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guia de investigación de operaciones sobre programación lineal
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Materia: Investigación de Operaciones.
Unidad: Nº 1
Introducción a la Investigación de Operaciones.
Contenido:
1. Origen de la investigación de operaciones.
2. Modelos de investigación de operaciones.
3. Tipos de modelos.
4. Estructura de un modelo de programación lineal.
5. Análisis cuantitativo y toma de decisiones.
6. Ventajas y desventajas de los modelos.
7. Formulación de modelos de programación lineal.
Objetivos
1. Identificar la estructura del modelo de programación lineal.
2. Interpretar la estructura del modelo de programación lineal.
3. Formular modelos de programación lineal.
1. Origen de la investigación de operaciones
El origen de la investigación de operaciones como disciplina se ubica históricamente hacia
principios de la Segunda Guerra Mundial, en la década de los años treinta. Entre las motivaciones
principales que indujeron su aparición está la necesidad de administrar recursos escasos,
aplicados en operaciones militares que desarrollaban en aquella época en Inglaterra.En tal
sentido, se organizó en es ese país un equipo de expertos a los que se le encomendó la tarea de
aplicar el método científico en problemas estratégicos y tácticos en las actividades militares que
realizaba este país, conjuntamente con los Estados Unidos.
De este modo, los ejercicios y estudios desarrollados terminaron por llamarse investigación
de operaciones. Luego de cierto tiempo, al terminar la guerra, las técnicas cuantitativas
empleadas, despertaron un gran interés fuera del campo militar. Entonces, los problemas
administrativos comenzaron a ser tratados bajo la perspectiva de la investigación de operaciones.
En este orden de ideas, cuando se analiza el proceso de desarrollo de esta disciplina,
asoman dos factores que influyeron en forma determinante en su efectivo avance: en primer lugar,
el progreso obtenido en el mejoramiento de las técnicas cuantitativas y en segundo lugar, el
crecimiento en la revolución computacional.
Por lo demás, las ventajas aportadas por esta tecnología amplió en forma significativa la
capacidad de procesamiento de un número importante de problemas, cuya resolución en forma
manual conllevaría la utilización de un tiempo excesivo, aparte de incrementar la posibilidad de
incurrir en errores.
En las últimas dos décadas, la eficiencia de importantes empresas ha estado asociada a la
aplicación de la investigación de operaciones en el proceso productivo de toma de decisiones,
participando diferentes individuos con formación en el área de matemáticas, estadística,
economía, computación, etc., apoyándose en los procedimientos desarrollados en esta
especialidad.
La aplicación de las técnicas cuantitativas presentes en esta materia se apoyan desde luego
en el conocimiento de la estructura de modelos, especialmente aquellos donde se utiliza la
programación lineal con todos sus supuestos y limitaciones, que permita efectuar una
representación lo más cercana posible a la realidad o problema de estudio.
2. Modelos de investigación de operaciones
Entre las funciones realizadas por un administrador o gerente diariamente se incluye la
resolución de problemas. La percepción de una suerte de situación que se desea corregir o
mejorar, se aprecia mediante la observación y el uso de información. En este sentido, la persona
que planifica para tomar decisiones trata de simplificar la realidad o problema, sin dejar de ser
riguroso en el análisis.
De esta manera, la representación de modelos es una práctica muy frecuente que conforma
el ordenamiento y relación de las ideas. Se procede a elaborar así un modelo mental que permita
organizar y relacionar un conjunto de elementos u objetos, de forma tal que se obtengan
resultados favorables al propósito que se desea lograr. Con el modelo mental se simplifica la
realidad.
Por otra parte, situando el enfoque en el campo administrativo se percibe la necesidad de
representar la información de un proceso complejo, mediante la utilización de modelos
matemáticos donde se permite la evaluación de diferentes alternativas, mediante el planteamiento
de objetivos y relaciones entre variables que generan resultados para la toma de decisiones.
Así, se realiza la representación numérica con apoyo de la simbología y las relaciones
lógicas funcionales correspondientes, de los componentes del problema. Los modelos que se
elaboran tendrán simplicidad, si la realidad que se pretende representar tiene esas características
o en todo caso el modelo será complejo, cuando la situación se identifica como tal.
Modelos Descriptivos
Según Davis y Mckeown (1986), un modelo descriptivo representa una relación que no
señala ningún curso de acción para lograr la solución óptima de de un problema. Señala que estos
modelos son útiles para pronosticar la conducta de sistemas, pero no pueden identificar la mejor
opción que debe seguirse. Algunos modelos estadísticos tienen las características de este tipo.
Modelo Normativo
La condición básica de este modelo es el “debe ser”, dado que señalan o indican un curso
de acción factible para obtener el óptimo de la función. La mayor parte de estos los elementos
básicos: variables de decisión, parámetros, restricciones y una o más funciones objetivas.
3. Tipos de modelos
En el modelaje de situaciones administrativas se han reunido un conjunto de características
y relaciones que permiten presentar una serie de modelos para representar variadas actividades y
problemas. De este modo, Winston (2004) presenta la siguiente tipología:
3.1. Modelos estáticos y dinámicos
Modelo estático: Es aquél en el cual las variables de decisión no requieren sucesiones de
decisiones para periodos múltiples.
Modelo dinámico: Las variables de decisión requieren de cambios a través de sucesivos
periodos.
3.2. Modelos lineales y no lineales
Modelo lineal: Las variables de decisión que aparecen en la función objetivo, están
multiplicadas por constantes, acomodadas en forma de suma (las funciones del modelo son de
primer grado).
Modelo no lineal: Las variables del modelo representan funciones curvilíneas o no
proporcionales.
3.3. Modelos enteros y no enteros
Modelo entero: Son aquellos donde los valores que asumen una o más variables
representan números enteros.
Modelo no entero: Son modelos donde todas las variables de decisión son libres de asumir
valores fraccionarios (no discretos).
3.4. Modelos determinísticos y estocásticos
Modelo determinístico: Cuando para cualquier valor de las variables de decisión se conoce
con certeza la función objetivo.
Modelo estocástico: Cuando existe probabilidad de calcular el valor de la función objetivo
debido a la presencia de incertidumbre en el conocimiento de los parámetros del modelo.
4. Estructura de un modelo de programación lineal
El modelo de programación lineal es una estructura matemática con características
especiales que se adapta a una variedad de problemas administrativos, opera mediante la figura
de funciones que se identifican como actividades, las cuales se programan de manera que
permitan obtener el mejor resultado de acuerdo al objetivo establecido.
La estructura del modelo de programación lineal identifica los siguientes elementos:
Variable de decisión: Son incógnitas, es decir, valores desconocidos que al ser calculados
se obtiene la solución del modelo. Se representan utilizando las últimas letras del alfabeto
(x,y,w,z).
Parámetros: Son factores que permiten vincular las variables de decisión (independientes)
con la variable objetivo (independiente). Los parámetros se expresan como constantes en un
problema particular y varían de un problema a otro.
Restricciones: Son limitaciones físicas en el modelo asociadas a la tecnología particular de
cada problema. se representan como funciones matemáticas o submodelos. En su expresión se
utilizan los conectivos lógicos: =.
Función objetivo: Expresa la efectividad del modelo en términos de las variables de
decisión; representan en el modelo la condición de optimización de resultados bajo la forma de
maximización (max) o minimización (min).
Las características que están presentes en un modelo de programación lineal son:
- Proporcionalidad: plantea que la función objetivo y las restricciones son proporcionales a
nivel de la fabricación de cada producto, es decir, que un aumento de la producción requiere un
incremento proporcional en el nivel de recursos aplicables.
- Divisibilidad: significa que es posible las asignaciones fraccionarias de productos. Esto es
muy significativo a considerar sobre todo en aquellos casos donde se programan elaboraciones
discretas de productos.
- Aditividad: Señala que las contribuciones individuales de los productos son aditivas, es
decir, que el todo es la suma de las partes y no se consideran interacciones que origina una
situación diferente a la que se deriva de las sumatorias individuales.
Determinismo: Esto significa que los parámetros, relaciones funcionales y coeficientes son
datos conocidos. De este modo, este principio es restrictivo para el uso del modelo si se producen
variaciones significativas en sus elementos estructurales.
- Una sola función objetivo: Es una consideración de utilidad práctica en la planificación de
costo plazo, pero limitada en algunas situaciones donde se persigue más de un objetivo; como
aquellos que plantean el alcance de diferentes metas.
5. Análisis cuantitativo y toma de decisiones
La investigación de operaciones es una herramienta que se utiliza para la toma de
decisiones en las organizaciones productivas. Estas últimas funcionan como un sistema que
administra y combina recursos. El problema de asignación de recursos para lograr objetivos
constituye una de las funciones principales de esta disciplina.
En líneas anteriores, se mencionó el papel de la investigación de operaciones para
representar problemas de la vida real y luego encontrarle solución. En este sentido, los modelos
matemáticos de decisión permiten calcular los valores aproximados o exactos de los componentes
controlables del sistema que se aplica a través de esta metodología.
De este modo, las variables controlables son valores aplicados para tomar decisiones, pero
además en los modelos se incluyen variables exógenas no menos importantes en el problema,
cuyo control aparece fuera del dominio de la empresa u organización, verbigracia: condiciones
económicas, comportamiento de los competidores, precios de las materias primas y otros factores.
Además, son importantes en el funcionamiento del modelo el marco político y las
restricciones, que actúan definiendo espacios y fronteras en la evolución y crecimiento de las
empresas. Igualmente, en el proceso de formalización del modelo de decisión se consideran los
criterios de rendimiento como expresión cualitativa de los objetivos.
Finalmente, para completar los factores a considerar, se deben mencionar las variables
intermedias que figuran como elementos de otras variables más generales que previamente han
sido consideradas en la elaboración del modelo.
Los factores mencionados anteriormente, se pueden presentar mediante un gráfico de
entradas y salidas que explican la formalización de un modelo de decisiones.
Fuente: Bierman y otros (1996, p. 17)
Variables ExógenasVariables
Exógenas
Modelo (conjunto de relaciones)
Variables de Decisión Variables
de Decisión
Variables de Rendimiento Variables
de Rendimiento
Políticasy Restricciones
Políticasy Restricciones
6. Ventajas y desventajas de los modelos
El uso de modelos de programación lineal tiene sus ventajas y desventajas y su utilización depende de los resultados favorables que aporte en la actividad que desarrolla la organización. La decisión de implementar un sistema representado mediante modelos de programación lineal, está asociado al manejo de dos variables importantes, como son: el tiempo y el costo. Ambos elementos se analizan en términos de disponibilidad de información interna de la empresa y de su entorno. En todo caso, se pueden mencionar en forma general que su aplicación tiene las siguientes:
Ventajas
- Permite procesar un gran volumen de información.- Ayuda a simplificar una realidad de la empresa para efectos de análisis- Aporta resultados consistentes de acuerdo con la información utilizada- Es un factor de apoyo valioso en la toma de decisiones de la empresa, y
Desventajas
- Tiene validez en la realidad y condiciones bajo las cuales se formuló- Operan fundamentalmente en el corto plazo- Requieren de una permanente revisión para evaluar y efectuar ajustes
*
7. Formulación de modelos de programación lineal.
Los modelos de programación lineal son modelos matemáticos, estructurados con funciones
lineales o de primer grado. Es una técnica que se aplica para representar problemas concretos de
administración y uso de recursos. Este proceso se satisface mediante el cumplimiento de una
serie de eventos previos como: definición del problema, recolección de información y seleccionar
disciplinas de apoyo. Con la ejecución de estas acciones es posible formalizar una adecuada
representación.
Definir el problema.
Consiste en definir el objetivo en términos de optimización considerando las variables que
permiten medir el problema, las relaciones funcionales permisibles en sintonía con la teoría, los
parámetros correspondientes y las restricciones que establece la realidad concreta en la cual se
formula el modelo.
Recolectar información
Es un proceso que se cumple dentro y fuera de la empresa. Contempla la demanda de
recursos financieros y no financieros, que se expresan en costos. Se apoya en la experticia de
profesionales cuyo conocimiento permite definir criterios en la combinación de recursos utilizados
y en la distribución de los productos manufacturados.
Escoger disciplinas de apoyo.
Se refiere al uso de técnicas que conducirán a un adecuado procesamiento y solución del
problema. Las más indicadas son: la estadística, la simulación y la computación.
La formulación del modelo de programación lineal se puede expresar en dos aspectos
fundamentales: el planteamiento verbal sintetizado del problema y la elaboración matemática del
mismo. Este procedimiento constituye la traducción de enunciados verbales que reflejan una
situación concreta en un conjunto de relaciones lógicas utilizando la simbología matemática.
Planteamiento verbal
Representa, un conjunto de acciones (expresadas con verbos en infinitivo) para constituir las
variables de decisión, la función objetivo y el conjunto de restricciones. Se apoyan en la redacción
de un conjunto de preguntas. En tal sentido, se pueden identificar características claves para cada
elemento del modelo.
Variable
Restricción Limitación
Objetivo Problema
Elaboración matemática
Consiste en convertir el planteamiento verbal en una representación matemática, utilizando
la simbología y relaciones pertinentes, que permitan posteriormente el cálculo y procesamiento
para dar solución al modelo elaborado. Para cumplir con este proceso será necesario adecuar el
problema a una serie de principios para darle funcionalidad y racionalidad al planteamiento
general.
De esta manera, se deben respetar los principios básicos relacionados con la estructura del
modelo, los cuales gráficamente se pueden presentar de la siguiente manera:
En relación a las variables de decisión deberán estar claramente expresados los siguientes
elementos: definición conceptual de la variable y definición dimensional de la misma:
Identificar
Variables de decisión
Identificar
Función Objetivo
Identificar
Restricciones
Preguntas
Preguntas
¿Qué elementos afectan las ganancias o costos?.
¿Qué decisión se debe tomar?
¿Qué elementos se controlan?
¿Cuál es el objetivo del problema?
¿Qué factores limitan la decisión a tomar?
I
II
III
Modelo Matemático
Principios para
Variables de decisión
Restricciones Función Objetivo
Definición Conceptual
Unicidad de origen
Unicidad de Destino
Unicidad Técnica
Unicidad Económica
La definición conceptual se refiere a la acción concreta que se va a ejecutar con resultados
concretos en productos tangibles en el tiempo.
XT = número de tornillos a fabricar
Nc = número de cestas a elaborar mensualmente.
Principio de unicidad de origen
Este principio expresa que un producto se considera único si posee un solo origen y estará
representado en una sola variable de decisión. Cuando existe más de una máquina que elabora el
mismo producto, se hace necesario declarar las variables de decisión, considerando cada origen.
Xa1 = Cantidad de producto “A” elaborado en la máquina 1.
Xa2 = Cantidad del producto “A” elaborado en la máquina 2.
Xan = Cantidad del producto “A” elaborado en la máquina n.
Unicidad de destino.
Este principio plantea la necesidad de declarar cada producto si existen diferentes destinos
cuando el origen sea el mismo.
Ejemplo:
Xa1 = Cantidad de producto “A” que se envía al mercado 1.
Xa2 = Cantidad del producto “A” que se envía al mercado 2.
Xan = Cantidad del producto “A” que se envía al mercado n.
Principio de unicidad de coeficientes tecnológicos.
Permite la posibilidad de asignar diferentes coeficientes tecnológicos a cada producto,
considerando que puede existir más de una forma de fabricar un producto (manualmente o
mecánicamente) y además la combinación de factores (capital y trabajo) se presente en
combinaciones distintas para el mismo producto.
Unicidad de coeficientes económicos.
Este principio se establece para tomar en cuenta que el fabricante puede producir para
mercados distintos sean nacionales o extranjeros, e introducir una diferenciación de precios que
permite de esta manera la pertinencia de tratar a los dos productos como si fueran diferentes a
efectos de la programación lineal.
Definición dimensional de la variable.
La variable de decisión queda totalmente explicitada cuando se establece de forma
adecuada la unidad física de medida del producto (UFMP) y la unidad de tiempo del proceso o
plan de producción (UTP).
Unidad física de medida del producto.
Con esto se pretende especificar a través de las características del producto, la unidad de
medida de la variable de decisión.
Ejemplo:
Tipo de producto
Líquido(Volumen)
Unidad deMedida
LitrosGalonesCCBarrilesetc
Tipo de producto
Sólido (Pesado)
Unidad deMedida
KilogramosGramosToneladasQuintalesOnzasLibras
Tipo de producto
Sólido (Conteo)
Unidad de medidaDocena
Tipo de producto
Sólido (Extensión)
Unidad de medida
CentímetroMetro
XM = Quintales de maíz a producir semanalmente
XP = Docena de peines a elaborar mensualmente
XM = Metros de manguera a fabricar mensualmente
Unidad de tiempo.
Es otro componente de la definición dimensional que permite especificar la amplitud
temporal del plan de producción. La unidad de tiempo queda expresada cuando se asocia la
dimensión del producto y el tiempo empleado en elaborarlo.
Ejemplo:
XT = 200 unidades de tornillo/hora
XM = 200 docenas de medias / día
El plan de producción aparece determinado por el tiempo (horas y días).
Identificación de las restricciones.
En la elaboración del conjunto de restricciones es necesario revisar una serie de aspectos:
1. Tipo de restricción.
2. Determinar de forma precisa el valor de la disponibilidad del recurso para plantear el uso
del mismo.
3. Utilizar coeficientes de conversión adecuados para presentar el mismo tipo de unidad de
medida en ambos lados de la restricción.
4. Respetar las condiciones lógicas individuales. Ejemplo:
Xp = cantidad de kilogramos de pan / día
Xp 0 (No debe ser negativo).
4. Apoyarse en palabras claves para elaborar las restricciones.
Tipo de restricción
Requerimiento Limitación Equilibrio
5. Ejemplo:
Elaboración de la Función Objetivo.
Consiste en expresar el propósito hacia el cual se dirigen los mayores esfuerzos de la empresa, su
expresión se convierte en una expresión matemática, donde se consideran: las variables de
decisión con sus coeficientes y parámetros. La función objetivo se plantea en término de sumas,
diferencias y productos que permiten relacionar las variables independientes (ubicadas en el lado
derecho de la función), con la variables dependiente colocada en el lado izquierdo que representa
en esencia el objetivo propuesto
Restricciones de requerimiento
Palabras claves
Cuando menosAl menos
Por lo menosMínimo
etc
Condición lógica
Restricciones de limitación
Palabras claves
Cuando muchoCuando másNo más de
HastaMáximo
Disponibilidad etc
Condición lógica
Restricciones de equilibrio
Palabras claves
Total de ingresosIgual a
Total de costos
Condición lógica
Total de recursos disponibles
IgualTotal recursos
utilizados
PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL
Problema N° 1
Supongamos que se cuenta con dos alimentos: pan y queso Cada uno de ellos contiene calorías y proteínas en diversas proporciones. Un kilogramo de pan contiene 2.000 calorías y 50 gramos de proteínas. Un kilogramo de queso contiene 4.000 calorías y 200 gramos de proteínas. Una dieta normal requiere cuando menos 6.000 calorías y 200 gramos de proteínas diariamente. Si un kilogramo de pan cuesta 4 bolívares y un kilogramode queso 20 bolívares. Qué cantidad de pan y queso se deben comprar para satisfacer los requisitos de la dieta normal, gastando la menor cantidad de dinero? Formule el modelo de programación lineal.
1.-Planteamiento verbal
a) ¿Cuál es el objetivo?Minimizar los costos de compra
b) ¿Qué decisión se debe tomar?Determinar la cantidad de kilogramos de pan y de queso que se deben comprar diariamente
c) ¿Qué factores limitan la decisión?Los requerimientos de calorías diariamente (6000 calorías)Los requerimientos de proteínas diariamente (200 gramos)
2.- Elaboración matemática
a) Definición de las variables de decisión
PA: cantidad de pan a comprar (kilogramos) diariamente
Definición conceptual: producto a comprar (pan)Unidad de medida del producto: kilogramoUnidad de tiempo del proceso: diariamente
PB: cantidad de queso a comprar (kilogramos) diariamente
Definición conceptual: producto a comprar (queso)Unidad de medida del producto: kilogramoUnidad de tiempo del proceso: diariamente
b) Elaboración del sistema de restricciones
2.000 P + 4.000 Q ≥ 6.000 ( calorías requeridas por día)
50 P + 200 Q ≥ 200 (gramos de proteínas requeridos por día)
c) Elaboración de la función objetivo
Gastos = 4 P + 20 Q
Modelo de programación lineal
(MIN) Z = 4 X1 + 20 X2
sujeto a
2.000 X1 + 4.000 X2 ≥ 6.000 (calorías requeridas)
50 X1 + 200 X2 ≥ 200 (proteínas requeridas)
X1 ; X2 ≥ 0
Problema N° 2
Dos productos son manufacturados en tres máquinas. Un kilogramo de cada producto requiere un número específico de horas en cada máquina diariamente, como se expresa en la tabla Nº 1 El total de horas disponibles diariamente, son respectivamente 10, 12 y 16 horas para las máquinas 1,2 y 3. La utilidad por kilogramo vendido es de 1.4 y 1.5 bolívares para los productos A y B. Formule el modelo de programación lineal. Tabla Nº1
HORAS MAQUINA. UTILIDAD
MáquinaProducto (horas/kg)
Disponibilidad (horas)A B
1 3 2 10
2 1 4 12
3 5 3 16
Utilidad (Bs/kg) 1.4 1.5
.-Planteamiento verbal
a) ¿Cuál es el objetivo?
Maximizar la utilidad por productos vendidos a) ¿Qué decisión se debe tomar?
Determinar la cantidad de kilogramos del producto A del producto B que se venderán diariamente
b) ¿Qué factores limitan la decisión?
La disponibilidad de tiempo (horas máquina) en cada máquina
2.- Elaboración matemática
Definición de las variables de decisión
PA: cantidad a elaborar del producto A (kilogramos) diariamente
Definición conceptual: producto a elaborar (PA)
Unidad de medida del producto: kilogramoUnidad de tiempo del proceso: diariamente
PB: cantidad a elaborar del producto B (kilogramos) diariamente
Definición conceptual: producto a elaborar (PB)Unidad de medida del producto: kilogramosUnidad de tiempo del proceso: diariamente
d) Elaboración del sistema de restricciones
3PA + 2PB ≤ 10 (Horas disponibles en la maquina 1)
PA + 4PB ≤ 12 (Horas disponibles en la máquina 2)
5PA + 3PB ≤ 16 (Horas disponibles en la máquina 3)
e) Elaboración de la función objetivo
Utilidad = 1.4PA + 1.5PB
Modelo de programación lineal
(MAX) Z = 1.4X1 + 1.5X2
sujeto a
3X1 + 2X2 ≤ 10 (Horas disponibles en la maquina 1)
X1 + 4X2 ≤ 12 (Horas disponibles en la máquina 2)
5X1 + 3X2 ≤ 16 (Horas disponibles en la máquina 3)
X1 ; X2 ≥ 0
Problema N° 3
Una empresa distribuye automóviles y lanchas La utilidad aportada por la venta de cada automóvil es de 20.000 de bolívares y por cada lancha 25.000 de bolívares. La compañía fabricante sólo puede proveer no más de 20 automóviles y no más de 3 lanchas al mes. La empresa utiliza 2 horas para la preparación de un automóvil y 3 horas para una lancha La empresa cuenta con 900 horas disponibles para acondicionar automóviles y lanchas nuevas. Formule el modelo de programación lineal.
.-Planteamiento verbal
a) ¿Cuál es el objetivo?
Maximizar la utilidad por productos vendidos c) ¿Qué decisión se debe tomar?
Determinar el número de automóviles y lanchas a vender mensualmente.
d) ¿Qué factores limitan la decisión?
Los disponibilidad de tiempo (horas) para acondicionar automóviles y lanchas.El suministro de automóviles y lanchas por la empresa fabricante
2.- Elaboración matemática
Definición de las variables de decisión
A: cantidad a vender de automóviles (unidades) mensualmente.
Definición conceptual: producto a vender automóviles “A”
Unidad de medida del producto: UnidadesUnidad de tiempo del proceso: mensualmente.
L: cantidad a vender de lanchas L (Unidades) mensualmente.
Definición conceptual: producto a vender (lanchas) “L”Unidad de medida del producto: UnidadesUnidad de tiempo del proceso: mensualmente
f) Elaboración del sistema de restricciones
2A + 3L ≤ 900 (Horas disponibles para acondicionamiento)
A ≤ 20 (número de automóviles a vender)
L ≤ 3 (número de lanchas a vender)
g) Elaboración de la función objetivo
Utilidad = 20.000A + 25.000L
Modelo de programación lineal
(MAX) Z = 20.000X1+ 25.000X2
sujeto a 2X1 + 3X2 ≤ 900.000 (horas para acondicionamiento)
X1 ≤ 20 (Oferta de automóviles al mes)
X2 ≤ 3 (Oferta de lanchas al mes)
X1 ; X2 ≥ 0
Problema N° 4
Una empresa fabrica tres líneas de raquetas de tenis A, B y C. La raqueta A es estándar. B y C son raquetas Profesionales. El proceso de manufactura de las raquetas hace que se requieran dos operaciones de producción. Todas las raquetas pasan a través de ambas operaciones. Cada raqueta requiere 3 horas en operación 1. En la operación 2, la raqueta A requiere 2 horas, la raqueta B 4 horas y la C, 5 horas. La operación N°1 tiene disponibles 50 horas semanal de mano de obra y la operación N°2, 80 horas. El departamento de mercadeo estima que la demanda de la raqueta estándar no será mayor que 25 por semana. Debido a que las raquetas B y C son de calidad similar, se ha pronosticado que la demanda combinada (suma) de ambas será en total de 10 o más, pero no más de 30 por semana. La venta de la raqueta A aporta una utilidad de 145 bolívares, en tanto que las raquetas B y C reportan 160 y 190 bolívares respectivamente. Formule el modelo de programación lineal.
Problema N° 5
Un fabricante elabora dos tipos de filtros para aire acondicionado: A y B. En la tabla Nº 2 aparece la información correspondiente a los precios de venta y los costos respectivos. La empresa ya tiene contratada la producción de 500 filtros de modelo tipo A y quiere calcular el punto de equilibrio para ambos modelos. Formule un modelo de programación lineal que minimice los costos.
Tabla Nº 2PRECIOS DE VENTA Y COSTOS
ProductoPreciode venta(por unidad)
Costo Variable(por unidad)
Costo Fijo
A 10 6 15B 12 7 24
Problema N° 6
En una planta se pueden fabricar cuatro productos diferentes (A, B, C y D) en cualquier combinación. El tiempo que cada producto requiere en cada una de las cuatro máquinas se
muestra en la tabla Nº 3. Cada máquina está disponible 80 horas a la semana. Los productos A, B, C y D se pueden vender a 80, 60, 50 y 40 bolívares por kilogramo respectivamente. Los costos variables de trabajos son de 30 bolívares por hora para las máquinas 1 y 2; y de 10 bolívares por hora para las máquinas 3 y 4. El costo de material para cada kilogramo del producto A es de 30 bolívares. El costo de material por cada kilogramo de los productos B, C y D es de 10 bolívares. Formule el modelo de programación lineal
Tabla Nº 3
TIEMPO DE MÁQUINA (minutos / Kg de producto) Demanda
ProductoMÁQUINAS
Demanda Máxima1 2 3 4
A 10 5 3 6 100B 6 3 8 4 400C 5 4 3 3 500D 2 4 2 1 150
Problema N° 7
Un taller elabora dos tipos de productos utilizando madera. Cada producto Tipo A requiere 4 horas de torno y 2 horas de pulido. Cada unidad del producto B requiere 2 horas de torno y 5 horas de pulido. El taller tiene disponibles 2 tornos y 3 pulidoras, que se utilizan 40 horas semanales cada uno. La ganancia que se obtiene por la venta de cada unidad del producto A es 26 bolívares y 28 bolívares por unidad del producto B. Formule un modelo de programación lineal para maximizar la utilidad total.
Problema N° 8
En una carpintería se fabrican mesas y sillas. Para preparar una mesa se utilizan 2 horas de ensamble y 30 minutos para una silla. El ensamblaje lo realizan 4 trabajadores sobre la base de un solo turno diario de 8 horas. Los compradores suelen adquirir cuando menos 4 sillas por cada mesa, lo que obliga a la empresa a producir 4 veces mas sillas que mesas El precio de venta de cada mesa es de 700 bolívares y para cada silla es precio es de 200 bolívares. Formule el modelo de programación lineal para maximizar el ingreso total.
Problema N° 9
Una empresa elabora 2 tipos de juguetes con madera: soldados y trenes. Cada soldado se vende a 25 bolívares y cada tren a 24 bolívares. Los costos de fabricación de un soldado son: de 4 bolívares en materia prima y 3 de mano de obra. En cada tren se aplican 2.5 bolívares de materia prima y 1.8 de mano de obra La producción de soldados y trenes demanda el uso de dos tipos de trabajo: carpintería y acabado. Un soldado requiere 2 horas de acabado y una hora de carpintería por semana. Un tren requiere una hora de acabado y una hora de carpintería. No hay limitación en el uso de la materia prima. La disponibilidad de tiempo para acabado es de 100 horas y para carpintería 80 horas. La demanda de trenes no está limitada, pero la de soldados es de 40 unidades por semana. Formule el modelo de programación lineal que permita maximizar el beneficio de la empresa.
Problema N° 10
Una fábrica produce dos tipos de gabinetes de cocina: tipo económico y tipo lujoso, en tres departamentos productivos: A, B y C. En el departamento A se elaboran las armaduras de madera de tipo económico, en B se fabrican las armaduras de tipo lujoso y en C se ensamblan y se pintan los dos tipos de gabinetes. El tiempo de producción para cada unidad en cada departamento, así como la utilidad neta en ventas de los gabinetes se muestra en la tabla Nº 4.
Tabla Nº 4
ProductosDEPARTAMENTOS (horas/unidad) Utilidad
(Bs/unidad)A B CEconómico 2 0 6 1.500Lujoso 0 4 4 2.500Disponibilidad (hrs) 80 100 600
Formule el modelo de programación lineal que maximice las utilidades.
Problema N° 11
Una empresa manufacturera elabora dos productos. Los requerimientos de mano de obra por cada hora de procesamiento del producto en los departamentos de producción, se muestra a continuación: (Tabla Nº 5)
Tabla Nº 5 Departamentos Producto A Producto B1 1.5 3.02 2.8 1.63 0.7 0.5
Se estima que las utilidades que aportará la venta de los productos será de: 20 bolívares por cada unidad del tipo A y 30 bolívares por unidad del tipo B. La disponibilidad de tiempo para una semana de producción en cada departamento es de: 500 horas en el departamento 1, 600 horas en el departamento 2 y 300 horas en el departamento 3. Se pronostica que la demanda del producto B duplicará a la del producto A. Además, se tiene una solicitud de un cliente importante para fabricar 50 unidades del producto A. Formule el modelo de programación lineal.
Problema N° 12
Una empresa fabrica dos artículos: el tipo A y e] tipo B. El programa de producción se realiza semanalmente. Para la elaboración de los productos se tiene la siguiente disponibilidad de recursos: para mano de obra, 2.500 bolívares, para materia prima 3.500 bolívares y en desgaste de maquinaria 1.800 bolívares. En cada unidad del producto A se utilizan: 0.15 bolívares en mano
de obra 0.1 bolívares en materia prima y 0.2 para desgaste de maquinaría Cada unidad del producto B requiere: 0.13 bolívares en mano de obra 0.8 bolívares en materia prima y 0.15 bolívares para desgaste de maquinaria. La utilidad aportada por la venta de una unidad del producto A es de 5 bolívares y 3 bolívares por unidad del producto B. Formule el modelo de programación lineal que maximice la utilidad.
Problema Nº 13
Una empresa fabrica dos modelos de guantes de béisbol: guante normal y guante para cátcher. La empresa tiene disponibles 900 horas para producción semanales en el departamento de corte y costura, 300 horas en el departamento de terminados y 100 horas para empaque y embarque. Los requerimientos unitarios de producción y las contribuciones a la utilidad por cada producto aparecen en la tabla Nº 6.
Tabla Nº 6:
Modelo Tiempo de Producción (hrs)
Utilidad (Bs.)Cortey costura Terminado
Empaque y embarque
Guante normal 1 1/2 1/8 20Guante Catcher 3/2 1/3 1/4 25
El mercado limita la demanda del guante normal a 750 unidades semanales. Formule el modelo de programación lineal que maximice las utilidades.
Problema Nº 14
Una perrera que ofrece el alojamiento para mascotas, prepara comida para animales que consiste en mezclar dos alimentos de marca conocida, con la finalidad de obtener una dieta balanceada. La información dietética de cada una de las comidas aparece en la tabla Nº 7. :Tabla Nº 7
Comidapara perros
INGREDIENTESProteínas (%) Grasas (%) Costo onza
Bark Bits 30 15 3Canine Chow 45 30 4
Los perros deben recibir por lo menos 5 onzas de proteínas y un mínimo de 3 onzas de grasas. Formule el modelo de programación lineal.
15.- Una campaña para promocionar una marca de productos lácteos se basa en el reparto gratuito de yogures con sabor a limón o a fresa. Se decide repartir al menos 3000 yogures.Cada yogur de limón necesita para su elaboración 0.5 gramos de un producto de fermentación y cada yogur de fresa necesita 0.2 gramos de este mismo producto. Se dispone de 9 kilogramos de este producto para fermentación. El coste de producción de un yogur de limón es de 4 bolívares y 5 bolívares uno de fresa. Formule el modelo de programación lineal que minimice el costo de
producción.
16.- En una granja se preparan dos clases de piensos, P y Q, mezclando dos productos A y B. Un saco de P contiene 8 kg de A y 2 de B, y un saco de Q contiene 10 kg de A y 5 de B. Cada saco de P se vende a 300 ptas. y cada saco de Q a 800 ptas. Si en la granja hay almacenados 80 kg de A y 25 de B, ¿cuántos sacos de cada tipo de pienso deben preparar para obtener los máximos ingresos?
17.-El granjero López tiene 480 hectáreas en las que se puede sembrar trigo y maíz. El calcula que tiene 800 horas de trabajo disponibles durante la estación crucial del verano. Dados márgenes de utilidad y los requerimientos laborales mostrados a la derecha, ¿Cuántas hectáreas de cada uno debe plantar para maximizar su utilidad? ¿Cuál es ésta utilidad máxima?
Maiz:
Utilidad: $40 por hrs. Trabajo: 2hs por hrs. Trigo:
Utilidad: $30 por hrs. Trabajo: 1hs por hrs.
18.-Un nutricionista asesora a un individuo que sufre una deficiencia de hierro y vitamina B, y le indica que debe ingerir al menos 1100 mg de hierro 2100 mg de vitamina B-1 (tiamina) y 1500 mg de vitamina B-2 (riboflavina) durante cierto período de tiempo. Existen dos píldoras de vitaminas disponibles, la marca A y la marca B. Cada píldora de la marca A contiene 20 mg de hierro, 10 mg de vitamina B-1, 5 mg de vitamina B-2 y cuesta 6 centavos. Cada píldora de la marca B contiene 10 mg de hierro, 15 mg de vitamina B-1 y de vitamina B-2, y cuesta 8 centavos áles combinaciones de píldoras debe comprar el paciente para cubrir sus requerimientos de hierro y vitamina al menor costo?
19.-Un comerciante dispone de 50m2 de piel de armiño, 60 m2 de piel de zorro y 80m2 de cuero. Fabrica dos tipos de abrigos: A y B. Para los abrigos de tipo A usa 1 m2 de piel de armiño, ,2m2 de piel de zorro y 3m2 de cuero. Para los abrigos de tipo B usa 3m2 de piel de armiño, 2m2 de piel de zorro y 2m2 de cuero. Los abrigos de tipo A los vende a 800$ y los de tipo B a 900$. ¿Cuántos abrigos tiene que fabricar de cada tipo para obtener unos ingresos máximos? Formule el modelo de programación lineal
20.- Un orfebre fabrica dos tipos de joyas. Las de tipo A precisan 1 gramo de oro y 1,5 gramos de plata, vendiéndolas a 40 $ cada una. Para la fabricación de las del tipo B emplea 1,5 gramos de oro y 1 gramo de plata y las vende a 50 $. El orfebre tiene sólo en el taller 750 gramos de oro y 750 gramos de plata. ¿Cuántas joyas ha de fabricar de cada clase para obtener un ingreso máximo? Formule el modelo de programación lineal
21.-. Un estudiante dedica parte de su tiempo al reparto de propaganda publicitaria. La empresa A le paga 5 pesos por cada impreso repartido y la empresa B, con folletos más grandes, le paga 7 pesos por impreso. El estudiante lleva dos bolsas: una para los impresos A, en la que caben 120,
y otra para los impresos B, en la que caben 100. Ha calculado que cada día es capaz de repartir 150 impresos como máximo. Lo que se pregunta el estudiante es: ¿cuántos impresos habrá que repartir de cada clase para que su beneficio diario sea máximo? Formule el modelo de programación lineal.
22.- Un comerciante acude a cierto mercado a comprar naranjas con 50.000 pesos. Le ofrecen dos tipos de naranjas: las de tipo A a 50 pesos el kg. y las de tipo B a 80 pesos el kg. Sabiendo que sólo dispone en su furgoneta de espacio para transportar 700 kg. de naranjas como máximo y que piensa vender el kg. de naranjas tipo A a 58 pesos y el kg. de tipo B a 90 pesos, contestar justificando las respuestas:
a. ¿Cuántos kg. de naranjas de cada tipo deberá comprar para obtener máximo beneficio? b. ¿Cuál será ese beneficio máximo? Formule el modelo de programación lineal.
23.- Un sastre tiene 80 m2 de tela de algodón y 120 m2 de tela de lana. Un traje requiere 1 m2 de algodón y 3 m2 de lana, y un vestido de mujer requiere 2 m2 de cada una de las dos telas. Calcular el número de trajes y vestidos que debe confeccionar el sastre para maximizar los beneficios si un traje y un vestido se venden 200 bolívares cada uno.
24.- Una fábrica de carrocerías de automóviles y camiones tiene 2 naves. En la nave A, para hacer la carrocería de un camión, se invierten 7 días-operario, y para fabricar la de un coche se precisan 2 días-operario. En la nave B se invierten 3 días-operario tanto en carrocerías de camión como de coche. Por limitaciones de mano de obra y maquinaria, la nave A dispone de 300 días-operario, y la nave B de 270 días-operario. Si los beneficios que se obtienen por cada camión son de 100 millones de bolívares y de 30 millones por cada coche. ¿Cuántas unidades de cada clase se deben producir para maximizar las ganancias? Formule el modelo de programación lineal
25.-Un pastelero dispone de 1500 kg de harina, 220 kg de azúcar 275 kg de mantequilla para hacer dos tipos de pasteles: Pastel Pin y Pastel Pon). Para elaborar una docena de pasteles Pin requiere 3 kg de harina, 1 kg de azúcar y 1 kg de mantequilla y para elaborar una docena de pasteles Pon necesita 6 kg de harina, 0.5 kg de azúcar y 1 kg de mantequilla. El beneficio obtenido al vender una docena de pasteles Pin es de 12 bolívares de 15 bolívares por una docena de pasteles Pon. Formular un modelo de programación lineal que permita obtener el beneficio máximo.
26.- Una empresa elabora dos tipos de cables para instalaciones. Tiene una disponibilidad de 1950 kg de cobre, 200 kg de titanio 140 kg de aluminio. Para fabricar 100 metros de cable tipo A se necesitan 10 kg de cobre, 2 kg de titanio y 1 kg de aluminio. Para fabricar 100 metros de cable tipo B se requieren 15 kg de cobre, 1 kg de titanio y 1kg de aluminio. El beneficio en venta por cada 100 metros de cable tipo A es 20 bolívares y por cada 100 kg de cable tipo B es de 15 bolívares.. Formular el modelo de programación lineal para maximizar el beneficio total.
27.- Un supermercado dispone para vender un máximo de 200 quesos y 100 botellas de vino. Para ello lanza dos promociones, en la primera se vende un lote con un queso y una botella de vino por 60 bolívares. En la segunda se ofrece un lote formado por tres quesos y una botella de vino por 100 bolívares. La promoción tiene un límite de 65 lotes del primer tipo y 80 del segundo tipo. Formular un modelo de programación lineal qie permita maximizar los ingresos. Cuantos lotes de cada tipo deben venderse?
28.- Una cafetería recibe 700 kilogramos de café natural y 800 kilogramos de café torrefacto. Envasa paquetes de un kilogramo con dos tipos de mezclas. El paquete tipo A contiene medio kilogramo de café natural y medio kilogramo de café torrefacto y el paquete tipo B contiene un cuarte de kilogramo de café natural y y tres cuartos de kilogramo de café torrefacto. La ganancia que se obtiene por cada kilogramo de la mezcla tipo A es de 10 bolívares y por cada kilogramo de la mezcla tipo B 20 bolívares. Formular el modelo de programación lineal que permita maximizar las ganancias y calcule cuantos paquetes se deben vender de cada mezcla?
29.-Un agricultor quiere vender 400 kilogramos de garbanzos, 300 kilogramos de lenteja y 250 kilogramos de caraotas. Decide prepara dos tipos de paquetes. Los del tipo A contienen 2 kilogramos de garbanzos, 2 kilogramos de lentejas y 1 kilogramo de caraotas.. El paquete B contiene 3 kilogramos de garbanzos, 1 kilogramo de lentejas y 2 kilogramos de caraotas.. El precio de venta del paquete tipo A es de 25 bolívares y el paquete tipo B se vende a 30 bolívares. Formular el modelo de programación lineal qoe permita maximizar los ingresos.
30.- Una escuela prepara una excursión para 400 alumnos. La empresa dispone de 8 buses de 40 asientos y 10 buses de 50 asientos. Pero solo puede utilizar 9 choferes. El alquiler de un bus grande cuesta 200 bolívares y el de uno pequeño 150 bolívares. Formular un modelo de programación lineal para minimizar el gasto ´total.
PROCESAMIENTO EJERCICIO Nº 1
Método:
¿Cuantas variables de decisión tiene el problema?
¿Cuantas restricciones?
¿Cual es el objetivo de la función?
Funcion: 4 X1 + 20 X2
Restricciones:
X1 + X2
X1 + X2
Pasamos el problema a la forma estándar, añadiendo variables de exceso, holgura, y artificiales según corresponda.
MINIMIZAR: 4 X1 + 20 X2MAZIMIXAR: -4 X1 -20 X2 + 0 X3 + 0 X4 + 0 X5 + 0 X6
2000 X1 + 4000 X2 ≥ 600050 X1 + 200 X2 ≥ 200
2000 X1 + 4000 X2 -1 X3 + 1 X5 = 600050 X1 + 2000 X2 -1 X4 + 1 X6 = 200
X1, X2 ≥ 0 X1, X2, X3, X4, X5, X6 ≥ 0
Pasamos a construir la primera tabla de la Fase I del método de las Dos Fases.
Continuar
Solución Directa
Existe alguna solución posible para el problema, por lo que podemos pasar a la Fase II para calcularla.
La solución óptima es Z = 16X1 = 4X2 = 0
MODELOS FORMULADOS
EJERCICIO Nº 1
(MAX) Z = 4X1 + 20X2
s.a 2000X1 + 4000X1 ≥ 6000 50X1 + 200X2 ≥ 200 X1 ; X2 ≥ 0
EJERCICIO Nº 2
(MAX) Z = 1.4X1 + 1.5X2
s.a
3X1 + 2X2 ≤ 10
X1 + 4X2 ≤ 12
5X1 + 3X2 ≤ 16
X1 ; X2 ≥ 0
EJERCICIO N º 3
(MAX) Z = 20000X1 + 25000X2
s.a
2X1 + 3X2 ≤ 900000
X1 ≥ 20
X2 ≥ 3
X1 ; X2 ≥ 0
EJERCICIO Nº 4
(MAX) Z = 145X1 + 160X2 + 190X3
s.a
3X1 + 3X2 + 3X3 ≤ 50
2X1 + 4X2 + 5X3 ≤ 80
X1 ≤ 25
X2 + X3 ≥ 10
X2 + X3 ≤ 30
X1 ; X2 ; X3 ≥ 0
EJERCICIO Nº 7.
(MAX) Z = 26 X1 + 28 X2
s.a 4X1 + 2 X2 ≤ 80 2X1 + 5 X2 ≤ 120 X1 ; X2 ; ≥ 0
EJERCICIO Nº 8.
(MAX) Z = 700 X1 + 200 X2 s.a 2X1 + 0.5 X2 ≤ 32 -4X1 + X2 ≥ 0 X1 ; X2 ≥ 0
EJERCICIO Nº 9.
(MAX) Z = 18X1 + 19.7X2
s.a 2X1 + 1X2 ≤ 100 1X1 + 1X2 ≤ 80 X1 + 0X2 ≤ 40 X1 ; X2 ≥ 0
EJERCICIO Nº 10.
(MAX) Z = 1500 X1 + 2500 X2
s.a 2 X1 + 0 X2 ≤ 80 0 X1 + 4 X2 ≤ 100 6 X1 + 4 X2 ≤ 600 X1 ; X2 ≥ 0
EJERCICIO Nº 11.
(MAX) Z = 20 X1 + 30 X2
s.a 1.5X1 + 3.0 X2 ≤ 500 2.8X1 + 1.6X2 ≤ 600 0.7X1 + 0.5X2 ≤ 300 -2X1 + X2 ≥ 0 X1 + 0X2 ≥ 50 X1 ; X2 ≥ 0
EJERCICIO Nº 12.
(MAX) Z = 5 X1 + 3X2
s.a 0.15 X1 + 0.13 X2 ≤ 2500 0.10X1 + 0.80 X2 ≤ 3500 0. 20X1 + 0.15 X2 ≤ 1800 X1 ; X2 ≥ 0
EJERCICIO Nº 13.
(MAX) Z = 20 X1 + 25 X2
s.a X2 ≤ 900 1/2X1 + 1/3X2 ≤ 300 1/8X1 + 1/4 X2 ≤ 100 X1 + 0X2 ≤ 750 X1 ; X2 ≥ 0
EJERCICIO Nº 14.
(MIN) Z = 3X1 + 4 X2
s.a 0.3X1 + 0.45X2 ≥ 5 0.15X1 + 0.30X2 ≥ 3 X1 ; X2 ≥ 0
EJERCICIO Nº 15.
(MIN) Z = 400X1 + 500 X2 s.a X1 + X2 ≥ 3000 0.5X1 + 0.2X2 ≤ 9000 X1 ; X2 ≥ 0
EJERCICIO Nº 16.
(MAX) Z = 300X1 + 800 X2
s.a 8 X1 + 10X2 ≤ 80 2 X1 + 5X2 ≤ 25 X1 ; X2 ≥ 0
EJERCICIO Nº 17.(MAX) Z = 40X1 + 30X2
s.a X1 + X2 ≤ 480 2X1 + 1X2 ≤ 800 X1 ; X2 ≥ 0
EJERCICIO Nº 18.
(MIN) Z = 0.06X1 + 0.08X2 s.a 20 X1 + 10 X2 ≥ 1100 10 X1 + 15X2 ≥ 2100 5 X1 + 15X2 ≥ 1500 X1 ; X2 ≥ 0
EJERCICIO Nº 19.
(MAX) Z = 800X1 + 900 X2
s.a 1X1 + 3X2 ≤ 50 2X1 + 2X2 ≤ 60 2X1 + 2X2 ≤ 80 X1 ; X2 ≥ 0
EJERCICIO Nº 20.
(MAX) Z = 40X1 + 50X2
s.a 1X1 + 1.5X2 ≤ 750 1.5X1 + 1X2 ≤ 750 X1 ; X2 ≥ 0
EJERCICIO Nº 21.
(MAX) Z = 5X1 + 7X2
s.a X1 + 0X2 ≤ 120 0X1 + X2 ≤ 100 X1 + X2 ≤ 150 X1 ; X2 ≥ 0
EJERCICIO Nº 22.(MAX) Z = 8X1 + 10X2
s.a X1 + X2 ≤ 700 50X1 + 80X2 ≤ 50000 X1 ; X2 ≥ 0 EJERCICIO Nº 23.
(MAX) Z = 200 X1 + 200X2
s.a 1X1 + 2 X2 ≤ 80 3X1 + 2X2 ≤ 120 X1 ; X2 ≥ 0
EJERCICIO Nº 24.
(MAX) Z = 100000 X1 + 30000X2
s.a 7X1 + 2X2 ≤ 300 3X1 + 3X2 ≤ 270 X1 ; X2 ≥ 0
EJERCICIO Nº 25.
(MAX) Z = 12 X1 + 15X2
s.a 3X1 + 6X2 ≤ 1500 1X1 + 0.5X2 ≤ 220 1X1 + 1X2 ≤ 275 X1 ; X2 ≥ 0
EJERCICIO Nº 26.
(MAX) Z = 20 X1 + 15X2
s.a 10X1 + 15X2 ≤ 1500 2X1 + 1X2 ≤ 200 1X1 + 1X2 ≤ 140 X1 ; X2 ≥ 0
EJERCICIO Nº 27.
(MAX) Z = 60X1 + 100X2
s.a 1X1 + 3X2 ≤ 200 1X1 + 1X2 ≤ 100 1X1 + 0X2 ≤ 65 0X1 + 1X2 ≤ 80 X1 ; X2 ≥ 0
EJERCICIO Nº 28.
(MAX) Z = 10X1 + 20X2
s.a 1/2X1 + 1/4X2 ≤ 700 1/2X1 + 3/4X2 ≤ 800 X1 ; X2 ≥ 0
EJERCICIO Nº 29.
(MAX) Z = 25X1 + 30X2
s.a 2X1 + 3X2 ≤ 400 2X1 + 1X2 ≤ 300 1X1 + 2X2 ≤ 250 X1 ; X2 ≥ 0
EJERCICIO Nº 30.
(MIN) Z = 200X1 + 150X2
s.a X1 + X2 ≤ 9 50X1 + 40X2 ≤ 400 X1 ≤ 10 X2 ≤ 8 X1 ; X2 ≥ 0
Resolver aplicando el método gráfico:
a) Grafique rectasb) Grafique restriccionesc) Identifique el área de solución factibled) Determine el punto óptimoe) Calcule la solución óptima
1) (MAX) Z = 4 X1 + X2
s.a. 5 X1 + X2 ≤ 15 3 X1 + 3 X2 ≤ 12 X1 + X2 ≤ 5
X1, X2 ≥ 0
2) (MAX) Z = 3 X1 + 2 X2
s.a. X1 + X2 ≤ 4 3 X1 + 2 X2 ≤ 12 X1 + 0,5 X2 ≤ 3
X1, X2 ≥ 0
3) (MAX) Z = -4 X1 + 8 X2
s.a. 6 X1 - 2 X2 ≤ 3 -2 X1 + 3 X2 ≤ 6 2 X1 + 3 X2 ≤ 24
X1, X2 ≥ 0
4) (MIN) Z = 5 X1 + 2 X2
s.a. 3 X1 - 6 X2 ≤ 18 5 X1 + 4 X2 ≤ 20 8 X1 + 2 X2 ≥ 16
X1, X2 ≥ 0
5) (MIN) Z = 3 X1 + 5 X2
s.a. - 3 X1 + 3 X2 ≤ 6 X1 + X2 ≤ 4 - 3 X1 + 8 X2 ≥ 8
X1, X2 ≥ 0
6) (MAX) Z = 4X1 + 3X2
s.a. 6 X1 - 5 X2 ≤ 30 3 X1 + 2 X2 ≤ 9 X1 + X2 ≥ 4
X1, X2 ≥ 0
7) (MIN) Z = 3 X1 + 7 X2
s.a. X1 + X2 ≥ 4 10 X1 + 2 X2 ≤ 10 2 X1 + X2 ≥ 2
X1, X2 ≥ 0
8) (MIN) Z = 20 X1 + 4X2
s.a. 5 X1 - 4 X2 ≤ 14 X1 - 4X2 ≤ -2 2 X1 + X2 ≤ 3
X1, X2 ≥ 0
9) (MAX) Z = 2 X1 + 12 X2
s.a. X1 - 4 X2 ≥ -2 -2 X1 - X2 ≤ 5 2 X1 + X2 ≤ 3
X1, X2 ≥ 0
10)(MIN) Z = 20 X1 + 50 X2
s.a. 2 X1 - X2 ≤ 0 X1 + 4 X2 ≥ 80 0,9 X1 + 0,8 X2 ≤ 40
X1, X2 ≥ 0
SEGUNDO CORTE
PROBLEMAS DE TRANSPORTE (balanceados)
Resolver aplicando el criterio de la esquina noroeste y el criterio de los costos marginales de transporte. a) Obtenga una solución básica inicial factible b) Calcule los costos marginales de transporte c) Identifique la Ruta mas Económica (RME) d) Efectúe las nuevas distribuciones de transporte e) Señale la solución óptima y el costo mínimo de transporte
1)
2) 3)
DesdeEl
Origen
Al DestinoOFER
TA1 2 3
A 8 5 2 300B 4 9 1 120C 3 6 7 580
Demanda 190 575 235 1000
4)
5) 6) 7)
DesdeEl
Origen
Al DestinoOFER
TA1 2 3
A 7 6 2 270B 3 9 4 115C 1 5 8 615
Demand 180 250 570 1000
DesdeEl
Origen
Al DestinoOFERTA
1 2 3
A 9 5 1 300B 3 7 4 135C 2 6 8 565
Demanda 200 180 620 1000
DesdeEl
Origen
Al DestinoOFER
TA1 2 3
A 7 3 5 260B 1 9 6 305C 2 4 8 435
Demand 140 185 675 1000
DesdeEl
Origen
Al DestinoOFER
TA1 2 3
A 8 6 3 230B 1 7 4 100C 2 5 9 670
Demanda 120 365 515 1000
DesdeEl
Origen
Al DestinoOFERTA
1 2 3
A 6 8 3 220B 2 7 4 105C 1 5 9 675
Demanda 100 365 535 1000
DesdeEl
Origen
Al DestinoOFERTA
1 2 3
A 8 6 7 250B 2 3 1 690C 4 5 9 560
Demanda 630 450 420 1500
8) 9)10)
SEGUNDO CORTE
ºINVESTIGACIÓN DE OPERACIONESPROF. JOSÉ VILLALOBOS
RESOLUCIÓN DEL PROGRAMA LINEAL
Resolver aplicando el método gráfico:a) Grafique rectasb) Grafique restriccionesc) Identifique el área de solución factibled) Determine el punto óptimo
e) Calcule la solución
11(MIN) Z = 4 X1 + 6X2
s.a. 5 X1 + X2 ≤ 15 X1 + X2 ≥ 4 2X1 + 2X2 ≤ 10 X1, X2 ≥ 0
12(MAX) Z = 4 X1 + 2 X2
s.a. X1 + X2 ≤ 4 2 X1 + 3 X2 ≤ 12 0.5X1 + X2 ≤ 3
X1, X2 ≥ 0
13(MIN) Z = 4 X1 + 5 X2
s.a. 6 X1 - 2 X2 ≥ 3 -2 X1 + 3 X2 ≤ 6 2 X1 + 3 X2 ≤ 24
X1, X2 ≥ 0
14(MAX) Z = 5 X1 + 8 X2
s.a. X1 - 2 X2 ≤ 3 5 X1 + 4 X2 ≤ 20 4 X1 + X2 ≥ 8 X1, X2 ≥ 0
15(MAX) Z = 8 X1 + 2 X2
s.a. X1 + 1 X2 ≥ 2 X1 + X2 ≤ 5 3 X1 + 9 X2 ≥ 12 X1, X2 ≥ 0
16(MAX) Z = 3X1 + 4X2
s.a. 3 X1 - 5 X2 ≤ 30 3 X1 + 2 X2 ≤ 9 2 X1 -- X2 ≥ 2
X1, X2 ≥ 0
17(MAX) Z = 7 X1 + 3 X2
s.a. X1 + X2 ≤ 6 5 X1 + X2 ≥ 5 2 X1 - X2 ≥ 4
X1, X2 ≥ 0
18(MAX) Z = 10 X1 + 8X2
s.a.19(MAX) Z = 2 X1 + 12 X2
s.a.
20(MAX) Z = 20 X1 + 50 X2
s.a.
DesdeEl
Origen
Al DestinoOFERTA
1 2 3
A 8 6 3 250B 2 7 1 790C 4 5 9 560
Demanda 130 1050 420 1600
DesdeEl
Origen
Al DestinoOFERTA
1 2 3
A 5 6 3 275B 2 7 4 215C 1 8 9 585
Demanda 155 475 445 1075
DesdeEl
Origen
Al Destino OFERTA
1 2 3
A 8 1 3 250B 2 7 6 690C 4 5 9 560
Demanda 130 950 420 1500
5 X1` - 4 X2 ≤ 14 - X1 + 4X2 ≥ 2 2 X1 + X2 ≤ 3
X1, X2 ≥ 0
X1 - 4 X2 ≥ -2 2 X1 - X2 ≤ 5 X1 + X2 ≥ 3
X1, X2 ≥ 0
X1 - 2 X2 ≤ 0 X1 + 4 X2 ≥ 80 0,9 X1 + 0,8 X2 ≤ 40
X1, X2 ≥ 0
SEGUNDO CORTE
RESOLVER APLICANDO EL METODO HUNGARO 1 1 2 3 4 5 AGENTES DISPONIBLES
1,- OBTENER CEROS (0) EN FILASA
15
20
20
20
201
2,- OBTENER CEROS(0)EN COLUMNAS 3,- HALLAR LA MATRIZ REDUCIDA
B 15
30
40
50
45
1 4,- HACER NUEVAS REDUCCIONES 5,- OBTENER LA SOLUCION OPTIMA
C 15
35
30
65
60
1
D 15
40
45
75
80
1
E 15
70
80
35
60
1
AGENTES ASIGNADO
S1 1 1 1 1 5
2 1 2 3 4 5 AGENTES DISPONIBLES
3 1 2 3 4 5 AGENTES DISPONIBLES
A 25
25
25
25
20
1 A 25
15
25
40
65
1
B 50
35
45
55
20
1 B 35
15
45
55
50
1
C 65
40
35
70
20
1 C 40
15
35
70
65
1
D 85
45
50
80
20
1 D 45
15
50
80
85
1
E 65
75
85
40
20
1 E 10
10
10
10
10
1
AGENTES ASIGNADOS 1 1 1 1 1 5
AGENTES ASIGNADO
S1 1 1 1 1 5
4 1 2 3 4 5 AGENTES DISPONIBLES
5 1 2 3 4 5 AGENTES DISPONIBLES
A 55
40
25
60
30
1 A 70
20
30
45
30
1
B 30 30 25 30 50 1 B 55 20 50 60 40 1
C 70
45
25
75
40
1 C 60
20
40
75
45
1
D 90
50
25
85
55
1 D 15
15
15
15
15
1
E 70
80
25
45
90
1 E 15
20
55
85
50
1
AGENTES ASIGNADOS 1 1 1 1 1 5
AGENTES ASIGNADO
S1 1 1 1 1 5
SEGUNDO CORTE
ºINVESTIGACIÓN DE OPERACIONESPROF. JOSÉ VILLALOBOS
RESOLUCIÓN DEL PROGRAMA LINEAL
Resolver aplicando el método gráfico:e) Grafique rectasf) Grafique restriccionesg) Identifique el área de solución factibleh) Determine el punto óptimo
e) Calcule la solución
21(MAX) Z = 2 X1 + 3X2
s.a. 2 X1 + 5 X2 ≤ 20 X1 - X2 ≥ 6 -2 X1 + 3X2 ≤ 18 4X1 + X2 ≥ 8 X1, X2 ≥ 0
22(MIN) Z = 7 X1 + 6 X2
s.a. 3 X1 + 2 X2 ≥ 40 X1 + 3 X2 ≤ 16 2 X1 + 2 X2 ≥ 6 4X1 - X2 ≥ 8
X1, X2 ≥ 0
23(MAX) Z = 20 X1 - 3 X2
s.a. 5 X1 + 2 X2 ≥ 60 3 X1 - 2 X2 ≤ 30 - X1 + X2 ≤ 20 6 X1 - X2 ≥ 15
X1, X2 ≥ 0
24(MAX) Z = 18 X1 +348 X2
s.a. 6X1 + 5 X2 ≥ 30 3X1 + 5 X2 ≤ 60 -4 X1 + X2 ≥ 3 2 X1 - 7X2 ≤ - 10 X1, X2 ≥ 0
25(MIN) Z = 15 X1 + 18 X2
s.a. - 3 X1 + 4 X2 ≥ 12 2 X1 + 3X2 ≥ 20 X1 + X2 ≤ 8 5 X1 + X2 ≥ 10 X1, X2 ≥ 0
26(MAX) Z = 19X1 + 38X2
s.a. - X1 - 2 X2 ≤ -15 3 X1 + X2 ≤ 40 5 X1 - 3 X2 ≤ 10 2 X1 + X2 ≥ 8
X1, X2 ≥ 0
27(MIN) Z = 8 X1 + 10 X2
s.a. 3 X1 + 7 X2 ≤ 50 2 X1 + 3 X2 ≥ 15 X1 + 4 X2 ≤ 20 4 X1 + X2 ≤ 12
X1, X2 ≥ 0
30(MAX) Z = 30 X1 - 2 X2
28(MAX) Z = 30 X1 - 3X2
s.a. 3 X1 + 4 X2 ≤ 15 - 4 X1 + 3 X2 ≤ 10 2 X1 + 5 X2 ≥ 12 8 X1 - X2 ≥ 8
X1, X2 ≥ 0
29(MIN) Z = 16 X1 + 15 X2
s.a. 3X1 + 4 X2 ≥ 30 -1 X1 + 6 X2 ≥ 12 2X1 + 3 X2 ≥ 10
5 X1 - X2 ≤ 20 X1 ; X2 ≥ 0
s.a. 2 X1 + 7 X2 ≥ 15 X1 + 6 X2 ≤ 10 5X1 - X2 ≥ 12
3 X1 + 2 X2 ≥ 18 X1 ; X2 ≥ 0
SEGUNDO CORTE
METODO DE LA ESQUINA SUPERIOR IZQUIERDA
Es un procedimiento que se utiliza para encontrar una solución básica inicial factible en el problema de transporte. Está basado en el criterio de la esquina superior izquierda de la matriz de transporte para realizar la asignación de productos
PROCEDIMIENTO
1.- Elaborar una matriz (mxn)
2.- Colocar en el lado derecho de la matriz la oferta disponible y en la parte inferior la demanda requerida
3.- Identificar en la matriz la esquina superior izquierda (ESI). En esa casilla efectuar la primera asignación de productos (colocar la cantidad menor entre la oferta y la demanda).
4.- Restar la cantidad asignada en el paso anterior a la oferta y a la demanda. Si la oferta se hace igual a cero, eliminar esa fila. Si la demanda se hace igual a cero , eliminar esa columna.
5.- Repetir el procedimiento localizando nuevamente la esquina superior izquierda (Paso Nº 2).
6.- Terminar cuando la demanda se hace igual a cero (Demanda= 0) y la oferta se hace igual a cero (Oferta = 0 ). En Problemas balanceados
METODO DE LOS COSTOS MARGINALES DE TRANSPORTE
Es un procedimiento que se aplica para calcular la solución óptima en el problema de transporte. Utiliza el criterio de los costos marginales de transporte para identificar las rutas económicas que permitirán disminuir el costo total de transporte.
Costo Marginal de transporte.
Representa la cantidad que se puede disminuir en el costo total de transporte, cuando se envía una unidad de producto por una ruta económica.
Ruta mas Económica
Se corresponde con aquella ruta asociada al costo marginal menor con signo negativo.
PROCEDIMIENTO
1.- Copiar la matriz de la distribución inicial.
SEGUNDO CORTE
2.- Calcular los costos marginales de transporte de aquellas rutas no utilizadas
3.- Identificar la ruta mas económica-
4.- Colocar signos (+ y - ) a la ruta mas económica)
5.- Efectuar una nueva distribución de transporte
6.- Calcular el nuevo costo de transporte con la formula
Z(n) = Z(n-1) + (CE) (Cm )
7.- Repetir el procedimiento (Paso Nº 2) calculando nuevamente los costos marginales de transporte.
8.- Terminar cuando los costos marginales de transporte sean no negativos (Cm ≥ 0)
Paso Nº 5
A.- Elaborar una matriz (mxn)
B:_ Trasladar a la nueva matriz las cantidades de producto que están fuera de la ruta mas económica
C..- Identificar la C.E (cantidad a enviar) por la ruta mas económica (seleccionar la menor cantidad de producto de las casillas con signo negativo)
D.- Sumar CE en las casillas con signo positivo (+) y restar CE de las casillas con signo negativo (-)
METODO HUNGARO DE ASIGNACION
PROCEDIMIENTO
1.- Obtener ceros (0) en filas
a) Elaborar una matriz de costos con “m” filas y “m” columnas (mxm)
b) Identificar el menor valor (MV) en cada Fila
SEGUNDO CORTE
b) Restar menor valor de cada fila en su fila y colocar los resultados en una nueva matriz (mxm)
2.- Obtener ceros en columnas
a) Identificar el menor valor (MV) en cada columna
b) Restar menor valor de cada columna en su columna
3.- Identificar la matriz reducida
a) Utilizando el menor número de líneas horizontales y/o verticales de lado a lado en la matriz, cubra todos los ceros de filas o columnas
b) Si el número de líneas utilizadas es menor que el número de filas,(NL < NF), avanzar al paso número 4. Si el numero de líneas es igual al número de filas (NL = NF), avanzar al paso número 5 (solución óptima).
4.- Realizar nuevas reducciones.
a) Identificar el menor valor en las casillas no cubiertas por líneas
b) Restar el menor valor en las casillas no cubiertas por líneas
c) Sumar el menor valor en las casillas con intersecciones de líneas
d) Copiar otras casillas igual a la matriz anterior
e) Regresar al paso número 3
5.- Obtener la solución óptima
a) Elaborar una matriz de ceros (0)
b) Seleccionar (marcar) los ceros que aparezcan solos en filas y/o columnas
c) Convertir los ceros marcados en uno (1) y colocarlos en la matriz de asignación
d) Identificar la solución óptima y el costo mínimo de asignación
PROBLEMAS DE TRANSPORTE (desbalanceados)
Resolver aplicando el criterio de la esquina noroeste y el criterio de los costos marginales de transporte. a) Obtenga una solución básica inicial factible b) Calcule los costos marginales de transporte c) Identifique la Ruta mas Económica (RME) d) Efectúe las nuevas distribuciones de transporte e) Señale la solución óptima y el costo mínimo de transporte
11)
12) 13)
DesdeEl
Origen
Al DestinoOFER
TA1 2 3
A 8 5 2 300B 4 9 1 120C 3 6 7 600
Demanda 190 575 235
14)
15) 16) 17)
18) 19)20)
DesdeEl
Origen
Al DestinoOFER
TA1 2 3
A 7 6 2 270B 3 9 4 115C 1 5 8 715
Demand 180 250 570
DesdeEl
Origen
Al DestinoOFERTA
1 2 3
A 9 5 1 300B 3 7 4 135C 2 6 8 565
Demanda 200 180 670
DesdeEl
Origen
Al DestinoOFER
TA1 2 3
A 7 3 5 260B 1 9 6 305C 2 4 8 435
Demand 140 185 700
DesdeEl
Origen
Al DestinoOFER
TA1 2 3
A 8 6 3 230B 1 7 4 100C 2 5 9 900
Demanda 120 365 515
DesdeEl
Origen
Al DestinoOFERTA
1 2 3
A 6 8 3 220B 2 7 4 105C 1 5 9 675
Demanda 100 365 600
DesdeEl
Origen
Al DestinoOFERTA
1 2 3
A 8 6 7 250B 2 3 1 690C 4 5 9 700
Demanda 630 450 420
DesdeEl
Origen
Al DestinoOFERTA
1 2 3
A 8 6 3 250B 2 7 1 790C 4 5 9 560
Demanda 130 1050 500
DesdeEl
Origen
Al DestinoOFERTA
1 2 3
A 5 6 3 275B 2 7 4 215C 1 8 9 600
Demanda 155 475 445
DesdeEl
Origen
Al Destino OFERTA
1 2 3
A 8 1 3 250B 2 7 6 690C 4 5 9 560
Demanda 130 950 500
SEGUNDO CORTE
TERCER CORTE
GLOSARIO
PROGRAMA PERT/CPM
El PERT/CPM es un programa de administración y control de proyectos, que permite mejorar la eficiencia en la realización de las actividades y apoyar la toma de decisiones de las organizaciones empresariales
NODOS
Son puntos de conexión en una red que permiten relacionar las diferentes actividades de un proyecto. Se representan utilizando círculos numerados.
EVENTOS
Simbolizan la ocurrencia de una o mas actividades, señalando el principio el final de cada trabajo o tarea
ACTIVIDAD
Conjunto de trabajos o tareas que se requieren para realizar un proyecto. Se representan utilizando flechas continuas, Las actividades utilizan recursos..
ACTIVIDAD FICTICIA
Representa un artificio que se utiliza en el diseño de redes, para señalar una relación de dependencia lógica. Se representa utilizando flechas punteadas. Esta actividad no utiliza recursos
HOLGURA
Constituye el tiempo que se puede demorar una actividad, sin que esto ocasione retardo en la terminación del proyecto
TIEMPO OPTIMISTA
Identifica el tiempo mínimo que se puede utilizar para realizar una actividad, cuando las condiciones operativas son ideales.
TIEMPO MAS PROBABLE
Es el tiempo necesario para realizar una actividad en condiciones normales
TIEMPO PESIMISTA
Representa el tiempo máximo que se utilizara para efectuar una actividad, cuando se presentan dificultades o contingencias
TTIEMPO PROXIMO DE INICIO
Corresponde al tiempo más temprano para comenzar una actividad cualquiera del proyecto
TIEMPO PROXIMO DE TERMINACION
Constituye el tiempo más temprano para terminar una actividad del proyecto
DURACION
Mide el tiempo necesario para realizar cualquier actividad de un proyecto, se identifica con el tiempo esperado de duración de una actividad.
TIEMPO LEJANO DE INICIO
Constituye el tiempo más tardío para comenzar cualquier actividad de un proyecto.
TIEMPO LEJANO DE TERMINACION
Representa el tiempo más tardío para finalizar las actividades de un proyecto.
RUTA CRITICA
Está formada por un conjunto de actividades cuya holgura es igual a cero. Comienza en el nodo inicial y termina en el nodo final
TERCER CORTE
1.-La información suministrada que aparece a continuación corresponde a un proyecto con 11 actividades realizadas en un orden de precedencia. Se suministran tres tiempos para cada actividad.
Actividad Precedencia to tm tp te Var
A - 1.8 4.5 10.2
B A 1.5 3.5 8.5
C A 1.2 2.5 6.8
D A 2.5 4.0 11.5
E B – C – D 0.5 1.5 5.5
F C 2.0 4.0 6.0
G D 2.0 4.0 12.0
H - 3.0 5.0 13.0
I G – H 1.0 2.0 9.0
J E – F 0.2 0.5 3.8
K - 3.0 7.0 17.0
Se pide:
a.- Completar la tabla.
b.- Elaborar la red del proyecto.
c.- Calcular la probabilidad que el proyecto se termine en 18 semanas.
d.- Calcular la probabilidad que el proyecto se termine en 24 semanas.
2.-En el cuadro siguiente aparece la información de un proyecto con 12 actividades. Se pide:
a.- Completar el cuadro.
b.- Diseñar la red y recorrer hacia adelante y hacia atrás, indicar la duración del proyecto y la ruta critica.
c.- Estimar la probabilidad de que el proyecto se termine en 24.33 semanas.
Actividad Precedencia to tm tp te Var
A - 1 3 5
B - 2 4 6
C - 3 5 7
D A 5 7 9
E A 1 5 9
F B 4 6 8
G C – D – E 5 7 9
H C – E 2 4 6
I B 3 5 7
J F – H 1 3 5
K G 4 6 8
L F – H – I 1 5 9
(
3.-La información que aparece en la tabla siguiente corresponde a un proyecto con nueve actividades. Allí se identifican las actividades, el orden de precedencia y los tiempos optimista, más probable y pesimista.
Actividad Precedencia to tm tp te Var
A - 2.3 3.5 7.7
B A 1.5 2.5 6.5
C A 2.5 4.5 9.5
D C 3.0 5.0 7.0
E B 1.7 2.5 6.3
F B – D 4.2 5.5 9.8
G C 3.4 5.5 10.6
H E 1.5 3.5 8.5
I F 5.0 7.0 9.0
Se pide:
a.- Completar la tabla.
b.- Elaborar la red del proyecto y determinar la duración de este.
c.- Hallar la probabilidad de que el proyecto se termine en 31 semanas.
d.- Hallar la probabilidad de que el proyecto se termine en 30 semanas.
4.-La siguiente tabla corresponde a un proyecto con nueve actividades, donde aparecen tres tiempos distintos y el correspondiente orden de precedencia de las actividades.
Actividad Precedencia to tm tp te Var
A - 1 3 5
B A 2 6 10
C B 3 7 11
D C – E 4 9 20
E - 1 8 15
F - 2 6 10
G E 1 3 5
H G 3 7 11
I D – F – G 1 8 15
Se pide:
a.- Elaborar la red del proyecto.
b.- Haga un recorrido hacia adelante y hacia atrás y determine la duración del proyecto, la ruta crítica y las actividades con holgura.
c.- Determine la probabilidad que el proyecto se termine en 40 semanas o menos.
5.-A continuación se presenta la información de un proyecto con nueve actividades que contienen el tiempo y el orden de precedencia.
Actividad Precedencia to tm tp te Var
A - 1.2 2.0 8.8
B - 1.2 1.5 4.8
C B 1.8 2.0 8.2
D A 2.5 3.0 9.5
E B – D 3.5 4.0 10.5
F C 2.5 4.0 11.5
G E – F 2.5 5.0 13.5
H E 2.0 3.0 10.0
I G 1.8 2.0 8.2
J H – G 3.5 4.0 10.5
K I 1.2 2.0 8.8
L J 0.5 1.5 5.5
Se pide:
a) Completar la tabla.
b) Elaborar la red del proyecto.
c) Recorrer la red hacia adelante y calcular la duración del proyecto.
d) Recorrer la red hacia atrás e identificar la ruta critica.
e) Calcular la probabilidad de que el proyecto se termine en 28.12 días o menos.
6.-La información que aparece a continuación corresponde a un proyecto con 11 actividades realizadas en un orden de precedencia. Se suministran tres tiempos para cada actividad (semanas).
Actividad Precedencia to tm tp te Var
A - 1 3 5
B A 2 4 6
C A 3 5 7
D A 5 7 9
E B 1 5 9
F C – D 4 6 8
G D 5 7 9
H E – F 2 4 6
I E 3 5 7
J G 1 3 5
K I - H 4 6 8
Se pide:
a) Elaborar la red del proyecto.
b) Recorrer la red hacia adelante y calcular la duración del proyecto.
c) Recorrer la red hacia atrás y determinar la ruta critica.
d) Calcular la probabilidad de que el proyecto se termine en 30.20 semanas.
7.-A continuación se presenta la información de un proyecto con nueve actividades que contienen el tiempo y el orden de precedencia.
Actividad Precedencia to tm tp te Var
A - 1.2 1.5 4.8
B A 1.8 2.0 8.2
C A 2.5 3.0 9.5
D B 3.5 4.0 10.5
E C 1.2 2.0 8.8
F C 2.0 3.0 10.0
G B 3.5 4.0 10.5
H B – E – F 1.2 1.5 4.8
I B – E – F 1.2 2.0 8.8
J F 1.2 1.5 4.8
K D 1.2 2.0 8.8
L D – H 3.5 5.0 12.5
Se pide:
a) Elaborar la red del proyecto.
b) Recorrer la red hacia adelante y calcular la duración del proyecto.
c) Recorrer la red hacia atrás e identificar la ruta critica.
d) Calcular la probabilidad de que el proyecto se termine en 20 semanas o
8.-A continuación se presenta la información de un proyecto con once actividades que contienen el tiempo y el orden de precedencia.
Actividad Precedencia to tm tp te Var
A - 2.0 3.0 10.0
B - 1.2 2.0 8.8
C - 1.2 1.5 4.8
D A 2.5 5.0 13.5
E B 2.5 3.0 9.5
F C 3.5 4.0 10.5
G E – F 0.5 1.5 5.5
H F 1.2 1.5 4.8
I B – D 1.8 2.0 8.2
J I 2.5 3.0 9.5
K H – G – J 1.2 2.0 8.8
L B – D 0.2 0.8 2.6
Se pide:
a) Completar la tabla.
b) Elaborar la red del proyecto.
c) Recorrer la red hacia adelante y calcular la duración del proyecto.
d) Recorrer la red hacia atrás e identificar la ruta critica.
e) Calcular la probabilidad de que el proyecto se termine en 23.04 días o menos.
RECOMENDACIONES PARA EL DISEÑO DE REDES PERT/CPM
1.- Para comenzar una actividad es necesario que las actividades precedentes a esta, hayan terminado.
2.-Un par de nodos consecutivos estará conectado por una sola flecha
.-3.- La dirección y longitud de las flechas en una red no tienen mayor relevancia
4.-Las flechas en una red se dirigen mas o menos de izquierda a derecha
5.-Una actividad (flecha) en una red deberá contener un nodo inicial y un nodo final.
6.-Una red debe comenzar en un solo nodo y terminar también en un nodo.
REGLAS PARA COMENZAR Y TERMINAR UNA RED
1.- Las actividades que parten del nodo inicial no tienen predecesores.
2.-Las actividades que llegan al nodo final, son aquellas que no aparecen en la columna de precedencia
RECORRIDO DE UNA RED.
1.- Hacia adelante (desde el nodo inicial hasta el nodo final
a) Las actividades que parten del nodo inicial tienen tiempo próximo de inicio TPI = 0
b) El TPI de una actividad que tenga dos o mas predecesores, será igual al TPT mayor de las actividades precedentes
c) La duración del proyecto será igual al tiempo próximo de terminación mayor de las actividades que lleguen al nodo final.
RECORRIDO HACIA ADELANTE
Objetivo: Calcular la duración del proyecto.
Definiciones: TPI- D-TPT
Ecuaciones:
TPT = TPI + D
TPIsiguiente = TPTanterior
Nomenclatura
RECORRIDO HACIA ATRÁS (DESDE EL NODO FINAL HASTA EL NODO INICIAL)
1.- Las actividades que llegan al nodo final tienen TLT igual a la duración del proyecto.
2.-El TLT de una actividad precedente será igual al TLI de la actividad siguiente.
3.-El TLT de una actividad que sea precedente de dos o mas actividades será igual al TLI menor de las actividades siguientes..
RECORRIDO HACIA ATRÁS
Objetivo
Identificar la ruta critica y las actividades con holgura
Definiciones
TLI-H-TLT
Ecuaciones
TLT = TPT (En el nodo Final) = Duración del proyecto
H = TLT- TPT
TLI = TLT - D
TLI = H + TPI
NOMENCLATURA
