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2 GODOFREDO IOMMI
(10) Sea f : [a, b] ! R una funcion acotada. Denotemos por !(x)
la oscilacionde f en x 2 [a, b]. Demuestre queZ b
af(x)dx
Z baf(x)dx =
Z ba!(x)dx.
(11) Construya un ejemplo de una funcion integrable que sea
discontinua en unconjunto infinito numerable.
(12) Sea f : [0, 1]! R definida por
f(x) =
(1 si x = 1/n, n 2 N;0 caso contrario.
Pruebe que la funcion f es integrable y calcule su integral.(13)
Sea A := Q \ [0, 1]. Sea f : [0, 1]! R definida por
f(x) =X
an2A:anxan.
Determine si f es integrable.(14) Utilizando la defincion de
integral dada por Riemann calcule los siguientes
lmites(a)
limn!1
1
n
e1/n + e2/n + e3/n + + en/n
.
(b)
limn!1
1
n312 + 22 + + n2 .
(c)
limn!1
1
nk+11k + 2k + + nk , k > 0.
(d)
limn!1
1
n+ 1+
1
n+ 2+ + 1
3n
.
(e)
limn!1n
2
1
n3 + 13+
1
n3 + 23+ + 1
n3 + n3
.
(f)
limn!1
1
nnp
(n+ 1)(n+ 2) (n+ n).(g)
limn!1
1pn
1 +
1p2+ + 1p
n
.
(15) Sea f : [0, 1]! R una funcion monotona. Demuestre queZ
10f(x)dx 1
n
nXi=1
f
i
n
f(1) f(0)n .
GUA 3
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
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GUIA 3, CALCULO II 3
(16) Sea f : [0, 1] ! R una funcion Lipschitz, es decir, tal que
existe una con-stante M > 0 de modo tal que si x, y 2 [0, 1]
entonces
|f(x) f(y)| < M |x y|.Demuestre que
Z 10f(x)dx 1
n
nXk=1
f
k
n
< M2n.(17) Sea f : [a, b] ! R una funcion continua y C > 0
una constante. Sea
{x0, x1, . . . , xn} un subconjunto (no necesariamente ordenado)
de [a, b] talque x0 = a y xn = b y
nXi=1
|xi xi1| < C.
Sea n = max{|xi xi1| : i 2 {1, . . . , n}} y considere la
suma
Sn =nXi=1
f(xi)(xi xi1),
donde xi es un punto arbitrario en el intervalo de extremos xi y
xi1.Demuestre que para cualquier sucesion de sumas Sn tales que n !
0, setiene que
limn!1Sn =
Z baf(x)dx.
(18) Utilizando el Teorema de los intervalos encajados demuestre
que si f :[a, b] ! R es una funcion integrable entonces existe c 2
[a, b] donde lafuncion es continua.
Facultad de Matematicas, Pontificia Universidad Catolica de
Chile (PUC), AvenidaVicuna Mackenna 4860, Santiago, Chile
E-mail address: [email protected]:
http://www.mat.puc.cl/~giommi/
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(8)
(10)
(9)
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GUIA 4, CALCULO II
GODOFREDO IOMMI
1. Teorema Fundamental del Calculo
(1) Demuestre que dada f : [a, b]! R una funcion integrable. Si
f es continuaen el punto c 2 [a, b], entonces la funcion F : [a, b]
! R definida porF (x) =
R x0 f(t)dt es diferenciable en el punto c y se tiene que F
0(c) = f(c).(2) Demuestre que si f : [a, b] ! R es una funcion
integrable que posee una
primitiva F : [a, b]! R, entoncesZ baf(x)dx = F (b) F (a).
(3) Suponga que la funcion derivable f : R ! R tiene un unico
puntocrtico, x0 2 R, el cual es un mnimo local. Determine los
intervalos deconcavidad y los puntos de inflexion de la funcion F :
R! R definida porF (x) =
R x0 f(t) dt .
(4) Demuestre que toda potencia racional de e es irracional.(5)
Calcule la derivada de la funcion f : [3, 10]! R definida por
f(x) =1 + sin2 x
Z x2
p1 + t3 dt
.
(6) Sea
F (x) =
Z x0
Z t20
eu2
du.
Determine F 00(x).(7) Sea x > 0 y consideremos la funcion
definida por
F (x) =
Z x1
dt
1 + t2Z 1
1x
dt
1 + t2.
Demuestre que F es constante y determine su valor.(8) Sea f : R!
R funcion continua y sean F y G las funciones definidas por
F (x) =
Z x0(x t)2f(t) dt y G(x) =
Z x0
Z u0
(u t)f(t) dt
du
Demuestre que F (x) = G(x).(9) Sea f : [0, 1] ! [0,1) una
funcion continua tal que para todo x 2 [0, 1] se
tiene f(x) 21. DefinamosT (x) =
Z x0
f(t) dx, 0 x 1Si Tn = T Tn1 la n-esima composicion de la funcin
T , demuestre que
limn!1T
n(x) = 0.
1
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2 GODOFREDO IOMMI
(10) Sea f : [0,1)! R una funcion continua tal que
f(x) =
Z x0
f(t)dt.
Demuestre que la funcion f es identicamente nula.(11) Demuestre
que si f : [a, b] ! R es continua, entonces existe c 2 (a, b)
tal
que Z baf(x)dx = f(c)(b a).
(12) Sea f : R! R una funcion impar y sea a > 0. DetermineZ
aa
f(x)dx.
(13) Sean f, g : [a, b]! R dos funciones integrables tales que
la funcion
t! f(t)g(t)
,
es integrable y decreciente. Demuestre que la funcion
r !R ra f(t) dtR ra g(t) dt
,
es decreciente.(14) Demuestre que si la funcion f : [a, b] ! R
es integrable, entonces existe
c 2 [a, b] tal que Z caf(x)dx =
1
2
Z baf(x)dx.
(15) Sean g : [a, b] ! R una funcion integrable y no negativa y
f : [a, b] ! Runa funcion integrable. Demuestre que siZ b
ag(x)dx = 0,
entonces Z baf(x)g(x)dx = 0.
(16) Demuestre que si f : [0,1)! R es una funcion continua tal
que para todox > 0 se tiene que
f(x) =
Z x0
f(t)dt,
entonces f es identicamente nula.(17) Sea f : [a, b]! R una
funcion derivable con derivada integrable. Demuestre
que si x, c 2 [a, b] entonces
f(x) = f(c) +
Z xc
f 0(t)dt.
(18) Sean f : [a, b] ! R una funcion continua y g, h : [c, d] !
[a, b] funcionesdiferenciables. Defina la funcion ' : [c, d]! R
por
'(x) =
Z g(x)h(x)
f(t)dt.
