Universidad Centroamericana José Simeón Cañas Departamento de Matemática

Guía sobre funciones hiperbólicas inversas

Ing. Daniel Sosa Ing. José Ma. Velásquez Ing. Melvin Guardado

Derivadas

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

1

2

1

2

12

12

1

2

1

2

'1

'cos , u>1 1

'tan , 11

'cot , 11

'sec , 0<u<11

'csc , u 01

x

x

x

x

x

x

uD senh uuuD h u

uuD h u uu

uD h u uuuD h u

u uuD h u

u u

−

−

−

−

−

−

=+

=−

= <−

= >−−

=−−

= ≠+

Formulas para la evaluación de las funciones Hiperbólicas inversas

( ) ( )( ) ( )( )

( )

( )

( )

1 2

1 2

1

1

21

21

ln 1 , - <x<

cos ln 1 , x 1

1 1tan ln , 12 11 1cot ln , 12 1

1 1sec ln , 0< 1

1 1csc ln , 0

senh x x x

h x x x

xh x xx

xh x xx

xh x xx

xh x xx x

−

−

−

−

−

−

= + + ∞

= + − ≥

+⎛ ⎞= <⎜ ⎟−⎝ ⎠+⎛ ⎞= >⎜ ⎟−⎝ ⎠

⎛ ⎞+ −⎜ ⎟= ≤⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞+⎜ ⎟= + ≠⎜ ⎟⎝ ⎠

Integrales que producen funciones hiperbólicas inversas

1

2 2

1

2 2

1 2

2 21 2

1

2 2

1

2 2

, a>0

cosh , u>a>0

1tanh , si u

1coth , si u

1sec , 0<u<a

1csc , u 0 y

du usenh Caa u

du u Cau a

u C aa adu

a u u C aa a

du uh Ca au a u

du uh Ca au a u

−

−

−

−

−

−

⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠+⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠−

⎧ ⎛ ⎞+ <⎪ ⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠= ⎨

− ⎛ ⎞⎪ + >⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎝ ⎠−

= − + ≠+

∫

∫

∫

∫

∫

2

2

a>0

∞

Ejercicios

-Encuentre la derivada de las funciones hiperbólicas inversas indicadas:

1) ( )( )

1 1, R/2 1

y senh xx x

−=+

2) ( )1

2

1cosh 2 1 , R/4 7

y xx x

−= ++ + 3

3) ( ) ( ) ( )1 111 tanh , R/ tanh1

y θ θθ

− −= − −+

θ

4) ( ) ( ) ( )1 111 coth , R/ -coth 2

y t t tt

− −= −

5) ( ) ( ) ( )1 1cos sec , R/-sechy x x h x− −= − 1 x−

6) ( ) ( ) ( )2 1 1

2ln 1 sec , R/ sec

1xy x x h x hx

− −−= + −

−x

7) ( )1

2

ln 21csc , R/ 2 11

2

y hθ

θ

− ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎛ ⎞+ ⎜ ⎟

⎝ ⎠

8) ( )( ) ( )1 tan , R/secy senh x x−=

9) Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto (0,0) y además es tangente a la grafica de , además encuentre el punto donde la recta es tangente a la grafica. Ver figura.

( )1coshy −= x

( ), es tangente en el punto 1.8102,1.1997/ y=0.6627xR .

-Efectué las siguientes integrales definidas:

10)2 3

1

20

, R/senh 3 4dx

x−

+∫ 11)

2

254

1 1, R/ ln2 31

dxx

⎛ ⎞⎜ ⎟− ⎝ ⎠∫

12)

313

215

4, R/ln31 16

dxx x

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠−

∫ 13)2

21

1 2 5, R/ ln2 1 24

dxx x

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎜ ⎟++ ⎝ ⎠

∫

14)( )2

0

cos , R/01

xdxsen x

π

+∫ 15)

( )( )1

21

, R/senh 11 ln

e dx

x x−

+∫

16) a) Si un cuerpo de masa m que cae libremente desde el reposo encuentra una fuerza de resistencia con el aire la cual es directamente proporcional al cuadrado de la velocidad del mismo. De la sumatoria de fuerzas se puede deducir que la ecuación diferencial que describe

este movimiento está dada por: 2dvm mg kdt

= − v donde k es una constante que depende de

las dimensiones y de la forma del cuerpo, además la ecuación desprecia el cambio en la densidad del aire con la variación de la altura. Resuelva esta ecuación diferencial y demuestre que la

velocidad del cuerpo está dada por: ( ) tanhmg gkv t tk

⎛ ⎞= ⎜⎜

⎝ ⎠m⎟⎟ si se tiene la condición de que

el cuerpo se deja caer.

b) Encuentre , este valor se conoce como velocidad limite velocidad terminal del

cuerpo.

( )limt

v t→∞

/ mgk

R .

c) Para un paracaidista que pesa 160 lb cuyo cuerpo tiene una constante 2

20.005 lb skpie

=i .

Cuál es la velocidad terminal del paracaidista. . /178.88 pies/sR