GUIA EC. EXACTAS€¦ · Integrando esta ecuación respecto a y obtenemos Derivando parcialmente con respecto a x resulta Recordando que e igualando con la expresión anterior, tenemos

EC. DIFERENCIALES EXACTAS

2.3. Ecuaciones Diferenciales Exactas 55

EJEMPLO 1. Resolver(2.32)

Solución. Verifiquemos, primero, que (2.32) es una ecuación diferencial exacta. Aquítenemos que

y como

afirmamos que (2.32) es una ecuación diferencial exacta. Luego, existe una función /(#, y)tal que la ecuación (2.32) se puede escribir en la forma df(x,y) = 0. Es decir, que

Para determinar / integramos (2.33) con respecto de x, resulta

o bien(2.35)

donde <j)(y) es una función de y, ya que integramos con respecto de x.Derivando (2.35) parcialmente con respecto a y se obtiene

pero como deseamos que también se satisfaga (2.34), igualando (2.36) con (2.34), se sigueque

Luego

Integrando ahora ambos lados respecto a y obtenemos

con C\ una constante arbitraria.

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56 Capítulo 2. Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

Sustituimos <f>(y) en (2.35) y se tiene que

Finalmente, igualamos f(x,y) con una constante k para obtener la siguiente solución de(2.32), definida implícitamente

Renombrando c = k — c\, resulta la solución

EJEMPLO 2. Resolver(2.37)

Solución. Escribamos la ecuación en su forma diferencial,

Esta ecuación diferencial es exacta ya que

luego, existe una función / tal que

Integrando respecto a x

es decir

donde (f>(y) es una función que depende únicamente de y.Derivamos parcialmente a (2.38) respecto a y



pero sabemos que por lo que

De esta ecuación resulta

con c\ una constante.Luego, sustituimos cf>{y) en (2.38) y se tiene que

Finalmente, tomando en cuenta que f(x,y) = k da la solución implícita, obtenemos

EJEMPLO 3. Resolver

Solución. Esta ecuación en su forma diferencial nos queda de la siguiente forma

(2.39)

en donde

y como

Se tiene que nuestra ecuación a resolver es una ecuación diferencial exacta, por lo queexiste una función / tal que

Luego



Pero entonces

Sustituyendo (/>(y) se tiene que

La solución está dada por

de donde

Nota: Para resolver las ecuaciones exactas anteriores primero integramos con respecto

a x en la igualdad pero se puede proceder en forma análoga si en lugar

de esto integramos con respecto a y enen los tres ejemplos siguientes.

Ilustraremos dicho procedimiento

EJEMPLO 4. Resuelva

Solución. Escribamos (2.40) en su forma diferencial

En este caso

y dado que

tenemos que (2.40) es una ecuación diferencial exacta, por lo que existe / tal que



Integrando esta ecuación respecto a y obtenemos

Derivando parcialmente con respecto a x resulta

Recordando que e igualando con la expresión anterior, tenemos que

Sustituyendo (f>(x) tenemos

La solución está dada por

o bien

EJEMPLO 5. Resolver

Solución. Tenemos que

y como

se trata de una ecuación diferencial exacta. Buscamos una función / tal que



Por otro lado, se requiere que

Igualando las dos expresiones anteriores se tiene que

Sustituyendo </>(#) obtenemos

Luego, la solución viene dada por

Aplicando la condición y(0) = 6 en la última ecuación tenemos que

Así, concluimos que nuestra solución particular está definida implícitamente mediante laecuación

EJEMPLO 6. Resolver

Solución. Como

tenemos que (2.42) es una ecuación diferencial exacta y por lo tanto existe una función/ tal que



de donde

Entonces

Pero de donde

Luego

o bien, la solución y está definida implícitamente en la ecuación

Como y está sujeta a la condición y(0) — e, se tiene que

Así, y está definida implícitamente en la ecuación

EJEMPLO 7. Resolver

Solución. Se tiene que

por lo cual (2.43) no es una ecuación diferencial exacta.


62 Capítulo 2, Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

EJERCICIOS 2.3

De las siguientes ecuaciones resuelva aquéllas que sean exactas.

2.4 Factores IntegrantesDefinición 2.4.1 Si la ecuación diferencial

no es exacta, pero existe una función n{x,y), tal que al multiplicar (2.44) Por Mx>í/)> l>a

ecuación resultante

es exacta, entonces se dice que /i(x, y) es un factor integrante de la ecuación diferencial(2.44)-

(2.44)


220 Respuestas a los problemas

8. x =

9. r = 4

1-t2

1 + t2

10. \{y - I)3 + -Vx2 + 4 + 21n(> + Vx2 + 4) = có Z

Ejercicios 2.2, Página 53

1. y ~ x ln

2. y\2x2 -

3. sen - =X

A . »>ü J.XX 0«>0

5. x3 + y3

6. xy + y2

7. y - 2z H

8. ln(2x +

a;

- y2) = ex2

ex

— (x2 -4- v2)3/2

= cxy

= 2x3

h7 = c(x + y 4

3y + 2) = 2y -

9. y = x arctaníln x + 1)

- I ) 4

- x + c

x x10. sen — + tan — = cy 2

y y


1. xAy2 — x3y = c

2. y =

3. j / = (x-l)

4. No es exacta.

5. x sen y — y eos x + ln xy = c

6. ysent + t2ey + 2y = c


Respuestas a los problemas 221

7. ln xy + exy = e

Q-x2

9. xy + ey/x = c

10. No es exacta.


1. /J,(X) — x~~2, 4x2 — 2y + xy2 — ex = 0

2 c 4 ^ 5/ \ 2 c 4 ^2. /i(x) = x , y = arceos —

oxó

3. /j,(y) — e~y, xe~y + \nx — 3y = c

4. /i(y) - y2, 2:rV + x2 + c = 0

5. fJ>(y) = y~1, x\nxy + x2 -y2 = c

6. /i(x) = x3, x6y2 - x4j/4 = c

7. ^{x)—x2, xsenxy + x3y3 = c

8. /x(i/) = y2, xlnxy -y3 = c

9. //(z) = x~3, 2y = x2(c + eos 2y)

10. /i(y) = eos"3 y, x = (y + c) eos2 y


_ x3 - 3x + c' y ~ 3 ( 2 )

3. y = _ I ( i + x2) + c ( 1

4. ?/ = x3senx

5. x = ^y"2e2/(2y2 - 2y


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