Guia Capitulo IV

www.unicesar.edu.coPreparado por: Ing. Luis Hernando MontoyaAguachica- Cesar

Programa de Ingeniería Agroindustrial

Contigo es posible

“La Universidad un espacio de desarrollo integral”

CAPÍTULO IVBALANCES MACROSCÓPICOS PARA SISTEMAS ISOTÉRMICOS

INTRODUCCIÓN

Los balances macroscópicos pueden obtenerse por integración de las ecuaciones de variación del Capítulo 3. Los balances macroscópicos son muy utilizados en el análisis de sistemas ingenieriles de flujo.

En este capítulo, se utilizan muchos de los conceptos expuestos en los capítulos precedentes: viscosidad, velocidad, perfiles, flujo laminar y turbulento y factores de fricción. Por lo tanto, este capítulo sirve de repaso, a la vez que se desarrollan métodos sistemáticos que son de gran utilidad para resolver numerosos problemas de flujo.

BALANCE MACROSCÓPICO DE MATERIA

Figura 1. Sistema macroscópico de flujo con entrada de fluido por el plano 1 y salida por el plano 2. Para mantener el sistema a temperatura constante puede ser preciso comunicar calor con una velocidad Q. La velocidad de realización de trabajo sobre los alrededores es W. Obsérvese que los signos de Q y W son los convencionales que se utilizan en la mayor parte de los libros de termodinámica.

Consideremos el sistema de la figura 1, en el que existe una sola entrada de fluido (de sección “área” S1, en el plano 1) y una sola salida (de sección S2, en el plano 2). Estos planos de referencia se toman perpendiculares a las paredes del tubo.

En esta sección y en las siguientes se hacen dos suposiciones, que para la mayor parte de los problemas no son muy restrictivas: (a) en los planos 1 y 2 la velocidad de tiempo ajustado es paralela a las paredes de la conducción; (b) la densidad ρ y las demás propiedades físicas no varían a lo largo de la sección transversal de los planos 1 y 2.

Aplicando al sistema de la figura 1, la expresión de la conservación de la materia, se obtiene:



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Ecuación 1:

En esta expresión rnTot es la masa total de fluido contenida entre los planos 1 y 2. Utilizando el símbolo m = ρ V A para la velocidad y la notación Δm para m2 - m1 (el valor a la salida menos el valor a la entrada), el balance macroscópico de materia en estado no estacionario se transforma en:

Este resultado se puede obtener también por integración directa de la ecuación de continuidad.En estado estacionario, la masa total de fluido en el sistema no varía con el tiempo y por consiguiente, el balance macroscópico de materia en estado estacionario es:

Δm = 0

Es decir, que la cantidad de materia que entra es igual a la que sale.

BALANCE MACROSCÓPICO DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO

Consideremos de nuevo el sistema de la figura 1, haciendo las dos mismas suposiciones de antes. Aplicando la expresión de la conservación de la cantidad de movimiento a este sistema, se obtiene la siguiente ecuación vectorial:

Ecuación 2:

Siendo PTot la cantidad de movimiento total del fluido contenido en el sistema. Los dos primeros términos del segundo miembro representan la velocidad de entrada y salida de cantidad de movimiento debido al movimiento global del fluido; se ha despreciado la entrada y salida de cantidad de movimiento relacionada con los componentes de densidad de flujo laminar y turbulento de cantidad de movimiento xz, xy, etc., debido a que estas contribuciones son comparativamente mucho menores.

Los términos entre corchetes representan las distintas fuerzas que actúan sobre el fluido en el sistema: las fuerzas de presión que actúan en los extremos del sistema, la fuerza neta –F de las superficies sólidas que actúa sobre el fluido y la fuerza de gravedad mTot * g que actúa sobre la masa total del fluido. Téngase en cuenta que F es la fuerza del fluido que actúa sobre el sólido y que corresponde a la suma de todas las fuerzas viscosas y de presión.

En la ecuación 2. A1 y A2 son vectores. Estos vectores tienen de módulos A1 y A2, respectivamente, y su dirección es la de la velocidad de tiempo ajustado en las secciones 1 y 2. Correspondiendo a estos vectores vamos a introducir m1 = ρ1 V1 A1, y m2 = ρ2 V2 A2, que se definen de igual forma.



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Utilizando esta nueva notación para expresar la ecuación 2 resulta que el balance de cantidad de movimiento en estado no estacionario es

Este resultado se puede obtener también integrando la forma de la ecuación de movimiento.

Si el sistema de flujo está en estado estacionario, dPTot/dt = 0 y la ecuación anterior se transforma en el balance de cantidad de movimiento en estado estacionario:

Este resultado es útil para calcular las fuerzas que actúan sobre piezas o aparatos, tales como paletas de turbinas y curvas de tuberías; también es útil, juntamente con otros balances macroscópicos, para describir el funcionamiento de eyectores de vapor de agua y otros aparatos en los que hay mezcla de corrientes de fluidos.

BALANCE MACROSCÓPICO DE ENERGÍA MECÁNICA (ECUACIÓN DE BERNOULLI)

Introducción

Cuándo la velocidad de un fluido en cualquier punto dado permanece constante en el transcurso del tiempo, se dice que el movimiento del fluido es uniforme. Esto es, en un punto dado cualquiera, en un flujo de régimen estable la velocidad de cada partícula de fluido que pasa es siempre la misma. En cualquier otro punto puede pasar una partícula con una velocidad diferente, pero toda partícula que pase por este segundo punto se comporta allí de la misma manera que se comportaba la primera partícula cuando pasó por este punto. Estas condiciones se pueden conseguir cuando la velocidad del flujo es reducida. Por otro lado, en un flujo de régimen variable, las velocidades son función del tiempo. En el caso de un flujo turbulento, las velocidades varían desordenadamente tanto de un punto a otro como de un momento a otro.

Ecuación de Bernoulli

La dinámica de los líquidos, está regida por el mismo principio de la conservación de la energía, el cual fue aplicado a ellos por el físico suizo Daniel Bernoulli (1700-1782), obteniendo como resultado una ecuación muy útil en este estudio, que se conoce con su nombre.

Para ello se puede considerar los puntos 1 y 2, de un fluido en movimiento, determinando la energía mecánica de una porción de éste, a lo largo del filete de fluido en movimiento que los une.Si m es la porción de masa considerada, V su rapidez, Z la altura sobre el nivel tomado como base, P la presión y ρ la densidad en cada uno de los puntos, se puede escribir utilizando el teorema trabajo-energía cinética:



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Figura 1. Flujo de un fluido en una tubería con cambio de altura y área.

Donde:

P/ρ = Energía de presión por unidad de masa o energía de flujo, es el trabajo necesario para mover un flujo a través de una determinada sección en contra de la presión.

g.h = Energía potencial por unidad de masa, es debida a la elevación.

V2/2 = energía cinética por unidad de masa, está relacionada con la velocidad del fluido.

Por lo tanto, la ecuación de Bernoulli puede enunciarse del modo siguiente “ La suma de la energía cinética, la potencial y de flujo de una partícula de fluido es constante a lo largo de una línea de corriente en el transcurso del flujo estacionario, cuando los efectos de la compresibilidad y de la fricción son despreciables.

Ecuación de Bernoulli para flujo en reposo: V1 = V2 = 0

Recuerde que:



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Caudal o flujo volumétrico: Q = A * V (m3 / s)

Flujo másico: m = ρ * Q (kg / s)

Ecuación de la continuidad de un flujo: m1 = m2 ρ1 * A1 * V1 = ρ2 * A2 * V2

Si el fluido en incompresible: (ρ1 = ρ2) Q1 = Q2 A1 * V1 = A2 * V2

Flujos viscosos: movimiento laminar y turbulento

Los primeros experimentos cuidadosamente documentados del rozamiento en flujos de baja velocidad a través de tuberías fueron realizados independientemente por Poiseuille y por Hagen. El primer intento de incluir los efectos de la viscosidad en las ecuaciones matemáticas se debió a Navier e, independientemente, a Stokes, quien perfeccionó las ecuaciones básicas para los fluidos viscosos incompresibles. Actualmente se las conoce como ecuaciones de Navier-Stokes, y son tan complejas que sólo se pueden aplicar a flujos sencillos. Uno de ellos es el de un fluido real que circula a través de una tubería recta.

El teorema de Bernoulli no se puede aplicar aquí, porque parte de la energía mecánica total se disipa como consecuencia del rozamiento viscoso, lo que provoca una caída de presión a lo largo de la tubería. Las ecuaciones sugieren que, dados una tubería y un fluido determinados, esta caída de presión debería ser proporcional a la velocidad de flujo. Los experimentos demostraron que esto sólo era cierto para velocidades bajas; para velocidades mayores, la caída de presión era más bien proporcional al cuadrado de la velocidad.

Este problema se resolvió cuando Reynolds demostró la existencia de dos tipos de flujo viscoso en tuberías. A velocidades bajas, las partículas del fluido siguen las líneas de corriente (flujo laminar), y los resultados experimentales coinciden con las predicciones analíticas. A velocidades más elevadas, surgen fluctuaciones en la velocidad del flujo, o remolinos (flujo turbulento), en una forma que ni siquiera en la actualidad se puede predecir completamente.

Reynolds también determinó que la transición del flujo laminar al turbulento era función de un único parámetro, que desde entonces se conoce como número de Reynolds. Si el número de Reynolds (que carece de dimensiones y es el producto de la velocidad, la densidad del fluido y el diámetro de la tubería dividido entre la viscosidad del fluido) es menor de 2100, el flujo a través de la tubería es siempre laminar; cuando los valores son mayores a 4000 el flujo es turbulento. El concepto de número de Reynolds es esencial para gran parte de la moderna mecánica de fluidos.

Los flujos turbulentos no se pueden evaluar exclusivamente a partir de las predicciones calculadas, y su análisis depende de una combinación de datos experimentales y modelos matemáticos; gran parte de la investigación moderna en mecánica de fluidos está dedicada a una mejor formulación de la turbulencia. Puede observarse la transición del flujo laminar al turbulento y la complejidad del flujo turbulento cuando el humo de un cigarrillo asciende en aire muy tranquilo. Al principio, sube con un movimiento laminar a lo largo de líneas de



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corriente, pero al cabo de cierta distancia se hace inestable y se forma un sistema de remolinos entrelazados.

Ejemplo:

La presión del agua que entra a un edificio es 3 atmósferas, siendo el diámetro de la tubería 2 cm y su rapidez de 20 m/s. Si el baño de un departamento del 4º piso está a 6 m de la entrada y la tubería tiene un diámetro de 4 cm, calcule:

a. La presión y rapidez del agua en el baño,b. La presión en el baño si se corta el agua a la entrada.

Solución:

a. Usando la ecuación de Bernoulli a la entrada (región 1) y en el baño del 4º piso (región):

donde P1 = 3 atm = 3.03 x 105 Pa , V1 = 20 m/s, h1 = 0 y h2 = 6 m, encontramos:

y la ecuación de continuidad, A1 * V1 = A2 * V2

V2 = 5 m/s

b. Si el agua se corta en la entrada, donde V1 = 0

Ecuación de Bernoulli para flujo real (con fricción)

Dadas las consideraciones anteriores se puede escribir la ecuación de Bernoulli para un flujo turbulento considerando la pérdida de energía por el rozamiento en el interior del tubo.

HO = Pérdida de energía por rozamiento desde 1 hasta 2.

W = Trabajo realizado por un equipo de bombeo.



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ESTIMACIÓN DE LAS PÉRDIDAS POR FRICCIÓN

Se ha dedicado una gran atención al desarrollo de métodos que permiten estimar las pérdidas por fricción Ho en las distintas partes de un sistema de flujo.

Para el flujo en estado estacionario se opera con el término:

Ecuación A:

En la que HO es el factor de pérdidas por fricción, que es una función de un número de Reynolds y de las adecuadas relaciones geométricas adimensionales. El factor 1/2 se ha introducido por semejanza con la forma de otras ecuaciones afines.

Consideremos ahora las pérdidas por fricción en una conducción recta, con el fin de establecer la relación entre el factor de pérdidas por fricción K, y el factor de fricción f.

Consideraremos solamente el caso especial del flujo estacionario de un fluido de ρ constante en conducciones rectas, de sección A y longitud L, arbitrarias pero constantes.

La ecuación de Darcy marca las pérdidas por fricción, HO (m), tanto en régimen laminar como turbulento.

Ecuación B:

Donde:

f es el factor de fricción.L es la longitud de una tubería.V la velocidad.DH el diámetro hidráulico de la tubería.

Y la comparación de ambas indica que K = (L/DH)f. Se define K como el coeficiente de rugosidad, depende del material de la tubería y del estado de esta. Existen varias expresiones para este coeficiente calculado en forma experimental por varios investigadores como: Manning; Bazin; Kutter; Strickler, entre otros.Los coeficientes K se encuentran tabulados en la literatura técnica especializada, o deben ser proporcionados por los fabricantes de piezas para conducciones.

La ecuación A, expresa la pérdida por fricción HO en las longitudes rectas de la conducción. Si en el sistema de flujo existen diversos “obstáculos”, tales como accesorios, variaciones bruscas de diámetro, válvulas o aparatos de medida de flujo, es preciso introducir otras contribuciones a HO.



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Estas contribuciones adicionales pueden expresarse según la forma de la ecuación A, determinando K, mediante uno de estos dos métodos: (a) resolución simultánea de los balances macroscópicos o (b) medidas experimentales. En la tabla 1, se indican algunos valores aproximados de K, considerando que la velocidad media aguas abajo de la perturbación es (cero = 0); estos valores corresponden a flujo turbulento, para el cual la variación con el número de Reynolds no es demasiado importante.

Ecuación C:

Suma de todos los tramos Suma de todos los accesorios, de conducciones rectas válvulas, aparatos, etc.

Recuerde que para estos casos el factor de fricción se puede definir de las siguientes maneras:

Tubos lisos y rugosos en régimen laminar: f = 64 / Re Para: 2100 < Re < 5000

Tubos lisos en régimen turbulento: Para: 2100 < Re < 100000

Tubos rugosos en régimen turbulento: Para: Re > 4000

Donde:

= Rugosidad de la tubería.

Para todo tipo de tubería se determina el número de Reynolds por medio de la ecuación:

Donde Lc es la longitud característica.

Para el interior de una tubería circular es el diámetro. Para una sección que no es circular Lc = 4 DH

DH = Área de flujo / Perímetro mojado.

En conductos:

Si Re < 2100 el flujo es laminarSi Re > 4000 el flujo es turbulento

Ecuaciones para determinar DH y Lc en conductos



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Valores de rugosidad de la superficie para varios materialesMaterial Superficie Rugosa ,

mmTubería arrastrada (latón, bronce cobre, vidrio y similares)

0.00152

Acero comercial o hierro forjado 0.046Hierro colado y asfaltado 0.122Hierro galvanizado 0.152Hierro colado 0.259Madera 0.183 – 0.914Concreto 0.305 – 3.05Acero remachado 0.914 – 9.14

Tomado de Perry, Robert. Manual del Ingeniero Químico, Mc Graw – Hill.



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Figura 2. Diagrama de Moody para el factor de fricción f en función del número de Reynolds para tuberías lisas y rugosas



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RESUMEN DE FACTORES DE PÉRDIDA POR FRICCIÓN PARA UTILIZAR EN LA ECUACIÓN C

(Valores aproximados para flujo turbulento)Obstáculos K

Cambios bruscos del área de la sección transversal:Entrada normal de tubería o acoplamiento 0.05Contracción brusca 0.5 (1-β)

Ensanchamiento brusco, para V2

Orificio de borde afilado 2.7 (1- β)(1- β2)(1/ β2)Accesorios y válvulasCodos de 90º (curvados) 0.4 – 0.9 (0.75)Codos de 90º (en ángulo) 1.3 – 1.9 (1.6)Codos de 45º 0.3 – 0.4 (0.35)Te 1.0Codo de 180º (Retorno en U) 1.5Válvula de globo, asiento biselado (abierta) 6Válvula de globo, asiento biselado (1/2 abierta)

9.5

Válvula de diafragma (abierta) 2.3Válvula de diafragma (1/2 abierta) 4.3Válvula de compuerta (abierta) 0.2Válvula de compuerta (1/2 abierta) 4.5

APLICACIONES DE LA ECUACIÓN DE BERNOULLI EN FLUJO ESTACIONARIO

1. Cambio en la presión y pérdidas por fricción en un ensanchamiento brusco

Un fluido incompresible circula con flujo turbulento por un tubo circular cuya área de la sección transversal es A1, y desemboca en un gran tubo de sección transversal A2, tal como se indica en la figura:

Figura 3. Sistema de expansión en tubería

Donde: ρ1 V1 A1 = ρ2 V2 A2

V1

V2

2

1

V1

V2

2

1



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Se obtiene una diferencia de presión entre los puntos 1 y 2 para un fluido de densidad constante.

o, en función de la velocidad aguas abajo del ensanchamiento V2:

Donde

β = A2 / A1 = V1 / V2 por tanto 1/ β = V2 / V1 = A1 / A2

Así mismo se obtiene el factor de pérdida de fricción para un ensanchamiento brusco:

2. Cambio en la presión y pérdidas por fricción en una reducción súbita

Un fluido incompresible circula con flujo turbulento por un tubo circular cuya área de la sección transversal es A1, y desemboca en un tubo reducido de sección transversal A2, tal como se indica en la figura:

Figura 4. Sistema de reducción en tubería

Donde: ρ1 V1 A1 = ρ2 V2 A2

Se obtiene el factor de pérdida de fricción para una reducción súbita en función de la velocidad aguas debajo de la reducción V2:

3. Medidor de vénturi y medidor de orificio



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Un método frecuentemente utilizado para determinar la velocidad de flujo en una conducción, consiste en medir la caída de presión que se produce al atravesar un “obstáculo” situado en la conducción. En el caso de un orificio, el obstáculo consiste en una lámina delgada provista de una perforación central, tal como se representa en la figura 5.

El tubo vénturi consiste en dos troncos de conos invertidos, con reducciones y ampliaciones graduales, con una parte central de igual diámetro, el cual se utiliza para medir caudales que pasan.

En estos tipos de medidores, la medida del caudal, se realiza por medio de una diferencia de presiones creadas en la tubería por medio de reducciones de diámetros en la misma. En el venturímetro la reducción de los diámetros es gradual, mientras que en el medidor de orificio dicha reducción es repentina. El flujo de los fluidos a través de estos mecanismos de medida sigue los principios de conservación de energía y la ecuación de continuidad.

Aquí vamos a deducir una fórmula para la velocidad de flujo en el orificio y para el vénturi. Para resolver esta cuestión se aplica un balance de materia y otro de energía mecánica a la región comprendida entre los planos 1 y 2, en los que están situadas las dos tomas de presión.

Figura 5. Medidor tipo vénturi y medidor de orificioPara el tubo vénturi se aplica la ecuación de Bernoulli y continuidad en los puntos 1 y 2, los cuales están a una misma altura (h1 = h2) flujo horizontal, en la cual V2 > V1 y P1 > P2:

(1)

(2)

A B

H



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Reemplazando (2) en (1), encontramos:

Despejando, por ejemplo V1, se tiene:

(3)

Por otro lado, usando el manómetro para determinar la diferencia de presiones P2 – P1, encontramos que como los niveles A y B están a una misma altura:

, es decir:

Por lo tanto, , que al reemplazar en ecuación (3) resulta:

Para el cálculo del caudal tenemos:

Q = V1 * A1 =

Si



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El flujo real se obtiene introduciendo un coeficiente Cd (Factor de Corrección) en la ecuación anterior debido a las pérdidas que no se consideraron inicialmente:

El valor numérico de Cd, coeficiente de descarga, dependerá de la relación A1/A2, el tipo de transición, la velocidad y viscosidad del fluido.

Para las transiciones graduales del venturímetro se tienen pequeñas cantidades de pérdidas y el valor de Cd estaría entre 0,96 y 0,99 para flujo turbulento.

La transición en el caso del medidor de orificio es repentina y por lo tanto allí se presentan mayores pérdidas debido a la contracción y expansión de la vena del flujo a través del orificio. Su coeficiente de descarga tiene por consiguiente un menor valor (0,6 a 0,63); y el área A2 de la ecuación se refiere al área del orificio y no al área contraída de la vena del flujo.

La reducción en el diámetro de la constricción causa un incremento en la velocidad, y consecuentemente se crea una gran diferencia de presión entre la entrada y la garganta, permitiendo una gran precisión en la medida. Grandes velocidades en la garganta causan bajas presiones en el sistema y si éstas caen por debajo del límite de la presión de vapor del fluido, se presentaría el fenómeno de cavitación el cual es altamente indeseable. Por lo tanto, la selección de la relación D2/D1 se debe considerar cuidadosamente. Está relación se debe mantener entre 1/3 y 3/4 y el valor más común es 1/2.

Cd = 0.96 – 0.99 Vénturi

Cd = 0. 6 – 0.63 Medidor de Orificio

Preferiblemente

4. Tubo Pitot

En algunos casos de conducción de agua, ésta circula con velocidades muy diferentes en los diversos puntos de una sección, debido al rozamiento con las paredes de condiciones de rugosidad muy variable, como sucede en los canales o en los ríos y entonces, para averiguar las condiciones de circulación se emplea un medidor de velocidad que se llama "Tubo de Pitot", el cual mide la energía de velocidad mas la energía de presión en el punto donde se coloca.

El Tubo de Pitot es un tubo vertical en su mayor parte, y horizontal en un extremo, el cual se sumerge en contra del flujo, tal como se muestra en la figura 6. El tubo está abierto por ambas extremidades. La velocidad y la presión del agua, hacen que ésta ascienda en el tubo, hasta que



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la presión de la columna de agua equilibre la energía de velocidad del agua y de presión en el punto 2.

Figura 6. Medidor tipo vénturi y medidor de orificio

Aplicando Bernoulli entre los puntos 1 y 2 tenemos:

Si no se consideran las pérdidas:

Al colocar el Tubo Pitot la energía de velocidad en el punto 2, se convierte en presión, pues

se hace cero:

reemplazando factores queda

dado que

En la medición, se observa que a mayor velocidad de circulación del líquido, mayor es la altura h que alcanza el agua en el interior del tubo de Pitot, por lo tanto la velocidad podrá conocerse midiendo h. Se puede considerar que una partícula de agua al pasar del punto 1 al punto 2, pierde toda su energía de velocidad para convertirla en energía de presión, que es justamente la debida a la columna del líquido h; diferencia de alturas entre el punto 1 y el punto 2.

La velocidad real será un poco menor (debido a las pérdidas de fricción que no se consideraron). La velocidad dada en la ecuación anterior es modificada introduciendo un coeficiente K; el cual tiene un valor que varía entre 0.95 y 1.0)

(Variando K entre 0.95 y 1.0)



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5. Vaciado de tanques

La velocidad de salida de un flujo de un depósito depende de la diferencia de elevación entre la superficie libre del fluido y la salida del fluido.

Aplicando la ecuación de Bernoulli y tomando las siguientes consideraciones:

V1 = 0P1 = P2 = 0h1 – h2 = Δh

Entonces la velocidad de salida del tanque se puede expresar de acuerdo al teorema de Torricelli:

Si sobre la superficie del fluido hay una presión diferente a la atmosférica, esta ha de ser tenida en cuenta.

Si la altura del líquido va disminuyendo en el depósito, la velocidad de salida también lo hace.

El tiempo requerido para vaciar un tanque se puede expresar en función de la altura del líquido:

Fluido expulsado = A1 * dh = – A2 * V2 * dt Entonces

De acuerdo a Torricelli: Reemplazando e integrando la ecuación:

Entonces:



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(Segundos)

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