IEBIngeniera Financiera INTRODUCCIN AL CLCULO Prof. Patricio Pinto L.GUA DE FUNCIONES1. De los grficos siguientes indique cul es funcin y justifique cuando no lo sean:a) b) c) 2. Completar las siguientes tablas si f y g definidas en R son:1 2 ) (2+ x x x f 3 6 ) ( x x gx 0 1 -1 2f(x)x 1 -1g(x) 3 -3Pgina 1 de 13 IEBIngeniera Financiera3. SiQ Q f :y{ } R R g 1 :definidas porx xx f1) (111 ) ( xx g calcular;a) ) 2 ( 2) 2 ( ) 1 (f g fb) + ) 1 ( ) 1 ( g fc) + ) 2 ( ) 1 ( 3 g fd)

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+

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21212 g f4. Determine el dominio de las siguientes funciones reales;a) 12) (2+xx t b) 126 ) (+ xx sc) 23) (+xx f d)2 ) ( x x ge) xx x f13 ) (2+ f) 2 5 +xxyg) xy1 h) 422+xxyi) 4 422+ x xy j) x xx xy+22k) 31 1 x xy l) xxy1 +m) 1 21+xxy n) 32xy5. Complete la tabla si 6 2 ) ( + x x fx -1 -2f(x) 5 8 96. Si ' +1 31 2 12 2) (x si xx six si xx gcompletarx -3 -2 -3/2 1 2g(x)7. Determine el Domde las siguientes funciones reales:a) 32) (+ xx f b)1 ) (2+ x x tPgina 2 de 13 IEBIngeniera Financierac) 3) (+x xx p d) 10 ) ( x qe)6 ) ( x x s f) 1 25) (+xx h8. El Dom de las siguientes funciones reales es el conjunto{ } 3 3 / x R x A . Determine el Rec de cada una de ellas.a) 2) ( x x f b) x x g 2 ) ( c) 6 ) ( + x x hd) 2 3 ) ( + x x je)5 ) (2 x x p f) 5 2 ) ( x x kg) x x t ) (h) 3) ( x x l 9. Determinar la funcin inversa de las siguientes funciones:a.)2 2 ) ( + x x fb) 2) ( x x g c) x x h 5 1 ) ( d) 23) (+xxx fe) x x h 5 1 ) ( f) xxx s2 12) (10. Sea 121) (2 + t t t ucalcular:a) u(0)= b) u(2)=c)u(3)-2 u(2)= d)

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31321( 4 u u11. Sean { } ) 1 , 2 ( ), 0 , 1 ( ), 1 , 0 ( f y{ } ) , 1 ( ), , ( ), , 1 ( b b o a g determinar f g .14. Seansyt funciones reales definidas como 3 ) (2 x x s;' +0 51 2) (y sio y si yy tcompletarX 0 -1 2 3s(x)y -3 -2 1 6 13t(y)Pgina 3 de 13 IEBIngeniera Financierax 0 1 2 3 4) ( s t y determinar adems: a) ) 3 )( ( t s b) ) 0 )( ( t s c) ) 2 )( ( t s d) ) 1 )( ( t s 15. Seanuyv funciones reales tal que 5 2 ) ( ; 3 1 ) ( + + y y v x x u. Calcular:a) ) )( ( x u v b) ) )( ( x v u c) ) )( ( x u u d) ) )( ( y v v 16. SeaR R f :tal que 2) 1 ( x x f . Determinar;a) f(1)= b) f(-1)=c) f(o)= d) f(y)=17. SeaQ Q g : tal que xx x g13 ) (2+ . Calcular:a) g(1)= b) g(-1)=c) g(2)= d) g(-2)=e)

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31gf)

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21g18. Dadas4 3 ) ( + x x f ,6 ) ( + x x g funciones reales, calcular:a) ) 7 ( 2 ) 6 ( g fb) + ) 1 ( ) 0 ( 3 g fa)

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+ 31) 6 () 1 ( 2 ) 1 ( 5f gg f19. SeaR R f :tal que 1 21) (+xx f,completar la tabla:x 2 1/3 4 1/2f(x) 1/15 2/5Pgina 4 de 13 IEBIngeniera Financiera20. Sea f(x)=2x+6 , ' + 1 2 12 21 3) (x six si xx si xx gcompletar las tablas:x -1 -2f(x) 5 8 9x -3 -2 -3/2 1 2g(x)Pgina 5 de 1321.R R f : ,R R g :tal que1 6 ) ( x x g ;' +1 11) (2x si xx si xx f Determinar las imgenes de -1,0,2respecto de f g 22. Si{ } 5 , 4 , 23 , 1 C B A ,C B g B A f : , : definidas como { } ) 5 , 5 ( ), 5 , 4 ( ), 4 , 3 ( ), 3 , 2 ( ); 2 , 1 ( fy { } ) 3 , 5 ( ), 2 , 4 ( ), 1 , 3 ( ), 3 , 2 ( ), 4 , 1 ( g. Determinar;a) ) )( ( x f g b) ) )( ( x g f 23. Si R R f :,R R g :tal que1 ) ( 1 2 ) (2+ + x x g x x f . Determinar:a) ) )( ( x g f b) ) )( ( x g f c) ) 2 )( ( g f Si{ } 0 : R R f ; { } R R g 0 : tal quexxx g2 3) (+' 0 30 1) (x si xx si xx fdeterminar:a)( ) ( ) 5 g f b)( ) ) 2 ( f g c) ) 0 )( ( f g d)

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31) ( g f e) ) 2 )( ( g f f)

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21) ( g f 24. Si ( ) ( ) 0 0 : R R f tal quex xx f+1) ( , completar:x1 2) (x f21) )( ( x f f 32525. Determinar la funcin inversa de R R h : tal quett h2) ( 26. Determinar la funcin inversa de ;'

,_

2121: R R s tal quexxx s2 12) (+27. En los diagramas siguientes, decir cuando se define o no una funcin de{ } c b a A , , en{ } z y x B , , a)b) c)29. Dar una frmula para definir las siguientes funciones:a) A cada nmero real asignarle por 1fsu cubo.b) A cada nmero real asignarle por 2fel nmero 5.c) Hacer corresponder a todo nmero positivo por 3f su cuadrado, y a los otros nmeros reales por 3f el nmero 4.30. Definida una funcin en el intervalo cerrado 12 6 x por 2 ) (2+ x x f , averiguar:a) f(-3)= b) f(4)= c) f(a-2)=31. Sea la funcin R R f :definida por'irracional es x siracional es x six f11) (Hallar:a) ,_

21f= b) ) ( fc) ...) 1313 , 2 ( fe) ) 2 ( f32. Sea { } 5 , 4 , 3 , 2 , 1 Ay la funcin definidaA A f :por el diagramaCul es el dominio de la funcin?34. Con{ } d c b a W , , , definida una funcin W W f : por . ) ( , ) ( , ) ( ; ) ( a d f a c f c b f a a f Hallar el dominio de imgenes.35. Sea la funcinR R f :definida por 3 4 ) (2+ x x x fHallar:a) f(4)= b) f(-3)=abcabcabcxyzxyzxyz1234512345c) f(y-2z)= d) f(x-2)=36. Sea la funcin R R g :definida por' + 2 22 3) (2x si xx si x xx gHallar:a) g(5)=b)g(8)=c) g(-2)=37. Sea { } 5 , 3 Ty sea la funcinR T f : definida por7 2 ) (2 x x f . Calcular:a) f(2)=b) f(6)=c) f(t-2)=38. Sea la funcin R R h :definida por[ ]' + 9 , 99 5 29 4) (2x si x xx si xx si xx hCalcular:a) h(3)= b) h(12)=c) h(-15)= d)[ ] ) 5 ( h h39. Dado{ } 11 , 5 , 2 , 0 , 1 W . Sea la funcinR W f : definida por2 ) (2 x x x f .Cul es el dominio de imgenes de f?44. Sean las funciones R R de f f f f 4 3 2 1, , ,definidas as:21) ( x x f 22) ( y y f 23) ( z z f cuadrado su real n cada a asigna f 4Entre estas funciones Cules son iguales?45. Sean las funciones f, h y gdefinidas por:R z donde z z hy donde y y gx donde x x f 222) (8 2 ) (1 0 ) (Cules de estas funciones son iguales?54. Sea f la funcin R R f :definida por 2) ( x x f . Hallar; ) 25 , 4 ( ) ) 9 ( )) 9 ( ) ) 25 ( )1 11 1f d f cf b f a55. Sea{ } 5 , 4 , 3 , 2 , 1 Wy sean las funcionesW W h y W W g W W f : : , :definidas por los diagramas siguientes:Cules de estas funciones, si las hay, tiene funcin recproca?56. SeaR R f :definida por 2 3 ) (2+ x x x f . Hallar;[ ][ ] + + + ) 1 ( ) ) 2 3 ( )) ( ) ) 3 2 ( )) ( ) ) ( )) 4 ( ) 2 ( ) ) 3 ( )22x f f h x x f gx f f f x f eh x f d x f cf f b f a62Sean f y g funciones reales definidas por 1 ) (2 x x f , xx g 2 ) ( .Calcular:a) ) )( ( x g f b) Encuentre 1 f , si existe. Justifique.123451234512345123451234512345fghPROBLEMAS PROPUESTOS DE FUNCIONES LINEALES Y CUADRTICAS1) Aunacompaalecuesta75dlares, producir10unidadesdeciertoartculoalday120dlares, producir 25 unidades del mismo artculo al da.a) Cul es el costo de producir 20 artculos al da?b)Cul es el costo variable y el costo fijo por artculo?(Rp.: a) 45 3 + x ycb) 105 c) 3 y 452) Los costos fijos por producir cierto artculo son de $5000 dlares al mes, y los costos variables son de $3.50 dlares por unidad. Si el productor vende cada uno a $6.00 dlares.a) Encuentre el punto de equilibriob)Determine el nmero de unidades que deben producirse y venderse al mes, para obtener una utilidad de $1000 dlares mensuales.c) Obtenga la prdida, cuando slo se producen y venden 1500 unidades.3) Una empresa compra maquinaria nueva por $15.000 dlares. Si se deprecia linealmente en $750 dlares al ao y se tiene un valor de desecho de us$2.250. Por cunto tiempo estar la maquinaria en uso? Cul ser el valor V de la maquinaria despus de t aos en uso y despus de6 aos de uso?.(Rp.: 17 aos V=(15.000 750t)dlares ; 10.500 dlares.4) El costo total de un fabricante est formado por unos gastos generales de 200 u.m., ms el costo de producir de 50 u.m. por unidad.Expresar el costo total, como una funcin del nmero de unidades producidas y dibuje el grfico.Solucin:Sea x el n unidades producidas y C(x) el costo total.Costo total=( ) ( ) generales gastos unidades n unidad por to + cos200 50 ) ( + x x Cel grfico de la funcin esC(x)XC(x) 0200 2300 4400X5) El costo de producir x artculos al da, est dado en dlares por 21 , 0 4 80 x x Yc+ + . Si cada artculo puede venderse a 10 dlares, encuentre el punto de equilibrio.(Rp.: x=40).6) Una empresa tiene costos fijos mensuales de 2000 dlares y el costo variable por unidad de su producto, es de 25 dlares.a) Determine la funcin costo.b)El ingreso I obtenido por vender x unidades est dado por 201 , 0 60 ) ( x x x I . Determine el nmero de unidades que deben venderse, de modo que maximizen el ingreso. Cul es este ingreso mximo?.c) Cuntas unidades debenproducirseyvenderseal mes, conel propsitodeobtener unautilidad mxima?. Cul es esta utilidad mxima?(Rp.: a) C(X)=25x+2000 b) 3000 ;000 . 90 $ maxRc) 1750; 625 . 28 $ maxP7) Una cierta empresa constructora ha construido un edificio, con un total de 40 departamentos para rentar. Se sabe por las investigaciones de mercado, que si se asigna una renta de 150 dlares al mes, se ocuparn todos los departamentos. Por cada incremento de 5 dlares en la renta, un departamento quedar vaco. Qu rentamensual deberasignar acadadepartamento, demodoque, obtengaingresosporrentasmensuales mximos?. Calcule este ingreso mximo.(Rp.: 175 dlares ; dlares Rmax6125 ).8) A un fabricante le cuesta US$2.000 comprar herramientas, a fin de producir cierto artculo casero. Si tiene un costo de 60 centavos de dlar, por el material y la mano de obra de cada artculo producido, y si el fabricante puede vender todo lo que produce, a 90 centavos de dlar cada uno. Determine cuntos artculos debera producir, con objeto de obtener utilidades por 1.000 dlares. (Rp.: 10.000 artculos).9) Un capital de 100 dlares se invierte a cierto inters a un ao; luego junto con el inters ganado, se invierte en el segundo ao, a un inters igual al doble de la primera tasa de inters. Si la suma total obtenida es de 112,32. Cules son las dos tasas de inters?. (Rp.: 4%y 8%).10)Cada semana, una compaa puede vender x unidades de su producto, a un precio de p dlares cada uno, en dondep= 600-5x. Si le cuesta, a la compaa (800+75x) dlares producir x unidades.a) Cuntasunidadesdeberavenderlacompaaalasemana, si deseageneraruningresode17.500 dlares?.b) Qu precio por unidad debera fijar la compaa, con el propsito de obtener ingresos semanales, por 18.000 dlares?c) Cuntas unidades debera producir y vender cada semana, para lograr utilidades semanales de 5.500 dlares?.d) A que precio por unidad,generara la compaa una utilidad semanal de 5.750 dlares.(Rp.: a) 50 o 70 b) 300 c) 45 o 60 d) 325 o 350)11) Un barco transporta dos tipos de contenedores. Por cada dos contenedores del primer tipo y tres del segundo tipo, se ocupa un volumen de 39 3m . Cul es el volumen, de cada tipo de contenedor?12) La demanda del mercado de cierto producto, es de x unidades cuando el precio fijado al consumidor es de p dlares, en donde 15p + 2x =720.El costo ( en dlares) de producir x unidades, est dado por C(x)=200+6x.Qu precio p por unidad deber fijarse al consumidor, con objeto de que la utilidad sea mxima?13)Se invierten $850.000, a un inters compuesto anual del 8%.Cunto tiempo le llevar incrementarse a $1.200.000?FUNCIN EXPONENCIAL1) Un capital de 2000 dlares, se invierte a una tasa de inters nominal anual de 12%. Calcule su valor despus de 4 aos, si la capitalizacin es semestral.(Rp.: 3187,70)2) La poblacin del planeta al inicio de 1976, era de 4 mil millones y ha crecido a un 2% anual. Cul ser la poblacin en el ao 2.000, suponiendo que la tasa de crecimiento no se modifica?.(Rp.: 6,43 miles de millones).3) Las utilidades de cierta compaa se han incrementado a un promedio del 12%, por ao entre 1990 y 1995. En este ltimo ao, tenan $5,2 millones. Suponiendo que este crecimiento contina, calcule las utilidades para el ao 2001.FUNCIN LOGARITMICA.1) La poblacin del planeta en 1976 era de 4 mil millones y estaba creciendo a un 2% anual. Si esta tasa de crecimiento sigue vigente. Cundo alcanzar la poblacin los 10 mil millones? (Rp.: 46,3 aos despus de 1976).2) La suma de 100 dlares, se invierte a un inters compuesto anual del 6%. Cunto tardar la inversin en incrementar su valor a 150 dlares? (Rp.: 7 aos).3) La poblacindecierta nacinendesarrollo, est dadaenmillones dehabitantes por lafrmula te P02 , 015 , en donde t es el tiempo medido en aos desde 1970. Cundo alcanzar la poblacin los 25 millones, suponiendo que esta frmula mantiene su validez?.(Rp.: la poblacin tardar 25,5 aos; a mediados de 1995).