ANALICEMOS GRAFICAS EMPRESARIALES Y CALCULEMOS AREAS

Guía General de Cálculo.CompetenciaCompetencia:

Analiza gráficos de diferentes tipos, y calcula las derivadas y las áreas bajo la curva de las mismas aplicándolas a problemas de la vida real

Indicadores de Logro:Indicadores de Logro:

1. Identifica y grafica los tipos de funciones más comunes tales como las lineales, exponenciales, logarítmicas

2. Halla limites de funciones, comunes, indeterminados y al infinito3. Deriva funciones y las integra en el sector económico y de la física4. Calcula áreas bajo la curva usando el cálculo integral

Contenidos ProgramáticosContenidos Programáticos

Tipos de funcionesLa función lineal (concepto, pendiente, ecuación de la recta)Las funciones cuadrática y cúbicaFunciones exponenciales y logarítmicasGraficación de funcionesEl concepto de limiteLimites indeterminadosLimites al infinitoDefinición de diferencial usando limitesEl concepto de diferencialDiferenciales más comunesRegla de las diferenciales en producto y división de funcionesRegla de la cadenaEl concepto de integralIntegrales más comunes Integración por sustituciónIntegración por partes

Recursos:Recursos:

Hojas milimetradasGuías de trabajoSoftware para la creación de graficas

DEFINICION DE CÁLCULO

Rama de las matemáticas que se ocupa del estudio de los incrementos en las variables, pendientes de curvas, valores máximo y mínimo de funciones y de la determinación de longitudes, áreas y volúmenes. Su uso es muy extenso, sobre todo en ciencias e ingeniería, siempre que haya cantidades que varíen de forma continua.

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FUNCIONESDEFINICION DE FUNCION

Imagínate que nos hallamos en una tienda donde venden el metro de cierta tela a $1000 cada uno. Si un cliente se lleva un metro deberá pagar mil pesos, si compra 2 pagara 2000, si lleva 3 pagara 3000, etc. así podemos definir una formula para calcular lo que debe pagar el cliente en base a los metros de tela que lleva de la siguiente forma:

Valor a Pagar = 1000 * Numero de metros.

Como el Valor a Pagar depende del numero de metros de tela diremos que es la “Variable Dependiente” y el numero de metros de tela se llamara la “Variable Independiente”, es muy común que cada variable se represente por una letra en vez de usar todo el nombre (En vez de poner Valor a Pagar podríamos colocar una V), normalmente la variable dependiente se identifica por una “y” o un “f(x)” y la independiente se identifica con la letra “x”. Vistas las cosas de esa manera, nuestra función de arriba la podríamos escribir como:

F(x) = 1000 * X

EJERCICIO

Construye una función para los siguientes problemas

a. Un robot que construye 10 automóviles por cada hora de trabajob. Un auto que parte del reposo y acelera constantemente a 25 mts/segc. Un avión que vuela a 500 km/h y acelera constantemente razón de 2 kms/min

TIPOS DE FUNCIONES.

La funciones del tema anterior pertenecen a un tipo de función llamado Lineal, podemos clasificar las funciones, según una serie de características que nos permitirán diferenciarlas:

Tipo Características EjemploPolinomica Lineal Su grafica siempre genera

una línea rectaEl exponente de las X siempre es uno

F(X) = 5X + 3F(X) = 3XF(X) = X + 1

Polinomica Cuadrática Su grafica siempre genera una curva (Parábola) El mayor exponente de las X debe ser 2

F(X) = X² + 5X + 3F(X) = 3X² + 4F(X) = X²

Polinomica Cubica Su grafica siempre genera una S alargada El mayor exponente de las X debe ser 3

F(X) = X³ + 6X² +5F(X) = 3X³F(X) = 9X³ - 3

Logarítmica Llevan escrito Log (Logaritmo Común) o Ln (Logaritmo Natural)Su grafica genera una curva ascendente o descendente

F(X) = Log (X)F(X) = Ln (X + 1)F(X) = 8 Log (X – 2)

Exponencial El exponente es XSu grafica genera una curva ascendente o descendente

F(X) = 8X

F(X) = 10X - 2

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Trigonométrica Usa cualquiera de las funciones trigonométricas (Sen, Cos, Tan, Ctg, Sec, Csc)Su grafica esta dada por la función trigonométrica que aparezca

F(X) = 4 Sen (2X)F(X) = 9 Cos (X + 5)F(X) = Sec (3X – 4)

Valor Absoluto Su forma es la de una VLa función absoluto aparece con dos rayas verticales indicando que el signo que posea el valor encerrado se pierde

F(X) = | X – 8 |F(X) = | 3X² + 4 |

Ejercicio

Identifique a que tipo de función corresponden las siguientes:

LA FUNCION LINEAL

Se le llama función lineal a toda función polinomica (con exponentes positivos) cuyo mayor exponente sea 1. Su grafica siempre dará una línea recta. Funciones como F(X)=X + 5 o F(X)=3X - 1 son ejemplos de ello.

Hallar la grafica de una función lineal a partir de su ecuación.

Paso 1: Realizar la tabla de valores, utilizando o definiendo los limites de la grafica de la función y el incremento dx.Paso 2: Ubicar en un plano cartesiano las parejas de puntos (X, F(X))

Ejemplo: Graficar F(X)= 3X + 5 en el intervalo [-2,3]

En este tipo de funciones primero se multiplica (o se divide) el numero que esta junto a la X (recuerda la ley de signos) y luego se hace la suma o resta con el otro numero. Como no nos definieron el incremento dx vamos a suponer que los valores de X van de uno en uno. Para llenar la parte de abajo hay que reemplazar cada uno de los valores X en la función y el resultado será el de F(X), así por ejemplo con el -2 F(X)=3(-2) + 5 =-1

X -2 -1 0 1 2 3F(X) -1 2 5 8 11 14

Ahora ya podemos graficar ubicando las parejas de puntos { (-2,-1) , (-1,2) , (0,5), (1,8) , (2,11) y (3,14), el resultado se ve en la siguiente grafica (debemos unir los puntos con lápiz)

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Hallar la función lineal a partir de su grafica.

Para ello solo necesitamos conocer dos puntos de la grafica P1 y P2, por ejemplo miremos la siguiente grafica

La función corta en los puntos P1 = (-1,0) y P2= (0,1), para averiguar la función hay que hallar primero su pendiente (m) y su desplazamiento (b), a través de las formulas:

y

Para la pendiente y2 seria igual a 1, y1=0, x2=0 y x1=-1, si resolvemos, tendremos que:

Una vez hallado la pendiente hallaremos b usando y2 y x2

Finalmente la función lineal tiene siempre la forma f(x)=mx + b como m=1 y b=1 la función queda convertida en f(x)=x+1

EJERCICIOS

Halle la función que pasa por los siguientes puntos y grafíquela

a. P1(3,4) ; P2(15,20)b. P1(2,5) ; P2(-3,4)c. P1(4,5) ; P2(5,4)d. P1(5,5) ; P2(-10,5)

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e. P1(3,4) ; P2(7,5)

GRAFICACION DE LOS OTROS TIPOS DE FUNCIONES

Para graficar otras funciones diferentes a la lineal se siguen exactamente los mismos pasos, sin embargo hay que recordar el orden de resolver polinomios matemáticos (paréntesis primero, exponentes, multiplicaciones y divisiones) además para calcular funciones trigonométricas y logarítmicas es necesario tener calculadora científica. Supongamos que queremos reemplazar la función F(X)= Sen (X² + 2X + 1) cuando X=3, según el orden dado anteriormente

Paréntesis: Sen (3² + 2(3) + 1)Exponentes: Sen (9 + 2(3) + 1)Mult / Divi: Sen (9 + 6 + 1)Suma/Resta: Sen (16)Seno: 0.2756

La Rta es 0.2756

Ejercicios

Grafique las siguientes funciones:

FUNCIONES CONTINUAS Y DISCONTINUAS

Se le llama función discontinua a una función que cuando se le realiza la grafica se rompe en algún punto. Por ejemplo la función Y=1/X al graficarla en el intervalo [-5,5] nos genera:

Nótese que cuando se acerca a cero por la izquierda la función se desvía al infinito negativo y cuando la función se acerca a cero por la izquierda se desvía al infinito positivo, existe una brecha (la línea se corta) por lo tanto es descontinúa, la siguiente función por el contrario es continua en ese mismo intervalo:

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Ejercicios

Verifique si las siguientes funciones son continuas o discontinuas:

Entre -5 y 5

Entre -3 y 7

Entre 80 grados y 100 grados Entre -3 y 3

Entre 1 y 7

Que tanto aprendimos…?

Analize:

a. El crecimiento económico de una empresa esta dado por la siguiente grafica

Determine como será el ingreso de la empresa en los meses de octubre a diciembre. Utilice el método de la pendiente para hallar la ecuación que gobierna el crecimiento de la empresa

b. Los intereses ganados por La compañía “CALZADO MICKEY” crecen en forma Logarítmica, según un estudio realizado la grafica que mas concuerda con el crecimiento es y=Ingreso + (Ingreso * Log X), si el ingreso mensual es de 100.000 pesos y X corresponde a uno de los 12 meses, ¿Cuanto ganara la empresa en Junio, Septiembre, Noviembre y Diciembre?. Realice la grafica

c. Una partícula describe un movimiento en forma de parábola, la ecuación que describe su movimiento es Y=2*X² + 2. si suponemos que X corresponde al tiempo cronometrado, y Y a la

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distancia del punto de prueba, ¿ a que distancia esta a los 2 segundos?, ¿y a los 9? ¿y a los 11?. Grafique el movimiento de la partícula.

d. Una onda de sonido esta representada por la función Y=2 * Sin(x+10), ¿como seria la función que causaría un eco de esa onda?, ¿cual le ampliaría el volumen 5 veces mas?, ¿Cuál le causaría interferencia?

e. En un movimiento uniforme la velocidad es constante, por lo tanto la distancia aumenta a un ritmo constante al tiempo tal como lo muestra la siguiente grafica

¿A que distancia estará a los 6, 9, 15, 20, 34, minuto y minuto y medio?

LIMITES7

DEFINICION DE INFINITO

Debido a que en el sistema decimal cada número siempre tiene uno que lo sigue (al 1000 le sigue el 1001, y a este el 1002, así sucesivamente), nos queda imposible decir cual es el numero mas grande. Para representar este número utilizamos el símbolo:

Al cual llamaremos infinito positivo, así mismo habrá uno para el número más grande en la dirección de los números negativos, al que llamaremos el infinito negativo, es también de recordar que en división hay varias operaciones que siempre debemos tener en cuenta:

DEFINICION DE LÍMITE

El límite es el valor al que tiende una función cuando el valor de x se acerca a cierto número. Los límites pueden tender por derecha o por izquierda. Así por ejemplo imaginemos la función f(x)=2X + 1 y queremos saber a que tiende por izquierda y por derecha cuando X valga 2. Para ello iremos tomando desde 1 valores cada vez más cercanos a 2 y los vamos reemplazando en la función y miramos el resultado a que se va aproximando.

X 1 1,9 1.99 1.999 1.9999 1.99999 …F(X) 3 4,8 4,98 4.998 4.9998 4.99998 … Podemos ver que el valor se va aproximando a 5 por la izquierda, ahora miremos por la derecha:

X 3 2.1 2.01 2.001 2.0001 2.00001 …F(X) 7 5.2 5.02 5.002 5.0001 5.00001 … Lo cual indica que por la derecha también se va aproximando a 5, como por derecha y por izquierda nos da cinco podemos decir que el limite de F(x)=2x + 1 cuando X tiende a 2 es igual a 5, escrito matemáticamente:

En el caso de que la función sea continua, (como el que acabamos de hacer) no hay necesidad de hacer todo este procedimiento, basta simplemente con reemplazar el valor de X en la función por el número al que tiende y la respuesta será el límite. Pero si la función no es continua y X tiende al valor donde no es continua debemos utilizar el proceso anterior.

Ejemplo

Calcule:

Como las funciones cuadráticas son siempre continuas, (Realiza la grafica y lo comprobaras). El límite será reemplazar el 3 en la función X² + 5, entonces 3² + 5 = 14. Lo cual nos dice que la respuesta es 14 tanto por izquierda como por derecha.

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Ejemplo 2:

Si miramos la grafica notaremos que esta función no es continua (se parte) en el punto X=0

Por lo tanto tenemos que mirar a que se aproxima por derecha y por izquierda

X 1 0.1 0.01 0.001 0.0001 … 0F(X) 1 10 100 1000 10000 … ∞ +

X -1 -0.1 -0.01 -0.001 -0.0001 … 0F(X) -1 -10 -100 -1000 -10000 … ∞ -

Lo cual coincide con la grafica, así que podemos decir que por izquierda el límite tiende al infinito negativo y por derecha al infinito positivo.

Ejercicios

Halle los siguientes límites:

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LIMITES INDETERMINADOS.

Halle los siguientes límites al infinito:

Halle los siguientes límites indeterminados:

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