima al 2), lo que ocurre es que cae en lazona de indeterminación; por ello no es concluyente aunque los gráficos anterioresindican que efectivamente se ha corregido la autocorrelación.

Ejercicio 2Estimación del modelo (2) por MCO:

Modelo 1: estimaciones MCO utilizando las 98 observaciones 1980:3-2004:4Variable dependiente: C

VARIABLE COEFICIENTE DESV.TÍP. ESTAD.T 2Prob(t > |T|)

0) const 1,28931 0,569561 2,264 0,025869 ** 3) Cret 0,499752 0,0485524 10,293 < 0,00001 *** 1) Y 0,643285 0,0462541 13,908 < 0,00001 ***

Media de la var. dependiente = 10,2258 D.T. de la var. dependiente = 3,08258 Suma de cuadrados de los residuos = 208,996 Desviación típica de los residuos = 1,48323 R-cuadrado = 0,773256 R-cuadrado corregido = 0,768482 Estadístico F (2, 95) = 161,987 (valor p < 0,00001) Estadístico de Durbin-Watson = 2,98551 Coef. de autocorr. de primer orden = -0,520187 Criterio de información de Akaike (AIC) = 358,332 Criterio de información Bayesiano de Schwarz (BIC) = 366,087Además de presentar como regresor la variable endógena retardada los residuos delmodelo siguen un MA(1) con lo que hay autocorrelación. Ct-1 y los residuos estáncorrelacionados, los estimadores por MCO del model (2) son incosistentes.

Al comentar los coeficientes estimados para los regresores debíais daros cuenta deque los valores se alejaban de los que se os daba en el enunciado, que seconsideraban los esperados, deduciendo que la estimación sufría algún tipo deproblema. También podíais comentar que el estadístico DW para esta primeraestimación caía en la zona de autocorrelación negativa, si usabais la misma tablade antes lo podíais ver:Valores críticos al 5% del estadístico de Durbin-Watson

Número de variables explicativas (excluyendo la constante):

1 2 3 4 5 dL dU dL dU dL dU dL dU dL dU

n = 100 1,65 1,69 1,63 1,72 1,61 1,74 1,59 1,76 1,57 1,78

No obstante debíais ir con cuidado al comentar este dato, puesto que los gráficosque a continuación se muestran indicaban la presencia de un término autocorrelacionado que seguía un MA(1). Ante tal situación el contraste DW es pocopotente pues está diseñado para detectar procesos AR(1) en los residuos.Inspección de los residuos: existe autocorrelación y es del tipo MA(1).

-1

-0.5

0

0.5

1

0 2 4 6 8 10 12 14

retardo

FAC de uhat1

+- 1.96/T^0.5

-1

-0.5

0

0.5

1

0 2 4 6 8 10 12 14

retardo

FACP de uhat1

+- 1.96/T^0.5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-3 -2 -1 0 1 2 3

uha

t1

uhatret

uhat1 con respecto a uhatret (con ajuste m nimo-cuadr tico)

El apartado 2 de este ejercicio debía contestarse de manera teórica de acuerdo conlo que habías visto en clase con Montse. En concreto, al tener un modelo con la

variable endógena retardada como regresor y un término de perturbaciónautocorrelacionado de manera MA(1), es posible demostrar que la esperanza entrelos regresores y residuos no es nula, E(X’U)#0; siendo esto así se incumple uno delos supuestos de la estimación por MCO, con lo que los estimadores obtenidos en elapartado anterior ( en concreto el asociado a Ct-1) son inconsistentes.En el apartado 3 dado el anterior comentario, había que explicar que una manerade resolver el problema de la inconsistencia de la estimación por MCO consiste enusar la estimación por variables instrumentales, VI. Primero pero debías decirmequé variable usarías como instrumento; esa variable podía ser la renta retardadaya que no estaba correlacionada con el término de perturbación y sí lo estaba conel consumo ( de acuerdo con el modelo establecido y dado que el coeficienteasociado era diferente de zero), y por tanto con el consumo retardado que es elregresor que causa problemas. Aquí también podías añadir la explicación quetenéis en los apuntes de clase.Finalmente en el apartado 4 debías estimar el modelo por VI (recordad que Gretlno tiene una opción de estimación por VI propiamente dicha y que recurríamos ala estimación de MCO en dos etapas). Los resultados se detallan a continuación:

Estimación por VI usando como instrumento la renta retardada un período( mediante la estimación por MCO en dos etapas en Gretl)

Modelo 5: estimaciones MC2E utilizando las 98 observaciones 1980:3-2004:4Variable dependiente: CInstrumentos: Cret

VARIABLE COEFICIENTE DESV.TÍP. ESTAD.T 2Prob(t > |T|)

0) const 2,95678 0,0255151 115,884 < 0,00001 *** 1) Y 0,562422 0,00309517 181,710 < 0,00001 *** 3) Yret 0,660847 0,00308227 214,403 < 0,00001 ***

Media de la var. dependiente = 10,2258 D.T. de la var. dependiente = 3,08258 Suma de cuadrados de los residuos = 0,911721 Desviación típica de los residuos = 0,0979646 R-cuadrado = 0,999011 R-cuadrado corregido = 0,99899 Estadístico F (2, 95) = 47973,7 (valor p < 0,00001) Estadístico de Durbin-Watson = 2,225 Coef. de autocorr. de primer orden = -0,119185 Criterio de información de Akaike (AIC) = -174,272 Criterio de información Bayesiano de Schwarz (BIC) = -166,517Era importante que comentaseis que tras la estimación por VI los coeficientesestimados sí coincidían con sus valores esperados ( valores que se enunciaban alprincipio del ejercicio), con lo que la estimación ahora sí era consistente.

Inspección de los residuos de la estimación por VI.

-1

-0.5

0

0.5

1

0 2 4 6 8 10 12 14

retardo

FAC de uhat3

+- 1.96/T^0.5

-1

-0.5

0

0.5

1

0 2 4 6 8 10 12 14

retardo

FACP de uhat3

+- 1.96/T^0.5

Si os fijabais en los diferentes gráficos de los residuos del nuevo modelo estimadopor VI, todo parecía indicar que la autocorrelación había desaparecido. Estecomentario es correcto pero debe ser interpretado con cautela. Como ya se explicóen las clases prácticas en ningún momento hemos aplicado método alguno paracorregir la autocorrelación, las VI NO son una manera de corregir laautocorrelación, las VI sirven para paliar el hecho de que uno de los regresoresestá relacionado con el término de perturbación. El hecho de que laautocorrelación se haya corregido es simple casualidad, seguramente debido a unaerrata en la generación de los datos.1

1 Errata que me atribuyo personalmente.

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

1980 1985 1990 1995 2000 2005

resi

duo

Residuos de la regresi n (= C observada - ajustada)

NOTA: Al evaluar vuestras prácticas a parte de los resultados y gráficos que mepresentéis se valorarán las explicaciones de los pasos que seguís y sobretodo sujustificación en base a lo visto en clase de la parte teórica.