Trabajo de Aplicacion Procesos Estocasticos

7/28/2019 Trabajo de Aplicacion Procesos Estocasticos

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Trabajo de aplicacin de los Procesos de Poisson y Cadenas de Markov

As ignatura: Proces os Es tocstico s.

Docente: Lic. Luisa Medina

Integrantes:

- Crdova Colon ia Wilder.

- De la Cruz Mozombite Jorg e E.

- Meja Valcrc el G. Jorg e

- Menacho Vargas David.

-

Rgel B arreto Edg ar R.

TEMA: Apl icacin de los Procesos de Poisson y Cadenas de Markov.

Huaraz - 2009


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PRESENTACINEl presente informe de investigacin para el curso de procesos estocsticos tiene como

finalidad conocer ms sobre las aplicaciones de diversos temas como son Los procesos de

Poisson, Tiempos de Espera y Llegada, y las Cadenas Markov.


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INTRODUCCIN

La teora de los procesos estocsticos se centra en el estudio y modelizacin de

sistemas que evolucionan a lo largo del tiempo, o del espacio, de acuerdo a unas leyes no

determinsticas, esto es, de carcter aleatorio.

De esta manera en el presente trabajo de investigacin se puede experimentar el

comportamiento en el mercado de la venta de peridicos, capturara el flujo de los clientes

que es principal factor para el estudio en el consumo de este producto, as como el tipo de

peridico de su preferencia

La primera idea bsica es identificar un proceso estocstico con una sucesin de

v.a.* + Donde el subndice indica el instante de tiempo (o espacio)correspondiente, lo cual nos permita aplicar teoras en el estudio de este tema.

En primer trmino tendremos la aplicacin de los Procesos de Poisson para

determinas las probabilidades de llegadas de clientes al establecimiento comercial de

venta de peridicos, Tiempos de Llega y Espera de los clientes que llegan a comprar dicho

producto mencionado, as como tambin considerar las cadenas de Markov en el tipo de

preferencia del peridico que se categoriz entre Noticiero y Deportivo.

De este modo la probabilidades halladas de los sucesos puesto en estudio, nos

permitir dar repuestas a las diferentes preguntas planteadas en nuestros objetivos de

estudio; la cual en consecuencias nos habr permito aprender sobre dichas tcnicas

planteadas anteriormente.


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I) PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

Existe poca informacin especializada sobre el comportamiento los ciudadanos de

Huaraz acerca del grado de preferencia del tipo de peridico entre diarios deportivos y

noticieros y su celeridad de venta. Los procesos de Poisson y las cadenas de Markov son

herramientas que nos permiten analizar y procesar en forma tcnica dicho

comportamiento.

Por tal razn planteamos el siguiente problema

Cmo aplicar los procedimientos de tiempo entre llegadas, tiempo de espera y

cadenas de Markov al trabajo de investigacin?

II) OBJETIVOS

2.1) OBJETIVO GENERAL

Aplicar los procedimientos de tiempo entre llegadas, tiempo de espera y cadenas

de Markov al trabajo de investigacin

2.2) OBJETIVOS ESPECFICOS

- Obtener informacin acerca de las preferencias del pblico con respecto al tipo de

peridico que adquieren.

- Encontrara las probabilidades de compra de los clientes que acuden a los puestos

de venta de peridicos.

- Aplicar las cadenas de Markov para encontrar probabilidades de preferencia

acerca de cierto tipo de peridico.

III) MARCO TERICO

3.1) PROCESO DE POISSON


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En estadstica un Proceso de Poisson (tambin conocido como "Ley de los sucesos

raros") es un proceso de sucesos independientes donde:

1. El nmero de sucesos en dos intervalos independientes siempre es independiente.

2. La probabilidad de que un suceso ocurra en un intervalo muy pequeo es

proporcional a la longitud del intervalo.

3. La probabilidad de que ms de un sucesos ocurra en un intervalo muy pequeo h

es 0.

Es un proceso de conteo *() +Un proceso de valores enteros *() +ser un proceso de Poisson, con

nmeros medios de concurrencia o intensidad si cumple las siguientes hiptesis:*() + Tiene incrementos independientes y estacionariosPara instancias cualesquiera (s,t)/s


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()= ()()(1)

Con esperanza () = y varianza () = Los tiempos sucesivos entre llegadas es: t1 y t2 de los sucesos del tipo Poisson con

intensidad son variables aleatorias, distribuidas idnticamente con 1/ y su funcinde probabilidad es:

() = () Con esperanza () = y varianza () =

3.3) CADENAS DE MARKOV

Una cadena de Markov es una serie de eventos, en la cual la probabilidad de queocurra un evento depende del evento inmediato anterior. En efecto, las cadenas de este

tipo tienen memoria. Recuerdan" el ltimo evento y esto condiciona las posibilidades de

los eventos futuros. Esta dependencia del evento anterior distingue a las cadenas de

Markov de las series de eventos independientes, como tirar una moneda al aire o un

dado.

En la figura se muestra el proceso para formular una cadena de Markov. El

generador de Markov produce uno de n eventos posibles, Ej , donde j = 1, 2, . . . , n, a

intervalos discretos de tiempo (que no tiene que ser iguales ). Las probabilidades de

ocurrencia para cada uno de estos eventos dependen del estado del generador. Este

estado se describe por el ltimo evento generado. En la figura, el ltimo evento generado

fue Ej , de manera que el generador se encuentra en el estado Mj .

La probabilidad de que Ek sea el siguiente evento generado es una probabilidad

condicional: P ( Ek / Mj ). Esto se llama probabilidad de transicin del estado Mj al estado

Ek. Para describir completamente una cadena de Markov es necesario saber el estado

actual y todas las probabilidades de transicin.


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Probabilidades de transicin.

Una forma de describir una cadena de Markov es con un diagrama de estados,

como el que se muestra en la figura. En sta se ilustra un sistema de Markov con cuatro

estados posibles: M1, M2 , M3 y M4 . La probabilidad condicional o de transicin de

moverse de un estado a otro se indica en el diagrama

Otro mtodo para exhibir las probabilidades de transicin es usar una matriz detransicin. . La matriz de transicin para el ejemplo del diagrama de estados se muestra en

la tabla

Otro mtodo para exhibir las probabilidades de transicin es usar una matriz de

transicin.

Para n = 0, 1, 2, ....

El superndice n no se escribe cuando n = 1.


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IV) RECOPILACION DE DATOS

Los datos recogidos para este trabajo fueron recopilados de 5 diferentes puestos de

ventas de peridicos ubicados en la avenida Luzuriaga de la ciudad de Huaraz (ver

mapa 1.1)

Mapa 1.1. Croquis de la avenida Luzuriaga.

Los datos se recogieron a travs de 5 encuestadores capacitados en el rea de la

estadstica avanzada y de las ciencias del procesamiento de la informacin; se recogieron

los das 2 y 3 de abril.

El primer da se hizo una prueba previa de la encuesta realizada entre las horas 5:30 y 6:30

PM, se observ y corrigi:

- La hora en que se realizo no era la adecuada debido a que no haba muchos

clientes y el clima no era idneo.

- Se eligi adecuadamente las preguntas de la encuesta para analizarlas

apropiadamente con los procesos de Markov.

- Se determino que la hora idnea para realizar la encuesta fuera al medio da;

adems, las preguntas fueron analizadas y rediseadas en el espacio mental de los

especialistas en diseos de encuestas, que finalmente fueron plasmadas en la

encuesta final.

El segundo da (3 de abril):


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- Se realizo la capacitacin final de los encuestadores.

- Se entrego el material adecuado a los encuestadores capacitados

- Se eligieron los puntos de recoleccin de informacin, las cuales son las ms

representativas.

- Se distribuyo adecuadamente al encuestador en sus respectivos puntos de

recoleccin de informacin.

-

La encuesta se inici entras las 12:20 a las 13.20 horas.

- Concluida la encuesta, se reuni la informacin adquirida y se dio paso a su pre-

anlisis.

- En el pre-anlisis se determino la manera ms optima de analizar los datos con la

teora brindada por la asignatura de Procesos Estocsticos.

V) ANLISIS DE DATOS

Para llegar a nuestros objetivos se realizaron los respectivos clculos utilizando los

datos recolectados.

A continuacin mostramos los datos recopilados en 5 diferentes puesto s de venta

de peridico

CUADRO N 01: LEGADA DE LOS CLIENTES EN EL PUESTO N 1

N delCliente

Hora

N de

observadores

Tiempo

entreLlegada

N delCliente

Hora

N de

observadores

Tiempo

entreLlegada

1 12:21 1 0 15 12:50 2 00:01

2 12:25 8 00:04 16 12:51 2 00:01

3 12:26 5 00:01 17 12:52 2 00:01

4 12:26 3 00:00 18 12:53 2 00:01

5 12:26 1 00:00 19 12:54 1 00:01

6 12:27 1 00:01 20 12:55 2 00:01

7 12:28 2 00:01 21 13:01 5 00:06

8 12:35 9 00:07 22 13:03 5 00:02

9 12:35 2 00:00 23 13:07 5 00:04

10 12:37 4 00:02 24 13:08 2 00:01

11 12:38 3 00:01 25 13:11 3 00:03

12 12:40 3 00:02 26 13:12 2 00:01

13 12:44 6 00:04 27 13:14 3 00:02

14 12:49 2 00:05 28 13:17 6 00:03


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N delCliente

HoraN de

observadores

Tiempoentre

LlegadaN delCliente

HoraN de

observadores

Tiempoentre

Llegada

1 12:25 5 0 17 12:48 7 00:02

2 12:26 2 00:01 18 12:50 3 00:02

3 12:29 9 00:03 19 12:51 2 00:01

4 12:30 2 00:01 20 12:53 3 00:01

5 12:31 1 00:01 21 12:55 5 00:02

6 12:32 5 00:01 22 12:57 9 00:027 12:33 2 00:01 23 13:00 7 00:03

8 12:34 4 00:01 24 13:02 4 00:02

9 12:35 4 00:01 25 13:06 2 00:04

10 12:37 3 00:02 26 13:09 8 00:03

11 12:38 2 00:01 27 13:13 8 00:04

12 12:39 4 00:01 28 13:15 3 00:02

13 12:40 2 00:01 29 13:16 3 00:01

14 12:43 6 00:03 30 13:17 3 00:01

15 12:44 3 00:01 31 13:19 3 00:02

16 12.46 7 00:02


N delCliente

HoraN de

observadoresTiempo entre

Llegada

1 12:20 4 0

2 12:23 3 00:03

3 12:25 3 00:02

4 12:26 4 00:01

5 12:36 2 00:10

6 12:48 2 00:12

7 12:48 2 00:00

8 12:53 3 00:05


11/26


9 13:00 3 00:07

10 13:05 2 00:05

11 13:07 2 00:02


N delCliente

HoraN de

observadores

Tiempoentre

Llegada

1 12:20 3 0

2 12:22 3 00:02

3 12:25 2 00:03

4 12:30 4 00:05

5 12:31 3 00:01

6 12:35 3 00:04

7 12:45 2 00:10

8 12:53 3 00:08

9 12:58 4 00:03

10 13:02 2 00:04

11 13:06 2 00:04

12 13:10 3 00:04

13 13:13 4 00:03

14 13:17 2 00:04


N delCliente

HoraN de

observadores

Tiempoentre

LlegadaN delCliente

HoraN de

observadores

Tiempoentre

Llegada

1 12:24 10 0 17 12:49 6 00:01

2 12:25 3 00:01 18 12:53 3 00:04

3 12:26 2 00:01 19 12:53 7 00:00

4 12:28 15 00:02 20 12:55 10 00:02

5 12:32 7 00:04 21 13:00 9 00:05

6 12:37 9 00:05 22 13:03 7 00:03

7 12:38 6 00:01 23 13:06 20 00:03

8 12:43 8 00:05 24 13:13 9 00:07


12/26


9 12:46 1 00:03 25 13:17 1 00:04

10 12:47 2 00:01 26 13:19 3 00:02

11 12:48 1 00:01

Resumen

Se resume en del siguiente cuadro se tiene que las intensidades o nmero de clientes que

llegan por minuto en los 5 establecimientos de peridicos:

Las Intensidades individuales sern:

1 2 3 4 50.467, 0.517, 0.183, 0.233, 0.35l l l l l = = = = =

La intensidad general ser:

1.75G

l = Clientes por minuto. 7.2g Observadores por minuto.

27%

30%10%

13%

20%

Proporcin de Clientes en los

Establecimeintos de Peridicos

1

2

3

4

5


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5.1) Proceso de Poisson

Aplicacin de proceso de Poisson con los datos obtenidos en el estudio de los clientes que

acuden al puesto de venta de peridicos.

Planteamiento y anlisis para los datos obtenidos en los cuadros

=2 =1

,(1) = 5- = ()(21)5 =2

12 =5496

,(1) 3- = 1 ,(1) 3-= 1 ()(21)

(21)1

(21)2 =9999

,4 (1) 5- = ()(21)4 (21)

5 =68

Tiempo entre llegada

Aplicacin del tiempo entre llegadas de los clientes que acuden al puesto de venta de

peridicos.

Planteamiento y anlisis de datos para el 1 puesto de venta

De acuerdo a la informatcin recabada los clientes llegan con un suceso del tipo Poisson al puesto

de venta de periodico con una intensidad de 135 clientes por hora

queremos conocer la probabilidad de que el intervalo de tiempo entre llegadas sea:

a) Supere los 3 minutos

b) Sean inferior a 2 minutos

c) Se encuentre entre 1 y 3 minutos


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= 2 , 3- = 1 , 3-

= 1 2 =2478

, 2- = 2 =9817

,1 3- = 2 =13253


Sabemos que por la recopilacin de datos, los clientes llegan al puesto de peridico con un

promedio de clientes por minuto. Se desea cual es la probabilidad de que el nmero de clientes

que llegan en 10 min sean:

a) Precisamente se apersonen 5 clientes

b) Que acudan al centro de venta de peridicos de 3 a ms clientes.

c) Lleguen entre 4 y 5 individuos.

Procesos de clculos.

1) Para el CUADRO N 012) Para el CUADRO N 023) Para el CUADRO N 03

a) Solucin:

i) Por los datos obtenidos nuestro seria igual a el total de clientes entreuna hora

= =5 clientes por minuto = 1 minutos,(1) = 5- = (),(5)(1)-5 =175 la probabilidad de que se apersonen 5 clientes en 1 minutos es de un 175% b) Solucin:

= 5 clientes por minuto = 1 minutos,(1) 3- = 1 ,(1) 3-= 1 (),(5)(1)-

(),(5)(1)-1

(),(5)(1)-2

=875


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la probabilidad de que se apersonen 5 clientes en 1 minutos es de un 875% c) Solucin:

= 5 clientes por minuto = 1 minutos

,4 (1) 5- = ,(1) = 4- ,(1) = 5- ,(1) = 6-= (),(5)(1)-4

(),(5)(1)-5

(),(5)(1)-6

=496 la probabilidad de que se apersonen 5 clientes en 1 minutos es de un 496%

4) Para el CUADRO N 045) Para el CUADRO N 05

5.2) Tiempo entre llegada

Aplicacin del tiempo entre llegadas de los clientes que acuden a los 5 puestos de venta de

peridicos.

a) Planteamiento y anlisis de datos para el 1 puesto de venta:


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Dado un 1 0.467,l = clientes por minuto.

b) Planteamiento y anlisis de datos para el 2 puesto de venta:

Dado un 2 0.517l = clientes por minuto.

c) Planteamiento y anlisis de datos para el 3 puesto de venta:


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Con un 3 0.18l = clientes por minuto.

d) Planteamiento y anlisis de datos para el 4 puesto de venta:

Dado un 4 0.233l = clientes por minuto.

e) Planteamiento y anlisis de datos para el 5 puesto de venta:


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Con un 5 0.35l = , clientes por minuto.

De acuerdo a la informacin recabada los clientes llegan con un suceso del tipo Poisson al puesto

de venta de peridico con una intensidad de clientes por hora.

Queremos conocer la probabilidad de que el intervalo de tiempo entre llegadas sea:

d) Supere los 3 minutos

e) Sean inferior a 2 minutos

f) Se encuentre entre 1 y 3 minutos

Proceso de Clculos:

i)Para el primer puesto de ventas de tendr :

a) Se tendr:

30.467

0

0.467 3

0

1.401 0

P [t> 3]= 1-P [t 3]

P [t > 3] 1 0.467.P [t > 3] 1 |

P [t > 3]= 1-[- ]

P [t > 3]= 1-[1-0.353]

P [t > 3]= 0.353

t

t

e dt

e

e e

-

-

- -

= - = -

+


19/26


b) Tendremos

20.467

0

0.467 2

00.934 0

P[t< 2] 0.467.

P[t< 2] |P [t< 2]= [- ]

P [t< 2]= [1-0.393]

P[t< 2]= 0.607

t

t

e dt

e

e e

-

-

- -

=

= +

c)

30.467

1

0.467 3

1

1.401 0.467

P[1 t 3] 0.467.

P[1 t 3] |

P [1 t 3]= [- ]

P[1 t 3]= [-0.246+ 0627.]

P[1 t 3]= 0.381

t

t

e dt

e

e e

-

-

- -

=

=

+

ii) Para el Segundo puesto de ventas de tendr :

a) Se tendr:

30.517

00.517 3

0

1.551 0

P [t> 3]= 1-P [t 3]

P [t > 3] 1 0.517.

P [t > 3] 1 |

P [t > 3]= 1-[- ]

P [t > 3]= 1-[1-0.212]

P [t > 3]= 0.212

t

t

e dt

e

e e

-

-

- -

= -

= -

+

b) Tendremos


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20.517

0

0.517 2

0

1.034 0

P[t< 2] 0.517.

P [t< 2] |

P [t< 2]= [- ]

P [t< 2]= [1-0.356]

P[t< 2]= 0.644

t

t

e dt

e

e e

-

-

- -

=

=

+

c)

30.517

1

0.517 3

1

1.551 0.517

P[1 t 3] 0.517.

P[1 t 3] |

P [1 t 3]= [- ]

P[1 t 3]= [-0.212+ 0.596.]

P[1 t 3]= 0.384

t

t

e dt

e

e e

-

-

- -

=

=

+

iii) Para el Tercer puesto de ventas de tendr :

a) Se tendr:

30.183

0

0.183 30

0.549 0

P[t> 3]= 1-P[t 3]

P [t > 3] 1 0.183.

P [t> 3] 1 |

P [t> 3]= 1-[- ]

P [t> 3]= 1-[1-0.578]

P[t> 3]= 0.578

t

t

e dt

e

e e

-

-

- -

= -

= - +

b)

20.183

0

0.183 20

0.366 0

P[t< 2] 0.183.

P [t< 2] |

P [t< 2]= [- ]

P [t< 2]= [1-0.694]

P[t< 2]= 0.306

t

t

e dt

e

e e

-

-

- -

=

= +


21/26


c)

30.183

1

0.183 3

1

0.549 0.183

P[1 t 3] 0.183.

P [1 t 3] |

P [1 t 3]= [- ]

P [1 t 3]= [-0.578+ 0.833.]P[1 t 3]= 0.255

t

t

e dt

e

e e

-

-

- -

=

=

+

iv) Para el Cuarto puesto de ventas de tendr:

a) Se tendr:

30.233

00.233 3

0

0.699 0

P [t> 3]= 1-P [t 3]

P [t > 3] 1 0.233.

P [t> 3] 1 |

P [t> 3]= 1-[- ]

P [t> 3]= 1-[1-0.497]

P [t> 3]= 0.497

t

t

e dt

e

e e

-

-

- -

= -

= -

+

b)

20.233

0

0.233 2

0

0.466 0

P[t< 2] 0.233.

P [t< 2] |

P [t< 2]= [- ]

P [t< 2]= [1-0.628]

P [t< 2]= 0.372

t

t

e dt

e

e e

-

-

- -

=

=

+

c)


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30.233

1

0.233 3

1

0.699 0.233

P[1 t 3] 0.233.

P [1 t 3] |

P [1 t 3]= [- ]

P [1 t 3]= [-0.497+ 0.792.]

P[1 t 3]= 0.295

t

t

e dt

e

e e

-

-

- -

=

=

+

v) Para el Quinto puesto de ventas de tendr :

a) Se tendr:

30.35

0

0.35 3

0

1.05 0

P [t > 3]= 1-P [t 3]

P [t > 3] 1 0.35.

P [t > 3] 1 |

P [t > 3]= 1-[- ]

P [t > 3]= 1-[1-0.350]

P [t > 3]= 0.350

t

t

e dt

e

e e

-

-

- -

= -

= -

+

b)

20.35

0

0.35 2

0

0.7 0

P [t < 2] 0.35.

P [t < 2] |

P [t < 2]= [- ]

P [t < 2]= [1-0.497]

P [t < 2]= 0.503

t

t

e dt

e

e e

-

-

- -

=

=

+

c)


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30.35

1

0.35 3

1

1.05 0.35

P[1 t 3] 0.35.

P[1 t 3] |

P [1 t 3]= [- ]

P[1 t 3]= [-0.350+ 0.705.]

P[1 t 3]= 0.355

t

t

e dt

e

e e

-

-

- -

=

=

+

5.3) TIEMPO DE ESPERA

Aplicacin del tiempo de espera de los clientes que acuden al puesto de venta de

peridicos.


Problema.- Segn los datos analizados el tiempo promedio entre llegadas de los

clientes al puesto de venta de peridico es de por minuto entre los clientes que adquieren

un peridico.

Se necesita conocer cual es la probabilidad de que:

Se tenga que esperar 3 minutos en la venta de un peridico a otro sea y que haya

llegado 1 cliente a comprar un peridico.

Procesos de clculos.

1) Para el CUADRO N 012) Para el CUADRO N 023) Para el CUADRO N 03Solucin:

= 5Clientes por minuto

, 3- = 5(5)

=

4) Para el CUADRO N 045) Para el CUADRO N 05


24/26


5.4) ESTIMACIN CONFIDENCIAL

Aplicacin de la estimacin confidencial de los clientes que acuden al puesto de

peridico

Problema.- Queremos conocer la intensidad de clientes que acuden al puesto de

peridicos. Realizaremos una estimacin confidencial del 99% si se sabe que el promedio

de espera del total de datos recopilados es de 3 minutos para que alguno de los puestos

tenga 1 clientes que le compre un peridico.

Solucin:

n = 3 minutosn= 1 cliente comprador

= =33 Cliente por minuto1 = 9 9 = 1

= =1

= =16 [ ()() ()()] = 1 ,16176- =99%

Podemos concluir que se encuentra en la regin de aceptacin, por lo queno se puede rechazar la afirmacin de decir que cada 3 minutos llegue un cliente a

comparar un peridico con un intervalo de confianza del 99%

6) CADENAS DE MARKOV

El total de clientes que compran peridicos es de 89

D: DEPORTIVO = 20


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N: NOTICIERO = 69

D D = 0.65

D N = 0.35

N N = 0.17

N D = 0.83

La matriz es la siguiente:

D N

D 0.65 0.35

N 0.17 0.83

El diagrama de estados es la siguiente:

N D

Calculamos los valores de D N :

D N = 0.65 0.35

0.17 0.83D N

0.65 0.17 ............(1)

0.35 0.83 ............(2)

1.............................(3)

D D N

N D N

D N

Desarrollando las ecuaciones tenemos los siguientes resultados:

0.42 0.17

0.40

0.60

D

D

N


26/26


Significa que en el largo plazo, las personas preferirn 33% de diariosdeportivos contra 67% que elegirn diarios noticieros.

CONCLUSIONES

Se observo que existe mayor cantidad de demanda en las horas del medio da que

horas de la tarde.

Existe mayor cantidad de demanda en peridicos noticieros que en peridicos

deportivos.

Se observo que existe 7 observadores aproximadamente por minuto en cadapuesto de venta de peridicos, adems se tiene un promedio de 2 clientes por

minuto que concretan la compra.

Las probabilidades estables analizadas con los procesos de Markov, muestran

mayor preferencia en el tiempo hacia los diarios noticieros.

Documents

Trabajo de Aplicacion Procesos Estocasticos