Guia2 Curvas

8/17/2019 Guia2 Curvas

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Universidad Técnica Federico Santa María

Departamento de Matemática

Campus Santiago

Guía 2: Curvas

Use las identidades siguientes para resolver los problemas:

1. k = ||−→v × −→a ||v3

= ||−→r × −→r ||||−→r || 3

2. τ =−→r × −→r · −→r ||−→r × −→r || 2

3. −→

B =−→r × −→r ||−→r × −→r ||

Ademas si la curva está contenida en R2 y es parametrizada por −→r (t) = (x(t) , y(t)) la curvaturaqueda:

k = |y(t)x(t) − x(t)y(t)|

[(x(t))2 + (y(t))2]3/2

Definición: Considerar una curva plana γ parametrizada por −→r (t) = ( x(t) , y(t) ) . Sea P0 = −→r (t0) ,tal que la curvatura de γ en P0 es k0 .

Llamamos círculo osculador al círculo tangente a γ en P0 , con curvatura igual a la curvatura de γ en P0 y que está en el lado cóncavo de γ . Su radio se llama radio de curvatura .

Problemas:

1. Sean −→r , −→s : [a, b] → Rn derivables y α : [a, b] → R derivable. Probar:

d

dt(−→r (t) + −→s (t)) = d

−→rdt

(t) + d−→s

dt (t)

d

dt(c−→r (t)) = c d

−→rdt

(t)

(α(t) · −→r (t)) = α(t) · −→r (t) + α · −→r (t)

(−→r (t) · −→s (t)) = −→r (t) · −→s (t) + −→r (t) · −→s (t)

(−→r (t) ×−→s (t)) = −→r (t) ×−→s (t) + −→r (t) ×−→s (t)

2. Demuestre que el centro −→

h (t) , del círculo osculador esta dado por la relación:

−→h (t) = −→r (t) + 1

k

−→N

3. Pruebe que la curvatura de una circunferencia de radio R es k = 1

R .


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4. Hallar −→

T , k , −→

N para la curva plana:

−→r (t) = (t sen t + cos t) · −→i + (t cos t − sen t) · −→ j

5. Parametrice la curva intersección de las superficies y2 + z2 = 4z e y2 + 4x = 0 . Hallar laecuación del plano osculador en el punto P = (-1 , 2 , 2) .

6. Sea −→r (t) = (t−1)−→i +

t3

3 − t

−→ j . Calcule −→a −→

T y −→a −→

N en t = 1 .

7. Parametrice la curva intersección de las superficies z = xy y x2 + y2 = 1 .

8. Considere la curva

r(t) = (et cos(t) , et sen(t) , et)

con t ∈ R .a ) Encuentre los vectores tangente, normal y binormal en el punto (1,0,1).

b) Calcule la longitud de un ciclo de la curva.

9. Considerar la curva dada en forma polar (cardíode): r = 3 + 2 cos(θ) .

a ) Determine la curvatura y el círculo osculador en el punto (0, 3) .

b) Calcule la longitud de la curva.

10. Pruebe que la curva −→r (t) =

4

5 cos(t) , 1 − sen(t) , −3

5 cos(t)

es una circunferencia. Encuentre

el centro, el radio y el plano donde se encuentra.

11. Considerar la curva γ , intersección de las superficies

x + y + z = 4 y x2 + y2 − x + y + z = 4

a ) Encuentre una parametrización para γ .

b) Encuentre el vector binormal en el punto (1,-1,4) .

c ) Encuentre la torsión en el punto (1,-1,4) .

12. Sea r(t) = (t , t2 , t3) . Encontrar los planos normal y osculador en el punto (−2 , 4 , −8) . En-cuentre también la torsión y la curvatura en dicho punto.

13. Considerar la curva intersección de las superficies

x2 + y2 = 2x y z2 = x2 + y2

con z ≥ 0 . Encuentre el plano osculador en el punto (1, 1,√ 2) .


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14. Encuentre el círculo osculador a la curva γ =

x = t2

y = t3 − 3t en los puntos (1,2) y (0,0)

15. Considerar las superficies

x2 + y2 + z2 = a2 y x2 + y2 = ax

a ) Hallar una parametrización para la curva intersección.

b) Hallar la curvatura en el punto

a

2, a

2,

a√ 2

16. Considere los cilindrosx2 + y2 = a2 e y2 + z2 = a2

Pruebe que el radio de curvatura, de la curva intersección, esta dado por

ρ = a√

2(1 + sen2(θ))3/2

17. Considerar la curva parametrizada por

−→r (t) = (a cos t , a sen t , bt)

donde a y b son constantes positivas.

a ) Pruebe que la torsión es constante.

b) Dado un valor para a . Encuentre b de modo que la torsión sea máxima.

c ) Demuestre que el cuociente entre la curvatura y la torsión es constante.

d ) Si θ(t) designa el ángulo formado por la recta tangente a la curva con el eje z , para cada

t . Pruebe que:

cos θ(t) = b√ a2 + b2

18. Considere la curva

x(t) = 1 + 3t + 2t2

y(t) = 2 − 2t + 5t2

z(t) = 1 − t2

Demostrar que la curva está contenida en un plano y encontrar la ecuación del plano que lacontiene.

19. Considerar la curva y = ex .

a ) Determine donde la curvatura es máxima.

b) Encuentre la ecuación del círculo osculador en el punto (0,1) .

20. Sea Γ la curva intersección del cilindro x2 + y2 = 1 con el plano x + y + z = 1

Encontrar los radios de curvatura máxima y mínima de la curva Γ .


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21. Dada la curva parametrizada por

−→r (t) = (t − sen t , 1 − cos t , 4sen t2

)

Calcular la curvatura y la torsión, en el o los puntos, donde el plano normal a la curva es paraleloal plano z = 1.

22. Pruebe que si todas las rectas tangentes a la curva −→r (t) , pasan por un punto fijo, entonces lacurva es una recta.

23. Considerar la elipse b2x2 + a2y2 = a2b2 . Pruebe que la curvatura máxima está en los extremosdel semieje mayor y la curvatura mínima en los extremos del semieje menor.

24. Hallar a y b de modo que las curvas

y = ax(b − x) e y = xx + 2

se corten sólo en un punto y tengan común la recta tangente e igual curvatura en ese punto.Esboze una gráfica para cada conjunto de valores admisibles de a y b .

25. Probar que la curvax = ln t y = t ln t z = t

es tangente a la superficiexz2 − yz + cos(xy) = 1

en el punto P=(0,0,1).

26. Encuentre la ecuación de los planos normal, rectificante y osculador de la curva dada por laintersección de las superficies x2 + y2 + z2 = 6 y x2 − y2 + z2 = 4

27. Dada la curva −→r (t) = ( 1 − 2t , t2 , 2e2(t−1)) . Encuentre la curvatura y la torsión en el puntodonde −→r (t) es paralelo a −→r (t) .

28. Determine una función g(t) tal que la curva −→r (t) = (t ; sen(t) ; g (t)) tenga todas sus rectasnormales paralelas al plano yz .

29. Una particula se mueve sobre el manto del cilindro x2 + y2 = 1 , de forma tal que z = z(θ) es

solución de la ecuación diferencial

d2z

dθ2 = z

z(0) = 1 , dz

dθ(0) = 0

donde (r , θ , z) son las coordenadas cilíndricas.

a ) Encuentre una parametrización de la curva γ descrita por la partícula (use θ como parámetro) .

b) Calcule la longitud de γ si θ

∈ [0 , π] .

c ) Calcule el vector tangente unitario, el vector normal y el vector binormal asociado a γ , asícomo la torsión y la curvatura.


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30. Sea γ una curva plana parametrizada por −→r : R → R3 , tal que −→r (0) = (1, 2, 3) . Si la rapidezde cambio de la longitud de arco es constante e igual a 3 y si

d−→N

ds = (1, t, 2) , donde s = s(t)

mide la longitud de arco . Determine γ : −→r (t) para todo t ∈ R .

31. Encontrar, si existen, puntos de la curva y = (x − 1)(x2 − 4) tales que:

a ) La curvatura es nula.b) El radio de curvatura es nulo.

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