Calculo 10001 - Ingeniera Civil

Ejercicios del Teorema de Taylor

Departamento de Matematica y C.C. - Universidad de Santiago de Chile

Las series de las funciones :1

x 1 , ex, cosx, senx, ln(x+1) y la serie binomial son consideradas

series de referencias. Es decir, es lo mnimo que debe conocer y pueden ser ussadas cada vezque sea necesario sin deducirlas, ademas, debe recodar su intervalo de convergencia.

1. Escriba las siguientes funciones como el polinomio de Taylor de grado 6 centrado en a masel respectivo resto:

(a)x, a = 3.

(b) ex, a = 2.

(c) sen x, a =pi

4.

(d) coshx, a = 0.

(e) lnx, a = 4.

2. Obtenga las siguientes series usando la definicion de la serie de Taylor. Calcule su intervalode convergencia.

(a) ex en potencias de (x 3).(b) ex en potencias de (x+ 2).

(c) cosx en potencias de (x+ pi/3).

(d) lnx en potencias de (x 4).(e)

1x+ 1

en potencias de (x 3).

3. en los siguientes ejercicios determine las series de las funciones dadas usando sustitucionesapropiadas en las series de referencia

(a) ex2 .

(b) cos 2x.

(c) cosx2.

(d)1

1 + x2.

1

(e)1

1 + x4.

(f)1 + sen x2.

(g) senx.

(h) ln(1 + 4x3).

4. Use la formula cos2 x = 12(1 + cos 2x) para demostrar que

cos2 x = 1 ++n01

(1)n22n1x2n(2n)!

, |x| < +.

5. Use la formula sen2x = 12(1cos 2x) para obtener la serie se sen2x . Verifique la identidadfundamental de la trigonometra usando las series obtenidas en este ejercicio y el anterior..

6. Use el teorema de producto de series para calcular las series de :

(a) x cosx.

(b)x

sen x.

(c)e3x

1 + 4x.

(d) ln(1 x) cosx.(e) cos 3x(2 + x3).

(f)1 + x1 x.

7. Calcule la serie de arcsen x usando:

(a) El Teorema Fundamental del Calculo para escribir arcoseno como una integral entre0 y x.

(b) Use el toerema de integracion de series para obtener la serie de arcoseno integrando

la serie de1

1 t2 .(c) Determine el intervalo de convergencia de la serie obtenida.

8. Calcule la serie de arctanx usando el mismo procedimiento que el propuesto en el ejercicio(7).

9. (a) Calcule el intervalo de convergencia de la serie de arctanx obtenida en (8).

(b) Analice la convergencia de la serie en los extremos del intervalo.

(c) Demuestre por continuidad que la serie obtenida en el ejercicio (8) representa tambiena arctan 1.

(d) Calcule un valor aproximado de pi usando la serie en x = 1.

10. Calcule un valor aproximado con tres decimales del area bajo al curva ex2 cuando x varaentre 0 y 1.

2

11. Calcule un valor aproximado con tres decimales del area bajo al curvasen xx

cuando x

vara entre 0 ypi

2.

12. Use la serie binomial para calcular un valor aproximado de la integral elptica de segundaclase pi

0

1 3

4sen 2x dx.

Nota: Vea la guia de longitudes de curva para recoradr lo que es una integral elptica.Respuesta : 1, 22....

13. Calcule un valor aproximado de la integral I = pi/60

(cosx)5/4 dx. Siga el siguiente camino:

(a) Escriba I = pi/60

cosx1 sen x)1/4 dx =

1/20

(1 u2)1/8 dx, donde u = sen x.(b) Use la serie binomial.

Respuesta: 0, 494........Las series de Taylor tambien sirven para calcular algunos lmites. en estos casos se nesecitansolo algunos terminos de la serie , no es necesario conocer el termino general de la serie.

(a) limx0

senh x sen xx3

. Respuesta:13.

(b) limx0

coshx cosxx2

. Respuesta: 1.

(c) limx0

sen x ln(1 + x)x2

. Respuesta: 12 .

Bibliografa consultada

1. E. D. Rainville: Infinite Series. Macmillan, 1967.

2. R. Rothe : Matematica superior. Tomos I y II. Editorial Labor ,1959.

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