DIRECCION DE EDUCACIN DE ESTUDIOS A DISTANCIA

GUA DE PROBABILIDADES Y PROCESOS ESTOCSTICOSTercer Semestre

Realizado por: Ing. SHIRLEY DEFAZ

Marzo de 2007

1.

DATOS INFORMATIVOS FACULTAD: ESCUELA: ASIGNATURA: NIVEL: E-MAIL: FECHA DE EDICIN: Marzo de 2007 Ciencias de la Computacin y Electrnica Electrnica Probabilidades y Procesos Estocsticos Tercero

AUTOR DE LA GUIA: Ing. Shirley Dfaz Silva

2.

PRESENTACIN DE LA ASIGNATURA

La Estadstica puede dar respuesta a muchas de las necesidades que la sociedad actual nos plantea. Su tarea fundamental es la reduccin de datos, con el objetivo de representar la realidad y transformarla, predecir su futuro o simplemente conocerla. La Estadstica responde a nuevas demandas sociales. Para realizar investigaciones exhaustivas sobre temas sociales surgen tres problemas bsicos a la hora del trabajo de campo, como el tiempo que tardaramos en entrevistar a toda la poblacin y el costo econmico y de personal de estas entrevistas. Con las tcnicas de muestreo se consigue hacer buenas investigaciones sobre una pequea parte de esa poblacin, obteniendo resultados vlidos para toda ella. La Estadstica responde a las necesidades del desarrollo cientfico y tecnolgico de la sociedad. Tras la Revolucin Industrial se produce un desarrollo de la sociedad en todos sus mbitos y, en particular, en el Cientfico y Tecnolgico. Las Comunicaciones, la Industria, la Agricultura, la Salud... se desarrollan rpidamente y se exige el mximo rendimiento y la mejor utilizacin de estos sectores. Con estudios estadsticos aplicados a la Agricultura y a la Pesca podemos estimar los rendimientos obtenidos en una cosecha, o encontrar bancos de peces. Por otro lado, el desarrollo de la teora de la probabilidad ha aumentado el alcance de las aplicaciones de la estadstica, de forma que casi cualquier investigacin cientfica requiere de los fundamentos de la Teora de la Probabilidad para que pueda desarrollarse adecuadamente. La probabilidad es til para comprobar la fiabilidad de las inferencias estadsticas y para predecir el tipo y la cantidad de datos necesarios en un determinado estudio estadstico. En esta asignatura, abarcaremos, tal y como se refleja en los contenidos, los conceptos fundamentales dentro de este campo. Los Procesos Estocsticos constituyen una parte esencial de la Probabilidad y son mucho inters en la actualidad por la cantidad de situaciones prcticas en los que pueden ser de utilidad. Son

modelos probabilsticos utilizados para representar situaciones de la vida cotidiana, que generalmente se desarrollan a lo largo del tiempo, y para hacer predicciones y poder as tomar las decisiones ms apropiadas al respecto. En esta asignatura estudiaremos los modelos de procesos estocsticos fundamentales: Los recorridos aleatorios y las cadenas de Markov. Con el estudio de los Procesos Estocsticos se puede tener una mejor comprensin de fenmenos de comportamiento aleatorio como meteorologa, fsica nuclear, campaas de seguridad, etc.

3.

OBJETIVO GENERAL DE LA ASIGNATURA DE PROBABILIDADES Y PROCESOS ESTOCSTICOS

A finalizar el sem l estre el estudiante estar en capacidad de Describir situaciones usuales con evolucin aleatoria Asociar un m odelo m atem tico a una situacin observable Analizar el m odelo estocstico

:

4.

OBJETIVOS ESPECFICOS DE LA ASIGNATURA

Describir adecuadamente espacios muestrales asociados a ciertos experimentos aleatorios, previamente planteados. Definir sucesos aleatorios y asignarles sus probabilidades de ocurrencia. Efectuar estimaciones puntuales de los parmetros de una poblacin: media, proporcin y varianza poblacional

SISTEMA DE CONOCIMIENTOS ESENCIALES POR UNIDADES DIDCTICAS

PROBABILIDADES Y PROCESOS ESTOCSTICOS

ESTADSTICA Y PROBABILIDAD BSICA

FUNCIONES PROBABILSTICAS

PROCESOS ESTOCSTICOS

-Estadsticas -Tipos de variables -Medidas de tendencia central -Medidas de dispersin

-Distribucin de probabilidad -Distribucin binomial -Dist. hipergeomtrica -Dist. de Poisson -Dist. Normal

-Probabilidad clsica -Tcnicas de Conteo -Probabilidad Condicional

-Ruido -Movimiento Browniano -Matriz de transicin -Cadenas de Markov en tiempo discreto -Cadenas de Markov en tiempo continuo -Teora Ergdica -Ecuaciones de Chapman-Kolmogorov

SISTEMA DE HABILIDADES A DESARROLLARINTERPRETAR ANALIZAR CALCULAR IDENTIFICAR

Modelar mediante cadenas de Markov situaciones que evolucionan aleatoriamente

REPRESENTAR DEDUCIR RESOLVER APLICAR

Al finalizar el nivel, estudiante va a adquirir las siguientes destrezas y habilidades: Distinguir diferentes tipos de procesos estocsticos dependiendo de los instantes de observacin y de los resultados observados.

Conocer las propiedades bsicas de las cadenas de Markov en tiempo discreto Modelar mediante cadenas de Markov situaciones que evolucionan aleatoriamente Describir el comportamiento transitorio de una cadena de Markov mediante la matriz de transicin y sus potencias. Conocer las propiedades y caractersticas ms relevantes del Proceso de Poisson y de otros procesos en tiempo continuo.

5.

ORIENTACIONES SOBRE EL PROCESO DE EVALUACION DEL APRENDIZAJE

PROCESOS DEL APRENDIZAJE EN LA ASIGNATURA Desde el contenido de los diferentes captulos y en la realizacin de las tareas, se trabajar en aspectos vitales de la formacin de la personalidad como la responsabilidad al exigir la puntualidad en la entrega de tareas as como asistencia, perseverancia al enfrentar la complejidad gradual de los diferentes temas y en la discusin de la solucin de problemas. Investigacin al permitir que el alumno evidencie por si solo la importancia de las ciencias fsicas en el desarrollo de su profesin. Se dar nfasis en el inters por realizar los trabajos extracurriculares y por destacar los valores de la profesin. Al estudiante se le exigir fundamentar correctamente sus ideas con una adecuada coherencia, as mismo en sus informes escritos deber presentarlos con una buena redaccin. Se resolvern problemas vinculados a aspectos relevantes de la profesin y de la proteccin del medio ambiente. Para resolver un problema de una situacin real se tiene que: Formular el problema Graficar el problema Modelar el problema Resolver el modelo matemtico del problema Interpretar los resultados Extraer conclusiones

ORIENTACIONES SOBRE EL PROCESO DE EVALUACION DEL APRENDIZAJE En cada unidad didctica Ud. encuentra un objetivo. l le indica lo que debe dominar o saber hacer al terminar de estudiar la unidad. Esto es muy importante, no deje de analizarlo y hacer que se cumpla. Si no est seguro que cumpli el objetivo, vuelva a leer y realizar o revisar los ejercicios resueltos que el texto gua le presenta hasta que este seguro de haber cumplido con el objetivo. Las unidades se encuentran en una secuencia progresiva de aprendizaje. Por tal motivo, se sugiere seguir el orden en el cual se presentan, ya que lo estudiado en un tema es base para el siguiente tema. Adquiera un cuaderno o una carpeta, en el cual se sugiere anotar los resmenes de lo que va estudiando y los ejercicios de las diferentes actividades que se proponen en la presente gua, as como la resolucin de las autoevaluaciones. Al mismo tiempo debe ir anotando la consulta que necesita hacer a su tutor, de esta forma llevar su proceso de aprendizaje, organizado y podr Ud. mismo evidenciar el desarrollo y cambios que se estn produciendo. Cada vez que se disponga a estudiar la materia, escoja el sitio ms apropiado y el tiempo apropiado. Lea el tema y revise los ejercicios resueltos del texto gua las veces que sea necesario con el mejor nimo de entenderlos. Si algn tema no est claro no pierda tiempo ni se mortifique tratando de entenderlo, no dude en llamar o ponerse en contacto con su tutor inmediatamente para solucionar sus inquietudes o dudas. La autoevaluacin es en proceso que le indica el avance en su aprendizaje. No se engae. No busque quien le haga los trabajos que Ud. debe realizar, busque a travs de sus compaeros o de su tutor la asesora en aquello que no est claro.

6.

INDICADORES DE EVALUACION Todas las tareas indicadas en cada unidad sern evaluadas sobre diez puntos, de acuerdo a la originalidad, presentacin (limpieza, orden, fecha de entrega), cientificidad y el desarrollo en s de cada problema. Es necesario que en cada tarea presentada por Ud. haga constar su propia autoevaluacin entre uno y diez puntos de acuerdo a su dedicacin al desarrollo de la misma y al nivel de asimilacin logrado.

En cada encuentro se realizarn plenarias, clases talleres, debates, etc.; y, de acuerdo a su participacin, se asignar una nota entre uno y diez que resultar del promedio entre su propia autoevaluacin, la que le otorgue el grupo y la del profesor.

La resolucin de problemas propuestos en el aula, se la realizar utilizando tcnicas grupales y de exposicin, a fin de desarrollar las capacidades de expresin oral y pensamiento crtico. Los indicadores principales sern: la correcta interpretacin del problema, la lgica del problema a resolver, las conclusiones que se obtengan de esta resolucin, la responsabilidad y la honestidad.

El cuaderno de anotaciones ser evaluado sobre diez puntos de acuerdo a la presentacin ( limpieza, orden), el desarrollo de los contenidos y a la forma coherente y sistmica que ha tratado los temas.

Las tareas integradoras de cada unidad sern evaluadas sobre diez puntos y corresponder al 50% de la nota a promediarse con la prueba. La tarea integradora de la asignatura ser evaluada sobre diez puntos y corresponder al 50% del examen final. La asistencia a los encuentros tambin ser considerada en la evaluacin general de acuerdo al consenso con el grupo.

7.

BIBLIOGRAFIA BASICA Y COMPLEMENTARIA CHAO Lincoln. Estadstica para las Ciencias Administrativas. Mcgraw-Hill, tercera edicin. Bogot-Colombia, 1998. GALINDO Edwin. Estadstica para la Ingeniera. Quito-Ecuador, 1998.

TEXTOS BASICOS

DIRECCIONES DE INTERNET http://www.monografias.com/trabajos15/estadistica/estadistica.shtml http://es.wikipedia.org/wiki/estadistica http://es.wikipedia.org/wiki/Variable_aleatoria http://es.wikipedia.org/wiki/Medidas_de_tendencia_central http://es.wikipedia.org/wiki/Dispersi%C3%B3n_(matem%C3%A1ticas) http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/_private/03Ddistr %20Hipergeometrica.htm http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_de_Poisson

http://facultad.sagrado.edu/ConceptosBasicos.pdf http://www.fisterra.com/mbe/investiga/distr_normal/distr_normal.htm http://weblogs.udp.cl/pplaza/archivos/(4137)Markov-Discreto.pdf http://usuarios.lycos.es/paradojaparrondo/cadenas_markov.htm http://www.omerique.net/calcumat/estocasticas1.htm http://www.bioestadistica.uma.es/libro/node23.htm http://www.uantof.cl/facultades/csbasicas/Matematicas/academicos/emartinez/magister/confi abilidad/seccion2/distribucion.html

ORIENTACIONES PARA EL TRABAJO CON LAS UNIDADES DIDACTICAS La presente gua est dividida en 3 unidades didcticas. Los temas pertenecientes a cada una de las unidades se encuentran agrupados por semanas. Cada una de las semanas se encuentra conformada por: teora, ejercicios resueltos y ejercicios propuestos. El estudiante debe leer las bases tericas y adicionalmente complementar estas definiciones con investigaciones personales sobre el tema. Se sugiere estudiar los ejercicios propuestos para posteriormente resolver los ejercicios propuestos.

UNIDAD I ESTADSTICA Y PROBABILIDAD BSICAObjetivos: Familiarizarse con los aspectos bsicos del Clculo de Probabilidades y la Estadstica y aplicar los procedimientos estadsticos para el anlisis de una muestra. Describir adecuadamente espacios muestrales asociados a ciertos experimentos aleatorios, previamente planteados. Definir sucesos aleatorios y asignarles sus probabilidades de ocurrencia. Aplicar los conceptos y reglas fundamentales de probabilidad. Aplicar correctamente las distribuciones de la media, proporcin y varianza muestrales en el clculo de probabilidades Determinar el tamao de muestra representativo y sus elementos, mediante las tcnicas de muestreo. Efectuar estimaciones puntuales de los parmetros de una poblacin: media, proporcin y varianza poblacional.

ORIENTACIONES PARA EL TRABAJO CON LA UNIDAD I La unidad 1 se estudiar durante las 7 primeras semanas de clases y comprende temas como: tipos de variables estadsticas, medidas de tendencia central, medidas de dispersin, probabilidad clsica y tcnicas de conteo aplicadas al clculo de probabilidades. Los temas a revisarse durante cada una de las semanas se encuentran conformados por: teora, ejercicios resueltos y ejercicios propuestos. El estudiante debe leer las bases tericas y adicionalmente complementar estas definiciones con investigaciones personales sobre el tema. Se sugiere estudiar los ejercicios propuestos para posteriormente resolver los ejercicios propuestos. SEMANA 1 ESTADISTICA La Estadstica es una ciencia matemtica que se utiliza para describir, analizar e interpretar ciertas caractersticas de un conjunto de individuos llamado poblacin. La estadstica es la ciencia que trata de la recoleccin, clasificacin y presentacin de los hechos sujetos a una apreciacin numrica como base a la explicacin, descripcin y comparacin de los fenmenos". (Yale y Kendal, 1954).

Cualquiera sea el punto de vista, lo fundamental es la importancia cientfica que tiene la estadstica, debido al gran campo de aplicacin que posee. La Estadstica se divide en dos ramas: Estadstica Descriptiva: Tienen por objeto fundamental describir y analizar las caractersticas de un conjunto de datos, obtenindose de esa manera conclusiones sobre las caractersticas de dicho conjunto y sobre las relaciones existentes con otras poblaciones, a fin de compararlas. No obstante puede no solo referirse a la observacin de todos los elementos de una poblacin (observacin exhaustiva) sino tambin a la descripcin de los elementos de una muestra (observacin parcial). Estadstica Inductiva: Segn Berenson y Levine; Estadstica Inferencial son procedimientos estadsticos que sirven para deducir o inferir algo acerca de un conjunto de datos numricos (poblacin), seleccionando un grupo menor de ellos (muestra). El objetivo de la inferencia en investigacin cientfica y tecnolgica radica en conocer clases numerosas de objetos, personas o eventos a partir de otras relativamente pequeas compuestas por los mismos elementos. OTRAS DEFINICIONES IMPORTANTES Poblacin "Una poblacin es un conjunto de elementos que presentan una caracterstica comn". Cadenas (1974). Ejemplo: La poblacin de ballenas. Segn el nmero de elementos la poblacin puede ser finita o infinita. Cuando el nmero de elementos que integra la poblacin es muy grande, se puede considerar a esta como una poblacin infinita, por ejemplo; el conjunto de todos los nmeros positivos. Una poblacin finita es aquella que est formada por un limitado nmero de elementos, por ejemplo; el nmero de estudiantes de la UNITA. Cuando la poblacin es muy grande, es obvio que la observacin de todos los elementos se dificulte en cuanto al trabajo, tiempo y costos necesarios para hacerlo. Para solucionar este inconveniente se utiliza una muestra estadstica. Muestra "Se llama muestra a una parte de la poblacin a estudiar que sirve para representarla". Murria R. Spiegel (1991). "Una muestra debe ser definida en base de la poblacin determinada, y las conclusiones que se obtengan de dicha muestra solo podrn referirse a la poblacin en referencia", Cadenas (1974).

Ejemplo: El estudio realizado a 33 estudiantes de la FCCE de la UNITA. Los expertos en estadstica recogen datos de una muestra. Utilizan esta informacin para hacer referencias sobre la poblacin que est representada por la muestra. En consecuencia muestra y poblacin son conceptos relativos. Una poblacin es un todo y una muestra es una fraccin o segmento de ese todo. Muestreo Esto no es ms que el procedimiento empleado para obtener una o ms muestras de una poblacin; el muestreo es una tcnica que sirve para obtener una o ms muestras de poblacin. Ejemplo: Consideremos como una poblacin a los estudiantes de educacin secundaria del Colegio Coln, determinando por lo menos dos caracteres ser estudiados en dicha poblacin: Religin de los estudiantes y Sexo. VARIABLE ESTADSTICA Variable es una caracterstica (magnitud, vector o nmero) que puede ser medida, adoptando diferentes valores en cada uno de los casos de un estudio. Clasificacin de las variables En un estudio cientfico, podemos clasificar las variables segn la escala de medicin o la influencia que asignemos a unas variables sobre otras. Segn la escala de medicin: Variables cualitativas: Son las variables que expresan distintas cualidades, caractersticas o modalidad. Cada modalidad que se presenta se denomina atributo o categora y la medicin consiste en una clasificacin de dichos atributos. Las variables cualitativas pueden ser ordinales y nominales. Ejemplo: sexo de una persona (hombre, mujer), color de ojos (cafs, verdes, azules) Variables cuantitativas: Son las variables que se expresan mediante cantidades numricas. Las variables cuantitativas adems pueden ser: Variable discreta: Es la variable que presenta separaciones o interrupciones en la escala de valores que puede tomar. Estas separaciones o interrupciones indican la ausencia de valores entre los distintos valores especficos que la variable pueda asumir. Un ejemplo es el nmero de hijos. Variable continua: Es la variable que puede adquirir cualquier valor dentro de un intervalo especificado de valores. Por ejemplo el peso o la altura, que solamente limitado por la precisin del aparato medidor, en teora permiten que siempre exista un valor entre dos cualesquiera.

Ejercicios propuestos 1. Clasificar las siguientes variables: Preferencias polticas (izquierda, derecha o centro). Marcas de cerveza. Velocidad en Km/h. El peso en Kg. Signo del zodiaco. Nivel educativo (primario secundario, superior). Aos de estudios completados. Tipo de enseanza (privada o pblica). Nmero de empleados de una empresa. La temperatura de un enfermo en grados Celsius. La clase social (baja, media o alta). La presin de un neumtico en Cul es su edad? Estado civil: Cuanto tiempo emplea para desplazarse a su trabajo? Est afiliado a la seguridad social? Tamao de su ciudad: ciudad pequea (de 50.000 a 100.000 hab.), ciudad grande (ms de 100.000 hab.) SEMANA 2 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Son un grupo de estadsticos que permiten ver lo dominante, lo tpico o la tendencia de una distribucin de datos en el sentido de cules son sus valores medios. Las medidas de tendencia central ms conocidas son: la media aritmtica, la mediana y la moda.

2. Clasifique las variables que aparecen en el siguiente cuestionario.

Media La media aritmtica o promedio, de una cantidad finita de nmeros, es igual a la suma de todos ellos dividida entre el nmero de sumandos. Expresada de forma ms intuitiva, podemos decir que la media (aritmtica) es la cantidad total de la variable distribuida a partes iguales entre cada observacin. Por ejemplo, si en una habitacin hay

tres personas, la media de dinero que tienen en sus bolsillos sera el resultado de tomar todo el dinero de los tres y dividirlo a partes iguales entre cada uno de ellos. Es decir, la media es una forma de resumir la informacin de una distribucin (dinero en el bolsillo) suponiendo que cada observacin (persona) tendra la misma cantidad de la variable. Tambin la media aritmtica puede ser denominada como centro de gravedad de una distribucin, el cual no es necesariamente la mitad. Solamente puede utilizarse con variables cuantitativas. As, dados los nmeros a1,a2, ... , an, la media aritmtica ser igual a:

Por ejemplo, la media aritmtica de 8, 5 y -1 es igual a:

Media ponderada A veces puede ser til otorgar pesos o valores a los datos dependiendo de su relevancia para determinado estudio. En esos casos se puede utilizar una media ponderada. Si x1,x2,...,xn son nuestros datos y w1,w2,...,wn son sus pesos respectivos la media ponderada se define de la siguiente forma:

Ejemplo: Las calificaciones en la asignatura de Matemticas de 39 alumnos se registran en la siguiente tabla: Calificaciones Moda La moda es el valor que cuenta con una mayor frecuencia en una distribucin de datos. 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Nmero de alumnos 2 2 4 5 8 9 3 4 2

Hablaremos de una distribucin bimodal de los datos, cuando encontremos dos modas, es decir, dos datos que tengan la misma frecuencia absoluta mxima.

Una distribucin trimodal de los datos es en la que encontramos tres modas. Si todas las variables tienen la misma frecuencia diremos que no hay moda. Cuando tratamos con datos agrupados antes de definir la moda, se ha de definir el intervalo modal. El intervalo modal es el de mayor frecuencia absoluta. Ejemplo: En la distribucin: 5, 8, 9, 4, 5, 5, 8, 1, 2 La moda es 5, pues es el valor que cuenta con la mayor frecuencia: Aparece 3 veces. Una distribucin puede tener ms de una moda si dos o ms datos, o clases de datos, tienen la misma frecuencia y esta es la ms alta de la distribucin. Moda de datos agrupados Para calcular la moda de los valores pertenecientes a una clase se cuenta con la siguiente frmula.

En donde f es la frecuencia del intervalo y x su marca de clase o punto medio. SEMANA 3 Mediana Dentro de la rama de medidas de tendencia central en estadstica descriptiva, y considerando los datos de una muestra ordenada en orden creciente (de menor a mayor), definiremos como mediana al valor de la variable que deja el mismo nmero de datos antes y despus que l. De acuerdo con esta definicin el conjunto de datos menores o iguales que la mediana representarn el 50% de los datos, y los que sean mayores que la mediana representarn el otro 50% del total de datos de la muestra. Matemticamente hablando la mediana sera: Me = , si n es impar --> Me ser la observacin

central de los valores, una vez que estos han sido ordenados en orden creciente o decreciente.

Me = centrales. Observaciones:

, si n es par --> Me ser el promedio aritmtico de las dos observaciones

- La mediana de un conjunto de datos es nica.

- El valor de la mediana no es sensible a la presencia de datos extremos.

Ejemplo (sobre la representatividad) Supongamos que hay 19 pobres y un millonario en una habitacin. Cada uno pone $5 sobre la mesa pero el millonario aporta un milln. Eso da un total de $1.000.095. Si el dinero se repartiese por partes iguales, eso dara un promedio (media) de $50.004,75, pero la mediana da $5, ya que si uno divide el grupo en 2, se puede decir que 10 personas aportaron $5 o menos, mientras que las otras 10 personas aportaron $5 o ms. En ese sentido, la mediana representa la cantidad tpica que cada persona aport. xi fi Fi En contraste, el promedio es para nada tpico, ya que nadie aport ni cerca de los 1 2 2 $50.004.75 2 2 4 3 4 8 Ejemplo ( N impar ) viene dada por la siguiente tabla (debajo): Calificaciones Calculemos la Mediana: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4 5 13 6 9 30 7 3 33 8 4 37 9 2 39 Las calificaciones en la asignatura de Matemticas de 39 alumnos de una clase 5 8 21 > 19.5

Nmero de alumnos 2 2 4 5 8 9 3 4 2

Primero hallamos las frecuencias absolutas acumuladas Fi (ver tabla del margen derecho). As, aplicando la formula asociada a la mediana para n impar, obtenemos X(39+1)/2 = X20 y basndonos en la frmula que hace referencia a las frecuencias absolutas --> Ni-1< n/2 < Ni = N19 < 19.5 < N20 Por tanto la mediana ser el valor de la variable que ocupe el vigsimo lugar. En nuestro ejemplo, 21 (frecuencia absoluta acumulada para Xi = 5) > 19.5 con lo que Me = 5 puntos (es aconsejable no olvidar las unidades; en este caso como estamos hablando de calificaciones, sern puntos) La mitad de la clase ha obtenido un 5 o menos, y la otra mitad un 5 o ms.

Ejemplo ( N par ) Las calificaciones en la asignatura de Matemticas de 38 alumnos de una clase viene dada por la siguiente tabla (debajo): Calificaciones 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Nmero de alumnos 2 2 4 5 6 9 4 4 2

xi fi Fi 1 2 2 2 2 4 3 4 8 Calculemos la Mediana: Primero hallamos las frecuencias absolutas acumuladas Fi (ver tabla margen derecho). 4 5 13 5 6 19 = 19 6 9 28

7 4 32 Si volvemos a utilizar la frmula asociada a la mediana para n par, obtenemos 8 4 36 X(38/2) = X19 y basndonos en la frmula que hace referencia a las frecuencias 9 2 38 absolutas --> Ni-1< n/2 < Ni = N18 < 19 < N19 Con lo cual la mediana ser la media aritmtica de los valores de la variable que ocupen el decimonoveno y el vigsimo lugar. En nuestro ejemplo, el lugar decimonoveno lo ocupa el 5 y el vigsimo el 6, (desde el vigsimo hasta el vigsimo octavo) con lo que Me = (5+6)/2 = 5,5 puntos. La mitad de la clase ha obtenido un 5,5 o menos y la otra mitad un 5,5 o ms SEMANA 4 MEDIDAS DE DISPERSION La dispersin mide cuan alejados estn un conjunto de valores respecto a su media aritmtica. As cuanto menos disperso sea el conjunto ms cerca del valor medio se encontrarn sus valores. Para conocer con detalle un conjunto de datos, no basta con conocer las medidas de tendencia central, sino que necesitamos conocer tambin la desviacin que representan los datos en su distribucin, con objeto de tener una visin de los mismos ms acorde con la realidad a la hora de describirlos e interpretarlos para la toma de decisiones. Las medidas de dispersin ms usadas son: el rango o amplitud, la varianza, la desviacin estndar y la covarianza. Ejemplo: Podemos tener un conjunto de tomos de una sustancia con una media de velocidades 0. De ello no cabe concluir que los miembros del sistema estn quietos. Ello implicara que la substancia se encontrara cerca del cero absoluto. Con una media de 0 podemos tener desde un slido cristalizado hasta un gas muy caliente. La variable que determinar en qu estado de agitacin trmica se encuentran los tomos del sistema ser la dispersin de velocidades.

EL RANGO O AMPLITUD Es la diferencia entre el valor ms grande y el ms pequeo de un conjunto de valores. Puede verse afectada por valores extremos, poco representativos. Adems, esta medida al aumentar el nmero de valores aumenta o se queda igual pero nunca disminuye. Esta medida presenta problemas que la hacen poco apta para usos estadsticos. VARIANZA La varianza representa la media aritmtica de las desviaciones de la media elevadas al cuadrado. Si atendemos a la coleccin completa de datos (la poblacin en su totalidad) obtenemos la varianza poblacional; y si por el contrario prestamos atencin slo a una muestra de la poblacin, obtenemos en su lugar la varianza muestral. Las expresiones de estas medidas son las que aparecen a continuacin. Expresin de la varianza muestral:

Expresin de la varianza poblacional:

DESVIACION ESTANDAR La desviacin estndar (DS/DE), tambin conocida como desviacin tpica, es una medida de dispersin usada en estadstica que nos dice cunto tienden a alejarse los valores puntuales del promedio en una distribucin. De hecho, especficamente, la desviacin estndar es "el promedio de la distancia de cada punto respecto del promedio". Se suele representar por una S o con la letra sigma, . Una desviacin estndar grande indica que los puntos estn lejos de la media, y una desviacin pequea indica que los datos estn agrupados cerca de la media. Una vez entendida la formulacin de la varianza podemos pasar a obtener la desviacin estndar, tomando la raz cuadrada positiva de la varianza. Expresin de la desviacin estndar muestral:

Expresin de la desviacin estndar poblacional:

Ejemplo: Las tres muestras (0, 0, 14, 14), (0, 6, 8, 14) y (6, 6, 8, 8) cada una tiene una media de 7. Sus desviaciones estndar son 7, 5 y 1, respectivamente. La tercera muestra tiene una desviacin mucho menor que las otras dos porque sus valores estn ms cerca de 7. Ejemplo: Aqu se muestra cmo calcular la desviacin estndar de un conjunto de datos. Los datos representan la edad de los miembros de un grupo de nios. { 4, 1, 11, 13, 2, 7 } 1. Calcular el promedio o media aritmtica .

.

Este es el promedio. 2. Calcular la desviacin estndar

Esta es la desviacin estndar. Ejemplo: Calcular la varianza y desviacin tpica de las siguientes cantidades medidas en metros: 3,3,4,4,5

Solucin: Para calcular dichas medidas de dispersin es necesario calcular previamente el valor con respecto al cual vamos a medir las diferencias. ste es la media:

La varianza es:

siendo la desviacin tpica su raz cuadrada:

SEMANA 5 TEORIA DE LA PROBABILIDAD La teora de probabilidad es la teora matemtica que modela los fenmenos aleatorios, stos deben contraponerse a los fenmenos determinsticos, Fenmeno determinstico Son fenmenos en los cuales el resultado de un experimento, realizado bajo condiciones determinadas, produce un resultado nico o previsible. Ejemplo: El agua calentada a 100 grados centgrados, a presin normal, se transforma en vapor. Fenmeno aleatorio Un fenmeno aleatorio es aquel que, a pesar de realizarse el experimento bajo las mismas condiciones determinadas, tiene como resultados posibles un conjunto de alternativas. Ejemplo: lanzar un dado o una moneda. Esta aproximacin axiomtica que generaliza el marco clsico de la probabilidad, la cual obedece a la regla de clculo de casos favorables sobre casos posibles, permiti la modelacin matemtica de sofisticados fenmenos aleatorios. Actualmente, estos fenmenos encuentran aplicacin en las ms variadas ramas del conocimiento, como puede ser la fsica (donde corresponde mencionar el desarrollo de las difusiones y el movimiento Browniano), o las finanzas (donde destaca el modelo de Black y Scholes para la valuacin de acciones). VARIABLE ALEATORIA

En estadstica y teora de probabilidad una variable aleatoria se define como el resultado numrico de un experimento aleatorio en el cual dicha variable toma diferentes valores. Matemticamente, es una funcin medible que da un valor numrico, del conjunto de

los reales, a cada suceso en el espacio del espacio muestral del experimento. El espacio muestral est conformado por los posibles resultados de un experimento. Al conjunto de los valores posibles de una variable aleatoria se conoce como rango. Dado una variable aleatoria X se pueden calcular estimadores estadsticos diferentes como la media (Media aritmtica, Media geomtrica, Media ponderada) y valor esperado y varianza de la distribucin de probabilidad de X.

Ejemplo Suponga que lanzamos dos monedas al aire y, sea X la variable aleatoria que identifica el nmero de caras obtenidas en el lanzamiento. X: Nmero de caras obtenidas en el lanzamiento. = { cc, cs, sc, ss } (c identifica una cara, s una cruz) RX = { 0, 1, 2 } (Recorrido de X) Entonces asociando Omega con el Recorrido de X, tenemos que:

Tipos de Variables aleatorias

Variable aleatoria discreta: variable que toma un nmero finito o infinito de valores Variable aleatoria continua: variable que toma un valor infinito de valores no numerables.

numerables. Variable aleatoria que puede tomar slo un nmero limitado de valores.

Variable aleatoria que puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo dado de valores.

DEFINICIN CLSICA DE PROBABILIDAD La probabilidad es la caracterstica de un suceso del que existen razones para creer que se realizar. Los sucesos tienden a ser una frecuencia relativa del nmero de veces que se realiza el experimento. La probabilidad pude tomarse como una medida del riesgo de que un evento ocurra. As, la probabilidad se calcula de la siguiente forma:

P(A) =

# casos favorables -----------------------------------# total de resultados posibles

Probabilidad discreta Este tipo de probabilidad, es aquel que puede tomar slo ciertos valores diferentes que son el resultado de la cuenta de alguna caracterstica de inters. Estos Valores pueden ser de varios tipos ya sean Finitos o Infinitos, Numerables o innumerables Ejemplo: Sea X el nmero de caras obtenidas al lanzar 3 veces una moneda. Aqu los valores de X son x = 0, 1, 2, 3 Como se muestra en el ejemplo 1 estos valores son Numerables, y Finitos, ya que se nos da un nmero de especfico de casos y solo nos pueden dar un numero especifico de resultados.

Probabilidad continua Una variable aleatoria es una funcin que da un valor numrico a cada suceso en . Ejemplos: a) la posibilidad de seleccionar una carta de un mazo b) la posibilidad que un producto nuevo tenga aceptacin en el mercado c) la posibilidad de que un estudiante seleccionado al azar en una clase tenga un promedio de B Ejemplo: Se lanzan dos monedas al aire, cul es la probabilidad de que ambas salgan cara? S = { cc, cs, sc, ss } P ( cc ) = 2/4 = 0.5 Ejemplo: Se lanzan dos dados al aire, cul es la probabilidad de que la suma sea mayor de 7? S = {1,1; 1,2; 1,3; 1,4; 6,1; 6,2;. 6,6} Tamao de S = 36 P ( d > 7 ) = 15 / 36

DEFINICIONES BASICAS Experimento. Cualquier accin cuyo resultado se registra como un dato. Espacio Muestral (S). El conjunto de todos los posibles resultados de un experimento. Ejemplo: Supongamos el lanzar un dado al aire y observaremos los resultados siguientes: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6 } S = { 6 } Ejemplo: En el lanzamiento de dos monedas tenemos S = {cc, cs, sc, ss } S = { 4 } Evento. Es el resultado de un experimento. Cuando cada evento es seleccionado al azar, el experimento se denomina aleatorio o al azar. Evento Simple (E). Cada uno de los posibles resultados de un experimento y que no se puede descomponer. En el caso del lanzamiento del dado, cada uno de los posibles nmeros en la cara del dado es un evento simple. Evento Compuesto. Los eventos A, B, C, etc., son eventos compuestos si se componen de dos o ms eventos simples. Ejemplos de eventos simples y compuestos: Evento simple: Lanzamiento de un dado A = {evento que salga un # impar} A = {1, 3, 5} B = {el nmero sea 4} = {1, 2, 3, 4} Evento Compuesto: Lanzamiento de dos monedas A = el evento de observar una cara A = {cc, cs, sc, ss} Operaciones de conjuntos Es necesario recordar las operaciones de conjuntos puesto que constituyen el fundamento de las probabilidades. Unin. La unin de dos conjuntos A y B es el conjunto C que est formado por los Interseccin. La interseccin de dos conjuntos A y B es el conjunto C que est formado por Complementos. El complemento de un conjunto A que se denota por A son todos los dems elementos de A, de B o de ambos. los elementos que pertenecen a ambos conjuntos simultneamente. elementos que no se encuentran en A.

Tipos de eventos Eventos Mutuamente excluyentes Si dos conjuntos A y B no tienen elementos en comn, su interseccin ser nula o vaca. En este caso A y B se dicen eventos mutuamente excluyentes. A B = {} Eventos colectivamente exhaustivos Dos eventos son colectivamente exhaustivos si al hacer la unin de los mismos, se obtiene el espacio muestral. A U B = {S} Reglas Bsicas de Probabilidades Para Eventos Simples 1. Ley Fundamental de la probabilidad Una probabilidad siempre estar comprendida entre 0 y 1. Cuando el suceso es imposible se dice que su probabilidad es 0 y se dice que es un suceso cierto cuando siempre tiene que ocurrir y su probabilidad es 1. 0 P(A) 1 2. P(A) = 1. La suma de las probabilidades de todos los eventos simples posibles del espacio muestral es 1. 3. Ley del Complemento. Si A es el complemento de A, entonces, Proceso Para Calcular la probabilidad de un Evento 1) Haga una lista de todos los eventos contenidos en el espacio muestral. 2) Asigne la probabilidad que corresponda a cada evento simple. 3) Determine los eventos simples que constituyen el evento de inters. 4) Sume las probabilidades de todos los eventos simples que constituyen el evento de inters. Regla de Suma de Probabilidades Eventos Mutuamente Excluyentes Dos eventos A y B son mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir al mismo tiempo. P(A U B) = P(A) + P(B) ssi [ P(AB) = 0 ] b. Eventos No Mutuamente Excluyentes Dos eventos A y B son no mutuamente excluyentes si ambos pueden ocurrir simultneamente. P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A_B) P (A) + P (A) = 1

Ejercicio propuesto 1. La tabla siguiente muestra el nmero de hornos microondas vendidos por da en una tienda de ventas al detalle del rea metropolitana de San Juan # de microhondas (E) 0 1 2 3 4 # de das 15 48 25 22 10

Determinar la probabilidad de que el nmero de microondas que se vendan actualmente sean: a) 3 b) menos de 2 c) ms de 1 d) por lo menos 2 e) entre 1 y 3 ambos incluidos f) exactamente 4 SEMANA 6 TCNICAS DE CONTEO El anlisis de los problemas de probabilidad se facilita a travs de mtodos sistemticos de conteo de los grupos y arreglos de los datos. Principio de Multiplicacin Si un experimento puede describirse como una secuencia de k pasos y en cada paso hay n1 resultados en el primer paso, n2 resultados en el segundo paso, n3 resultados en el tercer paso, y as sucesivamente, entonces el nmero de eventos que pueden ocurrir ser, (n1) (n2) (n3) (n4) (nk) Ejemplos: 1. Lanzar dos dados: (n1) (n2) = (6) (6) = 36 2. Suponga que se desea formar un comit de tres miembros en el cul se elegir un presidente, un vicepresidente y un tesorero. Hay dos candidatos para la presidencia, 4 para la vicepresidencia y 3 para el tesorero. De cuntas formas se puede formar el comit? # de formas para escoger presidencia: 2 # de formas para escoger vicepresidencia : 4 # de formas para escoger el tesorero : 3 # formas para escoger las posiciones: 2 4 3 = 24

Muestras Ordenadas PERMUTACIN (P) Cada arreglo de datos donde el orden es importante y que puede realizarse tomando algunos datos o todos los datos contenidos en el grupo. NPn = N! / [N n]! N = # de elementos diferentes disponibles (poblacin) n = # nmero de elementos tomados de N (muestra) Tambin se denota como:

o NOTA Definicin de Factorial. El simbolo n! que se lee n factorial se refiere al producto de todos los enteros desde n hasta 1. n ! = n ( n 1 ) ( n 2 ) ( n 3 ) .3.2.1 definicin: 0 ! = 1 ( cero factorial es 1 ) ejemplos; 5 ! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 5!=5.4! 4!=4.3.2.14!=4.3! 3!=3.2.13!=3.2! 2!=2.1 Ejemplo. De cuntas maneras se pueden ordenar las letras A, B, C tomndolas todas a la vez? Solucin: 3P3 = 6 ; P= [ ABC, BCA, CAB, BAC, CBA, ACB ] Ejemplo: Un examen de candidatura consta de 5 partes que pueden obtenerse de un total de 10 temas. de cuntas maneras se pueden escoger las 5 partes?

10P5 = 10! / [10 5]! = 120 Ejemplo: Haga una lista de las permutaciones que pueden formarse con los #s: 1, 2, 3 y 4 tomando dos a la vez. 4P2 = 4! = 4 3 2! = 12 (4- 2)! 2 ! Muestras no ordenadas sin repeticin. Cuando el orden en que se seleccionan los objetos no importa, tenemos lo que se denomina una Combinacin. COMBINACIONES (C) Nmero de formas diferentes que se pueden seleccionar n objetos de un total de N objetos distintos sin importar el orden (Ej. juego de pker). NCn = N! / n! ( N n ) ! Tambin se denota como:

o como: Ejemplo:

o como:

Se dispone de 8 personas, 5 hombres y 3 mujeres, para formar un comit de 5 personas. De cuntas maneras se puede formar el comit si debe incluir 3 hombres y 2 mujeres? NCn = 8C5 = [5C3][3C2 ] = [ 5! / 3! (5-3)! ] [ 3! / 2! (3-2)!] NCn= 8C5 = [10] [3] = 30 Las permutaciones estn ligadas a las combinaciones mediante la siguiente identidad:

Ejercicios resueltos1 1. Cuntos nmeros de 3 cifras distintas se pueden formar con los nmeros 2, 3, 5, 7, 8, 9? Solucin: 6P3 = 120 2. Cinco personas entran en un vagn de ferrocarril en que hay 7 asientos. De cuntas maneras distintas pueden sentarse?1

Tomado de: http://ima.ucv.cl/mapoyo/guias/nat_combinatoria.pdf

Solucin: 7P5 = 2520 3. Cuntos nmeros de 4 cifras distintas se pueden formar con los nmeros 1, 3, 5, 6, 8, 0? Cuantos de ellos son pares? Ayuda: No hay que considerar los que empiezan con 0, por ejemplo 0135 135, y ste no es un nmero de 4 cifras. Respuesta: 6P4 5P3 = 360 60 = 300; pares = 5P3 * 3 5P3 = 120

20. Cuntas permutaciones pueden formarse con las letras de la palabra CUADERNO? Cuntas comenzarn con C y terminarn con O? 21. De cuntas maneras 4 hombres y 4 mujeres pueden sentarse alrededor de una mesa redonda, si se intercalan los sexos?

SEMANA 7 PROBABILIDAD CONDICIONAL En muchas ocasiones la probabilidad de que ocurra un evento depende de lo que ha ocurrido con otro evento. En este caso tenemos lo que se llama probabilidad condicional. Definicin de probabilidad condicional Se llama probabilidad condicional a la probabilidad de que un suceso se cumpla habindose cumplido ya otro. Se nota "probabilidad de A sabiendo que B se ha cumplido" de la siguiente manera: pB(A) p(A\B) Dicha probabilidad se calcular de la siguiente forma:

La probabilidad condicional de A, dado que ha ocurrido el evento B, se escribe P(A/B). O sea, es la probabilidad de que ocurra un evento A cuando se conoce cierta informacin relacionada con la ocurrencia de otro evento B. P(A/B) probabilidad de que ocurra A dado que B ha ocurrido. P(B/A) probabilidad de que ocurra B dado que A ha ocurrido. P(A/B) = P(A_B) / P(B) probabilidad condicional de A P(B/A) = P(A_B) / P(A) probabilidad condicional de B P(A_B). Es la probabilidad conjunta porque denota la interseccin de dos eventos, A y B. P(A) y P(B) se denominan probabilidades marginales Eventos Independientes y Dependientes Se dice que dos eventos son independientes si y solo si, P(A/B) = P(A) Se dice que dos eventos son dependientes si la ocurrencia de uno de ellos afecta la ocurrencia del otro. P(A/B) P(A)

Regla de Multiplicacin de probabilidad Esta regla de probabilidad se deriva de la definicin de probabilidad condicional y utiliza el concepto de interseccin de eventos para su aplicacin. a. Si A y B son eventos independientes, entonces,

P(A_B) = P(A) P(B) b. Si A y B son eventos dependientes, entonces, P(A_B) = P(B) P(A/B) P(A_B) = P(A) P(B/A) Ejemplo de probabilidad condicional 1: Un importador de pias recibe un cargamento de 500 cajas de la Repblica Dominicana. Los datos de pias daadas en cada caja se muestran a continuacin. El clculo de las probabilidades correspondientes se muestra en la columna P(E). Evento ( E ) # de pias daadas 0 1 2 3 # de cajas 385 90 14 11 P(E) 385 / 500 = 0.77 90 / 500 = 0.18 14 / 500 = 0.028 11 / 500 = 0.022

Ejemplo de probabilidad condicional 2: La tabla a continuacin nos presenta el ascenso a catedrticos de los profesores de una institucin durante los ltimos 5 aos. Tabla de Ascenso al rango de Catedrtico Hombres Mujeres Totales Ascendido A 278 26 304 No ascendido A' 662 194 856 Totales 940 220 1,160 En la tabla de las probabilidades las probabilidades conjuntas aparecen en el interior de la tabla y las probabilidades marginales en los mrgenes. Estas ltimas se llaman probabilidades marginales. Tabla de Probabilidades Conjunta Hombres Mujeres Totales A 0.24 0.02 A' 0.57 0.17 Totales 0.81 0.19 A- ascendido A'- no ascendido 0.26 0.74 1.00

Cul es la probabilidad de que un profesor seleccionado al azar sea hombre (H) y fue ascendido? P(H_A) = 278 / 1160 = 0.24 Cul es la probabilidad de que un profesor seleccionado al azar sea hombre (H) y no fue ascendido?

P(H_A') = 662 / 1160 = .57 Cul es la probabilidad de que un profesor seleccionado al azar sea mujer (M) fue ascendido? P(M_A) = 26 / 1160 = .02 Cul es la probabilidad de que un profesor seleccionado al azar sea mujer (M) y no fue ascendido? P(M_A') = 194 / 1160 = .17 Ejemplo de probabilidad condicional 3: Considerando los datos del ejemplo anterior, calcule: a. Cul es la probabilidad de que un profesor escogido al azar sea ascendido dado que es hombre (H)? P(A/H) = 278 / 940 = 0.30 Alternativamente P(A_H) = P(H) P(A/H) P(A/H) = P(A_H)/P(H) = 0.24 / 0.81 = .030 b. La probabilidad de que un profesor escogido al azar sea ascendido dado que es hombre (M) P(A/M) = 26 / 220 Alternativamente P(A_M) = P(M) P(A/M) P(A/M) = P(A_M) / P(M)= 0.02 / 0.19 = 0.12 Ejercicios de probabilidades propuestos 2 1. Una urna contiene 10 bolas, 6 blancas y 4 negras. Si se saca una bola al azar, cul es la probabilidad de que la bola sea blanca? Respuesta: 0.60 2. Se saca una carta de un mazo de 52 cartas: a. la probabilidad de que la carta sea un rey. Respuesta: 0 .071 b. la probabilidad que sea un As de corazn rojo. Respuesta: 0.019 c. la probabilidad que la carta sea negra. Respuesta: 0 .5 d. la probabilidad que la carta sea de espada. Respuesta: 0.25 3. Se saca una carta de un mazo de 52 cartas, cules la probabilidad de que sea un As o un Rey? Respuesta: 0.1538 4. Se saca una bola de una urna que contiene 12 bolas, 7 azules y 5 blancas, cul es la probabilidad de que sea azul o blanca. 5. Un individuo que entra a una farmacia tiene una probabilidad de comprar pasta dental de 0.45, de comprar desodorante de 0.35 y de comprar ambos de 0.25. Si ese individuo entra a la farmacia, cul es la probabilidad la de que compre pasta dental o desodorante? Respuesta: 0.552

http://facultad.sagrado.edu/ConceptosBasicos.pdf

6. Se saca una carta de un mazo de 52 cartas, cul es la probabilidad de que se obtenga un As o una carta roja? Respuesta: 0.538 7. En la poblacin de Puerto Rico se ha estimado que la probabilidad de fumar es de 0.65 y la de fumar ocasionalmente de 0.20, cul es la probabilidad de no fumar para esa poblacin? 8. En una universidad 40% poseen un diploma en el idioma Francs, 30% poseen un diploma en el idioma Italiano y 10% poseen un diploma en ambos idiomas. Si se escoge un miembro de esa comunidad al azar, cul es la probabilidad de que posea un diploma de Francs o Italiano? 9. Suponga que un distribuidor de autos recibe 12 nuevos modelos, 8 automticos y 4 estndares. Si se venden cuatro autos el prximo mes, cul es la probabilidad de que los autos vendidos sean dos automticos y dos estndares? Cul es la probabilidad de que los 4 sean o automticos o estndares? Respuesta: 0.33 y 0.1434 10. La probabilidad de que ocurra el evento A es 0.35, la probabilidad de que ocurra el evento B es 0.10. Si A y B son eventos independientes, cul es la probabilidad de que ocurra el evento [P(AB]? 11. 55 porciento de las personas de Puerto Rico viven en el rea metropolitana de San Juan (SJMA). Adems, 70 porciento de esas personas se sienten felices y 40 porciento de todas las personas de PR viven en el SJMA y son felices. Demostrar si los eventos vivir en el SJMA y ser felices son eventos dependientes o independientes. 12. Si los eventos A y B son mutuamente excluyentes y si P(A) = 0.30 y P(B) = 0.45, determinar P(A B ) y P( A / B) 13. El 50% de las personas de una comunidad poseen una cmara digital y una computadora. Adems, 30% posee una computadora y 40% una cmara digital. Cul es la probabilidad que si seleccionamos una persona al azar posea una cmara o una computadora?

UNIDAD II FUNCIONES PROBABILSTICASObjetivos: Determinar y graficar las funciones de probabilidad y de distribucin de una cierta variable aleatoria discreta y continua. Distinguir una ley de probabilidades de otra mediante sus caractersticas

ORIENTACIONES PARA EL TRABAJO CON LA UNIDAD II La unidad 2 se estudia desde la 8va hasta la 11ra semana de clases y comprende temas como: distribucin de probabilidad, distribucin binomial, distribucin hipergeomtrica, distribucin de Poisson, distribucin de Gauss. Los temas a revisarse durante cada una de las semanas se encuentran conformados por: teora, ejercicios resueltos y ejercicios propuestos. El estudiante debe leer las bases tericas y adicionalmente complementar estas definiciones con investigaciones personales sobre el tema. Se sugiere estudiar los ejercicios propuestos para posteriormente resolver los ejercicios propuestos. SEMANA 8 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD Los procesos reales que se modelizan como procesos aleatorios pueden no serlo realmente; cmo tirar una moneda o un dado no son procesos aleatorios en sentido estricto, ya que no se reproducen exactamente las mismas condiciones iniciales que lo determinan sino slo unas pocas. Los procesos reales que se modelizan mediante distribuciones de probabilidad corresponden a modelos complejos donde no se conocen todos los parmetros que intervienen o no son reproducibles sus condiciones iniciales (teora del caos). Para simplificar, generalmente a este tipo de problemas tambin se le considera aleatorio aunque estrictamente hablando no lo sea. La distribucin de probabilidad es un modelo terico que describe la forma en que varan los resultados de un experimento aleatorio. Lista de los resultados de un experimento con las probabilidades que se esperaran ver asociadas con cada resultado.

Funcin de densidad de probabilidad La funcin de densidad, o densidad de probabilidad de una variable aleatoria, es una funcin a partir de la cual se obtiene la probabilidad de cada valor que toma la variable. Su integral en el caso de variables aleatorias continuas es la distribucin de probabilidad. En el caso de variables aleatorias discretas la distribucin de probabilidad se obtiene a travs del sumatorio de la funcin de densidad. Es una funcin que mide concentracin de probabilidad alrededor de los valores de una variable aleatoria continua.

Funcin de probabilidad: funcin que asigna probabilidades a cada uno de los valores de una variable aleatoria discreta. Funcin de distribucin: funcin que acumula probabilidades asociadas a una variable aleatoria.

ESPERANZA MATEMATICA O VALOR ESPERADO En estadstica la esperanza matemtica o valor esperado de una variable aleatoria es la suma de la probabilidad de cada suceso multiplicada por su valor. Por ejemplo en un juego de azar el valor esperado es el beneficio medio. Es el valor de la variable aleatoria para el cual la funcin de distribucin se maximiza. Para funciones de distribucin simtricas con un mximo central el valor esperado coincide con la Media ponderada. Si todos los sucesos son de igual probabilidad la esperanza es la media aritmtica.

Definicin de la esperanza Para una variable aleatoria discreta con valores posibles representadas por la funcin de masa p(xi) la esperanza se calcula con y sus posibilidades

Para una variable aleatoria continua la esperanza se calcula mediante la integral de todos los valores y la funcin de densidad f(x):

o La esperanza tambin se suele simbolizar con = E[X]

Las esperanzas los momentos centrados

para

se llaman momentos de orden . Ms importantes son .

No todas las variables aleatorias tienen un valor esperado (por ejemplo la distribucin de Cauchy). La esperanza es un operador lineal, ya que , donde e son variables aleatorias y y dos constantes cualesquiera

SEMANA 9 DISTRIBUCION BINOMIAL Supongamos que un experimento aleatorio tiene las siguientes caractersticas:

En cada prueba del experimento slo son posibles dos resultados: el suceso A El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados La probabilidad del suceso A es constante, la representamos por p, y no vara El experimento consta de un nmero n de pruebas.

(xito) y su contrario (fracaso).

obtenidos anteriormente.

de una prueba a otra. La probabilidad de A es 1- p y la representamos por q .

Todo experimento que tenga estas caractersticas diremos que sigue el modelo de la distribucin Binomial. A la variable X que expresa el nmero de xitos obtenidos en cada prueba del experimento, la llamaremos variable aleatoria binomial. La variable binomial es una variable aleatoria discreta, slo puede tomar los valores 0, 1, 2, 3, 4,..n suponiendo que se han realizado n pruebas. Como hay que considerar todas las maneras posibles de obtener k-xitos y (n-k) fracasos debemos calcular stas por combinaciones (nmero combinatorio n sobre k). La distribucin Binomial se suele representar por B(n,p) siendo n y p los parmetros de dicha distribucin. Parmetros de la Distribucin Binomial

Funcin de Distribucin de la v.a. Binomial

siendo k el mayor nmero entero menor o igual a xi.

Esta funcin de distribucin proporciona, para cada nmero real xi, la probabilidad de que la variable X tome valores menores o iguales que xi. El clculo de las F(x) = p( X puede resultar laborioso, por ello se han construido tablas para x) algunos valores de n y p que nos facilitan el trabajo. Sea X una variable aleatoria discreta correspondiente a una distribucin binomial.

Ejemplo 1 Una mquina fabrica una determinada pieza y se sabe que produce un 7 por 1000 de piezas defectuosas. Hallar la probabilidad de que al examinar 50 piezas slo haya una defectuosa. Solucin: Se trata de una distribucin binomial de parmetros B(50, 0'007) y debemos calcular la probabilidad p(X=1).

Ejemplo 2 La probabilidad de xito de una determinada vacuna es 0,72. Calcula la probabilidad de a que una vez a) b) Solucin : Se trata de una distribucin binomial de parmetros B(15, 0'72) administrada Ninguno Todos sufra sufran a 15 la la pacientes: enfermedad enfermedad

c) Dos de ellos contraigan la enfermedad

Ejemplo 3

La probabilidad de que el carburador de un coche salga de fbrica defectuoso es del 4 por 100. Hallar: a) El nmero de carburadores defectuosos esperados en un lote de 1000 b) La varianza y la desviacin tpica. Solucin:

DISTRIBUCION HIPERGEOMETRICA Los experimentos que tienen este tipo de distribucin tienen las siguientes caractersticas: a) b) c) d) Al realizar un experimento con este tipo de distribucin, se esperan dos tipos de resultados. Las probabilidades asociadas a cada uno de los resultados no son constantes. Cada ensayo o repeticin del experimento no es independiente de los dems. El nmero de repeticiones del experimento (n) es constante.C x * N a C n x N Cn

Se calcula as:p( x , n ) =a

Donde: p(x,n) = probabilidad de obtener x objetos defectuosos de entre n seleccionadosa

C x * N a C n x = muestras de n objetos en donde hay x que son defectuosos y n-x buenos C n = = todas las muestras posibles de seleccionar de n objetos tomadas de entre N

N

objetos en total = espacio muestral Ejemplo: Considerando que en la urna hay un total de 10 objetos, 3 de los cuales son defectuosos, si de seleccionan 4 objetos al azar, cul es la probabilidad de que 2 sean defectuosos? Solucin: N = 10 objetos en total a = 3 objetos defectuosos n = 4 objetos seleccionados en muestra x = 2 objetos defectuosos deseados en la muestra

p( x = 2, n = 4 ) =

3

C2*10 3 C4 2 10 C4

3! 7! * C* C ( 3 2 )!2! ( 7 2 )!2! = 3 2 7 2 = = 10! 10 C4 ( 10 4 )!4!

3! 7! 3 x 2 x1! 7 x 6 x5! * * 1!2! 5! 2! = 1!2! 5!2! = 3 x 2 x 7 x6 * 4! = = 10! 10 x9 x8 x7 x 6! 10 x9 x8 x7 2!2! 6!4! 6!4!

donde:3 x 2 x7 x6 = 10 x9 x8 x7

probabilidad asociada a cada muestra de 4 objetos que se seleccionaron, con

lo que se demuestra que las probabilidades no son constantes4! = 2!2!

formas o maneras de obtener 2 objetos defectuosos entre los 4 seleccionados =

muestras de 4 objetos entre los que 2 son defectuosos Luego la probabilidad de obtener 2 objetos defectuosos entre los 4 seleccionados al azar sera:

=

3 x 2 x7 x 6 4! 252 24 6048 * = * = = 0.30 10 x9 x8 x7 2!2! 5040 4 20160

Ejemplo: Para evitar que lo descubran en la aduana, un viajero ha colocado 6 tabletas de narctico en una botella que contiene 9 pldoras de vitamina que son similares en apariencia. Si el oficial de la aduana selecciona 3 tabletas aleatoriamente para analizarlas, a) Cul es la probabilidad de que el viajero sea arrestado por posesin de narcticos?, b) Cul es la probabilidad de que no sea arrestado por posesin de narcticos? Solucin: a) N = 9+6 =15 total de tabletas

a = 6 tabletas de narctico n = 3 tabletas seleccionadas x = 0, 1, 2, o 3 tabletas de narctico = variable que nos indica el nmero de tabletas de narctico que se puede encontrar al seleccionar las 3 tabletas p(viajero sea arrestado por posesin de narcticos) = p(de que entre las 3 tabletas seleccionadas haya 1 o ms tabletas de narctico)= p( x = 1,23tabletas ; n = 3 ) = =6

C1* 9 C2 6 C2* 9 C1 6 C3* 9 C0 + + = C3 C3 C3 15 15 15

( 6 )( 36 ) ( 15 )( 9 ) ( 20 )( 1 ) 216 + 135 + 20 371 + + = = = 0.81538 455 455 455 455 455

otra forma de resolver; p(el viajero sea arrestado por posesin de narcticos) = 1 p(de que entre las tabletas seleccionadas no haya una sola de narctico)= 1 p( x = 0; n = 3 ) = 1 6

C0* 9 C3 = 15 C3

= 1

( 1 )( 84 ) = 0.184615 = 0.815385 455 C0* 9 C3 = C3 15

a)

p(no sea arrestado por posesin de narcticos)= p( x = 0; n = 3 ) = =6

( 1 )( 84 ) = 0.184615 455

Ejemplo: De un lote de 10 proyectiles, 4 se seleccionan al azar y se disparan. Si el lote contiene 3 proyectiles defectuosos que no explotarn, cul es la probabilidad de que , a) los 4 exploten?, b) al menos 2 no exploten? Solucin: a) N = 10 proyectiles en total a = 7 proyectiles que explotan n = 4 proyectiles seleccionados x = 0, 1, 2, 3 o 4 proyectiles que explotan = variable que nos define el nmero de proyectiles que explotan entre la muestra que se dispara

p( x = 4; n = 4 ) =

7

C4* 3 C0 ( 35 )( 1 ) 35 = = = 0.16667 210 210 10 C4

b) N = 10 proyectiles en total a = 3 proyectiles que no explotan n = 4 proyectiles seleccionados x = 0, 1, 2 o 3 proyectiles que no explotan p(al menos 2 no exploten) = p( 2 o ms proyectiles no exploten) = p(x = 2 o 3; n=4) ==3

C2* 7 C2 + 3 C3* 7 C1 ( 3 )( 21 ) + ( 1 )( 7 ) 63 + 7 70 = = = = 0.333333 210 210 210 10 C4

Ejemplo: Cul es la probabilidad de que una mesera se rehse a servir bebidas alcohlicas nicamente a dos menores de edad si verifica aleatoriamente solo 5 identificaciones de entre 9 estudiantes, de los cuales 4 no tienen la edad suficiente?, b) Cul es la probabilidad de que como mximo 2 de las identificaciones pertenezcan a menores de edad? Solucin: a) N = 9 total de estudiantes a = 4 estudiantes menores de edad n = 5 identificaciones seleccionadas x = variable que nos define el nmero de identificaciones que pertenecen a personas menores de edad x = 0, 1, 2, 3 o 4 identificaciones de personas menores de edadp( x = 2,n = 5 ) =4

C2 * 5 C39

C5

=

( 3 )( 10 ) = 0.238095 126

b) N = 9 total de estudiantes a = 4 estudiantes menores de edad n = 5 identificaciones seleccionadas x = variable que nos define el nmero de identificaciones que pertenecen a personas menores de edad x = 0, 1, 2, 3 o 4 identificaciones de personas menores de edadC0* 5 C5 + 4 C1* 5 C4 + 4 C2* 5 C3 ( 1 )( 1 ) + ( 4 )( 5 ) + ( 6 )( 10 ) = = 126 9 C5

p( x = 0 ,1,2; n = 5 ) =

4

=

1 + 20 + 60 81 = = 0.64286 126 126

Ejercicio propuesto 1. Una compaa manufacturera utiliza un esquema para la aceptacin de los artculos producidos antes de ser embarcados. El plan es de dos etapas. Se preparan cajas de 25 para embarque y se selecciona una muestra de 3 para verificar si tienen algn artculo defectuoso. Si se encuentra uno, la caja entera se regresa para verificarla al 100%. Si no se encuentra ningn artculo defectuoso, la caja se embarca. a) Cul es la probabilidad de que se embarque una caja que tiene tres artculos defectuosos?, b) Cul es la probabilidad de que una caja que contiene solo un artculo defectuoso se regresa para verificacin? SEMANA 10 DISTRIBUCION DE POISSON Es una distribucin de probabilidad discreta. Expresa la probabilidad de un nmero de eventos ocurriendo en un tiempo fijo si estos eventos ocurren con una tasa media conocida, y son independientes del tiempo desde el ltimo evento. Su distribucin de probabilidad est dada por:

Donde:

e es el base del logaritmo natural (e = 2.71828...), k! es el factorial de k, es un nmero real positivo, equivalente al nmero esperado de ocurrencias durante un intervalo dado. Por ejemplo, si los eventos ocurren de media cada 4 minutos, y se est interesado en el nmero de eventos ocurriendo en un intervalo de 10 minutos, se usara como modelo una distribucin de Poisson con = 2.5.

Ejemplo: Por ejemplo, si 2% de los libros encuadernados en cierto taller tiene encuadernacin defectuosa, obtener la probabilidad de que 5 de 400 libros encuadernados en este taller tengan encuadernaciones defectuosas.

SEMANA 11 DISTRIBUCION NORMAL La distribucin normal, tambin llamada distribucin de Gauss o distribucin gaussiana, es la distribucin de probabilidad que con ms frecuencia aparece en estadstica y teora de probabilidades. Esto se debe a dos razones fundamentalmente:

Su funcin de densidad es simtrica y con forma de campana, lo que favorece su aplicacin como modelo a gran nmero de variables estadsticas. Es, adems, lmite de otras distribuciones y aparece relacionada con multitud de resultados ligados a la teora de las probabilidades gracias a sus propiedades matemticas.

La funcin de densidad est dada por:

donde () es la media y (sigma) es la desviacin estndar (2 es la varianza). Muchas variables aleatorias continuas presentan una funcin de densidad cuya grfica tiene forma de campana. La importancia de la distribucin normal se debe principalmente a que hay muchas variables asociadas a fenmenos naturales que siguen el modelo de la normal:

Caracteres morfolgicos de individuos Caracteres fisiolgicos como el efecto de un frmaco Caracteres sociolgicos como el consumo de cierto producto por un mismo grupo de individuos Caracteres psicolgicos como el cociente intelectual Errores cometidos al medir ciertas magnitudes Valores estadsticos muestrales como la media

Distribucin normal estndar. Estandarizacin Cuando = 0 y = 1, la distribucin se conoce con el nombre de normal estndar.

Dada una variable aleatoria normal X, con media (tambin llamada Esperanza matemtica) y

desviacin tpica , si definimos otra variable aleatoria

entonces la variable aleatoria

Z tendr una distribucin normal estndar = 0 y = 1. Se dice que se ha tipificado la variable X. Ejemplo: Para hallar la probabilidad de la distribucin normal, se deben usar tablas predefinidas que nos dan estos valores directamente, si bien stas se calculan para la distribucin Normal Tipificada. En el caso de que la distribucin no sea estndar, por ejemplo, x=2.6 y N(,) con = 2 y = 3, tendremos que tipificar la variable:

Obtenemos una variable Z normal, que adems est tipificada. Si ahora consultamos en la tabla,

UNIDAD III PROCESOS ESTOCSTICOSObjetivos: Introducir al estudiante en la problemtica del modelamiento de sistemas estocsticos. Resolver problemas asociados a las transiciones entre estados Adquirir los conceptos de irreducibilidad y periodicidad. Clasificar los estados de una cadena de Markov. Utilizar la clasificacin de los estados y la periodicidad de los mismos para conocer el comportamiento a largo plazo de una cadena de Markov.

ORIENTACIONES PARA EL TRABAJO CON LA UNIDAD III La unidad III se estudiar desde la 12da hasta la 18va semana de clases y comprende temas como: Ruido, movimiento Browniano, cadenas de Harkov en tiempo discreto y continuo, teora ergdica, para finalmente terminar revisando las ecuaciones de Chapman-Kolmogorov. Los temas a revisarse durante cada una de las semanas se encuentran conformados por: teora, ejercicios resueltos y ejercicios propuestos. El estudiante debe leer las bases tericas y adicionalmente complementar estas definiciones con investigaciones personales sobre el tema. Se sugiere estudiar los ejercicios propuestos para posteriormente resolver los ejercicios propuestos. SEMANA 12 PROCESOS GAUSSIANOS RUIDO El ruido es la suma de mltiples interferencias, de origen desconocido y de naturaleza aleatoria. Origen del ruido El ruido se genera de varias formas entre las que tenemos: La agitacin trmica producida en las molculas del material que forma el conductor, por el choque con los electrones en movimiento. La irradiacin de los cuerpos negros es otro factor importante en el ruido de las comunicaciones por radio, ya que todos los objetos del universo, dependiendo de su temperatura, emiten energa en forma de ondas electromagnticas.

El ruido producido por fuentes tales como contactos defectuosos, artefactos elctricos, radiacin por ignicin y alumbrado fluorescente. El ruido errtico producido por fenmenos naturales tales como tormentas elctricas con relmpagos y rayos.

La magnitud del ruido generado por un dispositivo electrnico, se puede expresar mediante el denominado factor de ruido (F), que es el resultado de dividir la relacin seal/ruido en la entrada (S/R)ent por la relacin seal/ruido en la salida (S/R)sal. El factor de ruido es un parmetro importante en los sistemas de transmisin, ya que mientras el ruido externo nunca se podr eliminar totalmente, la reduccin del ruido generado por los equipos depende del cuidado de su diseo. MOVIMIENTO BROWNIANO Observemos con cuidado la bocanada de humo que lanza al aire un fumador. Veremos que est compuesta de pequesimas partculas que se estn moviendo continuamente en todas las direcciones, tambin en zigzag. Se observa que partculas muy pequeas se hallan inmersas en un fluido, que en ste caso es el aire de la atmsfera. El movimiento descrito, que lleva a cabo una partcula muy pequea que est inmersa en un fluido, se llama movimiento browniano. Este movimiento se caracteriza por ser continuo y muy irregular. La trayectoria que sigue la partcula es en zigzag.

El movimiento browniano es de tipo estocstico y su descripcin se hace en trminos de su distribucin. Adems hay que tener en mente que esta fuerza estocstica cambia al transcurrir el tiempo, lo que significa que no slo hay que decir algo acerca de su distribucin en un instante dado de tiempo, sino tambin algo acerca de cmo estn relacionados los valores de las fuerzas estocsticas en distintos instantes.

Langevin formul la hiptesis, que de hecho es la ms sencilla, de que la distribucin de la fuerza estocstica es gaussiana. Por tanto, su determinacin se reduce a conocer su promedio y su desviacin estndar. DISTRIBUCION DE RAYLEIGH Esta distribucin es usada en trabajos de confiabilidad asociados a problemas en teora del sonido. Su funcin de densidad est dada por

La funcin de distribucin acumulada est dada por

Si T es una variable aleatoria que sigue esta ley de probabilidad se puede demostrar que su esperanza es

Siendo G ( ) la funcin gamma definida por

Ejemplo: Se suele presentar cuando un vector bidimensional (por ejemplo, el que representa la velocidad del viento) tiene sus dos componentes, ortogonales, independientes y siguen una distribucin normal. Su valor absoluto seguir entonces una distribucin de Rayleigh. Esta distribucin tambin se puede presentar en el caso de nmeros complejos con componentes real e imaginaria independientes y siguiendo una distribucin normal. Su valor absoluto sigue una distribucin de Rayleigh. Ejemplo: Interfaz de radio con GSM Si suponemos que el mvil se mueve (como es evidente), aadimos los efectos de la propagacin terrestre, que est dominada por la influencia ms destructiva de todas: los desvanecimientos Rayleigh. Dado que las ondas de radio pueden seguir una variedad de caminos hasta el receptor mvil, pueden ocurrir cambios de fase, que son dependientes de la frecuencia. Este tipo de desvanecimientos ocurren con una distribucin estadstica llamada distribucin Rayleigh. La distribucin tipo Rayleigh que involucra el voltaje recibido antes de la deteccin de envolvente, y la potencia media de la seal recibida antes de la deteccin de envolvente. La probabilidad de que la

envolvente de la seal recibida no exceda un valor especificado R est data por la correspondiente funcin de distribucin acumulativa

SEMANA 13 PROCESOS ESTOCASTICOS DEFINICIONES DE PROCESOS ESTOCASTICOS Palabra proveniente del griego: , hbil en conjeturar. Significa "perteneciente o relativo al azar" segn el diccionario. Se denomina estocstico a aquel sistema que funciona, sobre todo, por el azar. Las leyes de causaefecto no explican cmo acta el sistema (y de modo reducido el fenmeno) de manera determinista, sino en funcin de probabilidades. En Matemticas y en concreto en Estadstica y Teora de la Probabilidad un proceso aleatorio o proceso estocstico (o probabilstico) es un concepto matemtico que sirve para caracterizar y estudiar todo tipo fenmenos aleatorios (estocsticos) que evolucionan, generalmente, con el tiempo. Ejemplo: El ndice de la bolsa es un ejemplo de proceso estocstico de tipo no estacionario, por eso no se puede predecir. Los siguientes son ejemplos de procesos estocsticos dentro del amplio grupo de las series temporales:o o o o o o

Seales de telecomunicacin Seales biomdicas (electrocardiograma, encefalograma, etc...) Seales ssmicas El nmero de manchas solares ao tras ao El ndice de la bolsa segundo a segundo La evolucin de la poblacin de un municipio ao tras ao

El tiempo de espera en cola de cada uno de los usuarios que van llegando a una ventanilla El clima es un gigantesco cmulo de procesos estocsticos interrelacionados (velocidad del viento, humedad del aire, temperatura, etc.) que evolucionan en el espacio y en el tiempo.

Definicin matemtica

Un proceso estocstico se puede definir equivalentemente de dos formas diferentes:

Como un conjunto de variables aleatorias Xk indexadas por un ndice k, que puede ser continuo o discreto Como un conjunto de realizaciones temporales y un ndice aleatorio que selecciona una de ellas.

Las variables aleatorias Xk toman valores en un conjunto que se denomina espacio de estados CADENAS DE MARKOV Una cadena de Markov, propuesta por el matemtico ruso Andrei Markov en 1907, es una serie de eventos (X1, X2, ,Xn), en la cual la probabilidad de que ocurra un evento depende del evento inmediato anterior. El rango de estas variables, es llamado espacio estado, el valor de Xn es el estado del proceso en el tiempo n. Las cadenas de este tipo tienen memoria. "Recuerdan" el ltimo evento y esto condiciona las posibilidades de los eventos futuros. Esta dependencia del evento anterior distingue a las cadenas de Markov de las series de eventos independientes, como tirar una moneda al aire o un dado. Ejemplo: En los negocios, las cadenas de Markov se han utilizado para analizar los patrones de compra de los deudores morosos, para planear las necesidades de personal y para analizar el reemplazo de equipo. Todos estos procesos se caracterizan porque su estado presente resume toda la informacin relevante para describir en probabilidad su estado futuro. Ejemplo: Escogemos 4 estudiantes al azar en una clase formada por 10 chicos y 5 chicas. Cul es la probabilidad de que hayan sido elegidos chico, chica, chica, chica en ese orden? Solucin: Ntese que stos sucesos son dependientes pero NO son estocsticos ya que por ejemplo la ocurrencia del ltimo evento no de pende solo del inmediatamente anterior, sino de todos los anteriores puesto que existe un orden predefinido. P(O1A2A3A4)=P(O1).P(A2/O1).P(A3/O1A2).P(A4/O1A2A3)=

10 5 4 3 . . . = 0.0183 15 14 13 12

Ejemplo:

Sea el experimento de tirar dardos 4 veces sobre una diana con probabilidad de acertar cada vez igual a 0.4. Solucin: Otra vez es una sucesin de 4 pruebas y cada una de ellas tiene dos acontecimientos posibles: acertar o errar. Pero ahora las pruebas son independientes y, por lo tanto, la probabilidad de que ocurra un suceso determinado en una de las pruebas es independiente del resultado de las anteriores. Por ejemplo la probabilidad de que hayan ocurrido acierto, error, error, error en ese orden sera: P(A1E2E3E4)=P(A1).P(E2).P(E3).P(E4)= (0.4).(0.6).(0.6).(0.6)= 0.0864 Este es un proceso probabilstica que NO es estocstico. Ejemplo: Durante las cuatro horas a la semana que tienen los alumnos de Estadstica se reparten entre dos aulas: o van al aula de Informtica, o trabajan en clase. Nunca van a los ordenadores dos das seguidos pero si un da trabaja en clase es igualmente probable que el da siguiente realice cualquiera de las dos tareas. El lunes, el profesor tira una moneda para decidir a dnde van. Solucin: Una vez ms el experimento consta de cuatro pruebas con dos sucesos en cada una de ellas (ir al aula de informtica o no ir). A diferencia de los experimentos anteriores, la probabilidad de que en cada una de las pruebas ocurra un acontecimiento depende nicamente del resultado de la prueba anterior. Procesos de este tipo SI son estocsticos. La probabilidad de ir al aula de informtica slo el primer da: (I :"ir al aula de informtica"; C=" trabaja en clase"). P( I1C2C3C4)= P(I1).P(C2/I1).P(C3/C2).P(C4/C3)=

1 1 1 .1. . = 0.125 2 2 2

Ejemplo: Calcule la probabilidad de ir al aula de informtica el tercer da. p1(2). Solucin: (Aqu hay que tener en cuenta las probabilidades iniciales p1(0) y p2(0)) , entonces: p1(2)=p11(2).p1(0)+ p21(2).p2(0)=0.375 ) Ejercicios propuestos Considere que los posibles estados del experimento anterior son: a1="ir al aula de Informtica" p11=probabilidad de ir del estado a1 al estado a1=0

a2=

"trabaja

en

clase"

p12=probabilidad de ir del estado a1 al estado a2=1

p1(0)=probabilidad inicial de ir al estado a1=1/2 p21=probabilidad de ir del estado a2 al estado a1=1/2 p2(0)=probabilidad inicial de ir al estado p22=probabilidad de ir del estado a2 al estado a2=1/2 a2=1/2 Se llaman probabilidades de transicin entre estados de la cadena Ahora, escriba los valores de las probabilidades de la matriz de transicin del problema anterior a lo largo de cuatro das seguidos (n=3 pasos) Qu ocurrir? 1. Observe los caminos que hay para ir de a1(primer da) a a1 el cuarto da (en n=3 pasos). La escena te da la probabilidad que ser llamada p11(3). Compruebe que te da lo mismo que la probabilidad de ir al aula de informtica en tres pasos (el cuarto da) sabiendo que tambin fueron el primer da. 2. Lo mismo para ir de a1 a a2 en tres pasos. p12(3). 3. Y de a2 a a1 en tres pasos? p21(3). 4. Lo mismo de a2 a a2 en tres pasos. p22(3).. 5. Observe que tiene que ocurrir que p1(0)+ p2(0)=1 6. Observe que tiene que ocurrir que p11+ p12=1 p21+ p22=1

Calcule ahora las siguientes probabilidades para el problema anterior: 7. Calcule la probabilidad de ir al aula de informtica en tres pasos (el cuarto da): p1(3). Qu diferencia observas entre la cuestin 1 y esta?Qu probabilidades intervienen? SEMANA 14 CADENAS FINITAS DE MARKOV Un proceso estocstico finito en el que se verifica que el resultado de una prueba determinada depende como mximo de la prueba inmediatamente anterior y no de ninguno de los resultado previos , recibe el nombre de Cadena finita de Markov. En una cadena de Markov hay:

Un espacio de estados E={a1,a2,a3,.... an } (Cada estado son todos los resultados posibles de cada una de las pruebas).

Cuando el resultado de la prueba r es ai decimos que el proceso est en el estado ai en el paso rsimo.

Para cada dos estados ai y aj , la probabilidad de que el estado aj ocurra inmediatamente despus que el estado ai, que llamaremos probabilidad de transicin del estado ai al estado aj , y que designaremos por Pij.

Si ordenamos todas las probabilidades de transicin Pij en una matriz nxn obtenemos

la matriz de transicin del proceso:

P11 P P = 21 ..... P n1Ejemplo:

P12 P22 ..... Pn 2

....... ....... ....... .......

P1n P2 n ..... Pnn

El departamento de estudios de mercado de una fbrica estima que el 20% de la gente que compra un producto un mes, no lo comprar el mes siguiente. Adems, el 30% de quienes no lo compren un mes lo adquirir al mes siguiente. En una poblacin de 1000 individuos, 100 compraron el producto el primer mes. Cuntos lo comprarn al mes prximo? Y dentro de dos meses ? Solucin Para entender el problema, se recomienda realizar un grfico del mismo.

As, la matriz de probabilidades de transicin es: Compra el producto No compra el producto Al estado 0,80 0,30 Compra el producto 0,20 0,70 No compra el producto

La matriz es estocstica (P) porque sumando todas sus columnas, el resultado es 1. Ahora formamos la matriz de estado con los datos del problema (le llamaremos X). Ntese que en X, en la primera fila he puesto las personas que compran el producto 100, en la segunda los que no lo compran 1000-100=900.

Ahora para averiguar la nueva matriz de estado en el primer mes se debe multiplicar la matriz de probabilidades de transicin P por la matriz inicial de estado X. Al primer mes, 350 han comprado el producto y 650 no lo han comprado.

Para el siguiente mes, vuelvo a multiplicar la matriz de probabilidades de transicin por la nueva matriz de estado obtenida. En este caso, primero se ha asignado a X el producto de P.X, con lo cual se tiene la nueva matriz de estado al cabo del primer mes. Para el siguiente mes, el proceso se repite, y la matriz obtenida sera la nueva matriz de estado (en el segundo mes de estudio).

Otro procedimiento sera haber dejado la matriz de estado inicial X y para el segundo mes, como se debe multiplicar dos veces por P (por la izquierda), se podra haber efectuado (P2 . X). El resultado indica que en el segundo mes 475 personas han comprado el producto y 525 no.

Vamos a hacer un experimento ya que disponemos de la Classpad que nos ahorra clculos repetitivos. Qu pasar en los meses siguientes suponiendo que no cambia la matriz de probabilidades de transicin?

Ntese que en este tipo de problemas, el producto Pn . X tiende a un estado estacionario, el cual es independiente de la matriz de estado inicial X. MATRIZ ESTOCSTICA O DE PROBABILIDADES DE TRANSICIN En esta matriz cada lnea contiene las probabilidades de transicin de un estado determinado a todos los dems, es decir, las probabilidades de todos los resultados posibles de la prxima prueba. La suma de todas estas probabilidades debe de ser 1 y, por tanto, la suma de los elementos de cada fila de la matriz de transicin vale 1. Como adems todos los elementos de la matriz son 0 por ser probabilidades, la matriz de transicin es una matriz estocstica.

El vector formado por las probabilidades del estado inicial del sistema., llamado(0)

vector de probabilidad inicial

P ( 0 ) = ( P1 , P2( 0 ) ,.......,Pn( 0 ) )Obsrvese que la suma de las probabilidades que expresan los elementos del vector debe ser igual a 1 y, por lo tanto, el vector de probabilidad inicial es un vector estocstico. Ejercicios propuestos 1. Escriba el espacio de estados y la matriz de transicin para el ejemplo de la escena anterior. 2. Un alumno acude al Instituto, o bien en bicicleta o andando. Si un da emplea la bicicleta, al da siguiente utilizar la bicicleta con probabilidad 1/2, y si va andando al da siguiente tambin lo har con probabilidad 3/4. Calcule el espacio de estados, la matriz de transicin del proceso. 3. En una regin, si un da hay niebla al siguiente llueve pero, si llueve, el da siguiente es soleado. Se tiene observado que las probabilidades de que a un da con sol suceda un da nublado o lluvioso son, respectivamente, 0.4 y 0.6. Definir el espacio de estados y la matriz de transicin del proceso. 4. Una Central de seguridad vial chequea a menudo uno de tres puntos conflictivos A, B y C. La probabilidad de que un da controle el mismo lugar que el da anterior es 1/2 y las probabilidades de que controle uno cualquiera de los otros dos puntos restantes son iguales. Definir el espacio de estados y la matriz de transicin del proceso. PROBABILIDAD DE TRANSICIN EN K PASOS Es la probabilidad de que un proceso pase del estado ai al estado aj en k pasos . se escribe

Pij

(k )

para i,j=1,2,3,....,n. Estas probabilidades se pueden ordenar en una matriz que se llama matriz de transicin en k pasos:

P (k )

P11 ( k ) (k ) P = 21 ...... P (k ) n1

P12 (k ) P22 ....... (k ) Pn 2

(k )

(k ) P1n (k ) P2 n ....... ....... (k ) ...... Pnn

...... ......

Teorema: Si P es la matriz de transicin de una cadena de Markov, entonces la matriz de transicin de k pasos es la k-sima potencia de P

P (k ) = P kEjercicios propuestos 1. En una ciudad existen dos partidos polticos, uno de derechas y otro de izquierdas. Los alcaldes son elegidos por un perodo de un ao y se ha observado que la probabilidad de que a un alcalde de derechas suceda otro del mismo signo poltico es 3/5 y que a un alcalde de izquierdas siga otro de izquierdas es 1/2. a) Supongamos que en 2005 hay alcalde de izquierdas. Cul ser la probabilidad de que en 2008 siga un alcalde de izquierdas al frente del concejo? 2. Un hombre conduce su coche o toma el tren para ir a trabajar cada da. Supongamos que nunca toma el tren dos das seguidos; pero si conduce para ir a trabajar, entonces al da siguiente es tan probable que conduzca de nuevo como que tome el tren. a) Escribe la matriz de transicin del proceso. b) Calcule la probabilidad de que vaya en coche, cuatro das despus de haber ido en tren. 3. Un ascensor de un edificio con bajo y dos pisos realiza viajes de uno a otro piso (lleno o vaco de ocupantes). El piso en el que termina el viaje n-simo del ascensor sigue una cadena de Markov. Se sabe que la mitad de los viajes que parten del bajo se dirigen a cada uno de los otros dos pisos, mientras que si un viaje comienza en el primer piso, slo el 25 % de las veces finaliza en el segundo. Por ltimo, si un trayecto comienza en el segundo piso, siempre termina en el bajo. A) B) Calcular la matriz de probabilidades de transicin de la cadena. Dibujar su grfico asociado. Es regular.

C) Dnde es ms probable que est el ascensor despus de cuatro viajes, si sali del Bajo? 4. Una familia planifica cada ao sus vacaciones de la siguiente manera. Si un ao va a la montaa al ao siguiente va al mar y al segundo ao descansa en la casa. Pero al ao siguiente es igualmente

probable que se traslade al mar o a la montaa. En 2005 quedarn en casa. Dnde es ms probable que pasen sus vacaciones en el ao 2010? SEMANA 15 PROBABILIDADES TOTALES La probabilidad de que el proceso se encuentre en el estado ai despus de k pasos recibe el nombre de probabilidad total o absoluta.

Pi

(k )

A cada paso k le corresponde un vector estocstico formado por todas las probabilidades totales de ese paso:(k ) (k ) (k )

P ( k ) = ( P1 , P2(0) (0)

,...., Pn(0)

)

en particular el vector de probabilidad inicial:

P ( 0 ) = ( P1 , P2 ,....,Pn ) descrito en la primera escena de la pgina 1, que corresponde a ladistribucin de probabilidades de paso 0. El siguiente teorema nos proporciona un mtodo para calcular las probabilidades absolutas correspondientes a una prueba k del sistema: Teorema: En una cadena de Markov con matriz de transicin P se obtiene lo que sigue:

P ( 1 ) = P ( 0 ) .P P ( 2 ) = P ( 1 ) .P = P ( 0 ) .P 2 P ( 3 ) = P ( 2 ) .P = P ( 0 ) .P 3 ..... P (k) = P (k 1 ) .P = P ( 0 ) .P kEs decir las distribuciones de probabilidad del paso k se pueden calcular multiplicando el vector de probabilidad inicial por la potencia correspondiente de la matriz de transicin Ejercicios propuestos 1. Dada la matriz de transicin 0 1 P= 1 / 2 1 / 2

con distribucin de probabilidad P(0)=(1/3 2/3). Definir y hallar( P213) , P2( 3) , P ( 3)

2. En una ciudad existen dos partidos polticos, uno de derecha y otro de izquierda. Los alcaldes son elegidos por un perodo de un ao y se ha observado que la probabilidad de que a un alcalde de derechas suceda otro del mismo signo poltico es 3/5 y que a un alcalde de izquierdas siga otro de izquierdas es 1/2. Cul sern las probabilidades de cada partido en el ao 2010? 3. Un hombre conduce su auto o toma el tren para ir a trabajar cada da. Supongamos que nunca toma el tren dos das seguidos; pero si conduce para ir a trabajar, entonces al da siguiente es tan probable que conduzca de nuevo como que tome el tren. Si se sabe que el primer da de trabajo el hombre lanza un dado para decidir que si sale un 6 lleva el coche y si no va en tren. Calcula la distribucin de probabilidad despus de cuatro das. 4. Un supermercado realiza la experiencia siguiente en relacin con las preferencias de sus clientes. Se observa que: El 80% de las personas que compran un da el producto A repite al da siguiente. El 60% de los que no lo compran el producto A un da, lo compran al da siguiente. Si el 50% compr el producto un da determinado, qu podemos predecir para la compra del producto el segundo da? Y para el tercero? 5. Una persona puede escoger entre tres restaurantes para comer diariamente. si un da escoge el restaurante A, al da siguiente escoge el B y al da siguiente del B siempre el C, pero cuando va a C es igualmente probable que al da siguiente vaya a A o a B. Escribir la matriz de transicin del proceso y calculando despus la tercera potencia de esa matriz, estimar a) la probabilidad de que vaya a B tres das despus de ir a A. b) Las probabilidades absolutas de ir a cada restaurante despus de cuatro das. CADENAS DE MARKOV REGULARES

Son aquellas en las que es posible pasar a travs de todos los estados de la cadena sin que este paso se realice de una forma cclica. A su correspondiente matriz de transicin se le denomina MATRIZ DE TRANSICIN REGULAR.

Se prueba que una matriz estocstica es regular si todos los elementos de una potencia Pn son positivos, para un cierto valor de n. Todos los estados son transitorios. Si una matriz tiene un 1 en la diagonal principal, NO es regular (el estado al que corresponde se dir estado absorbente)

Compruebe con las siguientes escenas que las matrices

M y H son regulares y que las R y S no

son regulares. Observa el diagrama, los 1 en la diagonal principal y las potencias de P.

0 3 / 4 1/ 4 0 1 0 1 / 2 1 / 2 1 / 3 2 / 3 H = 1/ 5 S = 0 0 1 M = 0 4 / 5 R = 1 0 0 1 3 / 4 1/ 4 1 0 0 0 Ejercicios propuestos 1. Utilizando la escena anterior decir cules de las siguientes matrices son regulares y cules no. Apunta en tu cuaderno los resultados con las aclaraciones que consideres oportunas a cada caso. 2. Observe, para n grande, cmo son las filas de las matrices regulares y de las no regulares. Interprete este resultado. 1 1 0 0 0 1 1 / 4 3 / 4 B= C = D= A= 1/ 2 3 / 2 1 / 2 1 / 2 1 / 2 1 / 2 1 / 3 2 / 3 0 1 1 / 2 1 / 4 1 / 4 0 1 / 7 3 / 7 3 / 7 0 1/ 2 1/ 2 1 / 3 0 2 / 3 A= 0 1 0 ; B = 1 / 2 1 / 4 1 / 4 ; C = 0 1 / 4 3 / 4 ; D = 0 0 0 ; E = 0 1 / 3 2 / 3 1 / 2 1 / 2 0 0 0 0 1 / 5 4 / 5 1 / 3 2 / 3 0 1 0 0 1

VECTOR FIJO DE UNA MATRIZ DE TRANSICIN REGULAR Para tratar este tema, es conveniente repasar la resolucin de sistemas. Vector fijo de probabilidad de orden 2 Se llama vector fijo de probabilidad de la matriz regular P de orden 2, al vector de probabilidad tal que verifica:

v = ( x, 1 x )

v .P = v

Es decir que tiene que cumplir:

P11 P12 ( x, 1 x) P P = ( x, 1 x ) 21 22 Sus coordenadas se obtienen resolviendo la ecuacin lineal en la variable x correspondiente, tras hacer el producto de matrices. O bien utilizando la escena siguiente: Ejercicios propuestos 1. Calcule el punto fijo de las matrices regulares de orden 2 de los apartados anteriores. Por ejemplo para la matriz 1 0 P= 1 / 2 1 / 2 resulta el vector fijo: (1/3,2/3)

A. Compruebe con las potencias de P que dicha cadena es regular, pues para cadenas no regulares no hay punto fijo. B. Una vez calculado el vector fijo, observe qu vector aparece en las sucesivas potencias de P como vectores fila de esa potencia. Vector fijo de probabilidad de orden 3 Se llama vector fijo de probabilidad de la matriz regular P de orden 3, al vector de probabilidad

v = ( x, y , 1 x y )

tal que verifica:

v .P = v

Es decir que tiene que cumplir:

p11 p12 p13 ( x, y, 1 x y ) p 21 p 22 p 23 = ( x, y, 1 x y ) p p 31 32 p33 Sus coordenadas se obtienen resolviendo la ecuacin lineal en la variable x correspondiente, tras hacer el producto de matrices. Ejercicios resueltos: En una poblacin de 10000 habitantes, 5000 no fuman, 2500 fuman uno o menos de un paquete diario y 2500 fuman ms de un paquete diario. En un mes hay un 5% de probabilidad de que un no fumador comience a fumar un paquete diario, o menos, y un 2% de que un no fumador pase a fumar ms de un paquete diario. Para los que fuman un paquete, o menos, hay un 10% de probabilidad de que dejen el tabaco, y un 10% de que pasen a fumar ms de un paquete diario. Entre los que fuman ms de un paquete, hay un 5% de probabilidad de que dejen el tabaco y un 10% de que pasen a fumar un paquete, o menos. Cuntos individuos habr de cada clase el prximo mes? Y dentro de dos meses? Solucin: El esquema para esta situacin es el siguiente:

A partir del esquema, se puede construir la matriz de probabilidades de transicin P y la matriz de estado X (esta ltima con los datos del problema). No fuman Fuman 1 paquete o menos Fuman ms de 1 paquete Al estado 0,93 0,05 0,02 0,10 0,80 0,10 0,05 0,10 0,85 No fuman Fuman 1 paq. o menos Fuman ms de 1 paquete

Ejercicios Propuestos I 1. Un psiclogo hace los supuestos siguientes que conciernen al comportamiento de ratas sujetas a un rgimen especial de alimentacin. Para una prueba particular, 80% de las ratas que fueron para la derecha en el experimento previo hicieron lo mismo en esta prueba, y 60% de aquellas que fueron para la izquierda en el experimento previo, fueron para la derecha en esta prueba. Si 50% van a la derecha en la primera prueba, qu se podra predecir para la milsima prueba? 2. Un ascensor de un edificio con bajo y dos pisos realiza viajes de uno a otro piso (lleno o vaco de ocupantes). El piso en el que termina el viaje n-simo del ascensor sigue una cadena de Markov. Se sabe que la mitad de los viajes